Plan:

Introduction

• 1. Vue d'ensemble
  • 1.1 Polynômes de Butterworth normalisés
  • 1.2 Douceur maximale
  • 1.3 Rolloff aux hautes fréquences
• 2 Conception du filtre
  • 2.1 Topologie Cauer
  • 2.2 Topologie de Sallen-Kay
• 3 Comparaison avec d'autres filtres linéaires
• 4 Exemple
Littérature

Introduction

Filtre Butterworth- un des types de filtres électroniques. Les filtres de cette classe diffèrent des autres par la méthode de conception. Le filtre Butterworth est conçu pour que sa réponse en fréquence soit aussi douce que possible aux fréquences de la bande passante.

De tels filtres ont été décrits pour la première fois par l'ingénieur britannique Stephen Butterworth dans son article On the Theory of Filter Amplifiers. Sur la théorie des amplificateurs à filtre ), Dans la revue Ingénieur sans fil en 1930.

1. Vue d'ensemble

La réponse en fréquence du filtre Butterworth est aussi lisse que possible aux fréquences de la bande passante et tombe à presque zéro aux fréquences de suppression. Lors de l'affichage de la réponse en fréquence d'un filtre Butterworth sur une réponse en phase logarithmique, l'amplitude diminue vers moins l'infini aux fréquences de coupure. Dans le cas d'un filtre du premier ordre, la réponse en fréquence décroît à un taux de −6 décibels par octave (-20 décibels par décade) (en fait, tous les filtres du premier ordre, quel que soit leur type, sont identiques et ont le même fréquence de réponse). Pour un filtre Butterworth du second ordre, la réponse en fréquence est atténuée de -12 dB par octave, pour un filtre du troisième ordre, de -18 dB, etc. La réponse en fréquence du filtre Butterworth est une fonction monotone décroissante de la fréquence. Le filtre Butterworth est le seul filtre qui préserve la forme de la réponse en fréquence pour les ordres supérieurs (à l'exception du rolloff plus raide à la coupure), tandis que de nombreux autres types de filtres (filtre Bessel, filtre Chebyshev, filtre elliptique) ont une forme différente de la réponse en fréquence à différents ordres.

Comparé aux filtres Chebyshev Type I et II ou à un filtre elliptique, le filtre Butterworth a une atténuation plus plate et doit donc être d'ordre supérieur (ce qui est plus difficile à mettre en œuvre) afin de fournir les performances souhaitées aux fréquences de coupure. Cependant, le filtre Butterworth a une réponse en phase plus linéaire aux fréquences de la bande passante.

Réponse en fréquence pour les filtres passe-bas Butterworth de l'ordre de 1 à 5. La pente de la caractéristique est de 20 n dB/décade, où n- ordre de filtre.

Comme avec tous les filtres lors de l'examen caractéristiques de fréquence utiliser un filtre passe-bas, à partir duquel on peut facilement obtenir un filtre passe-haut, et en activant plusieurs de ces filtres en série, - filtre passe-bande ou filtre coupe-bande.

La réponse en fréquence d'un filtre Butterworth d'ordre 1 peut être obtenue à partir de la fonction de transfert :

Il est facile de voir que pour des valeurs infinies, la réponse en fréquence devient une fonction rectangulaire et les fréquences inférieures à la fréquence de coupure seront traversées avec un gain, tandis que les fréquences supérieures à la fréquence de coupure seront complètement supprimées. Pour des valeurs finies, la décroissance de la caractéristique sera douce.

A l'aide d'une substitution formelle, on représente l'expression sous la forme :

Les pôles de la fonction de transfert sont situés sur un cercle de rayon équidistants les uns des autres dans le demi-plan gauche. Autrement dit, la fonction de transfert d'un filtre Butterworth ne peut être déterminée qu'en déterminant les pôles de sa fonction de transfert dans le demi-plan gauche du plan s. -ème pôle est déterminé à partir de l'expression suivante :

La fonction de transfert peut s'écrire :

Des considérations similaires s'appliquent aux filtres Butterworth numériques, à la seule différence que les rapports ne sont pas écrits pour s-avion, et pour z-avion.

Le dénominateur de cette fonction de transfert est appelé polynôme de Butterworth.

1.1. Polynômes de Butterworth normalisés

Les polynômes de Butterworth peuvent être écrits sous forme complexe comme indiqué ci-dessus, mais ils sont généralement écrits sous forme de rapports avec des coefficients réels (les paires conjuguées complexes sont combinées par multiplication). Les polynômes sont normalisés par la fréquence de coupure : . Les polynômes de Butterworth normalisés ont donc la forme canonique suivante :

, - même bizarre

Voici les coefficients des polynômes de Butterworth pour les huit premiers ordres :

Coefficients polynomiaux 1 2 3 4 5 6 7 8

1.2. Douceur maximale

En prenant et , la dérivée de la caractéristique d'amplitude par rapport à la fréquence ressemblera à ceci :

Il décroît de façon monotone pour tous puisque le gain est toujours positif. Ainsi, la réponse en fréquence du filtre Butterworth n'a pas d'ondulation. En développant la caractéristique d'amplitude dans une série, nous obtenons :

En d'autres termes, toutes les dérivées de la caractéristique amplitude-fréquence par rapport à la fréquence jusqu'à 2 n-th sont égaux à zéro, ce qui implique une "lissité maximale".

1.3. Rolloff aux hautes fréquences

Ayant accepté , nous trouvons la pente du logarithme de la réponse en fréquence aux hautes fréquences :

En décibels, l'asymptote haute fréquence a une pente de -20 n dB/décade.

2. Conception du filtre

Il existe un certain nombre de topologies de filtre différentes qui implémentent des filtres analogiques linéaires. Ces schémas ne diffèrent que par les valeurs des éléments, la structure reste inchangée.

2.1. Topologie Cauer

La topologie Cauer utilise des éléments passifs (capacités et inductances). Un filtre de Butteworth avec une fonction de transfert donnée peut être construit sous la forme d'un Cauer de type 1. kième élément filtre est donné par :

; k est impair ; k est pair

2.2. Topologie de Sallen-Kay

La topologie Sallen-Kay utilise, en plus des éléments passifs, des éléments actifs (amplificateurs opérationnels et condensateurs). Chaque étage du circuit de Sallen-Kay fait partie du filtre, décrit mathématiquement par une paire de pôles conjugués complexes. Le filtre entier est obtenu connexion série toutes cascades. Si un pôle réel se présente, il doit être mis en œuvre séparément, généralement sous la forme d'une chaîne RC, et inclus dans le circuit global.

La fonction de transfert de chaque étape du schéma de Sallen-Kay est :

Le dénominateur doit être l'un des facteurs du polynôme de Butterworth. En prenant , on obtient :

La dernière relation donne deux inconnues, qui peuvent être choisies arbitrairement.

3. Comparaison avec d'autres filtres linéaires

La figure ci-dessous montre la réponse en fréquence du filtre Butterworth par rapport à d'autres filtres linéaires populaires du même (cinquième) ordre :

On peut voir sur la figure que le filtre Butterworth a la décroissance la plus lente des quatre, mais il a également la réponse en fréquence la plus douce aux fréquences de la bande passante.

4. Exemple

Filtre Butterworth passe-bas analogique (topologie Cauer) avec une fréquence de coupure avec les valeurs d'éléments suivantes : farad, ohm et henry.

Tracé logarithmique de la densité de la fonction de transfert H(s) sur le plan des arguments complexes pour un filtre de Butterworth du troisième ordre avec fréquence de coupure . Les trois pôles reposent sur un cercle de rayon unitaire dans le demi-plan gauche.

Considérons un filtre Butterworth passe-bas analogique de troisième ordre avec farad, ohm et henry. Désignant l'impédance des capacités C Comment 1/Cs et impédance des inducteurs L Comment Ls, où est une variable complexe, et en utilisant les équations pour calculer circuits électriques, on obtient la fonction de transfert suivante pour un tel filtre :

La réponse en fréquence est donnée par l'équation :

et le PFC est donné par l'équation :

Le retard de groupe est défini comme moins la dérivée de la phase par rapport à la fréquence circulaire et est une mesure de la distorsion de phase d'un signal à différentes fréquences. La réponse en fréquence logarithmique d'un tel filtre ne présente aucune ondulation ni dans la bande passante ni dans la bande de suppression.

Le tracé du module de la fonction de transfert dans le plan complexe indique clairement trois pôles dans le demi-plan gauche. La fonction de transfert est complètement déterminée par l'emplacement de ces pôles sur le cercle unité symétriquement autour de l'axe réel.

En remplaçant chaque inductance par une capacité, et les capacités par des inductances, on obtient un filtre passe-haut Butterworth.

Et le retard de groupe d'un filtre Butterworth du troisième ordre avec une fréquence de coupure

Littérature

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Lors de l'analyse des filtres et du calcul de leurs paramètres, certains termes standard sont toujours utilisés et il est logique de s'y tenir dès le début.

Supposons qu'un filtre passe-bas avec une réponse plate dans la bande passante et une transition nette vers la bande de rejet soit requis. La pente finale de la réponse dans la bande coupée sera toujours de 6n dB/octave, où n est le nombre de "pôles". Un condensateur (ou inductance) est nécessaire par pôle, de sorte que les exigences relatives au taux de décroissance final du filtre, en gros, déterminent sa complexité.

Supposons maintenant que vous décidiez d'utiliser un filtre passe-bas à 6 pôles. Vous avez la garantie d'une atténuation finale de 36 dB/octave aux hautes fréquences. À son tour, il est maintenant possible d'optimiser le circuit de filtrage dans le sens de fournir la réponse la plus plate dans la bande passante en réduisant la pente de la transition de la bande passante à la bande d'arrêt. D'autre part, en autorisant une certaine ondulation de la bande passante, une transition plus abrupte de la bande passante à la bande d'arrêt peut être obtenue. Le troisième critère, qui peut être important, décrit la capacité du filtre à laisser passer des signaux dont le spectre se situe dans la bande passante sans distorsion de leur forme provoquée par des déphasages. Vous pouvez également vous intéresser au temps de montée, au dépassement et au temps de stabilisation.

Des techniques de conception de filtre sont connues qui conviennent pour optimiser l'une quelconque de ces caractéristiques ou combinaisons de celles-ci. Vraiment choix intelligent le filtre ne fonctionne pas comme décrit ci-dessus ; en règle générale, l'uniformité requise de la caractéristique dans la bande passante et l'atténuation requise à une certaine fréquence en dehors de la bande passante et d'autres paramètres sont d'abord définis. Après cela, le circuit le plus approprié est sélectionné avec le nombre de pôles suffisant pour satisfaire toutes ces exigences. Les prochaines sections examineront les trois types de filtres les plus populaires, à savoir le filtre Butterworth (réponse maximalement plate dans la bande passante), le filtre Chebyshev (transition la plus abrupte de la bande passante à la bande d'arrêt) et le filtre Bessel (délai de réponse maximal plat ). N'importe lequel de ces types de filtres peut être implémenté en utilisant divers régimes filtres; nous en aborderons quelques-uns plus tard, tous convenant également à la construction de filtres passe-bas, passe-haut et passe-bande.

Filtres Butterworth et Chebyshev. Le filtre Butterworth fournit la réponse la plus plate dans la bande passante, ce qui est obtenu au prix d'une réponse douce dans la région de transition, c'est-à-dire entre les bandes de passage et d'arrêt. Comme on le verra plus loin, il a également une mauvaise réponse en phase. Sa réponse en fréquence est donnée par la formule suivante :
U sortie / U entrée = 1/ 1/2,
où n spécifie l'ordre du filtre (nombre de pôles). L'augmentation du nombre de pôles permet d'aplatir la section de la caractéristique dans la bande passante et d'augmenter la pente de la décroissance de la bande passante à la bande de suppression, comme le montre la Fig. 5.10.

Riz. 5.10 Caractéristiques normalisées des filtres passe-bas de Butterworth. Notez l'augmentation de la pente de l'atténuation à mesure que l'ordre du filtre augmente.

En choisissant un filtre Butterworth, nous sacrifions tout le reste au profit de la réponse la plus plate. Sa caractéristique va horizontalement, à partir de la fréquence zéro, son inflexion commence à la fréquence de coupure ƒ s - cette fréquence correspond généralement au point -3 dB.

Dans la plupart des applications, la considération la plus importante est que l'ondulation de la bande passante ne doit pas dépasser une certaine quantité, disons 1 dB. Le filtre Chebyshev satisfait à cette exigence, tandis qu'une certaine non-uniformité de la caractéristique est autorisée dans toute la bande passante, mais la netteté de sa rupture est considérablement augmentée. Pour le filtre Chebyshev, le nombre de pôles et l'ondulation de la bande passante sont spécifiés. En supposant une augmentation de l'ondulation de la bande passante, nous obtenons un pli plus net. La réponse en fréquence de ce filtre est donnée par la relation suivante
U sortie / U entrée = 1/ 1/2,
où C n est un polynôme de Chebyshev du premier type de degré n, et ε est une constante qui détermine la non-uniformité de la caractéristique dans la bande passante. Le filtre Chebyshev, comme le filtre Butterworth, a des caractéristiques phase-fréquence qui sont loin d'être idéales. Sur la fig. La figure 5.11 montre à titre de comparaison les caractéristiques des filtres passe-bas à 6 pôles de Chebyshev et Butterworth. Comme vous pouvez le constater, les deux sont bien meilleurs que le filtre RC à 6 pôles.

Riz. 5.11. Comparaison des caractéristiques de certains filtres passe-bas à 6 pôles couramment utilisés. Les caractéristiques des mêmes filtres sont affichées à la fois sur des échelles logarithmiques (en haut) et linéaires (en bas). 1 - Filtre de Bessel ; 2 - Filtre Butterworth; 3 - Filtre Chebyshev (ondulation 0,5 dB).

En fait, un filtre Butterworth avec la réponse la plus plate dans la bande passante n'est pas aussi attrayant qu'il y paraît, car dans tous les cas, vous devez supporter une certaine ondulation de la bande passante (pour un filtre Butterworth, ce sera une diminution progressive de la réponse à l'approche de la fréquence ƒ s, et pour le filtre Chebyshev - ondulations réparties sur toute la bande passante). De plus, les filtres actifs construits à partir d'éléments dont les valeurs ont une certaine tolérance auront une caractéristique différente de celle calculée, ce qui signifie qu'en réalité, il y aura toujours une ondulation de la bande passante sur la caractéristique du filtre Butterworth. Sur la fig. 5.12 illustre l'influence des écarts les plus indésirables dans les valeurs de la capacité du condensateur et de la résistance de la résistance sur la caractéristique du filtre.

Riz. 5.12. Influence des modifications des paramètres des éléments sur les caractéristiques du filtre actif.

À la lumière de ce qui précède, une structure très rationnelle est le filtre Chebyshev. Il est parfois appelé filtre à longueur d'onde égale, car sa réponse dans la région de transition a une forte pente due au fait que plusieurs ondulations égales sont réparties sur la bande passante, dont le nombre augmente avec l'ordre du filtre. Même avec des ondulations relativement faibles (de l'ordre de 0,1 dB), le filtre Chebyshev fournit une pente beaucoup plus importante dans la région de transition que le filtre Butterworth. Pour quantifier cette différence, supposons que vous vouliez un filtre avec une ondulation de bande passante inférieure à 0,1 dB et une atténuation de 20 dB à une fréquence éloignée de 25 % de la fréquence de coupure de la bande passante. Le calcul montre que dans ce cas un filtre Butterworth à 19 pôles est nécessaire, ou seulement un filtre Chebyshev à 8 pôles.

L'idée que l'on peut supporter une ondulation dans la bande passante dans le but d'augmenter la pente de la section de transition est amenée à sa conclusion logique dans l'idée du filtre dit elliptique (ou filtre Cauer), dans lequel l'ondulation dans la caractéristique est autorisée à la fois dans la bande passante et dans le retard de bande afin d'assurer une pente de la section de transition encore supérieure à celle de la caractéristique du filtre de Chebyshev. A l'aide d'un ordinateur, il est possible de concevoir des filtres elliptiques aussi simplement que les filtres classiques de Chebyshev et Butterworth. Sur la fig. 5.13 est une tâche graphique de la caractéristique amplitude-fréquence du filtre. Dans ce cas (filtre passe-bas), la plage de gain de filtre admissible (c'est-à-dire l'ondulation) dans la bande passante, la fréquence minimale à laquelle la caractéristique quitte la bande passante, la fréquence maximale à laquelle la caractéristique entre dans la bande d'arrêt et l'atténuation minimale dans la bande passante sont déterminées.

Riz. 5.13. Définit les paramètres de réponse en fréquence du filtre.

Filtres de Bessel. Comme il a été établi précédemment, la caractéristique amplitude-fréquence du filtre n'en donne pas information complète. Un filtre avec une réponse en fréquence plate peut avoir de grands déphasages. En conséquence, la forme du signal, dont le spectre se situe dans la bande passante, sera déformée lors du passage à travers le filtre. Dans une situation où la forme d'onde est d'une importance primordiale, il est souhaitable de disposer d'un filtre à phase linéaire (filtre à temps de retard constant). Exiger un filtre pour garantir que le déphasage change linéairement avec la fréquence équivaut à exiger un temps de retard constant pour un signal dont le spectre est situé dans la bande passante, c'est-à-dire l'absence de distorsion de forme d'onde. Le filtre Bessel (également appelé filtre Thomson) a la partie la plus plate de la courbe de latence de la bande passante, tout comme le filtre Butterworth a la réponse en fréquence la plus plate. Pour comprendre l'amélioration dans le domaine temporel apportée par le filtre de Bessel, regardez la Fig. 5.14, qui montre des tracés de temps de retard normalisés en fréquence pour les filtres passe-bas Bessel et Butterworth à 6 pôles. La faible caractéristique de temps de latence du filtre Butterworth provoque des effets de type parasite lorsque des signaux pulsés traversent le filtre. D'autre part, le filtre Bessel doit payer la constance des temps de retard par le fait que sa caractéristique amplitude-fréquence a une section de transition encore plus plate entre les bandes passante et d'arrêt que même la caractéristique du filtre Butterworth.

Riz. 5.14. Comparaison des décalages temporels pour les filtres passe-bas Bessel (1) et Butterworth (2) à 6 bandes. Le filtre de Bessel, en raison de ses excellentes propriétés dans le domaine temporel, donne le moins de distorsion de forme d'onde.

Il y a beaucoup de différentes manières des conceptions de filtre qui tentent d'améliorer les performances d'un filtre de Bessel dans le domaine temporel, sacrifiant en partie la cohérence de la latence pour réduire le temps de montée et améliorer la réponse en fréquence. Le filtre gaussien a une réponse en phase presque aussi bonne que le filtre de Bessel, mais avec une réponse transitoire améliorée. Une autre classe intéressante sont les filtres qui permettent d'obtenir des ondulations identiques dans la courbe de temps de retard dans la bande passante (similaires aux ondulations de la caractéristique amplitude-fréquence du filtre Chebyshev) et fournissent approximativement le même retard pour les signaux avec un spectre jusqu'à la bande d'arrêt . Une autre approche pour créer des filtres avec un temps de retard constant est l'utilisation de filtres passe-tout, autrement appelés égaliseurs dans le domaine temporel. Ces filtres ont une réponse en fréquence constante et le déphasage peut être modifié en fonction des exigences spécifiques. Ainsi, ils peuvent être utilisés pour égaliser le temps de retard de tous les filtres, en particulier les filtres Butterworth et Chebyshev.

Comparaison des filtres. Malgré les remarques précédentes sur la réponse indicielle des filtres de Bessel, il a toujours de très bonnes propriétés dans le domaine temporel par rapport aux filtres Butterworth et Chebyshev. Le filtre Chebyshev lui-même, avec sa réponse en fréquence très appropriée, a les pires performances dans le domaine temporel de ces trois types de filtres. Le filtre Butterworth offre un compromis entre les fréquences et le timing. Sur la fig. La Figure 5.15 fournit des informations sur les performances de ces trois types de filtres dans le domaine temporel, en plus des tracés de réponse en fréquence présentés précédemment. Sur la base de ces données, nous pouvons conclure que dans les cas où les paramètres de filtrage dans le domaine temporel sont importants, il est souhaitable d'appliquer le filtre de Bessel.

Riz. 5.15. Comparaison des transitoires de filtres passe-bas à 6 pôles. Les courbes sont normalisées en convertissant une valeur d'atténuation de 3 dB en une fréquence de 1 Hz. 1 - Filtre de Bessel ; 2 - Filtre Butterworth; 3 - Filtre Chebyshev (ondulation 0,5 dB).

La réponse en fréquence du filtre Butterworth est décrite par l'équation

Caractéristiques du filtre Butterworth : réponse en phase non linéaire ; fréquence de coupure indépendante du nombre de pôles ; caractère oscillatoire de la réponse transitoire avec un signal d'entrée échelonné. Lorsque l'ordre du filtre augmente, le caractère oscillatoire augmente.

Filtre de Tchebychev

La réponse en fréquence du filtre Chebyshev est décrite par l'équation

,

où J n 2 (ω/ω n ) est le polynôme de Chebyshev n-ième commande.

Le polynôme de Chebyshev est calculé par la formule récursive

Caractéristiques du filtre Chebyshev: augmentation de la non-uniformité PFC; caractéristique ondulée dans la bande passante. Plus l'ondulation de la bande passante du filtre est élevée, plus l'atténuation dans la région de transition est nette pour le même ordre. La fluctuation transitoire avec un signal d'entrée échelonné est plus importante qu'avec un filtre Butterworth. Le facteur de qualité des pôles du filtre Chebyshev est supérieur à celui du filtre Butterworth.

Filtre Bessel

La réponse en fréquence du filtre de Bessel est décrite par l'équation

,

où
;B n 2 (ω/ω CP h ) est le polynôme de Bessel n-ième commande.

Le polynôme de Bessel est calculé par la formule récursive

Caractéristiques du filtre de Bessel : réponse en fréquence et réponse en phase assez uniformes, approchées par la fonction gaussienne ; le déphasage du filtre est proportionnel à la fréquence, c'est-à-dire Le filtre a un retard de groupe indépendant de la fréquence. La fréquence de coupure change lorsque le nombre de pôles du filtre change. La réduction de la réponse en fréquence du filtre est généralement plus plate que celle de Butterworth et Chebyshev. Ce filtre est particulièrement bien adapté aux circuits impulsionnels et au traitement du signal sensible à la phase.

Filtre Cauer (filtre elliptique)

Vue générale de la fonction de transfert du filtre de Cauer

.

Caractéristiques du filtre Cauer : réponse en fréquence inégale dans la bande passante et dans la bande d'arrêt ; la plus forte chute de réponse en fréquence de tous les filtres ci-dessus ; implémente les fonctions de transfert requises avec un ordre de filtre plus petit que lors de l'utilisation de filtres d'autres types.

Détermination de l'ordre des filtres

L'ordre de filtrage requis est déterminé par les formules ci-dessous et arrondi au nombre entier le plus proche. Commande de filtres Butterworth

.

L'ordre du filtre Chebyshev

.

Pour le filtre de Bessel, il n'y a pas de formule pour calculer l'ordre; à la place, des tableaux sont donnés qui correspondent à l'ordre du filtre avec l'écart minimum nécessaire du temps de retard par rapport à l'unité à une fréquence donnée et le niveau de perte en dB).

Lors du calcul de l'ordre du filtre de Bessel, les paramètres suivants sont définis :

Tolérance en pourcentage pour le retard de groupe à une fréquence donnée ω ω CP h ;

Le niveau d'atténuation du gain du filtre en dB à la fréquence peut être réglé. ω , normalisé par rapport à ω CP h .

Sur la base de ces données, l'ordre requis du filtre de Bessel est déterminé.

Schémas de cascades de filtres passe-bas du 1er et 2ème ordre

Sur la fig. 12.4, 12.5 montre des schémas typiques de cascades LPF.

un) b)

Riz. 12.4. Cascades LPF de Butterworth, Chebyshev et Bessel : un - 1ère commande ; b- 2ème commande

un) b)

Riz. 12.5. Cauer LPF Cascades : un - 1ère commande ; b- 2ème commande

Vue générale des fonctions de transfert des LPF Butterworth, Chebyshev et Bessel du 1er et 2ème ordre

,
.

Vue générale des fonctions de transfert du Cauer LPF de 1er et 2ème ordre

,
.

La principale différence entre le filtre Cauer du 2ème ordre et le filtre piège est que dans la fonction de transfert du filtre Cauer, le rapport de fréquence Ω s ≠ 1.

Méthode de calcul du LPF de Butterworth, Chebyshev et Bessel

Cette technique est basée sur les coefficients donnés dans les tableaux et est valable pour les filtres Butterworth, Chebyshev et Bessel. La méthode de calcul des filtres Cauer est donnée séparément. Le calcul du LPF de Butterworth, Chebyshev et Bessel commence par déterminer leur ordre. Pour tous les filtres, les paramètres d'atténuation minimale et maximale et la fréquence de coupure sont définis. Pour les filtres Chebyshev, l'ondulation de la réponse en fréquence dans la bande passante est en outre déterminée, et pour les filtres Bessel, le retard de groupe. Ensuite, la fonction de transfert du filtre est déterminée, qui peut être extraite des tableaux, et ses cascades du 1er et du 2ème ordre sont calculées, l'ordre de calcul suivant est observé :

En fonction de l'ordre et du type du filtre, les schémas de ses cascades sont sélectionnés, tandis que le filtre d'ordre pair consiste en n/ 2 cascades du 2ème ordre, et le filtre d'ordre impair est issu d'une cascade du 1er ordre et ( n– 1) / 2 cascades du 2ème ordre ;

Pour calculer la cascade du 1er ordre :

La valeur est déterminée par le type sélectionné et l'ordre du filtre b 1 cascade du 1er ordre ;

En diminuant la zone occupée, la capacité nominale est sélectionnée C et calculé R selon la formule (vous pouvez choisir et R, mais il est recommandé de choisir C, pour des raisons de précision)

;

Le gain est calculé Pour à tu 1 cascade du 1er ordre, qui est déterminé à partir du rapport

,

où Pour à tu est le gain du filtre dans son ensemble ; Pour à tu 2 , …, Pour à ONU– gains en cascade du 2ème ordre ;

Mettre en œuvre l'amplification Pour à tu 1 il est nécessaire de régler les résistances en fonction de la relation suivante

R B = R UN ּ (Pour à U1 –1) .

Pour calculer la cascade du 2ème ordre :

En réduisant la surface occupée, les dénominations de capacités sont sélectionnées C 1 = C 2 = C;

Les coefficients sont choisis selon les tableaux b 1 je et Q pi pour les cascades du 2ème ordre ;

Selon la valeur donnée des condensateurs C les résistances sont calculées R selon la formule

;

Pour le type de filtre sélectionné, vous devez régler le gain approprié Pour à interface utilisateur = 3 – (1/Q pi) de chaque étage du 2ème ordre, en réglant les résistances, selon la relation suivante

R B = R UN ּ (Pour à interface utilisateur –1) ;

Pour les filtres Bessel, multipliez les valeurs de toutes les capacités par le retard de groupe requis.

Filtre Butterworth

Fonction de transfert du filtre passe-bas Butterworth n-ème ordre est caractérisé par l'expression :

La réponse en fréquence d'un filtre Butterworth a les propriétés suivantes :

1) Dans n'importe quel ordre n valeur de réponse en fréquence

2) à la fréquence de coupure u=u s

La réponse en fréquence du filtre passe-bas diminue de manière monotone avec l'augmentation de la fréquence. Pour cette raison, les filtres Butterworth sont appelés filtres avec les caractéristiques les plus plates. La figure 3 montre les graphiques des caractéristiques amplitude-fréquence du filtre passe-bas de Butterworth de 1 à 5 ordres. Évidemment, plus l'ordre du filtre est élevé, plus la réponse en fréquence d'un filtre passe-bas idéal est approchée avec précision.

Figure 3 - Réponse en fréquence pour un filtre passe-bas de Butterworth de l'ordre de 1 à 5

La figure 4 montre une mise en œuvre schématique du HPF de Butterworth.

Figure 4 - HPF-II Butterworth

L'avantage du filtre Butterworth est la réponse en fréquence la plus douce aux fréquences de la bande passante et sa réduction à presque zéro aux fréquences de la bande de suppression. Le filtre Butterworth est le seul filtre qui préserve la forme de la réponse en fréquence pour les ordres supérieurs (à l'exception du rolloff plus raide à la coupure), tandis que de nombreux autres types de filtres (filtre Bessel, filtre Chebyshev, filtre elliptique) ont une forme différente de la réponse en fréquence à différents ordres.

Cependant, comparé aux filtres Chebyshev Type I et II ou à un filtre elliptique, le filtre Butterworth a une atténuation plus plate et doit donc être d'ordre supérieur (ce qui est plus difficile à mettre en œuvre) afin de fournir les performances souhaitées aux fréquences de coupure.

Filtre de Tchebychev

Le carré du module de la fonction de transfert du filtre de Chebyshev est donné par :

où est le polynôme de Chebyshev. Le module de la fonction de transfert du filtre de Chebyshev est égal à un aux fréquences où il s'annule.

Les filtres Chebyshev sont généralement utilisés lorsqu'il est nécessaire de fournir les caractéristiques de réponse en fréquence requises avec un filtre d'ordre inférieur, en particulier une bonne suppression de fréquence de la bande de suppression, tandis que la régularité de la réponse en fréquence aux fréquences de bande passante et de suppression n'est pas si important .

Il existe des filtres Chebyshev des genres I et II.

Filtre Chebyshev du premier type. Il s'agit d'une modification plus courante des filtres Chebyshev. Dans la bande passante d'un tel filtre, des ondulations sont visibles, dont l'amplitude est déterminée par l'indice d'ondulation E. Dans le cas d'un filtre électronique analogique de Chebyshev, son ordre est égal au nombre de composants réactifs utilisés dans sa mise en œuvre. Une décroissance plus raide de la caractéristique peut être obtenue si les ondulations sont autorisées non seulement dans la bande passante, mais aussi dans la bande de suppression, en ajoutant des zéros à la fonction de transfert du filtre sur l'axe imaginaire jsh dans le plan complexe. Ceci, cependant, entraînera une suppression moins efficace dans la bande de suppression. Le filtre résultant est un filtre elliptique, également appelé filtre Cauer.

La réponse en fréquence du filtre passe-bas de Chebyshev du quatrième ordre du premier type est illustrée à la figure 5.

Figure 5 - Réponse en fréquence pour le filtre passe-bas de Chebyshev du premier type du quatrième ordre

Le filtre Chebyshev de type II (filtre Chebyshev inversé) est utilisé moins fréquemment que le filtre Chebyshev de type I en raison de la réduction moins abrupte de la réponse en amplitude, ce qui entraîne une augmentation du nombre de composants. Il n'a pas d'ondulation dans la bande passante, mais est présent dans la bande de suppression.

La réponse en fréquence du filtre passe-bas de Chebyshev du deuxième type du quatrième ordre est illustrée à la figure 6.

Figure 6 - Réponse en fréquence pour le filtre passe-bas de Chebyshev du deuxième type

La figure 7 montre des implémentations de circuit du Chebyshev HPF des ordres I et II.

Figure 7 - Chebyshev HPF: a) Je commande; b) II commande

Propriétés des caractéristiques de fréquence des filtres Chebyshev :

1) Dans la bande passante, la réponse en fréquence a un caractère d'onde égale. Sur l'intervalle (-1? u? 1) il y a n points auxquels la fonction atteint une valeur maximale de 1 ou une valeur minimale de . Si n est impair, si n est pair ;

2) la valeur de la réponse en fréquence du filtre Chebyshev à la fréquence de coupure est

3) Pour , la fonction décroît de façon monotone et tend vers zéro.

4) Le paramètre e détermine l'irrégularité de la réponse en fréquence du filtre Chebyshev dans la bande passante :

La comparaison de la réponse en fréquence des filtres Butterworth et Chebyshev montre que le filtre Chebyshev fournit plus d'atténuation dans la bande passante que le filtre Butterworth du même ordre. L'inconvénient des filtres Chebyshev est que leurs caractéristiques phase-fréquence dans la bande passante diffèrent considérablement de celles linéaires.

Pour les filtres Butterworth et Chebyshev, il existe des tableaux détaillés qui montrent les coordonnées des pôles et les coefficients des fonctions de transfert de différents ordres.

CONVERSION DES PROPRIÉTÉS DE FRÉQUENCE DU DF (LPF --> LPF1)

CONVERSION DES PROPRIÉTÉS DE FRÉQUENCE DU DF (LPF --> HPF)

CONVERSION DES PROPRIÉTÉS DE FRÉQUENCE DU DF (LPF --> PF)

CONVERSION DES PROPRIÉTÉS DE FRÉQUENCE DE DF (LPF --> RF)

Filtre Butterworth 4 commandes

CONVERSION DES PROPRIÉTÉS DE FRÉQUENCE DU DF (LPF --> LPF1)

CONVERSION DES PROPRIÉTÉS DE FRÉQUENCE DU DF (LPF --> HPF)

CONVERSION DES PROPRIÉTÉS DE FRÉQUENCE DU DF (LPF --> PF)

CONVERSION DES PROPRIÉTÉS DE FRÉQUENCE DE DF (LPF --> RF)

Filtre Chebyshev 3 commandes

CONVERSION DES PROPRIÉTÉS DE FRÉQUENCE DU DF (LPF --> LPF1)

CONVERSION DES PROPRIÉTÉS DE FRÉQUENCE DU DF (LPF --> HPF)

CONVERSION DES PROPRIÉTÉS DE FRÉQUENCE DU DF (LPF --> PF)

CONVERSION DES PROPRIÉTÉS DE FRÉQUENCE DE DF (LPF --> RF)

Filtre Chebyshev 4 commandes

CONVERSION DES PROPRIÉTÉS DE FRÉQUENCE DU DF (LPF --> LPF1)

CONVERSION DES PROPRIÉTÉS DE FRÉQUENCE DU DF (LPF --> HPF)

CONVERSION DES PROPRIÉTÉS DE FRÉQUENCE DU DF (LPF --> PF)

CONVERSION DES PROPRIÉTÉS DE FRÉQUENCE DE DF (LPF --> RF)

Filtre de Bessel de 3e ordre

CONVERSION DES PROPRIÉTÉS DE FRÉQUENCE DU DF (LPF --> LPF1)

CONVERSION DES PROPRIÉTÉS DE FRÉQUENCE DU DF (LPF --> HPF)

CONVERSION DES PROPRIÉTÉS DE FRÉQUENCE DU DF (LPF --> PF)

CONVERSION DES PROPRIÉTÉS DE FRÉQUENCE DE DF (LPF --> RF)

Filtre de Bessel de 4 ordres

CONVERSION DES PROPRIÉTÉS DE FRÉQUENCE DU DF (LPF --> LPF1)

CONVERSION DES PROPRIÉTÉS DE FRÉQUENCE DU DF (LPF --> HPF)

CONVERSION DES PROPRIÉTÉS DE FRÉQUENCE DU DF (LPF --> PF)

CONVERSION DES PROPRIÉTÉS DE FRÉQUENCE DE DF (LPF --> RF)

Analyser l'effet des erreurs de réglage des coefficients du filtre passe-bas numérique sur la réponse en fréquence (en modifiant l'un des coefficients b j). Décrivez la nature du changement dans la réponse en fréquence. Tirez une conclusion sur l'effet de la modification de l'un des coefficients sur le comportement du filtre.

Nous analyserons l'influence des erreurs de réglage des coefficients du filtre passe-bas numérique sur la réponse en fréquence en utilisant l'exemple d'un filtre de Bessel du 4ème ordre.

On choisit la valeur d'écart des coefficients ε égale à –1,5%, de manière à ce que l'écart maximal de la réponse en fréquence soit d'environ 10%.

La réponse en fréquence du filtre "idéal" et des filtres à coefficients modifiés de la valeur de ε est représentée sur la figure :

Et

D'après la figure, on peut voir que la modification des coefficients b 1 et b 2 a la plus grande influence sur la réponse en fréquence (leur valeur dépasse la valeur des autres coefficients). En utilisant une valeur négative de ε, on constate que les coefficients positifs diminuent l'amplitude dans la partie inférieure du spectre, tandis que les coefficients négatifs l'augmentent. Avec une valeur positive de ε, tout se passe dans l'autre sens.

Quantifiez les coefficients du filtre numérique par un nombre de chiffres binaires tel que l'écart maximal de la réponse en fréquence par rapport à celle d'origine soit d'environ 10 à 20 %. Dessinez la réponse en fréquence et décrivez la nature de son changement.

En changeant le nombre de chiffres de la partie fractionnaire des coefficients b j notez que l'écart maximal de la réponse en fréquence par rapport à l'original, ne dépassant pas 20%, est obtenu à n≥3.

Type de réponse en fréquence pour divers n montré dans les chiffres:

n \u003d 3, écart maximal de réponse en fréquence \u003d 19,7%

n \u003d 4, écart maximal de réponse en fréquence \u003d 13,2%

n \u003d 5, écart maximal de la réponse en fréquence \u003d 5,8%

n \u003d 6, écart maximal de réponse en fréquence \u003d 1,7%

Ainsi, on peut noter qu'une augmentation de la profondeur de bits lors de la quantification des coefficients du filtre conduit au fait que la réponse en fréquence du filtre tend de plus en plus vers celle d'origine. Cependant, il faut noter que cela complique la mise en oeuvre physique du filtre.

Quantification pour divers n peut être vu sur la figure: