Les nombres sont écrits dans le système de nombres binaires en utilisant seulement deux chiffres - 0 et 1. Par conséquent, ce système est plus facilement mis en œuvre dans la pratique en électronique. des ordinateurs et appareils. Voyons comment convertir un nombre en système binaire à partir du système décimal habituel sans l'aide d'une calculatrice et de programmes informatiques.
Nombres entiers
Afin de convertir un entier décimal en binaire, vous devez le diviser par deux, puis diviser chaque quotient résultant par deux jusqu'à ce que vous obteniez un. Le nombre binaire souhaité s'écrit sous la forme d'une séquence de chiffres égale au dernier quotient (un) et à tous les restes résultants, en commençant par le dernier.
Donnons des exemples.
Nous devons convertir le nombre 23 en binaire.
- 23 : 2 = 11 (reste 1)
- 11 : 2 = 5 (reste 1)
- 5 : 2 = 2 (reste 1)
- 2 : 2 = 1 (reste 0)
En conséquence, 23 10 = 10111 2
Nous devons convertir le nombre 88 en binaire :
- 88 : 2 = 44 (reste 0)
- 44 : 2 = 22 (reste 0)
- 22 : 2 = 11 (reste 0)
- 11 : 2 = 5 (reste 1)
- 5 : 2 = 2 (reste 1)
- 2 : 2 = 1 (reste 0)
En conséquence, 88 10 = 1011000 2
Nombres fractionnaires
Examinons maintenant l'algorithme de conversion des nombres décimaux fractionnaires en système binaire. Pour faire cela avec partie entière numéros que nous travaillons selon la procédure décrite ci-dessus, et partie fractionnaire Multiplions par deux. Nous multiplions à nouveau la partie fractionnaire du produit résultant par deux et ainsi de suite jusqu'à ce que la partie fractionnaire devienne égale à zéro ou jusqu'à ce que l'approximation nécessaire du nombre spécifié de décimales binaires soit obtenue. La partie fractionnaire requise nombre binaire on obtient comme une suite de nombres après la virgule décimale, égaux aux parties entières des produits résultants, en commençant par le premier.
Voici quelques exemples:
Nous devons convertir le nombre 5,625 en binaire :
- Examinons d'abord la partie entière du nombre décimal :
- 5 : 2 = 2 (reste 1)
- 2 : 2 = 1 (reste 0)
- Maintenant la partie fractionnaire :
- 0,625 * 2 = 1,25
- 0,25 * 2 = 0,5
- 0,5 * 2 = 1,0
En conséquence, 5 10 = 101 2
En conséquence, 0,125 10 = 0,101 2
En conséquence, 5,625 10 = 101,101 2
Vous devez convertir 8,35 en binaire avec une précision de 5 décimales :
- Commençons par toute la partie :
- 8 : 2 = 4 (reste 0)
- 4 : 2 = 2 (reste 0)
- 2 : 2 = 1 (reste 0)
- Partie fractionnaire du nombre :
- 0,35 * 2 = 0,7
- 0,7 * 2 = 1,4
- 0,4 * 2 = 0,8
- 0,8 * 2 = 1,6
- 0,6 * 2 = 1,2
En conséquence, 8 10 = 1000 2
En conséquence, 0,35 10 = 0,01011 2 avec une précision de 5 décimales près.
En conséquence, 8,35 10 = 1000,01011 2 avec une précision de 5 décimales.
Avec ça calculateur en ligne Vous pouvez convertir des nombres entiers et fractionnaires d'un système numérique à un autre. Une solution détaillée avec des explications est donnée. Pour traduire, entrez le numéro d'origine, définissez la base du système numérique du numéro source, définissez la base du système numérique dans lequel vous souhaitez convertir le numéro et cliquez sur le bouton « Traduire ». Voir la partie théorique et les exemples numériques ci-dessous.
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Conversion d'entiers et de fractions d'un système numérique à un autre - théorie, exemples et solutions
Il existe des positions et des non-positions systèmes de positionnement Compte. Le système de numérotation arabe que nous utilisons dans Vie courante, est positionnel, mais Roman ne l'est pas. Dans les systèmes de numérotation positionnelle, la position d'un nombre détermine de manière unique sa grandeur. Considérons cela en utilisant l'exemple du nombre 6372 dans le système numérique décimal. Numérotons ce nombre de droite à gauche en partant de zéro :
Alors le nombre 6372 peut être représenté comme suit :
6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .
Le nombre 10 détermine le système numérique (dans ce cas, c'est 10). Les valeurs de la position d'un nombre donné sont prises comme puissances.
Considérez le réel nombre décimal 1287.923. Numérotons-le à partir de la position zéro du nombre à partir de la virgule décimale vers la gauche et la droite :
Alors le nombre 1287.923 peut être représenté comme suit :
1287,923 =1000+200+80 +7+0,9+0,02+0,003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3· 10-3.
En général, la formule peut être représentée comme suit :
C n s n + C n-1 · s n-1 +...+C 1 · s 1 +C 0 ·s 0 +D -1 ·s -1 +D -2 ·s -2 +...+D -k ·s -k
où C n est un entier en position n, D -k - un nombre fractionnaire en position (-k), s- système de numérotation.
Quelques mots sur les systèmes numériques. Un nombre dans le système numérique décimal se compose de plusieurs chiffres (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), dans le système numérique octal, il se compose de plusieurs chiffres. (0,1, 2,3,4,5,6,7), dans le système de numérotation binaire - à partir d'un ensemble de chiffres (0,1), dans le système de numérotation hexadécimal - à partir d'un ensemble de chiffres (0,1 ,2,3,4,5,6, 7,8,9,A,B,C,D,E,F), où A,B,C,D,E,F correspondent aux nombres 10,11, 12,13,14,15. Dans le tableau Tab.1, les numéros sont présentés en différents systèmes Compte.
| Tableau 1 | |||
|---|---|---|---|
| Notation | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | UN |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E | 15 | 1111 | 17 | F |
Conversion de nombres d'un système numérique à un autre
Pour convertir des nombres d'un système numérique à un autre, le moyen le plus simple consiste d'abord à convertir le nombre en système décimal système numérique, puis convertissez du système numérique décimal au système numérique requis.
Conversion de nombres de n'importe quel système numérique vers le système numérique décimal
À l'aide de la formule (1), vous pouvez convertir des nombres de n'importe quel système numérique en système numérique décimal.
Exemple 1. Convertissez le nombre 1011101.001 du système de nombres binaires (SS) en SS décimal. Solution:
1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 ·2 4 + 1 ·2 3 + 1 ·2 2 + 0 ·2 1 + 1 ·2 0 + 0 ·2 -1 + 0 ·2 -2 + 1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93,125
Exemple2. Convertissez le nombre 1011101.001 du système de nombres octal (SS) en SS décimal. Solution:
Exemple 3 . Convertissez le nombre AB572.CDF du système numérique hexadécimal en SS décimal. Solution:
Ici UN-remplacé par 10, B- à 11 heures, C- à 12, F- à 15 heures.
Conversion de nombres du système numérique décimal vers un autre système numérique
Pour convertir des nombres du système numérique décimal vers un autre système numérique, vous devez convertir séparément la partie entière du nombre et la partie fractionnaire du nombre.
La partie entière d'un nombre est convertie du SS décimal en un autre système numérique en divisant séquentiellement la partie entière du nombre par la base du système numérique (pour le SS binaire - par 2, pour le SS 8-aire - par 8, pour 16 -ary SS - par 16, etc. ) jusqu'à l'obtention d'un résidu entier, inférieur à la base CC.
Exemple 4 . Convertissons le nombre 159 de SS décimal en SS binaire :
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
Comme on peut le voir sur la Fig. 1, le nombre 159 divisé par 2 donne le quotient 79 et le reste 1. De plus, le nombre 79 divisé par 2 donne le quotient 39 et le reste 1, etc. De ce fait, en construisant un nombre à partir des restes de division (de droite à gauche), on obtient un nombre en SS binaire : 10011111 . On peut donc écrire :
159 10 =10011111 2 .
Exemple 5 . Convertissons le nombre 615 de SS décimal en SS octal.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
Lors de la conversion d'un nombre décimal SS en octal SS, vous devez diviser séquentiellement le nombre par 8 jusqu'à obtenir un reste entier inférieur à 8. En conséquence, en construisant un nombre à partir des restes de division (de droite à gauche), nous obtenons un nombre en SS octal : 1147 (voir fig. 2). On peut donc écrire :
615 10 =1147 8 .
Exemple 6 . Convertissons le nombre 19673 du système numérique décimal en SS hexadécimal.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
Comme le montre la figure 3, en divisant successivement le nombre 19673 par 16, les restes sont 4, 12, 13, 9. Dans le système numérique hexadécimal, le nombre 12 correspond à C, le nombre 13 à D. Par conséquent, notre Le nombre hexadécimal est 4CD9.
Pour convertir des fractions décimales régulières (un nombre réel avec une partie entière nulle) en un système numérique de base s, il faut multiplier successivement ce nombre par s jusqu'à ce que la partie fractionnaire contienne un zéro pur, ou que l'on obtienne le nombre de chiffres requis . Si, lors de la multiplication, un nombre avec une partie entière autre que zéro est obtenu, alors cette partie entière n'est pas prise en compte (elles sont incluses séquentiellement dans le résultat).
Regardons ce qui précède avec des exemples.
Exemple 7 . Convertissons le nombre 0,214 du système numérique décimal en SS binaire.
| 0.214 | ||
| X | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| X | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| X | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.392 |
Comme le montre la figure 4, le nombre 0,214 est multiplié séquentiellement par 2. Si le résultat de la multiplication est un nombre avec une partie entière autre que zéro, alors la partie entière est écrite séparément (à gauche du nombre), et le nombre est écrit avec une partie entière nulle. Si la multiplication donne un nombre avec une partie entière nulle, alors un zéro est écrit à sa gauche. Le processus de multiplication se poursuit jusqu'à ce que la partie fractionnaire atteigne un zéro pur ou que nous obtenions le nombre de chiffres requis. En écrivant les nombres en gras (Fig. 4) de haut en bas, nous obtenons le nombre requis dans le système de nombres binaires : 0. 0011011 .
On peut donc écrire :
0.214 10 =0.0011011 2 .
Exemple 8 . Convertissons le nombre 0,125 du système numérique décimal en SS binaire.
| 0.125 | ||
| X | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| X | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.0 |
Pour convertir le nombre 0,125 de SS décimal en binaire, ce nombre est multiplié séquentiellement par 2. Dans la troisième étape, le résultat est 0. Par conséquent, le résultat suivant est obtenu :
0.125 10 =0.001 2 .
Exemple 9 . Convertissons le nombre 0,214 du système numérique décimal en SS hexadécimal.
| 0.214 | ||
| X | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| X | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| X | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| X | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| X | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| X | 16 | |
| 4 | 0.224 |
En suivant les exemples 4 et 5, on obtient les nombres 3, 6, 12, 8, 11, 4. Mais en hexadécimal SS, les nombres 12 et 11 correspondent aux nombres C et B. On a donc :
0,214 10 =0,36C8B4 16 .
Exemple 10 . Convertissons le nombre 0,512 du système numérique décimal en SS octal.
| 0.512 | ||
| X | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| X | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| X | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| X | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| X | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| X | 8 | |
| 1 | 0.728 |
A obtenu:
0.512 10 =0.406111 8 .
Exemple 11 . Convertissons le nombre 159,125 du système numérique décimal en SS binaire. Pour ce faire, on traduit séparément la partie entière du nombre (Exemple 4) et la partie fractionnaire du nombre (Exemple 8). En combinant davantage ces résultats, nous obtenons :
159.125 10 =10011111.001 2 .
Exemple 12 . Convertissons le nombre 19673.214 du système numérique décimal en SS hexadécimal. Pour ce faire, on traduit séparément la partie entière du nombre (Exemple 6) et la partie fractionnaire du nombre (Exemple 9). De plus, en combinant ces résultats, nous obtenons.
1. Comptage ordinal dans divers systèmes numériques.
DANS Vie moderne nous utilisons des systèmes de numérotation positionnelle, c'est-à-dire des systèmes dans lesquels le nombre indiqué par un chiffre dépend de la position du chiffre dans la notation du nombre. Par conséquent, à l'avenir, nous ne parlerons que d'eux, en omettant le terme « positionnel ».
Afin d'apprendre à convertir des nombres d'un système à un autre, nous comprendrons comment se produit l'enregistrement séquentiel des nombres en utilisant l'exemple du système décimal.
Puisque nous avons un système de nombres décimaux, nous disposons de 10 symboles (chiffres) pour construire des nombres. On commence à compter : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Les chiffres sont terminés. Nous augmentons la profondeur de bits du nombre et réinitialisons le chiffre de poids faible : 10. Ensuite, nous augmentons à nouveau le chiffre de poids faible jusqu'à ce que tous les chiffres disparaissent : 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Nous augmentons le chiffre de poids fort de 1 et réinitialisons le chiffre de poids faible : 20. Lorsque nous utilisons tous les chiffres pour les deux chiffres (nous obtenons le nombre 99), nous augmentons à nouveau la capacité numérique du nombre et réinitialisons le chiffres existants : 100. Et ainsi de suite.
Essayons de faire de même dans les 2ème, 3ème et 5ème systèmes (on introduit la notation pour le 2ème système, pour le 3ème, etc.) :
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 10 | 3 |
| 4 | 100 | 11 | 4 |
| 5 | 101 | 12 | 10 |
| 6 | 110 | 20 | 11 |
| 7 | 111 | 21 | 12 |
| 8 | 1000 | 22 | 13 |
| 9 | 1001 | 100 | 14 |
| 10 | 1010 | 101 | 20 |
| 11 | 1011 | 102 | 21 |
| 12 | 1100 | 110 | 22 |
| 13 | 1101 | 111 | 23 |
| 14 | 1110 | 112 | 24 |
| 15 | 1111 | 120 | 30 |
Si le système numérique a une base supérieure à 10, nous devrons alors saisir des caractères supplémentaires ; il est d'usage de saisir des lettres de l'alphabet latin. Par exemple, pour le système à 12 chiffres, en plus des dix chiffres, nous avons besoin de deux lettres ( et ) :
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 4 |
| 5 | 5 |
| 6 | 6 |
| 7 | 7 |
| 8 | 8 |
| 9 | 9 |
| 10 | |
| 11 | |
| 12 | 10 |
| 13 | 11 |
| 14 | 12 |
| 15 | 13 |
2. Conversion du système de nombres décimaux vers un autre.
Pour convertir un nombre décimal entier positif en un système numérique avec une base différente, vous devez diviser ce nombre par la base. Divisez à nouveau le quotient obtenu par la base, et plus loin jusqu'à ce que le quotient soit inférieur à la base. En conséquence, notez sur une ligne le dernier quotient et tous les restes, en commençant par le dernier.
Exemple 1. Convertissons le nombre décimal 46 en système de nombres binaires.
Exemple 2. Convertissons le nombre décimal 672 en système numérique octal.
Exemple 3. Convertissons le nombre décimal 934 en système numérique hexadécimal.
3. Conversion de n'importe quel système numérique en décimal.
Afin d'apprendre à convertir des nombres de n'importe quel autre système en décimal, analysons la notation habituelle pour un nombre décimal.
Par exemple, le nombre décimal 325 est égal à 5 unités, 2 dizaines et 3 centaines, soit
La situation est exactement la même dans d'autres systèmes numériques, sauf que nous multiplierons non pas par 10, 100, etc., mais par les puissances de la base du système numérique. Par exemple, prenons le nombre 1201 dans le système numérique ternaire. Numérotons les chiffres de droite à gauche en partant de zéro et imaginons notre nombre comme la somme des produits d'un chiffre et de trois à la puissance du chiffre du nombre :
C'est la notation décimale de notre nombre, c'est-à-dire
Exemple 4. Passons au système de nombres décimaux nombre octal 511.
Exemple 5. Convertissons le nombre hexadécimal 1151 en système numérique décimal.
4. Conversion du système binaire vers le système de base « puissance de deux » (4, 8, 16, etc.).
Pour convertir un nombre binaire en un nombre de base « puissance de deux », il faut diviser la séquence binaire en groupes selon le nombre de chiffres égal à la puissance de droite à gauche et remplacer chaque groupe par le chiffre correspondant. nouveau système Compte.
Par exemple, convertissons le nombre binaire 1100001111010110 en système octal. Pour ce faire, nous allons le diviser en groupes de 3 caractères en partant de la droite (depuis ), puis utiliser la table de correspondance et remplacer chaque groupe par un nouveau numéro :
Nous avons appris à créer une table de correspondance à l'étape 1.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
Ceux.
Exemple 6. Convertissons le nombre binaire 1100001111010110 en hexadécimal.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | UN |
| 1011 | B |
| 1100 | C |
| 1101 | D |
| 1110 | E |
| 1111 | F |
5. Conversion d'un système avec la base « puissance de deux » (4, 8, 16, etc.) en binaire.
Cette traduction est similaire à la précédente, faite dans le sens inverse : on remplace chaque chiffre par un groupe de chiffres du système binaire de la table de correspondance.
Exemple 7. Convertissons le nombre hexadécimal C3A6 en système de nombres binaires.
Pour cela, remplacez chaque chiffre du numéro par un groupe de 4 chiffres (depuis ) de la table de correspondance, en complétant le groupe par des zéros au début si nécessaire :
