Pretvorite brojeve iz jednog brojevnog sistema u drugi na mreži. Sistemi brojeva

Brojevi se zapisuju u binarnom brojevnom sistemu koristeći samo dvije cifre - 0 i 1. Stoga se ovaj sistem najlakše implementira u praksi u elektronskim kompjuteri i uređaja. Pogledajmo kako pretvoriti broj u binarni sistem iz uobičajenog decimalnog sistema bez pomoći kalkulatora i kompjuterskih programa.

Cijeli brojevi

Da biste pretvorili cijeli broj iz decimalnog u binarni, trebate ga podijeliti sa dva, a zatim svaki rezultirajući količnik podijeliti sa dva dok ne dobijete jedan. Željeni binarni broj se zapisuje kao niz cifara jednak poslednjem količniku (jedan) i svim rezultujućim ostacima, počevši od poslednjeg.

Navedimo primjere.

Trebamo pretvoriti broj 23 u binarni.

23: 2 = 11 (ostatak 1)
11: 2 = 5 (ostatak 1)
5: 2 = 2 (ostatak 1)
2: 2 = 1 (ostatak 0)

Kao rezultat, 23 10 = 10111 2

Trebamo pretvoriti broj 88 u binarni:

88: 2 = 44 (ostatak 0)
44: 2 = 22 (ostatak 0)
22: 2 = 11 (ostatak 0)
11: 2 = 5 (ostatak 1)
5: 2 = 2 (ostatak 1)
2: 2 = 1 (ostatak 0)

Kao rezultat, 88 10 = 1011000 2

Razlomci brojeva

Pogledajmo sada algoritam za pretvaranje razlomaka decimalnih brojeva u binarni sistem. Da biste to uradili sa cijeli dio brojeve radimo prema gore opisanoj proceduri, i frakcijski dio pomnožite sa dva. Ponovo množimo razlomački dio rezultirajućeg proizvoda sa dva i tako sve dok razlomak ne postane jednak nuli ili dok se ne dobije potrebna aproksimacija određenom broju binarnih decimalnih mjesta. Traženi razlomak binarni broj dobijamo kao niz brojeva iza decimalne tačke, jednak celim delovima rezultujućih proizvoda, počevši od prvog.

Evo nekoliko primjera:

Trebamo konvertirati broj 5.625 u binarni:

Prvo pogledajmo cijeli broj decimalnog broja:
1. 5: 2 = 2 (ostatak 1)
2. 2: 2 = 1 (ostatak 0)

Kao rezultat, 5 10 = 101 2

Sada frakcijski dio:
1. 0,625 * 2 = 1,25
2. 0,25 * 2 = 0,5
3. 0,5 * 2 = 1,0

Kao rezultat, 0,125 10 = 0,101 2

Kao rezultat, 5,625 10 = 101,101 2

Morate pretvoriti 8,35 u binarni s točnošću od 5 decimalnih mjesta:

Počnimo s cijelim dijelom:
1. 8: 2 = 4 (ostatak 0)
2. 4: 2 = 2 (ostatak 0)
3. 2: 2 = 1 (ostatak 0)

Kao rezultat, 8 10 = 1000 2

Razlomak broja:
1. 0,35 * 2 = 0,7
2. 0,7 * 2 = 1,4
3. 0,4 * 2 = 0,8
4. 0,8 * 2 = 1,6
5. 0,6 * 2 = 1,2

Kao rezultat, 0,35 10 = 0,01011 2 tačno na 5 decimala.

Kao rezultat, 8,35 10 = 1000,01011 2 tačno na 5 decimala.

S ovim online kalkulator Možete pretvoriti cijele i razlomke iz jednog brojevnog sistema u drugi. Dato je detaljno rješenje sa objašnjenjima. Za prevod, unesite originalni broj, postavite bazu brojevnog sistema izvornog broja, postavite bazu brojevnog sistema u koji želite da konvertujete broj i kliknite na dugme "Prevedi". U nastavku pogledajte teoretski dio i numeričke primjere.

Rezultat je već primljen!

Pretvaranje cijelih brojeva i razlomaka iz jednog brojevnog sistema u bilo koji drugi - teorija, primjeri i rješenja

Postoje pozicioni i nepozicioni sistemi pozicioniranja Računanje Arapski brojevni sistem koji koristimo Svakodnevni život, je poziciona, ali Roman nije. U pozicionim brojevnim sistemima, pozicija broja jednoznačno određuje veličinu broja. Razmotrimo ovo na primjeru broja 6372 u decimalnom brojevnom sistemu. Numerimo ovaj broj s desna na lijevo počevši od nule:

Tada se broj 6372 može predstaviti na sljedeći način:

6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .

Broj 10 određuje sistem brojeva (u ovom slučaju to je 10). Vrijednosti pozicije datog broja uzimaju se kao stepene.

Uzmite u obzir stvarno decimalni broj 1287.923. Numerimo ga počevši od nulte pozicije broja od decimalnog zareza lijevo i desno:

Tada se broj 1287.923 može predstaviti kao:

1287.923 =1000+200+80 +7+0.9+0.02+0.003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3· 10 -3.

Općenito, formula se može predstaviti na sljedeći način:

C n s n +C n-1 · s n-1 +...+C 1 · s 1 +C 0 ·s 0 +D -1 ·s -1 +D -2 ·s -2 +...+D -k ·s -k

gdje je C n cijeli broj na poziciji n, D -k - razlomak broj u poziciji (-k), s- sistem brojeva.

Nekoliko riječi o brojevnim sistemima Broj u decimalnom brojevnom sistemu sastoji se od mnogo cifara (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), u oktalnom brojevnom sistemu sastoji se od mnogo cifara. (0,1, 2,3,4,5,6,7), u binarnom brojevnom sistemu - iz skupa cifara (0,1), u heksadecimalnom brojevnom sistemu - iz skupa cifara (0,1 ,2,3,4,5,6, 7,8,9,A,B,C,D,E,F), pri čemu A,B,C,D,E,F odgovaraju brojevima 10,11, 12,13,14,15 U tabeli su prikazani brojevi u različiti sistemi Računanje

Tabela 1
Notacija
10	2	8	16
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

Pretvaranje brojeva iz jednog brojevnog sistema u drugi

Za pretvaranje brojeva iz jednog brojevnog sistema u drugi, najlakši način je da prvo pretvorite broj u decimalni sistem brojevni sistem, a zatim pretvoriti iz decimalnog brojnog sistema u traženi brojni sistem.

Pretvaranje brojeva iz bilo kojeg brojevnog sistema u decimalni brojevni sistem

Koristeći formulu (1), možete pretvoriti brojeve iz bilo kojeg brojevnog sistema u decimalni brojevni sistem.

Primjer 1. Pretvorite broj 1011101.001 iz binarnog brojevnog sistema (SS) u decimalni SS. Rješenje:

1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 ·2 4 + 1 ·2 3 + 1 ·2 2 + 0 ·2 1 + 1 ·2 0 + 0 ·2 -1 + 0 ·2 -2 + 1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125

Primjer2. Pretvorite broj 1011101.001 iz oktalnog brojevnog sistema (SS) u decimalni SS. Rješenje:

Primjer 3 . Pretvorite broj AB572.CDF iz heksadecimalnog brojnog sistema u decimalni SS. Rješenje:

Evo A-zamijenjeno sa 10, B- u 11, C- u 12, F- do 15.

Pretvaranje brojeva iz decimalnog brojevnog sistema u drugi brojevni sistem

Da biste pretvorili brojeve iz decimalnog brojevnog sistema u drugi brojevni sistem, potrebno je da zasebno konvertujete celobrojni deo broja i razlomak broja.

Cjelobrojni dio broja se pretvara iz decimalnog SS u drugi brojevni sistem uzastopnim dijeljenjem cijelog broja sa osnovom brojevnog sistema (za binarni SS - sa 2, za 8-arni SS - sa 8, za 16 -ary SS - za 16, itd. ) dok se ne dobije cijeli ostatak, manji od baze CC.

Primjer 4 . Pretvorimo broj 159 iz decimalnog SS u binarni SS:

159	2
158	79	2
1	78	39	2
	1	38	19	2
		1	18	9	2
			1	8	4	2
				1	4	2	2
					0	2	1
						0

Kao što se može videti sa sl. 1, broj 159 kada se podijeli sa 2 daje količnik 79 i ostatak 1. Nadalje, broj 79 kada se podijeli sa 2 daje količnik 39 i ostatak 1, itd. Kao rezultat toga, konstruirajući broj iz ostataka dijeljenja (s desna na lijevo), dobijamo broj u binarnom SS: 10011111 . Stoga možemo napisati:

159 10 =10011111 2 .

Primjer 5 . Pretvorimo broj 615 iz decimalnog SS u oktalni SS.

615	8
608	76	8
7	72	9	8
	4	8	1
		1

Kada konvertujete broj iz decimalnog SS u oktalni SS, morate redom broj deliti sa 8 dok ne dobijete celobrojni ostatak manji od 8. Kao rezultat toga, konstruisanjem broja od ostataka deljenja (s desna na levo) dobijamo broj u oktalnom SS: 1147 (vidi sliku 2). Stoga možemo napisati:

615 10 =1147 8 .

Primjer 6 . Pretvorimo broj 19673 iz decimalnog brojevnog sistema u heksadecimalni SS.

19673	16
19664	1229	16
9	1216	76	16
	13	64	4
		12

Kao što se može vidjeti sa slike 3, uzastopnim dijeljenjem broja 19673 sa 16, ostatci su 4, 12, 13, 9. U heksadecimalnom brojevnom sistemu, broj 12 odgovara C, broj 13 D. Dakle, naš heksadecimalni broj je 4CD9.

Da biste konvertovali regularne decimalne razlomke (realan broj sa celim delom nula) u brojevni sistem sa osnovom s, potrebno je ovaj broj sukcesivno množiti sa s dok razlomak ne sadrži čistu nulu, ili dobijemo traženi broj cifara . Ako se tokom množenja dobije broj čiji je cijeli broj različit od nule, onda se ovaj cijeli dio ne uzima u obzir (oni su sekvencijalno uključeni u rezultat).

Pogledajmo gore navedeno s primjerima.

Primjer 7 . Pretvorimo broj 0,214 iz decimalnog brojevnog sistema u binarni SS.

		0.214
	x	2
0		0.428
	x	2
0		0.856
	x	2
1		0.712
	x	2
1		0.424
	x	2
0		0.848
	x	2
1		0.696
	x	2
1		0.392

Kao što se može vidjeti sa slike 4, broj 0,214 se sekvencijalno množi sa 2. Ako je rezultat množenja broj čiji je cijeli broj različit od nule, tada se cijeli dio piše zasebno (lijevo od broja), a broj je zapisan nultim cijelim dijelom. Ako množenje rezultira brojem s cijelim dijelom nula, tada se nula upisuje lijevo od njega. Proces množenja se nastavlja sve dok razlomak ne dostigne čistu nulu ili dok ne dobijemo potreban broj znamenki. Upisivanjem podebljanih brojeva (slika 4) od vrha do dna dobijamo traženi broj u binarnom brojevnom sistemu: 0. 0011011 .

Stoga možemo napisati:

0.214 10 =0.0011011 2 .

Primjer 8 . Pretvorimo broj 0,125 iz decimalnog brojevnog sistema u binarni SS.

		0.125
	x	2
0		0.25
	x	2
0		0.5
	x	2
1		0.0

Da bi se broj 0,125 pretvorio iz decimalnog SS u binarni, ovaj broj se uzastopno množi sa 2. U trećoj fazi, rezultat je 0. Kao rezultat toga, dobije se sljedeći rezultat:

0.125 10 =0.001 2 .

Primjer 9 . Pretvorimo broj 0,214 iz decimalnog brojevnog sistema u heksadecimalni SS.

		0.214
	x	16
3		0.424
	x	16
6		0.784
	x	16
12		0.544
	x	16
8		0.704
	x	16
11		0.264
	x	16
4		0.224

Slijedeći primjere 4 i 5, dobijamo brojeve 3, 6, 12, 8, 11, 4. Ali u heksadecimalnom SS, brojevi 12 i 11 odgovaraju brojevima C i B. Dakle, imamo:

0,214 10 =0,36C8B4 16 .

Primjer 10 . Pretvorimo broj 0,512 iz decimalnog brojevnog sistema u oktalni SS.

		0.512
	x	8
4		0.096
	x	8
0		0.768
	x	8
6		0.144
	x	8
1		0.152
	x	8
1		0.216
	x	8
1		0.728

dobio:

0.512 10 =0.406111 8 .

Primjer 11 . Pretvorimo broj 159.125 iz decimalnog brojevnog sistema u binarni SS. Da bismo to učinili, prevodimo odvojeno cijeli dio broja (Primjer 4) i razlomak broja (Primjer 8). Daljnjim kombinovanjem ovih rezultata dobijamo:

159.125 10 =10011111.001 2 .

Primjer 12 . Pretvorimo broj 19673.214 iz decimalnog brojevnog sistema u heksadecimalni SS. Da bismo to učinili, prevodimo odvojeno cijeli dio broja (Primjer 6) i razlomak broja (Primjer 9). Dalje, kombinujući ove rezultate dobijamo.

1. Redno brojanje u različitim brojevnim sistemima.

IN savremeni život koristimo pozicione sisteme brojeva, odnosno sisteme u kojima broj označen cifrom zavisi od položaja cifre u zapisu broja. Stoga ćemo ubuduće govoriti samo o njima, izostavljajući termin „pozicioni“.

Da bismo naučili kako pretvoriti brojeve iz jednog sistema u drugi, razumjet ćemo kako se odvija sekvencijalno snimanje brojeva na primjeru decimalnog sistema.

Pošto imamo decimalni sistem brojeva, imamo 10 simbola (cifara) za konstruisanje brojeva. Počinjemo brojati: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Brojevi su gotovi. Povećavamo bitnu dubinu broja i resetujemo cifru nižeg reda: 10. Zatim ponovo povećavamo nižu cifru dok sve cifre ne nestanu: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Povećavamo cifru visokog reda za 1 i resetujemo cifru nižeg reda: 20. Kada iskoristimo sve cifre za obe cifre (dobijemo broj 99), ponovo povećavamo cifren kapacitet broja i resetujemo postojeće cifre: 100. I tako dalje.

Pokušajmo učiniti isto u 2., 3. i 5. sistemu (uvodimo notaciju za 2. sistem, za 3. itd.):


0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	10	3
4	100	11	4
5	101	12	10
6	110	20	11
7	111	21	12
8	1000	22	13
9	1001	100	14
10	1010	101	20
11	1011	102	21
12	1100	110	22
13	1101	111	23
14	1110	112	24
15	1111	120	30

Ako brojevni sistem ima bazu veću od 10, tada ćemo morati unijeti dodatne znakove, uobičajeno je unositi slova latinice. Na primjer, za decimalni sistem, pored deset cifara, potrebna su nam dva slova ( i ):


0	0
1	1
2	2
3	3
4	4
5	5
6	6
7	7
8	8
9	9
10
11
12	10
13	11
14	12
15	13

2. Konverzija iz decimalnog brojevnog sistema u bilo koji drugi.

Da biste konvertovali decimalni broj pozitivnog celog broja u brojevni sistem sa drugom osnovom, potrebno je da ovaj broj podelite sa osnovom. Dobijeni količnik ponovo podijelite sa osnovom i dalje dok količnik ne bude manji od baze. Kao rezultat, zapišite u jedan red posljednji količnik i sve ostatke, počevši od posljednjeg.

Primjer 1. Pretvorimo decimalni broj 46 u binarni brojevni sistem.

Primjer 2. Pretvorimo decimalni broj 672 u oktalni brojevni sistem.

Primjer 3. Pretvorimo decimalni broj 934 u heksadecimalni brojevni sistem.

3. Pretvorba iz bilo kojeg brojevnog sistema u decimalni.

Da bismo naučili kako pretvoriti brojeve iz bilo kojeg drugog sistema u decimalni broj, analizirajmo uobičajeni zapis za decimalni broj.
Na primjer, decimalni broj 325 je 5 jedinica, 2 desetice i 3 stotine, tj.

Potpuno ista situacija je i u drugim brojevnim sistemima, samo što ćemo množiti ne sa 10, 100 itd., već sa stepenom baze brojevnog sistema. Na primjer, uzmimo broj 1201 u ternarnom brojevnom sistemu. Numerirajmo znamenke s desna na lijevo počevši od nule i zamislimo naš broj kao zbir proizvoda cifre i tri na stepen cifre broja:

Ovo je decimalni zapis našeg broja, tj.

Primjer 4. Pretvorimo u decimalni brojevni sistem oktalni broj 511.

Primjer 5. Pretvorimo heksadecimalni broj 1151 u decimalni brojevni sistem.

4. Konverzija iz binarnog sistema u sistem sa osnovom “potencijal dvojke” (4, 8, 16, itd.).

Da biste pretvorili binarni broj u broj sa osnovom "potencijom dva", potrebno je podijeliti binarni niz u grupe prema broju cifara jednakom stepenu s desna na lijevo i svaku grupu zamijeniti odgovarajućom znamenkom. novi sistem Računanje

Na primjer, pretvorimo binarni broj 1100001111010110 u oktalni sistem. Da bismo to učinili, podijelit ćemo ga u grupe od 3 znaka počevši s desne strane (od ), a zatim ćemo koristiti tablicu korespondencije i zamijeniti svaku grupu novim brojem:

Naučili smo kako da napravimo tabelu korespondencije u koraku 1.


0	0
1	1
10	2
11	3
100	4
101	5
110	6
111	7

One.

Primjer 6. Pretvorimo binarni broj 1100001111010110 u heksadecimalni.


0	0
1	1
10	2
11	3
100	4
101	5
110	6
111	7
1000	8
1001	9
1010	A
1011	B
1100	C
1101	D
1110	E
1111	F

5. Konverzija iz sistema sa bazom “potencijal dvojke” (4, 8, 16, itd.) u binarni.

Ovaj prevod je sličan prethodnom, urađen u suprotnom smeru: svaku cifru zamenjujemo grupom cifara u binarnom sistemu iz tabele korespondencije.

Primjer 7. Pretvorimo heksadecimalni broj C3A6 u binarni brojevni sistem.

Da biste to učinili, zamijenite svaku znamenku broja grupom od 4 znamenke (od ) iz tablice korespondencije, dopunjujući grupu nulama na početku ako je potrebno: