قانون جایگزینی متغیر ادغام. ادغام با تغییر روش متغیر

بر این درسدر ادامه با یکی از مهم ترین و رایج ترین تکنیک هایی که در حل انتگرال های نامعین استفاده می شود - روش تغییر متغیر - آشنا می شویم. تسلط موفق بر مطالب مستلزم دانش اولیه و مهارت های یکپارچه سازی است. اگر در حساب انتگرال احساس یک کتری پر خالی وجود دارد، ابتدا باید با مواد آشنا شوید، جایی که من به شکلی در دسترس توضیح دادم که انتگرال چیست و نمونه های اساسی را برای مبتدیان با جزئیات تجزیه و تحلیل کردم.

از نظر فنی، روش تغییر یک متغیر در یک انتگرال نامعین به دو صورت اجرا می شود:

– قرار دادن تابع زیر علامت دیفرانسیل;
- در واقع جایگزین متغیر.

در اصل، این یک چیز است، اما طراحی راه حل متفاوت به نظر می رسد.

بیایید با یک مورد ساده تر شروع کنیم.

قرار دادن تابع زیر علامت دیفرانسیل

در درس انتگرال نامعین. نمونه هایی از راه حل هاما یاد گرفتیم که چگونه دیفرانسیل را باز کنیم، مثالی را که زدم به شما یادآوری می کنم:

یعنی آشکار کردن یک دیفرانسیل به طور رسمی تقریباً مشابه یافتن یک مشتق است.

مثال 1

بررسی را انجام دهید.

ما به جدول انتگرال ها نگاه می کنیم و یک فرمول مشابه پیدا می کنیم: . اما مشکل اینجاست که در زیر سینوس فقط حرف "X" نداریم، بلکه بیان پیچیده. چه باید کرد؟

تابع را زیر علامت دیفرانسیل می آوریم:

با باز کردن دیفرانسیل، به راحتی می توان بررسی کرد که:

در واقع و ضبطی از همین موضوع است

اما، با این وجود، این سوال باقی ماند، چگونه به این ایده رسیدیم که در اولین قدم باید انتگرال خود را دقیقاً به این صورت بنویسیم: ? چرا این است و غیر این نیست؟

فرمول (و تمام فرمول های جدول دیگر) نه تنها برای متغیر، بلکه برای هر عبارت پیچیده فقط به عنوان یک استدلال تابع معتبر و قابل اجرا هستند.(- در مثال ما) و بیان در زیر علامت دیفرانسیل بود همان .

بنابراین، استدلال ذهنی هنگام حل باید چیزی شبیه به این باشد: «من باید انتگرال را حل کنم. من در جدول نگاه کردم و فرمول مشابهی پیدا کردم . اما من یک استدلال پیچیده دارم و نمی توانم فوراً از فرمول استفاده کنم. با این حال، اگر بتوانم آن را تحت علامت دیفرانسیل قرار دهم، همه چیز خوب خواهد بود. اگر آن را یادداشت کنم، پس. اما در انتگرال اصلی فاکتور سه وجود ندارد، بنابراین، برای اینکه تابع انتگرال تغییر نکند، باید آن را در " ضرب کنم. در جریان تقریباً چنین استدلال ذهنی، مدخل زیر متولد می شود:

اکنون می توانید از فرمول جدولی استفاده کنید :

آماده

تنها تفاوت این است که ما حرف "X" نداریم، بلکه یک عبارت پیچیده است.

بیایید بررسی کنیم. جدول مشتقات را باز کنید و جواب را متمایز کنید:

تابع انتگرال اصلی به دست آمده است، به این معنی که انتگرال به درستی پیدا شده است.

لطفاً توجه داشته باشید که در حین تأیید از قانون متمایز کردن یک تابع پیچیده استفاده کردیم . در اصل، قرار دادن تابع زیر علامت دیفرانسیل و - این دو قانون متقابل معکوس هستند.

مثال 2

بیایید تابع انتگرال را تجزیه و تحلیل کنیم. در اینجا ما یک کسری داریم و مخرج یک تابع خطی است (با "x" به توان اول). ما به جدول انتگرال ها نگاه می کنیم و مشابه ترین چیز را پیدا می کنیم: .

تابع را زیر علامت دیفرانسیل می آوریم:

کسانی که به سختی می توانند فوراً بفهمند که در کدام کسری ضرب کنند، می توانند به سرعت دیفرانسیل را در یک پیش نویس آشکار کنند: . بله، معلوم شد که این بدان معناست که برای اینکه چیزی تغییر نکند، باید انتگرال را در ضرب کنم.
بعد از فرمول جدولی استفاده می کنیم :

معاینه:

تابع انتگرال اصلی به دست آمده است، به این معنی که انتگرال به درستی پیدا شده است.

مثال 3

انتگرال نامعین را پیدا کنید. بررسی را انجام دهید.

مثال 4

انتگرال نامعین را پیدا کنید. بررسی را انجام دهید.

این یک مثال برای تصمیم مستقل. پاسخ در پایان درس است.

با کمی تجربه در حل انتگرال ها، چنین مثال هایی آسان به نظر می رسند و مانند آجیل کلیک می کنند:

در پایان این بخش، من همچنین می خواهم در مورد "آزاد" صحبت کنم، زمانی که در یک تابع خطی یک متغیر با ضریب واحد وارد می شود، به عنوان مثال:

به طور دقیق، راه حل باید مانند این باشد:

همانطور که می بینید، قرار دادن تابع زیر علامت دیفرانسیل "بدون درد" بود، بدون هیچ ضرب. بنابراین، در عمل، چنین راه حل طولانی اغلب نادیده گرفته می شود و بلافاصله آن را یادداشت می کند . اما در صورت لزوم آماده باشید تا به معلم توضیح دهید که چگونه آن را حل کردید! زیرا در واقع هیچ انتگرالی در جدول وجود ندارد.

روش تغییر متغیر در انتگرال نامعین

بیایید به بررسی حالت کلی - روش تغییر متغیرها در انتگرال نامعین بپردازیم.

مثال 5

انتگرال نامعین را پیدا کنید.

به عنوان مثال، انتگرالی را که در همان ابتدای درس به آن نگاه کردیم، گرفتم. همانطور که قبلاً گفتیم، برای حل انتگرال فرمول جدولی را دوست داشتیم و من می خواهم کل موضوع را به او تقلیل دهم.

ایده پشت روش جایگزینی این است که یک عبارت پیچیده (یا یک تابع) را با یک حرف جایگزین کنید.
در این مورد التماس می کند:
دومین حرف جایگزین محبوب، حرف است.
در اصل، می توانید از حروف دیگر استفاده کنید، اما ما همچنان به سنت ها پایبند هستیم.

بنابراین:
اما وقتی آن را جایگزین می کنیم، باقی می ماند! احتمالاً بسیاری حدس می‌زنند که اگر انتقالی به یک متغیر جدید انجام شود، در انتگرال جدید همه چیز باید از طریق حرف بیان شود و اصلاً جایی برای دیفرانسیل وجود ندارد.
نتیجه منطقی این است که لازم است تبدیل به بیانی شود که فقط به آن بستگی دارد.

عمل به شرح زیر است. پس از انتخاب جایگزین، در این مثالما باید دیفرانسیل را پیدا کنیم. با تفاوت ها، فکر می کنم همه قبلاً دوستی برقرار کرده اند.

از آن به بعد

پس از جدا کردن دیفرانسیل، توصیه می کنم نتیجه نهایی را تا حد امکان به طور خلاصه بازنویسی کنید:
حال طبق قوانین تناسب آنچه را که نیاز داریم بیان می کنیم:

در نهایت:
بدین ترتیب:

و این در حال حاضر جدولی ترین انتگرال است (البته جدول انتگرال ها برای متغیر نیز معتبر است).

در نهایت، تنها چیزی که باقی می ماند انجام تعویض معکوس است. این را به خاطر بسپاریم.

آماده.

طرح نهایی نمونه در نظر گرفته شده باید چیزی شبیه به این باشد:

“

بیایید جایگزین کنیم:

“

نماد هیچ معنای ریاضی ندارد، به این معنی است که ما راه حل را برای توضیحات میانی قطع کرده ایم.

هنگام تهیه مثال در دفترچه یادداشت، بهتر است تعویض معکوس را با یک مداد ساده مشخص کنید.

توجه!در مثال های زیر، یافتن دیفرانسیل به تفصیل توضیح داده نخواهد شد.

و اکنون زمان آن است که اولین راه حل را به خاطر بسپاریم:

تفاوت در چیست؟ هیچ تفاوت اساسی وجود ندارد. در واقع همان چیزی است. اما از نظر طراحی تکلیف، روش قرار دادن تابع زیر علامت دیفرانسیل بسیار کوتاهتر است..

این سوال پیش می آید. اگر روش اول کوتاهتر است، پس چرا از روش جایگزینی استفاده کنید؟ واقعیت این است که برای تعدادی از انتگرال ها "تطبیق" تابع با علامت دیفرانسیل چندان آسان نیست.

مثال 6

انتگرال نامعین را پیدا کنید.

بیایید جایگزینی بسازیم: (در اینجا فکر کردن به جایگزین دیگری سخت است)

همانطور که می بینید، در نتیجه جایگزینی، انتگرال اصلی به طور قابل توجهی ساده شد - به یک تابع قدرت معمولی کاهش یافت. این هدف از جایگزینی است - ساده کردن انتگرال.

افراد پیشرفته تنبل می توانند به راحتی این انتگرال را با قرار دادن تابع زیر علامت دیفرانسیل حل کنند:

نکته دیگر این است که چنین راه حلی بدیهی است که برای همه دانش آموزان مناسب نیست. علاوه بر این، قبلاً در این مثال، از روش قرار دادن یک تابع تحت علامت دیفرانسیل استفاده شده است به طور قابل توجهی خطر گیج شدن در یک تصمیم را افزایش می دهد.

مثال 7

انتگرال نامعین را پیدا کنید. بررسی را انجام دهید.

مثال 8

انتگرال نامعین را پیدا کنید.

جایگزینی:
باید دید به چه چیزی تبدیل خواهد شد

بسیار خوب، ما آن را بیان کردیم، اما با باقی ماندن "X" در صورتگر چه باید کرد؟!
هر از گاهی هنگام حل انتگرال ها با ترفند زیر مواجه می شویم: از همان جایگزینی بیان خواهیم کرد!

مثال 9

انتگرال نامعین را پیدا کنید.

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. پاسخ در پایان درس است.

مثال 10

انتگرال نامعین را پیدا کنید.

مطمئناً برخی از افراد متوجه شده اند که در جدول جستجوی من قانون جایگزینی متغیر وجود ندارد. این کار به عمد انجام شد. این قاعده باعث ایجاد سردرگمی در توضیح و درک می شود، زیرا در مثال های بالا به صراحت ظاهر نمی شود.

اکنون وقت آن است که در مورد فرض اصلی استفاده از روش جایگزینی متغیر صحبت کنیم: انتگرال باید دارای تابع و مشتق آن باشد:(توابع ممکن است در محصول نباشد)

در این راستا، هنگام یافتن انتگرال ها، اغلب باید به جدول مشتقات نگاه کنید.

در مثال مورد بررسی متوجه می شویم که درجه صورت یک درجه کمتر از مخرج است. در جدول مشتقات فرمولی را پیدا می کنیم که فقط یک درجه را کاهش می دهد. و این بدان معنی است که اگر شما آن را به عنوان مخرج تعیین کنید، احتمال اینکه صورتگر به چیز خوبی تبدیل شود، زیاد است.

بیایید به بررسی حالت کلی - روش تغییر متغیرها در انتگرال نامعین بپردازیم.

مثال 5

به عنوان مثال، بیایید انتگرالی را که در همان ابتدای درس به آن نگاه کردیم، در نظر بگیریم. همانطور که قبلاً گفتیم، برای حل انتگرال فرمول جدولی را دوست داشتیم ,

و من می خواهم کل موضوع را به او تقلیل دهم.

ایده پشت روش جایگزینی این است که یک عبارت پیچیده (یا یک تابع) را با یک حرف جایگزین کنید.

در این مورد التماس می کند:

دومین حرف محبوب برای جایگزینی حرف است z. در اصل، می توانید از حروف دیگر استفاده کنید، اما ما همچنان به سنت ها پایبند هستیم.

اما در هنگام جایگزینی با ما باقی می ماند dx! احتمالاً بسیاری حدس زده اند که اگر انتقالی به یک متغیر جدید انجام شود تی، سپس در انتگرال جدید همه چیز باید از طریق نامه بیان شود تی، و دیفرانسیل dxاصلا جایی نیست نتیجه منطقی این است که dxنیاز به تبدیل به بیانی شود که فقط به آن بستگی داردتی.

عمل به شرح زیر است. پس از انتخاب جایگزین، در این مثال، باید دیفرانسیل را پیدا کنیم dt.

حال طبق قواعد تناسب بیان می کنیم dx:

بدین ترتیب:

و این در حال حاضر انتگرال ترین جدول است

(البته جدول انتگرال ها برای متغیر نیز معتبر است تی).

در نهایت، تنها چیزی که باقی می ماند انجام تعویض معکوس است. این را به خاطر بسپاریم.

طرح نهایی نمونه در نظر گرفته شده باید چیزی شبیه به این باشد:

بیایید جایگزین را انجام دهیم: ، سپس

نماد هیچ معنای ریاضی ندارد، به این معنی است که ما راه حل را برای توضیحات میانی قطع کرده ایم.

هنگام تهیه مثال در دفترچه یادداشت، بهتر است تعویض معکوس را با یک مداد ساده مشخص کنید.

توجه!در مثال های زیر، یافتن دیفرانسیل یک متغیر جدید به تفصیل توضیح داده نخواهد شد.

راه حل اول را به خاطر بسپار:

تفاوت در چیست؟ هیچ تفاوت اساسی وجود ندارد. در واقع همان چیزی است.

اما از نقطه نظر طراحی تکلیف، روش قرار دادن تابع زیر علامت دیفرانسیل بسیار کوتاهتر است.

مثال 6

انتگرال نامعین را پیدا کنید.

بیایید جایگزین کنیم:

;

افراد پیشرفته تنبل می توانند به راحتی این انتگرال را با قرار دادن تابع زیر علامت دیفرانسیل حل کنند:

مثال 7

انتگرال نامعین را پیدا کنید

بررسی را انجام دهید.

مثال 8

انتگرال نامعین را پیدا کنید.

راه حل:جایگزین می کنیم: .

باید دید به چه چیزی تبدیل خواهد شد xdx? هر از گاهی هنگام حل انتگرال ترفند زیر مطرح می شود: ایکسما از همان جایگزینی بیان خواهیم کرد:

مثال 9

انتگرال نامعین را پیدا کنید.

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. پاسخ در پایان درس است.

مثال 10

انتگرال نامعین را پیدا کنید.

مطمئناً برخی از افراد متوجه شده اند که جدول جستجو دارای قانون جایگزینی متغیر نیست. این کار به عمد انجام شد. این قاعده باعث ایجاد سردرگمی در توضیح و درک می شود، زیرا در مثال های بالا به صراحت ظاهر نمی شود.

اکنون وقت آن است که در مورد فرض اصلی استفاده از روش جایگزینی متغیر صحبت کنیم: انتگرال باید دارای تابعی باشد و مشتق آن. به عنوان مثال، مانند : .

افتوابع ممکن است در کار نباشند، اما در ترکیبی متفاوت باشند.

در این راستا، هنگام یافتن انتگرال ها، اغلب باید به جدول مشتقات نگاه کنید.

در مثال 10 مورد بررسی، متوجه می‌شویم که درجه صورت‌گر یک درجه کمتر از درجه مخرج است. در جدول مشتقات فرمولی را پیدا می کنیم که فقط یک درجه را کاهش می دهد. و این بدان معناست که اگر به عنوان تعیین کنیم تیمخرج، پس احتمال زیاد است که صورت xdxبه چیز خوبی تبدیل می شود:

جایگزینی: .

به هر حال، قرار دادن تابع زیر علامت دیفرانسیل چندان دشوار نیست:

لازم به ذکر است که برای کسرهایی مانند , این ترفند دیگر کار نخواهد کرد (به طور دقیق تر، نه تنها تکنیک جایگزینی را اعمال کنید).

شما می توانید یاد بگیرید که چند کسر را در کلاس ادغام کنید. ادغام کسرهای مختلط. در اینجا چند مثال معمولی دیگر برای حل همان روش وجود دارد.

مثال 11

انتگرال نامعین را پیدا کنید

مثال 12

انتگرال نامعین را پیدا کنید

راه حل در پایان درس.

مثال 13

انتگرال نامعین را پیدا کنید

ما به جدول مشتقات نگاه می کنیم و کسینوس قوس خود را پیدا می کنیم: ، زیرا در انتگرال ما آرکوزین و چیزی شبیه به مشتق آن داریم.

قانون کلی:

پشت تیما خود تابع را نشان می دهیم(و نه مشتق آن).

در این مورد: . باقی مانده است که بفهمیم قسمت باقی مانده از انتگرال به چه چیزی تبدیل می شود

در این مثال، پیدا کردن د تی بیایید آن را با جزئیات بنویسیم، زیرا یک تابع پیچیده است:

یا به طور خلاصه:

با استفاده از قانون تناسب، مابقی مورد نیاز را بیان می کنیم: .

بدین ترتیب:

مثال 14

انتگرال نامعین را پیدا کنید.

مثالی برای راه حل مستقل. پاسخ بسیار نزدیک است.

خوانندگان توجه متوجه خواهند شد که نمونه های کمی با توابع مثلثاتی در نظر گرفته ایم. و این تصادفی نیست، زیرا تحت و انتگرال توابع مثلثاتیدروس جداگانه به 7.1.5، 7.1.6، 7.1.7 اختصاص داده شده است. علاوه بر این، در زیر دستورالعمل‌های مفیدی برای جایگزینی یک متغیر آورده شده است، که مخصوصاً برای آدمک‌هایی که همیشه و بلافاصله نمی‌دانند چه نوع جایگزینی باید در یک انتگرال خاص انجام شود، مهم است. همچنین، برخی از انواع جایگزین ها را می توان در ماده 7.2 یافت.

دانش آموزان با تجربه تر می توانند خود را با یک جایگزین معمولی آشنا کنند در انتگرال با توابع غیر منطقی

مثال 12: راه حل:

بیایید جایگزین کنیم:

مثال 14: راه حل:

بیایید جایگزین کنیم:

2. جایگزینی متغیر (روش جایگزینی)

ماهیت روش جایگزینی این است که در نتیجه معرفی یک متغیر جدید، داده شده دشوارانتگرال به یک جدولی یا یکی که روش محاسبه آن مشخص است کاهش می یابد.

اجازه دهید محاسبه انتگرال ضروری باشد. دو قانون تعویض وجود دارد:

قانون کلی برای انتخاب یک تابع
وجود ندارد، اما انواع مختلفی از توابع انتگرال وجود دارد که برای آنها توصیه هایی برای انتخاب تابع وجود دارد
.

جایگزینی متغیرها را می توان چندین بار اعمال کرد تا نتیجه حاصل شود.

مثال 1. انتگرال ها را بیابید:

آ)
; ب)
; V)
;

ز)
; د)
; ه)
.

راه حل.

الف) در میان انتگرال های جدول، هیچ رادیکالی با درجات مختلف وجود ندارد، بنابراین "من می خواهم خلاص شوم"، اول از همه،
و
. برای این کار باید تعویض کنید ایکسچنین عبارتی که هر دو ریشه را می توان به راحتی از آن استخراج کرد:

ب) یک مثال معمولی زمانی که تمایل به "خلاص شدن" از تابع نمایی وجود دارد
. اما در این مورد، راحت تر است که کل عبارت در مخرج کسری را به عنوان یک متغیر جدید در نظر بگیریم:

;

ج) توجه به این که صورتگر حاوی محصول است
، که بخشی از دیفرانسیل عبارت رادیکال است، کل عبارت را با یک متغیر جدید جایگزین کنید:

;

د) در اینجا، مانند مورد الف)، می خواهم از شر رادیکال خلاص شوم. اما از آنجایی که بر خلاف نقطه a)، تنها یک ریشه وجود دارد، آن را با یک متغیر جدید جایگزین می کنیم:

ه) در اینجا دو شرایط به انتخاب جایگزین کمک می کند: از یک سو، میل شهودی برای خلاص شدن از لگاریتم، از سوی دیگر، وجود بیان ، که دیفرانسیل تابع است
. اما مانند مثال های قبلی، بهتر است ثابت های همراه با لگاریتم را در جایگزینی قرار دهیم:

و) در اینجا، مانند مثال قبلی، میل شهودی برای خلاص شدن از شارح دست و پا گیر در انتگرال با این واقعیت شناخته شده سازگار است:
(فرمول 8 جدول 3). بنابراین ما داریم:

جایگزینی متغیرها برای برخی از کلاس های تابع

بیایید به دسته‌هایی از توابع که ممکن است جایگزین‌های خاصی برای آنها توصیه شود نگاهی بیاندازیم.

جدول 4.توابع منطقی

نوع انتگرال	روش یکپارچه سازی
1.1.
1.2.
1.3.	انتخاب مربع کامل:
1.4.	فرمول عود

توابع ماورایی:

1.5.
- تعویض تی = ه ایکس ;

1.6.
- تعویض تی= ورود آ ایکس.

مثال 2.انتگرال توابع گویا را بیابید:

آ)
; ب)
;

V)
; د)
.

راه حل.

الف) نیازی به محاسبه این انتگرال با استفاده از تغییر متغیرها نیست.

ب) به طور مشابه، از subsuming زیر علامت دیفرانسیل استفاده می کنیم:

;

ج) قبل از اینکه ما یک انتگرال از نوع 1.3 جدول 4 باشد، از توصیه های مربوطه استفاده خواهیم کرد:

ه) مشابه مثال قبل:

مثال 3.انتگرال ها را بیابید

آ)
; ب)
.

راه حل.

ب) انتگرال حاوی یک لگاریتم است، بنابراین از توصیه 1.6 استفاده خواهیم کرد. فقط در این مورد راحت تر است که نه فقط یک عملکرد را جایگزین کنید
و کل عبارت رادیکال:

جدول 6. توابع مثلثاتی (آر

نوع انتگرال	روش یکپارچه سازی
3.1.	جایگزینی جهانی , , ,
3.1.1. ، اگر	تعویض
3.1.2. ، اگر	تعویض .
3.1.3. . ، اگر (یعنی فقط درجات زوجی از توابع وجود دارد )	تعویض
3.2.	اگر - عجیب و غریب، سپس 3.1.1 را ببینید. اگر - عجیب و غریب، سپس 3.1.2 را ببینید. اگر - زوج، سپس 3.1.3 را ببینید. اگر - یکنواخت، سپس از فرمول هایی برای کاهش درجه استفاده کنید ,
3.3. , ,	از فرمول ها استفاده کنید

مثال 4.انتگرال ها را بیابید:

آ)
; ب)
; V)
; د)
.

راه حل.

الف) در اینجا تابع مثلثاتی را ادغام می کنیم. بیایید یک جایگزین جهانی اعمال کنیم (جدول 6، 3.1):

ب) در اینجا ما همچنین یک جایگزین جهانی را اعمال می کنیم:

توجه داشته باشید که در انتگرال در نظر گرفته شده تغییر متغیرها باید دو بار اعمال می شد.

ج) به طور مشابه محاسبه می کنیم:

ه) دو روش برای محاسبه این انتگرال در نظر می گیریم.

همانطور که می بینید، ما توابع اولیه مختلفی را به دست آورده ایم. این بدان معنا نیست که یکی از تکنیک های استفاده شده نتیجه اشتباهی را به همراه دارد. واقعیت این است که با استفاده از هویت های مثلثاتی معروف که مماس نیم زاویه را با توابع مثلثاتی یک زاویه کامل وصل می کند، داریم.

بنابراین، ضد مشتقات یافت شده با یکدیگر منطبق هستند.

مثال 5.انتگرال ها را بیابید:

آ)
; ب)
; V)
; ز)
.

راه حل.

الف) در این انتگرال می توانیم جانشینی جهانی را نیز اعمال کنیم
، اما از آنجایی که کسینوس موجود در انتگرال دارای توان زوج است، استفاده از توصیه های بند 3.1.3 جدول 6 منطقی تر است:

ب) ابتدا، اجازه دهید تمام توابع مثلثاتی موجود در انتگرال را به یک آرگومان کاهش دهیم:

در انتگرال حاصل، می‌توانیم یک جایگزین جهانی اعمال کنیم، اما توجه می‌کنیم که وقتی علائم سینوس و کسینوس تغییر می‌کنند، انتگرال تغییر علامت نمی‌دهد:

در نتیجه، تابع دارای ویژگی های مشخص شده در بند 3.1.3 جدول 6 است، بنابراین راحت ترین جایگزینی خواهد بود.
. ما داریم:

ج) اگر در یک انتگرال داده شده علامت کسینوس تغییر کند، کل تابع علامت تغییر می کند:

این بدان معنی است که انتگرال دارای ویژگی شرح داده شده در بند 3.1.2 است. بنابراین، استفاده از جایگزینی منطقی است
. اما ابتدا، مانند مثال قبلی، تابع انتگرال را تبدیل می کنیم:

د) اگر در یک انتگرال داده شده علامت سینوس تغییر کند، کل تابع علامت تغییر خواهد کرد، به این معنی که موردی را داریم که در بند 3.1.1 جدول 6 توضیح داده شده است، بنابراین متغیر جدید باید به عنوان یک تابع تعیین شود.
. اما از آنجایی که در انتگرال تابع وجود ندارد
و نه دیفرانسیل آن، ابتدا تبدیل می کنیم:

مثال 6.انتگرال ها را بیابید:

آ)
; ب)
;

V)
ز)
.

راه حل.

الف) این انتگرال به انتگرال های نوع 3.2 جدول 6 اشاره دارد. از آنجایی که سینوس یک توان فرد است، طبق توصیه ها، جایگزینی تابع راحت است.
. اما ابتدا تابع انتگرال را تبدیل می کنیم:

ب) این انتگرال از نوع قبلی است اما در اینجا توابع است
و
دارای مدرک زوج هستند، بنابراین باید فرمول های کاهش مدرک را اعمال کنید:
,
. ما گرفتیم:

ج) تبدیل تابع:

د) با توجه به توصیه های 3.1.3 جدول 6، در این انتگرال راحت است که جایگزینی انجام شود.
. ما گرفتیم:

جدول 5.توابع غیر منطقی (آر- عملکرد منطقی استدلال های آن)

نوع انتگرال	روش یکپارچه سازی
	تعویض ، جایی که ک – مخرج مشترک کسرها …, .
	تعویض ، جایی که ک- مخرج مشترک کسرها …,
2.3.	تعویض، , جایی که ک- مخرج مشترک کسرهای توان …,
2.4.	تعویض .
2.5.	تعویض ,
2.6.	تعویض , .
2.7.	تعویض , .
2.8. (دو جمله ای دیفرانسیل) تنها در سه مورد ادغام می شود: آ) آر- عدد صحیح (جایگزینی ایکس = تی ک، جایی که ک- مخرج مشترک کسرها تیو پ); ب) - کل (جایگزینی = تی ک، جایی که ک- مخرج کسری آر); V) - کل (جایگزینی = تی ک، جایی که ک- مخرج کسری آر).

مثال 7.انتگرال ها را بیابید:

آ)
; ب)
; V)
.

راه حل.

الف) این انتگرال را می توان به عنوان انتگرال های نوع 2.1 طبقه بندی کرد، بنابراین بیایید جایگزین مناسب را انجام دهیم. به یاد بیاوریم که نقطه جایگزینی در این مورد، رهایی از بی منطقی است. و این بدان معنی است که عبارت رادیکال باید با چنین توانی از یک متغیر جدید جایگزین شود که تمام ریشه های زیر انتگرال از آن استخراج شود. در مورد ما واضح است :

در زیر انتگرال ما یک کسر گویا نامناسب به دست می آوریم. ادغام چنین کسری، اول از همه، شامل جداسازی کل قسمت است. پس بیایید صورت را بر مخرج تقسیم کنیم:

سپس می گیریم
، از اینجا

تغییر متغیر در یک انتگرال نامعین برای یافتن انتگرال هایی استفاده می شود که در آنها یکی از توابع مشتق تابع دیگری است. اجازه دهید $ \int f(x) dx $ انتگرال وجود داشته باشد، اجازه دهید $ x=\phi(t) $ را جایگزین کنیم. توجه داشته باشید که تابع $ \phi(t) $ قابل تفکیک است، بنابراین می‌توانیم $ dx = \phi"(t) dt $ را پیدا کنیم.

حالا $ \begin(vmatrix) x = \phi(t) \\ dx = \phi"(t) dt \end(vmatrix) $ را در انتگرال جایگزین می کنیم و به این نتیجه می رسیم:

$$ \int f(x) dx = \int f(\phi(t)) \cdot \phi"(t) dt $$

این یکی هست فرمول تغییر یک متغیر در یک انتگرال نامعین.

الگوریتم روش جایگزینی متغیر

بنابراین، اگر به مشکل یک انتگرال از شکل داده شود: $$ \int f(\phi(x)) \cdot \phi"(x) dx $$، بهتر است متغیر را با متغیر جدیدی جایگزین کنید: $$ t = \phi(x) $ $ $$ dt = \phi"(t) dt $$

پس از این، انتگرال به شکلی ارائه می‌شود که به راحتی می‌توان با روش‌های ادغام اولیه دریافت کرد: $$ \int f(\phi(x)) \cdot \phi"(x) dx = \int f(t) dt $$

فراموش نکنید که متغیر جایگزین شده را نیز به $x$ برگردانید.

نمونه هایی از راه حل ها

مثال 1
انتگرال نامعین را با استفاده از روش تغییر متغیر پیدا کنید: $$ \int e^(3x) dx $$
راه حل
متغیر را در انتگرال با $ t = 3x، dt = 3dx $ جایگزین می کنیم: $$ \int e^(3x) dx = \int e^t \frac(dt)(3) = \frac(1)(3) \int e^t dt = $$ انتگرال نمایی طبق جدول ادغام همچنان یکسان است، اگرچه به جای $ x $ $ t $ نوشته شده است: $$ = \frac(1)(3) e^t + C = \frac(1)(3) e^(3x) + C $$ اگر نمی توانید مشکل خود را حل کنید، آن را برای ما ارسال کنید. ما راه حل دقیق ارائه خواهیم داد. شما می توانید پیشرفت محاسبات را مشاهده کرده و اطلاعاتی را به دست آورید. این به شما کمک می کند نمره خود را به موقع از معلم خود بگیرید!
پاسخ
$$ \int e^(3x) dx = \frac(1)(3) e^(3x) + C $$

انتگرال داده شده را با انتگرال مستقیم محاسبه کنید

همیشه درست نمی شود. یکی از موثرترین تکنیک ها

روشی برای جایگزینی یا جایگزینی متغیر ادغام است.

ماهیت این روش این است که با معرفی یک متغیر یکپارچه سازی جدید می توان انتگرال داده شده را به

به یک انتگرال جدید که با ادغام مستقیم گرفته می شود.

این روش را در نظر بگیرید:

اجازه دهید تابع پیوسته باشد

نیاز به پیدا کردن: (1)

بیایید متغیر ادغام را تغییر دهیم:

که در آن φ (t) یک تابع یکنواخت است که مشتق پیوسته دارد

و یک تابع پیچیده f(φ(t)) وجود دارد.

با استفاده از فرمول تمایز پیچیده برای F (x) = F(φ (t)).

توابع، دریافت می کنیم:

﴾F (φ (t))﴿′ = F′(x) ∙ φ′ (t)

اما F′(x) = f (x) = f (φ (t))، بنابراین

﴾F (φ (t))﴿′ = f (φ (t)) ∙ φ′ (t) (3)

بنابراین، تابع F(φ (t)) یک پاد مشتق از تابع است

f (φ (t)) ∙ φ' (t)، بنابراین:

∫ f (φ (t)) ∙ φ' (t) dt = F (φ (t)) + C (4)

با توجه به اینکه F (φ (t)﴿ = F (x)، از (1) و (4) فرمول جایگزینی به شرح زیر است

متغیر در انتگرال نامعین:

∫ f (x)dx = ∫ f(φ (t)) φ' (t)dt (5)

به طور رسمی، فرمول (5) با جایگزینی x با φ (t) و dx با φ' (t)dt به دست می آید.

نتیجه به دست آمده پس از ادغام طبق فرمول (5) به شرح زیر است

به متغیر x برگردید. این همیشه ممکن است، زیرا بر اساس اولویت

علاوه بر این، تابع x = φ (t) یکنواخت است.

انتخاب موفقیت آمیز جایگزینی معمولاً مستلزم تلاش های شناخته شده است.

ness برای غلبه بر آنها، تسلط بر تکنیک تمایز ضروری است

استنادها و دانش خوبی از انتگرال های جدولی دارند.

اما هنوز هم می توانید یک سریال تنظیم کنید قوانین عمومیو چند تکنیک

ادغام.

قوانین ادغام با جایگزینی:

1. تعیین کنید که این انتگرال به کدام انتگرال جدول کاهش می یابد (در صورت لزوم پس از تبدیل عبارت انتگرال).

2. تعیین کنید که کدام قسمت از تابع انتگرال باید جایگزین شود

متغیر جدید، و این جایگزین را یادداشت کنید.

3. دیفرانسیل هر دو قسمت رکورد را بیابید و دیفرانسیل را بیان کنید

شماره گیری متغیر قدیمی (یا عبارتی حاوی این تفاوت.

منطقه ای) از طریق دیفرانسیل متغیر جدید.

4. یک تعویض زیر انتگرال انجام دهید.

5. انتگرال حاصل را بیابید.

6. در نتیجه به سراغ متغیر قدیمی می روند.

نمونه هایی از حل انتگرال با استفاده از روش جایگزینی:

1. پیدا کنید: ∫ x²(3+2x) dx

راه حل:

بیایید جایگزینی را 3+2x = t کنیم

بیایید دیفرانسیل هر دو طرف تعویض را پیدا کنیم:

6x dx = dt، از کجا

از این رو:

∫ x (3+2x) dx = ∫ t ∙ dt = ∫ t dt = ∙ + C = t + C

با جایگزینی t با عبارت آن از جایگزینی، دریافت می کنیم:

∫ x (3+2x) dx = (3+2x) + C

راه حل:

= = ∫ e = e + C = e + C

راه حل:

مفهوم انتگرال معین.

تفاوت در مقادیر برای هر تابع ضد مشتق زمانی که آرگومان از به تغییر می کند، انتگرال قطعی این تابع در محدوده a تا b نامیده می شود و نشان داده می شود:

a و b حد پایین و بالایی ادغام نامیده می شوند.

برای محاسبه انتگرال معین نیاز دارید:

1. انتگرال نامعین مربوطه را بیابید

2. به جای x، ابتدا حد بالای ادغام در و سپس حد پایین را به جای x جایگزین کنید.

3. نتیجه دوم را از اولین نتیجه تعویض کم کنید.

به طور خلاصه، این قانون به شکل فرمول هایی مانند زیر نوشته شده است:

این فرمول را فرمول نیوتن لایب نیتس می نامند.

خواص اساسی انتگرال معین:

1.، که در آن K=const

3. اگر، پس

4. اگر تابع در بازه غیر منفی است، که در آن، سپس

هنگام جایگزینی یک متغیر ادغام قدیمی با یک متغیر جدید در یک انتگرال معین، لازم است که محدودیت های یکپارچه سازی قدیمی را با محدودیت های جدید جایگزین کنید. این محدودیت های جدید با جایگزینی انتخاب شده تعیین می شوند.

کاربرد انتگرال معین.

مساحت یک ذوزنقه منحنی که توسط یک منحنی، محور x و دو خط مستقیم محدود شده است. وبا فرمول محاسبه می شود:

حجم جسمی که در اثر چرخش حول محور x یک ذوزنقه منحنی شکل که توسط یک منحنی که علامت آن تغییر نمی کند، یک محور x و دو خط مستقیم محدود شده است. وبا فرمول محاسبه می شود:

با استفاده از یک انتگرال معین، می توانید تعدادی از مشکلات فیزیکی را نیز حل کنید.

مثلا:

اگر سرعت یک جسم متحرک مستقیم یک تابع شناخته شده از زمان t باشد، مسیر S که این جسم از زمان t = t 1 تا زمان t = t 2 طی کرده است با فرمول تعیین می شود:

اگر نیروی متغیر یک تابع شناخته شده از مسیر S باشد (فرض می شود که جهت نیرو تغییر نمی کند)، کار A که توسط این نیرو در مسیر از به انجام می شود با فرمول تعیین می شود:

مثال ها:

1. مساحت شکل محدود شده با خطوط را محاسبه کنید:

y = ; y = (x-2) 2 ; 0x

راه حل:

الف) بیایید نمودارهایی از توابع بسازیم: y = ; y = (x-2) 2

ب) رقمی را که مساحت آن باید محاسبه شود را مشخص کنید.

ج) حدود انتگرال را با حل معادله تعیین کنید: = (x-2) 2 ; x = 1 ;

د) مساحت یک شکل داده شده را محاسبه کنید:

S = dx + 2 dx = 1 واحد 2

2. مساحت شکل محدود شده با خطوط را محاسبه کنید:

Y = x 2 ; x = y 2 .

راه حل:

x 2 = ; x 4 = x ;

x (x 3 – 1) = 0

x 1 = 0 ; x 2 = 1

S = - x 2) dx = ( x 3\2 - ) │ 0 1 = واحد 2

3. حجم جسمی را که با چرخاندن یک شکل محدود شده با خطوط حول محور 0x به دست می آید محاسبه کنید: y = ; x = 1.

راه حل:

V = π dx = π ) 2 dx = π = π │ = π/2 واحد. 3

تست تکلیف در ریاضی
گزینه هایی برای وظایف

انتخاب 1

y = (x + 1) 2 ; y = 1 – x ; 0x

گزینه شماره 2

1-سیستم معادلات را به سه روش حل کنید: