2.3. Pretvaranje brojeva iz jednog brojevnog sistema u drugi
2.3.1. Pretvaranje cijelih brojeva iz jednog brojevnog sistema u drugi
Moguće je formulisati algoritam za pretvaranje celih brojeva iz radix sistema str u sistem sa bazom q :
1. Baza novi sistem Brojevi se izražavaju brojevima iz originalnog brojevnog sistema i sve naredne radnje se izvode u izvornom brojevnom sistemu.
2. Dosljedno dijelimo dati broj i rezultirajuće cjelobrojne količnike sa osnovom novog brojevnog sistema dok ne dobijemo količnik koji je manji od djelitelja.
3. Rezultirajući ostaci, koji su cifre broja u novom brojevnom sistemu, dovode se u saglasnost sa abecedom novog brojevnog sistema.
4. Sastavite broj u novom brojevnom sistemu, zapišite ga počevši od posljednjeg ostatka.
Primjer 2.12. Prevedi decimalni broj 173 10 u oktalnom brojevnom sistemu:
Dobijamo: 173 10 =255 8
Primjer 2.13. Pretvorite decimalni broj 173 10 u heksadecimalni brojni sistem:
Dobijamo: 173 10 = AD 16.
Primjer 2.14. Pretvorite decimalni broj 11 10 u binarni brojevni sistem. Pogodnije je prikazati redoslijed radnji o kojima se raspravljalo gore (algoritam prevođenja) na sljedeći način:
Dobijamo: 11 10 =1011 2.
Primjer 2.15. Ponekad je zgodnije zapisati algoritam prevođenja u obliku tabele. Pretvorimo decimalni broj 363 10 u binarni broj.
|
Razdjelnik |
|||||||||
Dobijamo: 363 10 =101101011 2
2.3.2. Pretvaranje razlomaka iz jednog brojevnog sistema u drugi
Moguće je formulisati algoritam za pretvaranje pravilnog razlomka sa bazom str u razlomak sa bazom q:
1. Osnovu novog brojevnog sistema izraziti brojevima iz originalnog brojevnog sistema i izvršiti sve naredne radnje u originalnom brojevnom sistemu.
2. Konzistentno množite date brojeve i rezultujuće razlomke proizvoda sa osnovom novog sistema sve dok razlomak proizvoda ne postane jednak nuli ili dok se ne postigne potrebna tačnost predstavljanja brojeva.
3. Rezultirajuće cjelobrojne dijelove proizvoda, koji su cifre broja u novom brojevnom sistemu, treba uskladiti sa alfabetom novog brojevnog sistema.
4. Sastavite razlomak broja u novom brojevnom sistemu, počevši od celobrojnog dela prvog proizvoda.
Primjer 2.17. Pretvorite broj 0,65625 10 u oktalni brojevni sistem.
Dobijamo: 0,65625 10 =0,52 8
Primjer 2.17. Pretvorite broj 0,65625 10 u heksadecimalni brojni sistem.
|
x 16 |
|
Dobijamo: 0,65625 10 =0,A8 1
Primjer 2.18. Pretvorite decimalni razlomak 0,5625 10 u binarni brojevni sistem.
|
x 2 |
|
|
x 2 |
|
|
x 2 |
|
|
x 2 |
|
Dobijamo: 0,5625 10 =0,1001 2
Primjer 2.19. Pretvorite decimalni razlomak 0,7 10 u binarni brojevni sistem.
Očigledno, ovaj proces se može nastaviti u nedogled, dajući sve više i više novih znakova u slici binarnog ekvivalenta broja 0,7 10. Dakle, u četiri koraka dobijamo broj 0,1011 2, au sedam koraka broj 0,1011001 2, što je tačniji prikaz broja 0,7 10 u binarnoj sistem brojeva, i itd. Takav beskonačan proces se završava u određenom koraku, kada se smatra da je postignuta potrebna tačnost predstavljanja brojeva.
2.3.3. Prevođenje proizvoljnih brojeva
Prevođenje proizvoljnih brojeva, tj. brojevi koji sadrže cijeli broj i razlomački dio izvode se u dvije faze. U konačnom zapisu rezultirajućeg broja, cijeli broj se odvaja zarezom (tačkom).
Primjer 2.20. Pretvorite broj 17,25 10 u binarni brojevni sistem.
Dobijamo: 17,25 10 =1001,01 2
Primjer 2.21. Pretvorite broj 124,25 10 u oktalni sistem.
Dobijamo: 124,25 10 =174,2 8
2.3.4. Pretvaranje brojeva iz baze 2 u bazu 2 n i obrnuto
Prijevod cijelih brojeva. Ako je osnova q-arnog brojevnog sistema stepen od 2, tada se konverzija brojeva iz q-arnog brojevnog sistema u 2-arni brojevni sistem i nazad može izvesti pomoću više jednostavna pravila. Da biste u brojevnom sistemu sa osnovom q=2 n zapisali cjelobrojni binarni broj, potrebno je:
1. Podijelite binarni broj s desna na lijevo u grupe od po n cifara.
2. Ako posljednja lijeva grupa ima manje od n cifara, onda se na lijevoj strani mora dopuniti nulama na traženi broj cifara.
Primjer 2.22. Broj 101100001000110010 2 će biti pretvoren u oktalni brojevni sistem.
Broj dijelimo s desna na lijevo na trozvuke i ispod svake od njih upisujemo odgovarajuću oktalnu cifru:
Dobijamo oktalni prikaz originalnog broja: 541062 8 .
Primjer 2.23. Broj 1000000000111110000111 2 će biti pretvoren u heksadecimalni brojni sistem.
Broj dijelimo s desna na lijevo na tetrade i ispod svake od njih upisujemo odgovarajuću heksadecimalnu cifru:
Dobijamo heksadecimalni prikaz originalnog broja: 200F87 16.
Pretvaranje razlomaka. Da biste zapisali razlomački binarni broj u brojevnom sistemu sa osnovom q=2 n, potrebno je:
1. Podijelite binarni broj s lijeva na desno u grupe od po n cifara.
2. Ako posljednja desna grupa ima manje od n cifara, onda se na desnoj strani mora dopuniti nulama na traženi broj cifara.
3. Svaku grupu posmatrajte kao n-bitni binarni broj i zapišite je sa odgovarajućom cifrom u brojevnom sistemu sa osnovom q=2 n.
Primjer 2.24. Broj 0,10110001 2 će biti pretvoren u oktalni brojevni sistem.
Broj dijelimo s lijeva na desno na trozvuke i ispod svake od njih upisujemo odgovarajuću oktalnu cifru:
Dobijamo oktalni prikaz originalnog broja: 0,542 8 .
Primjer 2.25. Broj 0,100000000011 2 će biti pretvoren u heksadecimalni brojevni sistem. Broj dijelimo s lijeva na desno na tetrade i ispod svake od njih upisujemo odgovarajuću heksadecimalnu cifru:
Dobijamo heksadecimalni prikaz originalnog broja: 0,803 16
Prevođenje proizvoljnih brojeva. Da biste zapisali proizvoljan binarni broj u brojevnom sistemu sa osnovom q=2 n, potrebno je:
1. Podijelite cijeli dio datog binarnog broja s desna na lijevo, a razlomak s lijeva na desno na grupe od po n cifara.
2. Ako posljednja lijeva i/ili desna grupa imaju manje od n cifara, onda se moraju na lijevoj i/ili desnoj strani dopuniti nulama na potreban broj cifara;
3. Svaku grupu razmotrite kao n-bitni binarni broj i zapišite je odgovarajućom cifrom u brojevnom sistemu sa osnovom q = 2 n
Primjer 2.26. Pretvorimo broj 111100101.0111 2 u oktalni brojevni sistem.
Cijeli i razlomački dio broja podijelimo na trozvuke i ispod svakog od njih upišemo odgovarajuću oktalnu cifru:
Dobijamo oktalni prikaz originalnog broja: 745,34 8 .
Primjer 2.27. Broj 11101001000,11010010 2 će biti konvertovan u heksadecimalni brojevni sistem.
Cijeli i razlomački dio broja podijelimo u sveske i ispod svake od njih upišemo odgovarajuću heksadecimalnu cifru:
Dobijamo heksadecimalni prikaz originalnog broja: 748,D2 16.
Pretvaranje brojeva iz brojevnih sistema sa osnovom q=2n u binarni. Da biste proizvoljan broj zapisan u brojevnom sistemu sa osnovom q=2 n pretvorili u binarni brojevni sistem, trebate svaku cifru ovog broja zamijeniti njegovim n-cifrenim ekvivalentom u binarnom brojevnom sistemu.
Primjer 2.28.Pretvorimo heksadecimalni broj 4AC35 16 u binarni brojevni sistem.
prema algoritmu:
Dobijamo: 1001010110000110101 2 .
Zadaci za samostalno rješavanje (Odgovori)
2.38. Popunite tabelu u čiji svaki red mora biti upisan isti cijeli broj razni sistemi Računanje.
|
Binarno |
Octal |
Decimala |
Heksadecimalni |
2.39. Popunite tabelu u kojoj u svakom redu mora biti upisan isti razlomak u različitim brojevnim sistemima.
|
Binarno |
Octal |
Decimala |
Heksadecimalni |
2.40. Popunite tabelu u kojoj u svakom redu mora biti upisan isti proizvoljni broj (broj može sadržavati i cijeli i razlomački dio) u različitim brojevnim sistemima.
|
Binarno |
Octal |
Decimala |
Heksadecimalni |
|
59.B |
1. Redno brojanje u različitim brojevnim sistemima.
IN savremeni život koristimo pozicione sisteme brojeva, odnosno sisteme u kojima broj označen cifrom zavisi od položaja cifre u zapisu broja. Stoga ćemo ubuduće govoriti samo o njima, izostavljajući termin „pozicioni“.
Da bismo naučili kako pretvoriti brojeve iz jednog sistema u drugi, razumjet ćemo kako se odvija sekvencijalno snimanje brojeva koristeći primjer decimalni sistem.
Pošto imamo decimalni sistem brojeva, imamo 10 simbola (cifara) za konstruisanje brojeva. Počinjemo brojati: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Brojevi su gotovi. Povećavamo bitnu dubinu broja i resetujemo cifru nižeg reda: 10. Zatim ponovo povećavamo nižu cifru dok sve cifre ne nestanu: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Povećavamo cifru visokog reda za 1 i resetujemo cifru nižeg reda: 20. Kada iskoristimo sve cifre za obe cifre (dobijemo broj 99), ponovo povećavamo cifren kapacitet broja i resetujemo postojeće cifre: 100. I tako dalje.
Pokušajmo učiniti isto u 2., 3. i 5. sistemu (uvodimo notaciju za 2. sistem, za 3. itd.):
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 10 | 3 |
| 4 | 100 | 11 | 4 |
| 5 | 101 | 12 | 10 |
| 6 | 110 | 20 | 11 |
| 7 | 111 | 21 | 12 |
| 8 | 1000 | 22 | 13 |
| 9 | 1001 | 100 | 14 |
| 10 | 1010 | 101 | 20 |
| 11 | 1011 | 102 | 21 |
| 12 | 1100 | 110 | 22 |
| 13 | 1101 | 111 | 23 |
| 14 | 1110 | 112 | 24 |
| 15 | 1111 | 120 | 30 |
Ako brojevni sistem ima bazu veću od 10, tada ćemo morati unijeti dodatne znakove, uobičajeno je unositi slova latinice. Na primjer, za 12-cifreni sistem, pored deset cifara, potrebna su nam dva slova ( i ):
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 4 |
| 5 | 5 |
| 6 | 6 |
| 7 | 7 |
| 8 | 8 |
| 9 | 9 |
| 10 | |
| 11 | |
| 12 | 10 |
| 13 | 11 |
| 14 | 12 |
| 15 | 13 |
2. Konverzija iz decimalnog brojevnog sistema u bilo koji drugi.
Da biste konvertovali decimalni broj pozitivnog celog broja u brojevni sistem sa drugom osnovom, potrebno je da ovaj broj podelite sa osnovom. Dobijeni količnik ponovo podijelite sa osnovom i dalje dok količnik ne bude manji od baze. Kao rezultat, zapišite u jedan red posljednji količnik i sve ostatke, počevši od posljednjeg.
Primjer 1. Pretvorimo decimalni broj 46 u binarni brojevni sistem.
Primjer 2. Pretvorimo decimalni broj 672 u oktalni brojevni sistem.
Primjer 3. Pretvorimo decimalni broj 934 u heksadecimalni brojevni sistem.
3. Pretvorba iz bilo kojeg brojevnog sistema u decimalni.
Da bismo naučili kako pretvoriti brojeve iz bilo kojeg drugog sistema u decimalni broj, analizirajmo uobičajeni zapis za decimalni broj.
Na primjer, decimalni broj 325 je 5 jedinica, 2 desetice i 3 stotine, tj.
Potpuno ista situacija je i u drugim brojevnim sistemima, samo što ćemo množiti ne sa 10, 100 itd., već sa stepenom baze brojevnog sistema. Na primjer, uzmimo broj 1201 u ternarnom brojevnom sistemu. Numerirajmo znamenke s desna na lijevo počevši od nule i zamislimo naš broj kao zbir proizvoda cifre sa tri na stepen cifre broja:
Ovo je decimalni zapis našeg broja, tj.
Primjer 4. Pretvorimo u decimalni brojevni sistem oktalni broj 511.
Primjer 5. Pretvorimo heksadecimalni broj 1151 u decimalni brojevni sistem.
4. Prijenos iz binarni sistem u sistem sa osnovom „potencijal dvojke“ (4, 8, 16, itd.).
Da bi se binarni broj pretvorio u broj sa stepenom dvije osnove, potrebno je podijeliti binarni niz u grupe prema broju znamenki jednakom stepenu s desna na lijevo i svaku grupu zamijeniti odgovarajućom znamenkom novog sistem brojeva.
Na primjer, pretvorimo binarni broj 1100001111010110 u oktalni sistem. Da bismo to učinili, podijelit ćemo ga u grupe od 3 znaka počevši s desne strane (od ), a zatim ćemo koristiti tablicu korespondencije i zamijeniti svaku grupu novim brojem:
Naučili smo kako da napravimo tabelu korespondencije u koraku 1.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
One.
Primjer 6. Pretvorimo binarni broj 1100001111010110 u heksadecimalni.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | A |
| 1011 | B |
| 1100 | C |
| 1101 | D |
| 1110 | E |
| 1111 | F |
5. Konverzija iz sistema sa bazom “potencijal dvojke” (4, 8, 16, itd.) u binarni.
Ovaj prevod je sličan prethodnom, urađen u suprotnom smeru: svaku cifru zamenjujemo grupom cifara u binarnom sistemu iz tabele korespondencije.
Primjer 7. Pretvorimo heksadecimalni broj C3A6 u binarni brojevni sistem.
Da biste to učinili, zamijenite svaku znamenku broja grupom od 4 znamenke (od ) iz tablice korespondencije, dopunjujući grupu nulama na početku ako je potrebno:
Pogledajmo jednu od najvažnijih tema u informatici -. U školskom programu se otkriva prilično „skromno“, najvjerovatnije zbog nedostatka sati za to. Znanje o ovoj temi, posebno o prevođenje brojnih sistema, preduslov su za uspješno polaganje Jedinstvenog državnog ispita i upis na univerzitete na odgovarajućim fakultetima. U nastavku ćemo detaljno raspravljati o konceptima kao što su pozicione i nepozicione sisteme brojeva, dati su primjeri ovih brojevnih sistema, predstavljena su pravila za pretvaranje cijelih decimalnih brojeva, pravilnih decimalnih razlomaka i mješovitih decimalnih brojeva u bilo koji drugi brojevni sistem, pretvaranje brojeva iz bilo kojeg brojevnog sistema u decimalni, pretvaranje iz oktalnog i heksadecimalnog sistema brojeva u binarni broj sistem. Na ispitima ima dosta problema na ovu temu. Sposobnost njihovog rješavanja jedan je od zahtjeva za kandidate. Uskoro: Za svaku temu sekcije, pored detaljnog teorijskog materijala, gotovo sve moguće opcije zadataka Za samostalno učenje. Osim toga, imat ćete priliku da potpuno besplatno preuzmete sa usluge hostinga datoteka gotova detaljna rješenja ovih problema, koja ilustruju razne načine dobijanje tačnog odgovora.
pozicioni brojevni sistemi.
Nepozicioni sistemi brojeva- sistemi brojeva u kojima kvantitativna vrijednost cifre ne zavisi od njenog položaja u broju.
Nepozicioni sistemi brojeva uključuju, na primjer, rimski, gdje umjesto brojeva postoje latinična slova.
| I | 1 (jedan) |
| V | 5 (pet) |
| X | 10 (deset) |
| L | 50 (pedeset) |
| C | 100 (sto) |
| D | 500 (petsto) |
| M | 1000 (hiljada) |
Ovdje slovo V označava 5 bez obzira na njegovu lokaciju. Međutim, vrijedno je napomenuti da iako je rimski brojevni sistem klasičan primjer nepozicionog brojevnog sistema, on nije potpuno nepozicionalan, jer Od toga se oduzima manji broj ispred većeg:
| IL | 49 (50-1=49) |
| VI | 6 (5+1=6) |
| XXI | 21 (10+10+1=21) |
| MI | 1001 (1000+1=1001) |
pozicioni brojevni sistemi.
Pozicioni sistemi brojeva- sistemi brojeva u kojima kvantitativna vrijednost cifre zavisi od njenog položaja u broju.
Na primjer, ako govorimo o decimalnom brojevnom sistemu, onda u broju 700 broj 7 znači "sedam stotina", ali isti broj u broju 71 znači "sedam desetica", au broju 7020 - "sedam hiljada" .
Svaki pozicioni brojevni sistem ima svoje baza. Za bazu se bira prirodni broj veći ili jednak dva. Jednaka je broju cifara koje se koriste u datom brojevnom sistemu.
- Na primjer:
- Binarno- pozicijski brojevni sistem sa osnovom 2.
- kvartar- pozicioni brojevni sistem sa bazom 4.
- Petostruko- pozicijski brojevni sistem sa bazom 5.
- Octal- pozicijski brojevni sistem sa bazom 8.
- Heksadecimalni- pozicijski brojevni sistem sa bazom 16.
Za uspješno rješavanje zadataka na temu „Brajevi sistemi“, učenik mora znati napamet korespondenciju binarnih, decimalnih, oktalnih i heksadecimalnih brojeva do 16 10:
| 10 s/s | 2 s/s | 8 s/s | 16 s/s |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E |
| 15 | 1111 | 17 | F |
| 16 | 10000 | 20 | 10 |
Korisno je znati kako se brojevi dobijaju u ovim brojevnim sistemima. To možete pogoditi u oktalnom, heksadecimalnom, ternarnom i drugima pozicioni sistemi mrtvo računanje sve se dešava na isti način kao i decimalni sistem na koji smo navikli:
Broju se dodaje jedan i dobija se novi broj. Ako mjesto jedinica postane jednako osnovici brojevnog sistema, povećavamo broj desetica za 1, itd.
Ova „tranzicija jednog“ je ono što plaši većinu učenika. U stvari, sve je prilično jednostavno. Prijelaz se događa ako cifra jedinica postane jednaka baza brojeva, povećavamo broj desetica za 1. Mnogi, sećajući se dobrog starog decimalnog sistema, odmah se zbune oko cifara u ovom prelazu, jer su decimalne i, na primer, binarne desetice različite stvari.
Dakle, snalažljivi učenici imaju "svoje vlastite metode" (iznenađujuće... rade) kada popunjavaju, na primjer, tablice istinitosti, čiji su prvi stupci (vrijednosti varijabli) zapravo ispunjeni. binarni brojevi u rastućem redosledu.
Na primjer, pogledajmo unos brojeva oktalni sistem: Prvom broju (0) dodajemo 1, dobijamo 1. Zatim dodajemo 1 na 1, dobijamo 2, itd. do 7. Ako 7 dodamo jedan, dobijamo broj jednak osnovici brojevnog sistema, tj. 8. Zatim trebate povećati mjesto desetice za jedan (dobijamo oktalnu deseticu - 10). Slijede, očigledno, brojevi 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, ..., 27, 30, ..., 77, 100, 101...
Pravila za konverziju iz jednog brojevnog sistema u drugi.
1 Pretvaranje cijelih decimalnih brojeva u bilo koji drugi brojni sistem.
Broj se mora podijeliti sa nova baza brojenog sistema. Prvi ostatak dijeljenja je prva sporedna znamenka novog broja. Ako je količnik dijeljenja manji ili jednak novoj osnovici, tada se (količnik) mora ponovo podijeliti s novom bazom. Dijeljenje se mora nastaviti sve dok ne dobijemo količnik manji od nove baze. Ovo je najviša znamenka novog broja (morate zapamtiti da, na primjer, u heksadecimalnom sistemu nakon 9 postoje slova, tj. ako je ostatak 11, trebate ga napisati kao B).
Primjer ("podjela uglom"): Pretvorimo broj 173 10 u oktalni brojevni sistem.
Dakle, 173 10 =255 8
2 Pretvaranje regularnih decimalnih razlomaka u bilo koji drugi brojevni sistem.
Broj se mora pomnožiti sa novom osnovom brojevnog sistema. Cifra koja je postala cijeli broj je najviša znamenka razlomka novog broja. da bi se dobila sljedeća znamenka, razlomak rezultujućeg proizvoda mora se ponovo pomnožiti s novom bazom brojevnog sistema dok ne dođe do prijelaza na cijeli dio. Nastavljamo množenje sve dok razlomak ne bude jednak nuli, ili dok ne dostignemo tačnost navedenu u zadatku („... izračunaj s tačnošću od, na primjer, dvije decimale“).
Primjer: Pretvorimo broj 0,65625 10 u oktalni brojevni sistem.
Rezultat je već primljen!
Sistemi brojeva
Postoje pozicioni i nepozicioni sistemi brojeva. Arapski brojevni sistem koji koristimo Svakodnevni život, je poziciona, ali Roman nije. U pozicionim brojevnim sistemima, pozicija broja jednoznačno određuje veličinu broja. Razmotrimo ovo na primjeru broja 6372 u decimalnom brojevnom sistemu. Numerimo ovaj broj s desna na lijevo počevši od nule:
Tada se broj 6372 može predstaviti na sljedeći način:
6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .
Broj 10 određuje sistem brojeva (u ovom slučaju to je 10). Vrijednosti pozicije datog broja uzimaju se kao stepene.
Razmotrimo pravi decimalni broj 1287.923. Numerimo ga počevši od nulte pozicije broja od decimalnog zareza lijevo i desno:
Tada se broj 1287.923 može predstaviti kao:
1287.923 =1000+200+80 +7+0.9+0.02+0.003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3· 10 -3.
Općenito, formula se može predstaviti na sljedeći način:
C n s n +C n-1 · s n-1 +...+C 1 · s 1 +C 0 ·s 0 +D -1 ·s -1 +D -2 ·s -2 +...+D -k ·s -k
gdje je C n cijeli broj na poziciji n, D -k - razlomak na poziciji (-k), s- sistem brojeva.
Nekoliko riječi o brojevnim sistemima Broj u decimalnom brojevnom sistemu sastoji se od mnogo cifara (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), u oktalnom brojevnom sistemu sastoji se od mnogo cifara. (0,1, 2,3,4,5,6,7), u binarnom brojevnom sistemu - iz skupa cifara (0,1), u heksadecimalnom brojevnom sistemu - iz skupa cifara (0,1 ,2,3,4,5,6, 7,8,9,A,B,C,D,E,F), pri čemu A,B,C,D,E,F odgovaraju brojevima 10,11, 12,13,14,15 U tabeli su prikazani brojevi u različiti sistemi Računanje.
| Tabela 1 | |||
|---|---|---|---|
| Notacija | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E | 15 | 1111 | 17 | F |
Pretvaranje brojeva iz jednog brojevnog sistema u drugi
Za konvertovanje brojeva iz jednog brojevnog sistema u drugi, najlakši način je da prvo konvertujete broj u decimalni brojevni sistem, a zatim konvertujete iz decimalnog brojevnog sistema u traženi brojevni sistem.
Pretvaranje brojeva iz bilo kojeg brojevnog sistema u decimalni brojevni sistem
Koristeći formulu (1), možete pretvoriti brojeve iz bilo kojeg brojevnog sistema u decimalni brojevni sistem.
Primjer 1. Pretvorite broj 1011101.001 iz binarnog brojevnog sistema (SS) u decimalni SS. Rješenje:
1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 ·2 4 + 1 ·2 3 + 1 ·2 2 + 0 ·2 1 + 1 ·2 0 + 0 ·2 -1 + 0 ·2 -2 + 1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125
Primjer2. Pretvorite broj 1011101.001 iz oktalnog brojevnog sistema (SS) u decimalni SS. Rješenje:
Primjer 3 . Pretvorite broj AB572.CDF iz heksadecimalnog brojnog sistema u decimalni SS. Rješenje:
Evo A-zamijenjeno sa 10, B- u 11, C- u 12, F- do 15.
Pretvaranje brojeva iz decimalnog brojevnog sistema u drugi brojevni sistem
Da biste pretvorili brojeve iz decimalnog brojevnog sistema u drugi brojevni sistem, potrebno je da zasebno konvertujete celobrojni deo broja i razlomak broja.
Cjelobrojni dio broja se pretvara iz decimalnog SS u drugi brojevni sistem uzastopnim dijeljenjem cijelog broja sa osnovom brojevnog sistema (za binarni SS - sa 2, za 8-arni SS - sa 8, za 16 -ary SS - za 16, itd. ) dok se ne dobije cijeli ostatak, manji od baze CC.
Primjer 4 . Pretvorimo broj 159 iz decimalnog SS u binarni SS:
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
Kao što se može videti sa sl. 1, broj 159 kada se podijeli sa 2 daje količnik 79 i ostatak 1. Nadalje, broj 79 kada se podijeli sa 2 daje količnik 39 i ostatak 1, itd. Kao rezultat toga, konstruirajući broj iz ostataka dijeljenja (s desna na lijevo), dobijamo broj u binarnom SS: 10011111 . Stoga možemo napisati:
159 10 =10011111 2 .
Primjer 5 . Pretvorimo broj 615 iz decimalnog SS u oktalni SS.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
Kada konvertujete broj iz decimalnog SS u oktalni SS, morate redom broj deliti sa 8 dok ne dobijete celobrojni ostatak manji od 8. Kao rezultat toga, konstruisanjem broja od ostataka deljenja (s desna na levo) dobijamo broj u oktalnom SS: 1147 (Vidi sliku 2). Stoga možemo napisati:
615 10 =1147 8 .
Primjer 6 . Pretvorimo broj 19673 iz decimalnog brojevnog sistema u heksadecimalni SS.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
Kao što se može vidjeti sa slike 3, uzastopnim dijeljenjem broja 19673 sa 16, ostatci su 4, 12, 13, 9. U heksadecimalnom brojevnom sistemu, broj 12 odgovara C, broj 13 D. Dakle, naš heksadecimalni broj je 4CD9.
Za pretvaranje pravih decimalnih razlomaka (stvarni broj sa nulom cijeli dio) u brojevni sistem sa osnovom s, potrebno je ovaj broj uzastopno množiti sa s dok razlomak ne bude čista nula, ili dobijemo traženi broj cifara. Ako se tokom množenja dobije broj čiji je cijeli broj različit od nule, onda se ovaj cijeli dio ne uzima u obzir (oni su sekvencijalno uključeni u rezultat).
Pogledajmo gore navedeno s primjerima.
Primjer 7 . Pretvorimo broj 0,214 iz decimalnog brojevnog sistema u binarni SS.
| 0.214 | ||
| x | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.392 |
Kao što se može vidjeti sa slike 4, broj 0,214 se sekvencijalno množi sa 2. Ako je rezultat množenja broj čiji je cijeli broj različit od nule, tada se cijeli dio piše zasebno (lijevo od broja), a broj je zapisan cijelim dijelom nula. Ako množenje rezultira brojem s cijelim dijelom nula, tada se nula upisuje lijevo od njega. Proces množenja se nastavlja sve dok razlomak ne dostigne čistu nulu ili dok ne dobijemo potreban broj znamenki. Upisivanjem podebljanih brojeva (slika 4) od vrha do dna dobijamo traženi broj u binarnom brojevnom sistemu: 0. 0011011 .
Stoga možemo napisati:
0.214 10 =0.0011011 2 .
Primjer 8 . Pretvorimo broj 0,125 iz decimalnog brojevnog sistema u binarni SS.
| 0.125 | ||
| x | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.0 |
Da bi se broj 0,125 pretvorio iz decimalnog SS u binarni, ovaj broj se uzastopno množi sa 2. U trećoj fazi, rezultat je 0. Kao rezultat toga, dobije se sljedeći rezultat:
0.125 10 =0.001 2 .
Primjer 9 . Pretvorimo broj 0,214 iz decimalnog brojevnog sistema u heksadecimalni SS.
| 0.214 | ||
| x | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| x | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| x | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| x | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| x | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| x | 16 | |
| 4 | 0.224 |
Slijedeći primjere 4 i 5, dobijamo brojeve 3, 6, 12, 8, 11, 4. Ali u heksadecimalnom SS, brojevi 12 i 11 odgovaraju brojevima C i B. Dakle, imamo:
0,214 10 =0,36C8B4 16 .
Primjer 10 . Pretvorimo broj 0,512 iz decimalnog brojevnog sistema u oktalni SS.
| 0.512 | ||
| x | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| x | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| x | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.728 |
dobio:
0.512 10 =0.406111 8 .
Primjer 11 . Pretvorimo broj 159.125 iz decimalnog brojevnog sistema u binarni SS. Da bismo to učinili, prevodimo odvojeno cijeli dio broja (Primjer 4) i razlomak broja (Primjer 8). Daljnjim kombinovanjem ovih rezultata dobijamo:
159.125 10 =10011111.001 2 .
Primjer 12 . Pretvorimo broj 19673.214 iz decimalnog brojevnog sistema u heksadecimalni SS. Da bismo to učinili, odvojeno prevodimo cijeli dio broja (Primjer 6) i razlomak broja (Primjer 9). Dalje, kombinujući ove rezultate dobijamo.
U ovom članku ću vam reći osnove računarske tehnologije - ovo je binarni sistem. Ovo je najniži nivo, to su brojevi po kojima kompjuter radi. I naučićete kako da prenosite sa jednog sistema
Tabela 1 – Prikaz brojeva u raznim sistemima
račun (početak)
Sistemi brojeva |
||||
Decimala |
Binarno |
Octal |
Heksadecimalni |
BCD |
Za pretvaranje iz decimalnog u binarni, imate dvije opcije.
1) Na primjer, broj 37 treba pretvoriti iz decimalnog sistema u binarni sistem, zatim ga podijeliti sa dva, a zatim provjeriti ostatak dijeljenja. Ako je ostatak neparan, onda pišemo jedan na dnu i sljedeći ciklus dijeljenja prolazi kroz paran broj, ako je ostatak dijeljenja paran, tada pišemo nulu. Na kraju morate dobiti 1. I sada konvertujemo rezultirajući rezultat u binarni, a broj ide s desna na lijevo.
Korak po korak: 37 je neparan broj, što znači 1 , tada je 36/2 = 18. Broj je paran, što znači 0. 18/2 = 9 je neparan broj, što znači 1 , zatim 8/2 = 4. Broj je paran, pročitajte 0. 4/2 = 2, paran broj znači 0, 2/2 = 1.
Dakle, dobili smo broj. Ne zaboravite da brojite s desna na lijevo: 100101 - sada imamo broj u binarnom sistemu. Općenito, ovo je zapisano kao podjela u koloni, kao što vidite na slici ispod:
2) Ali postoji i drugi način. Više mi se sviđa. Prijenos sa jednog sistema na drugi je sljedeći:
gdje ai - i-ta cifra brojevi;
k - broj cifara u razlomku broja;
m - broj cifara u cijelom dijelu broja;
N je baza brojevnog sistema.
Osnova brojevnog sistema N pokazuje koliko je puta “težina” i-te cifre veća od “težine” (i-1) cifre. Cjelobrojni dio broja je odvojen od razlomka tačkom (zarezom).
Cjelobrojni dio broja AN1, sa osnovom N1, pretvara se u brojevni sistem sa osnovom N2 uzastopnim dijeljenjem cijelog broja AN1 sa osnovom N2 napisanom kao broj sa osnovom N1, sve dok se ostatak ne dobije Dobijeni dio se ponovo dijeli sa osnovom N2, a ovaj proces se mora ponavljati sve dok čestica ne postane manja od djelitelja. Rezultirajući ostatci od dijeljenja i posljednjeg dijela zapisuju se obrnutim redoslijedom dobivenim tijekom dijeljenja. Generirani broj će biti cijeli broj sa bazom N2.
Razlomak broja AN1, sa osnovom N1, pretvara se u brojevni sistem sa osnovom N2 sekvencijalnim množenjem razlomka broja AN1 sa osnovom N2, zapisan kao broj sa osnovom N1. Sa svakim množenjem cijeli se dio proizvoda uzima u obliku sljedeće znamenke odgovarajuće znamenke, a razlomački dio preostalog se uzima kao novo množenje. Broj množenja određuje cifreni kapacitet rezultujućeg rezultata, koji predstavlja razlomak broja AN1 u N2 brojevnom sistemu. Razlomački dio broja se često netačno prikazuje kada se prevodi.
Uradimo to na primjeru:
Pretvorite iz decimalnog u binarni
37 u decimalnom obliku mora se pretvoriti u binarni. Radimo sa diplomama:
2 0 = 1
2 1 = 2
2 2 = 4
2 3 = 8
2 4 = 16
2 5 = 32
2 6 = 64
2 7 = 128
2 8 = 256
2 9 = 512
2 10 = 1024 i tako dalje... ad infinitum
To znači: 37 - 32 = 5. 5 - 4 = 1. Odgovor je sljedeći u binarnom obliku: 100101.
Pretvorimo broj 658 iz decimalnog u binarni:
658-512=146
146-128=18
18-16=2. U binarnom sistemu broj će izgledati ovako: 1010010010.
Pretvaranje iz decimalnog u oktalno
Ako trebate pretvoriti iz decimalnog u oktalni, prvo morate pretvoriti u binarni, a zatim iz binarnog u oktalni. Odnosno, ovako je lakše, iako ga možete odmah prevesti. Koristeći algoritam sličan onom za pretvaranje u binarni, pogledajte gore.
Pretvori iz decimalnog u heksadecimalni
Ako trebate pretvoriti iz decimalnog u heksadecimalni, prvo morate pretvoriti u binarni, a zatim iz binarnog u heksadecimalni. Odnosno, ovako je lakše, iako ga možete odmah prevesti. Koristeći algoritam sličan onom za pretvaranje u binarni, pogledajte gore.
Pretvaranje iz binarnog u oktalno
Da biste broj pretvorili iz binarnog u oktalni, morate podijeliti binarni broj na tri broja.
Na primjer, rezultirajući broj 1010010010 podijeljen je na tri broja, a podjela ide s desna na lijevo: 1,010,010,010 = 1222. Pogledajte tabelu na samom početku.
Pretvaranje iz binarnog u heksadecimalno
Da biste broj pretvorili iz binarnog u heksadecimalni, trebate ga podijeliti na tetrade (po četiri)
10 1001 0010 = 292
Evo nekoliko primjera koje možete pogledati:
Konverzija je iz binarnog u oktalni, zatim u heksadecimalni, a zatim iz binarnog u decimalni
(2) = 11101110
(8) = 11 101 110 = 276
(16) = 1110 1110 = EE
(10) = 1*128+ 1*64+ 1*32+ 0 +1*8 + 1*4 + 1*2+ 0= 238
3) (8) = 657
Konverzija se vrši iz heksadecimalne u binarnu, zatim u oktalnu, a zatim iz binarne u decimalno
(16) = 6E8
(2) = 110 1110 1000
(8) = 11 011 101 000 = 2250
(10) = 1*1024+1*512+ 0 +1*128+ 1*64+ 1*32+ 8 = 1768
|
Dijeli
 |
