حداکثر چگالی طیفی توان چگالی طیفی سیگنال

وقتی منظور ما از یک فرآیند تصادفی به عنوان مجموعه ای (گروهی) از توابع زمان است، باید در نظر داشت که توابع با اشکال مختلف با ویژگی های طیفی مختلف مطابقت دارند. میانگین چگالی طیفی پیچیده، تعریف شده توسط (1.47)، در تمام توابع منجر به طیف صفر از فرآیند می شود (در M[x(تی)]=0 ) به دلیل تصادفی و مستقل بودن فازهای مولفه های طیفی در اجراهای مختلف.

با این حال، می توان مفهوم چگالی طیفی مجذور میانگین یک تابع تصادفی را معرفی کرد، زیرا مقدار مربع میانگین به رابطه فاز هارمونیک های جمع شده بستگی ندارد. اگر تحت تابع تصادفی باشد x(t)به معنای ولتاژ یا جریان الکتریکی است، سپس میانگین مربع این تابع را می توان میانگین توان آزاد شده در مقاومت 1 اهم در نظر گرفت. این توان بسته به مکانیسم شکل‌گیری فرآیند تصادفی، بر فرکانس‌ها در یک باند خاص توزیع می‌شود.

چگالی طیفی توان متوسط، توان متوسط ​​در هر هرتز در یک فرکانس معین است ω . بعد تابع دبلیو(ω) ، که نسبت توان به باند فرکانسی است

چگالی طیفی یک فرآیند تصادفی را می توان در صورتی یافت که مکانیسم تشکیل فرآیند تصادفی شناخته شده باشد. در رابطه با نویز مرتبط با ساختار اتمی ماده و الکتریسیته، این وظیفه بعداً انجام خواهد شد. در اینجا به چند تعریف کلی اکتفا می کنیم.

با انتخاب هر پیاده سازی از مجموعه ایکسک(تی) و مدت آن را به یک بازه محدود محدود می کند تی، می توانید تبدیل فوریه معمولی را روی آن اعمال کنید و چگالی طیفی را پیدا کنید ایکس kT (ω). سپس انرژی بخش اجرا شده در نظر گرفته شده را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد:

(1.152)

تقسیم این انرژی به تی, توان متوسط ​​را بدست می آوریم k-thپیاده سازی در بخش تی

(1.153)

هنگام افزایش تیانرژی Eسی تیافزایش می یابد، اما نسبت به حدی تمایل دارد پس از گذشتن از حد، دریافت می کنیم:

جی
de

نشان می دهد چگالی طیفی توان متوسطدر نظر گرفته شده k-thپیاده سازی.

به طور کلی، ارزش دبلیو ک (ω) باید در بسیاری از پیاده سازی ها به طور میانگین محاسبه شود. با محدود کردن خود در این مورد به در نظر گرفتن یک فرآیند ثابت و ارگودیک، می توانیم فرض کنیم که تابعی که با میانگین بیش از یک تحقق یافت می شود. دبلیو ک (ω) کل فرآیند را به عنوان یک کل مشخص می کند. با حذف شاخص k، عبارت نهایی را برای میانگین توان فرآیند تصادفی به دست می آوریم

برای فرآیندی با میانگین صفر

(1.156)

از تعریف چگالی طیفی (1.155) بدیهی است که دبلیو ایکس (ω) یک تابع زوج و غیر منفی است ω.

1.5.3 رابطه بین چگالی طیفی و تابع کوواریانس یک فرآیند تصادفی

از یک طرف، نرخ تغییر ایکس(تی) عرض طیف را در طول زمان تعیین می کند. از طرف دیگر، نرخ تغییر x(t) سیر تابع کوواریانس را تعیین می کند. بدیهی است که بیندبلیو ایکس (ω) و K ایکس(τ) ارتباط نزدیک وجود دارد.

قضیه وینر-خینچین بیان می کند که به ایکس (τ) و دبلیو ایکس (ω) با تبدیل فوریه مرتبط هستند:

(1.157)

(1.158)

برای فرآیندهای تصادفی با میانگین صفر، عبارات مشابه این شکل را دارند:

این عبارات دلالت بر خاصیتی شبیه به ویژگی های تبدیل فوریه برای سیگنال های قطعی دارند:هرچه طیف یک فرآیند تصادفی وسیع‌تر باشد، فاصله همبستگی کوچک‌تر است و بر این اساس، هر چه فاصله همبستگی بزرگ‌تر باشد، طیف فرآیند باریک‌تر است (شکل 1.20 را ببینید).

شکل 1.20. پهنای باند و طیف باند باریک یک فرآیند تصادفی. مرزهای نوار مرکزی: ±F 1

هنگامی که طیف در همه فرکانس ها یکنواخت باشد، نویز سفید بسیار مورد توجه است.

اگر در عبارت 1.158 جایگزین کنیم دبلیوایکس(ω) = دبلیو 0 = const، سپس دریافت می کنیم

که در آن δ(τ) تابع دلتا است.

برای نویز سفید با طیف بی نهایت و یکنواخت، تابع همبستگی برای تمام مقادیر τ برابر است با صفر به جز τ = 0 ، که در آن آر ایکس (0) به بی نهایت تبدیل می شود این نوع نویز که ساختاری سوزنی مانند با میخ های تصادفی بی نهایت ظریف دارد، گاهی اوقات فرآیند همبسته دلتا نامیده می شود. پراکندگی نویز سفید بی نهایت زیاد است.

سوالات خودآزمایی

مشخصات اصلی یک سیگنال تصادفی را نام ببرید.

تابع همبستگی و طیف انرژی یک سیگنال تصادفی چگونه از نظر ریاضی به هم مرتبط هستند؟

به کدام فرآیند تصادفی ثابت می گویند.

به کدام فرآیند تصادفی ارگودیک می گویند.

نحوه تعیین پوشش، فاز و فرکانس سیگنال باند باریک

کدام سیگنال را تحلیلی می نامند.

چگالی طیفی توان متقاطع (طیف توان متقاطع)دو تحقق و فرآیندهای تصادفی ارگودی ثابت و به عنوان تبدیل فوریه مستقیم بر تابع کوواریانس متقابل آنها تعریف می شود.

یا با در نظر گرفتن رابطه بین فرکانس های دایره ای و چرخه ای،

تبدیل فوریه معکوس تابع کوواریانس متقابل و چگالی طیفی توان را به هم مرتبط می کند:

مشابه (1.32)، (1.33) را معرفی می کنیم چگالی طیفی توان (طیف توان) فرآیند تصادفی

تابع دارای ویژگی برابری است:

رابطه زیر برای چگالی طیفی متقابل برقرار است:

تابع کمپلکس مزدوج به کجاست.

فرمول های معرفی شده در بالا برای چگالی طیفی برای هر دو فرکانس مثبت و منفی تعریف شده و نامیده می شوند. چگالی طیفی دو طرفه . آنها برای مطالعه تحلیلی سیستم ها و سیگنال ها مناسب هستند. در عمل از چگالی طیفی استفاده می کنند که فقط برای فرکانس های غیر منفی تعریف شده و فراخوانی شده است یک طرفه (شکل 1.14):

شکل 1.14 - یک طرفه و دو طرفه

چگالی طیفی

اجازه دهید عبارتی را استخراج کنیم که چگالی طیفی یک طرفه یک SP ثابت را با تابع کوواریانس آن مرتبط می کند:

اجازه دهید ویژگی برابری برای تابع کوواریانس SP ثابت و تابع کسینوس، خاصیت برابری فرد برای تابع سینوس و همچنین تقارن محدودیت‌های ادغام را در نظر بگیریم. در نتیجه انتگرال دوم در عبارت بالا صفر می شود و در انتگرال اول می توان حدود انتگرال را نصف کرد و ضریب را دو برابر کرد:

واضح است که چگالی طیفی توان یک فرآیند تصادفی یک تابع واقعی است.

به طور مشابه، می توانید رابطه معکوس را بدست آورید:

از عبارت (1.42) در آن نتیجه می شود که

این بدان معنی است که مساحت کل زیر نمودار چگالی طیفی یک طرفه برابر است با مجذور میانگین فرآیند تصادفی. به عبارت دیگر، چگالی طیفی یک طرفه به عنوان توزیع مجذور میانگین فرآیند روی فرکانس ها تفسیر می شود.

مساحت زیر نمودار چگالی یک طرفه، محصور بین دو مقدار دلخواه فرکانس و برابر است با میانگین مربع فرآیند در این باند فرکانسی طیفی (شکل 1.15):

شکل 1.15 – خاصیت چگالی طیفی

چگالی طیفی توان متقاطع یک کمیت پیچیده است، بنابراین می توان آن را به صورت نمایی با نوشتن نمایش داد. مدول و زاویه فاز :

ماژول کجاست

- زاویه فاز؛

، به ترتیب قسمت واقعی و خیالی تابع هستند.

مدول چگالی طیفی متقابل در نابرابری مهم گنجانده شده است

این نابرابری به ما اجازه می دهد تا تعیین کنیم تابع انسجام (انسجام مربع)، که مشابه تابع همبستگی نرمال شده مجذور است:

راه دوم برای معرفی چگالی طیفی از طریق تبدیل فوریه مستقیم فرآیندهای تصادفی است.

اجازه دهید و دو فرآیند تصادفی ارگودی ثابت که برای آن تبدیل فوریه به طور فشرده پشتیبانی می شود طول تحقق در فرم تعیین می شود

چگالی طیفی متقابل دو طرفه این فرآیندهای تصادفی با استفاده از محصول از طریق رابطه معرفی شده است.

که در آن عملگر انتظار به معنای عملیات میانگین گیری بیش از شاخص است.

محاسبه چگالی طیفی دو طرفه یک فرآیند تصادفی با توجه به رابطه انجام می شود

چگالی طیفی یک طرفه به طور مشابه معرفی می شود:

توابع تعریف شده توسط فرمول های (1.49)، (1.50) با توابع مربوطه تعریف شده توسط روابط (1.32)، (1.33) به عنوان تبدیل فوریه بر روی توابع کوواریانس یکسان هستند. این بیانیه نامیده می شود قضایای وینر-خینچین.

کنترل سوالات

1. یک طبقه بندی از فرآیندهای قطعی ارائه دهید.

2. تفاوت بین فرآیندهای چند هارمونیک و تقریباً دوره ای چیست؟

3. تعریف فرآیند تصادفی ثابت را فرموله کنید.

4. کدام روش برای میانگین‌گیری ویژگی‌های یک فرآیند تصادفی ارگودیک ترجیح داده می‌شود - میانگین‌گیری بیش از مجموعه‌ای از توابع نمونه یا میانگین‌گیری در زمان مشاهده یک اجرا؟

5. تعریف توزیع چگالی احتمال یک فرآیند تصادفی را فرموله کنید.

6. عبارتی را بنویسید که توابع همبستگی و کوواریانس یک فرآیند تصادفی ثابت را به هم متصل می کند.

7. در چه موردی دو فرآیند تصادفی غیر همبسته در نظر گرفته می شوند؟

8. روش هایی را برای محاسبه میانگین مربعات یک فرآیند تصادفی ثابت نشان دهید.

9. چه تبدیلی به چگالی طیفی و توابع کوواریانس یک فرآیند تصادفی مربوط می شود؟

10. مقادیر تابع انسجام دو فرآیند تصادفی در چه محدوده ای تغییر می کند؟

ادبیات

1. سرجینکو، ا.ب. پردازش سیگنال دیجیتال / A.B. سرجینکو - م: پیتر، 2002. - 604 ص.

2. سادوفسکی، جی.ا. مبانی نظری فناوری اندازه گیری اطلاعات / G.A. سادوفسکی. – م.: دبیرستان، 2008. – 480 ص.

3. Bendat، D. کاربرد همبستگی و تجزیه و تحلیل طیفی / D. Bendat، A. Piersol. – م.: میر، 1983. – 312 ص.

4. Bendat، D. اندازه گیری و تجزیه و تحلیل فرآیندهای تصادفی / D. Bendat، A. Pirsol. – م.: میر، 1974. – 464 ص.

1) در معنای فیزیکی آن، طیف توان واقعی و غیر منفی است:

بنابراین، بازسازی هر گونه تحقق فردی از یک فرآیند تصادفی از طیف قدرت اساساً غیرممکن است.

2) از آنجایی که آرگومان یک تابع زوج است، طیف توان مربوطه یک تابع زوج فرکانس است. بنابراین، جفت تبدیل های فوریه (6.14)، (6.15) را می توان با استفاده از انتگرال در حدود نیمه نامتناهی نوشت:

(6.17)

(6.18)

3. توصیه می شود به اصطلاح طیف توان یک طرفه یک فرآیند تصادفی را معرفی کنید و آن را به شرح زیر تعریف کنید:

(6.19)

این تابع به شما امکان می دهد واریانس یک فرآیند تصادفی ثابت را با ادغام روی مثبت (فرکانس های فیزیکی) محاسبه کنید:

(6.20)

4. در محاسبات فنی، اغلب یک طیف توان یک طرفه N(f) معرفی می شود که میانگین توان یک فرآیند تصادفی در هر بازه فرکانس 1 هرتز عرض است:

(6.21)

در عین حال، چقدر دیدن آن آسان است

خیلی پارامتر مهمفرآیندهای تصادفی فاصله همبستگی است. فرآیندهای تصادفی معمولاً دارای ویژگی‌های زیر هستند: تابع همبستگی آنها با افزایش شیفت زمانی به صفر می‌رسد. هر چه تابع سریعتر کاهش یابد، رابطه آماری بین مقادیر لحظه ای یک سیگنال تصادفی در دو نقطه واگرا در زمان کوچکتر می شود.

مشخصه عددی مورد استفاده برای ارزیابی "نرخ تغییر" اجرای یک فرآیند تصادفی، فاصله همبستگی است که توسط عبارت:

(6.22)

اگر اطلاعاتی در مورد رفتار هر پیاده سازی "در گذشته" شناخته شده باشد، پیش بینی احتمالی یک فرآیند تصادفی برای یک زمان سفارشی امکان پذیر است.

یکی دیگر از پارامترهای ضروری برای یک فرآیند تصادفی، پهنای طیف موثر است. اجازه دهید فرآیند تصادفی مورد مطالعه با یک تابع مشخص شود - یک طیف توان یک طرفه، و - مقدار شدید این تابع. اجازه دهید به طور ذهنی این فرآیند تصادفی را با فرآیند دیگری جایگزین کنیم که چگالی طیفی توان آن در باند فرکانس موثر ثابت و برابر است، که از شرطی انتخاب شده است که میانگین توان هر دو فرآیند برابر باشد:

این فرمول پهنای طیفی موثر را به دست می دهد:

(6.23)

در خارج از باند مشخص شده، چگالی طیفی فرآیند تصادفی برابر با 0 در نظر گرفته می شود.

این مشخصه عددی اغلب برای محاسبات مهندسی پراکندگی سیگنال نویز استفاده می شود: .

اگر تحقق یک فرآیند تصادفی دارای بعد ولتاژ (V) باشد، طیف توان نسبی N دارای بعد ولتاژ است.

نویز سفید و خواص آن فرآیند تصادفی گاوسی

الف) نویز سفید

یک فرآیند تصادفی ثابت با چگالی طیفی توان ثابت در همه فرکانس ها نویز سفید نامیده می شود.

(7.1)

طبق قضیه وینر-خینچین، تابع همبستگی نویز سفید به صورت زیر است:

در همه جا به جز نقطه برابر با صفر است. میانگین توان (پراکندگی) نویز سفید نامحدود است.

نویز سفید یک فرآیند همبسته دلتا است. ماهیت نامرتبط مقادیر لحظه ای چنین سیگنال تصادفی به معنای نرخ بی نهایت زیاد تغییر در طول زمان است - مهم نیست که فاصله چقدر کوچک باشد، سیگنال در این زمان می تواند با هر مقدار از پیش تعیین شده تغییر کند.

نویز سفید یک مدل ریاضی انتزاعی است و فرآیند فیزیکی مربوطه قطعاً در طبیعت وجود ندارد. با این حال، این مانع از جایگزینی تقریباً فرآیندهای تصادفی باند پهن واقعی با نویز سفید در مواردی نمی شود که پهنای باند مدار تحت تأثیر سیگنال تصادفی به طور قابل توجهی باریکتر از عرض مؤثر طیف نویز است.

تخمین چگالی طیفی توان یک مشکل شناخته شده برای فرآیندهای تصادفی است. نمونه هایی از فرآیندهای تصادفی شامل نویز و همچنین سیگنال هایی است که اطلاعات را حمل می کنند. معمولاً شما باید یک تخمین آماری پایدار پیدا کنید. تجزیه و تحلیل سیگنال به طور مفصل در دوره پردازش سیگنال دیجیتال پوشش داده شده است. اطلاعات اولیه در ارائه شده است.

برای سیگنال هایی با ویژگی های آماری شناخته شده، ترکیب طیفی را می توان از فاصله محدود این سیگنال تعیین کرد. اگر مشخصات آماری یک سیگنال ناشناخته باشد، تنها تخمینی از طیف آن را می توان از یک بخش سیگنال به دست آورد. روش های مختلف از مفروضات متفاوتی استفاده می کنند و بنابراین تخمین های متفاوتی را تولید می کنند.

هنگام انتخاب یک تخمین، فرض بر این است که، در حالت کلی، سیگنال مورد تجزیه و تحلیل یک فرآیند تصادفی است. و لازم است یک تخمین بی طرفانه با پراکندگی کم انتخاب شود، که اجازه می دهد تا میانگین طیف سیگنال را بدست آوریم. سوگیری تفاوت بین میانگین برآورد و مقدار واقعی یک کمیت است. تخمین بی طرفانه تخمینی با افست صفر. یک تخمین با واریانس کم مقادیر مورد نظر را به خوبی بومی سازی می کند، یعنی. چگالی احتمال حول مقدار میانگین متمرکز شده است. توصیه می شود یک ارزیابی منسجم داشته باشید، به عنوان مثال. تخمینی که با افزایش حجم نمونه به مقدار واقعی گرایش پیدا می کند (بایاس و واریانس به صفر تمایل دارند). تخمین های پارامتری وجود دارند که فقط از اطلاعات مربوط به خود سیگنال استفاده می کنند و تخمین های ناپارامتریک که از یک مدل آماری سیگنال تصادفی استفاده می کنند و پارامترهای این مدل را انتخاب می کنند.

هنگام تخمین فرآیندهای تصادفی، استفاده از توابع همبستگی رایج است.

برای یک فرآیند ارگودیک، می توان پارامترهای آماری فرآیند را با میانگین بیش از یک پیاده سازی تعیین کرد.

برای فرآیند تصادفی ثابتتابع همبستگی Rx (t) به بازه زمانی تعیین شده بستگی دارد. این کمیت رابطه بین مقادیر x(t) را که با فاصله t از هم جدا شده اند مشخص می کند. هرچه R(t) کندتر کاهش یابد، فاصله زمانی که در طی آن یک رابطه آماری بین مقادیر فرآیند تصادفی مشاهده می شود طولانی تر است.

انتظار ریاضی x(t) کجاست.

رابطه بین تابع همبستگی R(t) و چگالی طیفی توان W(w) برای یک فرآیند تصادفی توسط قضیه وینر-خینچین تعیین می شود.

برای فرآیندهای گسسته، قضیه وینر-خینچین ارتباطی بین طیف یک فرآیند تصادفی گسسته W(w) و تابع همبستگی آن Rx (n) برقرار می کند.

W(w)= R x (n) exp(-j w n T)

برای تخمین انرژی سیگنال در حوزه زمان و فرکانس از برابری پارسوال استفاده می شود

یکی از روش های رایج برای به دست آوردن تخمین چگالی طیفی استفاده از روش پریودوگرام است.

پریودوگرامدر این روش، تبدیل فوریه گسسته برای سیگنال x(n)، مشخص شده در نقاط نمونه گسسته از طول N نمونه و میانگین‌گیری آماری آن انجام می‌شود. محاسبه واقعی طیف، X(k)، تنها در تعداد محدودی از نقاط فرکانس N انجام می‌شود. تبدیل فوریه سریع (FFT) اعمال می‌شود. چگالی طیفی توان در هر نمونه نمونه محاسبه می شود:

P xx (X k)=|X(k)| 2 /N، X(k)=، k=0.1،…،N-1.

برای به دست آوردن یک تخمین آماری پایدار، داده های موجود به نمونه های همپوشانی تقسیم می شوند و به دنبال آن میانگین طیف های به دست آمده برای هر نمونه می شود. تعداد نمونه در هر نمونه N و جابجایی ابتدای هر نمونه بعدی نسبت به ابتدای N t قبلی مشخص شده است. هر چه تعداد نمونه‌ها در نمونه کمتر باشد، تعداد نمونه‌ها بیشتر و واریانس کمتری برآورد می‌شود. اما از آنجایی که طول نمونه N با وضوح فرکانس (2.4) مرتبط است، کاهش طول نمونه منجر به کاهش وضوح فرکانس می شود.

بنابراین، سیگنال از طریق پنجره مشاهده می شود و داده هایی که در پنجره قرار نمی گیرند صفر در نظر گرفته می شوند. یک سیگنال محدود x(n) متشکل از N نمونه معمولاً به عنوان نتیجه ضرب سیگنالی که در زمان بی نهایت است نشان داده می شود. (ن)به یک پنجره مستطیلی با طول محدود w R (n):

x(n) = (ن)∙w R (n)،

و طیف پیوسته XN (f) سیگنال های مشاهده شده x(n) به عنوان پیچیدگی تصاویر فوریه X(f)، W R (f) یک سیگنال بی نهایت در زمان تعریف می شود. (ن)∙و ویندوز w R (n)

X N (f)=X(f)*W R (f)=

طیف یک پنجره مستطیلی پیوسته (rect) به شکل یک سینوسی انتگرال sinc(x)=sin(x)/x است. این شامل یک لوب اصلی و چندین لوب جانبی است که بزرگترین آنها تقریباً 13 دسی بل زیر قله اصلی است (شکل 15 را ببینید).

تصویر فوریه (طیف) یک دنباله گسسته که با نمونه برداری از نقطه N از یک پنجره مستطیلی پیوسته در شکل 32 نشان داده شده است. می توان آن را با جمع سینوس های انتگرال جابجا شده (2.9) محاسبه کرد که منجر به هسته دیریکله می شود.

برنج. 32. طیف یک پنجره مستطیلی گسسته

در حالی که یک سیگنال با طول نامتناهی توان خود را دقیقاً در فرکانس گسسته f k متمرکز می کند، سیگنال نمونه برداری از موج مربعی دارای طیف توان توزیع شده است. هر چه نمونه کوتاهتر باشد، طیف توزیع بیشتری دارد.

در تجزیه و تحلیل طیفی، داده ها با استفاده از توابع پنجره وزن می شوند، در نتیجه تاثیر "لوب های" جانبی بر تخمین های طیفی کاهش می یابد.

برای تشخیص دو هارمونیک f 1 و f 2 با فرکانس های نزدیک، لازم است که برای پنجره زمانی T عرض "لوب" اصلی Df -3 ≈ Df L = 0 =1/T، با مقدار -3 تعیین شود. دسی بل، کمتر از اختلاف فرکانس های مورد نظر است

Df=f 1 -f 2 > Df -3

عرض پنجره زمانی T مربوط به فرکانس نمونه برداری f s و تعداد نمونه های نمونه برداری با فرمول (2.4) است.

ابزارهای تجزیه و تحلیل هارمونیک. برای مطالعه سیگنال ها، استفاده از بسته MATLAB، به ویژه پردازش سیگنال برنامه (جعبه ابزار) آن بسیار راحت است.

پریودوگرام های اصلاح شدهاز توابع پنجره غیر مستطیلی استفاده کنید که اثر گیبس را کاهش می دهد. یک مثال استفاده از پنجره Hamming است. اما در همان زمان، عرض لوب اصلی طیف نگار تقریبا دو برابر می شود. پنجره Kaiser کمی بهینه شده است. افزایش عرض لوب های اصلی هنگام ایجاد فیلترهای پایین گذر منجر به افزایش باند انتقال (بین باندهای عبور و توقف) می شود.

تابع امتیاز دهی ولش. این روش شامل تقسیم داده‌های زمانی متوالی به بخش‌ها (احتمالاً همپوشانی)، سپس پردازش هر بخش، و سپس تخمین طیف با میانگین‌گیری نتایج پردازش بخش‌ها است. برای بهبود برآورد می توان از توابع پنجره غیر مستطیلی مانند پنجره Hamming استفاده کرد. افزایش تعداد سگمنت ها باعث کاهش پراکندگی می شود، اما در عین حال وضوح فرکانس روش کاهش می یابد. این روش با مقدار زیاد سیگنال مفید بیش از نویز نتایج خوبی می دهد و اغلب در عمل استفاده می شود.

شکل 33 تخمین ترکیب هارمونیک برای داده های حاوی سیگنال های مفید باند باریک و نویز سفید را با نمونه های مختلف (N=100، N=67) و با استفاده از روش های مختلف نشان می دهد.

برنج. 33. برآورد هارمونیک سیگنال برای تبدیل FFT 1024 نقطه

روش های پارامتریکاز مدل های خودرگرسیون (AR) استفاده کنید. روش ها مدل های فیلتر را می سازند و از آنها برای تخمین طیف سیگنال استفاده می کنند. همه روش ها در صورت وجود نویز در سیگنال، تخمین های مغرضانه ای ارائه می دهند. روش‌هایی برای پردازش سیگنال‌ها با اجزای هارمونیک در برابر پس‌زمینه نویز در نظر گرفته شده‌اند. ترتیب روش (فیلتر) روی دو برابر تعداد هارمونیک های موجود در سیگنال تنظیم می شود. چندین روش پارامتریک پیشنهاد شده است.

روش Burg وضوح فرکانس بالایی را برای نمونه های کوتاه فراهم می کند. با ترتیب فیلتر بزرگ، قله های طیفی تقسیم می شوند. موقعیت قله های طیفی به فازهای هارمونیک اولیه بستگی دارد.

روش کوواریانس به شما امکان می دهد طیف سیگنال حاوی مجموع اجزای هارمونیک را تخمین بزنید.

روش Yule-Walker در نمونه های طولانی نتایج خوبی می دهد و برای نمونه های کوتاه توصیه نمی شود.

روش های همبستگی . روش‌های MISIC (طبقه‌بندی سیگنال چندگانه) و EV (بردارهای ویژه) نتایج را در قالب یک شبه طیف تولید می‌کنند. روش ها بر اساس تجزیه و تحلیل بردارهای ماتریس همبستگی سیگنال هستند. این روش ها وضوح فرکانس کمی بهتر از روش های همبستگی خودکار ارائه می دهند.

اجازه دهید سیگنال س(تی) به عنوان یک تابع غیر تناوبی مشخص می شود و فقط در بازه ( تی 1 ,تی 2) (مثال - تک نبض). بیایید یک دوره زمانی دلخواه را انتخاب کنیم تی، از جمله فاصله ( تی 1 ,تی 2) (شکل 1 را ببینید).

اجازه دهید سیگنال دوره ای به دست آمده از را نشان دهیم س(تی)، مانند ( تی). سپس می توانیم سری فوریه را برای آن بنویسیم

برای رفتن به تابع س(تی) در عبارت ( تی) دوره را به بی نهایت هدایت کنید. در این مورد، تعداد اجزای هارمونیک با فرکانس w=n 2پ/تیبی نهایت بزرگ خواهد بود، فاصله بین آنها به صفر میل خواهد کرد (تا یک مقدار بی نهایت کوچک:

دامنه مولفه ها نیز بی نهایت کوچک خواهد بود. بنابراین، دیگر نمی توان در مورد طیف چنین سیگنالی صحبت کرد، زیرا طیف پیوسته می شود.

انتگرال داخلی تابعی از فرکانس است. به آن چگالی طیفی سیگنال یا پاسخ فرکانسسیگنال و نشان می دهد i.e.

برای عمومیت، حدود انتگرال را می توان به بی نهایت تنظیم کرد، زیرا در جایی که s(t) برابر با صفر و انتگرال برابر با صفر است، همه چیز یکسان است.

بیان چگالی طیفی تبدیل فوریه مستقیم نامیده می شود. تبدیل فوریه معکوس تابع زمانی یک سیگنال را از چگالی طیفی آن تعیین می کند

تبدیل فوریه مستقیم (*) و معکوس (**) با هم یک جفت تبدیل فوریه نامیده می شوند. ماژول چگالی طیفی

پاسخ دامنه فرکانس (AFC) سیگنال و آرگومان آن را تعیین می کند پاسخ فرکانس فاز (PFC) سیگنال نامیده می شود. پاسخ فرکانسی سیگنال یک تابع زوج و پاسخ فاز یک تابع فرد است.

معنی ماژول اس(w) به عنوان دامنه یک سیگنال (جریان یا ولتاژ) در هر 1 هرتز در یک باند فرکانسی بی نهایت باریک که شامل فرکانس مورد نظر است تعریف می شود. w. ابعاد آن [سیگنال/فرکانس] است.

طیف انرژی سیگنالاگر تابع s(t) دارای چگالی توان سیگنال فوریه باشد ( چگالی طیفی انرژی سیگنال) با عبارت تعیین می شود:

w(t) = s(t)s*(t) = |s(t)|2  |S()|2 = S()S*() = W(). (5.2.9)

طیف توان یک تابع زوج غیرمنفی W() واقعی است که معمولاً به آن طیف انرژی می گویند. طیف توان، به عنوان مجذور مدول چگالی طیفی سیگنال، حاوی اطلاعات فاز در مورد اجزای فرکانس آن نیست، و بنابراین، بازسازی سیگنال از طیف توان غیرممکن است. این همچنین به این معنی است که سیگنال هایی با ویژگی های فاز متفاوت می توانند طیف های توان یکسانی داشته باشند. به ویژه، تغییر سیگنال بر طیف توان آن تأثیر نمی گذارد. دومی به ما اجازه می‌دهد که بیانی برای طیف انرژی مستقیماً از عبارات (5.2.7) بدست آوریم. در حد، برای سیگنال‌های یکسان u(t) و v(t) با شیفت t 0، قسمت خیالی طیف Wuv () به مقادیر صفر و قسمت واقعی به مقادیر مدول طیف تمایل دارد. . با ترکیب زمانی کامل سیگنال ها داریم:

آن ها انرژی سیگنال برابر است با انتگرال مدول مربع طیف فرکانس آن - مجموع انرژی اجزای فرکانس آن، و همیشه یک مقدار واقعی است.

برای یک سیگنال دلخواه s(t) برابری است

معمولاً برابری پارسوال نامیده می شود (در ریاضیات - قضیه پلانچرل، در فیزیک - فرمول ریلی). برابری آشکار است، زیرا نمایش مختصات و فرکانس اساساً فقط نمایش های ریاضی متفاوتی از یک سیگنال هستند. به طور مشابه برای انرژی تعامل دو سیگنال:

از برابری پارسوال نتیجه می شود که حاصل ضرب اسکالر سیگنال ها و هنجار با توجه به تبدیل فوریه ثابت است:

در تعدادی از مشکلات صرفاً عملی ضبط و ارسال سیگنال، طیف انرژی سیگنال بسیار قابل توجه است. سیگنال های دوره ای به شکل سری فوریه به ناحیه طیفی ترجمه می شوند. اجازه دهید یک سیگنال تناوبی با دوره T به شکل سری فوریه به شکل مختلط بنویسیم:

بازه 0-T شامل یک عدد صحیح از دوره های تمام توان های انتگرال است و برابر با صفر است، به استثنای نمایی در k = -m، که انتگرال آن برابر با T است. بر این اساس، توان متوسط ​​یک سیگنال دوره ای برابر است با مجموع مجذور ماژول های ضرایب سری فوریه آن:

طیف انرژی سیگنال - این توزیع انرژی سیگنال های اصلی است که سیگنال غیر هارمونیک را در محور فرکانس تشکیل می دهند. از نظر ریاضی، طیف انرژی سیگنال برابر است با مجذور مدول تابع طیفی:

بر این اساس، طیف دامنه فرکانس مجموعه دامنه های اجزای سیگنال های پایه را در محور فرکانس نشان می دهد و طیف فاز فرکانس مجموعه فازها را نشان می دهد.

مدول تابع طیفی اغلب نامیده می شود طیف دامنه، و استدلال آن است طیف فاز.

علاوه بر این، یک تبدیل فوریه معکوس وجود دارد که به شما امکان می دهد سیگنال اصلی را با دانستن عملکرد طیفی آن بازیابی کنید:

به عنوان مثال، یک ضربه مستطیل شکل بگیرید:

نمونه دیگری از طیف:

فرکانس نایکیست، قضیه کوتلنیکوف .

فرکانس نایکیست - در پردازش سیگنال دیجیتال، فرکانس برابر با نصف فرکانس نمونه برداری. به نام هری نایکیست. از قضیه کوتلنیکوف چنین بر می آید که هنگام گسسته سازی سیگنال آنالوگتنها در صورتی که طیف (چگالی طیفی) (بالاترین فرکانس سیگنال مفید) سیگنال برابر یا کمتر از فرکانس Nyquist باشد، اطلاعات از دست نخواهد رفت. در غیر این صورت، هنگام بازیابی سیگنال آنالوگ، یک همپوشانی از "دم" طیفی (جایگزینی فرکانس، پوشش فرکانس) وجود خواهد داشت و شکل سیگنال بازیابی شده تحریف می شود. اگر طیف سیگنال هیچ مولفه ای بالاتر از فرکانس Nyquist نداشته باشد، می توان آن را (از لحاظ نظری) نمونه برداری کرد و سپس بدون اعوجاج بازسازی کرد. در واقع، "دیجیتالی شدن" یک سیگنال (تبدیل سیگنال آنالوگ به دیجیتال) با کمی سازی نمونه ها همراه است - هر نمونه به شکل یک کد دیجیتال با عمق بیت محدود نوشته می شود که در نتیجه آن خطاهای کوانتیزاسیون (گرد کردن) به نمونه ها اضافه می شود، تحت شرایط خاصی که به عنوان "نویز کوانتیزاسیون" در نظر گرفته می شود.

سیگنال های واقعی با مدت زمان محدود همیشه طیف بی نهایت گسترده ای دارند که با افزایش فرکانس کم و بیش سریع کاهش می یابد. بنابراین، نمونه برداری سیگنال همیشه منجر به از دست دادن اطلاعات (تحریف شکل سیگنال در هنگام نمونه برداری و بازسازی) می شود، مهم نیست که فرکانس نمونه برداری چقدر بالا باشد. در نرخ نمونه برداری انتخاب شده، اعوجاج را می توان با سرکوب مولفه های طیفی سیگنال آنالوگ (قبل از نمونه برداری) در بالای فرکانس Nyquist کاهش داد، که به یک فیلتر مرتبه بسیار بالا برای جلوگیری از همخوانی دم ها نیاز دارد. پیاده سازی عملیچنین فیلتری بسیار پیچیده است، زیرا ویژگی های دامنه فرکانس فیلترها مستطیلی نیست، بلکه صاف است و یک باند فرکانس انتقال مشخصی بین باند عبور و باند سرکوب تشکیل می شود. بنابراین، فرکانس نمونه برداری با حاشیه انتخاب می شود، به عنوان مثال، در سی دی های صوتی از فرکانس نمونه برداری 44100 هرتز استفاده می شود، در حالی که بالاترین فرکانس در طیف است. سیگنال های صوتیفرکانس 20000 هرتز در نظر گرفته می شود. حاشیه فرکانس Nyquist 44100 / 2 - 20000 = 2050 هرتز به شما امکان می دهد هنگام استفاده از فیلتر مرتبه پایین پیاده سازی شده از جایگزینی فرکانس جلوگیری کنید.

قضیه کوتلنیکوف

به منظور بازیابی نسخه اصلی سیگنال پیوستهاز نمونه نمونه برداری شده با اعوجاج (خطا) کوچک، لازم است مرحله نمونه برداری به صورت منطقی انتخاب شود. بنابراین، هنگام تبدیل یک سیگنال آنالوگ به یک سیگنال گسسته، این سوال در مورد اندازه مرحله نمونه گیری به طور شهودی مطرح می شود، درک ایده زیر دشوار نیست. اگر یک سیگنال آنالوگ دارای یک طیف فرکانس پایین محدود شده توسط یک فرکانس بالای مشخصی Fe باشد (یعنی تابع u(t) به شکل یک منحنی متغیر هموار، بدون تغییرات شدید در دامنه باشد)، در این صورت بعید است که این تابع بتواند به طور قابل توجهی در بازه زمانی نمونه برداری کوچک تغییر می کند. کاملاً بدیهی است که دقت بازسازی سیگنال آنالوگ از توالی نمونه‌های آن به اندازه فاصله نمونه‌برداری بستگی دارد نکته ها. با این حال، با کاهش فاصله نمونه برداری، پیچیدگی و حجم تجهیزات پردازش به طور قابل توجهی افزایش می یابد. اگر فاصله نمونه برداری به اندازه کافی بزرگ باشد، احتمال اعوجاج یا از دست دادن اطلاعات هنگام بازسازی سیگنال آنالوگ افزایش می یابد. مقدار بهینه فاصله نمونه‌گیری با قضیه کوتلنیکوف تعیین می‌شود (اسامی دیگر قضیه نمونه‌گیری، قضیه K. شانون، قضیه X. Nyquist است: این قضیه ابتدا در ریاضیات O. Couchy کشف شد و سپس دوباره توسط D. کارسون و آر. هارتلی) که توسط او در سال 1933 اثبات شد، قضیه V.A. Kotelnikov اهمیت نظری و عملی مهمی دارد: این امکان را فراهم می کند تا به درستی از یک سیگنال آنالوگ نمونه برداری شود و راه بهینه برای بازیابی آن در انتهای دریافت از مقادیر نمونه تعیین شود.

طبق یکی از مشهورترین و ساده‌ترین تفاسیر قضیه کوتلنیکوف، یک سیگنال دلخواه u(t) که طیف آن با فرکانس مشخصی Fe محدود شده است، می‌تواند به طور کامل از توالی مقادیر مرجع آن و با یک زمان بازسازی شود. فاصله

بازه نمونه برداری و فرکانس Fe(1) در مهندسی رادیو اغلب به ترتیب بازه و فرکانس نایکوئیست نامیده می شوند. به صورت تحلیلی، قضیه کوتلنیکوف در کنار آن ارائه شده است

که در آن k عدد نمونه است. - مقدار سیگنال در نقاط مرجع - فرکانس بالاطیف سیگنال

نمایش فرکانس سیگنال های گسسته .

بیشتر سیگنال ها را می توان به صورت سری فوریه نشان داد: