გადავიდეთ ზოგადი შემთხვევის - განუსაზღვრელი ინტეგრალში ცვლადების შეცვლის მეთოდის განხილვაზე.

მაგალითი 5

მაგალითად ავიღე ის ინტეგრალი, რომელსაც გაკვეთილის დასაწყისშივე შევხედეთ. როგორც უკვე ვთქვით, ინტეგრალის ამოსახსნელად მოგვეწონა ცხრილის ფორმულა და გვინდა მთლიანი საკითხი მასზე დავიყვანოთ.

ჩანაცვლების მეთოდის იდეა არის რთული გამოხატულება(ან რაიმე ფუნქცია) შეცვალოს ერთი ასო.
ამ შემთხვევაში ითხოვს:
მეორე ყველაზე პოპულარული შემცვლელი წერილი არის წერილი.
პრინციპში, შეგიძლიათ გამოიყენოთ სხვა ასოები, მაგრამ ჩვენ მაინც ვიცავთ ტრადიციებს.

Ისე:
მაგრამ როცა მას შევცვლით, ჩვენ ვრჩებით! ალბათ, ბევრმა გამოიცნო, რომ თუ ახალ ცვლადზე გადასვლა ხდება, მაშინ ახალ ინტეგრალში ყველაფერი ასოს საშუალებით უნდა იყოს გამოხატული და დიფერენციაციის ადგილი საერთოდ არ არის.
ლოგიკური დასკვნა არის ის, რომ ეს აუცილებელია გადაიქცევა რაღაც გამოხატულებად, რომელიც დამოკიდებულია მხოლოდ.

მოქმედება შემდეგია. მას შემდეგ რაც შევარჩიეთ შემცვლელი, ამ მაგალითშიჩვენ უნდა ვიპოვოთ დიფერენციალი. განსხვავებებით, ვფიქრობ, ყველამ უკვე დაამყარა მეგობრობა.

Მას შემდეგ

დიფერენციალის დაშლის შემდეგ, გირჩევთ, გადაწეროთ საბოლოო შედეგი რაც შეიძლება მოკლედ:
ახლა, პროპორციის წესების მიხედვით, ჩვენ გამოვხატავთ იმას, რაც გვჭირდება:

საბოლოოდ:
ამრიგად:

და ეს უკვე ყველაზე ცხრილის ინტეგრალია ( ინტეგრალების ცხრილი, ბუნებრივია, ასევე მართალია ცვლადისთვის).

დაბოლოს, რჩება მხოლოდ საპირისპირო ჩანაცვლების განხორციელება. გავიხსენოთ ეს.

მზადაა.

განხილული მაგალითის საბოლოო დიზაინი ასე უნდა გამოიყურებოდეს:

“

შევცვალოთ:

“

ხატს არავითარი მათემატიკური მნიშვნელობა არ აქვს, ეს ნიშნავს, რომ შუალედური ახსნა-განმარტებების ამოხსნა შევწყვიტეთ.

რვეულში მაგალითის მომზადებისას უმჯობესია უბრალო ფანქრით მონიშნოთ საპირისპირო ჩანაცვლება.

ყურადღება!შემდეგ მაგალითებში, დიფერენციალის პოვნა დეტალურად არ იქნება აღწერილი.

და ახლა დროა გავიხსენოთ პირველი გამოსავალი:

ჩნდება კითხვა. თუ პირველი მეთოდი უფრო მოკლეა, მაშინ რატომ გამოვიყენოთ ჩანაცვლების მეთოდი? ფაქტია, რომ მთელი რიგი ინტეგრალებისთვის არც ისე ადვილია ფუნქციის „მორგება“ დიფერენციალის ნიშანთან.

მაგალითი 6

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

მოდით შევცვალოთ: (აქ სხვა შემცვლელის მოფიქრება რთულია)

როგორც ხედავთ, ჩანაცვლების შედეგად, ორიგინალური ინტეგრალი მნიშვნელოვნად გამარტივდა - შემცირდა ჩვეულებრივ დენის ფუნქციამდე. ეს არის ჩანაცვლების მიზანი - ინტეგრალის გამარტივება.

ზარმაცი მოწინავე ადამიანებს შეუძლიათ მარტივად ამოხსნან ეს ინტეგრალი დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ ფუნქციის შეყვანით:

სხვა საქმეა, რომ ასეთი გამოსავალი აშკარად არ არის ყველა სტუდენტისთვის. გარდა ამისა, უკვე ამ მაგალითში გამოიყენება დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ ფუნქციის შეყვანის მეთოდი მნიშვნელოვნად ზრდის გადაწყვეტილებაში დაბნეულობის რისკს.

მაგალითი 7

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი. შეასრულეთ შემოწმება.

მაგალითი 8

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

ჩანაცვლება:
რაში გადაიქცევა, ჯერ გასარკვევია

კარგი, გამოვხატეთ, მაგრამ რა ვუყოთ მრიცხველში დარჩენილი „X“?!
დროდადრო ინტეგრალების ამოხსნისას ვხვდებით შემდეგ ხრიკს: გამოვხატავთ იგივე ჩანაცვლებიდან!

მაგალითი 9

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

ეს არის მაგალითი ამისთვის დამოუკიდებელი გადაწყვეტილება. პასუხი მოცემულია გაკვეთილის ბოლოს.

მაგალითი 10

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

რა თქმა უნდა, ზოგიერთმა შენიშნა, რომ ჩემს საძიებო ცხრილში არ არსებობს ცვლადის ჩანაცვლების წესი. ეს გაკეთდა შეგნებულად. ეს წესი შექმნის გაუგებრობას ახსნაში და გაგებაში, რადგან ის ცალსახად არ ჩანს ზემოხსენებულ მაგალითებში.

ახლა დროა ვისაუბროთ ცვლადის ჩანაცვლების მეთოდის გამოყენების ძირითად წინაპირობაზე: ინტეგრანტი უნდა შეიცავდეს გარკვეულ ფუნქციას და მისი წარმოებული : (ფუნქციები შეიძლება არ იყოს პროდუქტში)

ამასთან დაკავშირებით ინტეგრალების პოვნისას ხშირად გიწევს წარმოებულების ცხრილის ნახვა.

განხილულ მაგალითში ვამჩნევთ, რომ მრიცხველის ხარისხი ერთით ნაკლებია მნიშვნელის ხარისხზე. წარმოებულების ცხრილში ვპოულობთ ფორმულას, რომელიც უბრალოდ ამცირებს ხარისხს ერთით. და ეს ნიშნავს, რომ თუ თქვენ დანიშნავთ მას მნიშვნელად, მაშინ დიდია შანსი იმისა, რომ მრიცხველი გადაიქცევა რაიმე კარგად.

ჩანაცვლება:

სხვათა შორის, არც ისე რთულია ფუნქციის შეყვანა დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ:

უნდა აღინიშნოს, რომ წილადებისთვის, როგორიცაა , ეს ხრიკი აღარ იმუშავებს (უფრო ზუსტად, საჭირო იქნება არა მხოლოდ ჩანაცვლების ტექნიკის გამოყენება). შეგიძლიათ ისწავლოთ რამდენიმე წილადის ინტეგრირება კლასში. ზოგიერთი წილადის ინტეგრირება.

აქ მოცემულია კიდევ რამდენიმე ტიპიური მაგალითი იმავე ოპერიდან დამოუკიდებელი გადაწყვეტილებებისთვის:

მაგალითი 11

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

მაგალითი 12

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

გადაწყვეტილებები გაკვეთილის ბოლოს.

მაგალითი 13

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

ჩვენ ვუყურებთ წარმოებულების ცხრილს და ვპოულობთ ჩვენს რკალის კოსინუსს: . ჩვენს ინტეგრანდში გვაქვს რკალის კოსინუსი და მისი წარმოებულის მსგავსი.

Ზოგადი წესი:
უკან ჩვენ აღვნიშნავთ თავად ფუნქციას(და არა მისი წარმოებული).

Ამ შემთხვევაში: . რჩება იმის გარკვევა, თუ რაში გადაიქცევა ინტეგრანტის დარჩენილი ნაწილი.

ამ მაგალითში მე დეტალურად აღვწერ მიგნებას, რადგან ეს რთული ფუნქციაა.

ან მოკლედ:
პროპორციის წესის გამოყენებით, ჩვენ გამოვხატავთ ნარჩენს, რომელიც გვჭირდება:

ამრიგად:

აქ უკვე ასე ადვილი აღარ არის ფუნქციის დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ მოყვანა.

მაგალითი 14

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

მაგალითი დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის. პასუხი ძალიან ახლოსაა.

ყურადღებიანი მკითხველი შეამჩნევს, რომ მე განვიხილე რამდენიმე მაგალითი ტრიგონომეტრიული ფუნქციებით. და ეს შემთხვევითი არ არის, რადგან ქვეშ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ინტეგრალებიგათვალისწინებულია ცალკე გაკვეთილი. უფრო მეტიც, ეს გაკვეთილი გვაწვდის რამდენიმე სასარგებლო სახელმძღვანელოს ცვლადის ჩანაცვლებისთვის, რაც განსაკუთრებით მნიშვნელოვანია დუმებისთვის, რომლებიც ყოველთვის არ ესმით და არ ესმით, რა სახის ჩანაცვლებაა საჭირო კონკრეტულ ინტეგრალში. თქვენ ასევე შეგიძლიათ იხილოთ რამდენიმე სახის ჩანაცვლება სტატიაში განსაზღვრული ინტეგრალი. გადაწყვეტილებების მაგალითები.

უფრო გამოცდილ სტუდენტებს შეუძლიათ გაეცნონ ტიპურ ჩანაცვლებას ირაციონალური ფუნქციების მქონე ინტეგრალებში. ჩანაცვლება ფესვების ინტეგრირებისას სპეციფიკურია და მისი განხორციელების ტექნიკა განსხვავდება ამ გაკვეთილზე განხილულისგან.

Წარმატებას გისურვებ!

მაგალითი 3:გამოსავალი :

მაგალითი 4:გამოსავალი :

მაგალითი 7:გამოსავალი :

მაგალითი 9:გამოსავალი :

ჩანაცვლება:

მაგალითი 11:გამოსავალი :

შევცვალოთ:

მაგალითი 12:გამოსავალი :

შევცვალოთ:

მაგალითი 14:გამოსავალი :

შევცვალოთ:

ინტეგრაცია ნაწილებით. გადაწყვეტილებების მაგალითები

Გამარჯობა კიდევ. დღეს გაკვეთილზე ვისწავლით თუ როგორ უნდა მოხდეს ინტეგრირება ნაწილების მიხედვით. ნაწილებით ინტეგრაციის მეთოდი ინტეგრალური გამოთვლების ერთ-ერთი საფუძველია. ტესტების ან გამოცდების დროს სტუდენტებს თითქმის ყოველთვის სთხოვენ ამოხსნან ინტეგრალების შემდეგი ტიპები: უმარტივესი ინტეგრალი. (იხილეთ სტატიაგანუსაზღვრელი ინტეგრალი. გადაწყვეტილებების მაგალითები ) ან ინტეგრალი ცვლადის ჩანაცვლებით (იხილეთ სტატიაცვლადის ცვლილების მეთოდი განუსაზღვრელი ინტეგრალში ) ან ინტეგრალი უბრალოდ ჩართულია ინტეგრაცია ნაწილების მეთოდით.

როგორც ყოველთვის, ხელთ უნდა გქონდეთ: ინტეგრალების ცხრილიდა წარმოებულების ცხრილი. თუ ჯერ კიდევ არ გაქვთ ისინი, მაშინ გთხოვთ ეწვიოთ ჩემი ვებსაიტის საცავს: მათემატიკური ფორმულები და ცხრილები. არ დავიღალე გამეორებით - ჯობია ყველაფერი ამობეჭდოთ. შევეცდები წარმოვადგინო ყველა მასალა თანმიმდევრულად, მარტივად და გარკვევით, არ არის განსაკუთრებული სირთულეები ნაწილების ინტეგრირებაში.

რა პრობლემას წყვეტს ნაწილების მიერ ინტეგრაციის მეთოდი? ნაწილების მეთოდით ინტეგრაცია წყვეტს ძალიან მნიშვნელოვან პრობლემას, ის საშუალებას გაძლევთ დააკავშიროთ რამდენიმე ფუნქცია, რომელიც არ არის ცხრილში, მუშაობაფუნქციები და ზოგიერთ შემთხვევაში - კოეფიციენტებიც კი. როგორც გვახსოვს, არ არსებობს მოსახერხებელი ფორმულა: . მაგრამ არის ეს: - ნაწილების მიერ პირადად ინტეგრაციის ფორმულა. ვიცი, ვიცი, შენ ერთადერთი ხარ - ჩვენ ვიმუშავებთ მასთან მთელი გაკვეთილის განმავლობაში (ახლა უფრო ადვილია).

4) , – შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციები („თაღები“), „თაღები“ გამრავლებული რამდენიმე მრავალწევრზე.

ზოგიერთი წილადი ასევე აღებულია ნაწილებად, ჩვენ ასევე დეტალურად განვიხილავთ შესაბამის მაგალითებს.

ლოგარითმების ინტეგრალები

მაგალითი 1

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

კლასიკური. დროდადრო ეს ინტეგრალი გვხვდება ცხრილებში, მაგრამ მზა პასუხის გამოყენება მიზანშეწონილი არ არის, რადგან მასწავლებელს გაზაფხულის ვიტამინის დეფიციტი აქვს და მძიმედ იფიცებს. იმის გამო, რომ განსახილველი ინტეგრალი არავითარ შემთხვევაში არ არის ცხრილი - ის აღებულია ნაწილებად. Ჩვენ ვწყვეტთ:

ჩვენ ვწყვეტთ ამოხსნას შუალედური ახსნა-განმარტებისთვის.

ჩვენ ვიყენებთ ინტეგრაციის ფორმულას ნაწილების მიხედვით:

ა ინტეგრალების ცხრილამდე შემცირების გზებიჩვენ ჩამოვთვალეთ თქვენთვის:

ცვლადი ჩანაცვლების მეთოდი;

ნაწილების მიერ ინტეგრაციის მეთოდი;

პირდაპირი ინტეგრაციის მეთოდი

რაციონალური წილადების ინტეგრალებისთვის ცხრილის მეშვეობით განუსაზღვრელი ინტეგრალების გამოსახვის მეთოდები;

ირაციონალური გამონათქვამების ინტეგრალების ცხრილის ინტეგრალების მეშვეობით განუსაზღვრელი ინტეგრალების წარმოდგენის მეთოდები;

განუსაზღვრელი ინტეგრალების გამოხატვის გზები ტაბულურით ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ინტეგრალებისთვის.

სიმძლავრის ფუნქციის განუსაზღვრელი ინტეგრალი

ექსპონენციალური ფუნქციის განუსაზღვრელი ინტეგრალი

მაგრამ ლოგარითმის განუსაზღვრელი ინტეგრალი არ არის ცხრილის ინტეგრალი, ფორმულა არის ცხრილი:

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განუსაზღვრელი ინტეგრალები: სინუსების, კოსინუსების და ტანგენტების ინტეგრალები

განუსაზღვრელი ინტეგრალები შებრუნებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციებით

შემცირება ცხრილის ფორმამდეან პირდაპირი ინტეგრაციის მეთოდი. ინტეგრანტის იდენტური გარდაქმნების გამოყენებით, ინტეგრალი მცირდება ინტეგრალამდე, რომელზეც გამოიყენება ინტეგრაციის ძირითადი წესები და შესაძლებელია ძირითადი ინტეგრალების ცხრილის გამოყენება.

მაგალითი

ვარჯიში.იპოვნეთ ინტეგრალი

გამოსავალი.მოდით გამოვიყენოთ ინტეგრალის თვისებები და შევიყვანოთ ეს ინტეგრალი ცხრილის ფორმამდე.

უპასუხე.

ტექნიკურად ცვლადი ჩანაცვლების მეთოდი განუსაზღვრელ ინტეგრალში ხორციელდება ორი გზით:

– ფუნქციის შეყვანა დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ. – რეალურად იცვლება ცვლადი.

ფუნქციის შეყვანა დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ

მაგალითი 2

შეასრულეთ შემოწმება.

გავაანალიზოთ ინტეგრანდული ფუნქცია. აქ გვაქვს წილადი, ხოლო მნიშვნელი არის წრფივი ფუნქცია („x“-ით პირველ ხარისხამდე). ჩვენ ვუყურებთ ინტეგრალების ცხრილს და ვპოულობთ ყველაზე მსგავსს: .

ფუნქციას ვატარებთ დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ:

ვისაც უჭირს დაუყოვნებლივ გაერკვია რომელ წილადზე უნდა გაამრავლოს, შეუძლია სწრაფად გამოავლინოს დიფერენციალი მონახაზში: . ჰო, გამოდის, რომ ეს ნიშნავს, რომ არაფერი შეიცვალოს, ინტეგრალი უნდა გავამრავლო . შემდეგ ვიყენებთ ცხრილის ფორმულას:

გამოცდა: მიღებულია ინტეგრადის ორიგინალური ფუნქცია, რაც ნიშნავს, რომ ინტეგრალი სწორად იქნა ნაპოვნი.

მაგალითი 5

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

მაგალითად ავიღე ის ინტეგრალი, რომელსაც გაკვეთილის დასაწყისშივე შევხედეთ. როგორც უკვე ვთქვით, ინტეგრალის ამოსახსნელად მოგვეწონა ცხრილის ფორმულა , და მსურს მთელი საქმე მასზე შევამცირო.

ჩანაცვლების მეთოდის იდეა არის შეცვალეთ რთული გამოხატულება (ან რაიმე ფუნქცია) ერთი ასოთი.ამ შემთხვევაში, ის თავის თავს გვთავაზობს: მეორე ყველაზე პოპულარული ასო ჩანაცვლებისთვის არის ასო . პრინციპში, შეგიძლიათ გამოიყენოთ სხვა ასოები, მაგრამ ჩვენ მაინც ვიცავთ ტრადიციებს.

Ისე: მაგრამ როცა მას შევცვლით, ჩვენ ვრჩებით! ალბათ, ბევრმა გამოიცნო, რომ თუ ახალ ცვლადზე გადასვლა ხდება, მაშინ ახალ ინტეგრალში ყველაფერი ასოს საშუალებით უნდა იყოს გამოხატული და დიფერენციაციის ადგილი საერთოდ არ არის. ლოგიკური დასკვნა არის ის, რომ ეს აუცილებელია გადაიქცევა რაღაც გამოხატულებად, რომელიც დამოკიდებულია მხოლოდ.

მოქმედება შემდეგია. მას შემდეგ რაც შევარჩიეთ შემცვლელი, ამ მაგალითში, ჩვენ უნდა ვიპოვოთ დიფერენციალი. განსხვავებებით, ვფიქრობ, ყველამ უკვე დაამყარა მეგობრობა.

Მას შემდეგ

დიფერენციალის დალაგების შემდეგ, გირჩევთ, საბოლოო შედეგი გადაწეროთ რაც შეიძლება მოკლედ: ახლა, პროპორციის წესების მიხედვით, გამოვხატავთ იმას, რაც გვჭირდება:

საბოლოოდ: ამრიგად: და ეს უკვე ყველაზე ცხრილის განუყოფელია (ინტეგრალების ცხრილი, რა თქმა უნდა, ასევე მოქმედებს ცვლადისთვის).

მზადაა.

განხილული მაგალითის საბოლოო დიზაინი ასე უნდა გამოიყურებოდეს:

“

შევცვალოთ:

“

და ახლა დროა გავიხსენოთ პირველი გამოსავალი:

Რა არის განსხვავება? ფუნდამენტური განსხვავება არ არის. ფაქტიურად იგივეა. მაგრამ დავალების დიზაინის თვალსაზრისით, დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ ფუნქციის შეყვანის მეთოდი გაცილებით მოკლეა.ჩნდება კითხვა. თუ პირველი მეთოდი უფრო მოკლეა, მაშინ რატომ გამოვიყენოთ ჩანაცვლების მეთოდი? ფაქტია, რომ მთელი რიგი ინტეგრალებისთვის არც ისე ადვილია ფუნქციის „მორგება“ დიფერენციალის ნიშანთან.

ინტეგრაცია ნაწილების მიხედვით. გადაწყვეტილებების მაგალითები

ლოგარითმების ინტეგრალები

მაგალითი 1

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

ჩვენ ვწყვეტთ ამოხსნას შუალედური ახსნა-განმარტებისთვის.

ჩვენ ვიყენებთ ინტეგრაციის ფორმულას ნაწილების მიხედვით:

ფორმულა გამოიყენება მარცხნიდან მარჯვნივ

მარცხენა მხარეს ვუყურებთ: . ცხადია, ჩვენს მაგალითში (და ყველა დანარჩენში, რომელსაც განვიხილავთ), რაღაც უნდა იყოს დანიშნულება როგორც , და რაღაც როგორც .

განსახილველი ტიპის ინტეგრალებშიყოველთვის აღინიშნება ლოგარითმით.

ტექნიკურად, გადაწყვეტის დიზაინი ხორციელდება შემდეგნაირად:

ანუ, ჩვენ აღვნიშნეთ ლოგარითმი და - დარჩენილი ნაწილიინტეგრანდული გამოხატულება.

შემდეგი ეტაპი: იპოვნეთ დიფერენციალი:

დიფერენციალი თითქმის იგივეა, რაც წარმოებული, ჩვენ უკვე განვიხილეთ, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ იგი წინა გაკვეთილებში.

ახლა ჩვენ ვიპოვით ფუნქციას. ფუნქციის მოსაძებნად საჭიროა ინტეგრირება მარჯვენა მხარექვედა თანასწორობა:

ახლა ჩვენ ვხსნით ჩვენს ამოხსნას და ვაშენებთ ფორმულის მარჯვენა მხარეს: . სხვათა შორის, აქ არის საბოლოო გადაწყვეტის ნიმუში რამდენიმე შენიშვნით:

ნამუშევარში ერთადერთი წერტილი ის არის, რომ მე მაშინვე გავცვალე და, რადგან მიღებულია ფაქტორის დაწერა ლოგარითმის წინ.

როგორც ხედავთ, ნაწილების ფორმულით ინტეგრაციის გამოყენებამ არსებითად შეამცირა ჩვენი ამოხსნა ორ მარტივ ინტეგრალამდე.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ზოგიერთ შემთხვევაში მას შემდეგ, რაცფორმულის გამოყენებით, გამარტივება აუცილებლად განხორციელდება დარჩენილი ინტეგრალის ქვეშ - განსახილველ მაგალითში ჩვენ შევამცირეთ ინტეგრადი "x".

მოდით შევამოწმოთ. ამისათვის თქვენ უნდა აიღოთ პასუხის წარმოებული:

მიღებულია ინტეგრატის ორიგინალური ფუნქცია, რაც ნიშნავს, რომ ინტეგრალი სწორად არის ამოხსნილი.

ტესტირებისას გამოვიყენეთ პროდუქტის დიფერენციაციის წესი: . და ეს შემთხვევითი არ არის.

ნაწილების მიერ ინტეგრაციის ფორმულა და ფორმულა- ეს ორი ურთიერთშებრუნებული წესია.

მრავალწევრზე გამრავლებული ექსპონენციის ინტეგრალები

Ზოგადი წესი: უკან

მაგალითი 5

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

ნაცნობი ალგორითმის გამოყენებით, ჩვენ ვაერთიანებთ ნაწილების მიხედვით:

თუ თქვენ გაქვთ სირთულეები ინტეგრალთან, მაშინ უნდა დაუბრუნდეთ სტატიას ცვლადის ცვლილების მეთოდი განუსაზღვრელი ინტეგრალში.

ერთადერთი, რაც შეგიძლიათ გააკეთოთ, არის პასუხის შესწორება:

მაგრამ თუ თქვენი გაანგარიშების ტექნიკა არ არის ძალიან კარგი, მაშინ ყველაზე მომგებიანი ვარიანტია პასუხის დატოვება ან თუნდაც

ანუ მაგალითი ჩაითვლება ამოხსნილად, როდესაც იღებენ ბოლო ინტეგრალს. ეს არ იქნება შეცდომა, სხვა საკითხია, რომ მასწავლებელმა შეიძლება მოგთხოვოთ პასუხის გამარტივება.

მრავალწევრზე გამრავლებული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ინტეგრალები

Ზოგადი წესი: უკანყოველთვის აღინიშნება მრავალწევრით

მაგალითი 7

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

მოდით გავაერთიანოთ ნაწილების მიხედვით:

ჰმ...და კომენტარის გაკეთება არაფერია.

განუსაზღვრელი ინტეგრალში ცვლადის ცვლილება გამოიყენება ინტეგრალების მოსაძებნად, რომლებშიც ერთ-ერთი ფუნქცია სხვა ფუნქციის წარმოებულია. მოდით იყოს $ \int f(x) dx $ ინტეგრალი, მოდით შევცვალოთ $ x=\phi(t) $. გაითვალისწინეთ, რომ ფუნქცია $ \phi(t) $ დიფერენცირებადია, ამიტომ ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ $ dx = \phi"(t) dt $.

ახლა ჩვენ შევცვლით $ \begin(vmatrix) x = \phi(t) \\ dx = \phi"(t) dt \end(vmatrix) $ ინტეგრალში და მივიღებთ, რომ:

$$ \int f(x) dx = \int f(\phi(t)) \cdot \phi"(t) dt $$

ეს არის განუსაზღვრელი ინტეგრალში ცვლადის შეცვლის ფორმულა.

ცვლადის ჩანაცვლების მეთოდის ალგორითმი

ამრიგად, თუ პრობლემას მოცემულია ფორმის ინტეგრალი: $$ \int f(\phi(x)) \cdot \phi"(x) dx $$ მიზანშეწონილია ცვლადის შეცვლა ახლით: $$ t = \phi(x) $ $ $$ dt = \phi"(t) dt $$

ამის შემდეგ, ინტეგრალი წარმოდგენილი იქნება ისეთი ფორმით, რომელიც ადვილად შეიძლება იქნას მიღებული ინტეგრაციის ძირითადი მეთოდებით: $$ \int f(\phi(x)) \cdot \phi"(x) dx = \int f(t) dt $$

ასევე არ დაგავიწყდეთ შეცვლილი ცვლადის დაბრუნება $x$-ზე.

გადაწყვეტილებების მაგალითები

მაგალითი 1
იპოვეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი ცვლადის მეთოდის შეცვლის გამოყენებით: $$ \int e^(3x) dx $$
გამოსავალი
ჩვენ ვცვლით ცვლადს ინტეგრალში $ t = 3x, dt = 3dx $: $$ \int e^(3x) dx = \int e^t \frac(dt)(3) = \frac(1)(3) \int e^t dt = $$ ექსპონენციის ინტეგრალი ინტეგრაციის ცხრილის მიხედვით მაინც იგივეა, თუმცა $ x $-ის ნაცვლად წერია $ t $: $$ = \frac(1)(3) e^t + C = \frac(1)(3) e^(3x) + C $$ თუ ვერ გადაჭრით პრობლემას, გამოგვიგზავნეთ. ჩვენ მოგაწვდით დეტალურ გადაწყვეტას. თქვენ შეძლებთ ნახოთ გაანგარიშების მიმდინარეობა და მიიღოთ ინფორმაცია. ეს დაგეხმარებათ მასწავლებლისგან დროულად მიიღოთ თქვენი შეფასება!
უპასუხე
$$ \int e^(3x) dx = \frac(1)(3) e^(3x) + C $$

ჩართულია ეს გაკვეთილიჩვენ გავეცნობით ერთ-ერთ ყველაზე მნიშვნელოვან და ყველაზე გავრცელებულ ტექნიკას, რომელიც გამოიყენება განუსაზღვრელი ინტეგრალების ამოხსნისას - ცვლადის მეთოდის შეცვლა. მასალის წარმატებული ათვისება საწყის ცოდნას და ინტეგრაციის უნარებს მოითხოვს. თუ ინტეგრალურ გამოთვლებში იგრძნობა ცარიელი სავსე ქვაბის შეგრძნება, მაშინ ჯერ უნდა გაეცნოთ მასალას, სადაც ხელმისაწვდომი სახით ავხსენი, რა არის ინტეგრალი და დეტალურად გავაანალიზე დამწყებთათვის ძირითადი მაგალითები.

ტექნიკურად, განუსაზღვრელი ინტეგრალში ცვლადის შეცვლის მეთოდი ხორციელდება ორი გზით:

– ფუნქციის შეყვანა დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ;
– ფაქტიურად ცვლადის ჩანაცვლება.

არსებითად, ეს იგივეა, მაგრამ გადაწყვეტის დიზაინი განსხვავებულია.

დავიწყოთ უფრო მარტივი შემთხვევით.

ფუნქციის შეყვანა დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ

გაკვეთილზე განუსაზღვრელი ინტეგრალი. გადაწყვეტილებების მაგალითებიჩვენ ვისწავლეთ დიფერენციალის გახსნა, შეგახსენებთ ჩემს მაგალითს:

ანუ დიფერენციალის გამოვლენა ფორმალურად თითქმის იგივეა, რაც წარმოებულის პოვნა.

მაგალითი 1

შეასრულეთ შემოწმება.

ჩვენ ვუყურებთ ინტეგრალების ცხრილს და ვპოულობთ მსგავს ფორმულას: . მაგრამ პრობლემა ის არის, რომ სინუსის ქვეშ გვაქვს არა მხოლოდ ასო "X", არამედ რთული გამოხატულება. Რა უნდა ვქნა?

ფუნქციას ვატარებთ დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ:

დიფერენციალის გახსნით ადვილია იმის შემოწმება, რომ:

ფაქტობრივად და არის იგივე ჩანაწერი.

მაგრამ, მიუხედავად ამისა, დარჩა კითხვა, როგორ მივედით იმ აზრამდე, რომ პირველ ეტაპზე ჩვენი ინტეგრალი ზუსტად ასე უნდა დავწეროთ: ? რატომ არის ეს და არა სხვაგვარად?

ფორმულა (და ცხრილის ყველა სხვა ფორმულა) მოქმედებს და გამოიყენება არა მხოლოდ ცვლადისთვის, არამედ ნებისმიერი რთული გამოსახულებისთვის, მხოლოდ როგორც ფუნქციის არგუმენტი(-ჩვენს მაგალითში) და გამოხატვა დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ იყო ᲘᲒᲘᲕᲔ .

მაშასადამე, ამოხსნისას გონებრივი მსჯელობა ასეთი უნდა იყოს: „ინტეგრალის ამოხსნა მჭირდება. ჩავიხედე ცხრილში და ვიპოვე მსგავსი ფორმულა . მაგრამ მე მაქვს რთული არგუმენტი და არ შემიძლია დაუყოვნებლივ გამოვიყენო ფორმულა. თუმცა, თუ მოვახერხებ მისი დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ მოხვედრას, მაშინ ყველაფერი კარგად იქნება. თუ დავწერ, მაშინ. მაგრამ თავდაპირველ ინტეგრალში არ არის სამი ფაქტორი, ამიტომ, იმისათვის, რომ ინტეგრანდული ფუნქცია არ შეიცვალოს, მე უნდა გავამრავლო იგი "-ზე. დაახლოებით ასეთი გონებრივი მსჯელობის დროს იბადება ჩანაწერი:

ახლა შეგიძლიათ გამოიყენოთ ცხრილის ფორმულა :

მზადაა

ერთადერთი განსხვავება ისაა, რომ ჩვენ არ გვაქვს ასო "X", არამედ რთული გამოხატულება.

მოდით შევამოწმოთ. გახსენით წარმოებულების ცხრილი და განასხვავეთ პასუხი:

მიღებულია ინტეგრადის ორიგინალური ფუნქცია, რაც ნიშნავს, რომ ინტეგრალი სწორად იქნა ნაპოვნი.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ გადამოწმების დროს ჩვენ გამოვიყენეთ რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესი . არსებითად, დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ ფუნქციის დაქვემდებარება და - ეს ორი ურთიერთშებრუნებული წესია.

მაგალითი 2

ფუნქციას ვატარებთ დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ:

ვისაც უჭირს დაუყოვნებლივ გაერკვია რომელ წილადზე უნდა გაამრავლოს, შეუძლია სწრაფად გამოავლინოს დიფერენციალი მონახაზში: . ჰო, გამოდის, რომ ეს ნიშნავს, რომ არაფერი შეიცვალოს, ინტეგრალი უნდა გავამრავლო .
შემდეგ ვიყენებთ ცხრილის ფორმულას :

გამოცდა:

მიღებულია ინტეგრატის ორიგინალური ფუნქცია, რაც ნიშნავს, რომ ინტეგრალი სწორად იქნა ნაპოვნი.

მაგალითი 3

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი. შეასრულეთ შემოწმება.

მაგალითი 4

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი. შეასრულეთ შემოწმება.

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომ გადაჭრათ საკუთარი. პასუხი მოცემულია გაკვეთილის ბოლოს.

ინტეგრალების ამოხსნის გარკვეული გამოცდილებით, ასეთი მაგალითები მარტივად გამოიყურება და თხილის მსგავსად დააწკაპუნეთ:

ამ განყოფილების დასასრულს ასევე მინდა შევჩერდე „თავისუფალ“ შემთხვევაზე, როდესაც წრფივ ფუნქციაში ცვლადი შედის ერთეულის კოეფიციენტით, მაგალითად:

მკაცრად რომ ვთქვათ, გამოსავალი ასე უნდა გამოიყურებოდეს:

როგორც ხედავთ, დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ ფუნქციის შეყვანა იყო „უმტკივნეულო“, ყოველგვარი გამრავლების გარეშე. ამიტომ, პრაქტიკაში, ასეთი გრძელი გადაწყვეტა ხშირად უგულებელყოფილია და დაუყოვნებლივ იწერება . მაგრამ მზად იყავით, საჭიროების შემთხვევაში, აუხსნათ მასწავლებელს, თუ როგორ მოაგვარეთ ეს! იმის გამო, რომ რეალურად არ არის ინტეგრალი ცხრილში.

ცვლადის ცვლილების მეთოდი განუსაზღვრელი ინტეგრალში

მაგალითი 5

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

ჩანაცვლების მეთოდის იდეა არის შეცვალეთ რთული გამოხატულება (ან რაიმე ფუნქცია) ერთი ასოთი.
ამ შემთხვევაში ითხოვს:
მეორე ყველაზე პოპულარული შემცვლელი წერილი არის წერილი.
პრინციპში, შეგიძლიათ გამოიყენოთ სხვა ასოები, მაგრამ ჩვენ მაინც ვიცავთ ტრადიციებს.

Მას შემდეგ

საბოლოოდ:
ამრიგად:

და ეს უკვე ყველაზე ცხრილის განუყოფელია (ინტეგრალების ცხრილი, რა თქმა უნდა, ასევე მოქმედებს ცვლადზე).

მზადაა.

განხილული მაგალითის საბოლოო დიზაინი ასე უნდა გამოიყურებოდეს:

“

შევცვალოთ:

“

და ახლა დროა გავიხსენოთ პირველი გამოსავალი:

მაგალითი 6

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

მოდით შევცვალოთ: (აქ სხვა შემცვლელის მოფიქრება რთულია)

მაგალითი 7

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი. შეასრულეთ შემოწმება.

მაგალითი 8

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

მაგალითი 9

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომ გადაჭრათ საკუთარი. პასუხი მოცემულია გაკვეთილის ბოლოს.

მაგალითი 10

იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

ახლა დროა ვისაუბროთ ცვლადის ჩანაცვლების მეთოდის გამოყენების ძირითად წინაპირობაზე: ინტეგრანტი უნდა შეიცავდეს გარკვეულ ფუნქციას და მის წარმოებულს:(ფუნქციები შეიძლება არ იყოს პროდუქტში)

მრავალწევრის ჩანაცვლებაან. აქ არის ხარისხის პოლინომი, მაგალითად, გამოხატულება არის ხარისხის მრავალწევრი.

ვთქვათ, გვაქვს მაგალითი:

მოდით გამოვიყენოთ ცვლადის ჩანაცვლების მეთოდი. როგორ ფიქრობთ, რისთვის უნდა იქნას მიღებული? უფლება,.

განტოლება ხდება:

ჩვენ ვასრულებთ ცვლადების საპირისპირო ცვლილებას:

მოდით ამოხსნათ პირველი განტოლება:

გადავწყვიტოთ მეორეგანტოლება:

… Რას ნიშნავს ეს? უფლება! რომ გადაწყვეტილებები არ არსებობს.

ამრიგად, მივიღეთ ორი პასუხი - ; .

გესმით, როგორ გამოვიყენოთ ცვლადის ჩანაცვლების მეთოდი მრავალწევრისთვის? ივარჯიშეთ ამის გაკეთება საკუთარ თავს:

გადაწყვიტა? ახლა თქვენთან ერთად გადავამოწმოთ ძირითადი პუნქტები.

თქვენ უნდა აიღოთ იგი.

ჩვენ ვიღებთ გამოთქმას:

კვადრატული განტოლების ამოხსნისას აღმოვაჩენთ, რომ მას აქვს ორი ფესვი: და.

პირველი კვადრატული განტოლების ამონახსნი არის რიცხვები და

მეორე კვადრატული განტოლების ამოხსნა - რიცხვები და.

უპასუხე: ; ; ;

მოდით შევაჯამოთ

ცვლადის ჩანაცვლების მეთოდს აქვს ცვლადის ჩანაცვლების ძირითადი ტიპები განტოლებებში და უტოლობაში:

1. ძალაუფლების ჩანაცვლება, როდესაც ვიღებთ, როგორც ზოგიერთ უცნობს, ამაღლებულ ძალამდე.

2. მრავალწევრის ჩანაცვლება, როდესაც ვიღებთ მთელ გამოსახულებას, რომელიც შეიცავს უცნობს.

3. წილად-რაციონალურ ჩანაცვლება, როდესაც ვიღებთ უცნობი ცვლადის შემცველ ნებისმიერ მიმართებას.

Მნიშვნელოვანი რჩევაახალი ცვლადის შემოღებისას:

1. ცვლადების ჩანაცვლება უნდა მოხდეს დაუყოვნებლივ, პირველივე შესაძლებლობის შემთხვევაში.

2. ახალი ცვლადის განტოლება ბოლომდე უნდა გადაწყდეს და მხოლოდ ამის შემდეგ დაუბრუნდეს ძველ უცნობს.

3. თავდაპირველ უცნობში დაბრუნებისას (და მართლაც მთელ ხსნარში), არ დაგავიწყდეთ ODZ-ის ფესვების შემოწმება.

ახალი ცვლადი შემოტანილია ანალოგიურად, როგორც განტოლებებში, ასევე უტოლობაში.

მოდით შევხედოთ 3 პრობლემას

პასუხები 3 პრობლემაზე

1. მოდით, მაშინ გამოთქმა იღებს ფორმას.

ვინაიდან, ეს შეიძლება იყოს როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი.

პასუხი:

2. მოდით, მაშინ გამოთქმა იღებს ფორმას.

გამოსავალი არ არის, რადგან...

პასუხი:

3. დაჯგუფებით ვიღებთ:

მოდით, გამოთქმამ მიიღოს ფორმა
.

პასუხი:

ცვლადების ჩანაცვლება. საშუალო დონე.

ცვლადების ჩანაცვლება- ეს არის ახალი უცნობის შესავალი, რომლის მიმართაც განტოლებას ან უტოლობას უფრო მარტივი ფორმა აქვს.

ჩამოვთვლი ჩანაცვლების ძირითად ტიპებს.

დენის ჩანაცვლება

დენის ჩანაცვლება.

მაგალითად, ჩანაცვლების გამოყენებით, ბიკვადრატული განტოლება მცირდება კვადრატულზე: .

უთანასწორობებში ყველაფერი მსგავსია.

მაგალითად, ჩვენ ვაკეთებთ ჩანაცვლებას უტოლობაში და ვიღებთ კვადრატულ უტოლობას: .

მაგალითი (გადაწყვიტე შენთვის):

გამოსავალი:

ეს არის წილად-რაციონალური განტოლება (გამეორება), მაგრამ მისი გადაჭრა ჩვეულებრივი მეთოდით (შემცირება საერთო მნიშვნელზე) მოუხერხებელია, რადგან მივიღებთ ხარისხის განტოლებას, ამიტომ გამოიყენება ცვლადების ცვლილება.

ჩანაცვლების შემდეგ ყველაფერი გაცილებით ადვილი გახდება: . შემდეგ:

ახლა მოდით გავაკეთოთ საპირისპირო ჩანაცვლება:

პასუხი: ; .

მრავალწევრის ჩანაცვლება

მრავალწევრის ჩანაცვლება ან.

აქ არის ხარისხის მრავალწევრი, ე.ი. ფორმის გამოხატულება

(მაგალითად, გამოხატულება არის ხარისხის მრავალწევრი, ანუ).

კვადრატული ტრინომის ყველაზე ხშირად გამოყენებული ჩანაცვლებაა: ან.

მაგალითი:

ამოხსენით განტოლება.

გამოსავალი:

და ისევ, გამოიყენება ცვლადების ჩანაცვლება.

შემდეგ განტოლება მიიღებს ფორმას:

ამ კვადრატული განტოლების ფესვებია: და.

გვაქვს ორი შემთხვევა. მოდით გავაკეთოთ საპირისპირო ჩანაცვლება თითოეული მათგანისთვის:

ეს ნიშნავს, რომ ამ განტოლებას არ აქვს ფესვები.

ამ განტოლების ფესვებია: ი.

უპასუხე.

.

ფრაქციულ-რაციონალური ჩანაცვლება

ფრაქციულ-რაციონალური ჩანაცვლება.

და არის პოლინომები გრადუსისა და, შესაბამისად.

მაგალითად, საპასუხო განტოლებების ამოხსნისას, ანუ ფორმის განტოლებები

ჩანაცვლება ჩვეულებრივ გამოიყენება.

ახლა მე გაჩვენებთ როგორ მუშაობს.

ადვილია იმის შემოწმება, თუ რა არ არის ამ განტოლების ფესვი: ბოლოს და ბოლოს, თუ მას განტოლებაში ჩავანაცვლებთ, მივიღებთ იმას, რაც ეწინააღმდეგება პირობას.

მოდით გავყოთ განტოლება:

მოდით გადაჯგუფება:

ახლა ჩვენ ვაკეთებთ ჩანაცვლებას: .

მისი მშვენიერი ის არის, რომ ტერმინების ორმაგი ნამრავლის კვადრატში, x მცირდება:

Აქედან გამომდინარეობს, რომ.

დავუბრუნდეთ ჩვენს განტოლებას:

მაგალითი:

ახლა საკმარისია კვადრატული განტოლების ამოხსნა და საპირისპირო ჩანაცვლება.

გამოსავალი:

ამოხსენით განტოლება: .

როცა თანასწორობა არ მოქმედებს, ამიტომ. მოდით გავყოთ განტოლება:

განტოლება მიიღებს ფორმას:

მისი ფესვები:

მოდით გავაკეთოთ საპირისპირო ჩანაცვლება:

პასუხი: ; .

მოდით ამოხსნათ მიღებული განტოლებები:

Სხვა მაგალითი:

გამოსავალი:

ამოხსენით უტოლობა.

პირდაპირი ჩანაცვლებით ჩვენ დარწმუნებული ვართ, რომ ის არ შედის ამ უთანასწორობის ამოხსნაში. გაყავით თითოეული წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი:

ახლა აშკარაა ცვლადის ჩანაცვლება: .

მაშინ უტოლობა მიიღებს ფორმას:

ჩვენ ვიყენებთ ინტერვალის მეთოდს y-ის საპოვნელად:

ყველას თვალწინ იმიტომ

ასე რომ, უტოლობა უდრის შემდეგს:

ყველას თვალწინ, რადგან...

ეს ნიშნავს, რომ უტოლობა უდრის შემდეგს: .

ასე რომ, უტოლობა აღმოჩნდება აგრეგაციის ექვივალენტური:

ცვლადების ჩანაცვლებაპასუხი:.

- განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნის ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი მეთოდი.

და ბოლოს, მე მოგცემთ რამდენიმე მნიშვნელოვან რჩევას:

ცვლადების ჩანაცვლება- რთული განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნის მეთოდი, რომელიც საშუალებას გაძლევთ გაამარტივოთ ორიგინალური გამოხატულება და მიიყვანოთ იგი სტანდარტულ ფორმამდე.

ცვლადი ჩანაცვლების სახეები:

დენის ჩანაცვლება:მიიღება რაღაც უცნობი, ამაღლებული ძალაუფლებით - .
ფრაქციულ-რაციონალური ჩანაცვლება:ნებისმიერი კავშირი, რომელიც შეიცავს უცნობ ცვლადს, აღებულია როგორც - , სადაც და არიან n და m გრადუსების პოლინომები, შესაბამისად.
მრავალწევრის ჩანაცვლება:მთელი გამოთქმა, რომელიც შეიცავს უცნობს, აღებულია როგორც - ან სად არის ხარისხის მრავალწევრი.

გამარტივებული განტოლების/უტოლობის ამოხსნის შემდეგ აუცილებელია საპირისპირო ჩანაცვლება.