거의 모든 주기 함수는 삼각 급수(푸리에 급수)를 사용하여 단순 고조파로 분해될 수 있습니다.
에프(엑스) = + (엔코사인 엔엑스 + 비앤죄 엔엑스), (*)
적어보자 이 행계수가 같다고 가정할 때 단순 고조파의 합으로 엔= 엔죄 j n, 비앤= 엔코사인 j n. 우리는 다음을 얻습니다. 엔코사인 j n + 비앤죄 j n = 엔죄( 엔엑스+ j n), 어디
엔= , 티 j n = . (**)
그런 다음 단순 고조파 형태의 계열(*)은 다음 형식을 취합니다. 에프(엑스) = 
.
푸리에 급수는 무한한 수의 정현파의 합으로 주기 함수를 나타내지만 특정 불연속 값을 갖는 주파수를 사용합니다.
때때로 N th 고조파는 다음과 같이 작성됩니다. 엔코사인 엔엑스 + 비앤죄 엔엑스 = 엔코사인( 엔엑스 – j n) , 어디 엔= 엔코사인 j n , 비앤= 엔죄 j n .
어디에서 엔그리고 j n공식(**)에 의해 결정됩니다. 그런 다음 시리즈(*)는 다음 형식을 취합니다.
에프(엑스) = 
.
정의 9. 주기 함수 표현 연산 에프(엑스) 푸리에 옆에 고조파 분석.
표현식(*)은 더 일반적인 다른 형태로도 사용됩니다.
승산 엔, 비앤다음 공식에 의해 결정됩니다.
크기 씨 0은 해당 기간에 대한 함수의 평균값을 나타내며 상수 성분이라고 하며 다음 공식으로 계산됩니다.
진동 및 스펙트럼 분석 이론에서 함수의 표현 에프(티) 푸리에 급수에서 다음과 같이 작성됩니다.
(***)
저것들. 주기 함수는 항의 합으로 표현되며, 각 항은 다음과 같습니다. 사인파 진동진폭으로 씨엔및 초기 단계 j n즉, 주기 함수의 푸리에 급수는 일정한 수만큼 서로 다른 주파수를 갖는 개별 고조파로 구성됩니다. 또한 각 고조파에는 특정 진폭이 있습니다. 가치 씨엔그리고 j n평등(***)이 유지되기 위해서는 적절하게 선택되어야 합니다. 즉, 공식(**)에 의해 결정됩니다. 씨엔 = 엔].
푸리에 급수(***)를 다음과 같이 다시 작성해 보겠습니다. 
어디 승 1은 주 주파수입니다. 이것으로부터 우리는 다음과 같은 결론을 내릴 수 있습니다: 복잡한 주기 함수 에프(티)는 수량 집합에 의해 결정됩니다. 씨엔그리고 j n .
정의 10. 수량 세트 씨엔, 즉 주파수에 대한 진폭의 의존성을 함수의 진폭 스펙트럼또는 진폭 스펙트럼.
정의 11.수량 세트 j n이라고 위상 스펙트럼.
단순히 "스펙트럼"이라고 말하면 정확히 진폭 스펙트럼을 의미하고 다른 경우에는 적절한 예약을 합니다. 주기 함수는 이산 스펙트럼(즉, 개별 고조파로 나타낼 수 있음).
주기 함수의 스펙트럼은 그래픽으로 나타낼 수 있습니다. 이를 위해 좌표를 선택합니다. 씨엔그리고 승 = 뉴하나 . 스펙트럼은 이 좌표계에서 일련의 이산 점으로 표시됩니다. 각 값 뉴 1은 하나의 특정 값에 해당합니다. n으로.개별 포인트로 구성된 그래프는 불편합니다. 따라서 개별 고조파의 진폭을 적절한 길이의 수직 세그먼트로 묘사하는 것이 일반적입니다(그림 2).
쌀. 2.
이 불연속 스펙트럼을 종종 라인 스펙트럼이라고 합니다. 그는 고조파 스펙트럼입니다. 균등하게 간격을 둔 스펙트럼 라인으로 구성됩니다. 고조파 주파수는 단순 배수 비율입니다. 첫 번째 고조파를 포함하여 별도의 고조파가 없을 수 있습니다. 진폭은 0과 같을 수 있지만 스펙트럼의 조화를 위반하지 않습니다.
이산 또는 선 스펙트럼은 주기 및 비주기 함수 모두에 속할 수 있습니다. 첫 번째 경우 스펙트럼은 반드시 고조파입니다.
푸리에 급수 전개는 비주기적 함수의 경우로 일반화할 수 있습니다. 이렇게 하려면 무한히 증가하는 주기를 갖는 주기적 함수의 극한 경우로 비주기적 함수를 고려하여 극한에 대한 통과를 T®∞로 적용해야 합니다. 1/대신에 티원형 기본 주파수 도입 승 1 = 2p/ 티. 이 값은 주파수가 2p인 인접 고조파 사이의 주파수 간격입니다. N/티. 만약 티® ∞, 그러면 승 1® 드와이그리고 2p N/티® 승, 어디 승지속적으로 변화하는 현재 주파수, 드와이- 증분. 이 경우 푸리에 급수는 푸리에 적분으로 바뀌며, 이는 무한 간격(-∞;∞)에서 비주기적 함수를 조화 진동으로 확장하는 것입니다. 승 0에서 ∞까지 계속 변경:
비주기적 함수에는 연속 또는 연속 스펙트럼이 있습니다. 개별 포인트 대신 스펙트럼이 연속 곡선으로 표시됩니다. 이것은 급수에서 푸리에 적분으로의 극한을 통과한 결과로 얻어집니다. 개별 스펙트럼 선 사이의 간격이 무기한 감소하고 선이 병합되며 이산 점 대신 스펙트럼이 연속적인 점 시퀀스로 표시됩니다. 즉. 연속곡선. 기능 ㅏ(승) 그리고 비(승) 주파수에 따른 진폭 및 초기 위상 분포의 법칙 제공 승.
푸리에 변환은 임의의 시간 함수를 복소수 평면에서 주파수 구성 요소 집합으로 변환하는 데 가장 널리 사용되는 수단입니다. 이 변환은 스펙트럼을 결정하기 위해 비주기적 함수에 적용할 수 있습니다. 이 경우 복소수 연산자 s는 /co로 대체될 수 있습니다.
가장 흥미로운 주파수를 결정하기 위해 복소 평면의 수치 적분을 사용할 수 있습니다.
이러한 적분 동작의 기본 사항을 이해하기 위해 몇 가지 예를 고려합니다. 그림에. 14.6(왼쪽)은 시간 영역의 단위 면적 펄스와 스펙트럼 구성을 보여줍니다. 중앙 - 같은 면적의 펄스이지만 진폭이 더 크고 오른쪽 - 펄스의 진폭은 무한하지만 면적은 여전히 1과 같습니다. 폭이 0인 펄스 스펙트럼에는 진폭이 동일한 모든 주파수가 포함되어 있기 때문에 오른쪽 그림이 특히 흥미롭습니다.
쌀. 14.6. 동일한 piaosrdi를 따라 동일한 너비의 펄스 스펙트럼
1822년 프랑스의 수학자 J. B. J. Fourier(J. B. J. Fourier)는 열전도율에 대한 작업에서 반복 주파수와 이 주파수의 고조파 세트를 포함하여 모든 주기적인 함수가 초기 구성요소로 분해될 수 있으며 각 고조파는 고유한 진폭과 위상을 가지고 있음을 보여주었습니다. 반복률에. 푸리에 변환에 사용되는 기본 공식은 다음과 같습니다.
여기서 A()는 구성 요소를 나타냅니다. 직류, 및 A p 및 B p - 차수의 기본 주파수의 고조파 및 각각 위상 및 역위상. 따라서 함수 f(*)는 이러한 고조파와 Lo-
f(x)가 mc/2에 대해 대칭인 경우, 즉 n에서 2n까지의 영역에 대한 f(x) = 0에서 n까지의 영역에 대한 -f(x), DC 성분이 없는 경우 푸리에 변환 공식은 다음과 같이 단순화됩니다.
여기서 n = 1, 3.5, 7…
모든 고조파는 정현파이며 그 중 일부만 위상이 동일하고 일부는 기본 주파수와 위상이 다릅니다. 에서 발견되는 대부분의 파형은 전력 전자, 이러한 방식으로 고조파로 분해될 수 있습니다.
푸리에 변환이 지속 시간이 120°인 직사각형 펄스에 적용되면 고조파는 k = bi ± 1 차수 집합이 됩니다. 여기서 n은 정수 중 하나입니다. 첫 번째 것에 대한 각 고조파 h의 진폭은 관계 h = l//e에 의해 그 수와 관련됩니다. 이 경우 첫 번째 고조파는 직사각형 신호의 진폭보다 1.1배 더 큰 진폭을 갖습니다.
푸리에 변환은 각 고조파에 대한 진폭 값을 제공하지만 모두 정현파이므로 rms 값은 해당 진폭을 2의 루트로 나누어 간단히 얻습니다. 복소수 신호의 rms 값은 다음 합계의 제곱근입니다. 첫 번째를 포함하여 각 고조파의 rms 값의 제곱.
반복적인 임펄스 기능을 다룰 때 듀티 사이클을 고려하는 것이 유용합니다. 그림에서 반복되는 펄스의 경우 14.7 시간 A에서 rms 값 X가 있으면 시간 B에서 rms 값은 X(A/B) 1 2 입니다. 따라서 반복 펄스의 RMS 값은 듀티 사이클 값의 제곱근에 비례합니다. 이 원리를 120°(듀티 사이클 2/3) 단위 진폭 직사각형 펄스에 적용하면 RMS 값(2/3) 1/2 = 0.8165가 됩니다.
쌀. 14.7. 반복에 대한 RMS(Root Mean Square) 결정
충동
언급한 구형파열에 해당하는 고조파를 합산하여 이 결과를 확인하는 것은 흥미롭습니다. 테이블에서. 14.2는 이 합계의 결과를 보여줍니다. 보시다시피 모든 것이 일치합니다.
표 14.2. 에 해당하는 고조파의 합산 결과
듀티 사이클 2/3 및 단위 진폭을 갖는 주기적 신호
|
고조파 수 |
고조파 진폭 |
총 RMS |
비교를 위해 모든 고조파 세트를 그룹화하고 해당하는 전체 고조파 왜곡 수준을 결정할 수 있습니다. 이 경우 신호의 평균 제곱 값은 다음 공식에 의해 결정됩니다.
여기서 h\는 첫 번째(기본) 고조파의 진폭이고 h'는 n > 1차 고조파의 진폭입니다.
왜곡을 담당하는 구성 요소는 다음과 같이 별도로 작성할 수 있습니다.
여기서 n > 1. 그런 다음
여기서 Fund는 첫 번째 고조파이고 THD(총 고조파 왜곡)는 D/Fund와 같습니다.
구형파 분석은 흥미롭지만 실제 세계에서는 거의 사용되지 않습니다. 전환 효과 및 기타 프로세스는 직사각형 펄스사다리꼴 또는 트랜스듀서의 경우 식 1 cos(0)으로 설명되는 상승 에지와 종속성 cos(0)으로 설명되는 하강 에지가 있습니다. 여기서 0< 0 대수 규모에서 이 그래프의 해당 섹션의 기울기는 -2 및 -1입니다. 일반적인 리액턴스 값을 가진 시스템의 경우 기울기 변화는 대략 주전원 주파수의 11번째에서 35번째 고조파 주파수에서 발생합니다. 시스템의 리액턴스 또는 전류가 증가하면 기울기 변화의 빈도가 감소합니다. 이 모든 것의 실질적인 결과는 더 높은 고조파가 생각하는 것보다 덜 중요하다는 것입니다. 리액턴스를 증가시키면 고차 고조파를 줄이는 데 도움이 되지만 일반적으로 실현 가능하지 않습니다. 위상 변이에 의해 달성되는 정류 또는 전압 변환 시 펄스 수를 증가시켜 소비 전류의 고조파 성분을 줄이는 것이 더 바람직합니다. 변압기와 관련하여 이 주제는 챕터에서 다루었습니다. 7. 사이리스터 변환기 또는 정류기가 별과 델타로 연결된 변압기 권선에서 공급되고 변환기 또는 정류기의 출력이 직렬 또는 병렬로 연결되면 12펄스 정류가 얻어집니다. 집합의 고조파 수는 이제 k = 6u + 1 대신 k = \2n ± 1입니다. 여기서 n은 정수 중 하나입니다. 5차와 7차의 고조파 대신 11차와 13차의 고조파가 나타나며 진폭은 훨씬 적습니다. 훨씬 더 많은 리플을 사용하는 것이 가능하며, 예를 들어 48펄스 시스템은 전기화학 설비용 대형 전원 공급 장치에 사용됩니다. 대형 정류기 및 변환기는 병렬로 연결된 다이오드 또는 사이리스터 세트를 사용하기 때문에 변압기의 위상 변이 권선의 추가 비용은 주로 가격을 결정합니다. 그림에. 14.8은 6펄스 회로에 비해 12펄스 회로의 장점을 보여줍니다. 12펄스 회로의 11차 및 13차 고조파는 1차 고조파의 약 10%의 일반적인 진폭 값을 갖습니다. 많은 수의 리플이 있는 회로에서 고조파는 k = pn + 1 정도입니다. 여기서 p는 리플 수입니다. 관심을 끌기 위해 단순히 서로에 대해 30° 이동된 고조파 세트 쌍은 6펄스 방식에서 서로 상쇄되지 않습니다. 이러한 고조파 전류는 변압기를 통해 다시 흐릅니다. 따라서 상호 소멸의 가능성을 얻으려면 추가 위상 이동이 필요합니다. 모든 고조파가 첫 번째 고조파와 위상이 같지는 않습니다. 예를 들어, 120° 구형파 열에 해당하는 3상 고조파 세트에서 고조파의 위상은 -5th, +7th, -11th, +13th 등의 시퀀스에 따라 변경됩니다. 3상 회로에서 불균형이 발생하면 단상 성분이 발생할 수 있으며 이는 위상 변이가 0인 고조파의 3배를 수반합니다. 쌀. 14.8. 6 및 12 맥동 변환기의 스펙트럼 절연 변압기는 종종 고조파 문제에 대한 만병 통치약으로 간주됩니다. 이 변압기는 시스템에 약간의 리액턴스를 추가하여 더 높은 고조파를 줄이는 데 도움이 되지만 제로 시퀀스 전류 및 정전기 절연의 억제를 제외하고는 거의 사용되지 않습니다. 주기적 비정현파 함수의 분해 일반 정의 1부. 선형 회로 이론(계속) 전기 공학 이론적 근거 전력전공 학생들을 위한 교과서 T. 주기적인 비정현파 전류의 전기 회로 아시다시피 전력 산업에서는 정현파 형태가 전류 및 전압의 표준 형태로 채택됩니다. 그러나 실제 상황에서는 전류 및 전압의 곡선 모양이 정현파 곡선과 어느 정도 다를 수 있습니다. 수신기에서 이러한 기능의 곡선 모양이 왜곡되면 추가 에너지 손실과 효율성 감소가 발생합니다. 발전기 전압 곡선의 정현파 모양은 상품으로서의 전기 에너지의 품질을 나타내는 지표 중 하나입니다. 복잡한 회로에서 전류 및 전압 곡선의 모양이 왜곡되는 이유는 다음과 같습니다. 1) 비선형 요소의 전기 회로에 존재하는 매개 변수는 전류 및 전압의 순시 값에 따라 달라집니다. R, L, C=f(유,나)], (예를 들어, 정류기, 전기 용접 장치 등); 2) 매개 변수의 전기 회로에 존재하는 매개 변수는 시간이 지남에 따라 변합니다 [ R, L, C=f(티)]; 3) 전기 에너지 소스(3상 발전기)는 설계 특성으로 인해 출력 전압의 이상적인 사인파 모양을 제공할 수 없습니다. 4) 위에 나열된 요인들의 복합적인 영향. 비선형 및 매개변수 회로는 TOE 과정의 별도 장에서 논의됩니다. 이 장에서는 비정현파 파형을 가진 에너지 소스에 노출되었을 때 선형 전기 회로의 동작을 조사합니다. 시간의 주기적인 함수는 수학 과정에서 알려져 있습니다. 에프(티)는 디리클레 조건을 만족하는 고조파 푸리에 급수로 나타낼 수 있습니다. 여기 하지만 0 - 상수 성분, - 케이-차 고조파 성분 또는 약어 케이저는 하모니카입니다. 첫 번째 고조파를 기본 고조파라고 하고 이후의 모든 고조파를 최고 고조파라고 합니다. 개별 고조파의 진폭 ~에기능이 확장되는 방식에 의존하지 않음 에프(티)를 푸리에 시리즈로 변환하는 반면 개별 고조파의 초기 위상은 시간 기준(원점)의 선택에 따라 달라집니다. 푸리에 급수의 개별 고조파는 사인 및 코사인 성분의 합으로 나타낼 수 있습니다. 그러면 전체 푸리에 급수가 다음과 같은 형식을 취합니다. 푸리에 급수의 두 가지 형태의 계수 간의 비율은 다음과 같습니다. 만약 케이 th 고조파와 사인 및 코사인 성분이 복소수로 대체되면 푸리에 급수의 계수 간의 비율은 복소수 형식으로 나타낼 수 있습니다. 시간의 주기적 비정현파 함수가 수학 방정식의 형태로 분석적으로 주어지면(또는 표현될 수 있음), 푸리에 급수의 계수는 수학 과정에서 알려진 공식에 의해 결정됩니다. 실제로 조사된 비정현파 함수 에프(티) 일반적으로 그래픽 다이어그램 (그래픽으로) (그림 118) 또는 한 기간 간격으로 점 좌표 표 (표 형식) 형식으로 설정됩니다 (표 1). 위의 방정식에 따라 이러한 함수의 조화 분석을 수행하려면 먼저 수학 표현식으로 대체해야 합니다. 그래픽이나 표 형식으로 주어진 함수를 수학 방정식으로 바꾸는 것을 함수 근사라고 합니다. 프로그램이 올바르게 작동하는지 확인하기 위해 두 정현파 sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x)의 합으로 판독값 배열을 구성하고 이를 프로그램. 프로그램은 다음을 그렸습니다. 그림 1 신호의 시간 함수 그래프 그림 2 신호 스펙트럼 그래프 스펙트럼 그래프에는 원래 신호의 공식과 같이 진폭이 0.5V 및 10Hz인 두 개의 스틱(고조파)이 있습니다. 진폭은 1V입니다. 모든 것이 잘됩니다. 프로그래머! 프로그램이 올바르게 작동하고 있습니다. 이는 두 정현파 혼합의 실제 신호를 ADC 입력에 적용하면 두 고조파로 구성된 유사한 스펙트럼을 얻을 수 있음을 의미합니다. 총, 우리 진짜측정된 신호, 지속시간 5초, ADC에 의해 디지털화, 즉 이산계산하다, 가지고 있다 불연속 비주기적스펙트럼. 뭔가 잘못됐어! 10Hz 고조파는 정상적으로 그려지는데 5Hz 스틱 대신에 이해할 수 없는 여러 고조파가 나타났습니다. 우리는 인터넷에서 무엇을, 어떻게 ... 에서 그들은 샘플의 끝에 0을 추가해야 하고 스펙트럼은 정상으로 그려질 것이라고 말합니다. fig.5 5초까지 제로 완성 그림 6 우리는 스펙트럼을 얻었다 아직 5초의 시간이 아닙니다. 이론을 다루어야 합니다. 가자 위키피디아- 지식의 원천. K - 삼각 함수의 수(고조파 성분의 수, 고조파 수) "함수를 급수의 합으로 표현"한다는 것은 무엇을 의미합니까? 즉, 푸리에 급수의 고조파 성분 값을 각 지점에서 더하면 이 지점에서 함수 값을 얻을 수 있습니다. (좀 더 엄격하게 말하면, 함수 f(x)로부터 계열의 표준 편차는 0이 되는 경향이 있지만, 표준 수렴에도 불구하고, 일반적으로 말해서 함수의 푸리에 계열은 점별로 수렴할 필요가 없습니다. https를 참조하세요. //ru.wikipedia.org/ wiki/Fourier_Series .) 이 시리즈는 다음과 같이 작성할 수도 있습니다. (2), 계수 (1)과 (3) 사이의 관계는 다음 공식으로 표현됩니다. 푸리에 급수의 이 세 가지 표현은 모두 완전히 동일합니다. 때로는 푸리에 급수로 작업할 때 사인과 코사인 대신 허수 인수의 지수를 사용하는 것이 더 편리합니다. 즉, 푸리에 변환을 복소수 형식으로 사용하는 것입니다. 그러나 푸리에 급수가 해당 진폭과 위상을 갖는 코사인파의 합으로 표현되는 공식 (1)을 사용하는 것이 편리합니다. 어떤 경우든 실제 신호의 푸리에 변환 결과가 고조파의 복소수 진폭이 될 것이라고 말하는 것은 옳지 않습니다. Wiki가 올바르게 기술한 것처럼 "푸리에 변환(?)은 실제 변수의 한 기능을 실제 변수의 다른 기능에 매핑하는 작업입니다." 총: 푸리에 변환을 통해 세그먼트(0, T)에 정의된 연속 함수 f(x)(신호)를 다음과 같은 삼각 함수(사인 및/또는 코사인)의 무한 수(무한 급수)의 합으로 나타낼 수 있습니다. 진폭 및 위상, 세그먼트(0, T)에서도 고려됩니다. 이러한 급수를 푸리에 급수라고 합니다. 신호 분석에 푸리에 변환을 올바르게 적용하려면 이에 대한 이해가 필요합니다. 전체 X축에서 푸리에 급수(정현파의 합)를 고려하면 세그먼트(0, T) 외부에서 푸리에 급수로 표현되는 함수가 주기적으로 우리의 기능을 반복한다는 것을 알 수 있습니다. 예를 들어, 그림 7의 그래프에서 원래 함수는 세그먼트(-T \ 2, + T \ 2)에 정의되어 있고 푸리에 급수는 전체 x축에 정의된 주기 함수를 나타냅니다. 사인곡선 자체가 각각 주기 함수이고 그 합이 주기 함수이기 때문입니다. 그림 7 푸리에 급수에 의한 비주기적 원래 함수의 표현 이런 식으로: 우리의 원래 함수는 길이 T의 일부 간격에 정의된 연속적이고 비주기적입니다. 고조파 성분의 주기는 원래 함수 f(x)가 정의된 세그먼트(0, T)의 배수입니다. 즉, 고조파 주기는 신호 측정 기간의 배수입니다. 예를 들어, 푸리에 급수의 첫 번째 고조파 주기는 함수 f(x)가 정의된 간격 T와 같습니다. 푸리에 급수의 2차 고조파 주기는 간격 T/2와 같습니다. 등등(그림 8 참조). 그림 8 푸리에 급수의 고조파 성분의 주기(주파수)(여기서 T = 2?) 따라서 고조파 성분의 주파수는 1/T의 배수입니다. 즉, 고조파 성분 Fk의 주파수는 Fk= k\T와 동일하며, 여기서 k는 0에서 α까지의 범위입니다. 예를 들어 k=0 F0=0; k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T; k=3 F3=3\T;… Fk= k\T(0 주파수에서 - 일정한 성분). 원래 함수를 T=1초 동안 기록된 신호라고 합시다. 그러면 첫 번째 고조파의 주기는 신호 T1=T=1초의 지속 시간과 같고 고조파 주파수는 1Hz입니다. 2차 고조파의 주기는 신호의 지속 시간을 2로 나눈 값과 같으며(T2=T/2=0.5초) 주파수는 2Hz입니다. 3차 고조파의 경우 T3=T/3초이고 주파수는 3Hz입니다. 등등. 이 경우 고조파 사이의 간격은 1Hz입니다. 따라서 지속 시간이 1초인 신호는 주파수 분해능이 1Hz인 고조파 성분(스펙트럼을 얻기 위해)으로 분해될 수 있습니다. 샘플 배열에 0을 추가하여 신호의 지속 시간을 인위적으로 늘리는 방법이 있습니다. 그러나 실제 주파수 분해능은 증가하지 않습니다. 신호를 측정하고 디지털화하는 일반적인 방식은 다음과 같습니다. 그림 9 측정 채널 구성도 측정 변환기의 신호는 시간 T 동안 ADC에 도달합니다. T 시간 동안 얻은 신호 샘플(샘플)은 컴퓨터로 전송되어 메모리에 저장됩니다. 그림 10 디지털화된 신호 - 시간 T에 수신된 N 판독값 신호 디지털화 매개변수에 대한 요구 사항은 무엇입니까? 입력된 아날로그 신호를 이산 코드(디지털 신호)로 변환하는 장치를 아날로그-디지털 변환기(ADC, English Analog-to-Digital Converter, ADC)(Wiki)라고 합니다. ADC의 주요 매개변수 중 하나는 최대 샘플링 속도(또는 샘플링 속도, 영어 샘플 속도)입니다. 샘플링하는 동안 시간적으로 연속적인 신호의 샘플을 취하는 주파수입니다. 헤르츠 단위로 측정됩니다. ((위키)) Kotelnikov 정리에 따르면 연속 신호에 주파수 Fmax에 의해 제한된 스펙트럼이 있는 경우 시간 간격, 즉 주파수 Fd ? 2*Fmax, 여기서 Fd - 샘플링 속도; Fmax - 신호 스펙트럼의 최대 주파수. 즉, 신호의 샘플링 주파수(ADC 샘플링 속도)는 측정하고자 하는 신호의 최대 주파수의 2배 이상이어야 합니다. Kotelnikov 정리에서 요구하는 것보다 더 낮은 빈도로 판독값을 취하면 어떻게 될까요? 이 경우 디지털화 후 고주파 신호가 실제로 존재하지 않는 저주파 신호로 바뀌는 "앨리어싱" 효과(스트로보 효과, 모아레 효과라고도 함)가 발생합니다. 무화과에. 5 고주파 빨간색 사인파는 실제 신호입니다. 저주파 청색 사인파는 샘플링 시간 동안 고주파 신호의 절반 이상의 주기가 통과할 시간이 있다는 사실에서 비롯된 더미 신호입니다. 쌀. 11. 샘플링 속도가 충분히 높지 않을 때 거짓 저주파 신호의 출현 앨리어싱의 영향을 피하기 위해 ADC 샘플링 주파수의 절반 미만인 주파수를 통과시키고 더 높은 주파수를 차단하는 특수 안티 앨리어싱 필터가 ADC-LPF(저역 통과 필터) 앞에 배치됩니다. 이산 샘플에서 신호의 스펙트럼을 계산하기 위해 이산 푸리에 변환(DFT)이 사용됩니다. 이산 신호의 스펙트럼은 샘플링 주파수 Fd의 절반 미만인 주파수 Fmax에 의해 "정의에 따라" 제한된다는 점에 다시 한 번 유의합니다. 따라서 이산 신호의 스펙트럼은 스펙트럼이 무제한일 수 있는 연속 신호의 푸리에 급수에 대한 무한 합과 대조적으로 유한 수의 고조파의 합으로 나타낼 수 있습니다. Kotelnikov 정리에 따르면 최대 고조파 주파수는 최소 두 개의 샘플을 설명할 수 있어야 하므로 고조파 수는 이산 신호 샘플 수의 절반과 같습니다. 즉, 샘플에 N개의 샘플이 있는 경우 스펙트럼의 고조파 수는 N/2와 같습니다. 이제 이산 푸리에 변환(DFT)을 고려하십시오. 푸리에 급수와 비교 DFT의 시간이 이산적이고 고조파 수가 샘플 수의 절반인 N/2로 제한된다는 점을 제외하고는 일치함을 알 수 있습니다. DFT 공식은 무차원 정수 변수 k, s로 작성됩니다. 여기서 k는 신호 샘플의 수이고 s는 스펙트럼 성분의 수입니다. 처음에 얻은 결과로 돌아갑니다. 위에서 언급했듯이 비주기적 함수(우리의 신호)를 푸리에 급수로 확장할 때 결과 푸리에 급수는 실제로 주기가 T인 주기적 함수에 해당합니다(그림 12). 그림 12 주기 Т0의 주기적 기능 f(x), 측정 주기 Т>T0 도 12에서 볼 수 있는 바와 같이, 함수 f(x)는 주기 Т0으로 주기적이다. 그러나 측정 샘플 T의 지속 시간이 함수 T0의 주기와 일치하지 않기 때문에 푸리에 급수로 얻은 함수는 점 T에서 불연속성이 있습니다. 결과적으로 이 함수의 스펙트럼은 많은 고주파수 고조파를 포함합니다. 측정 샘플 T의 지속 시간이 함수 T0의 주기와 일치하면, 함수 f (x)는 정현파입니다. 즉, DFT 프로그램은 우리의 신호가 "사인파의 조각"이라는 것을 "모르지만" 주기적인 함수를 계열로 나타내려고 하며, 이는 개별 조각의 불일치로 인해 간격이 있습니다. 사인파. 결과적으로 고조파가 스펙트럼에 나타나며 이 불연속성을 포함하여 전체적으로 함수의 형태를 나타내야 합니다. 따라서 주기가 다른 여러 정현파의 합인 신호의 "정확한" 스펙트럼을 얻으려면 각 정현파의 주기 수가 신호 측정 주기에 맞아야 합니다. 실제로 이 조건은 신호 측정의 충분히 긴 기간 동안 충족될 수 있습니다. 그림 13 기어 박스의 운동 학적 오류 신호의 기능 및 스펙트럼의 예 지속 시간이 짧을수록 사진이 "나쁘게" 보입니다. 그림 14 로터 진동 신호의 기능 및 스펙트럼의 예 실제로 "실제 구성 요소"가 어디에 있고 구성 요소의 기간과 신호 샘플의 지속 시간 또는 "점프 및 중단"이 다양하지 않아 발생하는 "아티팩트"가 어디에 있는지 이해하기 어려울 수 있습니다. 파형. 물론 '실제 부품'과 '인공물'이라는 말은 헛된 인용이 아니다. 스펙트럼 그래프에 많은 고조파가 존재한다고 해서 신호가 실제로 "구성"된다는 의미는 아닙니다. 숫자 7은 숫자 3과 4로 "구성"되어 있다고 생각하는 것과 같습니다. 숫자 7은 숫자 3과 4의 합으로 나타낼 수 있습니다. 이것이 맞습니다. 우리 신호도 마찬가지입니다 ... 또는 오히려 "우리 신호"도 아니지만 신호(샘플링)를 반복하여 컴파일된 주기적 함수는 특정 진폭과 위상을 가진 고조파(정현파)의 합으로 나타낼 수 있습니다. 그러나 연습에 중요한 많은 경우(위 그림 참조), 스펙트럼에서 얻은 고조파를 본질적으로 순환하고 신호 모양에 상당한 기여를 하는 실제 프로세스와 관련시키는 것이 실제로 가능합니다. 2. 신호는 실제 값 세트로 표시되고 스펙트럼은 실제 값 세트로 표시됩니다. 고조파 주파수는 양수입니다. 수학자들이 스펙트럼을 음의 주파수를 사용하여 복잡한 형태로 표현하는 것이 더 편리하다는 사실이 "맞다", "항상 이렇게 해야 한다"는 의미는 아닙니다. 3. 시간 간격 T에서 측정된 신호는 시간 간격 T에서만 결정됩니다. 신호 측정을 시작하기 전에 일어난 일과 그 후에 일어날 일에 대해서는 과학에 알려지지 않았습니다. 그리고 우리의 경우에는 흥미롭지 않습니다. 시간 제한 신호의 DFT는 특정 조건에서 구성 요소의 진폭과 주파수를 계산할 수 있다는 의미에서 "실제" 스펙트럼을 제공합니다. 중고 재료 및 기타 유용한 재료. 2.1. 주기적 신호의 스펙트럼
주기적인 신호(전류 또는 전압)는 일정한 시간 간격 후에 파형이 반복될 때 이러한 유형의 영향이라고 합니다. 티기간이라고 합니다. 주기 신호의 가장 단순한 형태는 진폭, 주기 및 초기 위상을 특징으로 하는 고조파 신호 또는 사인파입니다. 다른 모든 신호는 조화롭지 못한또는 비정현파. 전원 공급 장치의 입력 신호가 주기적이면 각 분기의 다른 모든 전류 및 전압(출력 신호)도 주기적임을 알 수 있고 실습을 통해 이를 증명할 수 있습니다. 이 경우 다른 분기의 파형이 서로 다릅니다. 신호를 푸리에 급수로 분해하는 것을 기반으로 하는 전기 회로에서 주기적인 비고조파 신호(입력 동작 및 반응)를 연구하는 일반적인 기술이 있습니다. 이 기술은 진폭, 주파수 및 초기 위상이 있는 다수의 고조파(즉, 사인파) 신호를 항상 선택할 수 있다는 사실로 구성되며, 좌표계의 대수적 합은 항상 연구된 좌표계의 좌표계와 같습니다 비정현파 신호. 따라서 예를 들어 전압 유그림에서. 2.1. 언제든지 동일한 평등이 발생하기 때문에 스트레스 및 의 합으로 대체될 수 있습니다. 고려 중인 예의 경우 첫 번째 고조파의 주기가 비고조파 신호의 주기와 일치합니다.티 1
=
티, 그리고 두 번째 고조파의 주기는 2배 더 작습니다.티 2
=
티/2, 즉 고조파의 순시 값은 다음과 같이 작성해야 합니다. 여기서 고조파 진동의 진폭은 서로 동일합니다( 쌀. 2.1. 1차 및 2차 고조파의 가산 예 비고조파 신호 전기 공학에서 주기가 비고조파 신호의 주기와 같은 고조파 성분을 첫 번째또는 기초적인신호 고조파. 다른 모든 구성 요소를 고조파 구성 요소라고 합니다. 주파수가 첫 번째 고조파보다 k배 더 큰 고조파(주기는 각각 k배 작음)라고 합니다. k - 차 고조파. 기간에 대한 함수의 평균값도 할당합니다. 없는하모니카. 일반적인 경우, 푸리에 급수는 서로 다른 주파수의 무한한 수의 고조파 성분의 합으로 작성됩니다. (2.1)
여기서 k는 고조파 수입니다. - k 번째 고조파의 각 주파수; ω 1 \u003d ω \u003d 2 π / 티- 첫 번째 고조파의 각 주파수; - 제로 고조파. 일반적으로 발생하는 파형의 경우 푸리에 급수 확장은 전문 문헌에서 찾을 수 있습니다. 표 2는 8개의 파형에 대한 확장을 보여줍니다. 왼쪽 그림에 표시된 대로 좌표계의 원점이 선택되면 표 2에 제공된 확장이 발생한다는 점에 유의해야 합니다. 시간의 기원을 변경할 때 티고조파의 초기 위상은 변경되지만 고조파의 진폭은 동일하게 유지됩니다. 연구 중인 신호의 유형에 따라 V는 전압 신호인 경우 볼트로 측정된 값 또는 전류 신호인 경우 암페어로 측정된 값으로 이해해야 합니다. 주기 함수의 푸리에 급수 전개 표 2 일정 에프(티)
푸리에 계열 함수에프(티)
메모 k=1,3,5,... k=1,3,5,... k=1,3,5,... k=1,2,3,4,5 k=1,3,5,... k=1,2,3,4,5 S=1,2,3,4,.. k=1,2,4,6,.. 신호 7과 8은 밸브 요소를 사용하는 회로에 의해 정현파에서 생성됩니다. 비정현파 신호를 형성하는 고조파 성분 세트를 이 비고조파 신호의 스펙트럼이라고 합니다. 이 고조파 세트에서 그들은 구별하고 구별합니다. 진폭그리고 단계스펙트럼. 진폭 스펙트럼은 모든 고조파의 진폭 세트로, 일반적으로 수직선 세트 형태의 다이어그램으로 표시되며, 그 길이는 고조파의 진폭 값에 비례합니다(선택한 스케일에서) 성분이며, 수평축 상의 위치는 이 성분의 주파수(고조파 수)에 의해 결정됩니다. 마찬가지로 위상 스펙트럼은 모든 고조파의 초기 위상 집합으로 간주됩니다. 그들은 또한 수직선 세트로 확장되도록 표시됩니다. 전기 공학의 초기 단계는 -180 0 ~ +180 0 범위에서 측정하는 것이 일반적입니다. 개별 라인으로 구성된 스펙트럼을 줄 지어 또는 분리된. 스펙트럼 선은 멀리 떨어져 있습니다. 에프떨어져, 어디 에프- 첫 번째 고조파의 주파수와 동일한 주파수 간격 에프.따라서 주기적인 신호의 이산 스펙트럼에는 여러 주파수의 스펙트럼 구성 요소가 있습니다. 에프,
2에프, 3에프, 4에프, 5에프등. 예 2.1.양수 신호와 음수 신호의 지속 시간이 동일하고 해당 기간에 대한 함수의 평균값이 0일 때 직사각형 신호에 대한 진폭 및 위상 스펙트럼을 찾습니다. 유(티) = 부가가치세 0<티<티/2
유(티) = -부가가치세 티/2<티<티
단순하고 자주 사용되는 형식의 신호는 표를 사용하여 솔루션을 찾는 것이 좋습니다. 쌀. 2.2. 직사각형 신호의 선형 진폭 스펙트럼 직사각형 신호의 푸리에 확장(표 2 - 1 참조)에서 고조파 계열은 홀수 고조파만 포함하는 반면 고조파의 진폭은 고조파 수에 비례하여 감소합니다. 고조파의 진폭 라인 스펙트럼은 그림 1에 나와 있습니다. 2.2. 구성할 때 첫 번째 고조파(여기서는 전압)의 진폭이 1볼트와 같다고 가정합니다. B; 세 번째 고조파의 진폭은 B, 다섯 번째 - B 등과 같습니다. 신호의 모든 고조파의 초기 위상은 0이므로 위상 스펙트럼에는 세로 좌표의 값만 0입니다. 문제 해결됨. 예 2.2.법칙에 따라 변하는 전압에 대한 진폭 및 위상 스펙트럼을 찾으십시오. 티/4<티<티/4; 유(티) = 0 티/4<티<3/4티. 이러한 신호는 고조파 신호의 음의 부분을 제거하여(밸브 요소를 사용하는 회로에 의해) 정현파에서 형성됩니다. 쌀. 2.3. 반파장 정류 신호의 라인 스펙트럼: a) 진폭; b) 단계 정현파 전압의 반파장 정류 신호(표 2 - 8 참조)의 경우 푸리에 계열은 일정한 성분(제로 고조파), 첫 번째 고조파, 그리고 진폭이 급격히 감소하는 짝수 고조파 세트만 포함합니다. 고조파 수가 증가합니다. 예를 들어, 값 V = 100 B를 입력하면 각 항에 공통 인자 2V/π를 곱하여 다음을 찾습니다.(2.2)
이 신호의 진폭 및 위상 스펙트럼은 그림 2.3a,b에 나와 있습니다. 문제 해결됨. 푸리에 급수 이론에 따르면, 고조파의 합에 대한 비고조파 신호의 정확한 평등은 무한히 많은 수의 고조파에 대해서만 발생합니다. 컴퓨터에서 고조파 성분을 계산하면 계산 목적, 정확도 및 비고조파 효과의 형태에 따라 결정되는 임의의 수의 고조파를 분석할 수 있습니다. 신호의 지속 시간이티
모양에 관계없이 훨씬 짧은 기간 티, 그러면 고조파의 진폭이 천천히 감소하고 신호에 대한 보다 완전한 설명을 위해서는 계열의 많은 항을 고려해야 합니다. 이 기능은 다음 조건이 충족되는 경우 표 2 - 5 및 6에 표시된 신호에 대해 추적할 수 있습니다. τ
<<티. 비고조파 신호가 정현파 형태에 가까우면(예: 표 2의 신호 2 및 3) 고조파가 급격히 감소하며 신호에 대한 정확한 설명을 위해서는 3으로 제한하면 충분합니다. 시리즈의 다섯 가지 고조파.
수학적 관점에서 이 구에는 얼마나 많은 실수가 있습니까?
이제 당국은 5초가 너무 길다고 결정했습니다. 신호를 0.5초로 측정해 보겠습니다. 
그림 3 0.5초의 측정 주기에 대한 함수 sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x)의 그래프
그림 4 기능 스펙트럼2. 연속 함수와 푸리에 급수에 의한 표현
수학적으로, T 초의 지속 시간을 가진 신호는 간격 (0, T)에 주어진 특정 함수 f(x)입니다(이 경우 X는 시간입니다). 이러한 함수는 항상 다음 형식의 조화 함수(사인 또는 코사인)의 합으로 나타낼 수 있습니다.
T - 기능이 정의된 세그먼트(신호 지속 시간)
Ak - k 번째 고조파 성분의 진폭,
?k - k 번째 고조파 성분의 초기 위상
여기서, k번째 복소 진폭.
신호 스펙트럼 분석의 수학적 기초는 푸리에 변환입니다.
이 함수의 스펙트럼은 불연속적입니다. 즉, 무한 계열의 고조파 성분인 푸리에 계열로 표시됩니다.
사실, 특정 주기 함수는 세그먼트 (0, T)에서 우리와 일치하는 푸리에 급수에 의해 정의되지만 이 주기성은 우리에게 필수적인 것은 아닙니다.
분해능을 0.5Hz로 2배 높이려면 측정 시간을 최대 2초까지 2배 늘려야 합니다. 지속 시간이 10초인 신호는 주파수 분해능이 0.1Hz인 고조파 성분(스펙트럼을 얻기 위해)으로 분해될 수 있습니다. 주파수 분해능을 높이는 다른 방법은 없습니다.3. 이산 신호 및 이산 푸리에 변환
디지털 기술의 발달로 측정 데이터(신호)를 저장하는 방식도 변화하고 있습니다. 이전에 신호를 테이프 레코더에 녹음하고 아날로그 형식으로 테이프에 저장할 수 있었다면 이제 신호가 디지털화되어 컴퓨터 메모리의 파일에 일련의 숫자(카운트)로 저장됩니다.
s 값은 기간 T(신호 측정 기간)에서 고조파의 전체 진동 수를 나타냅니다. 이산 푸리에 변환은 고조파의 진폭과 위상을 수치적으로 찾는 데 사용됩니다. "컴퓨터에서"일부 결과
1. ADC에 의해 디지털화된 실제 측정 신호 지속 시간 Tsec, 즉 개별 샘플 세트(N개)로 표시되는 이산 비주기 스펙트럼, 고조파 세트(N/2개)로 표시됩니다. 
. 각 항은 정현파이며, 진동 주파수는 주기와 관련이 있습니다. 티정수 비율.
), 초기 위상은 0과 같습니다.
가) 나)
