روش های زیر برای سازماندهی کانال های رادیویی (فناوری های رادیویی) در حال حاضر شناخته شده است: FDMA، TDMA، CDMA، FH-CDMA. ترکیبی از اینها ممکن است (به عنوان مثال FDMA/TDMA). زمان استفاده از این فناوری ها تا حد زیادی با مراحل توسعه سیستم های ارتباطی سیار همزمان است. نسل اول تجهیزات تلفن رادیویی سیار از فناوری دسترسی چندگانه تقسیم فرکانس (FDMA) استفاده می کرد. فناوری رادیویی FDMA تاکنون با موفقیت در تجهیزات پیشرفته مورد استفاده قرار گرفته است ارتباط سلولینسل اول، و همچنین در سیستم های تلفن رادیویی سیار ساده تر با ساختار غیر سلولی. در مورد استانداردهای ارتباطات سیار مرحله اول، مفهوم استاندارد برای اولین سیستم های شعاعی استفاده نشد و تجهیزات با توجه به نام سیستم ها (Altai، Volemot، Actionet و ...) متفاوت بود. سیستم های ارتباط سلولی شروع به متفاوت شدن در استانداردها کرده اند. فناوری FDMA اساس استانداردهای نسل اول سیستم های ارتباط سلولی است NMT-450، NMT-900، AMPS، TACS.نسل دوم سیستم‌های ارتباطی سیار سلولی انتقال به پردازش دیجیتال پیام‌های صوتی ارسال‌شده را انجام دادند که شروع به استفاده از فناوری رادیویی با دسترسی چندگانه تقسیم زمانی (TDMA) کرد. در نتیجه انتقال به TDMA: ایمنی نویز مسیر رادیویی افزایش یافته است، محافظت از آن در برابر استراق سمع بهتر شده است و غیره. TDMA در سیستم هایی با استانداردهایی مانند GSM، D-AMPS(در نسخه آمریکایی اغلب به آن TDMA گفته می شود). فناوری رادیویی با دسترسی چندگانه تقسیم کد CDMA یا در نسخه انگلیسی CDMA، تنها در پنج سال گذشته به طور فعال در شبکه های تلفن رادیویی عمومی معرفی شده است. این فناوری رادیویی مزایای خود را دارد، زیرا در تجهیزات CDMA: - راندمان استفاده از طیف فرکانس رادیویی در مقایسه با تجهیزات رادیویی استاندارد AMPS (فناوری FDMA) 20 برابر و در مقایسه با GSM (فناوری TDMA) 3 برابر بیشتر است. - کیفیت، قابلیت اطمینان و محرمانه بودن ارتباطات به طور قابل توجهی بهتر از سایر سیستم های نسل دوم TDMA. - امکان استفاده از ترمینال های کم مصرف سایز کوچک با بلند مدتکار؛ - در همان فاصله از ایستگاه پایه، قدرت تشعشع پایانه های مشترک CDMA در مقایسه با شاخص مشابه در شبکه های استاندارد مبتنی بر سایر فناوری های رادیویی، بیش از 5 برابر کمتر است. - بهینه سازی توپولوژی شبکه هنگام محاسبه مناطق تحت پوشش امکان پذیر است. فناوری CDMA برای اولین بار در تجهیزات سلولی استاندارد IS-95 پیاده سازی شد. از نظر قابلیت های خدماتی، سیستم های CDMA موجود به سیستم های ارتباط سلولی نسل دوم تعلق دارند. بر اساس آمار موسسه ملی مخابرات (ETRI)، تعداد مشترکان شبکه CDMA هر روز 2000 نفر در حال افزایش است. از نظر نرخ رشد تعداد مشترکان، این شبکه ها از شبکه های دیگر استانداردهای ارتباط سلولی موجود پیشی می گیرند و از توسعه شبکه های سلولی حتی با استاندارد محبوبی مانند GSM پیشی می گیرند. در حال حاضر حداقل 30 میلیون مشترک در شبکه های CDMA وجود دارد. جامعه جهانی ارتباطات از راه دور به این باور تمایل دارد که CDMA جایگاه پیشرو در سیستم های دسترسی بی سیم آینده برای خطوط مشترک (نسل سوم سیستم های ارتباطی شخصی) را اشغال خواهد کرد. این نتیجه گیری به دلیل این واقعیت است که فناوری CDMA بیشترین توانایی را دارد که الزامات تجهیزات نسل سوم IMT-2000 را برآورده کند، به ویژه برای اطمینان از تبادل اطلاعات با نرخ انتقال بالا. با این حال، در سیستم های دسترسی بی سیم آینده، برنامه ریزی شده است که از سیستم های CDMA باند پهن استفاده شود، که در آن باند فرکانسی در هر کانال حداقل 5 مگاهرتز خواهد بود (در سیستم های CDMA نسل دوم، باند هر کانال 1.23 مگاهرتز است). در چند سال اخیر، ابزارها شروع به ظهور کرده اند ارتباطات بی سیم، که بر اساس فناوری Frequency Hopping Spread Spectrum (FH-CDMA) هستند. این فناوری ویژگی‌های TDMA را که در آن هر فرکانس به چند شکاف زمانی تقسیم می‌شود و CDMA که در آن هر فرستنده از دنباله خاصی از سیگنال‌های نویز مانند استفاده می‌کند، ترکیب می‌کند. این فناوری کاربرد خود را در سیستم های طراحی شده برای سازماندهی ارتباطات خط ثابت پیدا کرده است.

از کجا می توان ویژگی های آنها را پیدا کرد، لعنتی می دانم

44. نمایش سیگنال های دوره ای به صورت سری فوریه

http://scask.ru/book_brts.php?id=8

سیگنال های دوره ای و سری فوریه

یک مدل ریاضی از یک فرآیند که در طول زمان تکرار می شود یک سیگنال دوره ای با ویژگی زیر است:

در اینجا T دوره سیگنال است.

وظیفه یافتن تجزیه طیفی چنین سیگنالی است.

سری فوریه.

اجازه دهید بازه زمانی در نظر گرفته شده در فصل را تنظیم کنیم. I یک مبنای متعارف است که توسط توابع هارمونیک با فرکانس های متعدد تشکیل شده است.

هر تابع از این مبنا شرط تناوب (2.1) را برآورده می کند. بنابراین، با انجام یک تجزیه متعامد سیگنال بر این اساس، یعنی با محاسبه ضرایب

ما تجزیه طیفی را دریافت می کنیم

در سراسر بی نهایت محور زمان معتبر است.

یک سری از شکل (2.4) سری فوریه یک سیگنال داده شده نامیده می شود. اجازه دهید فرکانس اصلی دنباله ای که سیگنال تناوبی را تشکیل می دهد را معرفی کنیم. با محاسبه ضرایب انبساط با استفاده از فرمول (2.3)، سری فوریه را برای سیگنال تناوبی می نویسیم.

با شانس

(2.6)

بنابراین، در حالت کلی، یک سیگنال تناوبی شامل یک جزء ثابت مستقل از زمان و یک مجموعه بی نهایت از نوسانات هارمونیک است، به اصطلاح هارمونیک هایی با فرکانس هایی که مضرب فرکانس اصلی دنباله هستند.

هر هارمونیک را می توان با دامنه و فاز اولیه آن توصیف کرد

با جایگزینی این عبارات به (2.5)، شکل معادل دیگری از سری فوریه بدست می آوریم:

که گاهی اوقات راحت تر است.

نمودار طیفی سیگنال تناوبی.

این چیزی است که معمولاً نمایش گرافیکی ضرایب سری فوریه برای یک سیگنال خاص نامیده می شود. نمودارهای طیفی دامنه و فاز وجود دارد (شکل 2.1).

در اینجا، محور افقی فرکانس های هارمونیک را در یک مقیاس معین نشان می دهد و محور عمودی دامنه و فازهای اولیه آنها را نشان می دهد.

برنج. 2.1. نمودارهای طیفی برخی از سیگنال های دوره ای: الف - دامنه. ب - فاز

آنها به خصوص به نمودار دامنه علاقه مند هستند، که به شخص اجازه می دهد تا درصد هارمونیک های خاص را در طیف یک سیگنال تناوبی قضاوت کند.

بیایید چند مثال خاص را مطالعه کنیم.

مثال 2.1. سری فوریه یک دنباله تناوبی از پالس های ویدئویی مستطیلی با پارامترهای شناخته شده، حتی نسبت به نقطه t = 0.

در مهندسی رادیو، نسبت را چرخه وظیفه توالی می نامند. با استفاده از فرمول (2.6) پیدا می کنیم

نوشتن فرمول نهایی سری فوریه در فرم راحت است

در شکل شکل 2.2 نمودارهای دامنه دنباله مورد بررسی را در دو حالت شدید نشان می دهد.

توجه به این نکته مهم است که دنباله ای از پالس های کوتاه که به دنبال یکدیگر می آیند به ندرت دارای ترکیب طیفی غنی هستند.

برنج. 2.2. طیف دامنه یک دنباله تناوبی از پالس های ویدئویی مستطیلی: a - با چرخه کاری بزرگ. ب - با چرخه کاری کم

مثال 2.2. سری فوریه از یک دنباله تناوبی از پالس ها تشکیل شده توسط یک سیگنال هارمونیک از فرم محدود در سطح (فرض می شود که ).

اجازه دهید یک پارامتر خاص را معرفی کنیم - زاویه برش، که از رابطه کجا تعیین می شود

مطابق با این، مقدار برابر است با مدت زمان یک پالس، که به صورت زاویه ای بیان می شود:

ضبط تحلیلی پالس تولید کننده توالی مورد نظر شکل دارد

جزء توالی ثابت

ضریب دامنه هارمونیک اول

به طور مشابه، دامنه مولفه های هارمونیک در محاسبه می شود

نتایج به دست آمده معمولاً به صورت زیر نوشته می شود:

جایی که به اصطلاح توابع برگ:

نمودار برخی از توابع برگ در شکل نشان داده شده است. 2.3.

برنج. 2.3. نمودارهای چند توابع اول برگ

چگالی طیفی سیگنال ها تبدیل فوریه مستقیم و معکوس.

سیگنال نامیده می شود تناوبی، اگر شکل آن به صورت دوره ای در زمان تکرار شود. یک سیگنال دوره ای به صورت کلی به صورت زیر نوشته می شود:

در اینجا دوره سیگنال است. سیگنال های دوره ای می توانند ساده یا پیچیده باشند.

برای نمایش ریاضی سیگنال های تناوبی با نقطه، اغلب از این سری استفاده می شود که در آن نوسانات هارمونیک (سینوس و کسینوس) فرکانس های متعدد به عنوان توابع پایه انتخاب می شوند:

جایی که . - فرکانس زاویه ای اصلی توالی توابع. برای توابع پایه هارمونیک، از این سری یک سری فوریه بدست می آوریم که در ساده ترین حالت می توان آن را به شکل زیر نوشت:

ضرایب کجاست

از سری فوریه مشخص است که در حالت کلی یک سیگنال تناوبی شامل یک جزء ثابت و مجموعه ای از نوسانات هارمونیک فرکانس اصلی و هارمونیک های آن با فرکانس ها است. هر نوسان هارمونیک سری فوریه با یک دامنه و یک فاز اولیه مشخص می شود.

نمودار طیفی و طیف سیگنال تناوبی.

اگر هر سیگنالی به عنوان مجموع نوسانات هارمونیک با فرکانس های مختلف ارائه شود، به این معنی است که تجزیه طیفی علامت.

نمودار طیفیسیگنال یک نمایش گرافیکی از ضرایب سری فوریه این سیگنال است. نمودارهای دامنه و فاز وجود دارد. برای ساخت این نمودارها، مقادیر فرکانس های هارمونیک در یک مقیاس معین در امتداد محور افقی و دامنه ها و فازهای آنها در امتداد محور عمودی رسم می شود. علاوه بر این، دامنه هارمونیک ها فقط می توانند مقادیر مثبت بگیرند، فازها می توانند مقادیر مثبت و منفی را در بازه زمانی بگیرند.

نمودارهای طیفی سیگنال تناوبی:

الف) - دامنه؛ ب) - فاز.

طیف سیگنال- این مجموعه ای از اجزای هارمونیک با مقادیر خاص فرکانس ها، دامنه ها و فازهای اولیه است که با هم یک سیگنال را تشکیل می دهند. در عمل، نمودارهای طیفی به طور خلاصه تر نامیده می شوند - طیف دامنه, طیف فاز. بیشترین علاقه در نمودار طیفی دامنه نشان داده شده است. می توان از آن برای تخمین درصد هارمونیک ها در طیف استفاده کرد.

ویژگی های طیفی نقش بزرگی در فناوری مخابرات ایفا می کنند. با دانستن طیف سیگنال، می توانید به درستی پهنای باند تقویت کننده ها، فیلترها، کابل ها و سایر گره های کانال های ارتباطی را محاسبه و تنظیم کنید. دانش طیف سیگنال برای ساخت سیستم های چند کاناله با تقسیم فرکانس ضروری است. بدون آگاهی از طیف تداخل، اتخاذ تدابیری برای سرکوب آن دشوار است.

از این نتیجه می‌توان نتیجه گرفت که برای انجام انتقال سیگنال بدون تحریف در کانال ارتباطی، برای اطمینان از جداسازی سیگنال و کاهش تداخل، طیف باید شناخته شود.

برای مشاهده طیف سیگنال ها، دستگاه هایی وجود دارد که به آنها می گویند آنالایزرهای طیف. آنها به شما امکان می دهند پارامترهای اجزای جداگانه طیف یک سیگنال دوره ای را مشاهده و اندازه گیری کنید و همچنین اندازه گیری کنید. چگالی طیفی سیگنال پیوسته.

اغلب، توصیف ریاضی حتی سیگنال های قطعی که در ساختار و شکل ساده هستند، کار دشواری است. بنابراین، یک تکنیک اصلی استفاده می شود که در آن سیگنال های پیچیده واقعی با مجموعه ای (مجموع وزنی، به عنوان مثال، یک سری) از مدل های ریاضی توصیف شده توسط توابع ابتدایی جایگزین می شوند (نمایش، تقریب). این یک ابزار مهم برای تجزیه و تحلیل عبور سیگنال های الکتریکی از مدارهای الکترونیکی است. علاوه بر این، نمایش سیگنال نیز می تواند به عنوان منبع در توصیف و تحلیل آن استفاده شود. در این مورد، می توانید به طور قابل توجهی مشکل معکوس را ساده کنید - سنتزسیگنال های پیچیده از مجموعه ای از توابع ابتدایی.

نمایش طیفی سیگنال های تناوبی توسط سری فوریه

سری فوریه تعمیم یافته

ایده اساسی نمایش طیفی سیگنال ها (توابع) به بیش از 200 سال پیش برمی گردد و متعلق به فیزیکدان و ریاضیدان J. B. Fourier است.

اجازه دهید سیستم هایی از توابع متعامد ابتدایی را در نظر بگیریم، که هر کدام از یک تابع اولیه - تابع نمونه اولیه به دست می آیند. این تابع نمونه اولیه به عنوان یک "بلوک ساختمانی" عمل می کند و تقریب مورد نظر با ترکیب مناسب بلوک های یکسان پیدا می شود. فوریه نشان داد که هر تابع پیچیده را می توان به صورت مجموع متناهی یا نامتناهی از یک سری نوسانات هارمونیک چندگانه با دامنه ها، فرکانس ها و فازهای اولیه معین نشان داد (تقریبی). این تابع می تواند، به ویژه، جریان یا ولتاژ در مدار باشد. یک پرتو خورشید، که توسط یک منشور به طیفی از رنگ ها تجزیه می شود، یک آنالوگ فیزیکی از تبدیل فوریه ریاضی است (شکل 2.7).

نوری که از منشور بیرون می آید در فضا به رنگ های خالص یا فرکانس ها جدا می شود. این طیف در هر فرکانس دامنه متوسطی دارد. بنابراین، تابع شدت در برابر زمان به تابعی از دامنه در برابر فرکانس تبدیل شد. یک تصویر ساده از استدلال فوریه در شکل 1 نشان داده شده است. 2.8. منحنی شکل دوره ای و نسبتاً پیچیده (شکل 2.8، آ) -این مجموع دو هارمونیک فرکانس های مختلف اما چندگانه است: تک (شکل 2.8، ب)و دو برابر شد (شکل 2.8، V).

برنج. 2.7.

برنج. 2.8.

آ- نوسان پیچیده؛ قبل از میلاد مسیح-سیگنال های تقریبی 1 و 2

با استفاده از تحلیل طیفی فوریه، یک تابع پیچیده به صورت مجموع هارمونیک ها نشان داده می شود که هر کدام فرکانس، دامنه و فاز اولیه خود را دارند. تبدیل فوریه توابعی را تعریف می کند که دامنه و فاز اجزای هارمونیک مربوط به یک فرکانس خاص را نشان می دهد و فاز نقطه شروع موج سینوسی است.

تبدیل را می توان با دو روش مختلف ریاضی بدست آورد که یکی از آنها زمانی استفاده می شود عملکرد اصلیپیوسته، و دیگری زمانی که توسط بسیاری از مقادیر مجزا داده می شود.

اگر تابع مورد مطالعه از مقادیر با فواصل گسسته معین به دست آید، می توان آن را به یک سری توابع سینوسی متوالی با فرکانس های گسسته - از پایین ترین، فرکانس اصلی یا اصلی، و سپس با فرکانس های دو برابر، سه برابر تقسیم کرد. ، و غیره. بالاتر از اصلی این مجموع اجزا نامیده می شود در کنار فوریه

سیگنال های متعامد به روشی راحتتوصیف طیفی یک سیگنال طبق فوریه، نمایش تحلیلی آن با استفاده از سیستمی از توابع ابتدایی متعامد زمان است. اجازه دهید یک فضای هیلبرت از سیگنال ها وجود داشته باشد u0(t)y G/،(؟)، ...، u n(t)با انرژی محدود، تعریف شده در یک بازه زمانی محدود یا نامحدود (t v 1 2). در این بخش ما یک سیستم (زیر مجموعه) بی نهایت از توابع ابتدایی به هم پیوسته زمان را تعریف می کنیم و آن را می نامیم. پایه ای".

جایی که g = 1, 2, 3,....

کارکرد u(t)و v(t)اگر حاصل ضرب اسکالر آنها در بازه (?، ? 2) متعامد باشد، مشروط بر اینکه هیچ یک از این توابع به طور یکسان صفر نباشد.

در ریاضیات این در فضای سیگنال های هیلبرت تعریف می شود مبنای مختصات متعامد، یعنی سیستم توابع پایه متعامد

خاصیت متعامد بودن توابع (سیگنال ها) با بازه تعریف آنها مرتبط است (شکل 2.9). به عنوان مثال، دو سیگنال هارمونیک m،(؟) = = sin(2nr/7' 0) و u., (t)= گناه (4 nt/T Q)(به عنوان مثال با فرکانس های / 0 = 1/7' 0 و 2/0، به ترتیب) متعامد در هر بازه زمانی که مدت آن برابر با یک عدد صحیح از نیم چرخه است. T 0(شکل 2.9، آ).بنابراین، در دوره اول سیگنال های و (1)و u2 (t)در بازه (0.7 اینچ 0/2) متعامد هستند؛ اما در بازه (O، ZG 0/4) غیر متعامد هستند. Pa شکل 2.9، بسیگنال ها به دلیل زمان های مختلف ظاهرشان متعامد هستند.

برنج. 2.9.

آ- در فاصله زمانی؛ ب -به دلیل زمان های مختلف ظاهر ارائه سیگنال u(t)اگر سیستمی از توابع پایه انتخاب شود، مدل های ابتدایی به طور قابل توجهی ساده می شوند vff)،داشتن ملک متعارف بودناز ریاضیات مشخص می شود که آیا برای هر جفت تابع از سیستم متعامد (2.7) شرط برقرار است یا خیر.

سپس سیستم توابع (2.7) متعارف.

در ریاضیات، چنین سیستمی از توابع پایه به شکل (2.7) نامیده می شود مبنای متعارف

اجازه دهید، در یک بازه زمانی معین |r، t 2| یک سیگنال دلخواه فعال است u(t)و برای نمایش آن از سیستم متعارف توابع (2.7) استفاده می شود. طراحی سیگنال دلخواه u(t)بر محور مبنا مختصات نامیده می شود بسط به یک سری فوریه تعمیم یافته.این بسط فرم دارد

که در آن c، برخی از ضرایب ثابت هستند.

برای تعیین ضرایب از بهسری فوریه تعمیم یافته، یکی از توابع پایه را انتخاب می کنیم (2.7) v k (t) sهر عددی به.بیایید هر دو طرف بسط (2.9) را در این تابع ضرب کنیم و نتیجه را در طول زمان ادغام کنیم:

با توجه به متعارف بودن اساس توابع انتخاب شده، در سمت راست این برابری، تمام شرایط حاصل از مجموع در من ^ بهبه صفر خواهد رفت تنها عضو مجموع دارای عدد غیر صفر باقی می ماند من = به،از همین رو

محصول فرم c k v k (t)،موجود در سری فوریه تعمیم یافته (2.9)، است جزء طیفیعلامت u(t)و مجموعه ای از ضرایب (پیش بینی بردارهای سیگنال بر روی محورهای مختصات) (с 0 , с,..., از به،...، с„) به طور کامل سیگنال تجزیه و تحلیل شده را تعیین می کند ii (t)و نامیده می شود طیف(از لات طیف- تصویر).

اصل نمایش طیفی (تحلیل و بررسی) سیگنال شامل تعیین ضرایب با i مطابق با فرمول (2.19) است.

انتخاب یک سیستم متعامد منطقی مبتنی بر مختصات توابع به هدف تحقیق بستگی دارد و با تمایل به حداکثر رساندن ساده‌سازی دستگاه ریاضی تحلیل، تبدیل و پردازش داده تعیین می‌شود. چند جمله ای های چبیشف، هرمیت، لاگر، لژاندر و غیره در حال حاضر به عنوان توابع پایه استفاده می شوند exp (J 2ft)و توابع سینوس کسینوس مثلثاتی واقعی مرتبط با فرمول اویلر e>x= cosx + y"sinx. این با این واقعیت توضیح داده می شود که یک نوسان هارمونیک از نظر تئوری کاملاً شکل خود را هنگام عبور از مدارهای خطی با پارامترهای ثابت حفظ می کند و فقط دامنه و فاز اولیه آن تغییر می کند. روش نمادین که در نظریه مدارها به خوبی توسعه یافته است. همچنین به طور گسترده ای استفاده می شود عملیات نمایش سیگنال های قطعی در قالب مجموعه ای از اجزای ثابت (. جزء ثابت)و معمولاً مجموع نوسانات هارمونیک با فرکانس های متعدد نامیده می شود تجزیه طیفیاستفاده نسبتاً گسترده از سری فوریه تعمیم یافته در تئوری سیگنال نیز با ویژگی بسیار مهم آن مرتبط است: با یک سیستم متعارف منتخب از توابع. vk(t)و تعداد ثابتی از اصطلاحات در سری (2.9)، بهترین نمایش یک سیگنال داده شده را ارائه می دهد u(t).این خاصیت سری فوریه به طور گسترده ای شناخته شده است.

در نمایش طیفی سیگنال ها، پایه های متعارف بیشترین استفاده را دارند. توابع مثلثاتی. این به دلیل موارد زیر است: ایجاد نوسانات هارمونیک ساده ترین است. سیگنال های هارمونیک با توجه به تبدیل های انجام شده توسط مدارهای الکتریکی خطی ثابت ثابت هستند.

اجازه دهید بازنمایی های زمانی و طیفی را ارزیابی کنیم سیگنال آنالوگ(شکل 2.10). در شکل 2.10، آنمودار زمانی یک سیگنال پیوسته پیچیده را نشان می دهد و شکل. 2.10، ب -تجزیه طیفی آن

اجازه دهید نمایش طیفی سیگنال های تناوبی را به عنوان مجموع توابع هارمونیک یا نمایی های پیچیده با فرکانس هایی که یک پیشروی حسابی تشکیل می دهند در نظر بگیریم.

تناوبیآنها سیگنال را u"(؟) می نامند. تکرار در فواصل منظم (شکل 2.11):

جایی که Г دوره تکرار یا تکرار پالس ها است. n = 0,1, 2,....

برنج. 2.11. سیگنال دوره ای

اگر تیدوره سیگنال است u(t)سپس دوره ها نیز مضربی از آن خواهند بود: 2G، 3 تیو غیره. دنباله ای تناوبی از پالس ها (به آنها گفته می شود پالس های ویدیویی) با عبارت توصیف می شود

برنج. 2.10.

آ- نمودار زمان؛ ب- طیف دامنه

اینجا uQ(t)- شکل یک پالس منفرد که با دامنه (ارتفاع) مشخص می شود h = E،مدت زمان t«، دوره تکرار T= 1/F (F - فرکانس)، موقعیت پالس ها در زمان نسبت به نقاط ساعت، برای مثال t = 0.

برای تجزیه و تحلیل طیفی سیگنال های تناوبی، سیستم متعامد (2.7) در قالب توابع هارمونیک با فرکانس های متعدد مناسب است:

جایی که co، = 2p/T-نرخ تکرار نبض

با محاسبه انتگرال ها با استفاده از فرمول (2.8)، به راحتی می توان متعامد بودن این توابع را در بازه [-Г/2، Г/2| بررسی کرد. هر تابعی شرط تناوب (2.11) را برآورده می کند، زیرا فرکانس آنها چند برابر است. اگر سیستم (2.12) به صورت نوشته شود

سپس یک پایه متعارف از توابع هارمونیک به دست می آوریم.

بیایید یک سیگنال دوره ای را تصور کنیم، رایج ترین سیگنال در تئوری سیگنال مثلثاتی(سینوس کسینوس) شکلسری فوریه:

از درس ریاضیات مشخص است که بسط (2.11) وجود دارد، یعنی. اگر تابع (در این مورد سیگنال) همگرا شود سری همگرا شود u(t)در بازه [-7/2، 7/2] راضی می کند شرایط دیریکله(برخلاف قضیه دیریکله، آنها اغلب به روشی ساده تفسیر می شوند):

• نباید ناپیوستگی از نوع دوم وجود داشته باشد (با شاخه هایی که تا بی نهایت می روند).
• تابع محدود است و دارای تعداد محدودی ناپیوستگی از نوع اول (پرش) است.
• یک تابع دارای تعداد محدودی از مادون ها (یعنی ماکزیمم و حداقل) است.

فرمول (2.13) شامل اجزای زیر از سیگنال تجزیه و تحلیل شده است:

جزء ثابت

دامنه اجزای کسینوس

دامنه اجزای سینوسی

جزء طیفی با فرکانس co، در تئوری ارتباطات نامیده می شود اولین (پایه ای) هارمونیکو اجزای دارای فرکانس ISO، (n> 1) - هارمونیک های بالاترسیگنال دوره ای مرحله فرکانس Aco بین دو سینوسی مجاور از انبساط فوریه نامیده می شود وضوح فرکانسطیف

اگر سیگنال تابعی زوج از زمان باشد u(t) = u(-t، سپس در نمایش مثلثاتی سری فوریه (2.13) هیچ ضرایب سینوسی وجود ندارد. ب n، زیرا مطابق با فرمول (2.16) ناپدید می شوند. برای سیگنال u(t)با یک تابع فرد از زمان توصیف می شود، برعکس، طبق فرمول (2.15)، ضرایب کسینوس برابر با صفر است. یک صفحه(جزء ثابت یک 0نیز وجود ندارد)، و مجموعه شامل اجزاء است ب ص.

محدودیت های ادغام (از -7/2 تا 7/2) لازم نیست مانند فرمول های (2.14)-(2.16) باشد. ادغام را می توان در هر بازه زمانی عرض 7 انجام داد - نتیجه تغییر نخواهد کرد. محدودیت های خاص به دلایل راحتی محاسباتی انتخاب می شوند. به عنوان مثال، ممکن است ادغام از O به 7 یا از -7 به 0 و غیره آسان تر باشد.

شاخه ای از ریاضیات که رابطه بین تابعی از زمان را برقرار می کند u(t) و ضرایب طیفی a p, b p,تماس گرفت تجزیه و تحلیل هارمونیکبه دلیل اتصال تابع u(t)با سینوس و کسینوس این مجموع. علاوه بر این، تحلیل طیفی عمدتاً به چارچوب تحلیل هارمونیک محدود می شود که کاربرد انحصاری پیدا می کند.

اغلب استفاده از شکل سینوس کسینوس سری فوریه کاملاً راحت نیست، زیرا برای هر مقدار شاخص جمع پ(یعنی برای هر هارمونیک با فرکانس mOj) دو عبارت در فرمول (2.13) ظاهر می شود - کسینوس و سینوس. از نقطه نظر ریاضی، نمایش این فرمول با یک سری فوریه معادل راحت تر است. شکل واقعی/.

جایی که A 0 = یک 0 / 2; A n = yja 2 n + ب -دامنه؛ هارمونیک n امعلامت. گاهی اوقات در رابطه (2.17) یک علامت "به علاوه" در مقابل cp L قرار می گیرد، سپس فاز اولیه هارمونیک ها به صورت cp u = -arctg نوشته می شود. b n fa n).

در تئوری سیگنال، شکل پیچیده سری فوریه به طور گسترده استفاده می شود. از شکل واقعی سری با نشان دادن کسینوس به صورت نصف مجموع نمایی های مختلط با استفاده از فرمول اویلر به دست می آید:

با استفاده از این تحولبه شکل واقعی سری فوریه (2.17)، مجموع نمایی های مختلط با توان مثبت و منفی را به دست می آوریم:

و اکنون در فرمول (2.19) نماهای فرکانس с را با علامت منفی در نما به عنوان اعضای یک سری با اعداد منفی تفسیر می کنیم. در همان رویکرد، ضریب A 0عضو سری با شماره صفر خواهد شد. پس از تحولات ساده به آن می رسیم فرم پیچیدهسری فوریه

دامنه پیچیده پهارمونیک ها

ارزش های S pبا اعداد مثبت و منفی پمزدوج پیچیده هستند.

توجه داشته باشید که سری فوریه (2.20) مجموعه ای از نمایی های پیچیده است exp(jn(o (t) با فرکانس هایی که یک پیشرفت حسابی را تشکیل می دهند.

اجازه دهید ارتباط بین ضرایب اشکال مثلثاتی و مختلط سری فوریه را تعیین کنیم. بدیهی است که

همچنین می توان نشان داد که ضرایب یک صفحه= 2C w coscp„; b n = 2C/I sincp، f.

اگر u(t)یک تابع زوج است، ضرایب سری C خواهد بود واقعی،و اگر u(t) -تابع فرد است، ضرایب سری تبدیل می شوند خیالی

نمایش طیفی یک سیگنال تناوبی توسط شکل پیچیده سری فوریه (2.20) شامل فرکانس های مثبت و منفی است. اما فرکانس های منفی در طبیعت وجود ندارند و این یک انتزاع ریاضی است (معنای فیزیکی فرکانس منفی چرخش در جهت مخالف آن چیزی است که مثبت تلقی می شود). آنها به عنوان یک نتیجه از نمایش رسمی ارتعاشات هارمونیک در یک فرم پیچیده ظاهر می شوند. هنگام عبور از شکل پیچیده نماد (2.20) به شکل واقعی (2.17)، فرکانس منفی ناپدید می شود.

طیف سیگنال به صورت بصری با نمایش گرافیکی آن - نمودار طیفی (شکل 2.12) قضاوت می شود. تمیز دادن دامنه فرکانسو طیف فرکانس فازمجموعه ای از دامنه های هارمونیک یک صفحه(شکل 2.12، آ)تماس گرفت طیف دامنه، مراحل آنها (شکل 2.12، ب)چهارشنبه اول - طیف فازکلیت S p = |S pاست طیف دامنه پیچیده(شکل 2.12، V).در نمودارهای طیفی، محورهای آبسیسا فرکانس جریان را نشان می‌دهند و محورهای اردیتا دامنه یا فاز واقعی یا پیچیده مولفه‌های هارمونیک متناظر سیگنال تحلیل‌شده را نشان می‌دهند.

برنج. 2.12.

آ -دامنه؛ ب -فاز؛ V -طیف دامنه سری فوریه پیچیده

طیف سیگنال تناوبی نامیده می شود حکومت کردیا گسسته، از آنجایی که از خطوط جداگانه با ارتفاع برابر با دامنه تشکیل شده است یک صفحههارمونیک ها از بین انواع طیف ها، طیف دامنه آموزنده ترین است، زیرا به فرد اجازه می دهد تا محتوای کمی هارمونیک های خاص را در ترکیب فرکانسی سیگنال تخمین بزند. در تئوری سیگنال ثابت شده است که طیف دامنه است تابع فرکانس یکنواختو فاز - فرد.

توجه داشته باشید مسافت مساوی(فاصله مساوی از مبدأ مختصات) طیف پیچیده سیگنال های تناوبی: فرکانس های متقارن (مثبت و منفی) که در آنها ضرایب طیفی سری فوریه مثلثاتی قرار دارند یک دنباله مساوی را تشکیل می دهند (... -zho v..., -2so p -so p 0, v 2 بنابراین، ...، ncov...)، حاوی فرکانس co = 0 و دارای گام cot = 2l/7’. ضرایب می توانند هر مقداری را داشته باشند.

مثال 2.1

اجازه دهید دامنه و طیف فاز یک دنباله تناوبی از پالس های مستطیلی را با دامنه؟، مدت زمان m و دوره تکرار محاسبه کنیم. تی.سیگنال یک تابع زوج است (شکل 2.13).

برنج. 2.13.

راه حل

مشخص است که یک پالس ویدئویی مستطیلی ایده آل با معادله زیر توصیف می شود:

آن ها به عنوان تفاوت دو تابع واحد a(?) (توابع گنجاندن)، که در زمان توسط tn جابجا شده اند، تشکیل می شود.

دنباله پالس های مستطیلی مجموع مشخصی از پالس های منفرد است:

از آنجایی که سیگنال داده شده یک تابع زوج از زمان است و در طول یک دوره فقط بر روی بازه [t و /2، t و /2] عمل می کند، پس طبق فرمول (2.14)

جایی که q = T/تی".

با تجزیه و تحلیل فرمول به دست آمده، می بینید که دوره تکرار و مدت زمان پالس به شکل یک نسبت در آن گنجانده شده است. این گزینه q-نسبت دوره به مدت پالس ها نامیده می شود چرخه کارتوالی دوره ای پالس ها (در ادبیات خارجی به جای چرخه وظیفه از مقدار معکوس استفاده می شود - چرخه کار، از انگلیسی، چرخه کاربرابر m و /7)؛ در q = 2 دنباله ای از پالس های مستطیلی، زمانی که مدت زمان پالس ها و فواصل بین آنها برابر می شود، نامیده می شود. پیچ و خم(از یونانی paiav5poq - نقش، زینت هندسی).

با توجه به برابری تابعی که سیگنال تحلیل شده را توصیف می کند، در سری فوریه، همراه با مولفه ثابت، تنها مولفه های کسینوس (2.15) وجود خواهد داشت:

در سمت راست فرمول (2.22)، عامل دوم به شکل تابع ابتدایی (sinx)/x است. در ریاضیات، این تابع به عنوان sinc(x) و فقط برای مقدار مشخص می شود ایکس= 0 برابر است با یک (lim (sinx/x) =1)، عبور می کند

از طریق صفر در نقاط x = ±l، ±2l،... و با افزایش آرگومان x کاهش می یابد (شکل 2.14). در نهایت سری فوریه مثلثاتی (2.13) که سیگنال داده شده را تقریب می‌کند، به شکل نوشته می‌شود.

برنج. 2.14.نمودار یک تابع sinx/x

تابع سینوس دارای ویژگی گلبرگ است. در مورد عرض لوب ها، باید تاکید کرد که برای نمودارهای طیف های گسسته سیگنال های تناوبی، دو گزینه برای کالیبراسیون محور افقی امکان پذیر است - در اعداد هارمونیک و فرکانس ها. به عنوان مثال، در شکل. 2.14 محور ordinate برای مطابقت با فرکانس ها کالیبره شده است. عرض لوب ها که بر حسب تعداد هارمونیک ها اندازه گیری می شود، برابر با چرخه وظیفه دنباله است. این حاکی از ویژگی مهم طیف دنباله ای از پالس های مستطیلی است - شامل (دارای دامنه صفر) هارمونیک با اعدادی که مضربی از چرخه وظیفه هستند. با یک سیکل وظیفه پالس سه، هر سوم هارمونیک ناپدید می شود. اگر چرخه وظیفه برابر با دو بود، آنگاه فقط هارمونیک های فرد فرکانس بنیادی در طیف باقی می ماند.

از فرمول (2.22) و شکل. 2.14 نتیجه می شود که ضرایب تعدادی از هارمونیک های بالاتر سیگنال دارای علامت منفی هستند. این به این دلیل است که فاز اولیه این هارمونیک ها برابر است پ.بنابراین، فرمول (2.22) معمولاً به شکل اصلاح شده ارائه می شود:

با این ضبط سری فوریه، مقادیر دامنه همه اجزای هارمونیک بالاتر در نمودار نمودار طیفی مثبت است (شکل 2.15، آ).

طیف دامنه سیگنال تا حد زیادی به نسبت دوره تکرار بستگی دارد تیو مدت زمان پالس t و، i.e. از چرخه وظیفه qفاصله فرکانس بین هارمونیک های مجاور برابر با فرکانس تکرار پالس با 1 = 2l/T است. عرض لوب های طیف، اندازه گیری شده در واحد فرکانس، برابر است با 2π/tn، یعنی. با مدت زمان نبض نسبت معکوس دارد. توجه داشته باشید که برای مدت زمان پالس مشابه m و با افزایش غیر

برنج. 2.15.

آ- دامنه؛ب- فاز

دوره تکرار آنها تیفرکانس اساسی co کاهش می یابد و طیف متراکم تر می شود.

اگر طول پالس t کوتاه شود و دوره بدون تغییر باقی بماند، همین تصویر مشاهده می شود تی.دامنه همه هارمونیک ها کاهش می یابد. این تجلی قانون کلی است (اصل عدم قطعیت W. Heisenberg - اصل عدم قطعیت)'،هر چه مدت زمان سیگنال کوتاه تر باشد، طیف آن بیشتر است.

فازهای مولفه ها از فرمول cp=arctg تعیین می شوند (bn/an).از آنجایی که در اینجا ضرایب ب"= 0، سپس

جایی که m = 0, 1, 2,....

رابطه (2.24) نشان می دهد که هنگام محاسبه فازهای مولفه های طیفی با عدم قطعیت ریاضی سروکار داریم. برای آشکار کردن آن، اجازه دهید به فرمول (2.22) بپردازیم، که طبق آن دامنه هارمونیک ها به طور متناوب مطابق با تغییر علامت تابع sin تغییر علامت می دهند (nco 1 x 1I /2). تغییر علامت در فرمول (2.22) معادل تغییر فاز این تابع توسط پ.بنابراین، زمانی که این تابعفاز مثبت و هارمونیک (p u = 2 tp،و وقتی منفی - = (2 تن + 1 )به(شکل 2.15، ب). توجه داشته باشید که اگرچه دامنه اجزا در طیف پالس های مستطیلی با افزایش فرکانس کاهش می یابد (شکل 2.15 را ببینید، آ)،این فروپاشی بسیار کند است (دامنه ها به نسبت معکوس با فرکانس کاهش می یابد). برای انتقال چنین پالس هایی بدون اعوجاج، یک باند فرکانسی نامحدود از کانال ارتباطی مورد نیاز است. برای اعوجاج های نسبتاً ظریف، مقدار حدی باند فرکانس باید چندین برابر بیشتر از مقدار معکوس مدت زمان پالس باشد. با این حال، تمام کانال های واقعی دارای پهنای باند محدودی هستند که منجر به اعوجاج در شکل پالس های ارسالی می شود.

سری فوریه سیگنال‌های تناوبی دلخواه می‌توانند شامل تعداد بی‌نهایت زیادی عبارت باشند. هنگام محاسبه طیف چنین سیگنال‌هایی، محاسبه مجموع نامتناهی سری فوریه مشکلات خاصی را ایجاد می‌کند و همیشه مورد نیاز نیست، بنابراین ما محدود به جمع‌آوری تعداد محدودی از عبارت‌ها هستیم (سری "قطع شده" است).

دقت تقریب سیگنال به تعداد اجزای جمع شده بستگی دارد. بیایید این را با استفاده از مثال تقریب با مجموع هشت هارمونیک اول دنباله ای از پالس های مستطیلی در نظر بگیریم (شکل 2.16). سیگنال به شکل یک پیچ و خم تک قطبی با دوره تکرار است کهدامنه E= 1 و طول پالس t و = تی/2 (سیگنال مشخص شده - تابع یکنواخت - شکل 2.16، آ; چرخه کار q= 2). تقریب در شکل نشان داده شده است. 2.16، b و نمودارها تعداد هارمونیک های جمع شده را نشان می دهند. در تقریب مداوم یک سیگنال تناوبی معین (شکل 2.13 را ببینید) توسط سری مثلثاتی (2.13)، جمع هارمونیک های اول و بالاتر فقط بر روی ضرایب فرد انجام می شود. Puزیرا اگر مقادیر و مدت زمان پالس آنها زوج باشد m و = تی/2 = = tm/co، مقدار sin(mo,T H /2) = sin(wt/2) صفر می شود.

شکل مثلثاتی سری فوریه (2.23) برای یک سیگنال داده شده دارای شکل است

برنج. 2.16.

آ -سیگنال داده شده؛ 6 - مراحل میانی جمع

برای سهولت ارائه، سری فوریه (2.25) را می توان به صورت ساده نوشت:

از فرمول (2.26) بدیهی است که هارمونیک هایی که پیچ و خم را تقریب می کنند فرد هستند، دارای علائم متناوب هستند و دامنه آنها با اعداد نسبت معکوس دارد. توجه داشته باشید که دنباله ای از پالس های مستطیلی برای نمایش توسط سری فوریه مناسب نیستند - تقریب شامل امواج و جهش ها است و مجموع هر تعداد مؤلفه هارمونیک با هر دامنه ای همیشه یک تابع پیوسته خواهد بود. بنابراین، رفتار سری فوریه در مجاورت ناپیوستگی ها مورد توجه ویژه است. از نمودارهای شکل. 2.16، b به راحتی می توان دید که چگونه با افزایش تعداد هارمونیک های جمع شده، تابع حاصل به طور فزاینده ای به شکل سیگنال اصلی نزدیک می شود. u(t)همه جا به جز نقاط شکستش در مجاورت نقاط ناپیوستگی، جمع سری فوریه یک شیب به دست می دهد و شیب تابع حاصل با تعداد هارمونیک های جمع شده افزایش می یابد. در همان نقطه ناپیوستگی (بیایید آن را به عنوان نشان دهیم تی = t 0)سری فوریه u(t 0)به نصف مجموع حد راست و چپ همگرا می شود:

در بخش‌های منحنی تقریبی مجاور ناپیوستگی، مجموع سری‌ها ضربان‌های قابل‌توجهی به دست می‌دهد و در شکل. 2.16 واضح است که دامنه موج اصلی این تپش ها با افزایش تعداد هارمونیک های جمع شده کاهش نمی یابد - فقط به صورت افقی فشرده می شود و به نقطه شکست نزدیک می شود.

در پ-؟ در نقاط شکست، دامنه جهش ثابت می ماند،

و عرض آن بی نهایت باریک خواهد بود. هم دامنه نسبی ضربان‌ها (نسبت به دامنه پرش) و هم تضعیف نسبی تغییر نمی‌کنند. فقط فرکانس ضربان تغییر می کند که با فرکانس آخرین هارمونیک های جمع شده تعیین می شود. این به دلیل همگرایی سری فوریه است. بیایید یک مثال کلاسیک در نظر بگیریم: آیا اگر با هر قدم نیمی از مسافت باقیمانده را طی کنید، هرگز به دیوار خواهید رسید؟ پله اول به نیمه راه منتهی می شود، مرحله دوم به نقطه سه چهارم منتهی می شود و بعد از مرحله پنجم تقریباً 97 درصد مسیر را طی کرده اید. شما تقریباً آنجا هستید، اما مهم نیست که چقدر قدم به جلو بردارید، هرگز به معنای دقیق ریاضی به آن نخواهید رسید. شما فقط می توانید از نظر ریاضی ثابت کنید که در نهایت قادر خواهید بود به هر فاصله معینی نزدیک شوید، هر چقدر هم که کوچک باشد. این اثبات معادل نشان دادن این است که مجموع اعداد 1/2،1/4،1/8،1/16 و غیره است. به وحدت گرایش دارد این پدیده، ذاتی در تمام سری های فوریه برای سیگنال هایی با ناپیوستگی های نوع اول (به عنوان مثال، پرش، مانند جلوی پالس های مستطیلی)، نامیده می شود. اثر گیبس*. در این حالت، مقدار اولین (بزرگترین) موج دامنه در منحنی تقریبی حدود 9 درصد از سطح پرش است (شکل 2.16 را ببینید، پ = 4).

اثر گیبس منجر به یک خطای غیر قابل حذف در تقریب سیگنال های پالس دوره ای با ناپیوستگی های نوع اول می شود. این اثر زمانی رخ می دهد که نقض شدید یکنواختی عملکردها وجود داشته باشد. در مسابقات اسب دوانی، تأثیر در سایر موارد حداکثر است، دامنه ضربان ها به ماهیت نقض یکنواختی بستگی دارد. برای تعدادی از کاربردهای عملی، اثر گیبس مشکلات خاصی را ایجاد می کند. به عنوان مثال، در سیستم های تولید مثل صدا به این پدیده "زنگ" یا "چشمک زدن" می گویند. علاوه بر این، هر صامت تند یا صدای ناگهانی دیگر ممکن است با صدای کوتاهی همراه باشد که برای گوش ناخوشایند است.

سری فوریه را می توان نه تنها برای سیگنال های دوره ای، بلکه برای سیگنال های با مدت زمان محدود نیز اعمال کرد. در این صورت زمان مشخص می شود

فاصله زمانی که سری فوریه برای آن ساخته می شود و در زمان های دیگر سیگنال برابر با صفر در نظر گرفته می شود. برای محاسبه ضرایب یک سری، این رویکرد به معنای ادامه دوره ایسیگنال خارج از بازه در نظر گرفته شده است.

توجه داشته باشید که طبیعت (به عنوان مثال، شنوایی انسان) از اصل تجزیه و تحلیل سیگنال هارمونیک استفاده می کند. یک فرد با شنیدن صدایی تبدیل فوریه مجازی را انجام می دهد: گوش به طور خودکار این کار را انجام می دهد و صدا را به عنوان طیفی از مقادیر بلندی پی در پی برای تن هایی با زیر و بم های مختلف نشان می دهد. مغز انسان این اطلاعات را به صدای درک شده تبدیل می کند.

سنتز هارمونیک در تئوری سیگنال، همراه با تجزیه و تحلیل هارمونیک سیگنال ها، به طور گسترده ای استفاده می شود سنتز هارمونیک- به دست آوردن نوسانات مشخص یک شکل پیچیده با جمع کردن تعدادی از اجزای هارمونیک طیف آنها. اساساً، سنتز یک دنباله تناوبی از پالس های مستطیلی با مجموع تعدادی هارمونیک در بالا انجام شد. در عمل، همانطور که در شکل نشان داده شده است، این عملیات بر روی یک کامپیوتر انجام می شود. 2.16، ب

• ژان باپتیست ژوزف فوریه (J.B.J. Fourier؛ 1768-1830) - ریاضیدان و فیزیکدان فرانسوی.
• جوزیا گیبز (J. Gibbs، 1839-1903) - فیزیکدان و ریاضیدان آمریکایی، یکی از بنیانگذاران ترمودینامیک شیمیایی و فیزیک آماری.

اشکال ضبط سری فوریه. سیگنال نامیده می شود تناوبی،اگر شکل آن به صورت دوره ای در زمان تکرار شود سیگنال دوره ای u(t)به طور کلی به این صورت نوشته شده است:

u(t)=u(t+mT)، m=0، ±1،±2،…

در اینجا دوره T سیگنال است. سیگنال های دوره ای می توانند ساده یا پیچیده باشند.

برای نمایش ریاضی سیگنال های تناوبی با نقطه تیسری (2.2) اغلب استفاده می شود که در آن نوسانات هارمونیک (سینوس و کسینوس) فرکانس های متعدد به عنوان توابع پایه انتخاب می شوند.

y 0 (t)=1; y 1 (t)=sinw 1 t; y 2 (t) = cosw 1 t;

y 3 (t)=sin2w 1 t; y 4 (t)=cos2w 1 t; ...، (2.3)

که در آن w 1 = 2p/T فرکانس زاویه ای اصلی دنباله است

کارکرد. برای توابع پایه هارمونیک، از سری (2.2) سری فوریه را به دست می آوریم (ژان فوریه - ریاضیدان و فیزیکدان فرانسوی قرن 19).

توابع هارمونیک شکل (2.3) در سری فوریه دارای مزایای زیر هستند: 1) توصیف ساده ریاضی. 2) تغییر ناپذیری برای تبدیلات خطی، یعنی اگر یک نوسان هارمونیک در ورودی مدار خطی وجود داشته باشد، در خروجی آن نیز یک نوسان هارمونیک وجود خواهد داشت که تنها از نظر دامنه و فاز اولیه با ورودی متفاوت است. 3) مانند یک سیگنال، توابع هارمونیک تناوبی هستند و مدت زمان نامحدودی دارند. 4) تکنیک تولید توابع هارمونیک بسیار ساده است.

از یک درس ریاضی مشخص است که برای گسترش سیگنال تناوبی به یک سری در توابع هارمونیک (2.3)، باید شرایط دیریکله رعایت شود. اما تمام سیگنال‌های تناوبی واقعی این شرایط را برآورده می‌کنند و می‌توانند در قالب یک سری فوریه نمایش داده شوند که می‌تواند به یکی از اشکال زیر نوشته شود:

u(t)=A 0 /2+ (A’ mn cosnw 1 t+A” mn nw 1 t)، (2.4)

ضرایب کجاست

یک من "= (2.5)

u(t)=A 0/2+ (2.6)

mn = (2.7)

یا به شکل پیچیده

u(t)= (2.8)

Cn= (2.9)

از (2.4) - (2.9) نتیجه می شود که در حالت کلی، سیگنال تناوبی u(t) حاوی یک جزء ثابت A 0/2 و مجموعه ای از نوسانات هارمونیک فرکانس اصلی w 1 = 2pf 1 و هارمونیک های آن با فرکانس های w n =nw 1, n=2 ,3,4,… هر یک از هارمونیک ها

نوسانات سری فوریه با دامنه و فاز اولیه y n .nn مشخص می شوند.

نمودار طیفی و طیف سیگنال تناوبی. اگر هر سیگنالی به صورت مجموع نوسانات هارمونیک با فرکانس های مختلف ارائه شود، گفته می شود که تجزیه طیفیعلامت.

نمودار طیفیسیگنال معمولاً نمایش گرافیکی ضرایب سری فوریه این سیگنال نامیده می شود. نمودارهای دامنه و فاز وجود دارد. در شکل 2.6، در یک مقیاس معین، مقادیر فرکانس های هارمونیک در امتداد محور افقی، و دامنه آنها A mn و فازهای y n در امتداد محور عمودی رسم می شود. علاوه بر این، دامنه های هارمونیک فقط می توانند مقادیر مثبت بگیرند، فازها می توانند مقادیر مثبت و منفی را در بازه -p£y n £p بگیرند.

طیف سیگنال- این مجموعه ای از اجزای هارمونیک با مقادیر خاص فرکانس ها، دامنه ها و فازهای اولیه است که با هم یک سیگنال را تشکیل می دهند. که در کاربردهای فنیدر عمل، نمودارهای طیفی به طور خلاصه تر نامیده می شوند - طیف دامنه، طیف فاز.اغلب مردم به نمودار طیفی دامنه علاقه مند هستند. می توان از آن برای تخمین درصد هارمونیک ها در طیف استفاده کرد.

مثال 2.3. یک توالی تناوبی از پالس های ویدئویی مستطیلی را به یک سری فوریه بسط دهید باپارامترهای شناخته شده (U m، T، t z)،حتی "نسبت به نقطه t=0. یک نمودار طیفی از دامنه ها و فازها در U m=2B، T=20ms، S=T/t و =2 و 8 بسازید.

یک سیگنال دوره ای داده شده در بازه زمانی یک دوره می تواند به صورت نوشته شود

برای نمایش این سیگنال از فرم سری فوریه استفاده می کنیم Vفرم (2.4). از آنجایی که سیگنال یکنواخت است، تنها اجزای کسینوس در انبساط باقی خواهند ماند.

برنج. 2.6. نمودارهای طیفی سیگنال تناوبی:

الف - دامنه؛ ب- فاز

انتگرال یک تابع فرد در یک دوره برابر با صفر است. با استفاده از فرمول (2.5) ضرایب را پیدا می کنیم

به ما اجازه می دهد سری فوریه بنویسیم:

برای ساختن نمودارهای طیفی برای داده های عددی خاص، i=0، 1، 2، 3، ... را تنظیم کرده و ضرایب هارمونیک را محاسبه می کنیم. نتایج حاصل از محاسبه هشت جزء اول طیف در جدول خلاصه شده است. 2.1. در یک سری (2.4) A" mn = 0و مطابق (2.7) A mn =|A' mn |، فرکانس اصلی f 1 =1/T= 1/20-10 -3 =50 هرتز، w 1 =2pf 1 =2p*50=314 راد بر ثانیه . طیف دامنه در شکل.

2.7 برای اینها ساخته شده است nکه در آن و mnبیش از 5٪ از حداکثر مقدار.

از مثال داده شده 2.3 نتیجه می شود که با افزایش چرخه وظیفه، تعداد مولفه های طیفی افزایش می یابد و دامنه آنها کاهش می یابد. گفته می شود که چنین سیگنالی دارای طیف غنی است. لازم به ذکر است که برای بسیاری از سیگنال های مورد استفاده عملی نیازی به محاسبه دامنه ها و فازهای هارمونیک ها با استفاده از فرمول های داده شده قبلی نیست.

جدول 2.1. دامنه مولفه های سری فوریه یک دنباله تناوبی از پالس های مستطیلی

برنج. 2.7. نمودارهای طیفی یک توالی پالس تناوبی: آ- با چرخه وظیفه S-2؛ - ب-با چرخه وظیفه S=8

در کتاب های مرجع ریاضی جداول بسط سیگنال ها در سری فوریه وجود دارد. یکی از این جداول در پیوست آورده شده است (جدول A.2).

این سوال اغلب مطرح می شود: چند جزء طیفی (هارمونیک) باید برای نشان دادن یک سیگنال واقعی در یک سری فوریه گرفته شود؟ به هر حال، سریال، به طور دقیق، بی پایان است. در اینجا نمی توان پاسخ قطعی داد. همه چیز به شکل سیگنال و دقت نمایش آن توسط سری فوریه بستگی دارد. تغییر سیگنال روانتر - هارمونیک کمتر مورد نیاز است. اگر سیگنال دارای پرش (ناپیوستگی) باشد، برای رسیدن به همان خطا، باید تعداد بیشتری از هارمونیک ها را جمع کرد. با این حال، در بسیاری از موارد، به عنوان مثال در تلگراف، اعتقاد بر این است که سه هارمونیک برای انتقال پالس های مستطیلی با جبهه های شیب دار کافی است.

در قرن گذشته، ایوان برنولی، لئونارد اویلر و سپس ژان باپتیست فوریه اولین کسانی بودند که از نمایش توابع تناوبی با سری مثلثاتی استفاده کردند. این نمایش در سایر دروس با جزئیات کافی مورد مطالعه قرار گرفته است، بنابراین ما فقط روابط و تعاریف اساسی را یادآوری می کنیم.

همانطور که در بالا ذکر شد، هر تابع تناوبی u(t) ، که برای آن برابری برقرار است u(t)=u(t+T) ، جایی که T=1/F=2p/W را می توان در یک سری فوریه نشان داد:

هر جمله از این سری را می توان با استفاده از فرمول کسینوس برای اختلاف دو زاویه گسترش داد و به صورت دو جمله نشان داد:

,

جایی که: A n = C n cosφ n ، B n = C n sinφ n ، بنابراین ، آ

شانس A n و در n با فرمول های اویلر تعیین می شوند:

;
.

در n=0 :

آ B 0 = 0.

شانس A n و در n ، مقادیر متوسط ​​حاصلضرب تابع هستند u(t) و ارتعاش هارمونیک با فرکانس nw در یک بازه زمانی تی . ما قبلاً می دانیم (بخش 2.5) که اینها توابع همبستگی متقابل هستند که میزان ارتباط آنها را تعیین می کنند. بنابراین، ضرایب A n و Bn به ما نشان دهید "چقدر" امواج سینوسی یا کسینوس با فرکانس nW موجود در این تابع u(t) ، قابل گسترش در سری فوریه.

بنابراین می توانیم تابع تناوبی را نشان دهیم u(t) به عنوان مجموع نوسانات هارمونیک، جایی که اعداد Cn دامنه ها و اعداد هستند φn - فاز. معمولا در ادبیات طیف دامنه نامیده می شود و - طیف فاز اغلب فقط طیف دامنه در نظر گرفته می شود که به صورت خطوط واقع در نقاط نشان داده می شود nW روی محور فرکانس و داشتن ارتفاعی متناسب با عدد Cn . با این حال، باید به خاطر داشت که برای به دست آوردن یک مطابقت یک به یک بین تابع زمان u(t) و طیف آن باید هم از طیف دامنه و هم از طیف فاز استفاده کند. این را می توان از اینجا فهمید مثال ساده. سیگنال ها طیف دامنه یکسانی خواهند داشت، اما کاملاً نوع مختلفتوابع موقت

نه تنها یک تابع تناوبی می تواند یک طیف گسسته داشته باشد. به عنوان مثال، یک سیگنال: دوره ای نیست، اما دارای یک طیف گسسته متشکل از دو خط طیفی است. همچنین سیگنالی متشکل از دنباله‌ای از پالس‌های رادیویی (پالس‌هایی با پرکردن فرکانس بالا) که دوره تکرار آن ثابت است، اما فاز اولیه پر شدن فرکانس بالا بر اساس قوانینی از پالسی به پالس دیگر متفاوت است، نخواهد داشت. به شدت دوره ای باشد چنین سیگنال هایی تقریباً دوره ای نامیده می شوند. همانطور که بعدا خواهیم دید، آنها همچنین دارای یک طیف گسسته هستند. ما ماهیت فیزیکی طیف چنین سیگنال هایی را مانند سیگنال های دوره ای مطالعه خواهیم کرد.