(Ingénierie informatique)
Opérations arithmétiques sur les nombres à virgule flottante
Ajouter des chiffres Lors de l'ajout de nombres à virgule flottante, le résultat est déterminé comme la somme des mantisses des termes avec un ordre commun pour les termes. Si les signes des deux mantisses sont identiques, alors ils sont ajoutés dans des codes directs, s'ils sont différents - dans des codes complémentaires ou inversés. Dans le tableau 2.8 montre la procédure...(Ingénierie informatique)
Nombres dans le système décimal
10° - unité 109 - milliards 1024 - septillion 101 - dix 1012 - mille milliards 1027 - octillions 102 - cent 1015 - quadrillions Yu30 - nonillion 103 - mille 1018 - quintillion 1033 - décillion 106 - millions 1021 - ...(La physique)
Systèmes numériques
Depuis l’Antiquité, les gens devaient compter divers objets et noter leurs quantités. À ces fins, il y avait unaire un système d'enregistrement dans lequel les nombres étaient désignés par le nombre correspondant de tirets (ou empattements). Par exemple, le chiffre 5 était représenté par 111 |. La notation unaire est très lourde et...(L'architecture des ordinateurs)
Économie du système de numérotation
Numéro dans le système numérique rivières les chiffres auront évidemment la plus grande signification si tous les chiffres du nombre s'avèrent être maximum, c'est-à-dire égaux (R.- 1). Alors (gr)tah =(/>-1)...(/>-!) = / -1. À chiffres Le nombre de chiffres d'un nombre lors du passage d'un système numérique...(L'architecture des ordinateurs)
Correction de l'estime le long d'une ligne de position
A l'approche de la côte, la situation peut évoluer de telle manière que le navigateur n'a la possibilité d'obtenir qu'une seule ligne de position. Par exemple, un sommet de montagne s'est ouvert et seul un relèvement peut être mesuré, ou les signaux d'une seule balise radio sont écoutés. La même situation se présente lors de la détermination...(Analyse et traitement des mesures de navigation)
Le système de nombres décimaux binaires s'est répandu dans les ordinateurs modernes en raison de la facilité de conversion vers le système décimal et vice versa. Il est utilisé là où l'attention principale n'est pas portée à la simplicité de la construction technique de la machine, mais à la commodité de l'utilisateur. Dans ce système numérique, tous les chiffres décimaux sont codés séparément par quatre chiffres binaires et, sous cette forme, sont écrits séquentiellement les uns après les autres.
Le système décimal binaire n'est pas économique du point de vue de la mise en œuvre de la construction technique de la machine (l'équipement requis augmente d'environ 20 %), mais il est très pratique lors de la préparation des tâches et de la programmation. Dans le système numérique décimal binaire, la base du système numérique est le nombre dix, mais chacun des 10 chiffres décimaux (0, 1, ..., 9) est représenté à l'aide de chiffres binaires, c'est-à-dire codés en chiffres binaires. Quatre chiffres binaires sont utilisés pour représenter un chiffre décimal. Il y a bien sûr une redondance ici, puisque quatre chiffres binaires (ou une tétrade binaire) peuvent représenter non pas 10, mais 16 nombres, mais c'est déjà un coût de production pour des raisons de commodité de programmation. Il existe un certain nombre de systèmes décimaux codés en binaire pour représenter les nombres, caractérisés en ce que certaines combinaisons de zéros et de uns au sein d'une tétrade se voient attribuer certaines valeurs de chiffres décimaux 1 .
Dans le système de nombres décimaux codés en binaire naturel le plus couramment utilisé, les poids des chiffres binaires au sein d'une tétrade sont naturels, c'est-à-dire 8, 4, 2, 1 (tableau 3.1).
Tableau 3.1. Tableau des codes binaires de chiffres décimaux et hexadécimaux
| Nombre | Code | Nombre | Code |
| UN | |||
| B | |||
| C | |||
| D | |||
| E | |||
| F |
Par exemple, le nombre décimal 9703 en BCD ressemble à ceci : 1001011100000011.
Question 18. os. Principes logiques de fonctionnement d'un ordinateur. Opérations d'algèbre logique
L'algèbre de la logique implique de nombreuses opérations logiques. Cependant, trois d’entre eux méritent une attention particulière, car... avec leur aide, vous pouvez décrire tous les autres et, par conséquent, utiliser moins de variété d'appareils lors de la conception de circuits. De telles opérations sont conjonction(ET), disjonction(Ou et négation(PAS). Souvent, la conjonction est notée & , disjonction - || , et la négation est une barre sur la variable indiquant l'instruction.
Avec une conjonction, la vérité d'une expression complexe n'apparaît que si toutes les expressions simples qui composent le complexe sont vraies. Dans tous les autres cas, l’expression complexe sera fausse.
Avec la disjonction, la vérité d'une expression complexe se produit lorsqu'au moins une expression simple qu'elle contient est vraie, ou deux à la fois. Il arrive qu'une expression complexe soit composée de plus de deux expressions simples. Dans ce cas, il suffit qu’une simple affirmation soit vraie pour que l’ensemble de l’énoncé soit vrai.
La négation est une opération unaire, car elle s'effectue par rapport à une expression simple ou par rapport au résultat d'une expression complexe. À la suite de la négation, on obtient une nouvelle déclaration opposée à celle d'origine.
Question 19. Règles de base de la logique algébrique
La notation habituelle de ces lois en logique formelle est :
Question 20. Table de vérité
Tables de vérité
Il est pratique de décrire les opérations logiques par ce qu'on appelle tables de vérité, qui reflètent les résultats des calculs d'instructions complexes pour différentes valeurs des instructions simples originales. Les instructions simples sont désignées par des variables (par exemple, A et B).
21 Question.Éléments logiques. Leurs noms et désignations sur le schéma
Comment pouvons-nous utiliser les connaissances acquises dans le domaine de la logique mathématique pour concevoir des appareils électroniques ? Nous savons que O et 1 en logique ne sont pas seulement des nombres, mais une désignation des états d'un objet dans notre monde, conventionnellement appelés « faux » et « vrai ». Un tel objet, qui possède deux états fixes, peut être un courant électrique. Les appareils qui détectent deux états stables sont appelés bistable(par exemple interrupteur, relais). Si vous vous en souvenez, les premiers ordinateurs étaient des ordinateurs relais. Plus tard, de nouveaux dispositifs de commande électrique ont été créés - circuits électroniques, constitué d'un ensemble d'éléments semi-conducteurs. De tels circuits électroniques, qui convertissent les signaux de seulement deux tensions fixes de courant électrique (bistables), ont commencé à être appelés éléments logiques.
Élément de logique informatique- il fait partie d'un circuit logique électronique qui met en œuvre une fonction logique élémentaire.
Les éléments logiques des ordinateurs sont des circuits électroniques ET, OU, NON, NAND, NI et d'autres (également appelés vannes), et déclenchement.
À l'aide de ces circuits, vous pouvez implémenter n'importe quelle fonction logique décrivant le fonctionnement des appareils informatiques. En règle générale, les vannes ont deux à huit entrées et une ou deux sorties.
Pour représenter les deux états logiques « 1 » et « 0 » dans les portes, leurs signaux d'entrée et de sortie correspondants ont l'un des deux niveaux de tension définis. Par exemple, +5 volts et 0 volt.
Un niveau haut correspond généralement à la valeur « vrai » (« 1 »), et un niveau bas à la valeur « faux » (« 0 »).
Chaque élément logique possède son propre symbole, qui exprime sa fonction logique, mais n'indique pas quel type de circuit électronique y est implémenté. Cela facilite l’écriture et la compréhension de circuits logiques complexes.
Le fonctionnement des éléments logiques est décrit à l'aide de tables de vérité.
Table de vérité est une représentation tabulaire d'un circuit logique (opération) qui répertorie toutes les combinaisons possibles des valeurs de vérité des signaux d'entrée (opérandes) ainsi que la valeur de vérité du signal de sortie (résultat de l'opération) pour chacune de ces combinaisons.
Le système de numérotation binaire utilise seulement deux chiffres, 0 et 1. En d’autres termes, deux est la base du système de numérotation binaire. (De même, le système décimal a une base de 10.)
Pour apprendre à comprendre les nombres dans le système de nombres binaires, considérons d'abord comment les nombres sont formés dans le système de nombres décimaux qui nous est familier.
Dans le système numérique décimal, nous avons dix chiffres (de 0 à 9). Lorsque le décompte atteint 9, un nouveau chiffre (dizaines) est introduit, les uns sont remis à zéro et le décompte recommence. Après 19, le chiffre des dizaines augmente de 1 et les unités sont à nouveau remises à zéro. Et ainsi de suite. Lorsque les dizaines atteignent 9, le troisième chiffre apparaît : les centaines.
Le système de numération binaire est similaire au système de numération décimal, sauf que seuls deux chiffres interviennent dans la formation du nombre : 0 et 1. Dès que le chiffre atteint sa limite (c'est-à-dire un), un nouveau chiffre apparaît, et l'ancien est remis à zéro.
Essayons de compter en système binaire :
0 est zéro
1 est un (et c'est la limite de décharge)
10 fait deux
11 fait trois (et c'est encore la limite)
100 font quatre
101 – cinq
110 – six
111 – sept, etc.
Conversion de nombres binaires en décimaux
Il n'est pas difficile de remarquer que dans le système de nombres binaires, la longueur des nombres augmente rapidement à mesure que les valeurs augmentent. Comment déterminer ce que cela signifie : 10001001 ? Peu habitué à cette forme d’écriture des nombres, le cerveau humain ne peut généralement pas comprendre de combien il s’agit. Ce serait bien de pouvoir convertir des nombres binaires en décimaux.
Dans le système numérique décimal, n’importe quel nombre peut être représenté comme une somme d’unités, de dizaines, de centaines, etc. Par exemple:
1476 = 1000 + 400 + 70 + 6
1476 = 1 * 10 3 + 4 * 10 2 + 7 * 10 1 + 6 * 10 0
Regardez attentivement cette entrée. Ici les nombres 1, 4, 7 et 6 sont un ensemble de nombres qui composent le nombre 1476. Tous ces nombres sont tour à tour multipliés par dix élevés à un degré ou à un autre. Dix est la base du système de nombres décimaux. La puissance à laquelle dix est élevé est le chiffre du chiffre moins un.
N'importe quel nombre binaire peut être développé de la même manière. Seule la base ici sera 2 :
10001001 = 1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0
1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 128 + 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 137
Ceux. le nombre 10001001 en base 2 est égal au nombre 137 en base 10. Vous pouvez l'écrire ainsi :
10001001 2 = 137 10
Pourquoi le système de nombres binaires est-il si courant ?
Le fait est que le système de nombres binaires est le langage de la technologie informatique. Chaque numéro doit être représenté d'une manière ou d'une autre sur un support physique. S'il s'agit d'un système décimal, vous devrez alors créer un appareil pouvant avoir dix états. C'est compliqué. Il est plus facile de réaliser un élément physique qui ne peut être que dans deux états (par exemple, il y a du courant ou pas de courant). C’est l’une des principales raisons pour lesquelles tant d’attention est accordée au système de nombres binaires.
Conversion d'un nombre décimal en binaire
Vous devrez peut-être convertir le nombre décimal en binaire. Une façon consiste à diviser par deux et à former un nombre binaire à partir du reste. Par exemple, vous devez obtenir sa notation binaire à partir du nombre 77 :
77 / 2 = 38 (1 reste)
38 / 2 = 19 (0 reste)
19 / 2 = 9 (1 reste)
9/2 = 4 (1 reste)
4 / 2 = 2 (0 reste)
2 / 2 = 1 (0 reste)
1 / 2 = 0 (1 reste)
On rassemble les restes ensemble, en commençant par la fin : 1001101. C'est le nombre 77 en représentation binaire. Allons vérifier:
1001101 = 1*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 77
Le système de nombres décimaux binaires s'est répandu dans les ordinateurs modernes en raison de la facilité de conversion vers le système décimal et vice versa. Il est utilisé là où l'attention principale n'est pas portée à la simplicité de la construction technique de la machine, mais à la commodité de l'utilisateur. Dans ce système numérique, tous les chiffres décimaux sont codés séparément par quatre chiffres binaires et, sous cette forme, sont écrits séquentiellement les uns après les autres.
Le système décimal binaire n'est pas économique du point de vue de la mise en œuvre de la construction technique de la machine (l'équipement requis augmente d'environ 20 %), mais il est très pratique lors de la préparation des tâches et de la programmation. Dans le système numérique décimal binaire, la base du système numérique est le nombre 10, mais chaque chiffre décimal (0, 1, ..., 9) est représenté, c'est-à-dire codé, par des chiffres binaires. Quatre chiffres binaires sont utilisés pour représenter un chiffre décimal. Ici, bien sûr, il y a redondance, puisque 4 chiffres binaires (ou une tétrade binaire) peuvent représenter non pas 10, mais 16 nombres, mais c'est déjà un coût de production pour des raisons de commodité de programmation. Il existe un certain nombre de systèmes décimaux codés en binaire pour représenter les nombres, caractérisés en ce que certaines combinaisons de zéros et de uns au sein d'une tétrade se voient attribuer certaines valeurs de chiffres décimaux. Dans le système de nombres décimaux codés en binaire naturel le plus couramment utilisé, les poids des chiffres binaires au sein d'une tétrade sont naturels, c'est-à-dire 8, 4, 2, 1 (tableau 6).
Tableau 6
Notation décimale binaire
Par exemple, le nombre décimal 5673 en notation BCD est 01010110011100011.
La conversion de nombres d’un système numérique à un autre est une partie importante de l’arithmétique automatique. Considérons les règles de base de la traduction.
1. Pour convertir un nombre binaire en nombre décimal, vous devez l'écrire sous forme de polynôme, constitué des produits des chiffres du nombre et de la puissance correspondante de 2, et le calculer selon les règles de l'arithmétique décimale :
Lors de la traduction, il est pratique d'utiliser la table des puissances de deux :
Tableau 7.
Pouvoirs du numéro 2
| n (degré) | |||||||||||
Exemple. Convertissez le nombre au système de nombres décimaux.
2. Pour convertir un nombre octal en nombre décimal, vous devez l'écrire sous forme de polynôme, composé des produits des chiffres du nombre et de la puissance correspondante du nombre 8, et le calculer selon les règles de l'arithmétique décimale :
Lors de la traduction, il est pratique d'utiliser le tableau des puissances de huit :
Tableau 8.
Pouvoirs du numéro 8
| n (degré) | |||||||
| 8n |
Exemple. Convertissez le nombre 75013 8 au système numérique décimal.
Système de nombres décimaux codés en binaire (codes D)
La représentation directe des nombres décimaux conduit à la nécessité d'un codage binaire des chiffres décimaux. Les appareils qui effectuent des conversions arithmétiques avec des nombres décimaux reçoivent le terme spécial « arithmétique décimale ». Ces appareils doivent être aussi similaires que possible aux appareils binaires conventionnels.
L'arithmétique décimale est incluse dans le matériel des systèmes hautes performances pour éliminer la conversion des données sources en binaire et des résultats en décimal.
Le système décimal codé en binaire est un système numérique combiné qui présente les avantages du système binaire et la commodité du système décimal.
D-code est une représentation codée en binaire d'un nombre décimal, dans laquelle chaque chiffre décimal est représenté par une tétrade de caractères binaires.
Nombre de tétrades binaires différentes N= 2 4 = 16. Seuls dix d'entre eux sont utilisés pour coder des chiffres binaires. La présence de combinaisons redondantes permet d'avoir différentes D-codes. Dans les ordinateurs, les systèmes de codage 8421 sont les plus largement utilisés - D 1 , 2421 - D 2 , (8421+3) - D 4 . La redondance qui en résulte conduit à plusieurs codages de chiffres décimaux, parmi lesquels celui optimal doit être sélectionné.
Le code 8421 (tableau 2.4) est appelé code avec poids naturels, où les nombres 8,4,2,1 sont les poids des chiffres binaires des tétrades. Tout chiffre décimal de ce code est représenté par son équivalent dans le système de nombres binaires. Ce code a trouvé sa plus grande utilité dans le codage de nombres décimaux dans les périphériques d'entrée/sortie et dans la construction de dispositifs d'exploitation arithmétique décimale.
Caractéristiques des codes D 2 et D 4 (8421+3) ou un code avec un excès de 3 est que le codage de tout chiffre décimal et de son chiffre complémentaire jusqu'à 9 s'effectue par des tétrades mutuellement complémentaires. Cette fonctionnalité offre un moyen simple d'obtenir le complément à 9 en inversant les chiffres binaires de la tétrade. De tels codes sont pratiques à utiliser pour organiser l'opération de soustraction lors de la construction d'additionneurs décimaux.
Tableau 2.4
Exemples de codage de chiffres décimaux en tétrades
|
Chiffre décimal |
Equivalents en D-codes |
||
|
D 1 (8421) |
D 2 (2421) |
D 4 (8421+3) |
|
Voici un exemple de codage du nombre décimal A = 8371 dans un système de nombres décimaux codés en binaire :
D 1: UN = 1000 0011 0111 0001 (2/10) ;
D 2: UN = 1110 0011 1101 0001 (2/10) ;
D 4: UN = 1011 0110 1010 0100 (2/10).
Le codage optimal est déterminé par six exigences auxquelles un code décimal doit satisfaire.
1. Sans ambiguïté. Chaque chiffre décimal doit correspondre à un code binaire spécifique et différent.
Le non-respect de cette exigence conduit à des résultats ambigus.
2. Ordre. Les grands chiffres décimaux doivent correspondre à de grandes tétrades de code décimal et, inversement, les chiffres décimaux plus petits doivent correspondre à des tétrades plus petites.
Le respect de cette exigence est nécessaire pour organiser une comparaison quantitative des nombres avec des décimales.
3. Parité. Les chiffres pairs doivent correspondre aux tétrades paires et les chiffres impairs doivent correspondre aux tétrades impaires. La conformité peut être marquée de n'importe quelle manière.
Le respect de cette exigence est nécessaire pour arrondir le résultat.
4. Complémentarité. Si x1 et x2 sont deux chiffres pour lesquels x1 + x2 = 9 et que le chiffre x1 est associé à une tétrade, alors le chiffre x2, si l'exigence de complémentarité est satisfaite, doit être associé à une tétrade obtenue en inversant les chiffres binaires du code du chiffre x1.
L'exigence de complémentarité est nécessaire pour simplifier la mise en œuvre de codes complémentaires et réciproques pour les nombres décimaux.
5. Importance. Il doit y avoir quatre entiers positifs : p3, p2, p1, p0, appelés poids, avec lesquels on peut déterminer le chiffre décimal x à partir de la valeur de la tétrade binaire associée à x, en utilisant la formule
Le respect de cette exigence facilite le décodage.
6. Continuité. À une séquence continue de changements dans la signification des chiffres doit correspondre une séquence continue de changements dans la signification des tétrades.
Aucun code décimal ne satisfait simultanément à ces six exigences.
Le plus répandu en VT est le code de substitution directe avec un poids de chiffres de 8421. Ce code est le plus visuel et le plus pratique, car, conformément au nom du code, le chiffre décimal qu'il contient est la valeur correspondante du code binaire. . Cependant, le code 8421 ne satisfait pas à l'exigence de complémentarité, donc les actions de ce code qui changent le signe d'un nombre décimal impliquent d'inverser des chiffres ou de prendre le complément, c'est-à-dire qu'elles nécessitent des corrections et/ou du temps supplémentaires.
Les avantages du système de nombres décimaux codés en binaire par rapport au système de nombres binaires sont :
- · pas besoin de convertir les données sources et les résultats d'un système numérique à un autre ;
- · commodité du suivi des résultats intermédiaires en les affichant pour le suivi interne ;
- · possibilités plus larges de contrôle automatique grâce à la disponibilité de D-codes de combinaisons redondantes.
D-les codes sont utilisés pour résoudre des problèmes économiques caractérisés par un grand volume de données initiales, une simplicité comparative et un petit volume de transformations effectuées sur celles-ci et un grand nombre de résultats de calcul. Ce système est largement utilisé dans les calculatrices et les micro-ordinateurs personnels.
