Напредъкът в изучаването на електромагнетизма през 19 век доведе до бързото развитие на индустрията и технологиите, особено в комуникациите. Докато полагаха телеграфни линии на големи разстояния, инженерите се натъкнаха на редица необясними явления, които подтикнаха учените да проведат изследвания. И така, през 50-те години британският физик Уилям Томсън (лорд Келвин) се зае с въпроса за трансатлантическата телеграфия. Като взема предвид неуспехите на първите практици, той теоретично изследва въпроса за разпространението на електрически импулси по кабела. В същото време Келвин получи редица важни заключения, които по-късно направиха възможно прилагането на телеграфия през океана. Също през 1853 г. британски физик извежда условията за съществуването на колебателен електрически разряд. Тези условия са в основата на цялото изследване на електрическите трептения. В този урок и други уроци в тази глава ще разгледаме някои основи на теорията на Томсън за електрическите трептения.
Периодично или почти периодични променизаряд, ток и напрежение във веригата се наричат електромагнитни вибрации. Може да се даде и още едно определение.
Електромагнитни вибрациисе наричат периодични промени в напрегнатостта на електрическото поле ( д) и магнитна индукция ( б).
За възбуждане на електромагнитни трептения е необходимо наличието на трептяща система. Най-простата колебателна система, в която могат да се поддържат свободни електромагнитни трептения, се нарича колебателна верига.
Фигура 1 показва най-простата осцилаторна верига - това е електрическа верига, която се състои от кондензатор и проводяща намотка, свързана към пластините на кондензатора.
ориз. 1. Осцилаторна верига
В такава колебателна верига могат да възникнат свободни електромагнитни трептения.
безплатносе наричат трептения, които се извършват поради енергийните резерви, натрупани от самата осцилаторна система, без да се привлича енергия отвън.
Разгледайте осцилаторната верига, показана на фигура 2. Състои се от: намотка с индуктивност Л, кондензатор с капацитет В, електрическа крушка (за контрол на наличието на ток във веригата), ключ и източник на ток С помощта на ключ кондензаторът може да бъде свързан или към източник на ток, или към намотка. В началния момент (кондензаторът не е свързан към източник на ток) напрежението между неговите пластини е 0.
ориз. 2. Осцилаторна верига
Зареждаме кондензатора, като го свързваме накъсо към източника DC.
Когато превключите кондензатора към бобината, светлината светва за кратко, тоест кондензаторът бързо се разрежда.
ориз. 3. Графика на напрежението между пластините на кондензатора спрямо времето по време на разреждане
Фигура 3 показва графика на напрежението между плочите на кондензатора спрямо времето. Тази графика показва интервала от време от момента, в който кондензаторът е превключен към намотката, докато напрежението върху кондензатора стане нула. Вижда се, че напрежението се променя периодично, т.е. възникват трептения във веригата.
Следователно в колебателната верига протичат свободни затихнали електромагнитни трептения.
В началния момент от време (преди кондензаторът да бъде затворен към намотката), цялата енергия е концентрирана в електрическото поле на кондензатора (виж Фиг. 4 а).
Когато кондензаторът е накъсо към бобина, той ще започне да се разрежда. Разрядният ток на кондензатора, преминаващ през завоите на намотката, създава магнитно поле. Това означава, че има промяна в магнитния поток около намотката и в нея се появява самоиндукционна емф, която предотвратява моменталното разреждане на кондензатора, следователно разрядният ток се увеличава постепенно. С увеличаването на разрядния ток електрическото поле в кондензатора намалява, но магнитното поле на намотката се увеличава (виж фиг. 4 b).
В момента, когато полето на кондензатора изчезне (кондензаторът е разреден), магнитното поле на бобината ще бъде максимално (виж фиг. 4 c).
След това магнитното поле ще отслабне и във веригата ще се появи ток на самоиндукция, което ще предотврати намаляването магнитно полеСледователно този ток на самоиндукция ще бъде насочен по същия начин като тока на разреждане на кондензатора. Това ще доведе до презареждане на кондензатора. Тоест на корицата, където първоначално имаше знак плюс, ще се появи минус и обратно. Посоката на вектора на напрегнатостта на електрическото поле в кондензатора също ще се промени на противоположната (виж фиг. 4 d).
Токът във веригата ще отслабне поради увеличаване на електрическото поле в кондензатора и ще изчезне напълно, когато полето в кондензатора достигне максималната си стойност (виж фиг. 4 d).
ориз. 4. Процеси, протичащи през един период на трептене
Когато електрическото поле на кондензатора изчезне, магнитното поле отново ще достигне своя максимум (виж фиг. 4g).
Кондензаторът ще започне да се зарежда поради индукционния ток. С напредването на заряда токът ще отслабне, а с него и магнитното поле (виж Фиг. 4 h).
Когато кондензаторът се зареди, токът във веригата и магнитното поле ще изчезнат. Системата ще се върне към начално състояние(Вижте фиг. 4 f).
По този начин ние разгледахме процесите, протичащи по време на един период на колебание.
Стойността на енергията, концентрирана в електрическото поле на кондензатора в началния момент от време, се изчислява по формулата:
, Къде
Зареждане на кондензатора; В- електрически капацитет на кондензатора.
След една четвърт от периода цялата енергия на електрическото поле на кондензатора се преобразува в енергията на магнитното поле на бобината, която се определя по формулата:
Къде Л- индуктивност на бобината, аз- сила на тока.
За произволен момент от време сумата от енергиите на електрическото поле на кондензатора и магнитното поле на намотката е постоянна стойност (ако се пренебрегне затихването):
Съгласно закона за запазване на енергията, общата енергия на веригата остава постоянна, следователно производната на постоянна стойност по отношение на времето ще бъде равна на нула:
Изчислявайки производните по време, получаваме:
Нека вземем предвид, че моментната стойност на тока е първата производна на заряда по отношение на времето:
Следователно:
Ако моментната стойност на тока е първата производна на заряда по отношение на времето, тогава производната на тока по отношение на времето ще бъде втората производна на заряда по отношение на времето:
Следователно:
Имаме диференциално уравнение, решението на което ще бъде хармонична функция (зарядът зависи хармонично от времето):
Циклична честота на трептене, която се определя от стойностите на електрическия капацитет на кондензатора и индуктивността на намотката:
Следователно колебанията на заряда и следователно токът и напрежението във веригата ще бъдат хармонични.
Тъй като периодът на трептене е свързан с цикличната честота чрез обратна връзка, периодът е равен на:
Този израз се нарича Формула на Томсън.
Референции
- Мякишев Г.Я. Физика: Учебник. за 11 клас общо образование институции. - М.: Образование, 2010.
- Касянов В.А. Физика. 11 клас: Учебен. за общо образование институции. - М.: Дропла, 2005.
- Gendenstein L.E., Dick Yu.I., Physics 11. - M.: Mnemosyne
- Lms.licbb.spb.ru ().
- Home-task.com ().
- Sch130.ru ().
- Youtube.com().
домашна работа
- Как се наричат електромагнитните трептения?
- Въпроси в края на параграф 28, 30 (2) - Myakishev G.Ya. Физика 11 (вижте списъка с препоръчителни четива) ().
- Как се преобразува енергията във веригата?
IN електрически вериги, както при механични системи като товар върху пружина или махало, може да възникне свободни вибрации.
Електромагнитни вибрациисе наричат периодични взаимосвързани промени в заряда, тока и напрежението.
безплатнотрептения са тези, които възникват без външно въздействие поради първоначално натрупаната енергия.
Принуденсе наричат трептения във верига под въздействието на външна периодична електродвижеща сила
Свободни електромагнитни трептения – това са периодично повтарящи се промени в електромагнитните величини (р– електрически заряд,аз– сила на тока,U– потенциална разлика), възникваща без потребление на енергия от външни източници.
Най-простият електрическа система, способен на свободни вибрации, е серийна RLC веригаили колебателна верига.
Осцилаторна верига –е система, състояща се от последователно свързани кондензаториВ, индукториЛ и проводник със съпротивлениеР
Помислете за затворена осцилаторна верига, състояща се от индуктивност L и контейнери СЪС.
За да възбудите трептения в тази верига, е необходимо да придадете някакъв заряд на кондензатора от източника ε . Когато ключът Ке в позиция 1, кондензаторът е зареден до напрежение. След превключване на ключа в позиция 2 започва процесът на разреждане на кондензатора през резистора Ри индуктор Л. При определени условия този процес може да има колебателен характер.
На екрана на осцилоскопа могат да се наблюдават свободни електромагнитни трептения.
Както може да се види от графиката на трептенията, получена на осцилоскоп, свободните електромагнитни трептения са избледняване, т.е. амплитудата им намалява с времето. Това се случва, защото част електрическа енергияпри активно съпротивление R се преобразува във вътрешна енергия. проводник (проводникът се нагрява, когато през него преминава електрически ток).
Нека да разгледаме как възникват трептения в една осцилаторна верига и какви енергийни промени възникват. Нека първо разгледаме случая, когато няма загуби на електромагнитна енергия във веригата ( Р = 0).
Ако заредите кондензатора до напрежение U 0, тогава в началния момент t 1 = 0, стойностите на амплитудата на напрежението U 0 и заряда q 0 = CU 0 ще бъдат установени върху плочите на кондензатора.
Общата енергия W на системата е равна на енергията на електрическото поле W el:
Ако веригата е затворена, токът започва да тече. Във веригата се появява емф. самоиндукция
Поради самоиндукция в бобината, кондензаторът не се разрежда мигновено, а постепенно (тъй като, според правилото на Ленц, полученият индуциран ток със своето магнитно поле противодейства на промяната в магнитния поток, която го е причинила. Т.е. полето на индуцирания ток не позволява моментално увеличаване на магнитния поток на тока във веригата). В този случай токът нараства постепенно, достигайки максималната си стойност I 0 в момент t 2 = T/4 и зарядът на кондензатора става нула.
Тъй като кондензаторът се разрежда, енергията на електрическото поле намалява, но в същото време енергията на магнитното поле се увеличава. Общата енергия на веригата след разреждане на кондензатора е равна на енергията на магнитното поле W m:
В следващия момент токът тече в същата посока, намалявайки до нула, което кара кондензатора да се презареди. Токът не спира незабавно след разреждането на кондензатора поради самоиндукция (сега магнитното поле на индукционния ток предотвратява моменталното намаляване на магнитния поток на тока във веригата). В момента t 3 =T/2 зарядът на кондензатора отново е максимален и равен на първоначалния заряд q = q 0, напрежението също е равно на първоначалното U = U 0 и токът във веригата е нула I = 0.
След това кондензаторът отново се разрежда, токът протича през индуктивността в обратна посока. След период от време T системата се връща в първоначалното си състояние. Пълната осцилация приключва и процесът се повтаря.
Графиката на промените в заряда и силата на тока по време на свободни електромагнитни колебания във веригата показва, че колебанията в силата на тока изостават от колебанията на заряда с π/2.
Във всеки един момент общата енергия е:
При свободни трептения възниква периодична трансформация на електрическа енергия У e, съхранен в кондензатор, в магнитна енергия У m намотки и обратно. Ако няма загуба на енергия в осцилаторната верига, тогава общата електромагнитна енергия на системата остава постоянна.
Свободните електрически вибрации са подобни на механичните вибрации. Фигурата показва графики на промените в заряда р(t) кондензатор и отклонение х(t) натоварване от равновесно положение, както и графики на тока аз(t) и скорост на натоварване υ( t) за един период на трептене.
При липса на затихване има свободни трептения в електрическа верига хармоничен, тоест възникват съгласно закона
р(t) = р 0 cos(ω t + φ 0)
Опции Ли Восцилаторната верига се определя само от собствената честота на свободните трептения и периода на трептене - формула на Томпсън
Амплитуда р 0 и началната фаза φ 0 се определят начални условия, тоест начинът, по който системата е изведена от равновесие.
За колебанията в заряда, напрежението и тока се получават следните формули:
За кондензатор:
р(t) = р 0 cosω 0 t
U(t) = U 0 cosω 0 t
За индуктор:
аз(t) = аз 0 cos(ω 0 t+ π/2)
U(t) = U 0 cos(ω 0 t + π)
Да си припомним Основни характеристики на колебателното движение:
р 0, U 0 , аз 0 - амплитуда– модул най-висока стойностпроменлива величина
Т - период– минималният период от време, след който процесът се повтаря напълно
ν - Честота– брой трептения за единица време
ω - Циклична честота– брой трептения за 2n секунди
φ - фаза на трептене- величина под знака косинус (синус) и характеризираща състоянието на системата във всеки момент.
Електрическите трептения означават периодични промени в заряда, тока и напрежението. Най-простата система, при който са възможни свободни електрически трептения, е така нареченият трептителен кръг. Това е устройство, състоящо се от кондензатор и намотка, свързани помежду си. Ще приемем, че няма активно съпротивление на намотката, в който случай веригата се нарича идеална. Когато енергията се придаде на тази система, в нея ще възникнат незатихващи хармонични колебания на заряда на кондензатора, напрежението и тока.
Можете да придадете енергия на осцилаторната верига по различни начини. Например чрез зареждане на кондензатор от източник на постоянен ток или възбуждане на ток в индуктор. В първия случай енергията се притежава от електрическото поле между плочите на кондензатора. Във втория енергията се съдържа в магнитното поле на тока, протичащ през веригата.
§1 Уравнение на трептенията във верига
Нека докажем, че когато енергията се предава на веригата, в нея ще възникнат незатихващи хармонични трептения. За да направите това, е необходимо да се получи диференциално уравнение на хармоничните трептения на формата.
Да кажем, че кондензаторът е зареден и окъсен към бобината. Кондензаторът ще започне да се разрежда и през намотката ще тече ток. Съгласно втория закон на Кирхоф, сумата от паданията на напрежението по протежение на затворена верига е равна на сумата от ЕДС в тази верига.
В нашия случай спадът на напрежението е, защото веригата е идеална. Кондензаторът във веригата се държи като източник на ток; потенциалната разлика между плочите на кондензатора действа като ЕМП, където е зарядът на кондензатора и е електрическият капацитет на кондензатора. Освен това, когато през бобината протича променящ се ток, в нея възниква самоиндуктивна ЕДС, където е индуктивността на бобината и е скоростта на промяна на тока в бобината. Тъй като самоиндукцията ЕДС предотвратява процеса на разреждане на кондензатора, вторият закон на Кирхоф приема формата
Но токът във веригата е разрядният или зареждащият ток на кондензатора, следователно. Тогава
Диференциалното уравнение се трансформира до формата
Чрез въвеждането на нотацията получаваме добре известното диференциално уравнение на хармоничните трептения.
Това означава, че зарядът на кондензатора в осцилиращата верига ще се промени според хармоничния закон
където е максималната стойност на заряда на кондензатора, е цикличната честота, е началната фаза на трептенията.
Период на колебание на заряда. Този израз се нарича формула на Томпсън.
Напрежение на кондензатора
Ток на веригата
Виждаме, че в допълнение към заряда на кондензатора, според хармоничния закон, токът във веригата и напрежението на кондензатора също ще се променят. Напрежението осцилира във фаза със заряда и силата на тока води заряда
включена фаза.
Енергия на електрическото поле на кондензатор
Текуща енергия на магнитното поле
Така енергиите на електрическото и магнитното поле също се изменят по хармоничния закон, но с двойна честота.
Нека обобщим
Електрическите трептения трябва да се разбират като периодични промени в заряда, напрежението, тока, енергията на електрическото поле и енергията на магнитното поле. Тези вибрации, подобно на механичните, могат да бъдат както свободни, така и принудени, хармонични и нехармонични. В идеална колебателна верига са възможни свободни хармонични електрически трептения.
§2 Процеси, протичащи в колебателен кръг
Математически доказахме съществуването на свободни хармонични трептения в една колебателна верига. Остава обаче неясно защо е възможен подобен процес. Какво причинява трептения във веригата?
При свободните механични вибрации е открита такава причина - това е вътрешната сила, която възниква при извеждане на системата от равновесно положение. Тази сила във всеки момент е насочена към равновесното положение и е пропорционална на координатата на тялото (със знак минус). Нека се опитаме да намерим подобна причина за възникването на трептения в колебателната верига.
Оставете трептенията във веригата да се възбудят, като заредите кондензатора и го окъсите към намотката.
В началния момент зарядът на кондензатора е максимален. Следователно напрежението и енергията на електрическото поле на кондензатора също са максимални.
Във веригата няма ток, енергията на магнитното поле на тока е нула.
Първа четвърт на периода– разреждане на кондензатора.
Плочите на кондензатора с различни потенциали са свързани с проводник, така че кондензаторът започва да се разрежда през намотката. Зарядът, напрежението на кондензатора и енергията на електрическото поле намаляват.
Токът, който се появява във веригата, се увеличава, но неговото увеличение се предотвратява от самоиндукционната емф, която се появява в намотката. Енергията на магнитното поле на тока се увеличава.
Измина една четвърт от периода- кондензаторът е разреден.
Кондензаторът се разреди, напрежението върху него стана равно на нула. Енергията на електрическото поле в този момент също е нула. Според закона за запазване на енергията тя не може да изчезне. Енергията на полето на кондензатора се преобразува напълно в енергията на магнитното поле на бобината, която в този момент достига максималната си стойност. Максимален ток във веригата.
Изглежда, че в този момент токът във веригата трябва да спре, тъй като причината за тока - електрическото поле - е изчезнала. Изчезването на тока обаче отново се предотвратява от самоиндукционната емф в намотката. Сега той ще поддържа намаляващия ток и ще продължи да тече в същата посока, зареждайки кондензатора. Започва втората четвърт на периода.
Втора четвърт на периода – презареждане на кондензатора.
Токът, поддържан от самоиндукционната емф, продължава да тече в същата посока, като постепенно намалява. Този ток зарежда кондензатора в обратна полярност. Зарядът и напрежението на кондензатора се увеличават.
Енергията на магнитното поле на тока, намалявайки, се превръща в енергията на електрическото поле на кондензатора.
Втората четвърт от периода е изтекла - кондензаторът е презареден.
Кондензаторът се презарежда, докато има ток. Следователно, в момента, когато токът спре, зарядът и напрежението на кондензатора поемат максималната стойност.
Енергията на магнитното поле в този момент беше напълно преобразувана в енергията на електрическото поле на кондензатора.
Ситуацията във веригата в този момент е еквивалентна на първоначалната. Процесите във веригата ще се повторят, но в обратна посока. Една пълна осцилация във веригата, продължаваща за определен период, ще приключи, когато системата се върне в първоначалното си състояние, тоест, когато кондензаторът се презареди в първоначалния си поляритет.
Лесно е да се види, че причината за колебанията във веригата е феноменът на самоиндукция. ЕМП на самоиндукция предотвратява промяната на тока: предотвратява незабавното му увеличаване и незабавно изчезване.
Между другото, не би било излишно да се сравнят изразите за изчисляване на квазиеластична сила в механична осцилаторна система и самоиндукционната емф във веригата:
Преди това бяха получени диференциални уравнения за механични и електрически осцилаторни системи:
Въпреки фундаменталните различия във физическите процеси на механичните и електрическите колебателни системи, математическата идентичност на уравненията, описващи процесите в тези системи, е ясно видима. Трябва да поговорим за това по-подробно.
§3 Аналогия между електрически и механични вибрации
Внимателен анализ на диференциални уравнения за пружинно махало и осцилаторна верига, както и формули, свързващи величини, характеризиращи процеси в тези системи, ни позволява да идентифицираме кои количества се държат по същия начин (Таблица 2).
| Пружинно махало | Осцилаторна верига |
| Координата на тялото() | Зареждане на кондензатора () |
| Скорост на тялото | Сила на тока във веригата |
| Потенциална енергия на еластично деформирана пружина | Енергия на електрическото поле на кондензатор |
| Кинетична енергия на товара | Енергия на магнитното поле на токова намотка |
| Реципрочната стойност на твърдостта на пружината | Капацитет на кондензатора |
| Тегло на товара | Индуктивност на бобината |
| Еластична сила | ЕДС на самоиндукция, равна на напрежението върху кондензатора |
Таблица 2
Важно е не само формалното сходство между величините, описващи процесите на трептене на махалото и процесите във веригата. Самите процеси са идентични!
Крайните позиции на махалото са еквивалентни на състоянието на веригата, когато зарядът на кондензатора е максимален.
Равновесното положение на махалото е еквивалентно на състоянието на веригата, когато кондензаторът е разреден. В този момент еластичната сила става нула и няма напрежение върху кондензатора във веригата. Скоростта на махалото и токът във веригата са максимални. Потенциалната енергия на еластична деформация на пружината и енергията на електрическото поле на кондензатора са равни на нула. Енергията на системата се състои от кинетичната енергия на товара или енергията на магнитното поле на тока.
Разреждането на кондензатор протича подобно на движението на махало от крайно положение до равновесно положение. Процесът на презареждане на кондензатора е идентичен с процеса на отстраняване на товара от равновесно положение до крайно положение.
Общата енергия на една осцилаторна система остава непроменена във времето.
Подобна аналогия може да се проследи не само между пружинно махало и колебателен кръг. Универсални закони на свободните вибрации от всякакво естество! Тези модели, илюстрирани с примера на две осцилаторни системи (пружинно махало и осцилаторна верига), са не само възможни, но трябва да се види в трептенията на всяка система.
По принцип е възможно да се реши проблема с всеки колебателен процес, като се замени с колебания на махалото. За да направите това, е достатъчно компетентно да конструирате еквивалентна механична система, да решите механичен проблем и да замените количества в крайния резултат. Например, трябва да намерите периода на трептене във верига, съдържаща кондензатор и две бобини, свързани паралелно.
Осцилиращата верига съдържа един кондензатор и две намотки. Тъй като бобината се държи като тежестта на пружинно махало, а кондензаторът като пружина, еквивалентната механична система трябва да съдържа една пружина и две тежести. Проблемът е как тежестите са прикрепени към пружината. Възможни са два случая: единият край на пружината е фиксиран, а към свободния край е прикрепена една тежест, втората е към първия или тежестите са прикрепени към различни краища на пружината.
При паралелна връзкабобините с различна индуктивност имат различни токове, протичащи през тях. Следователно скоростите на товарите в идентична механична система също трябва да бъдат различни. Очевидно това е възможно само във втория случай.
Вече намерихме периода на тази трептителна система. То е равно. Заменяйки масите на товарите с индуктивността на намотките и реципрочната стойност на твърдостта на пружината с капацитета на кондензатора, получаваме .
§4 Трептящ кръг с източник на постоянен ток
Да разгледаме осцилаторна верига, съдържаща източник на постоянен ток. Нека кондензаторът първоначално е незареден. Какво ще се случи в системата след затваряне на ключ K? Ще се наблюдават ли в този случай трептения и каква е тяхната честота и амплитуда?
Очевидно след затваряне на ключа кондензаторът ще започне да се зарежда. Записваме втория закон на Кирхоф:
Следователно токът във веригата е зарядният ток на кондензатора. Тогава. Диференциалното уравнение се трансформира до формата
* Решаваме уравнението чрез промяна на променливи.
Нека обозначим . Диференцираме два пъти и като вземем предвид факта, че , получаваме . Диференциалното уравнение приема формата
Това е диференциално уравнение на хармоничните трептения, решението му е функцията
където е цикличната честота, интеграционните константи и се намират от началните условия.
Зарядът на кондензатора се променя според закона
Веднага след като ключът е затворен, зарядът на кондензатора е нула и няма ток във веригата. Като вземем предвид началните условия, получаваме система от уравнения:
Решавайки системата, получаваме и . След като ключът се затвори, зарядът на кондензатора се променя според закона.
Лесно е да се види, че във веригата възникват хармонични трептения. Наличието на източник на постоянен ток във веригата не повлия на честотата на трептене, тя остана равна. „Равновесното положение“ се е променило - в момента, когато токът във веригата е максимален, кондензаторът се зарежда. Амплитудата на колебанията на заряда на кондензатора е равна на Cε.
Същият резултат може да се получи по-просто, като се използва аналогия между трептения във верига и трептения на пружинно махало. Източник на постоянен ток е еквивалентен на постоянно силово поле, в което е поставено пружинно махало, например гравитационно поле. Липсата на заряд върху кондензатора в момента на затваряне на веригата е идентична с липсата на деформация на пружината в момента, в който махалото е приведено в трептящо движение.
В постоянно силово поле периодът на трептене на пружинно махало не се променя. Периодът на трептене във веригата се държи по същия начин - той остава непроменен, когато във веригата се въведе източник на постоянен ток.
В равновесно положение, когато скоростта на товара е максимална, пружината се деформира:
Когато токът в трептящия кръг е максимален. Вторият закон на Кирхоф ще бъде написан по следния начин
В този момент зарядът на кондензатора е равен на Същият резултат може да се получи въз основа на израз (*), като се извърши замяната
§5 Примери за решаване на задачи
Проблем 1Закон за запазване на енергията
Л= 0,5 µH и кондензатор с капацитет СЪС= 20 pF възникват електрически трептения. Какво е максималното напрежение на кондензатора, ако амплитудата на тока във веригата е 1 mA? Активното съпротивление на бобината е незначително.
Решение:
2 В момента, когато напрежението на кондензатора е максимално (максимален заряд на кондензатора), във веригата няма ток. Общата енергия на системата се състои само от енергията на електрическото поле на кондензатора
3 В момента, когато токът във веригата е максимален, кондензаторът е напълно разреден. Общата енергия на системата се състои само от енергията на магнитното поле на намотката
4 Въз основа на изрази (1), (2), (3) получаваме равенството . Максималното напрежение на кондензатора е
Проблем 2Закон за запазване на енергията
В трептяща верига, състояща се от индуктивна намотка Ли кондензатор с капацитет С,възникват електрически трептения с период T = 1 μs. Максимална стойност на таксата. Какъв е токът във веригата в момента, когато зарядът на кондензатора е равен на ? Активното съпротивление на бобината е незначително.
Решение:
1 Тъй като активното съпротивление на намотката може да бъде пренебрегнато, общата енергия на системата, състояща се от енергията на електрическото поле на кондензатора и енергията на магнитното поле на намотката, остава непроменена във времето:
2 В момента, когато зарядът на кондензатора е максимален, няма ток във веригата. Общата енергия на системата се състои само от енергията на електрическото поле на кондензатора
3 Въз основа на (1) и (2) получаваме равенството . Токът във веригата е равен на.
4 Периодът на трептене във веригата се определя по формулата на Томсън. Оттук. Тогава за тока във веригата получаваме
Проблем 3Осцилационен кръг с два паралелно свързани кондензатора
В трептяща верига, състояща се от индуктивна намотка Ли кондензатор с капацитет С,възникват електрически трептения с амплитуда на заряда. В момента, когато зарядът на кондензатора е максимален, превключвателят K е затворен. Какъв ще бъде периодът на трептене във веригата след затваряне на ключа? Каква е амплитудата на тока във веригата след затваряне на ключа? Пренебрегнете омичното съпротивление на веригата.
Решение:
1 Затварянето на ключа води до появата на друг кондензатор във веригата, свързан паралелно на първия. Общият капацитет на два паралелно свързани кондензатора е равен на .
Периодът на трептенията във веригата зависи само от нейните параметри и не зависи от това как са възбудени трептенията в системата и каква енергия е предадена на системата за това. Според формулата на Томсън.
2 За да намерим амплитудата на тока, нека разберем какви процеси се случват във веригата след затваряне на превключвателя.
Вторият кондензатор беше свързан в момента, когато зарядът на първия кондензатор беше максимален, следователно нямаше ток във веригата.
Кондензаторът на веригата трябва да започне да се разрежда. Разрядният ток, достигнал възела, трябва да бъде разделен на две части. Въпреки това, в разклонението с намотката възниква ЕМП на самоиндукция, което предотвратява увеличаването на разрядния ток. Поради тази причина целият разряден ток ще тече в клона с кондензатора, чието омично съпротивление е нула. Токът ще спре веднага щом напреженията на кондензаторите се изравнят и първоначалният заряд на кондензатора ще се преразпредели между двата кондензатора. Времето на преразпределение на заряда между два кондензатора е незначително поради липсата на омично съпротивление в клоновете с кондензатори. През това време токът в клона с бобината няма да има време да възникне. Колебания в нова системаще продължи след преразпределението на заряда между кондензаторите.
Важно е да се разбере, че в процеса на преразпределение на заряда между два кондензатора енергията на системата не се запазва! Преди ключът да бъде затворен, един кондензатор, верига, имаше енергия:
След преразпределение на заряда кондензаторната банка има енергия:
Лесно се вижда, че енергията на системата е намаляла!
3 Намираме новата амплитуда на тока, използвайки закона за запазване на енергията. По време на процеса на трептене енергията на кондензаторната банка се преобразува в енергията на магнитното поле на тока:
Моля, имайте предвид, че законът за запазване на енергията започва да „работи“ едва след като преразпределението на заряда между кондензаторите приключи.
Проблем 4Осцилаторна верига с два последователно свързани кондензатора
Осцилаторната верига се състои от бобина с индуктивност L и два последователно свързани кондензатора С и 4С. Кондензатор с капацитет C е зареден до напрежение, кондензатор с капацитет 4C не е зареден. След затваряне на ключа започват трептения във веригата. Какъв е периодът на тези трептения? Определете амплитудата на тока, максималните и минималните стойности на напрежението на всеки кондензатор.
Решение:
1 В момента, когато токът във веригата е максимален, в намотката няма самоиндуктивна емф. За този момент записваме втория закон на Кирхоф
Виждаме, че в момента, когато токът във веригата е максимален, кондензаторите се зареждат до същото напрежение, но в обратна полярност:
2 Преди затваряне на превключвателя, общата енергия на системата се състои само от енергията на електрическото поле на кондензатора C:
В момента, когато токът във веригата е максимален, енергията на системата е сумата от енергията на магнитното поле на тока и енергията на два кондензатора, заредени на същото напрежение:
Според закона за запазване на енергията
За да намерим напрежението на кондензаторите, ще използваме закона за запазване на заряда - зарядът на долната плоча на кондензатор C се прехвърля частично към горната плоча на кондензатор 4C:
Заместваме намерената стойност на напрежението в закона за запазване на енергията и намираме амплитудата на тока във веригата:
3 Нека намерим границите, в които напрежението на кондензаторите се променя по време на трептения.
Ясно е, че в момента на затваряне на веригата е имало максимално напрежение на кондензатор С. Следователно кондензаторът 4C не е зареден.
След като ключът е затворен, кондензаторът C започва да се разрежда и кондензаторът с капацитет 4C започва да се зарежда. Процесът на разреждане на първия и зареждане на втория кондензатор завършва веднага щом токът във веригата спре. Това ще стане след половината период. Според законите за запазване на енергията и електрически заряд:
Решавайки системата, намираме:
Знакът минус означава, че след половин цикъл кондензаторът C се зарежда в полярност, обратна на първоначалната.
Проблем 5Осцилационен кръг с две последователно свързани намотки
Трептящият кръг се състои от кондензатор с капацитет С и две индуктивни бобини L 1и L 2. В момента, когато токът във веригата достигне максималната си стойност, в първата намотка бързо се вкарва желязна сърцевина (в сравнение с периода на трептене), което води до увеличаване на нейната индуктивност с μ пъти. Каква е амплитудата на напрежението по време на по-нататъшни трептения във веригата?
Решение:
1 Когато сърцевината се вкара бързо в бобината, трябва да се поддържа магнитният поток (феноменът на електромагнитната индукция). Следователно, бърза промяна в индуктивността на една от намотките ще доведе до бърза промянаток във веригата.
2 По време на въвеждането на сърцевината в намотката зарядът на кондензатора не е имал време да се промени; сърцевината е била въведена в момента, когато токът във веригата е бил максимален. След една четвърт от периода енергията на магнитното поле на тока ще се трансформира в енергията на зареден кондензатор:
Заместваме текущата стойност в получения израз ази намерете амплитудата на напрежението на кондензатора:
Проблем 6Осцилационен кръг с две успоредно свързани намотки
Индукторите L 1 и L 2 са свързани чрез ключове K1 и K2 към кондензатор с капацитет C. В началния момент и двата ключа са отворени и кондензаторът е зареден до потенциална разлика. Първо, ключът K1 е затворен и когато напрежението на кондензатора стане нула, K2 е затворен. Определете максималното напрежение на кондензатора след затваряне на K2. Пренебрегвайте съпротивленията на бобината.
Решение:
1 Когато превключвателят K2 е отворен, възникват трептения във веригата, състояща се от кондензатор и първата намотка. Докато K2 се затвори, енергията на кондензатора се е прехвърлила в енергията на магнитното поле на тока в първата намотка:
2 След затваряне на K2 има две бобини, свързани паралелно в трептящия кръг.
Токът в първата намотка не може да спре поради явлението самоиндукция. На възела се разделя: една част от тока отива към втората намотка, а другата зарежда кондензатора.
3 Напрежението на кондензатора ще бъде максимално, когато токът спре аз, зареждащ кондензатор. Очевидно в този момент токовете в бобините ще бъдат равни.
:Махалото се движи постъпателно със скоростта на центъра на масата и осцилира спрямо центъра на масата.
Еластичната сила е максимална в момента на максимална деформация на пружината. Очевидно в този момент относителната скорост на товарите става нула и спрямо масата тежестите се движат със скоростта на центъра на масата. Записваме закона за запазване на енергията:
Решавайки системата, намираме
Правим замяна
и получаваме предварително намерената стойност за максималното напрежение
§6 Задачи за независимо решение
Упражнение 1 Изчисляване на периода и честотата на собствените трептения
1 Осцилаторната верига включва бобина с променлива индуктивност, която варира в рамките L 1= 0,5 µH до L 2= 10 µH и кондензатор, чийто капацитет може да варира от C 1= 10 pF до
C 2=500 pF. Какъв честотен диапазон може да бъде покрит чрез настройка на тази верига?
2 Колко пъти ще се промени честотата на собствените трептения във веригата, ако индуктивността й се увеличи 10 пъти, а капацитетът й се намали 2,5 пъти?
3. Осцилиращ кръг с кондензатор 1 µF е настроен на честота 400 Hz. Ако свържете втори кондензатор паралелно с него, тогава честотата на трептене във веригата става равна на 200 Hz. Определете капацитета на втория кондензатор.
4 Трептящият кръг се състои от намотка и кондензатор. Колко пъти ще се промени честотата на собствените трептения във веригата, ако към веригата се свърже последователно втори кондензатор, чийто капацитет е 3 пъти по-малък капацитетпърво?
5 Определете периода на трептене на веригата, която включва намотка (без сърцевина) с дължина V= 50 cm m площ на напречното сечение
С= 3 cm 2, имайки Н= 1000 оборота и капацитет на кондензатора СЪС= 0,5 µF.
6 Осцилаторната верига включва индуктор Л= 1,0 µH и въздушен кондензатор, чиято площ на пластината С= 100 cm 2. Веригата е настроена на честота 30 MHz. Определете разстоянието между плочите. Активното съпротивление на веригата е незначително.
Основното устройство, което определя работната честота на всеки генератор AC, е осцилаторна верига. Трептящият кръг (фиг. 1) се състои от бобина индуктивност Л(разгледайте идеалния случай, когато намотката няма омично съпротивление) и кондензатор Ви се нарича затворен. Характеристиката на бобината е индуктивност, тя се обозначава Ли измерен в Хенри (H), кондензаторът се характеризира с капацитет В, което се измерва във фаради (F).
Нека в началния момент от време кондензаторът е зареден по такъв начин (фиг. 1), че на една от неговите плочи има заряд + Q 0, а от друга - зареждане - Q 0 . В този случай между плочите на кондензатора се образува електрическо поле с енергия
където е амплитудното (максималното) напрежение или потенциалната разлика в пластините на кондензатора.
След затваряне на веригата, кондензаторът започва да се разрежда и преминава през веригата електрически ток(фиг. 2), чиято стойност нараства от нула до максимална стойност. Тъй като във веригата протича ток с променлив магнитуд, в бобината се индуцира самоиндуктивна едс, която предотвратява разреждането на кондензатора. Следователно процесът на разреждане на кондензатора не се случва моментално, а постепенно. Във всеки момент от време потенциалната разлика между плочите на кондензатора
(къде е зарядът на кондензатора в моментавреме) е равна на потенциалната разлика в намотката, т.е. равна на емф на самоиндукция
| Фиг.1 | Фиг.2 |
Когато кондензаторът е напълно разреден и , токът в бобината ще достигне максималната си стойност (фиг. 3). Индукцията на магнитното поле на намотката в този момент също е максимална, а енергията на магнитното поле ще бъде равна на
Тогава токът започва да намалява и зарядът ще се натрупа върху плочите на кондензатора (фиг. 4). Когато токът намалее до нула, зарядът на кондензатора достига максималната си стойност Q 0, но плочата, преди това положително заредена, сега ще бъде отрицателно заредена (фиг. 5). Тогава кондензаторът започва да се разрежда отново и токът във веригата протича в обратна посока.
Така процесът на преминаване на заряда от една плоча на кондензатор към друга през индуктора се повтаря отново и отново. Казват, че във веригата има електромагнитни вибрации. Този процес е свързан не само с колебания в количеството заряд и напрежение на кондензатора, силата на тока в намотката, но и с прехвърлянето на енергия от електрическото поле към магнитното поле и обратно.
| Фиг.3 | Фиг.4 |
Презареждането на кондензатора до максимално напрежение ще се случи само ако няма загуба на енергия в осцилаторната верига. Такъв контур се нарича идеален.
В реални вериги възникват следните загуби на енергия:
1) топлинни загуби, т.к Р ¹ 0;
2) загуби в диелектрика на кондензатора;
3) загуби от хистерезис в сърцевината на намотката;
4) радиационни загуби и т.н. Ако пренебрегнем тези енергийни загуби, тогава можем да напишем, че, т.е.
Наричат се трептения, възникващи в идеална колебателна верига, в която е изпълнено това условие безплатно, или собствени, вибрации на веригата.
В този случай напрежението U(и зареждане Q) на кондензатора се променя според хармоничния закон:
където n е собствената честота на колебателния кръг, w 0 = 2pn е собствената (кръгова) честота на колебателния кръг. Честотата на електромагнитните трептения във веригата се определя като
Период Т- определя се времето, през което настъпва едно пълно колебание на напрежението на кондензатора и тока във веригата Формула на Томсън
Силата на тока във веригата също се променя според хармоничния закон, но изостава от напрежението във фаза с . Следователно зависимостта на силата на тока във веригата от времето ще има формата
Фигура 6 показва графики на промените на напрежението Uвърху кондензатора и тока азв бобината за идеален трептящ кръг.
В реална верига енергията ще намалява с всяко трептене. Амплитудите на напрежението на кондензатора и тока във веригата ще намалеят; Те не могат да се използват в главни осцилатори, т.к Устройството ще работи най-добре в импулсен режим.
| Фиг.5 | Фиг.6 |
За да се получат незатихващи трептения, е необходимо да се компенсират загубите на енергия при голямо разнообразие от работни честоти на устройства, включително тези, използвани в медицината.
