Trenutno su poznate sljedeće metode organizovanja radio kanala (radio tehnologije): FDMA, TDMA, CDMA, FH-CDMA. Moguće su kombinacije ovih (na primjer, FDMA/TDMA). Vrijeme primjene ovih tehnologija u velikoj mjeri se poklapa sa fazama razvoja mobilnih komunikacionih sistema. Prva generacija mobilne radiotelefonske opreme koristila je tehnologiju višestrukog pristupa s frekvencijskom podjelom (FDMA). FDMA radio tehnologija se do sada uspješno koristila u naprednoj opremi ćelijska komunikacija prve generacije, kao i u jednostavnijim mobilnim radiotelefonskim sistemima sa nećelijskom strukturom. Što se tiče standarda mobilne komunikacije prve faze, za prve radijalne sisteme nije korišten koncept standarda, a oprema se razlikovala prema nazivima sistema (Altai, Volemot, Actionet itd.). Sistemi celularne komunikacije počeli su da se razlikuju u standardima. FDMA tehnologija je osnova za takve standarde prve generacije ćelijskih komunikacionih sistema kao što su NMT-450, NMT-900, AMPS, TACS. Druga generacija ćelijskih mobilnih komunikacionih sistema izvršila je prelazak na digitalnu obradu prenetih glasovnih poruka, koji su počeli da koriste radio tehnologiju višestrukog pristupa sa vremenskom podelom (TDMA). Kao rezultat prelaska na TDMA: povećana je otpornost radio staze na buku, bolja je njegova zaštita od prisluškivanja itd. TDMA se koristi u sistemima sa standardima kao što su GSM, D-AMPS(potonji se u američkoj verziji često naziva jednostavno TDMA). Radio tehnologija višestrukog pristupa s kodnom podjelom CDMA, ili u engleskoj verziji CDMA, aktivno se uvodi u javne radiotelefonske mreže tek u posljednjih pet godina. Ova radio tehnologija ima svoje prednosti, jer u CDMA opremi: - efikasnost korišćenja radiofrekvencijskog spektra je 20 puta veća u odnosu na radio opremu standarda AMPS (FDMA tehnologija) i 3 puta veća u odnosu na GSM (TDMA tehnologija); - znatno bolji kvalitet, pouzdanost i povjerljivost komunikacija nego u drugim TDMA sistemima 2. generacije; - moguće je koristiti male terminale male snage sa dugoročno rad; - na istoj udaljenosti od bazne stanice, snaga zračenja CDMA pretplatničkih terminala manja je više od 5 puta u odnosu na isti pokazatelj u standardnim mrežama zasnovanim na drugim radio tehnologijama; - moguće je optimizirati topologiju mreže prilikom izračunavanja područja pokrivenosti. CDMA tehnologija je prvi put implementirana u ćelijsku opremu standarda IS-95. Po svojim uslužnim mogućnostima, postojeći CDMA sistemi pripadaju drugoj generaciji ćelijskih komunikacionih sistema. Prema statistici Nacionalnog instituta za telekomunikacije (ETRI), broj pretplatnika CDMA mreže svakodnevno raste za 2.000 ljudi. Po stopi rasta broja pretplatnika, ove mreže nadmašuju mreže ostalih postojećih standarda mobilne komunikacije, nadmašujući razvoj celularnih mreža čak i tako popularnog standarda kao što je GSM. Trenutno postoji najmanje 30 miliona pretplatnika u CDMA mrežama. Globalna telekomunikacijska zajednica sklona je vjerovanju da će CDMA zauzeti vodeću poziciju u budućim bežičnim pristupnim sistemima za pretplatničke linije (treća generacija personalnih komunikacionih sistema). Ovaj zaključak je donesen zbog činjenice da je CDMA tehnologija najsposobnija da ispuni zahtjeve za opremu treće generacije IMT-2000, posebno za osiguranje razmjene informacija sa visokim brzinama prijenosa. Međutim, u budućim bežičnim pristupnim sistemima planira se korištenje tzv. širokopojasnih CDMA sistema, gdje će frekvencijski opseg po kanalu biti najmanje 5 MHz (u modernim CDMA sistemima druge generacije opseg po kanalu je 1,23 MHz). U posljednjih nekoliko godina, alati su se počeli pojavljivati bežičnu komunikaciju, koji se zasnivaju na tehnologiji širenja spektra frekvencije sa skakanjem (FH-CDMA). Ova tehnologija kombinuje specifičnosti TDMA, gde je svaka frekvencija podeljena na nekoliko vremenskih slotova, i CDMA, gde svaki odašiljač koristi specifičan niz signala sličnih šumu. Ova tehnologija je našla svoju primenu u sistemima dizajniranim za organizovanje fiksnih komunikacija.

GDJE NAĆI NJIHOVE KARAKTERISTIKE ZNAM

44. Predstavljanje periodičnih signala u obliku Fourierovih redova

http://scask.ru/book_brts.php?id=8

Periodični signali i Fourierovi redovi

Matematički model procesa koji se ponavlja tokom vremena je periodični signal sa sljedećim svojstvom:

Ovdje je T period signala.

Zadatak je pronaći spektralnu dekompoziciju takvog signala.

Fourierova serija.

Postavimo vremenski interval razmatran u pogl. I je ortonormalna baza formirana harmonijskim funkcijama sa više frekvencija;

Svaka funkcija iz ove baze zadovoljava uslov periodičnosti (2.1). Dakle, izvođenjem ortogonalne dekompozicije signala u ovoj bazi, tj. izračunavanjem koeficijenata

dobijamo spektralnu dekompoziciju

važi za beskonačnost vremenske ose.

Niz oblika (2.4) naziva se Fourierov niz datog signala. Hajde da uvedemo osnovnu frekvenciju niza koji formira periodični signal. Izračunavajući koeficijente ekspanzije koristeći formulu (2.3), pišemo Fourierov red za periodični signal

sa kvotama

(2.6)

Dakle, u opštem slučaju, periodični signal sadrži vremenski nezavisnu konstantnu komponentu i beskonačan skup harmonijskih oscilacija, takozvanih harmonika sa frekvencijama koje su višestruke od osnovne frekvencije niza.

Svaki harmonik se može opisati svojom amplitudom i početnom fazom

Zamjenom ovih izraza u (2.5) dobijamo drugi, ekvivalentan oblik Fourierovog reda:

što se ponekad pokaže zgodnijim.

Spektralni dijagram periodičnog signala.

Tako to zovu grafička slika Koeficijenti Fourierovog reda za određeni signal. Postoje amplitudski i fazni spektralni dijagrami (slika 2.1).

Ovdje horizontalna os predstavlja harmonijske frekvencije na određenoj skali, a vertikalna os predstavlja njihove amplitude i početne faze.

Rice. 2.1. Spektralni dijagrami nekog periodičnog signala: a - amplituda; b - faza

Posebno ih zanima dijagram amplitude, koji omogućava da se proceni procenat određenih harmonika u spektru periodičnog signala.

Proučimo nekoliko konkretnih primjera.

Primjer 2.1. Fourierov niz periodičnog niza pravokutnih video impulsa sa poznatim parametrima, čak i u odnosu na tačku t = 0.

U radiotehnici, omjer se naziva radni ciklus sekvence. Koristeći formule (2.6) nalazimo

Pogodno je zapisati konačnu formulu Fourierovog reda u obliku

Na sl. Slika 2.2 prikazuje dijagrame amplitude sekvence koja se razmatra u dva ekstremna slučaja.

Važno je napomenuti da niz kratkih impulsa, koji slijede jedan za drugim prilično rijetko, ima bogat spektralni sastav.

Rice. 2.2. Amplitudni spektar periodične sekvence pravougaonih video impulsa: a - sa velikim radnim ciklusom; b - sa niskim radnim ciklusom

Primjer 2.2. Fourierov niz periodičnog niza impulsa formiranih harmonijskim signalom oblika ograničenog na nivou (pretpostavlja se da je ).

Uvedemo poseban parametar - granični ugao, određen iz relacije gdje

U skladu s tim, vrijednost je jednaka trajanju jednog impulsa, izraženom ugaonom mjerom:

Analitičko snimanje impulsa koji generiše sekvencu koja se razmatra ima oblik

Komponenta stalne sekvence

Faktor amplitude prvog harmonika

Slično, amplitude harmonijskih komponenti su izračunate na

Dobijeni rezultati se obično pišu ovako:

gdje takozvane Bergove funkcije:

Grafovi nekih Bergovih funkcija prikazani su na Sl. 2.3.

Rice. 2.3. Grafovi prvih nekoliko Bergovih funkcija

Spektralna gustina signala. Direktne i inverzne Fourierove transformacije.

Signal je pozvan periodično, ako se njegov oblik ciklički ponavlja u vremenu. Periodični signal u opštem obliku piše se na sledeći način:

Evo perioda signala. Periodični signali mogu biti jednostavni ili složeni.

Za matematički prikaz periodičnih signala s periodom često se koristi ovaj niz u kojem se kao osnovne funkcije biraju harmonijske (sinusne i kosinusne) oscilacije više frekvencija:

Gdje . - glavna ugaona frekvencija niza funkcija. Za harmonijske bazne funkcije iz ovog niza dobijamo Fourierov red, koji se u najjednostavnijem slučaju može napisati u sljedećem obliku:

gdje su koeficijenti

Iz Fourierovog reda jasno je da u opštem slučaju periodični signal sadrži konstantnu komponentu i skup harmonijskih oscilacija osnovne frekvencije i njenih harmonika sa frekvencijama. Svaka harmonijska oscilacija Fourierovog reda karakterizirana je amplitudom i početnom fazom.

Spektralni dijagram i spektar periodičnog signala.

Ako se bilo koji signal predstavi kao zbir harmonijskih oscilacija različitih frekvencija, to znači da spektralna dekompozicija signal.

Spektralni dijagram signal je grafički prikaz koeficijenata Fourierovog reda ovog signala. Postoje dijagrami amplitude i faze. Za konstruiranje ovih dijagrama, vrijednosti harmonijskih frekvencija se crtaju na određenoj skali duž horizontalne osi, a njihove amplitude i faze se crtaju duž vertikalne ose. Štoviše, amplitude harmonika mogu imati samo pozitivne vrijednosti, faze mogu imati i pozitivne i negativne vrijednosti u intervalu.

Spektralni dijagrami periodičnog signala:

a) - amplituda; b) - faza.

Spektar signala- ovo je skup harmonijskih komponenti sa određenim vrijednostima frekvencija, amplituda i početnih faza, koje zajedno tvore signal. U praksi se spektralni dijagrami nazivaju kraće - amplitudnog spektra, fazni spektar. Najveći interes pokazuje dijagram amplitudnog spektra. Može se koristiti za procjenu procenta harmonika u spektru.

Spektralne karakteristike igraju veliku ulogu u telekomunikacijskoj tehnologiji. Poznavajući spektar signala, možete pravilno izračunati i postaviti širinu pojasa pojačala, filtera, kablova i drugih čvorova komunikacijskih kanala. Poznavanje spektra signala je neophodno za izgradnju višekanalnih sistema sa frekvencijskom podelom. Bez poznavanja spektra interferencije, teško je preduzeti mere za njegovo suzbijanje.

Iz ovoga se može zaključiti da spektar mora biti poznat kako bi se preko komunikacijskog kanala obavljao neiskrivljeni prijenos signala, kako bi se osiguralo razdvajanje signala i smanjile smetnje.

Za posmatranje spektra signala postoje uređaji tzv analizatori spektra. Oni vam omogućavaju da posmatrate i merite parametre pojedinih komponenti spektra periodičnog signala, kao i merenje spektralna gustina kontinuirani signal.

Često je matematički opis čak i determinističkih signala koji su jednostavne strukture i oblika težak zadatak. Stoga se koristi originalna tehnika u kojoj se stvarni kompleksni signali zamjenjuju (predstavljaju, aproksimiraju) skupom (ponderiranim sumom, tj. nizom) matematičkih modela opisanih elementarnim funkcijama. Ovo predstavlja važan alat za analizu prolaska električnih signala kroz elektronska kola. Osim toga, reprezentacija signala se može koristiti i kao početna u njegovom opisu i analizi. U ovom slučaju možete značajno pojednostaviti inverzni problem - sinteza složeni signali iz skupa elementarnih funkcija.

Spektralni prikaz periodičnih signala Fourierovim redovima

Generalizirani Fourierov niz.

Osnovna ideja spektralnog prikaza signala (funkcija) datira prije više od 200 godina i pripada fizičaru i matematičaru J. B. Fourieru.

Razmotrimo sisteme elementarnih ortogonalnih funkcija, od kojih je svaka dobijena iz jedne početne - funkcije prototipa. Ova funkcija prototipa djeluje kao "građevinski blok", a željena aproksimacija se pronalazi odgovarajućim kombiniranjem identičnih blokova. Fourier je pokazao da se svaka kompleksna funkcija može predstaviti (aproksimirati) kao konačan ili beskonačan zbir niza višestrukih harmonijskih oscilacija sa određenim amplitudama, frekvencijama i početnim fazama. Ova funkcija može biti, posebno, struja ili napon u kolu. Sunčeva zraka, razložena prizmom u spektar boja, fizički je analog matematičkih Fourierovih transformacija (slika 2.7).

Svjetlost koja izlazi iz prizme razdvaja se u prostoru na pojedinačne čiste boje, odnosno frekvencije. Spektar ima prosječnu amplitudu na svakoj frekvenciji. Dakle, funkcija intenziteta u odnosu na vrijeme transformirana je u funkciju amplitude prema frekvenciji. Jednostavna ilustracija Fourierovog rezonovanja prikazana je na Sl. 2.8. Periodična krivulja prilično složenog oblika (slika 2.8, A) - ovo je zbir dva harmonika različitih ali višestrukih frekvencija: pojedinačni (Sl. 2.8, b) i udvostručen (slika 2.8, V).

Rice. 2.7.

Rice. 2.8.

A- kompleksna oscilacija; b,c- 1. i 2. aproksimacijski signali

Koristeći Fourierovu spektralnu analizu, kompleksna funkcija je predstavljena kao zbir harmonika, od kojih svaki ima svoju frekvenciju, amplitudu i početnu fazu. Fourierova transformacija definira funkcije koje predstavljaju amplitudu i fazu harmonijskih komponenti koje odgovaraju određenoj frekvenciji, a faza je početna točka sinusnog vala.

Transformacija se može dobiti pomoću dvije različite matematičke metode, od kojih se jedna koristi kada originalna funkcija kontinuirano, a drugo kada je dato mnogim pojedinačnim diskretnim vrijednostima.

Ako se proučavana funkcija dobije iz vrijednosti sa određenim diskretnim intervalima, onda se može podijeliti u niz uzastopnih sinusoidnih funkcija s diskretnim frekvencijama - od najniže, osnovne ili glavne frekvencije, a zatim sa frekvencijama udvostručenim, utrostručenim , itd. iznad glavnog. Ovaj zbir komponenti se zove pored Fouriera.

Ortogonalni signali. Na zgodan način Spektralni opis signala prema Fourieru je njegova analitička reprezentacija korištenjem sistema ortogonalnih elementarnih funkcija vremena. Neka postoji Hilbertov prostor signala u0(t)y G/,(?), ..., u n (t) sa konačnom energijom, definisanom u konačnom ili beskonačnom vremenskom intervalu (t v 1 2). Na ovom segmentu ćemo definisati beskonačan sistem (podskup) međusobno povezanih elementarnih funkcija vremena i nazvati ga osnovno".

Gdje g = 1, 2, 3,....

Funkcije u(t) I v(t) su ortogonalne na intervalu (?, ? 2) ako je njihov skalarni proizvod, pod uslovom da nijedna od ovih funkcija nije identično nula.

U matematici je to definirano u Hilbertovom prostoru signala ortogonalna koordinatna baza, tj. sistem ortogonalnih baznih funkcija.

Svojstvo ortogonalnosti funkcija (signala) povezano je sa intervalom njihove definicije (slika 2.9). Na primjer, dva harmonijska signala m,(?) = = sin(2nr/7’ 0) i u.,(t)= sin(4 nt/T Q)(tj. sa frekvencijama / 0 = 1/7’ 0 i 2/ 0, respektivno) su ortogonalni u bilo kojem vremenskom intervalu čije je trajanje jednako cijelom broju poluperioda T 0(Sl. 2.9, A). Dakle, u prvom periodu signali i (1) I u2(t) su ortogonalne na intervalu (0,7" 0 /2); ali na intervalu (O, ZG 0 /4) su neortogonalne. Pa Slika 2.9, b signali su ortogonalni zbog različitog vremena njihovog pojavljivanja.

Rice. 2.9.

A- na intervalu; b - zbog različitog vremena pojavljivanja Prezentacija signala u(t) elementarnih modela značajno se pojednostavljuje ako se odabere sistem baznih funkcija vff), posjedovanje imovine ortonormalnost. Iz matematike je poznato da li je za bilo koji par funkcija iz ortogonalnog sistema (2.7) ispunjen uslov

onda sistem funkcija (2.7) ortonormalno.

U matematici se takav sistem baznih funkcija oblika (2.7) naziva ortonormalna osnova.

Neka u datom vremenskom intervalu |r, t 2| aktivan je proizvoljan signal u(t) a za njegovo predstavljanje koristi se ortonormirani sistem funkcija (2.7). Dizajn proizvoljnog signala u(t) na osi koordinatne osnove se zove proširenje u generalizirani Fourierov niz. Ova ekspanzija ima oblik

gdje su c, neki konstantni koeficijenti.

Za određivanje koeficijenata od do generalizovani Fourierov red, biramo jednu od osnovnih funkcija (2.7) v k (t) s bilo koji broj To. Pomnožimo obje strane ekspanzije (2.9) ovom funkcijom i integrirajmo rezultat tokom vremena:

Zbog ortonormalnosti baze odabranih funkcija, na desnoj strani ove jednakosti svi članovi sume na i ^ To ići će na nulu. Samo jedini član zbira sa brojem će ostati različit od nule i = za, Zbog toga

Proizvod forme c k v k (t), uključeno u generalizovani Fourierov red (2.9), je spektralna komponenta signal u(t), i skup koeficijenata (projekcije vektora signala na koordinatne ose) (s 0 , s,..., od do,..., s„) u potpunosti određuje analizirani signal ii(t) i zove se spektra(od lat. spektra- slika).

Suština spektralna reprezentacija (analiza) signala sastoji se u određivanju koeficijenata sa i u skladu sa formulom (2.19).

Izbor racionalnog ortogonalnog sistema koordinatnih osnova funkcija zavisi od svrhe istraživanja i određen je željom da se maksimalno pojednostavi matematički aparat analize, transformacije i obrade podataka. Polinomi Chebysheva, Hermite, Laguerre, Legendre, itd. trenutno se koriste kao bazne funkcije. Najrasprostranjenija transformacija signala u bazama harmonijskih funkcija: kompleksna eksponencijalna exp (J 2ft) i realne trigonometrijske sinus-kosinusne funkcije povezane Ojlerovom formulom e>x= cosx + y"sinx. Ovo se objašnjava činjenicom da harmonijska oscilacija teoretski u potpunosti zadržava svoj oblik kada prolazi kroz linearna kola sa konstantnim parametrima, a mijenjaju se samo njena amplituda i početna faza. Simbolička metoda, dobro razvijena u teoriji kola, takođe se široko koristi operacija predstavljanja determinističkih signala u obliku skupa konstantnih komponenti (. stalna komponenta) a obično se naziva zbir harmonijskih oscilacija sa više frekvencija spektralna dekompozicija. Prilično rasprostranjena upotreba generaliziranog Fourierovog reda u teoriji signala također je povezana s njegovim vrlo važnim svojstvom: s odabranim ortonormalnim sistemom funkcija vk(t) i fiksni broj članova u seriji (2.9), pruža najbolju reprezentaciju datog signala u(t). Ovo svojstvo Fourierovog reda je nadaleko poznato.

U spektralnom predstavljanju signala, ortonormirane baze se najčešće koriste. trigonometrijske funkcije. To je zbog sljedećeg: harmonijske oscilacije se najlakše generiraju; harmonijski signali su invarijantni u odnosu na transformacije koje izvode stacionarna linearna električna kola.

Procijenimo vremenske i spektralne reprezentacije analogni signal(Sl. 2.10). Na sl. 2.10, A prikazuje vremenski dijagram složenog kontinuiranog signala, a Sl. 2.10, b - njegovu spektralnu dekompoziciju.

Razmotrimo spektralni prikaz periodičnih signala kao zbir ili harmonijskih funkcija ili kompleksnih eksponencijala sa frekvencijama koje formiraju aritmetičku progresiju.

Periodično oni signal nazivaju u„(?). ponavljanje u pravilnim intervalima (slika 2.11):

gdje je G period ponavljanja ili ponavljanja impulsa; n = 0,1, 2,....

Rice. 2.11. Periodični signal

Ako T je period signala u(t), tada će i periodi biti višestruki od toga: 2G, 3 T itd. Periodični niz impulsa (tzv video impulsi) je opisan izrazom

Rice. 2.10.

A- vremenski dijagram; b- amplitudski spektar

Evo uQ(t)- oblik jednog impulsa, karakteriziran amplitudom (visinom) h = E, trajanje t„, period praćenja T= 1/F(F - frekvencija), položaj impulsa u vremenu u odnosu na tačke sata, na primjer t = 0.

Za spektralnu analizu periodičnih signala pogodan je ortogonalni sistem (2.7) u obliku harmonijskih funkcija sa više frekvencija:

gdje je co, = 2p/T- brzina ponavljanja pulsa.

Izračunavanjem integrala pomoću formule (2.8) lako je provjeriti ortogonalnost ovih funkcija na intervalu [-G/2, G/2|. Bilo koja funkcija zadovoljava uslov periodičnosti (2.11), pošto su njihove frekvencije višestruke. Ako je sistem (2.12) zapisan kao

tada dobijamo ortonormalnu osnovu harmonijskih funkcija.

Zamislimo periodični signal, najčešći u teoriji signala trigonometrijski(sinus-kosinus) oblik Fourierov niz:

Iz predmeta matematike je poznato da ekspanzija (2.11) postoji, tj. niz konvergira ako funkcija (u ovom slučaju signal) u(t) na intervalu [-7/2, 7/2] zadovoljava Dirichletovi uslovi(za razliku od Dirichletove teoreme, oni se često tumače na pojednostavljen način):

• ne bi trebalo biti diskontinuiteta 2. vrste (sa granama koje idu u beskonačnost);
• funkcija je ograničena i ima konačan broj diskontinuiteta 1. vrste (skokova);
• funkcija ima konačan broj ekstrema (tj. maksimuma i minimuma).

Formula (2.13) sadrži sljedeće komponente analiziranog signala:

Konstantna komponenta

Amplitude kosinusnih komponenti

Amplitude sinusoidnih komponenti

Spektralna komponenta sa frekvencijom co, u teoriji komunikacija naziva se prvo (osnovni) harmonic i komponente sa ISO frekvencijama, (n> 1) - viši harmonici periodični signal. Korak frekvencije Aco između dvije susjedne sinusoide iz Fourierove ekspanzije naziva se frekvencijska rezolucija spektra

Ako je signal parna funkcija vremena u(t) = u(-t), tada u trigonometrijskom prikazu Fourierovog reda (2.13) nema sinusnih koeficijenata b n, pošto u skladu sa formulom (2.16) nestaju. Za signal u(t), opisano neparnom funkcijom vremena, naprotiv, prema formuli (2.15), kosinusni koeficijenti su jednaki nuli a p(konstantna komponenta a 0 takođe nema), a serija sadrži komponente b str.

Granice integracije (od -7/2 do 7/2) ne moraju biti iste kao u formulama (2.14)-(2.16). Integracija se može izvršiti u bilo kojem vremenskom intervalu širine 7 - rezultat se neće promijeniti. Specifična ograničenja su odabrana iz razloga računske pogodnosti; na primjer, može biti lakše integrirati od O do 7 ili od -7 do 0, itd.

Grana matematike koja uspostavlja odnos između funkcije vremena u(t) i spektralni koeficijenti a p, b p, pozvao harmonska analiza zbog povezivanja funkcije u(t) sa sinusnim i kosinusnim članovima ove sume. Nadalje, spektralna analiza je uglavnom ograničena na okvir harmonijske analize, koja nalazi isključivu primjenu.

Često korištenje sinus-kosinusnog oblika Fourierovog reda nije sasvim zgodno, jer za svaku vrijednost indeksa sumiranja P(tj. za svaki harmonik frekvencije mOj) u formuli (2.13) pojavljuju se dva člana - kosinus i sinus. Sa matematičke tačke gledišta, zgodnije je ovu formulu predstaviti ekvivalentnim Fourierovim redom u pravi oblik/.

Gdje A 0 = a 0 / 2; A n = yja 2 n + b - amplituda; n-ti harmonici signal. Ponekad se u odnosu (2.17) ispred cp L stavlja znak „plus“, tada se početna faza harmonika zapisuje kao cp u = -arctg ( b n fa n).

U teoriji signala, složeni oblik Fourierovog niza se široko koristi. Dobiva se iz realnog oblika niza predstavljanjem kosinusa kao poluzbirom kompleksnih eksponencijala koristeći Ojlerovu formulu:

Prijavom ovu transformaciju realnom obliku Fourierovog reda (2.17), dobijamo zbrojeve kompleksnih eksponencijala sa pozitivnim i negativnim eksponentima:

A sada ćemo u formuli (2.19) interpretirati eksponente na frekvenciji s, sa predznakom minus u eksponentu, kao članove niza sa negativnim brojevima. U okviru istog pristupa, koeficijent A 0će postati član serije sa brojem nula. Nakon jednostavnih transformacija dolazimo do toga složen oblik Fourierova serija

Kompleksna amplituda P th harmonike.

Vrijednosti S p pozitivnim i negativnim brojevima P su kompleksno konjugirani.

Imajte na umu da je Fourierov red (2.20) ansambl kompleksnih eksponencijala exp(jn(o (t) sa frekvencijama koje formiraju aritmetičku progresiju.

Odredimo vezu između koeficijenata trigonometrijskog i kompleksnog oblika Fourierovog reda. Očigledno je da

Takođe se može pokazati da su koef a p= 2C w coscp„; b n = 2C/I sincp, f .

Ako u(t) je parna funkcija, koeficijenti serije C će biti pravi, i ako u(t) - funkcija je neparna, koeficijenti serije će postati imaginarni.

Spektralni prikaz periodičnog signala složenim oblikom Fourierovog reda (2.20) sadrži i pozitivne i negativne frekvencije. Ali negativne frekvencije ne postoje u prirodi, i to je matematička apstrakcija (fizičko značenje negativne frekvencije je rotacija u smjeru suprotnom od onog koji se smatra pozitivnim). Pojavljuju se kao posljedica formalnog predstavljanja harmonijskih vibracija u složenom obliku. Prilikom prelaska sa složenog oblika zapisa (2.20) na realni oblik (2.17), negativna frekvencija nestaje.

Spektar signala se vizuelno prosuđuje na osnovu njegovog grafičkog prikaza – spektralnog dijagrama (slika 2.12). Razlikovati amplituda-frekvencija I fazno-frekvencijski spektri. Skup harmonijskih amplituda A str(Sl. 2.12, A) pozvao amplitudnog spektra, njihove faze (slika 2.12, b) sri I - fazni spektar. Totalnost S p = |S p je kompleksni amplitudski spektar(Sl. 2.12, V). Na spektralnim dijagramima, ose apscise pokazuju trenutnu frekvenciju, a ordinatne ose ili realnu ili kompleksnu amplitudu ili fazu odgovarajućih harmonijskih komponenti analiziranog signala.

Rice. 2.12.

A - amplituda; b - faza; V - amplitudski spektar kompleksnog Fourierovog reda

Spektar periodičnog signala se naziva vladao ili diskretno, budući da se sastoji od pojedinačnih linija čija je visina jednaka amplitudi A str harmonike Od svih vrsta spektra, amplitudski spektri su najinformativniji, jer omogućavaju procjenu kvantitativnog sadržaja određenih harmonika u frekventnom sastavu signala. U teoriji signala je dokazano da je amplitudski spektar funkcija ravnomjerne frekvencije, i faza - odd.

Bilješka ekvidistanca(ekvidistanca od početka koordinata) kompleksnog spektra periodičnih signala: simetrične (pozitivne i negativne) frekvencije na kojima se nalaze spektralni koeficijenti trigonometrijskog Fourierovog reda čine ekvidistantni niz (..., -zho v..., -2so p -so p 0, v 2so, ..., ncov...), koji sadrži frekvenciju co = 0 i ima korak co t = 2l/7’. Koeficijenti mogu imati bilo koju vrijednost.

Primjer 2.1

Izračunajmo amplitudni i fazni spektar periodičnog niza pravokutnih impulsa sa amplitudom?, trajanjem m i periodom ponavljanja T. Signal je parna funkcija (slika 2.13).

Rice. 2.13.

Rješenje

Poznato je da se idealni pravougaoni video puls opisuje sljedećom jednadžbom:

one. formira se kao razlika dvije jedinične funkcije a(?) (inkluzivne funkcije), pomjerene u vremenu za tn.

Niz pravokutnih impulsa je poznati zbir pojedinačnih impulsa:

Pošto je dati signal parna funkcija vremena i tokom jednog perioda djeluje samo na interval [t i /2, t i /2], onda prema formuli (2.14)

Gdje q = T/ T".

Analizirajući rezultirajuću formulu, možete vidjeti da su period ponavljanja i trajanje impulsa uključeni u nju u obliku omjera. Ova opcija q- naziva se odnos perioda i trajanja impulsa krug duznosti periodični slijed impulsa (u stranoj literaturi umjesto radnog ciklusa koristi se inverzna vrijednost - krug duznosti, sa engleskog, krug duznosti, jednako m i /7); at q = 2 niz pravougaonih impulsa, kada trajanje impulsa i intervali između njih postanu jednaki, naziva se meandar(od grčkog paiav5poq - uzorak, geometrijski ornament).

Zbog parnosti funkcije koja opisuje analizirani signal, u Fourierovom nizu, uz konstantnu komponentu, bit će prisutne samo kosinusne komponente (2.15):

Na desnoj strani formule (2.22), drugi faktor ima oblik elementarne funkcije (sinx)/x. U matematici, ova funkcija se označava kao sinc(x), i to samo za vrijednost X= 0 jednako je jedan (lim (sinx/x) =1), prolazi

kroz nulu u tačkama x = ±l, ±2l,... i opada sa povećanjem argumenta x (slika 2.14). Konačno, trigonometrijski Fourierov red (2.13), koji aproksimira dati signal, zapisuje se u obliku

Rice. 2.14. Grafikon funkcije sinx/x

Funkcija sinusa ima karakter latice. Govoreći o širini režnjeva, treba naglasiti da su za grafove diskretnih spektra periodičnih signala moguće dvije opcije za kalibraciju horizontalne ose - u harmonijskim brojevima i frekvencijama. Na primjer, na sl. 2.14 Osa ordinata je kalibrirana tako da odgovara frekvencijama. Širina režnjeva, mjerena brojem harmonika, jednaka je radnom ciklusu niza. Ovo implicira važno svojstvo spektra niza pravougaonih impulsa - ne sadrži (imaju nulte amplitude) harmonike sa brojevima koji su višekratnici radnog ciklusa. Sa radnim ciklusom pulsa od tri, svaki treći harmonik nestaje. Kada bi radni ciklus bio jednak dva, tada bi u spektru ostali samo neparni harmonici osnovne frekvencije.

Iz formule (2.22) i sl. 2.14 slijedi da koeficijenti većeg broja viših harmonika signala imaju negativan predznak. To je zbog činjenice da je početna faza ovih harmonika jednaka P. Stoga se formula (2.22) obično predstavlja u modificiranom obliku:

Sa ovim snimanjem Fourierovog niza, amplitudske vrijednosti svih viših harmonijskih komponenti na dijagramu spektralnog dijagrama su pozitivne (slika 2.15, A).

Amplitudni spektar signala u velikoj mjeri zavisi od omjera perioda ponavljanja T i trajanje impulsa t i, tj. iz radnog ciklusa q. Frekvencijska udaljenost između susjednih harmonika jednaka je frekvenciji ponavljanja impulsa sa 1 = 2l/T. Širina režnjeva spektra, mjerena u frekvencijskim jedinicama, jednaka je 2π/tn, tj. je obrnuto proporcionalna trajanju impulsa. Imajte na umu da za isto trajanje impulsa m i sa povećanjem ne-

Rice. 2.15.

A- amplituda;b- faza

period njihovog ponavljanja T osnovna frekvencija co se smanjuje i spektar postaje gušći.

Ista slika se opaža ako se trajanje impulsa t skrati, a period ostane nepromijenjen T. Amplitude svih harmonika se smanjuju. Ovo je manifestacija opšteg zakona (princip nesigurnosti W. Heisenberga - princip nesigurnosti)’,Što je kraće trajanje signala, širi je njegov spektar.

Faze komponenti određuju se iz formule cp = arctg (bn/an). Pošto ovde koeficijenti b„= 0, onda

Gdje m = 0, 1, 2,....

Relacija (2.24) pokazuje da pri izračunavanju faza spektralnih komponenti imamo posla sa matematičkom nesigurnošću. Da bismo to otkrili, okrenimo se formuli (2.22), prema kojoj amplitude harmonika periodično mijenjaju predznak u skladu sa promjenom predznaka funkcije sin(nco 1 x 1I /2). Promjena predznaka u formuli (2.22) je ekvivalentna pomicanju faze ove funkcije za P. Stoga, kada ovu funkciju pozitivna, harmonična faza (p u = 2 tp, a kada je negativan - = (2t + 1 )To(Sl. 2.15, b). Imajte na umu da iako se amplitude komponenti u spektru pravokutnih impulsa smanjuju sa povećanjem frekvencije (vidi sliku 2.15, A), ovo raspadanje je prilično sporo (amplitude se smanjuju obrnuto proporcionalno frekvenciji). Za prijenos takvih impulsa bez izobličenja potreban je beskonačan frekventni opseg komunikacijskog kanala. Za relativno suptilna izobličenja, granična vrijednost frekvencijskog pojasa bi trebala biti mnogo puta veća od inverzne vrijednosti trajanja impulsa. Međutim, svi stvarni kanali imaju konačan propusni opseg, što dovodi do izobličenja u obliku odašiljanih impulsa.

Fourierovi nizovi proizvoljnih periodičnih signala mogu sadržavati beskonačno veliki broj pojmova. Prilikom izračunavanja spektra takvih signala, izračunavanje beskonačne sume Fourierovog reda izaziva određene poteškoće i nije uvijek potrebno, stoga smo ograničeni na zbrajanje konačnog broja članova (serija je „skraćena“).

Preciznost aproksimacije signala zavisi od broja zbrojenih komponenti. Razmotrimo ovo na primjeru aproksimacije zbirom prvih osam harmonika niza pravokutnih impulsa (slika 2.16). Signal ima oblik unipolarnog meandra sa periodom ponavljanja To amplituda E= 1 i trajanje impulsa t i = T/2 (specificirani signal - parna funkcija - sl. 2.16, A; krug duznosti q= 2). Aproksimacija je prikazana na sl. 2.16, b, a grafikoni pokazuju broj zbrojenih harmonika. U tekućoj aproksimaciji datog periodičnog signala (vidi sliku 2.13) trigonometrijskim nizom (2.13), sumiranje prvog i višeg harmonika će se vršiti samo preko neparnih koeficijenata Pu jer ako su njihove vrijednosti i trajanje impulsa parni, m i = T/2 = = tm/co, vrijednost sin(mo,T H /2) = sin(wt/2) postaje nula.

Trigonometrijski oblik Fourierovog reda (2.23) za dati signal ima oblik

Rice. 2.16.

A - dati signal; 6 - međufaze sumiranja

Radi lakšeg prikaza, Fourierov red (2.25) može se napisati pojednostavljeno:

Iz formule (2.26) je očigledno da su harmonici koji aproksimiraju meandar neparni, imaju naizmjenične predznake, a njihove amplitude su obrnuto proporcionalne brojevima. Imajte na umu da je niz pravougaonih impulsa slabo prikladan za predstavljanje Fourierovim redom - aproksimacija sadrži talase i skokove, a zbir bilo kojeg broja harmonijskih komponenti sa bilo kojim amplitudama uvijek će biti kontinuirana funkcija. Stoga je ponašanje Furijeovog reda u blizini diskontinuiteta od posebnog interesa. Iz grafikona na sl. 2.16, b lako je vidjeti kako se, s povećanjem broja zbrojenih harmonika, rezultujuća funkcija sve više približava obliku originalnog signala u(t) svuda osim tačaka njegovog prekida. U blizini tačaka diskontinuiteta, sumiranje Fourierovog reda daje nagib, a nagib rezultujuće funkcije raste sa brojem sabranih harmonika. Na samoj tački diskontinuiteta (označimo to kao t = t 0) Fourierova serija u(t 0) konvergira do polovine zbira desne i lijeve granice:

U odsjecima aproksimirane krive uz diskontinuitet, zbir serije daje primjetne pulsacije, a na Sl. 2.16 jasno je da se amplituda glavnog talasa ovih pulsacija ne smanjuje sa povećanjem broja zbrojenih harmonika - ona se samo sabija horizontalno, približavajući se tački prekida.

At P-? na tačkama prekida amplituda izbacivanja ostaje konstantna,

a njegova širina će biti beskonačno uska. I relativna amplituda pulsiranja (u odnosu na amplitudu skoka) i relativno slabljenje se ne mijenjaju; Mijenja se samo frekvencija pulsiranja, koja je određena frekvencijom posljednjih zbrojenih harmonika. To je zbog konvergencije Fourierovog reda. Uzmimo klasičan primjer: hoćete li ikada doći do zida ako svakim korakom prijeđete pola preostale udaljenosti? Prvi korak će dovesti do polovine puta, drugi će dovesti do oznake tri četvrtine, a nakon petog koraka ćete preći skoro 97% puta. Skoro ste stigli, ali bez obzira koliko koraka naprijed napravite, nikada ga nećete dostići u strogom matematičkom smislu. Možete samo matematički dokazati da ćete na kraju moći prići bilo kojoj udaljenosti, ma koliko mala. Ovaj dokaz bi bio ekvivalentan dokazivanju da je zbir brojeva 1/2,1/4,1/8,1/16, itd. teži jedinstvu. Ovaj fenomen, svojstven svim Fourierovim redovima za signale s diskontinuitetima 1. vrste (na primjer, skokovi, kao na frontovima pravokutnih impulsa), naziva se Gibbsov efekat*. U ovom slučaju, vrijednost prvog (najvećeg) skoka amplitude u aproksimiranoj krivulji je oko 9% nivoa skoka (vidi sliku 2.16, P = 4).

Gibbsov efekat dovodi do neotklonjive greške u aproksimaciji periodičnih impulsnih signala sa diskontinuitetima 1. vrste. Efekt se javlja kada dođe do oštrog kršenja monotonije funkcija. Na konjskim trkama učinak je maksimalan u svim ostalim slučajevima, amplituda pulsiranja ovisi o prirodi narušavanja monotonije. Za brojne praktične primjene, Gibbsov efekat uzrokuje određene probleme. Na primjer, u sistemima za reprodukciju zvuka ovaj fenomen se naziva "zvonjenje" ili "treptanje". Štaviše, svaki oštar suglasnik ili drugi iznenadni zvuk može biti praćen kratkim zvukom koji je neprijatan za uho.

Fourierov red se može primijeniti ne samo na periodične signale, već i na signale konačnog trajanja. U ovom slučaju je određeno vrijeme

krajnji interval za koji je konstruisan Fourierov red, au drugim vremenima signal se smatra jednakim nuli. Za izračunavanje koeficijenata serije ovaj pristup znači periodični nastavak signal izvan razmatranog intervala.

Imajte na umu da priroda (na primjer, ljudski sluh) koristi princip harmonijske analize signala. Osoba izvodi virtuelnu Fourierovu transformaciju kad god čuje zvuk: uho to automatski izvodi, predstavljajući zvuk kao spektar uzastopnih vrijednosti glasnoće za tonove različite visine. Ljudski mozak pretvara ove informacije u percipirani zvuk.

Harmonijska sinteza. U teoriji signala, uz harmonijsku analizu signala, oni se široko koriste harmonska sinteza- dobijanje specificiranih oscilacija složenog oblika zbrajanjem više harmonijskih komponenti njihovog spektra. U suštini, sinteza periodičnog niza pravougaonih impulsa zbirom broja harmonika je izvršena gore. U praksi se ove operacije izvode na računaru, kao što je prikazano na sl. 2.16, b.

• Jean Baptiste Joseph Fourier (J.B.J. Fourier; 1768-1830) - francuski matematičar i fizičar.
• Josiah Gibbs (J. Gibbs, 1839-1903) - američki fizičar i matematičar, jedan od osnivača hemijske termodinamike i statističke fizike.

Oblici snimanja Fourierove serije. Signal je pozvan periodično, ako se njegov oblik ciklički ponavlja u vremenu Periodični signal u(t) generalno piše ovako:

u(t)=u(t+mT), m=0, ±1,±2,…

Ovdje je T-period signala. Periodični signali mogu biti jednostavni ili složeni.

Za matematički prikaz periodičnih signala s tačkom TČesto se koristi serija (2.2) u kojoj se kao osnovne funkcije biraju harmonijske (sinusne i kosinusne) oscilacije više frekvencija

y 0 (t)=1; y 1 (t)=sinw 1 t; y 2 (t)=cosw 1 t;

y 3 (t)=sin2w 1 t; y 4 (t)=cos2w 1 t; ..., (2.3)

gdje je w 1 =2p/T glavna ugaona frekvencija niza

funkcije. Za harmonijske bazne funkcije, iz reda (2.2) dobijamo Fourierov red (Jean Fourier - francuski matematičar i fizičar 19. veka).

Harmonične funkcije oblika (2.3) u Fourierovom redu imaju sljedeće prednosti: 1) jednostavan matematički opis; 2) invarijantnost na linearne transformacije, tj. ako postoji harmonijska oscilacija na ulazu linearnog kola, onda će na njegovom izlazu biti i harmonijska oscilacija, koja se od ulaza razlikuje samo po amplitudi i početnoj fazi; 3) kao i signal, harmonijske funkcije su periodične i imaju beskonačno trajanje; 4) tehnika za generisanje harmonijskih funkcija je prilično jednostavna.

Iz kursa matematike je poznato da da bi se periodični signal proširio u niz harmonijskih funkcija (2.3), moraju biti ispunjeni Dirichletovi uslovi. Ali svi realni periodični signali zadovoljavaju ove uslove i mogu se predstaviti u obliku Fourierovog niza, koji se može napisati u jednom od sledećih oblika:

u(t)=A 0 /2+ (A’ mn cosnw 1 t+A” mn nw 1 t), (2.4)

gdje su koeficijenti

A mn ”= (2.5)

u(t)=A 0 /2+ (2.6)

A mn = (2.7)

ili u složenom obliku

u(t)= (2.8)

Cn= (2.9)

Iz (2.4) - (2.9) proizilazi da u opštem slučaju periodični signal u(t) sadrži konstantnu komponentu A 0 /2 i skup harmonijskih oscilacija osnovne frekvencije w 1 =2pf 1 i njenih harmonika sa frekvencije w n =nw 1, n=2 ,3,4,… Svaki od harmonika

Oscilacije Fourierovog reda karakteriziraju amplituda i početna faza y n .nn

Spektralni dijagram i spektar periodičnog signala. Ako se bilo koji signal predstavi kao zbir harmonijskih oscilacija različitih frekvencija, onda se kaže da spektralna dekompozicija signal.

Spektralni dijagram signal se obično naziva grafički prikaz koeficijenata Fourierove serije ovog signala. Postoje dijagrami amplitude i faze. Na sl. 2.6, na određenoj skali, vrijednosti harmonijskih frekvencija su iscrtane duž horizontalne ose, a njihove amplitude A mn i faze y n duž vertikalne ose. Štaviše, harmonijske amplitude mogu imati samo pozitivne vrijednosti, faze mogu imati i pozitivne i negativne vrijednosti u intervalu -p£y n £p

Spektar signala- ovo je skup harmonijskih komponenti sa određenim vrijednostima frekvencija, amplituda i početnih faza, koje zajedno tvore signal. IN tehničke primjene u praksi se spektralni dijagrami nazivaju kraće - amplitudski spektar, fazni spektar. Najčešće ljude zanima dijagram amplitudnog spektra. Može se koristiti za procjenu procenta harmonika u spektru.

Primjer 2.3. Proširite periodični niz pravokutnih video impulsa u Fourierov niz With poznatim parametrima (U m , T, t z),čak i "U odnosu na tačku t=0. Konstruisati spektralni dijagram amplituda i faza na U m =2B, T=20ms, S=T/t i =2 i 8.

Dati periodični signal u intervalu od jednog perioda može se zapisati kao

Da bismo predstavili ovaj signal, koristićemo formu Fourierovog reda V oblik (2.4). Pošto je signal paran, u ekspanziji će ostati samo kosinusne komponente.

Rice. 2.6. Spektralni dijagrami periodičnog signala:

a - amplituda; b- faza

Integral neparne funkcije tokom perioda jednak je nuli. Koristeći formule (2.5) nalazimo koeficijente

što nam omogućava da napišemo Fourierov niz:

Za konstruiranje spektralnih dijagrama za specifične numeričke podatke postavljamo i=0, 1, 2, 3, ... i izračunavamo koeficijente harmonika. Rezultati izračunavanja prvih osam komponenti spektra sumirani su u tabeli. 2.1. U nizu (2.4) A" mn =0 a prema (2.7) A mn =|A' mn |, glavna frekvencija f 1 =1/T= 1/20-10 -3 =50 Hz, w 1 =2pf 1 =2p*50=314 rad/s . Amplitudni spektar na sl.

2.7 je napravljen za ove n, na kojoj I mn više od 5% maksimalne vrijednosti.

Iz datog primjera 2.3 proizilazi da se sa povećanjem radnog ciklusa povećava broj spektralnih komponenti, a njihove amplitude smanjuju. Za takav signal se kaže da ima bogat spektar. Treba napomenuti da za mnoge praktično korišćene signale nema potrebe za izračunavanjem amplituda i faza harmonika koristeći prethodno date formule.

Tabela 2.1. Amplitude komponenti Fourierovog reda periodičnog niza pravokutnih impulsa

Rice. 2.7. Spektralni dijagrami periodične sekvence impulsa: A- sa radnim ciklusom S-2; - b-sa radnim ciklusom S=8

U matematičkim referencama postoje tabele proširenja signala u Fourierov niz. Jedna od ovih tabela data je u Dodatku (Tabela A.2).

Često se postavlja pitanje: koliko spektralnih komponenti (harmonika) treba uzeti da bi se predstavljao pravi signal u Fourierovom nizu? Uostalom, serija je, strogo govoreći, beskonačna. Ovdje se ne može dati definitivan odgovor. Sve ovisi o obliku signala i točnosti njegove reprezentacije Fourierovim redom. Lakša promjena signala - potrebno je manje harmonika. Ako signal ima skokove (diskontinuitete), onda je potrebno zbrojiti veći broj harmonike kako bi se postigla ista greška. Međutim, u mnogim slučajevima, na primjer u telegrafiji, vjeruje se da su tri harmonika dovoljna za prijenos pravokutnih impulsa sa strmim frontovima.

U prošlom vijeku Ivan Bernuli, Leonard Ojler, a potom i Žan-Baptist Furije su prvi koristili predstavljanje periodičnih funkcija trigonometrijskim redovima. Ovaj prikaz se dovoljno detaljno proučava u drugim predmetima, tako da se prisjećamo samo osnovnih odnosa i definicija.

Kao što je gore navedeno, bilo koja periodična funkcija u(t) , za koje vrijedi jednakost u(t)=u(t+T) , Gdje T=1/F=2p/W , može se predstaviti u Fourierovom nizu:

Svaki član ove serije može se proširiti pomoću kosinus formule za razliku dva ugla i predstaviti kao dva člana:

,

gdje: A n =C n cosφ n , B n =C n sinφ n , Dakle , A

Odds A n I U n određuju se Eulerovim formulama:

;
.

At n=0 :

A B 0 =0.

Odds A n I U n , su prosječne vrijednosti proizvoda funkcije u(t) i harmonijske vibracije sa frekvencijom nw u intervalu trajanja T . Već znamo (odjeljak 2.5) da su to međukorelacijske funkcije koje određuju stepen njihove povezanosti. Dakle, koeficijenti A n I Bn pokažite nam "koliko" sinusnih ili kosinusnih valova sa frekvencijom nW sadržane u ovoj funkciji u(t) , proširivo u Fourierovom nizu.

Tako možemo predstaviti periodičnu funkciju u(t) kao zbir harmonijskih oscilacija, gdje su brojevi Cn su amplitude i brojevi φn - u fazama. Obično u književnosti naziva se amplitudnim spektrom, i - spektar faza. Često se razmatra samo amplitudski spektar, koji je prikazan kao linije koje se nalaze u tačkama nW na osi frekvencije i ima visinu koja odgovara broju Cn . Međutim, treba imati na umu da kako bi se dobila jedna-na-jedan korespondencija između vremenske funkcije u(t) a njegov spektar mora koristiti i amplitudski i fazni spektar. To se vidi iz ovoga jednostavan primjer. Signali će imati isti spektar amplitude, ali u potpunosti drugačiji tip privremene funkcije.

Ne samo da periodična funkcija može imati diskretni spektar. Na primjer, signal: nije periodičan, već ima diskretni spektar koji se sastoji od dvije spektralne linije. Takođe, signal koji se sastoji od niza radio impulsa (impulsa sa visokofrekventnim punjenjem), za koji je period ponavljanja konstantan, ali početna faza visokofrekventnog punjenja varira od impulsa do impulsa prema nekom zakonu, neće biti striktno periodični. Takvi signali se nazivaju gotovo periodični. Kao što ćemo kasnije vidjeti, oni također imaju diskretni spektar. Proučavat ćemo fizičku prirodu spektra takvih signala na isti način kao i periodičnih.