Числата се записват в двоичната бройна система, като се използват само две цифри - 0 и 1. Ето защо тази система се прилага най-лесно на практика в електронните компютрии устройства. Нека да разгледаме как да преобразуваме число в двоична система от обичайната десетична система без помощта на калкулатор и компютърни програми.
Цели числа
За да преобразувате цяло число от десетично в двоично, трябва да го разделите на две и след това да разделите всяко получено частно на две, докато получите едно. Желаното двоично число се записва като поредица от цифри, равна на последното частно (едно) и всички произтичащи остатъци, като се започне от последния.
Да дадем примери.
Трябва да преобразуваме числото 23 в двоично число.
- 23: 2 = 11 (остатък 1)
- 11: 2 = 5 (остатък 1)
- 5: 2 = 2 (остатък 1)
- 2: 2 = 1 (остатък 0)
В резултат на това 23 10 = 10111 2
Трябва да преобразуваме числото 88 в двоично:
- 88: 2 = 44 (остатък 0)
- 44: 2 = 22 (остатък 0)
- 22: 2 = 11 (остатък 0)
- 11: 2 = 5 (остатък 1)
- 5: 2 = 2 (остатък 1)
- 2: 2 = 1 (остатък 0)
В резултат на това 88 10 = 1011000 2
Дробни числа
Сега нека разгледаме алгоритъма за преобразуване на дробни десетични числа в двоична система. За да направите това с цяла частномера работим по описаната по-горе процедура, и дробна частнека умножим по две. Отново умножаваме дробната част на получения продукт по две и така нататък, докато дробната част стане равна на нула или докато се получи необходимото приближение до определения брой двоични знаци след десетичната запетая. Необходимата дробна част двоично числополучаваме като последователност от числа след десетичната запетая, равна на целите части на получените продукти, започвайки от първата.
Ето няколко примера:
Трябва да преобразуваме числото 5,625 в двоично:
- Първо нека разгледаме цялата част от десетичното число:
- 5: 2 = 2 (остатък 1)
- 2: 2 = 1 (остатък 0)
- Сега дробната част:
- 0,625 * 2 = 1,25
- 0,25 * 2 = 0,5
- 0,5 * 2 = 1,0
В резултат на това 5 10 = 101 2
В резултат на това 0,125 10 = 0,101 2
В резултат на това 5,625 10 = 101,101 2
Трябва да преобразувате 8.35 в двоично число с точност до 5 знака след десетичната запетая:
- Да започнем с цялата част:
- 8: 2 = 4 (остатък 0)
- 4: 2 = 2 (остатък 0)
- 2: 2 = 1 (остатък 0)
- Дробна част от числото:
- 0,35 * 2 = 0,7
- 0,7 * 2 = 1,4
- 0,4 * 2 = 0,8
- 0,8 * 2 = 1,6
- 0,6 * 2 = 1,2
В резултат на това 8 10 = 1000 2
В резултат на това 0,35 10 = 0,01011 2 с точност до 5 знака след десетичната запетая.
В резултат на това 8,35 10 = 1000,01011 2 с точност до 5 знака след десетичната запетая.
С това онлайн калкулаторМожете да конвертирате цели и дробни числа от една бройна система в друга. Дадено е подробно решение с обяснения. За да преведете, въведете оригиналното число, задайте основата на бройната система на изходния номер, задайте основата на бройната система, в която искате да преобразувате числото и щракнете върху бутона "Превод". Вижте теоретичната част и числените примери по-долу.
Резултатът вече е получен!
Преобразуване на цели и дробни числа от една бройна система във всяка друга - теория, примери и решения
Има позиционни и непозиционни системи за позициониранеОтчитане. Арабската бройна система, която използваме в ежедневието, е позиционен, но Роман не е. В позиционните бройни системи позицията на числото еднозначно определя големината на числото. Нека разгледаме това на примера на числото 6372 в десетичната бройна система. Нека номерираме това число отдясно наляво, започвайки от нула:
Тогава числото 6372 може да бъде представено по следния начин:
6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .
Числото 10 определя бройната система (в случая е 10). Стойностите на позицията на дадено число се приемат като степени.
Помислете за реалното десетично число 1287.923. Нека го номерираме, като започнем от нула, позицията на числото от десетичната запетая наляво и надясно:
Тогава числото 1287.923 може да бъде представено като:
1287.923 =1000+200+80 +7+0.9+0.02+0.003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3· 10 -3.
Най-общо формулата може да бъде представена по следния начин:
C n s n +C n-1 · s n-1 +...+C 1 · s 1 +C 0 ·s 0 +D -1 ·s -1 +D -2 ·s -2 +...+D -k ·s -k
където C n е цяло число на позиция п, D -k - дробно числов позиция (-k), s- бройна система.
Няколко думи за бройните системи Числото в десетичната бройна система се състои от много цифри (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), в осмичната бройна система то се състои от много цифри. (0,1, 2,3,4,5,6,7), в двоичната бройна система - от набор от цифри (0,1), в шестнадесетичната бройна система - от набор от цифри (0,1 ,2,3,4,5,6, 7,8,9,A,B,C,D,E,F), където A,B,C,D,E,F съответстват на числата 10,11, 12,13,14,15 В таблицата табл.1 са представени числата в различни системиОтчитане.
| Таблица 1 | |||
|---|---|---|---|
| Нотация | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | А |
| 11 | 1011 | 13 | б |
| 12 | 1100 | 14 | В |
| 13 | 1101 | 15 | г |
| 14 | 1110 | 16 | д | 15 | 1111 | 17 | Е |
Преобразуване на числа от една бройна система в друга
За да преобразувате числа от една бройна система в друга, най-лесният начин е първо да преобразувате числото в десетична системабройна система и след това преобразувайте от десетичната бройна система в необходимата бройна система.
Преобразуване на числа от произволна бройна система в десетична бройна система
Използвайки формула (1), можете да преобразувате числа от произволна бройна система в десетична бройна система.
Пример 1. Преобразувайте числото 1011101.001 от двоична бройна система (SS) в десетична SS. Решение:
1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 ·2 4 + 1 ·2 3 + 1 ·2 2 + 0 ·2 1 + 1 ·2 0 + 0 ·2 -1 + 0 ·2 -2 + 1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93,125
Пример2. Преобразувайте числото 1011101.001 от осмична бройна система (SS) в десетична SS. Решение:
Пример 3 . Преобразувайте числото AB572.CDF от шестнадесетична бройна система в десетична SS. Решение:
тук А-заменен с 10, б- на 11, В- на 12, Е- до 15.
Преобразуване на числата от десетичната бройна система в друга бройна система
За да преобразувате числа от десетичната бройна система в друга бройна система, трябва да преобразувате поотделно цялата част от числото и дробната част от числото.
Цялата част на числото се преобразува от десетична SS в друга бройна система чрез последователно разделяне на цялата част от числото на основата на бройната система (за двоична SS - на 2, за 8-дневна SS - на 8, за 16 -ary SS - с 16 и т.н. ), докато се получи цял остатък, по-малък от основата CC.
Пример 4 . Нека преобразуваме числото 159 от десетичен SS в двоичен SS:
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
Както се вижда от фиг. 1, числото 159, когато е разделено на 2, дава частното 79 и остатъка 1. Освен това, числото 79, когато е разделено на 2, дава частното 39 и остатъка 1 и т.н. В резултат на това, конструирайки число от остатъците от деление (отдясно наляво), получаваме число в двоичен SS: 10011111 . Следователно можем да напишем:
159 10 =10011111 2 .
Пример 5 . Нека преобразуваме числото 615 от десетичен SS в осмичен SS.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
Когато преобразувате число от десетична SS в осмична SS, трябва последователно да разделите числото на 8, докато получите цяло число, по-малко от 8. В резултат на това, конструирайки число от остатъци от деление (отдясно наляво), получаваме число в осмичен SS: 1147 (виж фиг. 2). Следователно можем да напишем:
615 10 =1147 8 .
Пример 6 . Нека преобразуваме числото 19673 от десетичната бройна система в шестнадесетична SS.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
Както може да се види от Фигура 3, при последователно разделяне на числото 19673 на 16, остатъците са 4, 12, 13, 9. В шестнадесетичната бройна система числото 12 съответства на C, числото 13 на D. Следователно нашето шестнадесетичното число е 4CD9.
За да преобразуваме редовни десетични дроби (реално число с нулева цяла част) в бройна система с основа s, е необходимо последователно да умножим това число по s, докато дробната част съдържа чиста нула, или получим необходимия брой цифри . Ако по време на умножението се получи число с цяла част, различна от нула, тогава тази цяла част не се взема предвид (те се включват последователно в резултата).
Нека разгледаме горното с примери.
Пример 7 . Нека преобразуваме числото 0,214 от десетичната бройна система в двоична SS.
| 0.214 | ||
| х | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| х | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| х | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| х | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| х | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| х | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| х | 2 | |
| 1 | 0.392 |
Както се вижда от фиг. 4, числото 0,214 се умножава последователно по 2. Ако резултатът от умножението е число с цяла част, различна от нула, тогава цялата част се записва отделно (отляво на числото), а числото се записва с нулева цяла част. Ако резултатът от умножението е число с нулева цяла част, тогава вляво от него се записва нула. Процесът на умножение продължава, докато дробната част достигне чиста нула или получим необходимия брой цифри. Изписвайки удебелени числа (фиг. 4) отгоре надолу, получаваме търсеното число в двоичната бройна система: 0. 0011011 .
Следователно можем да напишем:
0.214 10 =0.0011011 2 .
Пример 8 . Нека преобразуваме числото 0,125 от десетичната бройна система в двоична SS.
| 0.125 | ||
| х | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| х | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| х | 2 | |
| 1 | 0.0 |
За да преобразувате числото 0,125 от десетична SS в двоична, това число се умножава последователно по 2. В третия етап резултатът е 0. Следователно се получава следният резултат:
0.125 10 =0.001 2 .
Пример 9 . Нека преобразуваме числото 0,214 от десетичната бройна система в шестнадесетична SS.
| 0.214 | ||
| х | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| х | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| х | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| х | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| х | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| х | 16 | |
| 4 | 0.224 |
Следвайки примери 4 и 5, получаваме числата 3, 6, 12, 8, 11, 4. Но в шестнадесетичния SS числата 12 и 11 съответстват на числата C и B. Следователно имаме:
0,214 10 =0,36C8B4 16 .
Пример 10 . Нека преобразуваме числото 0,512 от десетичната бройна система в осмична SS.
| 0.512 | ||
| х | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| х | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| х | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| х | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| х | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| х | 8 | |
| 1 | 0.728 |
получено:
0.512 10 =0.406111 8 .
Пример 11 . Нека преобразуваме числото 159.125 от десетичната бройна система в двоична SS. За да направим това, превеждаме отделно цялата част на числото (Пример 4) и дробната част на числото (Пример 8). По-нататъшно комбиниране на тези резултати получаваме:
159.125 10 =10011111.001 2 .
Пример 12 . Нека преобразуваме числото 19673,214 от десетичната бройна система в шестнадесетична SS. За целта превеждаме поотделно цялата част на числото (Пример 6) и дробната част на числото (Пример 9). Освен това, комбинирайки тези резултати, получаваме.
1. Поредно броене в различни бройни системи.
IN модерен животизползваме позиционни бройни системи, т.е. системи, в които числото, означено с цифра, зависи от позицията на цифрата в записа на числото. Затова в бъдеще ще говорим само за тях, като пропускаме термина „позиционни“.
За да научите как да преобразувате числа от една система в друга, ще разберем как се извършва последователното записване на числата, използвайки примера на десетичната система.
Тъй като имаме десетична бройна система, имаме 10 символа (цифри) за конструиране на числа. Започваме да броим: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Числата свършиха. Увеличаваме битовата дълбочина на числото и нулираме най-малката цифра: 10. След това отново увеличаваме младшата цифра, докато всички цифри изчезнат: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Ние увеличете горната цифра с 1 и нулирайте ниската цифра: 20. Когато използваме всички цифри и за двете цифри (получаваме числото 99), ние отново увеличаваме капацитета на цифрите на числото и нулираме съществуващите цифри: 100. И така на.
Нека се опитаме да направим същото във 2-ра, 3-та и 5-та система (въвеждаме нотацията за 2-ра система, за 3-та и т.н.):
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 10 | 3 |
| 4 | 100 | 11 | 4 |
| 5 | 101 | 12 | 10 |
| 6 | 110 | 20 | 11 |
| 7 | 111 | 21 | 12 |
| 8 | 1000 | 22 | 13 |
| 9 | 1001 | 100 | 14 |
| 10 | 1010 | 101 | 20 |
| 11 | 1011 | 102 | 21 |
| 12 | 1100 | 110 | 22 |
| 13 | 1101 | 111 | 23 |
| 14 | 1110 | 112 | 24 |
| 15 | 1111 | 120 | 30 |
Ако числовата система има основа по-голяма от 10, тогава ще трябва да въвеждаме допълнителни знаци, обичайно е да въвеждаме букви от латинската азбука. Например, за десетичната система, в допълнение към десет цифри, имаме нужда от две букви ( и ):
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 4 |
| 5 | 5 |
| 6 | 6 |
| 7 | 7 |
| 8 | 8 |
| 9 | 9 |
| 10 | |
| 11 | |
| 12 | 10 |
| 13 | 11 |
| 14 | 12 |
| 15 | 13 |
2. Превръщане от десетичната бройна система към всяка друга.
За да преобразувате положително цяло десетично число в бройна система с различна основа, трябва да разделите това число на основата. Разделете полученото частно отново на основата и по-нататък, докато частното стане по-малко от основата. В резултат на това запишете в един ред последното частно и всички остатъци, като започнете от последния.
Пример 1.Нека преобразуваме десетичното число 46 в двоичната бройна система.
Пример 2.Нека преобразуваме десетичното число 672 в осмичната бройна система.
Пример 3.Нека преобразуваме десетичното число 934 в шестнадесетичната бройна система.
3. Преобразуване от произволна бройна система в десетична.
За да научите как да преобразувате числа от всяка друга система в десетична, нека анализираме обичайната нотация за десетично число.
Например десетичното число 325 е 5 единици, 2 десетици и 3 стотици, т.е.
Ситуацията е абсолютно същата и в другите бройни системи, само че ще умножаваме не по 10, 100 и т.н., а по степените на основата на бройната система. Например, нека вземем числото 1201 в троичната бройна система. Нека номерираме цифрите отдясно наляво, като започнем от нула и си представим нашето число като сбор от произведенията на цифра и три на степен на цифрата на числото:
Това е десетичният запис на нашето число, т.е.
Пример 4.Нека преобразуваме в десетичната бройна система осмично число 511.
Пример 5.Нека преобразуваме шестнадесетичното число 1151 в десетичната бройна система.
4. Преминаване от двоичната система към системата с основа „степен две” (4, 8, 16 и т.н.).
За да преобразувате двоично число в число с основата „степен на две“, е необходимо двоичната последователност да се раздели на групи според броя на цифрите, равни на степента отдясно наляво, и да се замени всяка група със съответната цифра нова системаОтчитане.
Например, нека преобразуваме двоичното число 1100001111010110 в осмичната система. За да направите това, ще го разделим на групи от 3 знака, започвайки отдясно (от ), след което ще използваме таблицата за съответствие и ще заменим всяка група с ново число:
Научихме как да изградим таблица за съответствие в стъпка 1.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
Тези.
Пример 6.Нека преобразуваме двоичното число 1100001111010110 в шестнадесетично.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | А |
| 1011 | б |
| 1100 | В |
| 1101 | г |
| 1110 | д |
| 1111 | Е |
5. Преобразуване от система с основата „степен две” (4, 8, 16 и т.н.) в двоична система.
Този превод е подобен на предишния, направен в обратна посока: заместваме всяка цифра с група цифри в двоичната система от таблицата на съответствието.
Пример 7.Нека преобразуваме шестнадесетичното число C3A6 в двоичната бройна система.
За да направите това, заменете всяка цифра от числото с група от 4 цифри (от ) от таблицата за съответствие, като допълните групата с нули в началото, ако е необходимо:
