6.1. რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის ლიმიტი და უწყვეტობა.
რ ნ - მეტრიკული სივრცე:
ამისთვის მ 0 (x, x,…, x) და მ(X 1 , X 2 , …, X ნ) ( მ 0 , მ) = .
ნ= 2: ამისთვის მ 0
(x 0 ,
წ 0),
მ
(x,
წ)
( მ 0 ,
მ)
=
.
წერტილის მეზობლობა მ 0 უ (მ 0) = – რადიუსის წრის შიდა წერტილები ცენტრით მ 0 .
6.1.1. რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის ლიმიტი. გაიმეორეთ ლიმიტები.
ვ: რ ნ რმოცემულია წერტილის რომელიღაც სამეზობლოში მ 0, გარდა შესაძლოა თავად წერტილისა მ 0 .
განმარტება.ნომერი ადაურეკა ზღვარიფუნქციები
ვ(x 1 , x 2 , …, x ნ) წერტილში მ 0 თუ >0 >0 მ (0 < (მ 0 , მ ) < | ვ (მ ) – ა |< ).
ფ 
ჩაწერის ფორმები: 
ნ
= 2: 
ეს ორმაგი ლიმიტი.
წერტილების უბნების ენაზე:
>0 >0 მ (x , წ ) (მ უ (მ 0 )\ მ 0 ვ (x , წ ) უ (ა )).
(მშეიძლება ახლოვდება მ 0 ნებისმიერ გზაზე).
გაიმეორეთ ლიმიტები:
და 
.
(მახლოვდება მ 0 ჰორიზონტალურად და ვერტიკალურად, შესაბამისად).
თეორემა ორმაგ და განმეორებით ზღვრებს შორის კავშირის შესახებ.
თუ ორმაგი ლიმიტი 
და ლიმიტები 
,
,
შემდეგ განმეორებითი ლიმიტები 
,
და უდრის ორმაგს.
შენიშვნა 1.საპირისპირო განცხადება არ შეესაბამება სიმართლეს.
მაგალითი.
ვ
(x,
წ)
=
,
.
თუმცა, ორმაგი ლიმიტი
=
არ არსებობს, რადგან წერტილის ნებისმიერ სამეზობლოში (0, 0) ფუნქცია ასევე იღებს მნიშვნელობებს ნულიდან "შორს", მაგალითად, თუ x = წ, ეს ვ (x, წ) = 0,5.
შენიშვნა 2.Მაშინაც კი როცა არ: ვ (x, წ) ა
მართვის დროს მრომ მ 0 ნებისმიერი სწორი ხაზის გასწვრივ, ორმაგი ზღვარი შეიძლება არ არსებობდეს.
მაგალითი.ვ
(x,
წ)
=
,მ 0
(0, 0). მ
(x,
წ)
მ 0
(0, 0)
დასკვნა: (ორმაგი) ლიმიტი არ არსებობს.
ლიმიტის პოვნის მაგალითი.
ვ
(x,
წ)
=
, მ 0
(0, 0).
ვაჩვენოთ, რომ რიცხვი 0 არის ფუნქციის ზღვარი წერტილში მ 0 .
=
,
– მანძილი წერტილებს შორის მდა მ 0 .(გამოიყენა უტოლობა 
,
რაც გამომდინარეობს უტოლობებიდან 
)
დავაყენოთ > 0 და დავუშვათ = 2. <
6.1.2. რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის უწყვეტობა.
განმარტება.
ვ
(x,
წ) წერტილში უწყვეტია მ 0
(x 0 ,
წ 0) თუ განსაზღვრულია ზოგიერთში უ (მ 0) და 
, ტ. ე.>0 >0 მ
(0 < (მ 0 ,
მ)
<
|
ვ
(მ)
– ვ
(მ 0)|<
).
კომენტარი.ფუნქცია შეიძლება მუდმივად იცვლებოდეს წერტილში გამავალი ზოგიერთი მიმართულებით მ 0, და აქვს უწყვეტები სხვა მიმართულებების ან სხვადასხვა ფორმის ბილიკების გასწვრივ. თუ ასეა, ის შეწყვეტილია წერტილში მ 0 .
6.1.3. რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის ლიმიტის თვისებები. ფუნქციების თვისებები უწყვეტი წერტილში.
ხდება ლიმიტის უნიკალურობა;
ფუნქცია, რომელსაც აქვს სასრული ზღვარი წერტილში მ 0 , შემოსაზღვრულია ამ წერტილის ზოგიერთ უბანში; ტარდება რიგითი და ალგებრული თვისებებიზღვარი,
ზღვარზე გადასვლა ინარჩუნებს თანაბარ ნიშნებს და სუსტ უთანასწორობებს.
თუ ფუნქცია წერტილში უწყვეტია მ 0 და ვ (მ 0 ) 0 , ეს ნიშნავს ნიშანივ (მ ) შემორჩენილიაზოგიერთ უ (მ 0).
ჯამი, პროდუქტი, კოეფიციენტი(მნიშვნელი 0) ასევე უწყვეტი ფუნქციები უწყვეტი ფუნქციები, უწყვეტი კომპლექსური ფუნქციაუწყვეტისაგან შედგენილი.
6.1.4. უწყვეტი ფუნქციების თვისებები დაკავშირებულ დახურულ შემოსაზღვრულ კომპლექტზე.ნ= 1, 2 და 3.
განმარტება 1. სიმრავლე ეწოდება თანმიმდევრული, თუ მის რომელიმე ორ წერტილთან ერთად შეიცავს მათ დამაკავშირებელ უწყვეტ მრუდსაც.
განმარტება 2.დააყენეთ რ ნდაურეკა შეზღუდული, თუ ის შეიცავს რაიმე "ბურთს" 
.
ნ
= 1
ნ
= 2 
ნ = 3 .
მაგალითებიდაკავშირებული დახურული შემოსაზღვრული კომპლექტები.
რ 1 = რ: ხაზის სეგმენტი [ ა, ბ];
რ 2: სეგმენტი ABნებისმიერი უწყვეტი მრუდი წერტილებით ბოლოებით ადა IN;
დახურული უწყვეტი მრუდი;
წრე 
;
განმარტება 3. ვ: რ ნ რუწყვეტია დაკავშირებულ დახურულ კომპლექტზე რ ნ, თუ მ 0
.
თეორემა.Რამოდენიმეღირებულებებიუწყვეტი ფუნქცია
ვ: რ ნ რდახურულ შემოსაზღვრულ დაკავშირებულ კომპლექტზე არის სეგმენტი [ მ , მ ] , Აქ მ - სულ ცოტა, ა მ - უდიდესიმისი მნიშვნელობები ნაკრების წერტილებში.
ამრიგად, ნებისმიერ დახურულ შემოსაზღვრულ დაკავშირებულ კომპლექტზერ ნ უწყვეტი ფუნქცია შემოსაზღვრულია, იღებს მის უმცირეს, უდიდეს და ყველა შუალედურ მნიშვნელობას.
| " |
ზემოთ განხილული ორი ან სამი ცვლადის ფუნქციების ცნებები შეიძლება განზოგადდეს ცვლადების შემთხვევაში.
განმარტება.ფუნქცია 
ცვლადები 
ეწოდება ფუნქცია, განსაზღვრების დომენი 
რომელიც ეკუთვნის 
და მნიშვნელობების დიაპაზონი არის რეალური ღერძი.
ასეთი ფუნქცია ცვლადების თითოეული ნაკრებისთვის 
საწყისი 
ემთხვევა ცალკეულ რიცხვს 
.
შემდეგში, დაზუსტებისთვის განვიხილავთ ფუნქციებს 
ცვლადები, მაგრამ ასეთი ფუნქციებისთვის ჩამოყალიბებული ყველა დებულება ჭეშმარიტი რჩება ცვლადების უფრო დიდი რაოდენობის ფუნქციებისთვის.
განმარტება.ნომერი 
ფუნქციის ლიმიტი ეწოდება
წერტილში 
, თუ თითოეულისთვის 
არის ასეთი რიცხვი 
რომ ყველას თვალწინ 
სამეზობლოდან 
, ამ წერტილის გარდა, უთანასწორობა მოქმედებს
.
თუ ფუნქციის ლიმიტი 
წერტილში 
უდრის 
, მაშინ ეს აღინიშნება სახით
.
ლიმიტების თითქმის ყველა თვისება, რომელიც ადრე განვიხილეთ ერთი ცვლადის ფუნქციებისთვის, რჩება ძალაში რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის ლიმიტებისთვის, თუმცა, ჩვენ არ შევეხებით ასეთი ლიმიტების პრაქტიკულ განსაზღვრას.
განმარტება.ფუნქცია 
უწყვეტი ეწოდება წერტილს 
თუ დაკმაყოფილებულია სამი პირობა:
1) არსებობს 
2) წერტილში არის ფუნქციის მნიშვნელობა 
3) ეს ორი რიცხვი ერთმანეთის ტოლია, ე.ი. .
პრაქტიკაში შეგვიძლია შევისწავლოთ ფუნქციის უწყვეტობა შემდეგი თეორემის გამოყენებით.
თეორემა.ნებისმიერი ელემენტარული ფუნქცია 
არის უწყვეტი მისი განმარტების დომენის ყველა შიდა (ე.ი. არასასაზღვრო) წერტილში.
მაგალითი.მოდი ვიპოვოთ ყველა ის წერტილი, რომლებზეც ფუნქციონირებს
უწყვეტი.
როგორც ზემოთ აღინიშნა, ეს ფუნქცია განისაზღვრება დახურულ წრეში
.
ამ წრის შიდა წერტილები არის ფუნქციის უწყვეტობის სასურველი წერტილები, ე.ი. ფუნქცია 
უწყვეტი ღია წრეში 
.
უწყვეტობის ცნების განმარტება განსაზღვრების სფეროს სასაზღვრო წერტილებში 
ფუნქციები შესაძლებელია, მაგრამ ამ საკითხს კურსში არ განვიხილავთ.
1.3 ნაწილობრივი ნამატები და ნაწილობრივი წარმოებულები
ერთი ცვლადის ფუნქციებისაგან განსხვავებით, რამდენიმე ცვლადის ფუნქციას აქვს სხვადასხვა ტიპის ზრდა. ეს არის იმის გამო, რომ მოძრაობები თვითმფრინავში 
წერტილიდან 
შეიძლება განხორციელდეს სხვადასხვა მიმართულებით.
განმარტება.ნაწილობრივი ზრდა 
ფუნქციები 
წერტილში 
შესაბამისი ზრდა 
განსხვავებას უწოდებენ
ეს ზრდა არსებითად არის ერთი ცვლადის ფუნქციის ზრდა 
მიღებული ფუნქციიდან 
მუდმივი ღირებულებით 
.
ანალოგიურად, ნაწილობრივი გაზრდით
წერტილში 
ფუნქციები 
შესაბამისი ზრდა 
განსხვავებას უწოდებენ
ეს ზრდა გამოითვლება ფიქსირებული მნიშვნელობით 
.
მაგალითი.დაე 
,
,
. მოდით ვიპოვოთ ამ ფუნქციის ნაწილობრივი ნამატები 
და მიერ 
ამ მაგალითში, არგუმენტების ზრდის თანაბარი მნიშვნელობებით 
და 
, ფუნქციის ნაწილობრივი ზრდა განსხვავებული აღმოჩნდა. ეს გამოწვეულია იმით, რომ მართკუთხედის ფართობი გვერდებით 
და 
გვერდის გაზრდისას 
on 
ოდენობით იზრდება 
და მზარდი მხარით 
on 
იზრდება 
(იხ. სურ. 4).
იქიდან გამომდინარე, რომ ორი ცვლადის ფუნქციას აქვს ორი ტიპის ზრდა, აქედან გამომდინარეობს, რომ მისთვის შეიძლება განისაზღვროს ორი ტიპის წარმოებული.
განმარტება. ნაწილობრივ წარმოებულის მიმართ 
ფუნქციები 
წერტილში 
ეწოდება ნაწილობრივი ნამატის შეფარდების ზღვარი 
ამ ფუნქციის მითითებულ წერტილში მატებამდე 
არგუმენტი 
იმათ.
.
(1)
ასეთი ნაწილობრივი წარმოებულები აღინიშნება სიმბოლოებით 
,
,
,
. ამ უკანასკნელ შემთხვევებში, მრგვალი ასო " 
”
– “
ნიშნავს სიტყვას „პირადი“.
ანალოგიურად, ნაწილობრივი წარმოებული მიმართებით 
წერტილში 
განისაზღვრება ლიმიტის გამოყენებით
.
(2)
სხვა აღნიშვნები ამ ნაწილობრივი წარმოებულისთვის: 
,
,
.
ფუნქციების ნაწილობრივი წარმოებულები გვხვდება ერთი ცვლადის ფუნქციის დიფერენცირების ცნობილი წესების მიხედვით, ხოლო ყველა ცვლადი, გარდა იმისა, რომლითაც ფუნქცია დიფერენცირებულია, მუდმივად ითვლება. ასე რომ, როცა იპოვით 
ცვლადი 
მიღებულია როგორც მუდმივი და როცა ნაპოვნია 
- მუდმივი 
.
მაგალითი.ვიპოვოთ ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები 
.
,
.
მაგალითი.ვიპოვოთ სამი ცვლადის ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები
.
;
;
.
ნაწილობრივი წარმოებული ფუნქციები 
დაახასიათეთ ამ ფუნქციის ცვლილების სიჩქარე იმ შემთხვევაში, როდესაც ერთ-ერთი ცვლადი ფიქსირდება.
მაგალითი ეკონომიკაში.
მოხმარების თეორიის მთავარი კონცეფცია არის სასარგებლო ფუნქცია 
. ეს ფუნქცია გამოხატავს კომპლექტის სარგებლიანობას 
, სადაც x არის X პროდუქტის რაოდენობა, y არის პროდუქტის Y რაოდენობა. შემდეგ ნაწილობრივი წარმოებულები 
ეწოდება x და y-ის ზღვრული უტილიტები, შესაბამისად. ჩანაცვლების ზღვრული მაჩვენებელი 
ერთი საქონელი მეორესთან უდრის მათი ზღვრული სარგებლობის თანაფარდობას:
.
(8)
ამოცანა 1. იპოვეთ h ჩანაცვლების ზღვრული მაჩვენებელი y-ით სასარგებლო ფუნქციისთვის A(3,12) წერტილში.
გამოსავალი:ფორმულის მიხედვით (8) ვიღებთ
ჩანაცვლების ზღვრული მაჩვენებლის ეკონომიკური მნიშვნელობა მდგომარეობს ფორმულის დასაბუთებაში 
, სად 
- X პროდუქტის ფასი, 
- საქონლის ფასი U.
განმარტება.თუ ფუნქცია 
არის ნაწილობრივი წარმოებულები, შემდეგ მისი ნაწილობრივი დიფერენციალი არის გამონათქვამები
და 
Აქ 
და 
.
ნაწილობრივი დიფერენციაციები არის ერთი ცვლადის ფუნქციების დიფერენციალი, რომელიც მიღებულია ორი ცვლადის ფუნქციიდან 
ფიქსირებულზე 
ან 
.
მაგალითები ეკონომიკიდან. მაგალითად ავიღოთ კობ-დუგლასის ფუნქცია.
მაგნიტუდა 
- შრომის საშუალო პროდუქტიულობა, რადგან ეს არის ერთი მუშის მიერ წარმოებული პროდუქციის რაოდენობა (ღირებულების თვალსაზრისით).
მაგნიტუდა 
- საშუალო კაპიტალის პროდუქტიულობა - პროდუქციის რაოდენობა მანქანაზე.
მაგნიტუდა 
- საშუალო კაპიტალი-შრომის თანაფარდობა - სახსრების ღირებულება შრომითი რესურსების ერთეულზე.
ამიტომ ნაწილობრივი წარმოებული 
ეწოდება შრომის ზღვრული პროდუქტიულობა, რადგან ის უდრის დამატებითი მუშაკის მიერ წარმოებული პროდუქციის დამატებულ ღირებულებას.
ანალოგიურად, 
- ზღვრული კაპიტალის პროდუქტიულობა.
ეკონომიკაში ხშირად სვამენ კითხვებს: რა პროცენტით შეიცვლება პროდუქცია, თუ მუშათა რაოდენობა 1%-ით გაიზრდება ან თუ სახსრები გაიზრდება 1%-ით? ასეთ კითხვებზე პასუხები მოცემულია ფუნქციის ელასტიურობის ცნებებით არგუმენტთან ან ფარდობით წარმოებულთან მიმართებაში. იპოვეთ გამომავალი ელასტიურობა შრომასთან მიმართებაში 
. ზემოთ გამოთვლილი ნაწილობრივი წარმოებულის ჩანაცვლება მრიცხველში 
, ვიღებთ 
. ასე რომ პარამეტრი 
აქვს მკაფიო ეკონომიკური მნიშვნელობა - ეს არის გამომუშავების ელასტიურობა შრომის მიმართ.
პარამეტრს აქვს მსგავსი მნიშვნელობა 
არის გამომუშავების ელასტიურობა სახსრებში.
რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის განსაზღვრა. Ძირითადი ცნებები.
თუ გარკვეული სიმრავლისგან ერთმანეთისგან დამოუკიდებელი რიცხვების (x, y) თითოეული წყვილი, გარკვეული წესის მიხედვით, ასოცირდება z ცვლადის ერთ მნიშვნელობასთან, მაშინ მას ე.წ. ორი ცვლადის ფუნქცია. z=f(x,y,)
z ფუნქციის დომენი- წყვილთა სიმრავლე (x, y), რომლისთვისაც არსებობს ფუნქცია z.
ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლე (მნიშვნელობების დიაპაზონი) არის ყველა ის მნიშვნელობა, რომელსაც ფუნქცია იღებს განსაზღვრების დომენში.
ორი ფუნქციის გრაფიკიცვლადები - P წერტილების ერთობლიობა, რომლის კოორდინატები აკმაყოფილებს განტოლებას z=f(x,y)
r რადიუსის M0 (x0;y0) წერტილის მეზობლობა- ყველა წერტილის სიმრავლე (x,y), რომელიც აკმაყოფილებს პირობას< r
რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის განსაზღვრის დომენი და მნიშვნელობების დიაპაზონი. რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის გრაფიკი.
რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის ლიმიტი და უწყვეტობა.
რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის ლიმიტი
იმისათვის, რომ მივცეთ რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის ლიმიტის კონცეფცია, შემოვიფარგლებით ორი ცვლადის შემთხვევაში. Xდა ზე. განმარტებით, ფუნქცია f(x,y)აქვს ზღვარი წერტილში ( X 0 , ზე 0), რიცხვის ტოლი ა, აღინიშნება შემდეგნაირად:
(1)
(ისინიც წერენ f(x,y)→აზე (x, y)→ (X 0 , ზე 0)), თუ იგი განსაზღვრულია წერტილის რომელიმე მახლობლად ( X 0 , ზე 0), გარდა ალბათ ამ მომენტისა და თუ არსებობს ლიმიტი
(2)
როგორიც არ უნდა იყოს მიდრეკილება ( X 0 , ზე 0) პუნქტების თანმიმდევრობა ( x k, y k).
ისევე, როგორც ერთი ცვლადის ფუნქციის შემთხვევაში, შეიძლება დაინერგოს ორი ცვლადის ფუნქციის ლიმიტის სხვა ეკვივალენტური განმარტება: ფუნქცია. ვაქვს მომენტში ( X 0 , ზე 0) ლიმიტი ტოლია ა, თუ იგი განსაზღვრულია წერტილის რომელიმე მახლობლად ( X 0 , ზე 0) გარდა, შესაძლოა, თავად ამ წერტილისა და ნებისმიერი ε > 0-ისთვის არის δ > 0 ისეთი, რომ
| f(x,y) – ა| < ε (3)
ყველასთვის (x, y), უთანასწორობების დაკმაყოფილება
0 < 
< δ. (4)
ეს განსაზღვრება, თავის მხრივ, უდრის შემდეგს: ნებისმიერი ε > 0-ისთვის არის წერტილის δ-მეზობლობა ( X 0 , ზე 0) ისეთი, რომ ყველასთვის ( x, y) ამ უბნიდან, განსხვავებული ( X 0 , ზე 0), უტოლობა (3) დაკმაყოფილებულია.
ვინაიდან თვითნებური წერტილის კოორდინატები ( x, y) წერტილის მეზობლობა ( X 0 , ზე 0) შეიძლება დაიწეროს როგორც x = x 0 + Δ X, y = y 0 + Δ ზე, მაშინ ტოლობა (1) უდრის შემდეგ ტოლობას:
განვიხილოთ რამდენიმე ფუნქცია, რომელიც განსაზღვრულია წერტილის სამეზობლოში ( X 0 , ზე 0), გარდა, შესაძლოა, თავად ამ წერტილისა.
მოდით ω = (ω X, ω ზე) – ერთი სიგრძის თვითნებური ვექტორი (|ω| 2 = ω X 2 + ω ზე 2 = 1) და ტ> 0 – სკალარული. პუნქტების ნახვა
(X 0 + ტω X, წ 0 + ტω ზე) (0 < ტ)
წარმოქმნის სხივს, რომელიც გამოდის ( X 0 , ზე 0) ვექტორის ω მიმართულებით. თითოეული ω-სთვის შეგვიძლია განვიხილოთ ფუნქცია
ვ(X 0 + ტω X, წ 0 + ტω ზე) (0 < ტ< δ)
სკალარული ცვლადიდან ტ, სადაც δ არის საკმაოდ მცირე რიცხვი.
ამ ფუნქციის ლიმიტი (ერთი ცვლადი) ტ)
ვ(X 0 + ტω X, წ 0 + ტω ზე),
თუ ის არსებობს, ბუნებრივია, რომ მას ლიმიტი ვუწოდოთ ვწერტილში ( X 0 , ზე 0) ω მიმართულებით.
მაგალითი 1.ფუნქციები
განსაზღვრულია თვითმფრინავში ( x, y) წერტილის გარდა X 0 = 0, ზე 0 = 0. გვაქვს (გავითვალისწინოთ, რომ 
და 
):
(ε > 0-სთვის ჩვენ ვაყენებთ δ = ε/2 და შემდეგ | f(x,y)| < ε, если < δ).
საიდანაც ნათელია, რომ ზღვარი φ წერტილში (0, 0) სხვადასხვა მიმართულებით ზოგადად განსხვავებულია (სხივის ერთეული ვექტორი y = kx, X> 0, აქვს ფორმა
).
ნომერი აფუნქციის ლიმიტი ეწოდება f(M)ზე მ → მ 0 თუ რომელიმე რიცხვისთვის ε > 0 ყოველთვის არის რიცხვი δ > 0 ისეთი, რომ ნებისმიერი წერტილისთვის მ, განსხვავებულია მ 0 და აკმაყოფილებს პირობას | მმ 0 | < δ, будет иметь место неравенство |f(M) – ა | < ε.
ლიმიტი აღნიშნავს 
ორი ცვლადის ფუნქციის შემთხვევაში 
ლიმიტის თეორემები.თუ ფუნქციები ვ 1 (M)და ვ 2 (M)ზე მ → მ 0 თითოეული მიდრეკილია სასრულ ზღვრამდე, შემდეგ:
V) 
რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის უწყვეტობა
განმარტებით, ფუნქცია f(x,y)უწყვეტია წერტილში ( X 0 , ზე 0), თუ იგი განსაზღვრულია მის ზოგიერთ სამეზობლოში, მათ შორის თავად წერტილში ( X 0 , ზე 0) და თუ ლიმიტი f(x,y)ამ ეტაპზე უდრის მის მნიშვნელობას:
(1)
უწყვეტობის პირობა ვწერტილში ( X 0 , ზე 0) შეიძლება დაიწეროს ექვივალენტური ფორმით:
(1")
იმათ. ფუნქცია ვუწყვეტია წერტილში ( X 0 , ზე 0), თუ ფუნქცია უწყვეტია f(x 0 + Δ X, ზე 0 + Δ y)Δ ცვლადებზე X, Δ ზეΔ X = Δ y = 0.
შეგიძლიათ შეიყვანოთ ნამატი Δ დაფუნქციები და = f(x,y)წერტილში (x, y), რაც შეესაბამება Δ ნამატებს X, Δ ზეარგუმენტები
Δ და = f(x + Δ X, ზე + Δ y) – f(x,y)
და ამ ენაზე განსაზღვრეთ უწყვეტობა ვვ (x, y): ფუნქცია ვუწყვეტი წერტილში (x, y), თუ
(1"")
თეორემა.ჯამი, სხვაობა, ნამრავლი და უწყვეტის კოეფიციენტი წერტილში ( X 0 ,ზე 0) ფუნქციები ვდა φ არის უწყვეტი ფუნქცია ამ მომენტში, გარდა იმ შემთხვევისა, როდესაც, რა თქმა უნდა, φ კოეფიციენტის შემთხვევაში ( X 0 , ზე 0) ≠ 0.
მუდმივი თანშეიძლება ჩაითვალოს ფუნქციად f(x,y) = თანცვლადებიდან x, y. ის უწყვეტია ამ ცვლადებში, რადგან
|f(x,y) – ვ (X 0 , ზე 0) | = |ს – ს| = 0 0.
შემდეგი ყველაზე რთული ფუნქციებია f(x,y) = Xდა f(x,y) = ზე. ისინი ასევე შეიძლება ჩაითვალოს ფუნქციებად (x, y), და ამავე დროს ისინი უწყვეტია. მაგალითად, ფუნქცია f(x,y) = Xშეესაბამება თითოეულ პუნქტს (x, y)რიცხვის ტოლი X. ამ ფუნქციის უწყვეტობა თვითნებურ წერტილში (x, y)შეიძლება დაამტკიცოს ასე:
| f(x + Δ X, ზე + Δ y) – f(x,y) | = |f(x + Δ x) – x| = | Δ X | ≤ 0.
თუ აწარმოებთ ზედმეტ ფუნქციებს x, yდა შეკრების, გამოკლების და გამრავლების მუდმივი მოქმედებები სასრულ რიცხვში, მაშინ მივიღებთ ფუნქციებს, რომლებსაც მრავალწევრები ჰქვია x, y. ზემოთ ჩამოყალიბებულ თვისებებზე დაყრდნობით, მრავალწევრები ცვლადებში x, y– ამ ცვლადების უწყვეტი ფუნქციები ყველა წერტილისთვის (x, y) რ 2 .
დამოკიდებულება P/Qორი მრავალწევრისაგან (x, y)არის რაციონალური ფუნქცია (x,y), აშკარად უწყვეტი ყველგან რ 2, ქულების გამოკლებით (x, y), სად Q(x, y) = 0.
P(x,y) = X 3 – ზე 2 + X 2 ზე – 4
შეიძლება იყოს პოლინომის მაგალითი (x, y)მესამე ხარისხი და ფუნქცია
P(x,y) = X 4 – 2X 2 ზე 2 +ზე 4
არსებობს პოლინომის მაგალითი (x, y)მეოთხე ხარისხი.
მოვიყვანოთ თეორემის მაგალითი, რომელიც აცხადებს უწყვეტი ფუნქციების ფუნქციის უწყვეტობას.
თეორემა.დაუშვით ფუნქცია f(x, y, z)უწყვეტი წერტილში (x 0 , y 0 , ზ 0 ) სივრცე რ 3 (ქულა (x, y, z)) და ფუნქციები
x = φ (u, v), y= ψ (u, v), z= χ (u, v)
უწყვეტი წერტილში (უ 0 , ვ 0 ) სივრცე რ 2 (ქულა (u, v)). დაე, გარდა ამისა,
x 0 = φ (უ 0 , ვ 0 ), y 0 = ψ (უ 0 , ვ 0 ), ზ 0 = χ (უ 0 , ვ 0 ) .
შემდეგ ფუნქცია F(u, v) = f[ φ (u, v),ψ (u, v),χ (u, v)] არის უწყვეტი (მით
(u, v)) წერტილში (უ 0 , ვ 0 ) .
მტკიცებულება. ვინაიდან ლიმიტის ნიშანი შეიძლება მოთავსდეს უწყვეტი ფუნქციის მახასიათებლის ნიშნის ქვეშ, მაშინ
თეორემა.ფუნქცია f(x,y)უწყვეტი წერტილში ( X 0 , ზე 0) და ამ დროს ნულის ტოლი არ არის, ინარჩუნებს რიცხვის ნიშანს ვ(X 0 , ზე 0) წერტილის ზოგიერთ უბანში ( X 0 , ზე 0).
განმარტებით, ფუნქცია f(x) = f(x 1 , ..., x p)უწყვეტი წერტილში X 0 =(X 0 1 , ..., X 0 პ), თუ იგი განსაზღვრულია მის ზოგიერთ სამეზობლოში, მათ შორის თავად წერტილში X 0 და თუ მისი ზღვარი არის წერტილში X 0 უდრის მასში მის მნიშვნელობას:
(2)
უწყვეტობის პირობა ვწერტილში X 0 შეიძლება დაიწეროს ექვივალენტური ფორმით:
(2")
იმათ. ფუნქცია f(x)უწყვეტი წერტილში X 0 თუ ფუნქცია უწყვეტია f(x 0 +თ)საწყისი თწერტილში თ = 0.
შეგიძლიათ შეიყვანოთ ნამატი ვწერტილში X 0, რომელიც შეესაბამება ზრდას თ = (თ 1 , ..., სთ პ),
Δ h f (x 0 ) = f (x 0 + თ) – f(x 0 )
და მის ენაზე განსაზღვრავს უწყვეტობას ვვ X 0: ფუნქცია ვუწყვეტი შიგნით X 0 თუ
თეორემა.უწყვეტის ჯამი, სხვაობა, ნამრავლი და კოეფიციენტი წერტილში X 0 ფუნქცია f(x)და φ (x)არის უწყვეტი ფუნქცია ამ ეტაპზე, თუ, რა თქმა უნდა, კონკრეტული φ-ს შემთხვევაში (X 0 ) ≠ 0.
კომენტარი. ნამატი Δ h f (x 0 ) ასევე უწოდებენ ფუნქციის სრულ ზრდას ვწერტილში X 0 .
Კოსმოსში Rnქულები X = (x 1 , ..., x p)მოდით დავაყენოთ პუნქტების ნაკრები გ.
ა-პრიორიტეტი X 0 = (X 0 1 , ..., X 0 პ)არის ნაკრების შიდა წერტილი გთუ მასში არის ღია ბურთი ცენტრით, რომელიც მთლიანად ეკუთვნის გ.
Რამოდენიმე გ Rnღია ეწოდება, თუ მისი ყველა წერტილი შიდაა.
ამბობენ, რომ ფუნქციები
X 1 = φ 1 (ტ), ..., x n =φ p(t) (a ≤ t ≤ ბ)
უწყვეტი სეგმენტზე [ ა, ბ], განსაზღვრეთ უწყვეტი მრუდი შიგნით Rn, წერტილების დამაკავშირებელი X 1 = (X 1 1 , ..., X 1 პ)და X 2 = (X 2 1 , ..., X 2 პ), სად X 1 1 = φ 1 (A), ..., X 1 n =φ p(a), X 2 1 = φ 1 (ბ), ..., X 2 n =φ p(b). წერილი ტმოუწოდა მრუდის პარამეტრს.
განვიხილოთ თვითმფრინავი და სისტემა ოქსი მასზე დეკარტის მართკუთხა კოორდინატები (სხვა კოორდინატთა სისტემები შეიძლება განვიხილოთ).
ანალიტიკური გეომეტრიიდან ვიცით, რომ რიცხვების თითოეული მოწესრიგებული წყვილისთვის (x, y) შეგიძლიათ შეადაროთ ერთი წერტილი მ თვითმფრინავი და პირიქით, თითოეულ წერტილში მ თვითმფრინავი შეესაბამება რიცხვების ერთ წყვილს.
ამიტომ, მომავალში, როდესაც ვსაუბრობთ წერტილზე, ხშირად ვიგულისხმებთ რიცხვების შესაბამის წყვილს (x, y) და პირიქით.
განმარტება 1.2 რიცხვთა წყვილთა ნაკრები (x, y) უტოლობების დაკმაყოფილებას მართკუთხედი (ღია) ეწოდება.
სიბრტყეზე იგი გამოსახული იქნება მართკუთხედის სახით (ნახ. 1.2), რომლის გვერდები კოორდინატთა ღერძების პარალელურია და ცენტრშია განთავსებული. მ 0 (x 0 წ 0 ) .
მართკუთხედი ჩვეულებრივ აღინიშნება შემდეგი სიმბოლოთი:
მოდით შემოგთავაზოთ მნიშვნელოვანი კონცეფცია შემდგომი განხილვისთვის: წერტილის მეზობლობა.
განმარტება 1.3 მართკუთხა δ - ირგვლივ ( დელტას უბანი ) ქულები მ 0 (x 0 წ 0 ) მართკუთხედს უწოდებენ
წერტილზე ორიენტირებული მ 0 და თანაბარი სიგრძის გვერდებით 2δ .
განმარტება 1.4 წრიული δ - წერტილის მეზობლობა მ 0 (x 0 წ 0 ) რადიუსის წრეს უწოდებენ δ წერტილზე ორიენტირებული მ 0 , ანუ პუნქტების ნაკრები M(xy) , რომლის კოორდინატები აკმაყოფილებს უტოლობას:
სამეზობლოების და სხვა სახის ცნებების დანერგვა შესაძლებელია, მაგრამ ტექნიკური ამოცანების მათემატიკური ანალიზის მიზნებისათვის ძირითადად გამოიყენება მხოლოდ მართკუთხა და წრიული უბნები.
შემოვიღოთ ორი ცვლადის ფუნქციის ლიმიტის შემდეგი კონცეფცია.
დაუშვით ფუნქცია z = f (x, y) განსაზღვრულია გარკვეულ ტერიტორიაზე ζ და მ 0 (x 0 წ 0 ) - წერტილი, რომელიც მდებარეობს ამ ტერიტორიის შიგნით ან საზღვარზე.
განმარტება 1.5 სასრული რიცხვი ა დაურეკა f ფუნქციის ზღვარი (x, y) ზე
თუ რაიმე დადებითი რიცხვისთვის ε შეგიძლიათ იპოვოთ ასეთი დადებითი რიცხვი? δ რომ უთანასწორობა
შესრულებულია ყველა პუნქტისთვის M(x,y) რეგიონიდან ζ , განსხვავებულია მ 0 (x 0 წ 0 ) , რომლის კოორდინატები აკმაყოფილებს უტოლობას:
ამ განმარტების მნიშვნელობა არის ფუნქციის მნიშვნელობები f (x, y) განსხვავდებიან რაც შეიძლება ნაკლებად A რიცხვისაგან წერტილების საკმარისად მცირე სამეზობლოში მ 0 .
აქ განმარტება ეფუძნება მართკუთხა უბნებს მ 0 . შეიძლება განვიხილოთ წერტილის წრიული უბნები მ 0 და მაშინ საჭირო იქნებოდა უთანასწორობის მოთხოვნა
ყველა წერტილში M(x,y) რეგიონი ζ , განსხვავებულია მ 0 და აკმაყოფილებს პირობას:
მანძილი წერტილებს შორის მ და მ 0 .
გამოიყენება შემდეგი ზღვრული აღნიშვნები:
ორი ცვლადის ფუნქციის ლიმიტის განსაზღვრის გათვალისწინებით, შეგვიძლია გავავრცელოთ ძირითადი თეორემები ერთი ცვლადის ფუნქციების ლიმიტების შესახებ ორი ცვლადის ფუნქციებზე.
მაგალითად, თეორემები ორი ფუნქციის ჯამის, ნამრავლისა და კოეფიციენტის ზღვარზე.
§3 ორი ცვლადის ფუნქციის უწყვეტობა
დაუშვით ფუნქცია z = f (x,y) განსაზღვრულია წერტილში მ 0 (x 0 წ 0 ) და მის შემოგარენში.
განმარტება 1.6 ფუნქცია ითვლება უწყვეტად წერტილში მ 0 (x 0 წ 0 ) , თუ
თუ ფუნქცია f(x,y) უწყვეტი წერტილში მ 0 (x 0 წ 0 ) , ეს
Იმიტომ რომ
ანუ თუ ფუნქცია f(x,y) უწყვეტი წერტილში მ 0 (x 0 წ 0 ) , მაშინ ამ რეგიონში არგუმენტების უსასრულო მცირე ნამატები შეესაბამება უსასრულოდ მცირე ნამატებს Δz ფუნქციები ზ .
პირიქითაც მართალია: თუ არგუმენტების უსასრულოდ მცირე ნამატები შეესაბამება ფუნქციის უსასრულოდ მცირე ზრდას, მაშინ ფუნქცია უწყვეტია.
ფუნქციას, რომელიც უწყვეტია დომენის ყველა წერტილში, დომენში უწყვეტი ეწოდება. ორი ცვლადის უწყვეტი ფუნქციისთვის, ისევე როგორც ინტერვალზე ერთი უწყვეტი ცვლადის ფუნქციისთვის, მოქმედებს ვაიერშტრასის და ბოლცანო-კოშის ფუნდამენტური თეორემები.
მითითება: კარლ თეოდორ ვილჰელმ ვაიერშტრასი (1815 - 1897) - გერმანელი მათემატიკოსი. ბერნარ ბოლცანო (1781 - 1848) - ჩეხი მათემატიკოსი და ფილოსოფოსი. ავგუსტინ ლუი კოში (1789 - 1857) - ფრანგი მათემატიკოსი, საფრანგეთის მეცნიერებათა აკადემიის პრეზიდენტი (1844 - 1857 წწ).
მაგალითი 1.4. შეისწავლეთ ფუნქციის უწყვეტობა
ეს ფუნქცია განსაზღვრულია ცვლადის ყველა მნიშვნელობისთვის x და წ , გარდა საწყისისა, სადაც მნიშვნელი მიდის ნულზე.
მრავალწევრი x 2 +y 2 ყველგან უწყვეტია და ამიტომ უწყვეტი ფუნქციის კვადრატული ფესვი უწყვეტია.
წილადი ყველგან იქნება უწყვეტი, გარდა იმ წერტილებისა, სადაც მნიშვნელი ნულია. ანუ განსახილველი ფუნქცია უწყვეტია მთელ კოორდინატულ სიბრტყეზე ოჰოო წარმოშობის გამოკლებით.
მაგალითი 1.5. შეისწავლეთ ფუნქციის უწყვეტობა z=tg(x,y) . ტანგენსი არის განსაზღვრული და უწყვეტი არგუმენტის ყველა სასრული მნიშვნელობისთვის, გარდა სიდიდის კენტი რაოდენობის სიდიდისა. π/2 , ე.ი. პუნქტების გამოკლებით, სადაც
ყოველი გამოსწორებისთვის "კ" განტოლება (1.11) განსაზღვრავს ჰიპერბოლას. აქედან გამომდინარე, განსახილველი ფუნქცია არის უწყვეტი ფუნქცია x და y მრუდეებზე მდებარე წერტილების გამოკლებით (1.11).
ორი ცვლადის ფუნქციის ლიმიტი.
ცნება და გადაწყვეტილებების მაგალითები
მოგესალმებით მესამე გაკვეთილზე თემაზე FNP, სადაც ყველა თქვენი შიში საბოლოოდ ახდა დაიწყო =) როგორც ბევრს ეჭვობს, ლიმიტის კონცეფცია ასევე ვრცელდება არგუმენტების თვითნებური რაოდენობის ფუნქციაზე, რაც დღეს უნდა გავარკვიოთ. თუმცა, არის რამდენიმე ოპტიმისტური სიახლე. ის მდგომარეობს იმაში, რომ ლიმიტი გარკვეულწილად აბსტრაქტულია და შესაბამისი ამოცანები პრაქტიკაში ძალზე იშვიათია. ამ მხრივ, ჩვენი ყურადღება ორი ცვლადის ფუნქციის საზღვრებზე იქნება ორიენტირებული ან, როგორც უფრო ხშირად ვწერთ: .
ბევრი იდეა, პრინციპი და მეთოდი მსგავსია „ჩვეულებრივი“ ლიმიტების თეორიისა და პრაქტიკის, რაც ნიშნავს, რომ ამ მომენტშიშენ უნდა შეძლოს საზღვრების პოვნადა რაც მთავარია გაიგე რა არის ეს ერთი ცვლადის ფუნქციის ლიმიტი. და, რადგან ბედმა მიგიყვანა ამ გვერდზე, მაშინ, სავარაუდოდ, უკვე ბევრი რამ გესმის და იცი. და თუ არა, კარგია, ყველა ხარვეზი ნამდვილად შეიძლება შეივსოს რამდენიმე საათში და წუთშიც კი.
ამ გაკვეთილის მოვლენები ხდება ჩვენს სამგანზომილებიან სამყაროში და, შესაბამისად, უბრალოდ დიდი გამოტოვება იქნებოდა მათში აქტიური მონაწილეობის არ მიღება. პირველი, მოდით ავაშენოთ კარგად ცნობილი დეკარტის კოორდინატთა სისტემა სივრცეში. ავდგეთ და ცოტათი შემოვიაროთ ოთახში... ...სართული, რომელზეც დადიხართ, თვითმფრინავია. ღერძი სადმე დავაყენოთ... კარგი, მაგალითად, ნებისმიერ კუთხეში, რომ ხელი არ შეუშალოს. დიდი. ახლა გთხოვ ახედე და წარმოიდგინე, რომ საბანი იქ ჩამოკიდებულია, გაშლილი. ეს ზედაპირი, მოცემული ფუნქციით. ჩვენი მოძრაობა იატაკზე, როგორც ადვილად გასაგებია, დამოუკიდებელ ცვლადების ცვლილებას ბაძავს და შეგვიძლია ექსკლუზიურად გადაადგილება საბნის ქვეშ, ე.ი. ვ ორი ცვლადის ფუნქციის განსაზღვრის დომენი. მაგრამ გართობა მხოლოდ დასაწყისია. პატარა ტარაკანი ცოცავს საბანზე ზუსტად ცხვირის წვერზე და სადაც არ უნდა წახვიდე, ასეც ხდება. მოდით დავარქვათ მას ფრედი. მისი მოძრაობა ახდენს შესაბამისი ფუნქციის მნიშვნელობების ცვლილებას (გარდა იმ შემთხვევებისა, როდესაც ზედაპირი ან მისი ფრაგმენტები სიბრტყის პარალელურია და სიმაღლე არ იცვლება). ძვირფასო მკითხველო, სახელად ფრედი, ნუ გეწყინება, ეს აუცილებელია მეცნიერებისთვის.
ავიღოთ შუბლი ხელში და გავხვრიტოთ საბანი თვითნებურ წერტილზე, რომლის სიმაღლეზეც აღვნიშნავთ , რის შემდეგაც ხელსაწყოს ჩავსვამთ იატაკზე მკაცრად ხვრელის ქვეშ - ეს იქნება წერტილი. ახლა დავიწყოთ უსასრულოდ ახლოსმიახლოება მოცემულ პუნქტს 
და ჩვენ გვაქვს უფლება მივუდგეთ ნებისმიერი ტრაექტორიის გასწვრივ (რომლის თითოეული წერტილი, რა თქმა უნდა, შედის განმარტების დომენში). თუ ყველა შემთხვევაში ფრედი იქნება უსასრულოდ ახლოსდაცურეთ პუნქციამდე სიმაღლეზე და ზუსტად ამ სიმაღლეზე, მაშინ ფუნქციას აქვს ლიმიტი წერტილში 
:
თუ მითითებულ პირობებში, გახვრეტილი წერტილი მდებარეობს საბნის კიდეზე, მაშინ ლიმიტი კვლავ იარსებებს - მნიშვნელოვანია, რომ თვითნებურად პატარა სამეზობლობუზის წვერები სულ მცირე რამდენიმე პუნქტი იყო ფუნქციის განსაზღვრის სფეროდან. უფრო მეტიც, როგორც ეს ხდება ერთი ცვლადის ფუნქციის ლიმიტი, არ აქვს მნიშვნელობა, არის თუ არა ფუნქცია განსაზღვრული წერტილში თუ არა. ანუ ჩვენი პუნქცია შეიძლება საღეჭი რეზინით დაიხუროს (იფიქრე ორი ცვლადის ფუნქცია უწყვეტია) და ეს გავლენას არ მოახდენს სიტუაციაზე - ჩვენ გვახსოვს, რომ ლიმიტის არსი გულისხმობს უსასრულოდ ახლო დაახლოება, და არა „ზუსტი მიდგომა“ პუნქტისადმი.
თუმცა, უღრუბლო ცხოვრებას ჩრდილავს ის ფაქტი, რომ უმცროსი ძმისგან განსხვავებით, ლიმიტი ბევრად უფრო ხშირად არ არსებობს. ეს იმის გამო ხდება, რომ თვითმფრინავში, როგორც წესი, ბევრი ბილიკია კონკრეტული წერტილისკენ და თითოეულმა მათგანმა ფრედი მკაცრად უნდა მიიყვანოს პუნქციამდე. (სურვილისამებრ "დალუქული საღეჭი რეზინით")და მკაცრად სიმაღლეზე. და საკმარისზე მეტია უცნაური ზედაპირები თანაბრად უცნაური შეწყვეტებით, რაც იწვევს გარკვეულ მომენტებში ამ მკაცრი მდგომარეობის დარღვევას.
მოვაწყოთ ორგანიზება უმარტივესი მაგალითი– აიღეთ დანა ხელში და გაჭერით საბანი ისე, რომ გახვრეტილი წერტილი ჭრილობის ხაზზე იყოს. გაითვალისწინეთ, რომ ლიმიტი 
ჯერ კიდევ არსებობს, ერთადერთი ის არის, რომ ჩვენ დავკარგეთ უფლება გადავიდეთ წერტილებში მოჭრილი ხაზის ქვეშ, რადგან ეს ტერიტორია "გამოვარდა" ფუნქციის დომენი. ახლა ფრთხილად ავწიოთ საბნის მარცხენა ნაწილი ღერძის გასწვრივ და, პირიქით, გადავიტანოთ მარჯვენა ნაწილი ქვემოთ ან თუნდაც დავტოვოთ იგი ადგილზე. რა შეიცვალა? და ფუნდამენტურად შეიცვალა შემდეგი: თუ ახლა მივუახლოვდებით წერტილს მარცხნივ, მაშინ ფრედი უფრო მაღალ სიმაღლეზე იქნება, ვიდრე მარჯვნივ მოცემულ წერტილს რომ მივუახლოვდეთ. ასე რომ, არანაირი შეზღუდვა არ არსებობს.
Და რათქმაუნდა საოცარი საზღვრებისად ვიქნებოდით მათ გარეშე? მოდით შევხედოთ მაგალითს, რომელიც ყველა გაგებით არის სასწავლო:
მაგალითი 11
ჩვენ ვიყენებთ მტკივნეულად ნაცნობ ტრიგონომეტრიულ ფორმულას, სადაც ვაწყობთ სტანდარტული ხელოვნური ტექნიკის გამოყენებით პირველი მნიშვნელოვანი საზღვრები :
მოდით გადავიდეთ პოლარულ კოორდინატებზე:
თუ, მაშინ
როგორც ჩანს, გამოსავალი მიდის ბუნებრივ შედეგამდე და არაფერი უწინასწარმეტყველებს უბედურებას, მაგრამ ბოლოს და ბოლოს, არსებობს სერიოზული ხარვეზის დაშვების დიდი რისკი, რომლის ბუნებაც მე უკვე მივუთითე ცოტა მაგალითში 3 და დეტალურად აღვწერე. მაგალითი 6-ის შემდეგ. ჯერ დასასრული, შემდეგ კომენტარი:
მოდით გავარკვიოთ, რატომ იქნება ცუდი, რომ დავწეროთ უბრალოდ "უსასრულობა" ან "პლუს უსასრულობა". მოდით შევხედოთ მნიშვნელს: რადგან , პოლარული რადიუსი მიდრეკილია უსასრულოდ მცირედადებითი მნიშვნელობა:. გარდა ამისა,. ამრიგად, მნიშვნელის ნიშანი და მთელი ზღვარი დამოკიდებულია მხოლოდ კოსინუსზე:
თუ პოლარული კუთხე (მე-2 და მე-3 კოორდინატთა მეოთხედი: );
თუ პოლარული კუთხე (1 და მე-4 კოორდინატთა მეოთხედი: ).
გეომეტრიულად, ეს ნიშნავს, რომ თუ საწყისს მარცხნიდან მიუახლოვდებით, მაშინ ფუნქციით განსაზღვრულ ზედაპირს 
, ვრცელდება უსასრულობამდე: 
