Elektromagnetizmo tyrimų pažanga XIX amžiuje paskatino sparčią pramonės ir technologijų plėtrą, ypač ryšių srityje. Nutiesdami telegrafo linijas dideliais atstumais, inžinieriai susidūrė su daugybe nepaaiškinamų reiškinių, paskatinusių mokslininkus atlikti tyrimus. Taigi šeštajame dešimtmetyje britų fizikas Williamas Thomsonas (lordas Kelvinas) ėmėsi transatlantinės telegrafijos klausimo. Atsižvelgdamas į pirmųjų praktikų nesėkmes, jis teoriškai ištyrė elektros impulsų sklidimo kabeliu klausimą. Tuo pat metu Kelvinas gavo nemažai svarbių išvadų, kurios vėliau leido įgyvendinti telegrafiją anapus vandenyno. Taip pat 1853 m. britų fizikas išvedė svyruojančios elektros iškrovos egzistavimo sąlygas. Šios sąlygos sudarė viso elektrinių virpesių tyrimo pagrindą. Šioje pamokoje ir kitose šio skyriaus pamokose apžvelgsime kai kuriuos Thomsono elektrinių virpesių teorijos pagrindus.
Periodiškai arba beveik periodiniai pokyčiai vadinamas krūvis, srovė ir įtampa grandinėje elektromagnetinės vibracijos. Taip pat galima pateikti dar vieną apibrėžimą.
Elektromagnetiniai virpesiai vadinami periodiniais elektrinio lauko stiprumo pokyčiais. E) ir magnetinė indukcija ( B).
Norint sužadinti elektromagnetinius virpesius, būtina turėti virpesių sistemą. Paprasčiausia virpesių sistema, kurioje galima išlaikyti laisvuosius elektromagnetinius virpesius, vadinama virpesių grandinė.
1 paveiksle parodyta paprasčiausia virpesių grandinė - tai elektros grandinė, kurią sudaro kondensatorius ir laidžioji ritė, sujungta su kondensatoriaus plokštelėmis.
Ryžiai. 1. Virpesių grandinė
Tokioje virpesių grandinėje gali atsirasti laisvųjų elektromagnetinių virpesių.
Laisvas vadinami svyravimais, kurie atliekami dėl pačios virpesių sistemos sukauptų energijos atsargų, nepritraukiant energijos iš išorės.
Apsvarstykite svyravimo grandinę, parodytą 2 paveiksle. Ją sudaro: ritė su induktyvumu L, kondensatorius su talpa C, lemputė (srovės buvimui grandinėje valdyti), raktas ir srovės šaltinis Naudojant raktą, kondensatorius gali būti prijungtas arba prie srovės šaltinio, arba prie ritės. Pradiniu laiko momentu (kondensatorius nėra prijungtas prie srovės šaltinio) įtampa tarp jo plokščių yra 0.
Ryžiai. 2. Virpesių grandinė
Kondensatorių įkrauname trumpuoju jungimu prie šaltinio nuolatinė srovė.
Perjungus kondensatorių į ritę, lemputė užsidega trumpam, tai yra, kondensatorius greitai išsikrauna.
Ryžiai. 3. Įtampos tarp kondensatoriaus plokščių ir laiko iškrovimo metu grafikas
3 paveiksle parodytas įtampos tarp kondensatoriaus plokščių ir laiko grafikas. Šis grafikas rodo laiko intervalą nuo kondensatoriaus įjungimo į ritę momento, kol įtampa kondensatoriuje yra lygi nuliui. Matyti, kad įtampa periodiškai keitėsi, tai yra grandinėje atsirado svyravimai.
Vadinasi, virpesių grandinėje teka laisvi slopinami elektromagnetiniai virpesiai.
Pradiniu laiko momentu (kol kondensatorius nebuvo uždarytas prie ritės) visa energija buvo sutelkta kondensatoriaus elektriniame lauke (žr. 4 pav. a).
Kai kondensatorius sutrumpinamas su ritine, jis pradės išsikrauti. Kondensatoriaus iškrovos srovė, einanti per ritės posūkius, sukuria magnetinį lauką. Tai reiškia, kad keičiasi ritę supantis magnetinis srautas ir joje atsiranda saviindukcijos emf, neleidžiantis momentiniam kondensatoriaus iškrovimui, todėl iškrovos srovė palaipsniui didėja. Didėjant iškrovos srovei, elektrinis laukas kondensatoriuje mažėja, tačiau ritės magnetinis laukas didėja (žr. 4 pav. b).
Tuo momentu, kai kondensatoriaus laukas išnyks (kondensatorius išsikraus), ritės magnetinis laukas bus maksimalus (žr. 4 pav. c).
Tada magnetinis laukas susilpnės ir grandinėje atsiras savaiminės indukcijos srovė, kuri neleis mažėti magnetinis laukas Todėl ši savaiminės indukcijos srovė bus nukreipta taip pat, kaip ir kondensatoriaus iškrovos srovė. Tai paskatins kondensatoriaus įkrovimą. Tai yra, ant viršelio, kur iš pradžių buvo pliuso ženklas, atsiras minusas ir atvirkščiai. Elektrinio lauko stiprumo vektoriaus kryptis kondensatoriuje taip pat pasikeis į priešingą (žr. 4 pav. d).
Srovė grandinėje susilpnės dėl kondensatoriaus elektrinio lauko padidėjimo ir visiškai išnyks, kai kondensatoriuje esantis laukas pasieks maksimalią reikšmę (žr. 4 pav. d).
Ryžiai. 4. Procesai, vykstantys per vieną svyravimo periodą
Išnykus kondensatoriaus elektriniam laukui, magnetinis laukas vėl pasieks maksimumą (žr. 4g pav.).
Kondensatorius pradės krauti dėl indukcijos srovės. Įkrovimui progresuojant silpnės srovė, o kartu ir magnetinis laukas (žr. 4 h pav.).
Kai kondensatorius įkraunamas, srovė grandinėje ir magnetinis laukas išnyks. Sistema grįš į pradinė būsena(Žr. 4 pav. f).
Taigi, mes atsižvelgėme į procesus, vykstančius per vieną svyravimo laikotarpį.
Kondensatoriaus elektriniame lauke koncentruotos energijos vertė pradiniu laiko momentu apskaičiuojama pagal formulę:
, Kur
Kondensatoriaus įkrova; C- kondensatoriaus elektrinė talpa.
Po ketvirčio laikotarpio visa kondensatoriaus elektrinio lauko energija paverčiama ritės magnetinio lauko energija, kuri nustatoma pagal formulę:
Kur L- ritės induktyvumas, aš- srovės stiprumas.
Savavališku laiko momentu kondensatoriaus elektrinio lauko ir ritės magnetinio lauko energijų suma yra pastovi vertė (jei slopinimo nepaisoma):
Pagal energijos tvermės dėsnį bendra grandinės energija išlieka pastovi, todėl pastovios vertės išvestinė laiko atžvilgiu bus lygi nuliui:
Skaičiuodami išvestines laiko atžvilgiu, gauname:
Atsižvelkime į tai, kad momentinė srovės vertė yra pirmoji krūvio išvestinė laiko atžvilgiu:
Taigi:
Jei srovės momentinė vertė yra pirmoji krūvio išvestinė laiko atžvilgiu, tai srovės išvestinė laiko atžvilgiu bus antroji krūvio išvestinė laiko atžvilgiu:
Taigi:
Mes turime diferencialinė lygtis, kurios sprendimas bus harmoninė funkcija (įkrova harmoningai priklauso nuo laiko):
Ciklinis virpesių dažnis, kuris nustatomas pagal kondensatoriaus elektrinės talpos ir ritės induktyvumo reikšmes:
Todėl krūvio svyravimai, taigi ir srovė bei įtampa grandinėje, bus harmoningi.
Kadangi virpesių periodas yra susijęs su cikliniu dažniu atvirkštiniu ryšiu, periodas yra lygus:
Ši išraiška vadinama Tomsono formulė.
Bibliografija
- Myakishev G.Ya. Fizika: vadovėlis. 11 klasei bendrojo išsilavinimo institucijose. - M.: Švietimas, 2010 m.
- Kasjanovas V.A. Fizika. 11 klasė: Edukacinis. bendrajam lavinimui institucijose. - M.: Bustard, 2005 m.
- Gendenstein L.E., Dick Yu.I., Fizika 11. - M.: Mnemosyne
- Lms.licbb.spb.ru ().
- Home-task.com ().
- Sch130.ru ().
- Youtube.com ().
Namų darbai
- Kaip vadinami elektromagnetiniai virpesiai?
- Klausimai 28 pastraipos pabaigoje, 30 (2) – Myakishev G.Ya. Fizika 11 (žr. rekomenduojamų skaitinių sąrašą) ().
- Kaip grandinėje paverčiama energija?
IN elektros grandinės, kaip ir mechaninėse sistemose, pvz., spyruoklės ar švytuoklės apkrova laisvos vibracijos.
Elektromagnetiniai virpesiaivadinami periodiškais tarpusavyje susijusiais krūvio, srovės ir įtampos pokyčiais.
Laisvassvyravimai yra tie, kurie atsiranda be išorinės įtakos dėl iš pradžių sukauptos energijos.
Priverstasvadinami virpesiais grandinėje, veikiant išorinei periodinei elektrovaros jėgai
Laisvieji elektromagnetiniai virpesiai – tai periodiškai pasikartojantys elektromagnetinių dydžių pokyčiai (q- elektros krūvis,aš- srovės stiprumas,U– potencialų skirtumas), atsirandantis nenaudojant energijos iš išorinių šaltinių.
Paprasčiausias elektrinė sistema, galintis laisvai vibruoti, yra nuoseklioji RLC grandinė arba virpesių grandinė.
Virpesių grandinė –yra sistema, susidedanti iš nuosekliai sujungtų kondensatoriųC, induktoriaiL ir laidininkas su varžaR
Apsvarstykite uždarą virpesių grandinę, sudarytą iš induktyvumo L ir konteineriai SU.
Norint sužadinti šios grandinės svyravimus, kondensatorius turi būti įkrautas iš šaltinio. ε . Kai raktas K yra 1 padėtyje, kondensatorius įkraunamas iki įtampos. Perjungus raktą į 2 padėtį, prasideda kondensatoriaus iškrovimo procesas per rezistorių R ir induktorius L. Tam tikromis sąlygomis šis procesas gali būti svyruojantis.
Osciloskopo ekrane galima stebėti laisvus elektromagnetinius virpesius.
Kaip matyti iš osciloskopu gauto virpesių grafiko, laisvieji elektromagnetiniai virpesiai yra išblukęs, ty jų amplitudė laikui bėgant mažėja. Taip atsitinka todėl, kad dalis elektros energija esant aktyviajai varžai R virsta vidine energija. laidininkas (laidininkas įkaista, kai per jį praeina elektros srovė).
Panagrinėkime, kaip virpesių grandinėje atsiranda svyravimai ir kokie energijos pokyčiai. Pirmiausia panagrinėkime atvejį, kai grandinėje nėra elektromagnetinės energijos nuostolių ( R = 0).
Jei įkraunate kondensatorių iki įtampos U 0, tada pradiniu laiko momentu t 1 = 0 kondensatoriaus plokštelėse bus nustatytos įtampos U 0 ir įkrovimo amplitudės reikšmės q 0 = CU 0.
Bendra sistemos energija W lygi elektrinio lauko energijai W el:
Jei grandinė uždaryta, srovė pradeda tekėti. Grandinėje pasirodo emf. saviindukcija
Dėl savaiminės indukcijos ritėje kondensatorius išsikrauna ne akimirksniu, o palaipsniui (kadangi pagal Lenco taisyklę susidaranti indukuota srovė savo magnetiniu lauku atsveria jį sukėlusį magnetinio srauto pokytį. Tai yra magnetinis indukuotos srovės laukas neleidžia grandinėje akimirksniu padidėti srovės magnetiniam srautui). Šiuo atveju srovė didėja palaipsniui, pasiekdama didžiausią vertę I 0 momentu t 2 = T/4, o kondensatoriaus įkrova tampa lygi nuliui.
Kondensatoriui išsikraunant elektrinio lauko energija mažėja, bet kartu didėja ir magnetinio lauko energija. Bendra grandinės energija iškrovus kondensatorių yra lygi magnetinio lauko energijai W m:
Kitą akimirką srovė teka ta pačia kryptimi, mažėja iki nulio, todėl kondensatorius įkraunamas. Kondensatoriui išsikrovus dėl savaiminės indukcijos, srovė nenutrūksta akimirksniu (dabar indukcijos srovės magnetinis laukas neleidžia akimirksniu sumažėti srovės magnetiniam srautui grandinėje). Laiko momentu t 3 =T/2 kondensatoriaus įkrova vėl yra didžiausia ir lygi pradiniam įkrovimui q = q 0, įtampa taip pat lygi pradiniam U = U 0, o srovė grandinėje yra nulis I = 0.
Tada kondensatorius vėl išsikrauna, srovė teka per induktyvumą priešinga kryptimi. Praėjus tam tikram laikui T, sistema grįžta į pradinę būseną. Visas svyravimas baigiasi ir procesas kartojasi.
Krūvio ir srovės stiprio kitimo grafikas vykstant laisviesiems elektromagnetiniams virpesiams grandinėje rodo, kad srovės stiprumo svyravimai nuo krūvio svyravimų atsilieka π/2.
Bet kuriuo momentu bendra energija yra:
Esant laisviems virpesiams, vyksta periodinė elektros energijos transformacija W e, saugomas kondensatoriuje, į magnetinę energiją W m ritės ir atvirkščiai. Jei virpesių grandinėje nėra energijos nuostolių, tai bendra sistemos elektromagnetinė energija išlieka pastovi.
Laisvosios elektrinės vibracijos yra panašios į mechanines vibracijas. Paveikslėlyje parodytos įkrovos pokyčių grafikai q(t) kondensatorius ir poslinkis x(t) apkrova iš pusiausvyros padėties, taip pat srovės grafikai aš(t) ir apkrovos greitis υ( t) vienam svyravimo periodui.
Nesant slopinimo, elektros grandinėje yra laisvi virpesiai harmoninė, tai yra, jie atsiranda pagal įstatymą
q(t) = q 0 cos(ω t + φ 0)
Galimybės L Ir C svyravimo grandinę lemia tik natūralus laisvųjų virpesių dažnis ir virpesių periodas - Thompsono formulė
Amplitudė q 0 ir pradinė fazė φ 0 nustatomi pradines sąlygas, tai yra būdas, kuriuo sistema buvo išvesta iš pusiausvyros.
Krūvio, įtampos ir srovės svyravimams gaunamos šios formulės:
Dėl kondensatoriaus:
q(t) = q 0 cosω 0 t
U(t) = U 0 cosω 0 t
Induktoriui:
i(t) = aš 0 cos(ω 0 t+ π/2)
U(t) = U 0 cos(ω 0 t + π)
Prisiminkime Pagrindinės svyruojančio judėjimo charakteristikos:
q 0, U 0 , aš 0 - amplitudė– modulis didžiausia vertė svyruojantis dydis
T - laikotarpį– minimalus laikotarpis, po kurio procesas visiškai kartojamas
ν - Dažnis– svyravimų skaičius per laiko vienetą
ω - Ciklinis dažnis– svyravimų skaičius per 2n sekundes
φ - svyravimo fazė- dydis po kosinuso (sinuso) ženklu ir apibūdinantis sistemos būklę bet kuriuo metu.
Elektriniai virpesiai reiškia periodinius krūvio, srovės ir įtampos pokyčius. Paprasčiausia sistema, kurioje galimi laisvieji elektriniai virpesiai, yra vadinamoji virpesių grandinė. Tai įtaisas, susidedantis iš kondensatoriaus ir ritės, sujungtos viena su kita. Darysime prielaidą, kad nėra aktyvios ritės varžos, tokiu atveju grandinė vadinama idealia. Kai energija perduodama šiai sistemai, joje atsiras neslopinami kondensatoriaus krūvio, įtampos ir srovės harmoniniai svyravimai.
Galite perduoti energiją virpesių grandinei Skirtingi keliai. Pavyzdžiui, įkraunant kondensatorių iš nuolatinės srovės šaltinio arba sužadinant srovę induktoriuje. Pirmuoju atveju energiją turi elektrinis laukas tarp kondensatoriaus plokščių. Antruoju atveju energija yra srovės, tekančios per grandinę, magnetiniame lauke.
§1 Virpesių lygtis grandinėje
Įrodykime, kad grandinei perduodant energiją, joje atsiras neslopinami harmoniniai virpesiai. Tam reikia gauti formos harmoninių virpesių diferencialinę lygtį.
Tarkime, kondensatorius yra įkrautas ir sutrumpintas su ritė. Kondensatorius pradės išsikrauti, o srovė tekės per ritę. Pagal antrąjį Kirchhoffo dėsnį, įtampos kritimų išilgai uždaros grandinės suma yra lygi šios grandinės emf sumai.
Mūsų atveju įtampos kritimas yra todėl, kad grandinė yra ideali. Kondensatorius grandinėje veikia kaip srovės šaltinis, potencialų skirtumas tarp kondensatoriaus plokščių veikia kaip EMF, kur yra kondensatoriaus įkrova ir kondensatoriaus elektrinė talpa. Be to, kai per ritę teka kintanti srovė, joje atsiranda savaiminis indukcinis emf, kur yra ritės induktyvumas ir srovės kitimo greitis ritėje. Kadangi savaiminės indukcijos emf neleidžia kondensatoriui iškrauti, antrasis Kirchhoffo dėsnis įgauna formą
Tačiau srovė grandinėje yra kondensatoriaus iškrovimo arba įkrovimo srovė. Tada
Diferencialinė lygtis transformuojama į formą
Įvedę žymėjimą, gauname gerai žinomą harmoninių virpesių diferencialinę lygtį.
Tai reiškia, kad svyruojančioje grandinėje esančio kondensatoriaus įkrova keisis pagal harmonikos dėsnį
kur yra didžiausia kondensatoriaus įkrovimo vertė, yra ciklinis dažnis, yra pradinė svyravimų fazė.
Krūvio virpesių periodas. Ši išraiška vadinama Thompsono formule.
Kondensatoriaus įtampa
Grandinės srovė
Matome, kad be kondensatoriaus įkrovos, pagal harmonikos dėsnį, keisis ir srovė grandinėje bei kondensatoriaus įtampa. Įtampa svyruoja kartu su krūviu, o srovės stiprumas įveda įkrovą
fazė įjungta.
Kondensatoriaus elektrinio lauko energija
Srovės magnetinio lauko energija
Taigi elektrinio ir magnetinio lauko energijos taip pat kinta pagal harmonikos dėsnį, bet dvigubu dažniu.
Apibendrinti
Elektriniai virpesiai turėtų būti suprantami kaip periodiniai krūvio, įtampos, srovės, elektrinio lauko energijos ir magnetinio lauko energijos pokyčiai. Šios vibracijos, kaip ir mechaninės, gali būti laisvos arba priverstinės, harmoninės ir neharmoninės. Idealioje virpesių grandinėje galimi laisvieji harmoniniai elektriniai virpesiai.
§2 Virpesių grandinėje vykstantys procesai
Mes matematiškai įrodėme laisvųjų harmoninių virpesių egzistavimą virpesių grandinėje. Tačiau lieka neaišku, kodėl toks procesas įmanomas. Kas sukelia virpesius grandinėje?
Laisvųjų mechaninių virpesių atveju buvo rasta tokia priežastis – tai vidinė jėga, atsirandanti iškėlus sistemą iš pusiausvyros padėties. Ši jėga bet kuriuo momentu yra nukreipta į pusiausvyros padėtį ir yra proporcinga kūno koordinatei (su minuso ženklu). Pabandykime surasti panašią svyravimų atsiradimo svyravimų grandinėje priežastį.
Leiskite grandinės virpesiams sužadinti, įkraudami kondensatorių ir trumpindami jį su ritė.
Pradiniu laiko momentu kondensatoriaus įkrova yra didžiausia. Vadinasi, kondensatoriaus elektrinio lauko įtampa ir energija taip pat yra maksimalios.
Grandinėje nėra srovės, srovės magnetinio lauko energija lygi nuliui.
Pirmasis laikotarpio ketvirtis– kondensatoriaus iškrova.
Kondensatoriaus plokštės, turinčios skirtingus potencialus, yra sujungtos laidininku, todėl kondensatorius pradeda išsikrauti per ritę. Sumažėja įkrovimas, kondensatoriaus įtampa ir elektrinio lauko energija.
Srovė, kuri atsiranda grandinėje, didėja, tačiau ją didinti neleidžia savaiminės indukcijos emf, atsirandanti ritėje. Srovės magnetinio lauko energija didėja.
Praėjo ketvirtadalis laikotarpio- kondensatorius išsikrovęs.
Kondensatorius išsikrovė, jo įtampa tapo lygi nuliui. Elektrinio lauko energija šiuo momentu taip pat lygi nuliui. Pagal energijos tvermės dėsnį jis negalėjo išnykti. Kondensatoriaus lauko energija visiškai paverčiama ritės magnetinio lauko energija, kuri šiuo metu pasiekia didžiausią vertę. Didžiausia srovė grandinėje.
Atrodytų, kad šiuo metu srovė grandinėje turėtų sustoti, nes srovės priežastis – elektrinis laukas – išnyko. Tačiau srovei išnykti vėl užkerta kelią savaiminės indukcijos emf ritėje. Dabar jis palaikys mažėjančią srovę ir toliau tekės ta pačia kryptimi, įkraudamas kondensatorių. Prasideda antrasis laikotarpio ketvirtis.
Antrasis laikotarpio ketvirtis – kondensatoriaus įkrovimas.
Srovė, palaikoma saviindukcijos emf, toliau teka ta pačia kryptimi, palaipsniui mažėja. Ši srovė įkrauna kondensatorių priešingu poliškumu. Padidėja kondensatoriaus įkrova ir įtampa.
Srovės magnetinio lauko energija, mažėjanti, virsta kondensatoriaus elektrinio lauko energija.
Praėjo antrasis laikotarpio ketvirtis – kondensatorius pasikrovė.
Kondensatorius įkraunamas tol, kol yra srovė. Todėl tuo metu, kai srovė sustoja, kondensatoriaus įkrova ir įtampa įgauna didžiausią vertę.
Šiuo metu magnetinio lauko energija buvo visiškai paversta kondensatoriaus elektrinio lauko energija.
Situacija grandinėje šiuo metu yra lygiavertė pradinei. Procesai grandinėje kartosis, bet priešinga kryptimi. Vienas visiškas grandinės svyravimas, trunkantis tam tikrą laikotarpį, baigsis, kai sistema grįš į pradinę būseną, ty kai kondensatorius bus įkraunamas pradiniu poliškumu.
Nesunku pastebėti, kad grandinės virpesių priežastis yra saviindukcijos reiškinys. Saviindukcijos EMF neleidžia srovei keistis: neleidžia jai akimirksniu padidėti ir iš karto išnykti.
Beje, nebūtų neteisinga lyginti kvazielastinės jėgos mechaninėje virpesių sistemoje ir savaiminės indukcijos emf skaičiavimo išraiškas grandinėje:
Anksčiau mechaninių ir elektrinių virpesių sistemų diferencialinės lygtys buvo gautos:
Nepaisant esminių mechaninių ir elektrinių virpesių sistemų fizikinių procesų skirtumų, matematinė lygčių, apibūdinančių procesus šiose sistemose, tapatybė yra aiškiai matoma. Apie tai turėtume pakalbėti plačiau.
§3 Analogija tarp elektros ir mechaninės vibracijos
Kruopšti spyruoklinės švytuoklės ir virpesių grandinės diferencialinių lygčių analizė, taip pat formulių, jungiančių dydžius, apibūdinančius šių sistemų procesus, analizė leidžia nustatyti, kurie dydžiai elgiasi taip pat (2 lentelė).
| Spyruoklinė švytuoklė | Virpesių grandinė |
| Kūno koordinatės () | Kondensatoriaus įkrovimas () |
| Kūno greitis | Srovės stiprumas grandinėje |
| Tampriai deformuotos spyruoklės potenciali energija | Kondensatoriaus elektrinio lauko energija |
| Krovinio kinetinė energija | Srovės ritės magnetinio lauko energija |
| Spyruoklės standumo atvirkštinė vertė | Kondensatoriaus talpa |
| Krovinio svoris | Ritės induktyvumas |
| Elastinė jėga | Saviindukcijos emf lygi kondensatoriaus įtampai |
2 lentelė
Svarbu ne tik formalus dydžių, apibūdinančių švytuoklės svyravimo procesus ir grandinėje vykstančius procesus, panašumas. Patys procesai yra identiški!
Kraštutinės švytuoklės padėtys yra lygiavertės grandinės būklei, kai kondensatoriaus įkrova yra didžiausia.
Švytuoklės pusiausvyros padėtis yra lygi grandinės būklei, kai kondensatorius išsikrauna. Šiuo metu tamprumo jėga tampa lygi nuliui, o grandinėje nėra kondensatoriaus įtampos. Švytuoklės greitis ir srovė grandinėje yra didžiausi. Potenciali spyruoklės tampriosios deformacijos energija ir kondensatoriaus elektrinio lauko energija yra lygi nuliui. Sistemos energiją sudaro apkrovos kinetinė energija arba srovės magnetinio lauko energija.
Kondensatoriaus iškrovimas vyksta panašiai kaip švytuoklės judėjimas iš kraštutinės padėties į pusiausvyros padėtį. Kondensatoriaus įkrovimo procesas yra identiškas apkrovos pašalinimo iš pusiausvyros padėties į kraštutinę padėtį procesui.
Bendra virpesių sistemos energija laikui bėgant nesikeičia.
Panašią analogiją galima atsekti ne tik tarp spyruoklinės švytuoklės ir virpesių grandinės. Universalūs bet kokios prigimties laisvų vibracijų dėsniai! Šie modeliai, iliustruoti dviejų virpesių sistemų (spyruoklinės švytuoklės ir virpesių grandinės) pavyzdžiu, yra ne tik įmanomi, bet ir turi pamatyti bet kurios sistemos virpesiuose.
Iš esmės bet kokio svyravimo proceso problemą galima išspręsti pakeitus jį švytuoklės svyravimais. Tam pakanka kompetentingai sukonstruoti lygiavertę mechaninę sistemą, išspręsti mechaninę problemą ir galutiniame rezultate pakeisti kiekius. Pavyzdžiui, reikia rasti virpesių periodą grandinėje, kurioje yra kondensatorius ir dvi lygiagrečiai sujungtos ritės.
Virpesių grandinėje yra vienas kondensatorius ir dvi ritės. Kadangi ritė elgiasi kaip spyruoklės švytuoklė, o kondensatorius – kaip spyruoklė, lygiavertėje mechaninėje sistemoje turi būti viena spyruoklė ir du svareliai. Problema ta, kaip svareliai pritvirtinami prie spyruoklės. Galimi du atvejai: vienas spyruoklės galas yra fiksuotas, o vienas svarelis pritvirtintas prie laisvo galo, antrasis yra ant pirmojo arba svareliai tvirtinami prie skirtingų spyruoklės galų.
At lygiagretus ryšys skirtingo induktyvumo ritėse teka skirtingos srovės. Vadinasi, apkrovų greičiai identiškoje mechaninėje sistemoje taip pat turi būti skirtingi. Akivaizdu, kad tai įmanoma tik antruoju atveju.
Mes jau nustatėme šios svyruojančios sistemos periodą. Tai lygu. Pakeitę apkrovų mases ritių induktyvumu, o spyruoklės standumo grįžtamąją vertę su kondensatoriaus talpa, gauname.
§4 Virpesių grandinė su nuolatinės srovės šaltiniu
Panagrinėkime svyruojančią grandinę, kurioje yra nuolatinės srovės šaltinis. Tegul kondensatorius iš pradžių būna neįkrautas. Kas atsitiks sistemoje uždarius K raktą? Ar tokiu atveju bus stebimi svyravimai ir koks jų dažnis bei amplitudė?
Akivaizdu, kad uždarius raktą kondensatorius pradės krauti. Užrašome antrąjį Kirchhoffo dėsnį:
Srovė grandinėje yra kondensatoriaus įkrovimo srovė, todėl. Tada . Diferencialinė lygtis transformuojama į formą
*Lygtį išsprendžiame keisdami kintamuosius.
Pažymėkime. Atskiriame du kartus ir, atsižvelgdami į tai, kad gauname . Diferencialinė lygtis įgauna formą
Tai harmoninių virpesių diferencialinė lygtis, jos sprendimas yra funkcija
kur yra ciklinis dažnis, integravimo konstantos ir randamos iš pradinių sąlygų.
Kondensatoriaus įkrova keičiasi pagal įstatymus
Iš karto po rakto uždarymo kondensatoriaus įkrova yra lygi nuliui, o grandinėje nėra srovės. Atsižvelgdami į pradines sąlygas, gauname lygčių sistemą:
Išspręsdami sistemą, gauname ir . Uždarius raktą, kondensatoriaus įkrova pasikeičia pagal įstatymus.
Nesunku pastebėti, kad grandinėje atsiranda harmoninių virpesių. Nuolatinės srovės šaltinio buvimas grandinėje neturėjo įtakos virpesių dažniui, jis liko lygus. Pasikeitė „pusiausvyros padėtis“ - tuo metu, kai srovė grandinėje yra maksimali, kondensatorius įkraunamas. Kondensatoriaus krūvio svyravimų amplitudė lygi Cε.
Tą patį rezultatą galima gauti paprasčiau, naudojant analogiją tarp virpesių grandinėje ir spyruoklinės švytuoklės svyravimų. Nuolatinės srovės šaltinis prilygsta pastoviam jėgos laukui, kuriame įdedama spyruoklinė švytuoklė, pavyzdžiui, gravitacinis laukas. Kondensatoriaus įkrovimo nebuvimas tuo metu, kai grandinė uždaroma, yra identiškas spyruoklės deformacijos nebuvimui tuo momentu, kai švytuoklė pradeda svyruoti.
Nuolatiniame jėgos lauke spyruoklės švytuoklės svyravimo periodas nekinta. Virpesių periodas grandinėje elgiasi taip pat – jis išlieka nepakitęs, kai į grandinę įvedamas nuolatinės srovės šaltinis.
Pusiausvyros padėtyje, kai apkrovos greitis yra didžiausias, spyruoklė deformuojasi:
Kai srovė svyravimo grandinėje yra didžiausia. Antrasis Kirchhoffo dėsnis bus parašytas taip
Šiuo metu kondensatoriaus įkrovimas yra lygus Tą patį rezultatą galima gauti pagal išraišką (*) pakeitus
§5 Problemų sprendimo pavyzdžiai
1 problema Energijos tvermės dėsnis
L= 0,5 µH ir talpos kondensatorius SU= atsiranda 20 pF elektriniai virpesiai. Kokia yra didžiausia kondensatoriaus įtampa, jei srovės amplitudė grandinėje yra 1 mA? Aktyvus ritės pasipriešinimas yra nereikšmingas.
Sprendimas:
2 Tuo metu, kai kondensatoriaus įtampa yra maksimali (didžiausias kondensatoriaus įkrovimas), grandinėje nėra srovės. Bendra sistemos energija susideda tik iš kondensatoriaus elektrinio lauko energijos
3 Tuo metu, kai srovė grandinėje yra maksimali, kondensatorius visiškai išsikrauna. Bendra sistemos energija susideda tik iš ritės magnetinio lauko energijos
4 Remiantis (1), (2), (3) išraiškomis, gauname lygybę . Didžiausia kondensatoriaus įtampa yra
2 problema Energijos tvermės dėsnis
Virpesių grandinėje, susidedančioje iš indukcinės ritės L ir kondensatorius su talpa SU, elektriniai virpesiai vyksta su periodu T = 1 μs. Didžiausia įkrovimo vertė. Kokia srovė grandinėje tuo momentu, kai kondensatoriaus įkrova yra lygi? Aktyvusis ritės pasipriešinimas yra nereikšmingas.
Sprendimas:
1 Kadangi galima nepaisyti aktyviosios ritės varžos, visa sistemos energija, kurią sudaro kondensatoriaus elektrinio lauko energija ir ritės magnetinio lauko energija, laikui bėgant nesikeičia:
2 Tuo metu, kai kondensatoriaus įkrova yra didžiausia, grandinėje nėra srovės. Bendra sistemos energija susideda tik iš kondensatoriaus elektrinio lauko energijos
3 Remdamiesi (1) ir (2), gauname lygybę . Srovė grandinėje yra lygi.
4 Virpesių periodas grandinėje nustatomas pagal Tomsono formulę. Iš čia. Tada gauname srovę grandinėje
3 problema Virpesių grandinė su dviem lygiagrečiai sujungtais kondensatoriais
Virpesių grandinėje, susidedančioje iš indukcinės ritės L ir kondensatorius su talpa SU, elektriniai virpesiai atsiranda su krūvio amplitude . Tuo momentu, kai kondensatoriaus įkrova yra didžiausia, jungiklis K yra uždarytas. Koks bus virpesių laikotarpis grandinėje uždarius raktą? Kokia srovės amplitudė grandinėje uždarius jungiklį? Nepaisykite grandinės ominės varžos.
Sprendimas:
1 Uždarius raktą, grandinėje atsiranda kitas kondensatorius, prijungtas lygiagrečiai su pirmuoju. Bendra dviejų lygiagrečiai sujungtų kondensatorių talpa yra lygi .
Virpesių periodas grandinėje priklauso tik nuo jos parametrų ir nepriklauso nuo to, kaip sistemoje buvo sužadinami svyravimai ir kokia energija tam buvo perduota sistemai. Pagal Tomsono formulę.
2 Norėdami sužinoti srovės amplitudę, išsiaiškinkime, kokie procesai vyksta grandinėje uždarius jungiklį.
Antrasis kondensatorius buvo prijungtas tuo metu, kai pirmojo kondensatoriaus įkrova buvo didžiausia, todėl grandinėje nebuvo srovės.
Kilpos kondensatorius turėtų pradėti išsikrauti. Iškrovos srovė, pasiekusi mazgą, turėtų būti padalinta į dvi dalis. Tačiau atšaka su rite atsiranda savaiminės indukcijos EML, kuri neleidžia didėti iškrovos srovei. Dėl šios priežasties visa iškrovimo srovė pateks į atšaką su kondensatoriumi, kurio ominė varža lygi nuliui. Srovė sustos, kai tik kondensatorių įtampa bus lygi, o pradinis kondensatoriaus įkrovimas bus perskirstytas tarp dviejų kondensatorių. Įkrovimo perskirstymo tarp dviejų kondensatorių laikas yra nereikšmingas, nes šakose su kondensatoriais nėra ominės varžos. Per tą laiką srovė šakoje su ritė nespės atsirasti. Svyravimai nauja sistema tęsis ir po krūvio perskirstymo tarp kondensatorių.
Svarbu suprasti, kad perskirstant krūvį tarp dviejų kondensatorių sistemos energija neišsaugoma! Prieš uždarant raktą, vienas kondensatorius, grandinė, turėjo energijos:
Po įkrovimo perskirstymo kondensatoriaus baterija turi energijos:
Nesunku pastebėti, kad sistemos energija sumažėjo!
3 Naują srovės amplitudę randame pagal energijos tvermės dėsnį. Virpesių proceso metu kondensatoriaus baterijos energija paverčiama srovės magnetinio lauko energija:
Atkreipkite dėmesį, kad energijos tvermės dėsnis pradeda „veikti“ tik pasibaigus įkrovos perskirstymui tarp kondensatorių.
4 problema Virpesių grandinė su dviem nuosekliai sujungtais kondensatoriais
Virpesių grandinė susideda iš induktyvumo L ritės ir dviejų nuosekliai sujungtų kondensatorių C ir 4C. C talpos kondensatorius įkraunamas iki įtampos, 4C talpos kondensatorius neįkraunamas. Uždarius raktą, grandinėje prasideda virpesiai. Koks yra šių svyravimų laikotarpis? Nustatykite kiekvieno kondensatoriaus srovės amplitudę, maksimalią ir mažiausią įtampą.
Sprendimas:
1 Tuo momentu, kai srovė grandinėje yra maksimali, ritėje nėra savaime indukcinio emf. Užrašome antrąjį Kirchhoffo dėsnį šiam momentui
Matome, kad tuo momentu, kai srovė grandinėje yra maksimali, kondensatoriai įkraunami ta pačia įtampa, bet priešingu poliškumu:
2 Prieš uždarant jungiklį, visą sistemos energiją sudarė tik kondensatoriaus C elektrinio lauko energija:
Tuo metu, kai srovė grandinėje yra maksimali, sistemos energija yra srovės magnetinio lauko energijos ir dviejų kondensatorių, įkrautų ta pačia įtampa, energijos suma:
Pagal energijos tvermės dėsnį
Norėdami rasti kondensatorių įtampą, naudosime įkrovos išsaugojimo dėsnį - kondensatoriaus C apatinės plokštės įkrova iš dalies perkeliama į viršutinę kondensatoriaus 4C plokštę:
Rastą įtampos reikšmę pakeičiame energijos tvermės dėsniu ir randame srovės amplitudę grandinėje:
3 Raskime ribas, per kurias kinta kondensatorių įtampa svyruojant.
Akivaizdu, kad tuo metu, kai grandinė buvo uždaryta, kondensatoriuje C buvo maksimali įtampa. Todėl kondensatorius 4C nebuvo įkrautas.
Uždarius raktą, kondensatorius C pradeda išsikrauti, o 4C talpos kondensatorius pradeda krautis. Pirmojo kondensatoriaus iškrovimo ir antrojo kondensatoriaus įkrovimo procesas baigiasi, kai tik nutrūksta srovė grandinėje. Tai įvyks praėjus pusei laikotarpio. Pagal energijos tvermės dėsnius ir elektros krūvis:
Išspręsdami sistemą randame:
Minuso ženklas reiškia, kad po pusės ciklo kondensatorius C įkraunamas priešingu poliškumu nei pradinis.
5 problema Virpesių grandinė su dviem nuosekliai sujungtomis ritėmis
Virpesių grandinę sudaro kondensatorius su C talpa ir dvi induktyvumo ritės L 1 Ir L 2. Tuo metu, kai srovė grandinėje pasiekia didžiausią vertę, į pirmąją ritę greitai įvedama geležinė šerdis (palyginti su svyravimų periodu), todėl jos induktyvumas padidėja μ kartų. Kokia yra įtampos amplitudė tolesnių grandinės virpesių metu?
Sprendimas:
1 Kai šerdis greitai įkišama į ritę, magnetinis srautas turi būti palaikomas (elektromagnetinės indukcijos reiškinys). Todėl greitai pasikeis vienos iš ritių induktyvumas greitas pokytis srovė grandinėje.
2 Tuo metu, kai šerdis buvo įvesta į ritę, kondensatoriaus įkrova neturėjo laiko pasikeisti (šerdis buvo įvesta tuo metu, kai srovė grandinėje buvo maksimali). Po ketvirčio laikotarpio srovės magnetinio lauko energija virs įkrauto kondensatoriaus energija:
Dabartinę reikšmę pakeičiame gauta išraiška aš ir raskite kondensatoriaus įtampos amplitudę:
6 problema Virpesių grandinė su dviem lygiagrečiai sujungtomis ritėmis
Induktoriai L 1 ir L 2 per jungiklius K1 ir K2 prijungti prie kondensatoriaus, kurio talpa C. Pradiniu momentu abu jungikliai yra atviri, o kondensatorius įkraunamas iki potencialų skirtumo. Pirma, jungiklis K1 uždaromas ir, kai kondensatoriaus įtampa tampa lygi nuliui, K2 uždaromas. Uždarius K2 nustatykite maksimalią kondensatoriaus įtampą. Nepaisykite ritės varžų.
Sprendimas:
1 Kai jungiklis K2 yra atidarytas, grandinėje, kurią sudaro kondensatorius ir pirmoji ritė, atsiranda virpesių. Tuo metu, kai K2 užsidaro, kondensatoriaus energija perkeliama į srovės magnetinio lauko energiją pirmoje ritėje:
2 Uždarius K2, virpesių grandinėje lygiagrečiai sujungtos dvi ritės.
Srovė pirmoje ritėje negali sustoti dėl savaiminės indukcijos reiškinio. Prie mazgo jis yra padalintas: viena srovės dalis eina į antrąją ritę, o kita įkrauna kondensatorių.
3 Kondensatoriaus įtampa bus didžiausia, kai srovė sustos aš, įkrovimo kondensatorius. Akivaizdu, kad šiuo metu srovės ritėse bus lygios.
:Švytuoklė juda transliaciniu būdu masės centro greičiu ir svyruoja masės centro atžvilgiu.
Tamprumo jėga yra didžiausia maksimalios spyruoklės deformacijos momentu. Akivaizdu, kad šiuo metu santykinis apkrovų greitis tampa lygus nuliui, o lentelės atžvilgiu svoriai juda masės centro greičiu. Užrašome energijos tvermės dėsnį:
Išspręsdami sistemą, randame
Padarome pakaitalą
ir gauname anksčiau rastą didžiausios įtampos reikšmę
§6 Užduotys savarankiškas sprendimas
1 pratimas Natūralių svyravimų periodo ir dažnio skaičiavimas
1 Virpesių grandinė apima kintamos induktyvumo ritę, kuri kinta viduje L 1= 0,5 µH iki L 2= 10 µH, ir kondensatorius, kurio talpa gali skirtis nuo C 1= 10 pF iki
C 2=500 pF. Kokį dažnių diapazoną galima aprėpti derinant šią grandinę?
2 Kiek kartų keisis natūralių virpesių dažnis grandinėje, jei jos induktyvumas padidinamas 10 kartų, o talpa sumažinta 2,5 karto?
3 Virpesių grandinė su 1 µF kondensatoriumi sureguliuota 400 Hz dažniu. Jei lygiagrečiai prie jo prijungiate antrą kondensatorių, virpesių dažnis grandinėje tampa lygus 200 Hz. Nustatykite antrojo kondensatoriaus talpą.
4 Virpesių grandinė susideda iš ritės ir kondensatoriaus. Kiek kartų keisis natūralių virpesių dažnis grandinėje, jei į grandinę nuosekliai prijungiamas antras kondensatorius, kurio talpa yra 3 kartus didesnė mažiau talpos Pirmas?
5 Nustatykite grandinės, apimančios ritę (be šerdies), virpesių periodą V= 50 cm m skerspjūvio plotas
S= 3 cm 2, turintis N= 1000 apsisukimų ir kondensatoriaus talpa SU= 0,5 µF.
6 Virpesių grandinė apima induktorių L= 1,0 µH ir oro kondensatorius, kurio plokštės plotas S= 100 cm2. Grandinė sureguliuota 30 MHz dažniu. Nustatykite atstumą tarp plokščių. Grandinės aktyvioji varža yra nereikšminga.
Pagrindinis prietaisas, kuris nustato bet kurio generatoriaus veikimo dažnį kintamoji srovė, yra virpesių grandinė. Virpesių grandinė (1 pav.) susideda iš ritės induktyvumas L(apsvarstykite idealų atvejį, kai ritė neturi ominės varžos) ir kondensatorių C ir vadinamas uždaru. Ritės charakteristika yra induktyvumas, ji yra žymima L ir matuojant Henry (H), kondensatorius pasižymi talpa C, kuris matuojamas faradais (F).
Tegul pradiniu laiko momentu kondensatorius įkraunamas taip (1 pav.), kad vienoje iš jo plokščių būtų įkrovimas + K 0, o kita vertus - mokestis - K 0 . Šiuo atveju tarp kondensatoriaus plokščių susidaro elektrinis laukas su energija
kur yra amplitudė (didžiausia) įtampa arba potencialų skirtumas tarp kondensatoriaus plokščių.
Uždarius grandinę, kondensatorius pradeda išsikrauti ir eina per grandinę elektros(2 pav.), kurios reikšmė didėja nuo nulio iki didžiausios. Kadangi grandinėje teka kintamo dydžio srovė, ritėje indukuojamas saviindukcinis emf, kuris neleidžia kondensatoriui išsikrauti. Todėl kondensatoriaus iškrovimo procesas vyksta ne akimirksniu, o palaipsniui. Kiekvienu laiko momentu kondensatoriaus plokščių potencialų skirtumas
(kur yra kondensatoriaus įkrova Šis momentas laikas) yra lygus potencialų skirtumui visoje ritėje, t.y. lygus saviindukcijos emf
| 1 pav | 2 pav |
Kai kondensatorius visiškai išsikrauna ir , srovė ritėje pasieks maksimalią vertę (3 pav.). Ritės magnetinio lauko indukcija šiuo momentu taip pat yra maksimali, o magnetinio lauko energija bus lygi
Tada srovė pradeda mažėti, o įkrova kaupsis ant kondensatoriaus plokštelių (4 pav.). Kai srovė sumažėja iki nulio, kondensatoriaus įkrova pasiekia didžiausią vertę K 0, tačiau anksčiau teigiamai įkrauta plokštė dabar bus neigiamai įkrauta (5 pav.). Tada kondensatorius vėl pradeda išsikrauti, o srovė grandinėje teka priešinga kryptimi.
Taigi įkrovimo procesas, tekantis iš vienos kondensatoriaus plokštės į kitą per induktorių, kartojamas vėl ir vėl. Jie sako, kad grandinėje yra elektromagnetinės vibracijos. Šis procesas yra susijęs ne tik su kondensatoriaus įkrovos ir įtampos svyravimais, srovės stiprumu ritėje, bet ir su energijos perkėlimu iš elektrinio lauko į magnetinį lauką ir atvirkščiai.
| 3 pav | 4 pav |
Kondensatoriaus įkrovimas iki maksimalios įtampos įvyks tik tuo atveju, jei svyravimo grandinėje nebus energijos nuostolių. Toks kontūras vadinamas idealiu.
Realiose grandinėse atsiranda šie energijos nuostoliai:
1) šilumos nuostoliai, nes R ¹ 0;
2) nuostoliai kondensatoriaus dielektrikoje;
3) histerezės nuostoliai ritės šerdyje;
4) radiacijos nuostoliai ir t.t.. Jei nepaisysime šių energijos nuostolių, tai galime rašyti, kad t.y.
Vadinami virpesiai, atsirandantys idealioje virpesių grandinėje, kurioje ši sąlyga yra įvykdyta Laisvas, arba savo, grandinės vibracijos.
Šiuo atveju įtampa U(ir apmokestinti K) ant kondensatoriaus keičiasi pagal harmonikų dėsnį:
čia n yra svyravimo grandinės natūralusis dažnis, w 0 = 2pn yra natūralusis (apvalus) virpesių grandinės dažnis. Elektromagnetinių virpesių dažnis grandinėje apibrėžiamas kaip
Laikotarpis T- nustatomas laikas, per kurį įvyksta vienas visiškas kondensatoriaus įtampos ir grandinės srovės svyravimas Tomsono formulė
Srovės stipris grandinėje taip pat kinta pagal harmonikos dėsnį, tačiau faze atsilieka nuo įtampos. Todėl srovės stiprumo grandinėje priklausomybė nuo laiko turės formą
6 paveiksle pavaizduoti įtampos pokyčių grafikai U ant kondensatoriaus ir srovės aš ritėje idealiai svyruojančiai grandinei.
Tikroje grandinėje energija mažės su kiekvienu svyravimu. Kondensatoriaus įtampos amplitudės ir srovė grandinėje sumažės, tokie svyravimai vadinami slopintais. Jie negali būti naudojami pagrindiniuose osciliatoriuose, nes Prietaisas geriausiai veiks impulsiniu režimu.
| 5 pav | 6 pav |
Norint gauti neslopintus svyravimus, būtina kompensuoti energijos nuostolius esant įvairiems prietaisų veikimo dažniams, įskaitant ir naudojamus medicinoje.
