ماشین حساب به شما امکان می دهد اعداد کامل و کسری را از یک سیستم عددی به سیستم دیگر تبدیل کنید. پایه سیستم اعداد نمی تواند کمتر از 2 و بیشتر از 36 (10 رقم و 26 حرف لاتین) باشد. طول اعداد نباید بیشتر از 30 کاراکتر باشد. برای وارد کردن اعداد کسری از نماد استفاده کنید. یا، . برای تبدیل یک عدد از یک سیستم به سیستم دیگر، در فیلد اول عدد اصلی، در فیلد دوم پایه سیستم اعداد اصلی و در فیلد سوم پایه سیستم اعدادی که می‌خواهید عدد را به آن تبدیل کنید وارد کنید. سپس روی دکمه "دریافت رکورد" کلیک کنید.
شماره اصلی نوشته شده در 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 -ام سیستم اعداد.
من می خواهم شماره ای را در آن نوشته شود 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ام سیستم اعداد.
ورود دریافت کنید
ترجمه های تکمیل شده: 3336969
همچنین ممکن است علاقه مند باشید:
- ماشین حساب جدول حقیقت SDNF. SKNF. چند جمله ای ژگالکین
سیستم های اعداد
سیستم های اعداد به دو نوع تقسیم می شوند: موضعیو موضعی نیست. ما از سیستم عربی استفاده می کنیم، این سیستم موضعی است، اما سیستم رومی نیز وجود دارد - این سیستم موضعی نیست. در سیستم های موقعیتی، موقعیت یک رقم در یک عدد به طور منحصر به فرد مقدار آن عدد را تعیین می کند. با نگاه کردن به برخی از اعداد به عنوان مثال، درک این موضوع آسان است.
مثال 1. بیایید عدد 5921 را در سیستم اعداد اعشاری در نظر بگیریم. بیایید با شروع از صفر عدد را از راست به چپ شماره گذاری کنیم:
عدد 5921 را می توان به شکل زیر نوشت: 5921 = 5000+900+20+1 = 5·10 3 +9·10 2 +2·10 1 +1·10 0 . عدد 10 مشخصه ای است که سیستم اعداد را مشخص می کند. مقادیر موقعیت یک عدد معین به عنوان توان در نظر گرفته می شود.
مثال 2. عدد اعشاری واقعی 1234.567 را در نظر بگیرید. بیایید آن را با شروع از موقعیت صفر عدد از نقطه اعشار به چپ و راست شماره گذاری کنیم:
عدد 1234.567 را می توان به شکل زیر نوشت: 1234.567 = 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007 = 1·10 3 +2·10 2 +3·10 1 +4·10 0 +5·10 -1 + 6·10 -2 +7·10 -3.
تبدیل اعداد از یک سیستم اعداد به سیستم دیگر
ساده ترین راه برای تبدیل یک عدد از یک سیستم اعداد به سیستم دیگر این است که ابتدا عدد را به سیستم اعداد اعشاری و سپس نتیجه حاصل را به سیستم اعداد مورد نیاز تبدیل کنید.
تبدیل اعداد از هر سیستم عددی به سیستم عددی اعشاری
برای تبدیل یک عدد از هر سیستم اعدادی به اعشاری، کافی است ارقام آن را شماره گذاری کنید، با صفر (رقم سمت چپ نقطه اعشار) مشابه مثال های 1 یا 2. بیایید مجموع حاصلضرب ارقام را پیدا کنیم. از عدد بر اساس سیستم اعداد به توان موقعیت این رقم:
1.
عدد 1001101.1101 2 را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنید.
راه حل: 10011.1101 2 = 1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +1·2 0 +1·2 -1 +1·2 -2 +0·2 -3 +1·2 - 4 = 16+2+1+0.5+0.25+0.0625 = 19.8125 10
پاسخ: 10011.1101 2 = 19.8125 10
2.
عدد E8F.2D 16 را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنید.
راه حل: E8F.2D 16 = 14·16 2 +8·16 1 +15·16 0 +2·16 -1 +13·16 -2 = 3584+128+15+0.125+0.05078125 = 3727.17578125 10
پاسخ: E8F.2D 16 = 3727.17578125 10
تبدیل اعداد از سیستم اعداد اعشاری به سیستم عددی دیگر
برای تبدیل اعداد از سیستم اعداد اعشاری به سیستم اعداد دیگر، قسمت های صحیح و کسری عدد باید جداگانه تبدیل شوند.
تبدیل یک عدد صحیح از یک عدد اعشاری به سیستم عددی دیگر
یک قسمت صحیح از یک سیستم اعداد اعشاری به سیستم اعداد دیگر با تقسیم متوالی قسمت صحیح یک عدد بر پایه سیستم اعداد تبدیل می شود تا زمانی که باقیمانده کامل کمتر از پایه سیستم اعداد بدست آید. نتیجه ترجمه یک رکورد باقیمانده خواهد بود که از آخرین مورد شروع می شود.
3.
عدد 273 10 را به سیستم اعداد هشتگانه تبدیل کنید.
راه حل: 273 / 8 = 34 و باقیمانده 1. 34 / 8 = 4 و باقیمانده 2. 4 کمتر از 8 است، بنابراین محاسبه کامل است. رکورد موجود در ترازها به این صورت خواهد بود: 421
معاینه: 4·8 2 +2·8 1 +1·8 0 = 256+16+1 = 273 = 273، نتیجه یکسان است. یعنی ترجمه به درستی انجام شده است.
پاسخ: 273 10 = 421 8
بیایید ترجمه کسرهای اعشاری منظم را به سیستم های اعداد مختلف در نظر بگیریم.
تبدیل قسمت کسری یک عدد از سیستم اعداد اعشاری به سیستم عددی دیگر
به یاد بیاورید که کسر اعشاری مناسب نامیده می شود عدد واقعی با قسمت عدد صحیح صفر. برای تبدیل چنین عددی به یک سیستم اعداد با پایه N، باید عدد را به صورت متوالی در N ضرب کنید تا قسمت کسری به صفر برسد یا تعداد ارقام لازم به دست آید. اگر در حین ضرب، عددی با جزء صحیح غیر از صفر به دست آید، قسمت صحیح بیشتر در نظر گرفته نمی شود، زیرا به صورت متوالی در نتیجه وارد می شود.
4.
عدد 0.125 10 را به سیستم اعداد باینری تبدیل کنید.
راه حل: 0.125·2 = 0.25 (0 قسمت صحیح است که به اولین رقم نتیجه تبدیل می شود)، 0.25·2 = 0.5 (0 رقم دوم نتیجه است)، 0.5·2 = 1.0 (1 رقم سوم است. از نتیجه، و از آنجایی که قسمت کسری صفر است، ترجمه کامل می شود).
پاسخ: 0.125 10 = 0.001 2
شما می توانید هم اعداد کامل، برای مثال 34 و هم اعداد کسری، به عنوان مثال، 637.333 را وارد کنید. برای اعداد کسری، دقت ترجمه بعد از نقطه اعشار نشان داده شده است.
موارد زیر نیز با این ماشین حساب استفاده می شود:
راه های نمایش اعداد
دودویی اعداد (دودویی) - هر رقم به معنای مقدار یک بیت (0 یا 1) است، مهمترین بیت همیشه در سمت چپ نوشته می شود، حرف "b" بعد از عدد قرار می گیرد. برای سهولت درک، نوت بوک ها را می توان با فاصله از هم جدا کرد. به عنوان مثال، 1010 0101b.هگزادسیمال اعداد (هگزادسیمال) - هر تتراد با یک نماد 0...9، A، B، ...، F نشان داده می شود. این نمایش را می توان به روش های مختلف تعیین کرد رقم به عنوان مثال، A5h. در متون برنامه، بسته به نحو زبان برنامه نویسی، می توان همان عدد را به عنوان 0xA5 یا 0A5h تعیین کرد. یک صفر ابتدایی (0) به سمت چپ مهم ترین رقم هگزا دسیمال که با حرف نشان داده می شود اضافه می شود تا بین اعداد و نام های نمادین تمایز قائل شود.
اعشاری اعداد (اعشاری) - هر بایت (کلمه، دو کلمه) با یک عدد منظم نشان داده می شود و علامت نمایش دهدهی (حرف "d") معمولا حذف می شود. بایت در مثال های قبلی دارای مقدار اعشاری 165 است. برخلاف نماد دودویی و هگزا دسیمال، اعشار برای تعیین مقدار هر بیت از نظر ذهنی دشوار است، که گاهی اوقات ضروری است.
هشتی اعداد (هشتی) - هر سه بیت (تقسیم از کمترین معنی شروع می شود) به صورت یک عدد 0-7 نوشته می شود که در پایان یک "o" وجود دارد. همان عدد به صورت 245o نوشته می شود. سیستم اکتال ناخوشایند است زیرا بایت را نمی توان به طور مساوی تقسیم کرد.
الگوریتم تبدیل اعداد از یک سیستم عددی به سیستم دیگر
تبدیل اعداد اعشاری کامل به هر سیستم اعداد دیگری با تقسیم عدد بر پایه سیستم اعداد جدید انجام می شود تا زمانی که باقیمانده عددی کمتر از پایه سیستم اعداد جدید باقی بماند. عدد جدید به صورت باقیمانده تقسیم نوشته می شود و از آخرین عدد شروع می شود.تبدیل یک کسر اعشاری منظم به PSS دیگر با ضرب کردن بخش کسری عدد در پایه سیستم اعداد جدید تا زمانی که تمام صفرها در قسمت کسری باقی بمانند یا تا زمانی که دقت ترجمه مشخص شده به دست آید، انجام می شود. در نتیجه هر عملیات ضرب، یک رقم از یک عدد جدید تشکیل می شود که با بالاترین عدد شروع می شود.
ترجمه کسر نادرست طبق قوانین 1 و 2 انجام می شود. اعداد صحیح و کسری با هم نوشته می شوند و با کاما از هم جدا می شوند.
مثال شماره 1. 
تبدیل سیستم اعداد 2 به 8 به 16.
این سیستم ها مضرب دو هستند، بنابراین ترجمه با استفاده از یک جدول مطابقت انجام می شود (به زیر مراجعه کنید).
برای تبدیل یک عدد از سیستم اعداد باینری به سیستم اعداد هشتگانه (هگزادسیمال)، لازم است عدد باینری را از نقطه اعشار به سمت راست و چپ به گروه‌های سه رقمی (چهار رقم برای هگزادسیمال) تقسیم کنیم و گروه‌های بیرونی را تکمیل کنیم. در صورت لزوم با صفر هر گروه با رقم هشتی یا هگزا دسیمال مربوطه جایگزین می شود.
مثال شماره 2. 1010111010.1011 = 1.010.111.010.101.1 = 1272.51 8
اینجا 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1
هنگام تبدیل به سیستم هگزادسیمال، باید با رعایت قوانین مشابه، عدد را به قسمت های چهار رقمی تقسیم کنید.
مثال شماره 3. 1010111010,1011 = 10.1011.1010،1011 = 2B12،13 HEX
اینجا 0010=2; 1011=B; 1010=12; 1011=13
تبدیل اعداد از 2، 8 و 16 به سیستم اعشاری با شکستن عدد به واحدهای جداگانه و ضرب آن در پایه سیستم (که عدد از آن ترجمه شده است) به توان مربوط به شماره سریال آن در عدد در حال تبدیل در این حالت، اعداد در سمت چپ نقطه اعشار (عدد اول 0 شماره گذاری شده است) با افزایش و به سمت راست با کاهش (یعنی با علامت منفی) شماره گذاری می شوند. نتایج به دست آمده با هم جمع می شوند.
مثال شماره 4.
نمونه ای از تبدیل سیستم اعداد باینری به اعشاری.
1010010.101 2 = 1·2 6 +0·2 5 +1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +0·2 0 + 1·2 -1 +0·2 - 2 + 1 2 -3 =
= 64 + 0 + 16 + 0 + 0 + 2 + 0 + 0.5 + 0 + 0.125 = 82.625 10 مثالی از تبدیل سیستم اعداد اعشاری به اعشاری. 108.5 8 = 1*·8 2 +0·8 1 +8·8 0 + 5·8 -1 = 64+0+8+0.625 = 72.625 10 مثالی از تبدیل سیستم اعداد هگزادسیمال به اعشاری. 108.5 16 = 1·16 2 +0·16 1 +8·16 0 + 5·16 -1 = 256+0+8+0.3125 = 264.3125 10
یک بار دیگر الگوریتم تبدیل اعداد از یک سیستم عددی به PSS دیگر را تکرار می کنیم
- از سیستم اعداد اعشاری:
- عدد را بر پایه سیستم اعدادی که ترجمه می شود تقسیم کنید.
- هنگام تقسیم یک عدد صحیح از یک عدد باقیمانده را پیدا کنید.
- تمام باقی مانده های تقسیم را به ترتیب معکوس بنویسید.
- از سیستم اعداد باینری
- برای تبدیل به سیستم اعداد اعشاری، لازم است مجموع حاصل از پایه 2 را با درجه مربوط به رقم پیدا کنید.
- برای تبدیل یک عدد به هشتی، باید عدد را به سه گانه تبدیل کنید.
به عنوان مثال، 1000110 = 1000 110 = 106 8 - برای تبدیل یک عدد از باینری به هگزادسیمال، باید عدد را به گروه های 4 رقمی تقسیم کنید.
به عنوان مثال، 1000110 = 100 0110 = 46 16
جدول مکاتبات سیستم شماره:
| باینری SS | هگزادسیمال SS |
| 0000 | 0 |
| 0001 | 1 |
| 0010 | 2 |
| 0011 | 3 |
| 0100 | 4 |
| 0101 | 5 |
| 0110 | 6 |
| 0111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | آ |
| 1011 | ب |
| 1100 | سی |
| 1101 | D |
| 1110 | E |
| 1111 | اف |
جدول برای تبدیل به سیستم اعداد اکتالی
مثال شماره 2. عدد 100.12 را از سیستم اعداد اعشاری به سیستم اعداد هشتی و بالعکس تبدیل کنید. دلایل عدم تطابق را توضیح دهید.
راه حل.
مرحله ی 1. .
باقیمانده تقسیم را به ترتیب معکوس می نویسیم. عدد را در سیستم اعداد هشتم بدست می آوریم: 144
100 = 144 8
برای تبدیل جزء کسری یک عدد، جزء کسری را به ترتیب در پایه 8 ضرب می کنیم. در نتیجه، هر بار کل قسمت حاصل را یادداشت می کنیم.
0.12 * 8 = 0.96 (قسمت صحیح 0
)
0.96 * 8 = 7.68 (قسمت صحیح 7
)
0.68 * 8 = 5.44 (قسمت صحیح 5
)
0.44 * 8 = 3.52 (قسمت صحیح 3
)
شماره را در سیستم شماره هشتم دریافت می کنیم: 0753.
0.12 = 0.753 8
100,12 10 = 144,0753 8
مرحله 2 تبدیل یک عدد از سیستم اعداد اعشاری به سیستم اعداد هشتی.
تبدیل معکوس از سیستم اعداد اکتالی به اعشاری.
برای ترجمه یک قسمت صحیح، باید رقم یک عدد را در درجه مربوط به رقم ضرب کنید.
144 = 8 2 *1 + 8 1 *4 + 8 0 *4 = 64 + 32 + 4 = 100
برای تبدیل قسمت کسری، باید رقم عدد را بر درجه مربوط به رقم تقسیم کنید.
0753 = 8 -1 *0 + 8 -2 *7 + 8 -3 *5 + 8 -4 *3 = 0.119873046875 = 0.1199
144,0753 8 = 100,96 10
تفاوت 0.0001 (100.12 - 100.1199) با یک خطای گرد کردن هنگام تبدیل به سیستم اعداد هشتگانه توضیح داده می شود. اگر تعداد ارقام بیشتری بگیرید (مثلاً نه 4، بلکه 8) این خطا را می توان کاهش داد.
موارد زیر نیز با این ماشین حساب استفاده می شود:
تبدیل اعداد به سیستم های اعداد باینری، هگزادسیمال، اعشاری، اکتال
ضرب اعداد باینری
فرمت ممیز شناور
مثال شماره 1. عدد 133.54 را به صورت ممیز شناور نشان دهید.
راه حل. بیایید عدد 133.54 را به شکل نمایی نرمال شده نشان دهیم:
1.3354*10 2 = 1.3354*exp 10 2
عدد 1.3354*exp 10 2 از دو قسمت تشکیل شده است: مانتیس M=1.3354 و توان 10=2
اگر مانتیس در محدوده 1 ≤ M باشد نمایش یک عدد به شکل نمایی غیرعادی شده.
اگر مانتیس در محدوده 0.1 ≤ M باشد، عدد را به صورت نمایی غیرعادی شده نشان می دهیم: 0.13354*exp 10 3
مثال شماره 2. عدد باینری 101.10 2 را به شکل نرمال شده نشان دهید که در استاندارد IEEE754 32 بیتی نوشته شده است.
جدول درستی
محاسبه حدود
حساب در سیستم اعداد باینری
عملیات حسابی در سیستم دودویی به همان روشی که در سیستم اعشاری انجام می شود انجام می شود. اما اگر در سیستم اعداد اعشاری انتقال و استقراض با ده واحد انجام شود، در سیستم اعداد باینری - توسط دو واحد انجام می شود. جدول قوانین جمع و تفریق در سیستم اعداد باینری را نشان می دهد.- هنگام جمع کردن دو واحد در یک سیستم اعداد باینری، این بیت 0 خواهد بود و واحد به مهم ترین بیت منتقل می شود.
- وقتی یک را از صفر کم می کنیم، یک از بالاترین رقم، جایی که 1 وجود دارد، قرض گرفته می شود. واحدی که در این رقم اشغال شده است، دو واحد در رقمی که عمل محاسبه می شود، و همچنین یک واحد در تمام ارقام میانی می دهد.
جمع کردن اعداد با در نظر گرفتن علائم آنها در ماشین دنباله ای از اقدامات زیر است:
- تبدیل اعداد اصلی به کد مشخص شده؛
- افزودن بیتی کدها؛
- تجزیه و تحلیل نتیجه به دست آمده
هنگام انجام عملیات در کد مکمل دو (مکمل دو تغییر یافته)، اگر یک واحد حمل در بیت علامت در نتیجه جمع ظاهر شود، دور انداخته می شود.
عمل تفریق در کامپیوتر از طریق جمع بر اساس قاعده X-Y=X+(-Y) انجام می شود. اقدامات بعدی به همان روشی که برای عملیات جمع انجام می شود انجام می شود.
مثال شماره 1.
داده شده: x=0.110001; y= -0.001001، کد اصلاح شده معکوس را اضافه کنید.
داده شده: x=0.101001; y= -0.001101، کد اصلاح شده اضافی را اضافه کنید. 
مثال شماره 2. حل مثال هایی در مورد تفریق اعداد باینری با استفاده از متمم 1 و روش حمل چرخه ای.
الف) 11 - 10.
راه حل.
بیایید اعداد 11 2 و -10 2 را در کد معکوس تصور کنیم.
عدد باینری 0000011 دارای کد متقابل 0.0000011 است.
بیایید اعداد 00000011 و 11111101 را جمع کنیم
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | |||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | ||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 |
سرریز در رقم دوم (1 + 1 = 10) رخ داد. بنابراین، 0 را می نویسیم و 1 را به رقم 3 منتقل می کنیم.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | |||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | ||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
در نتیجه دریافت می کنیم:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
انتقالی از بیت علامت رخ داده است. بیایید آن را (یعنی 1) به عدد حاصل اضافه کنیم (به این ترتیب روند انتقال چرخه ای انجام می شود).
در نتیجه دریافت می کنیم:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
نتیجه جمع: 00000001. اجازه دهید آن را به نمایش دهدهی تبدیل کنیم. برای ترجمه یک قسمت صحیح، باید رقم یک عدد را در درجه مربوط به رقم ضرب کنید.
00000001 = 2 7 *0 + 2 6 *0 + 2 5 *0 + 2 4 *0 + 2 3 *0 + 2 2 *0 + 2 1 *0 + 2 0 *1 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 = 1
نتیجه جمع (نماد اعشاری): 1
ب) 111-010 بیایید اعداد 111 2 و -010 2 را در کد معکوس تصور کنیم.
کد معکوس برای یک عدد مثبت همان کد فوروارد است. برای یک عدد منفی، تمام ارقام عدد با متضاد خود (1 در 0، 0 در 1) جایگزین می شوند و یک واحد در رقم علامت وارد می شود.
عدد باینری 0000111 دارای کد متقابل 0.0000111 است.
عدد باینری 0000010 دارای کد متقابل 1.1111101 است.
بیایید اعداد 00000111 و 11111101 را جمع کنیم
یک سرریز در رقم 0 (1 + 1 = 10) رخ داد. بنابراین، 0 را می نویسیم و 1 را به رقم 1 منتقل می کنیم.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | |||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 |
سرریز در رقم 1 رخ داد (1 + 1 = 10). بنابراین، 0 را می نویسیم و 1 را به رقم 2 منتقل می کنیم.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | ||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 |
سرریز در رقم دوم (1 + 1 + 1 = 11) رخ داد. بنابراین، 1 را می نویسیم و 1 را به رقم 3 منتقل می کنیم.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | |||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
سرریز در رقم 3 رخ داد (1 + 1 = 10). بنابراین، 0 را می نویسیم و 1 را به رقم 4 منتقل می کنیم.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | ||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
یک سرریز در بیت 4 رخ داد (1 + 1 = 10). بنابراین، 0 را می نویسیم و 1 را به رقم 5 منتقل می کنیم.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
سرریز در رقم 5 رخ داد (1 + 1 = 10). بنابراین، 0 را می نویسیم و 1 را به رقم ششم منتقل می کنیم.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
یک سرریز در بیت 6 رخ داد (1 + 1 = 10). بنابراین، 0 را می نویسیم و 1 را به رقم 7 منتقل می کنیم.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
یک سرریز در بیت 7 رخ داد (1 + 1 = 10). بنابراین، 0 را می نویسیم و 1 را به رقم 8 منتقل می کنیم.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
در نتیجه دریافت می کنیم:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
انتقالی از بیت علامت رخ داده است. بیایید آن را (یعنی 1) به عدد حاصل اضافه کنیم (به این ترتیب روند انتقال چرخه ای انجام می شود).
در نتیجه دریافت می کنیم:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
نتیجه اضافه: 00000101
ما عدد 00000101 را به دست آوردیم. برای تبدیل کل قسمت، باید رقم عدد را در درجه مربوط به رقم ضرب کنید.
00000101 = 2 7 *0 + 2 6 *0 + 2 5 *0 + 2 4 *0 + 2 3 *0 + 2 2 *1 + 2 1 *0 + 2 0 *1 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 4 + 0 + 1 = 5
نتیجه جمع (نماد اعشاری): 5
جمع اعداد حقیقی ممیز شناور باینری
در رایانه، هر عددی را می توان در قالب ممیز شناور نشان داد. فرمت ممیز شناور در شکل نشان داده شده است:
به عنوان مثال، عدد 10101 را در قالب ممیز شناور می توان به صورت زیر نوشت:
کامپیوترها از شکل نرمال شده ای برای نوشتن یک عدد استفاده می کنند که در آن موقعیت نقطه اعشار همیشه قبل از رقم قابل توجه مانتیس آورده می شود، یعنی. شرط برقرار است:
b -1 ≤|M| شماره عادی شده - این عددی است که یک رقم قابل توجه بعد از نقطه اعشار (یعنی 1 در سیستم اعداد باینری) دارد. مثال عادی سازی:
0,00101*2 100 =0,101*2 10
111,1001*2 10 =0,111001*2 101
0,01101*2 -11 =0,1101*2 -100
11,1011*2 -101 =0,11011*2 -11
هنگام اضافه کردن اعداد ممیز شناور، هم ترازی سفارش به سمت یک مرتبه بالاتر انجام می شود: 
الگوریتم اضافه کردن اعداد ممیز شناور:
- همسویی سفارشات؛
- افزودن آخوندک به کد اضافی اصلاح شده.
- عادی سازی نتیجه
مثال شماره 4.
A=0.1011*2 10، B=0.0001*2 11
1. همسویی سفارشات.
A=0.01011*2 11، B=0.0001*2 11
2. اضافه کردن آخوندک در کد اصلاح شده اضافی.
مد اضافی MA =00.01011
مود اضافی مگابایت =00.0001
00,01011
+ 00,00010
=
00,01101
A+B=0.01101*2 11
3. عادی سازی نتیجه.
A+B=0.1101*2 10
مثال شماره 3. در سیستم اعداد باینری یک عدد اعشاری بنویسید و در سیستم اعداد باینری دو عدد اضافه کنید.
| علوم کامپیوتر و فناوری اطلاعات و ارتباطات | برنامه ریزی درسی و مواد درسی | کلاس 10 م | برنامه ریزی دروس برای سال تحصیلی (FSES) | عملیات حسابی در سیستم های اعداد موقعیتی
درس 15
§12. عملیات حسابی در سیستم های اعداد موقعیتی
عملیات حسابی در سیستم های اعداد موقعیتی
عملیات حسابی در سیستم های اعداد موقعیتی با پایه qطبق قوانین مشابه قوانین موجود در سیستم اعداد اعشاری انجام می شود.
در دبستان از جدول جمع و ضرب برای آموزش شمارش کودکان استفاده می شود. جداول مشابهی را می توان برای هر سیستم اعداد موقعیتی کامپایل کرد.
12.1. جمع اعداد در سیستم اعداد با پایه q
نمونه هایی از جداول جمع را در سیستم های اعداد سه تایی (جدول 3.2)، هشتی (جدول 3.4) و هگزا دسیمال (جدول 3.3) در نظر بگیرید.
جدول 3.2
جمع در سیستم اعداد سه تایی
جدول 3.3
جمع در سیستم اعداد هگزادسیمال
جدول 3.4
جمع در سیستم اعداد اکتالی
qمقدار را دریافت کنید اسدو عدد آو ب، باید ارقامی را که آنها را تشکیل می دهند با ارقام جمع کنید مناز راست به چپ:
اگر a i + b i< q, то s i = a i + b i , старший (i + 1)-й разряд не изменяется;
اگر a i + b i ≥ q، سپس s i = a i + b i - q، مهم ترین رقم (i + 1) با 1 افزایش می یابد.
مثال ها:
12.2. تفریق اعداد در سیستم عددی پایه q
به طوری که در یک سیستم اعداد با پایه qتفاوت را دریافت کنید آردو عدد آو که در، لازم است تفاوت بین ارقام تشکیل دهنده آنها را به صورت رقم محاسبه کرد مناز راست به چپ:
اگر a i ≥ b i، پس r i = a i - b i، مهم ترین رقم (i + 1)ام تغییر نمی کند.
اگر یک آی< b i , то r i = a i - b i + g, старший (i + 1)-й разряд уменьшается на 1 (выполняется заём в старшем разряде).
توجه داشته باشید:
اگر سیستم های اعداد مختلف به شما داده شود، می توانید اقدامات را فقط در یک سیستم اعداد انجام دهید، ابتدا همه اعداد را به یک سیستم اعداد تبدیل کنید
اگر با یک سیستم اعدادی کار می کنید که پایه آن بزرگتر از 10 است و در مثال خود یک حرف دارید، به طور ذهنی آن را با یک عدد در سیستم اعشاری جایگزین کنید، عملیات لازم را انجام دهید و نتیجه را به سیستم اعداد اصلی تبدیل کنید.
اضافه شدن:
همه به یاد دارند که چگونه در مدرسه ابتدایی به ما یاد می دادند که در یک ستون، مکان به مکان اضافه کنیم. اگر هنگام جمع کردن یک رقم، عددی بزرگتر از 9 به دست می آمد، 10 را از آن کم می کردیم، نتیجه حاصل در پاسخ یادداشت می شد و 1 به رقم بعدی اضافه می شد. از این رو می توانیم یک قانون را تدوین کنیم:
- تا کردن در یک "ستون" راحت تر است
- با جمع کردن مکان به مکان، اگر رقم موجود در مکان > از بزرگترین رقم الفبای یک سیستم اعداد معین بزرگتر باشد، پایه سیستم اعداد را از این عدد کم می کنیم.
- نتیجه را در دسته بندی مورد نیاز می نویسیم
- یک عدد را به رقم بعدی اضافه کنید
اضافه کردن 1001001110 و 100111101 در سیستم اعداد باینری
1001001110 |
100111101 |
1110001011 |
پاسخ: 1110001011
F3B و 5A را در نماد هگزادسیمال اضافه کنید
FE0 |
پاسخ: FE0
منها کردن: همه به یاد دارند که چگونه در مدرسه ابتدایی به ما یاد می دادند که ارزش مکانی را از ارزش مکانی کم کنیم. اگر هنگام تفریق یک رقم، عددی کمتر از 0 به دست می آمد، از بالاترین رقم یکی را قرض می گرفتیم و 10 را به رقم مورد نظر اضافه می کردیم و عدد مورد نیاز را از عدد جدید کم می کنیم. از این رو می توانیم قاعده ای را تدوین کنیم:
مثال:
عدد 100111101 را از 1001001110 در سیستم اعداد باینری کم کنید.
1001001110 |
100111101 |
100010001 |
پاسخ: 100010001
5A از F3B در نماد هگزادسیمال کم کنید
D96 |
پاسخ: D96
مهمتر از همه، فراموش نکنید که شما فقط اعداد یک سیستم اعداد معین را در اختیار دارید، و همچنین انتقال بین عبارت های رقمی را فراموش نکنید.
ضرب:
ضرب در سیستم های اعداد دیگر دقیقاً به همان روشی اتفاق می افتد که ما به ضرب عادت کرده ایم.
- ضرب کردن در یک "ستون" راحت تر است
- ضرب در هر سیستم عددی از قوانین مشابه در سیستم اعشاری پیروی می کند. اما ما فقط می توانیم از الفبای داده شده توسط سیستم اعداد استفاده کنیم
10111 را در 1101 در سیستم اعداد باینری ضرب کنید
10111 |
1101 |
10111 |
10111 |
10111 |
100101011 |
پاسخ: 100101011
F3B را در عدد A در نماد هگزادسیمال ضرب کنید
F3B |
984E |
جواب: 984E
جواب: 984E
مهمتر از همه، فراموش نکنید که شما فقط اعداد یک سیستم اعداد معین را در اختیار دارید، و همچنین انتقال بین عبارت های رقمی را فراموش نکنید.بخش:
تقسیم در سایر سیستم های اعداد دقیقاً به همان روشی اتفاق می افتد که ما به تقسیم کردن عادت کرده ایم.
- تقسیم در یک "ستون" راحت تر است
- تقسیم در هر سیستم عددی از قوانین مشابه در سیستم اعشاری پیروی می کند. اما ما فقط می توانیم از الفبای داده شده توسط سیستم اعداد استفاده کنیم
مثال:
1011011 را بر 1101 در سیستم اعداد باینری تقسیم کنید
تقسیم کنید F 3 B برای شماره 8 در سیستم اعداد هگزادسیمال
مهمتر از همه، فراموش نکنید که شما فقط اعداد یک سیستم اعداد معین را در اختیار دارید، و همچنین انتقال بین عبارت های رقمی را فراموش نکنید.
غیر موضعی
سیستم های اعداد غیر موقعیتی
سیستم های اعداد غیر موقعیتی ابتدا از نظر تاریخی ظاهر شدند. در این سیستم ها معنای هر کاراکتر دیجیتال ثابت است و به موقعیت آن بستگی ندارد. ساده ترین حالت یک سیستم غیر موقعیتی، سیستم واحد است، که برای آن از یک علامت واحد برای نشان دادن اعداد استفاده می شود، معمولاً یک میله، گاهی اوقات یک نقطه، که مقدار مربوط به عدد تعیین شده همیشه در آن قرار می گیرد:
- 1 - |
- 2 - ||
- 3 - ||| و غیره
بنابراین این یک شخصیت معنی دارد واحدها، که با جمع متوالی تعداد مورد نیاز به دست می آید:
||||| = 1+1+1+1+1 = 5.
اصلاح سیستم واحد، سیستم دارای پایه است که در آن نمادهایی نه تنها برای تعیین واحد، بلکه برای درجات پایه نیز وجود دارد. به عنوان مثال، اگر عدد 5 به عنوان پایه در نظر گرفته شود، نمادهای اضافی برای نشان دادن 5، 25، 125 و غیره وجود خواهد داشت.
نمونه ای از چنین سیستم پایه 10 سیستم مصر باستان است که در نیمه دوم هزاره سوم قبل از میلاد بوجود آمد. این سیستم دارای هیروگلیف های زیر بود:
- قطب - واحدها،
- قوس - دهگان،
- برگ نخل - صدها،
- گل نیلوفر آبی - هزاران.
اعداد با جمع ساده به دست آمدند. بنابراین، برای تعیین شماره 3815، سه گل نیلوفر آبی، هشت برگ نخل، یک قوس و پنج تیر رسم شد. سیستم های پیچیده تر با علائم اضافی - یونانی قدیمی، رومی. رومی نیز از عنصری از سیستم موقعیتی استفاده می کند - یک عدد بزرگتر در مقابل یک کوچکتر اضافه می شود، یک عدد کوچکتر در مقابل یک بزرگتر کم می شود: IV = 4، اما VI = 6، با این حال، این روش، منحصراً برای نشان دادن اعداد 4، 9، 40، 90، 400، 900، 4000 و مشتقات آنها با جمع استفاده می شود.
سیستم‌های یونانی مدرن و روسی باستان از 27 حرف الفبا به عنوان اعداد استفاده می‌کردند، جایی که هر عدد را از 1 تا 9 و همچنین ده‌ها و صدها نشان می‌دادند. این رویکرد امکان نوشتن اعداد از 1 تا 999 را بدون تکرار اعداد فراهم کرد.
در سیستم قدیمی روسی از قاب های مخصوصی در اطراف اعداد برای نشان دادن اعداد بزرگ استفاده می شد.
سیستم شماره گذاری غیر موقعیتی تقریباً در همه جا به عنوان یک سیستم شماره گذاری کلامی استفاده می شود. سیستم های شماره گذاری کلامی به شدت با زبان گره خورده اند و عناصر مشترک آنها عمدتاً به اصول کلی و نام اعداد بزرگ (تریلیون و بالاتر) مربوط می شود. اصول کلی زیربنای شماره گذاری لفظی مدرن شامل تشکیل نام ها از طریق جمع و ضرب معانی اسامی منحصر به فرد است.
