La calculatrice vous permet de convertir des nombres entiers et fractionnaires d'un système numérique à un autre. La base du système numérique ne peut pas être inférieure à 2 et supérieure à 36 (10 chiffres et 26 lettres latines après tout). La longueur des chiffres ne doit pas dépasser 30 caractères. Pour saisir des nombres fractionnaires, utilisez le symbole. ou, . Pour convertir un numéro d'un système à un autre, entrez le numéro d'origine dans le premier champ, la base du système de numérotation d'origine dans le deuxième et la base du système de numérotation vers lequel vous souhaitez convertir le numéro dans le troisième champ. puis cliquez sur le bouton "Obtenir l'enregistrement".
Numéro d'origine écrit en 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ième système de numérotation.
Je veux qu'un numéro soit écrit 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ième système de numérotation.
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Systèmes numériques
Les systèmes numériques sont divisés en deux types : positionnel Et pas de position. Nous utilisons le système arabe, il est positionnel, mais il existe aussi le système romain – il n’est pas positionnel. Dans les systèmes positionnels, la position d'un chiffre dans un nombre détermine de manière unique la valeur de ce nombre. Ceci est facile à comprendre en regardant un nombre à titre d’exemple.
Exemple 1. Prenons le nombre 5921 dans le système numérique décimal. Numérotons le nombre de droite à gauche en partant de zéro :
Le nombre 5921 peut s'écrire sous la forme suivante : 5921 = 5000+900+20+1 = 5·10 3 +9·10 2 +2·10 1 +1·10 0 . Le nombre 10 est une caractéristique qui définit le système numérique. Les valeurs de la position d'un nombre donné sont prises comme puissances.
Exemple 2. Considérons le nombre décimal réel 1234,567. Numérotons-le en partant de la position zéro du nombre à partir de la virgule décimale vers la gauche et la droite :
Le nombre 1234,567 peut s'écrire sous la forme suivante : 1234,567 = 1000+200+30+4+0,5+0,06+0,007 = 1·10 3 +2·10 2 +3·10 1 +4·10 0 +5·10 -1 + 6·10 -2 +7·10 -3 .
Conversion de nombres d'un système numérique à un autre
Le moyen le plus simple de convertir un nombre d'un système numérique à un autre consiste d'abord à convertir le nombre au système numérique décimal, puis le résultat obtenu dans le système numérique requis.
Conversion de nombres de n'importe quel système numérique vers le système numérique décimal
Pour convertir un nombre de n'importe quel système numérique en décimal, il suffit de numéroter ses chiffres, en commençant par zéro (le chiffre à gauche de la virgule décimale) de la même manière que dans les exemples 1 ou 2. Trouvons la somme des produits des chiffres du nombre par la base du système numérique à la puissance de la position de ce chiffre :
1.
Convertissez le nombre 1001101.1101 2 au système numérique décimal.
Solution: 10011.1101 2 = 1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +1·2 0 +1·2 -1 +1·2 -2 +0·2 -3 +1·2 - 4 = 16+2+1+0,5+0,25+0,0625 = 19,8125 10
Répondre: 10011.1101 2 = 19.8125 10
2.
Convertissez le nombre E8F.2D 16 au système numérique décimal.
Solution: E8F.2D 16 = 14·16 2 +8·16 1 +15·16 0 +2·16 -1 +13·16 -2 = 3584+128+15+0,125+0,05078125 = 3727,17578125 10
Répondre: E8F.2D 16 = 3727.17578125 10
Conversion de nombres du système numérique décimal vers un autre système numérique
Pour convertir des nombres du système numérique décimal vers un autre système numérique, les parties entières et fractionnaires du nombre doivent être converties séparément.
Conversion d'une partie entière d'un nombre d'un système numérique décimal vers un autre système numérique
Une partie entière est convertie d'un système numérique décimal en un autre système numérique en divisant séquentiellement la partie entière d'un nombre par la base du système numérique jusqu'à obtenir un reste entier inférieur à la base du système numérique. Le résultat de la traduction sera un enregistrement du reste, en commençant par le dernier.
3.
Convertissez le nombre 273 10 en système numérique octal.
Solution: 273/8 = 34 et reste 1. 34/8 = 4 et reste 2. 4 est inférieur à 8, le calcul est donc terminé. L'enregistrement des soldes ressemblera à ceci : 421
Examen: 4·8 2 +2·8 1 +1·8 0 = 256+16+1 = 273 = 273, le résultat est le même. Cela signifie que la traduction a été effectuée correctement.
Répondre: 273 10 = 421 8
Considérons la traduction de fractions décimales régulières en divers systèmes numériques.
Conversion de la partie fractionnaire d'un nombre du système numérique décimal vers un autre système numérique
Rappelez-vous qu'une fraction décimale propre s'appelle nombre réel avec une partie entière nulle. Pour convertir un tel nombre en un système numérique de base N, vous devez multiplier séquentiellement le nombre par N jusqu'à ce que la partie fractionnaire atteigne zéro ou que le nombre de chiffres requis soit obtenu. Si, lors de la multiplication, un nombre avec une partie entière autre que zéro est obtenu, alors la partie entière n'est plus prise en compte, puisqu'elle est inscrite séquentiellement dans le résultat.
4.
Convertissez le nombre 0,125 10 en système de nombres binaires.
Solution: 0,125·2 = 0,25 (0 est la partie entière qui deviendra le premier chiffre du résultat), 0,25·2 = 0,5 (0 est le deuxième chiffre du résultat), 0,5·2 = 1,0 (1 est le troisième chiffre du résultat, et puisque la partie fractionnaire est nulle, alors la traduction est terminée).
Répondre: 0.125 10 = 0.001 2
Vous pouvez saisir à la fois des nombres entiers, par exemple 34, et des nombres fractionnaires, par exemple 637,333. Pour les nombres fractionnaires, la précision de la traduction après la virgule décimale est indiquée.
Les éléments suivants sont également utilisés avec cette calculatrice :
Façons de représenter les nombres
Binaire nombres (binaires) - chaque chiffre signifie la valeur d'un bit (0 ou 1), le bit le plus significatif est toujours écrit à gauche, la lettre « b » est placée après le nombre. Pour faciliter la perception, les cahiers peuvent être séparés par des espaces. Par exemple, 1010 0101b.Hexadécimal nombres (hexadécimaux) - chaque tétrade est représentée par un symbole 0...9, A, B, ..., F. Cette représentation peut être désignée de différentes manières ici seul le symbole « h » est utilisé après le dernier hexadécimal ; chiffre. Par exemple, A5h. Dans les textes de programme, le même numéro peut être désigné par 0xA5 ou 0A5h, selon la syntaxe du langage de programmation. Un zéro (0) non significatif est ajouté à gauche du chiffre hexadécimal le plus significatif représenté par la lettre pour distinguer les nombres et les noms symboliques.
Décimal nombres (décimaux) - chaque octet (mot, double mot) est représenté par un nombre régulier et le signe de représentation décimale (la lettre « d ») est généralement omis. L'octet dans les exemples précédents a une valeur décimale de 165. Contrairement à la notation binaire et hexadécimale, la notation décimale est difficile à déterminer mentalement la valeur de chaque bit, ce qui est parfois nécessaire.
Octal nombres (octaux) - chaque triplet de bits (la division commence par le poids le moins significatif) est écrit sous la forme d'un nombre de 0 à 7, avec un « o » à la fin. Le même nombre s’écrirait 245o. Le système octal n'est pas pratique car l'octet ne peut pas être divisé de manière égale.
Algorithme de conversion de nombres d'un système numérique à un autre
La conversion des nombres décimaux entiers vers tout autre système numérique s'effectue en divisant le nombre par la base du nouveau système numérique jusqu'à ce que le reste reste un nombre inférieur à la base du nouveau système numérique. Le nouveau nombre s'écrit sous forme de restes de division, en commençant par le dernier.La conversion d'une fraction décimale régulière en un autre PSS s'effectue en multipliant uniquement la partie fractionnaire du nombre par la base du nouveau système numérique jusqu'à ce que tous les zéros restent dans la partie fractionnaire ou jusqu'à ce que la précision de traduction spécifiée soit atteinte. À la suite de chaque opération de multiplication, un chiffre d'un nouveau nombre est formé, en commençant par le plus élevé.
Une traduction incorrecte des fractions est effectuée selon les règles 1 et 2. Les parties entières et fractionnaires sont écrites ensemble, séparées par une virgule.
Exemple n°1. 
Conversion du système numérique de 2 à 8 à 16.
Ces systèmes sont des multiples de deux, la traduction s'effectue donc à l'aide d'une table de correspondance (voir ci-dessous).
Pour convertir un nombre du système de nombres binaires au système de nombres octal (hexadécimal), il est nécessaire de diviser le nombre binaire du point décimal à droite et à gauche en groupes de trois (quatre pour hexadécimal) chiffres, en complétant les groupes externes. avec des zéros si nécessaire. Chaque groupe est remplacé par le chiffre octal ou hexadécimal correspondant.
Exemple n°2. 1010111010.1011 = 1.010.111.010.101.1 = 1272.51 8
ici 001=1 ; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1
Lors de la conversion au système hexadécimal, vous devez diviser le nombre en parties de quatre chiffres, en suivant les mêmes règles.
Exemple n°3. 1010111010,1011 = 10.1011.1010,1011 = 2B12,13 HEX
ici 0010=2 ; 1011=B; 1010 = 12 ; 1011=13
La conversion des nombres de 2, 8 et 16 au système décimal s'effectue en divisant le nombre en nombres individuels et en le multipliant par la base du système (à partir de laquelle le nombre est traduit) élevée à la puissance correspondant à son numéro de série en le nombre en cours de conversion. Dans ce cas, les nombres sont numérotés à gauche de la virgule décimale (le premier nombre est numéroté 0) en croissant et à droite en décroissant (c'est-à-dire avec un signe négatif). Les résultats obtenus sont additionnés.
Exemple n°4.
Un exemple de conversion du système de nombres binaires au système de nombres décimaux.
1010010.101 2 = 1·2 6 +0·2 5 +1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +0·2 0 + 1·2 -1 +0·2 - 2 + 1 2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0,5+0+0,125 = 82,625 10 Un exemple de conversion du système de nombres octal en décimal. 108,5 8 = 1*·8 2 +0·8 1 +8·8 0 + 5·8 -1 = 64+0+8+0,625 = 72,625 10 Un exemple de conversion du système numérique hexadécimal au système décimal. 108,5 16 = 1,16 2 +0,16 1 +8,16 0 + 5,16 -1 = 256+0+8+0,3125 = 264,3125 10
Encore une fois, nous répétons l'algorithme de conversion des nombres d'un système numérique à un autre PSS
- À partir du système de nombres décimaux :
- diviser le nombre par la base du système numérique en cours de traduction ;
- trouver le reste en divisant une partie entière d'un nombre ;
- notez tous les restes de la division dans l'ordre inverse ;
- Du système de nombres binaires
- Pour convertir au système numérique décimal, il est nécessaire de trouver la somme des produits de base 2 par le degré de chiffre correspondant ;
- Pour convertir un nombre en octal, vous devez diviser le nombre en triades.
Par exemple, 1000110 = 1 000 110 = 106 8 - Pour convertir un nombre binaire en hexadécimal, vous devez diviser le nombre en groupes de 4 chiffres.
Par exemple, 1000110 = 100 0110 = 46 16
Table de correspondance du système numérique :
| SS binaire | SS hexadécimal |
| 0000 | 0 |
| 0001 | 1 |
| 0010 | 2 |
| 0011 | 3 |
| 0100 | 4 |
| 0101 | 5 |
| 0110 | 6 |
| 0111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | UN |
| 1011 | B |
| 1100 | C |
| 1101 | D |
| 1110 | E |
| 1111 | F |
Tableau de conversion vers le système de nombres octaux
Exemple n°2. Convertissez le nombre 100,12 du système numérique décimal au système numérique octal et vice versa. Expliquez les raisons des écarts.
Solution.
Étape 1. .
Nous écrivons le reste de la division dans l'ordre inverse. On obtient le numéro dans le 8ème système numérique : 144
100 = 144 8
Pour convertir la partie fractionnaire d'un nombre, nous multiplions séquentiellement la partie fractionnaire par la base 8. En conséquence, à chaque fois, nous notons la partie entière du produit.
0,12*8 = 0,96 (partie entière 0
)
0,96*8 = 7,68 (partie entière 7
)
0,68*8 = 5,44 (partie entière 5
)
0,44*8 = 3,52 (partie entière 3
)
Nous obtenons le numéro dans le 8ème système numérique : 0753.
0.12 = 0.753 8
100,12 10 = 144,0753 8
Étape 2. Conversion d'un nombre du système numérique décimal au système numérique octal.
Conversion inverse du système de nombres octal en décimal.
Pour traduire une partie entière, vous devez multiplier le chiffre d'un nombre par le degré de chiffre correspondant.
144 = 8 2 *1 + 8 1 *4 + 8 0 *4 = 64 + 32 + 4 = 100
Pour convertir la partie fractionnaire, vous devez diviser le chiffre du nombre par le degré de chiffre correspondant
0753 = 8 -1 *0 + 8 -2 *7 + 8 -3 *5 + 8 -4 *3 = 0.119873046875 = 0.1199
144,0753 8 = 100,96 10
La différence de 0,0001 (100,12 - 100,1199) s'explique par une erreur d'arrondi lors de la conversion vers le système numérique octal. Cette erreur peut être réduite si vous prenez un plus grand nombre de chiffres (par exemple, pas 4, mais 8).
Les éléments suivants sont également utilisés avec cette calculatrice :
Conversion de nombres en systèmes de nombres binaires, hexadécimaux, décimaux et octaux
Multiplier des nombres binaires
Format à virgule flottante
Exemple n°1. Représente le nombre 133,54 sous forme de virgule flottante.
Solution. Représentons le nombre 133,54 sous forme exponentielle normalisée :
1,3354*10 2 = 1,3354*exp 10 2
Le nombre 1,3354*exp 10 2 se compose de deux parties : la mantisse M=1,3354 et l'exposant exp 10 =2
Si la mantisse est comprise entre 1 ≤ M Représenter un nombre sous forme exponentielle dénormalisée.
Si la mantisse est comprise entre 0,1 ≤ M Représentons le nombre sous forme exponentielle dénormalisée : 0,13354*exp 10 3
Exemple n°2. Représente le nombre binaire 101.10 2 sous forme normalisée, écrit selon la norme IEEE754 32 bits.
Table de vérité
Calcul des limites
Arithmétique dans le système de nombres binaires
Les opérations arithmétiques dans le système binaire sont effectuées de la même manière que dans le système décimal. Mais, si dans le système de nombres décimaux, le transfert et l'emprunt sont effectués par dix unités, alors dans le système de nombres binaires - par deux unités. Le tableau montre les règles d'addition et de soustraction dans le système de nombres binaires.- Lors de l'ajout de deux unités dans un système de nombres binaires, ce bit sera 0 et l'unité sera transférée vers le bit le plus significatif.
- En soustrayant un de zéro, un est emprunté au chiffre le plus élevé, où il y a 1. Une unité occupée dans ce chiffre donne deux unités dans le chiffre où l'action est calculée, ainsi qu'une dans tous les chiffres intermédiaires.
Ajouter des nombres en tenant compte de leurs signes sur une machine est une séquence des actions suivantes :
- convertir les numéros d'origine en code spécifié ;
- ajout de codes au niveau du bit ;
- analyse du résultat obtenu.
Lors de l'exécution d'une opération dans le code de complément à deux (complément à deux modifié), si une unité de retenue apparaît dans le bit de signe à la suite d'une addition, elle est ignorée.
L'opération de soustraction dans un ordinateur s'effectue par addition selon la règle : X-Y=X+(-Y). Les autres actions sont effectuées de la même manière que pour l'opération d'addition.
Exemple n°1.
Étant donné : x=0,110001 ; y = -0,001001, ajouter le code modifié inversé.
Étant donné : x=0,101001 ; y = -0,001101, ajoutez du code modifié supplémentaire. 
Exemple n°2. Résolvez des exemples de soustraction de nombres binaires en utilisant la méthode du complément à 1 et du roulement.
a) 11 - 10.
Solution.
Imaginons les nombres 11 2 et -10 2 en code inversé.
Le nombre binaire 0000011 a un code réciproque de 0,0000011.
Additionnons les nombres 00000011 et 11111101
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | |||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | ||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 |
Un débordement s'est produit au niveau du 2ème chiffre (1 + 1 = 10). Par conséquent, nous écrivons 0 et déplaçons 1 vers le 3ème chiffre.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | |||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | ||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
En conséquence nous obtenons :
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Un report du bit de signe s'est produit. Ajoutons-le (c'est-à-dire 1) au nombre obtenu (effectuant ainsi la procédure de transfert cyclique).
En conséquence nous obtenons :
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Le résultat de l'addition : 00000001. Convertissons-le en représentation décimale. Pour traduire une partie entière, vous devez multiplier le chiffre d'un nombre par le degré de chiffre correspondant.
00000001 = 2 7 *0 + 2 6 *0 + 2 5 *0 + 2 4 *0 + 2 3 *0 + 2 2 *0 + 2 1 *0 + 2 0 *1 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 = 1
Résultat de l'addition (notation décimale) : 1
b) 111-010 Imaginons les nombres 111 2 et -010 2 en code inverse.
Le code inverse pour un nombre positif est le même que le code direct. Pour un nombre négatif, tous les chiffres du nombre sont remplacés par leurs opposés (1 par 0, 0 par 1), et une unité est inscrite dans le chiffre signe.
Le nombre binaire 0000111 a un code réciproque de 0,0000111.
Le nombre binaire 0000010 a un code réciproque de 1,1111101.
Additionnons les nombres 00000111 et 11111101
Un débordement s'est produit au niveau du 0ème chiffre (1 + 1 = 10). Par conséquent, nous écrivons 0 et déplaçons 1 au 1er chiffre.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | |||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 |
Un débordement s'est produit dans le 1er chiffre (1 + 1 = 10). Par conséquent, nous écrivons 0 et déplaçons 1 vers le 2ème chiffre.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | ||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 |
Un débordement s'est produit au niveau du 2ème chiffre (1 + 1 + 1 = 11). Par conséquent, nous écrivons 1 et déplaçons 1 au 3ème chiffre.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | |||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
Un débordement s'est produit au niveau du 3ème chiffre (1 + 1 = 10). Par conséquent, nous écrivons 0 et déplaçons 1 au 4ème chiffre.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | ||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
Un débordement s'est produit au niveau du 4ème bit (1 + 1 = 10). Par conséquent, nous écrivons 0 et déplaçons 1 jusqu’au 5ème chiffre.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Un débordement s'est produit au niveau du 5ème chiffre (1 + 1 = 10). Par conséquent, nous écrivons 0 et déplaçons 1 au 6ème chiffre.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Un débordement s'est produit au niveau du 6ème bit (1 + 1 = 10). Par conséquent, nous écrivons 0 et déplaçons 1 au 7ème chiffre.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Un débordement s'est produit au niveau du 7ème bit (1 + 1 = 10). Par conséquent, nous écrivons 0 et déplaçons 1 au 8ème chiffre.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
En conséquence nous obtenons :
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Un report du bit de signe s'est produit. Ajoutons-le (c'est-à-dire 1) au nombre obtenu (effectuant ainsi la procédure de transfert cyclique).
En conséquence nous obtenons :
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
Résultat de l'addition : 00000101
Nous avons obtenu le nombre 00000101. Pour convertir la partie entière, vous devez multiplier le chiffre du nombre par le degré de chiffre correspondant.
00000101 = 2 7 *0 + 2 6 *0 + 2 5 *0 + 2 4 *0 + 2 3 *0 + 2 2 *1 + 2 1 *0 + 2 0 *1 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 4 + 0 + 1 = 5
Résultat de l'addition (notation décimale) : 5
Ajout de nombres réels binaires à virgule flottante
Sur un ordinateur, n'importe quel nombre peut être représenté au format virgule flottante. Le format à virgule flottante est illustré dans la figure :
Par exemple, le nombre 10101 au format virgule flottante peut s'écrire ainsi :
Les ordinateurs utilisent une forme normalisée d'écriture d'un nombre dans laquelle la position du point décimal est toujours donnée avant le chiffre significatif de la mantisse, c'est-à-dire la condition est remplie :
b-1 ≤|M| Nombre normalisé - Il s'agit d'un nombre qui comporte un chiffre significatif après la virgule décimale (c'est-à-dire 1 dans le système de numérotation binaire). Exemple de normalisation :
0,00101*2 100 =0,101*2 10
111,1001*2 10 =0,111001*2 101
0,01101*2 -11 =0,1101*2 -100
11,1011*2 -101 =0,11011*2 -11
Lors de l'ajout de nombres à virgule flottante, l'alignement des ordres est effectué vers un ordre supérieur : 
Algorithme d'ajout de nombres à virgule flottante :
- Alignement des commandes ;
- Ajout de mantisses dans le code additionnel modifié ;
- Normalisation du résultat.
Exemple n°4.
A=0,1011*2 10 , B=0,0001*2 11
1. Alignement des commandes ;
A=0,01011*2 11 , B=0,0001*2 11
2. Ajout de mantisses dans le code supplémentaire modifié ;
MA mod supplémentaire. =00.01011
Mod supplémentaire Mo. =00.0001
00,01011
+ 00,00010
=
00,01101
A+B=0,01101*2 11
3. Normalisation du résultat.
A+B=0,1101*2 10
Exemple n°3. Écrivez un nombre décimal dans le système de nombres binaires et ajoutez deux nombres dans le système de nombres binaires.
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Leçon 15
§12. Opérations arithmétiques dans les systèmes de numérotation positionnelle
Opérations arithmétiques dans les systèmes de numérotation positionnelle
Opérations arithmétiques dans les systèmes de numérotation positionnelle avec base q sont effectués selon des règles similaires aux règles en vigueur dans le système numérique décimal.
À l’école primaire, les tables d’addition et de multiplication sont utilisées pour apprendre aux enfants à compter. Des tableaux similaires peuvent être compilés pour n’importe quel système de numérotation positionnelle.
12.1. Ajout de nombres dans le système numérique de base q
Considérez des exemples de tables d'addition dans les systèmes numériques ternaire (tableau 3.2), octal (tableau 3.4) et hexadécimal (tableau 3.3).
Tableau 3.2
Ajout dans le système de numérotation ternaire
Tableau 3.3
Addition dans le système de nombres hexadécimaux
Tableau 3.4
Ajout dans le système de nombres octaux
q obtenir le montant S deux nombres UN Et B, vous devez additionner les chiffres qui les forment par chiffres je de droite à gauche:
Si a i + b i< q, то s i = a i + b i , старший (i + 1)-й разряд не изменяется;
si a i + b i ≥ q, alors s i = a i + b i - q, le (i + 1)ième chiffre le plus significatif est augmenté de 1.
Exemples:
12.2. Soustraire des nombres dans le système numérique de base q
De sorte que dans un système numérique avec une base q obtenez la différence R. deux nombres UN Et DANS, il faut calculer les différences entre les chiffres les formant par chiffres je de droite à gauche:
Si a i ≥ b i, alors r i = a i - b i, le (i + 1)ème chiffre le plus significatif ne change pas ;
si un je< b i , то r i = a i - b i + g, старший (i + 1)-й разряд уменьшается на 1 (выполняется заём в старшем разряде).
Note:
Vous ne pouvez effectuer des actions que dans un seul système numérique ; si vous disposez de différents systèmes numériques, convertissez d'abord tous les nombres en un seul système numérique.
Si vous travaillez avec un système numérique dont la base est supérieure à 10 et que vous avez une lettre dans votre exemple, remplacez-la mentalement par un nombre au système décimal, effectuez les opérations nécessaires et reconvertissez le résultat dans le système numérique d'origine.
Ajout:
Tout le monde se souvient qu'à l'école primaire, on nous apprenait à additionner une colonne, endroit par endroit. Si, lors de l'ajout d'un chiffre, un nombre supérieur à 9 était obtenu, nous en soustrayions 10, le résultat obtenu était noté dans la réponse et 1 était ajouté au chiffre suivant. A partir de là, nous pouvons formuler une règle :
- Il est plus pratique de plier en « colonne »
- En additionnant lieu par lieu, si le chiffre à la place > est supérieur au plus grand chiffre de l'alphabet d'un système numérique donné, on soustrait la base du système numérique de ce nombre.
- Nous écrivons le résultat dans la catégorie requise
- Ajoutez un au chiffre suivant
Ajoutez 1001001110 et 100111101 dans le système de nombres binaires
1001001110 |
100111101 |
1110001011 |
Réponse : 1110001011
Ajoutez F3B et 5A en notation hexadécimale
FE0 |
Réponse : FE0
Soustraction: Tout le monde se souvient qu'à l'école primaire, on nous enseignait à soustraire par colonne la valeur de position de la valeur de position. Si, lors de la soustraction d'un chiffre, un nombre inférieur à 0 était obtenu, nous en « empruntions » un au chiffre le plus élevé et ajoutions 10 au chiffre souhaité, et soustrayions celui requis du nouveau nombre. A partir de là, nous pouvons formuler une règle :
Exemple:
Soustrayez le nombre 100111101 de 1001001110 dans le système de nombres binaires
1001001110 |
100111101 |
100010001 |
Réponse : 100010001
Soustraire 5A de F3B en notation hexadécimale
D96 |
Réponse : D96
Plus important encore, n'oubliez pas que vous disposez uniquement des numéros d'un système numérique donné, et n'oubliez pas non plus les transitions entre les termes numériques.
Multiplication:
La multiplication dans d'autres systèmes numériques se produit exactement de la même manière que celle dans laquelle nous sommes habitués.
- Il est plus pratique de multiplier dans une « colonne »
- La multiplication dans n'importe quel système numérique suit les mêmes règles que dans le système décimal. Mais nous ne pouvons utiliser que l'alphabet donné par le système numérique
Multipliez 10111 par 1101 dans le système de nombres binaires
10111 |
1101 |
10111 |
10111 |
10111 |
100101011 |
Réponse : 100101011
Multipliez F3B par le nombre A en notation hexadécimale
F3B |
984E |
Réponse : 984E
Réponse : 984E
Plus important encore, n'oubliez pas que vous disposez uniquement des numéros d'un système numérique donné, et n'oubliez pas non plus les transitions entre les termes numériques.Division:
La division dans d'autres systèmes numériques se produit exactement de la même manière que celle que nous avons l'habitude de diviser.
- Il est plus pratique de diviser en « colonne »
- La division dans n'importe quel système numérique suit les mêmes règles que dans le système décimal. Mais nous ne pouvons utiliser que l'alphabet donné par le système numérique
Exemple:
Divisez 1011011 par 1101 dans le système de nombres binaires
Diviser F3 B pour le numéro 8 dans le système de nombres hexadécimaux
Plus important encore, n'oubliez pas que vous disposez uniquement des numéros d'un système numérique donné, et n'oubliez pas non plus les transitions entre les termes numériques.
NON POSITIONNEL
Systèmes de numérotation non positionnels
Les systèmes de numérotation non positionnels sont apparus historiquement en premier. Dans ces systèmes, la signification de chaque caractère numérique est constante et ne dépend pas de sa position. Le cas le plus simple d'un système non positionnel est le système d'unités, pour lequel un seul symbole est utilisé pour désigner des nombres, généralement une barre, parfois un point, dont est toujours placée la quantité correspondant au nombre désigné :
- 1 - |
- 2 - ||
- 3 - |||, etc.
Donc ce seul personnage a un sens unités, à partir duquel le nombre requis est obtenu par addition successive :
||||| = 1+1+1+1+1 = 5.
Une modification du système d'unités est le système avec une base, dans lequel se trouvent des symboles non seulement pour désigner l'unité, mais également pour les degrés de la base. Par exemple, si le chiffre 5 est pris comme base, il y aura alors des symboles supplémentaires pour indiquer 5, 25, 125, etc.
Un exemple d'un tel système de base 10 est celui de l'Égypte ancienne, apparu dans la seconde moitié du troisième millénaire avant JC. Ce système avait les hiéroglyphes suivants :
- pôle - unités,
- arc - dizaines,
- feuille de palmier - des centaines,
- fleur de lotus - des milliers.
Les nombres étaient obtenus par simple addition ; l'ordre pouvait être quelconque. Ainsi, pour désigner, par exemple, le nombre 3815, trois fleurs de lotus, huit feuilles de palmier, un arc et cinq pôles ont été dessinés. Systèmes plus complexes avec des signes supplémentaires - grec ancien, romain. La méthode romaine utilise également un élément du système de position - un plus grand nombre devant un plus petit est ajouté, un plus petit devant un plus grand est soustrait : IV = 4, mais VI = 6, cette méthode, cependant, est utilisé exclusivement pour désigner les nombres 4, 9, 40, 90, 400, 900, 4000, et leurs dérivés par addition.
Les systèmes grec moderne et russe ancien utilisaient 27 lettres de l'alphabet comme nombres, où elles désignaient chaque nombre de 1 à 9, ainsi que des dizaines et des centaines. Cette approche a permis d'écrire des nombres de 1 à 999 sans répéter les nombres.
Dans l’ancien système russe, des cadres spéciaux autour des chiffres étaient utilisés pour indiquer les grands nombres.
Le système de numérotation non positionnelle est encore utilisé presque partout comme système de numérotation verbale. Les systèmes de numérotation verbale sont fortement liés à la langue et leurs éléments communs concernent principalement les principes généraux et les noms des grands nombres (billions et plus). Les principes généraux qui sous-tendent la numérotation verbale moderne impliquent la formation de désignations par addition et multiplication des significations de noms uniques.
