G korespondencija tarp aibių A Ir IN vadinamas poaibiu. Jei , tai jie taip sako b

atitinka A. Visų atitinkamų elementų rinkinys

Skambino būdu elementas a. Iškviečiama visų aibė, kurią atitinka elementas

prototipas elementas b.

Daug porų (b, a) tokia, kuri vadinama atvirkštine

link G ir yra paskirtas. Vaizdo ir prototipo sąvokos

"G ir yra atvirkštiniai.

Pavyzdžiai. 1) Suderinkite jį su natūraliuoju skaičiumi P

realiųjų skaičių rinkinys . Skaičiaus 5 vaizdas

bus pusės pertrauka

(tai reiškia didžiausią sveikąjį skaičių, mažesnį arba lygų X). Skaičiaus 5 prototipas šioje korespondencijoje yra begalinis rinkinys: pusės intervalas.

Kalbant apie uždarymą, galime pateikti kitus uždarumo ir užbaigtumo apibrėžimus (atitinkančius originalius):

K yra uždara klasė, jei K = [K];

K yra visa sistema, jei [K] = P 2 .

Pavyzdžiai.

* (0), (1) - uždaros klasės.

* Vieno kintamojo funkcijų rinkinys yra uždara klasė.

* - uždara klasė.

* Klasė (1, x+y) nėra uždara klasė.

Pažvelkime į kai kurias svarbiausias uždaras klases.

1. T 0- funkcijų klasė, kuri išsaugo 0.

T 0 pažymėkime visų logikos f(x 1 , x 2 , ... , x n) algebros funkcijų, išsaugančių konstantą 0, klasę, tai yra funkcijas, kurioms f(0, ... , 0 ) = 0.

Nesunku pastebėti, kad yra funkcijų, priklausančių T 0, ir funkcijų, kurios nepriklauso šiai klasei:

0, x, xy, xÚy, x+y О T 0 ;

Iš to, kad Ï T 0, pavyzdžiui, išplaukia, kad jis negali būti išreikštas disjunkcija ir konjunkcija.

Kadangi funkcijos f iš klasės T 0 lentelėje pirmoje eilutėje yra reikšmė 0, tada funkcijoms iš T 0 galite nustatyti savavališkas reikšmes tik 2 n - 1 kintamųjų reikšmių rinkiniui, tai yra

,

kur yra funkcijų, kurios išsaugo 0 ir priklauso nuo n kintamųjų, rinkinys.

Parodykime, kad T 0 yra uždara klasė. Kadangi xÎT 0 , tai uždarumui pagrįsti pakanka parodyti uždarumą superpozicijos operacijos atžvilgiu, kadangi kintamųjų veikimas yra ypatingas superpozicijos su funkcija x atvejis.

Leisti . Tada užtenka tai parodyti. Pastaroji išplaukia iš lygybių grandinės

2. T 1- funkcijų išsaugojimo klasė 1.

T 1 pažymėkime visų logikos f(x 1, x 2, ... , x n) algebros funkcijų, išsaugančių konstantą 1, klasę, tai yra funkcijas, kurioms f(1, ... , 1 ) = 1.

Nesunku pastebėti, kad yra funkcijų, priklausančių T 1, ir funkcijų, kurios nepriklauso šiai klasei:

1, x, xy, xÚy, xºy О T 1 ;

0, , x+y Ï T 1 .

Iš to, kad x + y Ï T 0, pavyzdžiui, išplaukia, kad x + y negalima išreikšti disjunkcijos ir konjunkcijos terminais.

Rezultatai apie klasę T 0 trivialiai perkeliami į klasę T 1 . Taigi mes turime:

T 1 - uždara klasė;

.

3.L- tiesinių funkcijų klasė.

L pažymėkime visų loginės algebros f(x 1 , x 2 , ... , x n) funkcijų, kurios yra tiesinės, klasę:

Nesunku pastebėti, kad yra funkcijų, priklausančių L, ir funkcijų, kurios nepriklauso šiai klasei:

0, 1, x, x+y, x 1 º x 2 = x 1 + x 2 + 1, = x+1 О L;

Pavyzdžiui, įrodykime, kad xÚy Ï L .

Tarkime, priešingai. Ieškosime xÚy išraiškos tiesinės funkcijos su neapibrėžtais koeficientais forma:

Jei x = y = 0, turime a = 0,

jei x = 1, y = 0, turime b = 1,

jei x = 0, y = 1, turime g = 1,

bet tada, kai x = 1, y = 1, turime 1v 1 ¹ 1 + 1, o tai įrodo funkcijos xy netiesiškumą.

Tiesinių funkcijų klasės uždarumo įrodymas yra gana akivaizdus.

Kadangi tiesinė funkcija vienareikšmiškai nustatoma nurodant koeficiento a 0, ... , a n reikšmes n+1, tai linijinių funkcijų skaičius L (n) funkcijų klasėje, priklausomai nuo n kintamųjų, yra lygus 2 n+1 .

.

4. S- savarankiškų dvigubų funkcijų klasė.

Savaiminių dvigubų funkcijų klasės apibrėžimas grindžiamas vadinamojo dualumo ir dvigubų funkcijų principo vartojimu.

Iškviečiama lygybe apibrėžta funkcija dviguba funkcija .

Akivaizdu, kad dvigubos funkcijos lentelė (su standartine kintamųjų reikšmių rinkinių tvarka) gaunama iš pradinės funkcijos lentelės apverčiant (ty pakeičiant 0 į 1 ir 1 pakeičiant 0) funkcijų reikšmių stulpelį. ir apversdamas.

Tai nesunku pastebėti

(x 1 Ú x 2)* = x 1 Ù x 2,

(x 1 Ù x 2)* = x 1 Ú x 2 .

Iš apibrėžimo matyti, kad (f*)* = f, tai yra, funkcija f yra dviguba f*.

Tegul funkcija išreiškiama naudojant superpoziciją per kitas funkcijas. Kyla klausimas, kaip sukurti formulę, kuri įgyvendina ? Pažymėkime = (x 1, ..., x n) visus skirtingus kintamųjų simbolius, esančius aibėse.

2.6 teorema. Jei funkcija j gaunama kaip funkcijų f, f 1, f 2, ..., f m superpozicija, tai yra

funkcija dviguba superpozicijai yra dvigubų funkcijų superpozicija.

Įrodymas.

j*(x 1,...,x n) = ` f(`x 1 ,...,`x n) =

Teorema įrodyta. ð

Iš teoremos išplaukia dualumo principas: jei formulė A realizuoja funkciją f(x 1 , ... , x n), tai formulė, gauta iš A, pakeitus joje esančias funkcijas jų dvigubosiomis, realizuoja dvigubą funkciją f *(x 1 , ... , xn).

Pažymėkime S visų savaiminių dvigubų funkcijų klasę iš P 2:

S = (f | f* = f )

Nesunku pastebėti, kad yra funkcijų, priklausančių S, ir funkcijų, kurios nepriklauso šiai klasei:

0, 1, xy, xÚy Ï S .

Mažiau trivialus savarankiškos dvigubos funkcijos pavyzdys yra funkcija

h(x, y, z) = xy Ú xz Ú ​​yz;

Naudodami teoremą apie funkciją dvigubą su superpozicija, turime

h*(x, y, z)= (x Ú y)Ù(x Ú z) Ù (y Ù z) = x y Ú x z Ú y z; h = h* ; h О S.

Atliekant dvigubą funkciją, tapatybė galioja

taip ant rinkinių ir , kurią vadinsime priešinga, savidualinė funkcija įgauna priešingas reikšmes. Iš to išplaukia, kad dvigubą funkciją visiškai lemia jos reikšmės pirmoje standartinės lentelės eilučių pusėje. Todėl savarankiškų dvigubų funkcijų skaičius funkcijų klasėje S (n), priklausomai nuo n kintamųjų, yra lygus:

.

Dabar įrodykime, kad S klasė uždara. Kadangi xÎS , tai uždarumui pagrįsti pakanka parodyti uždarumą superpozicijos operacijos atžvilgiu, kadangi kintamųjų operacija yra ypatingas superpozicijos su funkcija x atvejis. Leisti . Tada užtenka tai parodyti. Pastarasis montuojamas tiesiogiai:

5. M- monotoninių funkcijų klasė.

Prieš apibrėžiant monotoninės funkcijos sąvoką logikos algebroje, būtina įvesti eilės santykį jos kintamųjų aibėje.

Jie sako, kad rinkinys ateina prieš rinkinį (arba „ne daugiau nei“, arba „mažiau arba lygus“) ir naudokite žymėjimą, jei a i £ b i visiems i = 1, ... , n. Jei ir , tada sakysime, kad aibė yra griežtai prieš aibę (arba „griežtai mažiau“, arba „mažiau nei“), ir naudosime žymėjimą . Aibės ir vadinamos palyginamosiomis, jei , arba . Tuo atveju, kai negalioja nė vienas iš šių santykių, aibės ir vadinamos nepalyginamomis. Pavyzdžiui, (0, 1, 0, 1) £ (1, 1, 0, 1), tačiau aibės (0, 1, 1, 0) ir (1, 0, 1, 0) yra nepalyginamos. Taigi santykis £ (dažnai vadinamas pirmenybės ryšiu) yra aibės B n dalinė tvarka. Žemiau pateikiamos iš dalies užsakytų rinkinių B 2, B 3 ir B 4 diagramos.

Įvestas dalinės tvarkos santykis yra nepaprastai svarbi sąvoka, kuri gerokai peržengia mūsų kurso ribas.

Dabar turime galimybę apibrėžti monotoninės funkcijos sąvoką.

Vadinama loginės algebros funkcija monotoniškas, Jei bet kurių dviejų rinkinių ir Taip, kad , Nelygybė turi . Visų logikos algebros monotoniškų funkcijų aibė žymima M, o visų monotoniškų funkcijų aibė, priklausanti nuo n kintamųjų, žymima M(n).

Nesunku pastebėti, kad yra funkcijų, priklausančių M, ir funkcijų, kurios nepriklauso šiai klasei:

0, 1, x, xy, xÚy О M;

x+y, x®y, xºy Ï M .

Parodykime, kad monotoniškų funkcijų klasė M yra uždara klasė. Kadangi xОМ, tai uždarumui pagrįsti pakanka parodyti uždarumą superpozicijos operacijos atžvilgiu, kadangi kintamųjų veikimas yra ypatingas superpozicijos su funkcija x atvejis.

Leisti . Tada užtenka tai parodyti.

Tegu bus atitinkamai funkcijų j, f 1 , ... , f m kintamųjų aibės, o funkcijos j kintamųjų aibė susideda iš tų ir tik tų kintamųjų, kurie yra funkcijose f 1 , ... , f m . Leisti ir būti du kintamojo reikšmių rinkiniai ir . Šie rinkiniai apibrėžia rinkinius kintamos reikšmės , toks . Dėl funkcijų monotoniškumo f 1 , ... , f m

o dėl funkcijos f monotoniškumo

Iš čia gauname

Monotoninių funkcijų, priklausančių nuo n kintamųjų, skaičius nėra tiksliai žinomas. Apatinę ribą galima lengvai gauti:

kur yra visa dalis nuo n/2.

Taip pat pasirodo, kad tai per didelis įvertinimas iš viršaus:

Šių įverčių patikslinimas yra svarbi ir įdomi šiuolaikinių tyrimų užduotis.

Išsamumo kriterijus

Dabar galime suformuluoti ir įrodyti išsamumo kriterijų (Posto teorema), kuris nustato būtinas ir pakankamas sąlygas funkcijų sistemos užbaigtumui. Išsamumo kriterijaus formuluotę ir įrodymą pateikime keliomis būtinomis lemomis, kurios turi nepriklausomą interesą.

Lemma 2.7. Lemma apie nesavarankišką dvigubą funkciją.

Jei f(x 1 , ... , x n)Ï S , tai iš jo galima gauti konstantą, pakeitus funkcijas x ir `x.

Įrodymas. Kadangi fÏS, tada yra kintamųjų reikšmių rinkinys
=(a 1 ,...,a n) toks, kad

f(`a 1 ,...,`a n) = f(a 1 ,...,a n)

Pakeiskime funkcijos f argumentus:

x i pakeičiamas ,

tai yra, įdėkime ir apsvarstykime funkciją

Taigi, mes gavome konstantą (nors nežinoma, kuri konstanta ji yra: 0 ar 1). ð

Lemma 2.8. Lemma apie nemonotoninę funkciją.

Jei funkcija f(x 1 ,...,x n) yra nemonotoniška, f(x 1 ,...,x n) Ï M, tai iš jos galima gauti neigimą pakeitus kintamuosius ir pakeičiant konstantas 0 ir 1.

Įrodymas. Kadangi f(x 1 ,...,x n) Ï M, tada yra jo kintamųjų reikšmių rinkiniai, , , kad , ir bent vienai reikšmei i, a i< b i . Выполним следующую замену переменных функции f:

x i bus pakeistas

Po tokio pakeitimo gauname vieno kintamojo j(x) funkciją, kuriai turime:

Tai reiškia, kad j(x)=`x. Lema įrodyta. ð

Lemma 2.9. Lemma apie netiesinę funkciją.

Jei f(x 1 ,...,x n) Ï L , tai iš jo pakeitę konstantas 0, 1 ir naudojant funkciją `x galime gauti funkciją x 1 &x 2 .

Įrodymas. Pavaizduokime f kaip DNF (pavyzdžiui, tobulą DNF) ir naudokime ryšius:

Pavyzdys. Pateiksime du šių transformacijų taikymo pavyzdžius.

Taigi funkcija, įrašyta disjunktyviąja normaliąja forma, pritaikius nurodytus ryšius, atidarius skliaustus ir paprastas algebrines transformacijas, tampa mod 2 daugianario (Žegalkino daugianario):

kur A 0 yra konstanta, o A i yra kai kurių kintamųjų iš skaičiaus x 1,..., x n, i = 1, 2, ..., r jungtis.

Jei kiekviena jungtis A i susideda tik iš vieno kintamojo, tai f yra tiesinė funkcija, kuri prieštarauja lemos sąlygai.

Vadinasi, funkcijos f Zhegalkin polinome yra terminas, kuriame yra bent du veiksniai. Neprarasdami bendrumo, galime daryti prielaidą, kad tarp šių veiksnių yra kintamieji x 1 ir x 2. Tada daugianarį galima transformuoti taip:

f = x 1 x 2 f 1 (x 3 ,..., x n) + x 1 f 2 (x 3 ,..., x n) + x 2 f 3 (x 3 ,..., x n) + f 4 (x 3,..., x n),

kur f 1 (x 3 ,..., x n) ¹ 0 (kitaip daugianario neapima jungties, turinčios jungtį x 1 x 2).

Tegu (a 3 ,...,a n) yra tokia, kad f 1 (a 3 ,...,a n) = 1. Tada

j(x 1 ,x 2) = f(x 1 ,x 2 , a 3 ,...,a n) = x 1 x 2 +ax 1 +bx 2 +g,

kur a, b, g yra konstantos, lygios 0 arba 1.

Panaudokime turimą neigimo operaciją ir apsvarstykime funkciją y(x 1 ,x 2), gautą iš j(x 1 ,x 2), taip:

y(x 1 ,x 2) = j(x 1 +b, x 2 +a)+ab+g.

Tai akivaizdu

y(x 1 ,x 2) =(x 1 +b)(x 2 +a)+a(x 1 +b)+b(x 2 +a)+g+ab+g = x 1 x 2.

Vadinasi,

y(x 1 ,x 2) = x 1 x 2 .

Lema yra visiškai įrodyta. ð

Lemma 2.10. Pagrindinė išsamumo kriterijaus lema.

Jei loginės algebros funkcijų klasėje F=( f ) yra funkcijų, kurios neišsaugo vienybės, neišsaugo 0, yra nesavarankiškos ir nemonotoniškos:

tada iš šios sistemos funkcijų superpozicijos ir kintamųjų keitimo operacijomis galima gauti konstantas 0, 1 ir funkciją.

Įrodymas. Panagrinėkime funkciją. Tada

.

Yra du galimi vėlesnių svarstymų atvejai, toliau pateiktame pristatyme pažymėti kaip 1) ir 2).

1). Vienetų rinkinio funkcija turi reikšmę 0:

.

Viską pakeisime kintamos funkcijos kintamasis x. Tada funkcija

yra, nes

Ir .

Paimkime ne savaime dvigubą funkciją. Kadangi funkciją jau gavome, tai pagal lemą nedvigubai funkcijai (lema 2.7. ) galite gauti konstantą iš. Antrąją konstantą galima gauti iš pirmosios naudojant funkciją. Taigi, pirmuoju nagrinėjamu atveju, gaunamos konstantos ir neigimas. . Antrasis atvejis ir kartu su juo pagrindinė išsamumo kriterijaus lema yra visiškai įrodyta. ð

2.11 teorema. Funkcijų sistemų užbaigtumo kriterijus logikos algebroje (Posto teorema).

Kad funkcijų sistema F = (f i) būtų baigta, būtina ir pakanka, kad ji nebūtų visiškai įtraukta į bet kurią iš penkių uždarų klasių T 0, T 1, L, S, M, tai yra, kiekvienoje iš T 0 , T 1 , L , S, M klasių F yra bent viena funkcija, kuri nepriklauso šiai klasei.

Būtinybė. Tegul F yra užbaigta sistema. Tarkime, kad F yra vienoje iš nurodytų klasių, pažymėkime jį K, t.y. F Í K. Paskutinis įtraukimas neįmanomas, nes K yra uždara klasė, kuri nėra visa sistema.

Tinkamumas. Tegul visos funkcijų sistemos F = (f i ) nėra nė vienoje iš penkių uždarų klasių T 0 , T 1 , L , S , M . Paimkime šias F funkcijas:

Tada, remiantis pagrindine lema (lema 2.10 ) iš funkcijos, kuri neišsaugo 0, funkcijos, kuri neišsaugo 1, nesavarankiškų ir nemonotoninių funkcijų, galima gauti konstantas 0, 1 ir neigimo funkciją:

.

Remiantis netiesinių funkcijų lema (lema 2.9 ) iš konstantų, neigimo ir netiesinės funkcijos galime gauti jungtį:

.

Funkcinė sistema - pilna sistema pagal teoremą apie galimybę pavaizduoti bet kurią logikos algebros funkciją tobulos disjunktyvios normaliosios formos pavidalu (atkreipkite dėmesį, kad disjunkcija gali būti išreikšta konjunkcija ir neigimu formoje ).

Teorema visiškai įrodyta. ð

Pavyzdžiai.

1. Parodykime, kad funkcija f(x,y) = x|y sudaro pilną sistemą. Sukurkime funkcijos x½y verčių lentelę:

x	y	x|y

f(0,0) = 1, todėl x | yÏT 0 .

f(1,1) = 0, todėl x | yÏT 1 .

f(0,0) = 1, f(1,1) = 0, todėl x | yÏM.

f(0,1) = f(1,0) = 1, - priešingose ​​aibėse x | y turi tas pačias reikšmes, todėl x | taip .

Galiausiai, ką reiškia funkcijos netiesiškumas?
x | y.

Remdamiesi išsamumo kriterijumi, galime teigti, kad f(x,y) = x | y sudaro pilną sistemą. ð

2. Parodykime, kad funkcijų sistema sudaro pilną sistemą.

Tikrai,.

Taigi tarp mūsų sistemos funkcijų radome: funkciją, kuri neišsaugo 0, funkciją, kuri neišsaugo 1, nesavarankiškas, nemonotonines ir netiesines funkcijas. Remiantis išsamumo kriterijumi, galima teigti, kad funkcijų sistema sudaro pilną sistemą. ð

Taigi, esame įsitikinę, kad išsamumo kriterijus suteikia konstruktyvų ir efektyvus metodas logikos algebros funkcijų sistemų išsamumo išaiškinimas.

Dabar suformuluokime tris užbaigtumo kriterijaus pasekmes.

1 išvada. Bet kuri uždara logikos algebros funkcijų klasė K, kuri nesutampa su visa logikos algebros funkcijų rinkiniu (K¹P 2), yra bent vienoje iš sukonstruotų uždarų klasių.

Apibrėžimas. Uždara K klasė vadinama iš anksto pilnas, jei K yra neužbaigtas ir bet kuriai funkcijai fÏ K klasė K È (f) yra baigta.

Iš apibrėžimo matyti, kad iš anksto užbaigta klasė yra uždara.

2 išvada. Logikos algebroje yra tik penkios iš anksto užbaigtos klasės, būtent: T 0, T 1, L, M, S.

Norėdami įrodyti pasekmę, tereikia patikrinti, ar nė viena iš šių klasių nėra kitoje, o tai patvirtina, pavyzdžiui, ši skirtingų klasių funkcijų lentelė:

	T0	T 1	L	S	M
	+	-	+	-	+
	-	+	+	-	+
	-	-	+	+	-

3 išvada. Iš kiekvieno pilna sistema funkcijas, galima išskirti visą posistemį, kuriame yra ne daugiau kaip keturios funkcijos.

Iš išsamumo kriterijaus įrodymo matyti, kad galima išskirti ne daugiau kaip penkias funkcijas. Iš pagrindinės lemos įrodymo (Lemma 2.10 ) seka tai yra arba nesavarankiškas, arba neišsaugo vienybės ir nėra monotoniškas. Todėl reikia ne daugiau kaip keturių funkcijų.

- (vėlyv. lot. superpositio, - perdanga, iš lot. superpositus - dedamas ant viršaus) (kompozicija) - loginis-matematinis veiksmas. skaičiavimas, kurį sudaro gavimas iš k.l. duotos duotos skaičiavimo funkcijos f ir g nauja funkcija g (f) (išraiška g... ... Filosofinė enciklopedija

Terminas superpozicija (superpozicija) gali reikšti šias sąvokas: Funkcijų superpozicija (sudėtinga funkcija) Superpozicijos principas yra fizikos ir matematikos principas, apibūdinantis procesų (pavyzdžiui, bangų) superpoziciją ir dėl to ... ... Vikipedija

Funkcijų sudarymas, sudėtingos funkcijos sudarymas iš dviejų funkcijų... Matematinė enciklopedija

Šis terminas turi kitas reikšmes, žr. Superpoziciją. Kvantinė mechanika... Vikipedija

Šiame straipsnyje ar skyriuje yra šaltinių sąrašas arba išorinės nuorodos, tačiau atskirų teiginių šaltiniai lieka neaiškūs, nes trūksta išnašų... Vikipedija

Diskrečių funkcinių sistemų teorijoje Būlio funkcija iškviesti tipo funkciją, kur yra Būlio aibė, o n yra neneigiamas sveikasis skaičius, kuris vadinamas funkcijos arity arba lokalumu. 1 (vienas) ir 0 (nulis) elementai interpretuojami standartiškai ... ... Vikipedija

Vienas iš svarbiausių matematikos ir matematikos pagrindams. logikos sąvokų klasėse, kurios tarnauja kaip paaiškinimai. efektyviai apskaičiuojamos aritmetinės funkcijos ir efektyviai sprendžiamo aritmetinio predikato sąvokos, galiausiai ir... ... Filosofinė enciklopedija

Funkcija, spiečiaus verčių apskaičiavimas gali būti atliekamas naudojant iš anksto nustatytą efektyvią procedūrą arba algoritmą. Būdingas skaičiavimo procesų bruožas yra tai, kad reikiamų problemų kiekių apskaičiavimas atsiranda nuosekliai iš pradinių duomenų... ... Matematinė enciklopedija

Šio straipsnio turinį būtina perkelti į straipsnį „Sudėtingos funkcijos diferencijavimas“. Galite padėti projektui derindami straipsnius. Jei reikia aptarti sujungimo galimybes, pakeiskite šį šabloną šablonu ((sujungti)) ... Vikipedija

- (lot. compositio kompozicija, susiejimas, papildymas, ryšys): Vikižodyne yra straipsnis „kompozicija“ Menas Kompozicija (vaizduojamasis menas) yra meninės formos organizuojamasis komponentas, suteikiantis... Vikipedija

Knygos

• Diskreti matematika. Pagrindinės aibių teorinės konstrukcijos. VI dalis, A.I. Širokovas. Vadovas yra skyriaus „Pagrindinės aibių teorinės diskrečiosios matematikos konstrukcijos“ VI dalis. Sk. XI aptariamos šios sąvokos: funkcijų sudėtis (§1); funkcijos,...

Funkcijų superpozicija

Funkcijų f1, ..., fm superpozicija yra funkcija f, gaunama šias funkcijas pakeičiant viena kita ir pervardijant kintamuosius.

Tegul būna du atvaizdai ir, be to, netuščia aibė. Tada funkcijų superpozicija arba sudėtis yra funkcija, apibrėžta lygybe kiekvienam.

Superpozicijos apibrėžimo sritis yra aibė.

Funkcija vadinama išorine ir vidine superpozicijos funkcija.

Funkcijos, pateiktos kaip „paprastesnių“ sudėtis, vadinamos sudėtingomis funkcijomis.

Superpozicijos panaudojimo pavyzdžiai: lygčių sistemos sprendimas keitimu; funkcijos išvestinės radimas; algebrinės išraiškos reikšmės radimas, pakeičiant į ją nurodytų kintamųjų reikšmes.

Rekursinės funkcijos

Rekursija yra funkcijos apibrėžimo metodas, kai apibrėžtos funkcijos reikšmės savavališkoms argumentų reikšmėms išreiškiamos žinomu būdu per apibrėžtos funkcijos reikšmes mažesnėms argumentų reikšmėms.

Primityviai rekursinė funkcija

Primityviosios rekursinės funkcijos sąvokos apibrėžimas yra indukcinis. Jį sudaro pagrindinių primityvių rekursinių funkcijų klasės nurodymas ir du operatoriai (superpozicija ir primityvi rekursija), leidžiantys sukurti naujas primityvias rekursines funkcijas remiantis esamomis.

Pagrindinės primityvios rekursinės funkcijos apima tris šių tipų funkcijas:

Nulis funkcija – funkcija jokių argumentų, visada grįžta 0 .

Vieno kintamojo eilės funkcija, susiejanti bet kurį natūralųjį skaičių su iškart po jo esančiu natūraliuoju skaičiumi.

Funkcijos, kur iš n kintamųjų bet kokia tvarkinga natūraliųjų skaičių aibė priskiriama skaičiui iš šios aibės.

Pakeitimo ir primityviosios rekursijos operatoriai apibrėžiami taip:

Superpozicijos operatorius (kartais pakeitimo operatorius). Tegul yra m kintamųjų funkcija ir tegul yra tvarkingas funkcijų rinkinys, kiekvienas su kintamaisiais. Tada funkcijų superpozicijos į funkciją rezultatas yra kintamųjų funkcija, susiejanti skaičių su bet kokia tvarkinga natūraliųjų skaičių aibe.

Primityviosios rekursijos operatorius. Tegul yra n kintamųjų funkcija ir tegul kintamųjų funkcija. Tada primityviosios rekursijos operatoriaus taikymo funkcijų porai rezultatas vadinamas formos kintamojo funkcija;

IN šis apibrėžimas kintamasis gali būti suprantamas kaip iteracijos skaitiklis, -- kaip originali funkcija pasikartojančio proceso, kuris sukuria tam tikrą kintamųjų funkcijų seką, pradedant ir -- kaip operatorius, kuris kaip įvesties kintamuosius ima iteracijos žingsnio numerį, funkciją tam tikrame iteracijos žingsnyje ir grąžina funkcija kitame iteracijos žingsnyje.

Primityvių rekursinių funkcijų rinkinys yra minimalus rinkinys, kuriame yra viskas pagrindinės funkcijos ir uždaryta pagal nurodytus pakeitimo ir primityviosios rekursijos operatorius.

Primityviosios rekursinės funkcijos, kalbant apie privalomą programavimą, atitinka programų blokus, kuriuose naudojami tik aritmetiniai veiksmai, taip pat sąlyginis operatorius ir aritmetinės kilpos operatorius (ciklo operatorius, kurio iteracijų skaičius yra žinomas ciklo pradžioje). Jei programuotojas pradeda naudoti operatorių o kilpa, kuriame iteracijų skaičius iš anksto nežinomas ir iš esmės gali būti begalinis, tada jis patenka į iš dalies rekursinių funkcijų klasę.

Nurodykime keletą gerai žinomų aritmetinių funkcijų, kurios yra primityviai rekursinės.

Dviejų natūraliųjų skaičių () pridėjimo funkcija gali būti laikoma primityviąja rekursine dviejų kintamųjų funkcija, gauta funkcijoms pritaikius primityviosios rekursijos operatorių, o antroji iš jų gaunama pagrindinę funkciją pakeitus pagrindine funkcija:

Dviejų natūraliųjų skaičių daugyba gali būti laikoma primityviąja rekursine dviejų kintamųjų funkcija, gauta funkcijoms pritaikant primityviosios rekursijos operatorių, o antrasis gaunamas pakeitus pagrindines funkcijas į sudėties funkciją:

Dviejų natūraliųjų skaičių () simetrinį skirtumą (absoliučią skirtumo reikšmę) galima laikyti primityviąja dviejų kintamųjų rekursine funkcija, gauta taikant šiuos pakaitalus ir primityvias rekursijas:

Susipažinkime su funkcijų superpozicijos (arba primetimo) sąvoka, kurią sudaro funkcijos pakeitimas kitu argumentu, o ne duotosios funkcijos argumentu. Pavyzdžiui, funkcijų superpozicija suteikia funkciją, o funkcijos gaunamos panašiai

Apskritai, tarkime, kad funkcija apibrėžta tam tikrame domene, o funkcija apibrėžta domene ir visos jos reikšmės yra domene. Tada kintamasis z, kaip sakoma, per y, pats yra funkcija

Duodami tam tikrą reikšmę, jie pirmiausia suranda ją atitinkančią reikšmę y (pagal taisyklę, apibūdinamą ženklu), o tada nustato atitinkamą reikšmę y (pagal taisyklę

apibūdinamas ženklu, jo reikšmė laikoma atitinkančia pasirinktą x. Iš funkcijos arba sudėtingos funkcijos gaunama funkcija yra funkcijų superpozicijos rezultatas

Prielaida, kad funkcijos reikšmės neperžengia Y srities, kurioje funkcija apibrėžta, ribų, yra labai reikšminga: jei jos praleisite, gali kilti absurdas. Pavyzdžiui, darant prielaidą, kad galime atsižvelgti tik į tas x reikšmes, kurioms kitaip išraiška nebūtų prasminga.

Manome, kad čia naudinga pabrėžti, kad funkcijos, kaip kompleksinės, apibūdinimas nėra susijęs su z funkcinės priklausomybės nuo x pobūdžiu, o tik su šios priklausomybės patikslinimo būdu. Pavyzdžiui, tegul y yra Tada

Čia funkcija buvo nurodyta kaip sudėtinga funkcija.

Dabar, kai funkcijų superpozicijos sąvoka yra visiškai išaiškinta, galime tiksliai apibūdinti paprasčiausias iš tų funkcijų klasių, kurios yra tiriamos analizėje: tai pirmiausia yra pirmiau išvardytos elementarios funkcijos, o tada visos tos, kurios gaunamos iš jų. naudojant keturis aritmetines operacijas ir superpozicijos, iš eilės taikomos baigtinį skaičių kartų. Sakoma, kad jie išreiškiami per elementarumą galutiniu pavidalu; kartais jie dar vadinami elementariais.

Vėliau, įvaldę sudėtingesnį analitinį aparatą (begalinės serijos, integralai), susipažinsime su kitomis funkcijomis, kurios taip pat atlieka svarbų vaidmenį analizėje, tačiau jau peržengia elementariųjų funkcijų klasę.