Įjungta šią pamoką Susipažinsime su viena svarbiausių ir dažniausiai pasitaikančių technikų, kuri naudojama sprendžiant neapibrėžtuosius integralus – kintamojo keitimo metodą. Norint sėkmingai įsisavinti medžiagą, reikalingos pradinės žinios ir integravimosi įgūdžiai. Jei integraliniame skaičiavime jaučiamas tuščias pilnas virdulys, pirmiausia turėtumėte susipažinti su medžiaga, kurioje prieinama forma paaiškinau, kas yra integralas, ir išsamiai išanalizavau pagrindinius pavyzdžius pradedantiesiems.
Techniškai kintamojo keitimo neapibrėžtame integre metodas įgyvendinamas dviem būdais:
– Funkcijos įtraukimas po diferencialiniu ženklu;
– Tiesą sakant, pakeičiant kintamąjį.
Iš esmės tai yra tas pats dalykas, tačiau sprendimo dizainas atrodo kitaip.
Pradėkime nuo paprastesnio atvejo.
Funkcijos įtraukimas po diferencialiniu ženklu
Pamokoje Neapibrėžtas integralas. Sprendimų pavyzdžiai išmokome atidaryti diferencialą, primenu pavyzdį, kurį pateikiau:
Tai reiškia, kad diferencialo atskleidimas formaliai yra beveik tas pats, kas rasti išvestinį.
1 pavyzdys
Atlikite patikrinimą.
Žiūrime į integralų lentelę ir randame panašią formulę: 
. Tačiau problema ta, kad po sinusu turime ne tik raidę „X“, bet sudėtinga išraiška. Ką daryti?
Funkciją pateikiame po diferencialiniu ženklu:
Atidarius diferencialą lengva patikrinti, ar: 
Tiesą sakant ir 
yra to paties dalyko įrašas.
Tačiau vis dėlto išliko klausimas, kaip mums kilo mintis, kad pirmame žingsnyje turime parašyti savo integralą būtent taip: 
? Kodėl taip, o ne kitaip?
Formulė 
(ir visos kitos lentelės formulės) galioja ir galioja NE TIK kintamajam, bet ir bet kuriai sudėtingai išraiškai TIK KAIP FUNKCIJOS ARGUMENTAS(- mūsų pavyzdyje) IR IŠRAIŠKA PO DIFERENCINIO ŽENKLU BUVO TAS PATS
.
Todėl mąstymas sprendžiant turėtų būti maždaug toks: „Man reikia išspręsti integralą. Pažiūrėjau į lentelę ir radau panašią formulę 
. Tačiau turiu sudėtingą argumentą ir negaliu iš karto panaudoti formulės. Tačiau jei pavyks jį pagauti po diferencialo ženklu, tada viskas bus gerai. Jei užsirašysiu, tada. Tačiau pradiniame integrale nėra trečiojo koeficiento, todėl, kad integrando funkcija nepasikeistų, turiu jį padauginti iš ". Maždaug tokio mąstymo metu gimsta toks įrašas:
Dabar galite naudoti lentelės formulę 
:
Paruošta
Vienintelis skirtumas yra tas, kad mes turime ne raidę „X“, o sudėtingą išraišką.
Patikrinkime. Atidarykite išvestinių išvestinių lentelę ir atskirkite atsakymą: 
Gauta pradinė integrando funkcija, o tai reiškia, kad integralas buvo rastas teisingai.
Atkreipkite dėmesį, kad tikrindami naudojome sudėtingos funkcijos atskyrimo taisyklę 
. Iš esmės funkciją įtraukiant po diferencialiniu ženklu ir 
- tai dvi tarpusavyje atvirkštinės taisyklės.
2 pavyzdys
Išanalizuokime integrando funkciją. Čia mes turime trupmeną, o vardiklis yra tiesinė funkcija (su „x“ pirmuoju laipsniu). Žiūrime į integralų lentelę ir randame panašiausią dalyką: 
.
Funkciją pateikiame po diferencialiniu ženklu: 
Tie, kuriems sunku iš karto suprasti, iš kurios trupmenos padauginti, gali greitai atskleisti skirtumą juodraštyje: . Taip, tai reiškia, kad norint, kad niekas nepasikeistų, turiu padauginti integralą iš .
Toliau naudojame lentelės formulę 
:
Egzaminas: 
Gauta pradinė integrando funkcija, o tai reiškia, kad integralas buvo rastas teisingai.
3 pavyzdys
Raskite neapibrėžtą integralą. Atlikite patikrinimą.
4 pavyzdys
Raskite neapibrėžtą integralą. Atlikite patikrinimą.
Tai yra pavyzdys savarankiškas sprendimas. Atsakymas yra pamokos pabaigoje.
Turint šiek tiek patirties sprendžiant integralus, tokie pavyzdžiai atrodys paprasti ir spaudžia kaip riešutai:
Šio skyriaus pabaigoje taip pat norėčiau pasilikti ties „laisvuoju“ atveju, kai tiesinėje funkcijoje kintamasis įvedamas su vieneto koeficientu, pavyzdžiui:
Griežtai kalbant, sprendimas turėtų atrodyti taip:
Kaip matote, funkcijos įtraukimas po diferencialo ženklu buvo „neskausmingas“, be daugybos. Todėl praktikoje toks ilgas sprendimas dažnai nepaisomas ir tuoj pat užrašomas 
. Tačiau būkite pasirengę, jei reikia, paaiškinti mokytojui, kaip tai išsprendėte! Nes iš tikrųjų lentelėje integralo nėra.
Kintamojo keitimo metodas neapibrėžtame integrelyje
Pereikime prie bendrojo atvejo – kintamųjų keitimo neapibrėžtajame integrale metodo.
5 pavyzdys
Raskite neapibrėžtą integralą.
Kaip pavyzdį paėmiau integralą, į kurį žiūrėjome pačioje pamokos pradžioje. Kaip jau minėjome, norint išspręsti integralą, mums patiko lentelės formulė 
, ir aš norėčiau visą reikalą sumažinti jai.
Pakeitimo metodo idėja yra pakeisti sudėtingą išraišką (ar kokią nors funkciją) viena raide.
Šiuo atveju prašoma:
Antra pagal populiarumą pakaitinė raidė yra raidė .
Iš principo galite naudoti ir kitas raides, bet mes vis tiek laikysimės tradicijų.
Taigi: 
Bet kai jį pakeičiame, liekame! Tikriausiai daugelis atspėjo, kad jei pereinama prie naujo kintamojo, tai naujajame integrale viskas turėtų būti išreikšta raide, o skirtumui ten išvis nėra vietos.
Logiška išvada – tai būtina virsti kokia nors išraiška, kuri priklauso tik nuo.
Veiksmas yra toks. Pasirinkę pakaitalą, šiame pavyzdyje turime rasti skirtumą. Su skirtumais, manau, visi jau užmezgė draugystę.
Nuo tada
Išardžius diferencialą, rekomenduoju kuo trumpiau perrašyti galutinį rezultatą:
Dabar pagal proporcingumo taisykles išreiškiame tai, ko mums reikia:
Galiausiai: 
Taigi: 
Ir tai jau yra labiausiai lentelinis integralas 
(integralų lentelė, žinoma, galioja ir kintamajam).
Galiausiai belieka atlikti atvirkštinį pakeitimą. Prisiminkime tai.
Paruošta.
Galutinis nagrinėjamo pavyzdžio dizainas turėtų atrodyti maždaug taip:
“
Pakeiskime: 
“
Piktograma neturi matematinės reikšmės, tai reiškia, kad mes pertraukėme sprendimą dėl tarpinių paaiškinimų.
Rengiant pavyzdį sąsiuvinyje, atvirkštinį pakeitimą geriau pažymėti paprastu pieštuku.
Dėmesio! Tolesniuose pavyzdžiuose diferencialo radimas nebus išsamiai aprašytas.
O dabar laikas prisiminti pirmąjį sprendimą: 
Koks skirtumas? Esminio skirtumo nėra. Iš tikrųjų tai tas pats. Tačiau užduoties projektavimo požiūriu funkcijos įtraukimo į diferencialinį ženklą metodas yra daug trumpesnis.
Kyla klausimas. Jei pirmasis metodas yra trumpesnis, kam tada naudoti pakeitimo metodą? Faktas yra tas, kad daugeliui integralų nėra taip lengva „pritaikyti“ funkciją prie diferencialo ženklo.
6 pavyzdys
Raskite neapibrėžtą integralą.
Pakeiskime: (čia sunku sugalvoti kitą pakaitalą) 
Kaip matote, dėl pakeitimo pradinis integralas buvo žymiai supaprastintas - sumažintas iki įprastos galios funkcijos. Toks ir yra pakeitimo tikslas – supaprastinti integralą.
Tingūs pažengę žmonės gali lengvai išspręsti šį integralą, įtraukdami funkciją po diferencialo ženklu: 
Kitas dalykas, toks sprendimas akivaizdžiai tinka ne visiems studentams. Be to, jau šiame pavyzdyje naudojamas funkcijos įtraukimo po diferencialiniu ženklu metodas žymiai padidina riziką susipainioti priimant sprendimą.
7 pavyzdys
Raskite neapibrėžtą integralą. Atlikite patikrinimą.
8 pavyzdys
Raskite neapibrėžtą integralą. 
Pakeitimas:
Belieka laukti, kuo tai virs 
Gerai, mes tai išreiškėme, bet ką daryti su skaitiklyje likusiu „X“?
Kartkartėmis spręsdami integralus susiduriame su tokia gudrybe: išreikšime iš to paties pakeitimo ! 
9 pavyzdys
Raskite neapibrėžtą integralą.
Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Atsakymas yra pamokos pabaigoje.
10 pavyzdys
Raskite neapibrėžtą integralą.
Tikrai kai kurie žmonės pastebėjo, kad mano paieškos lentelėje nėra kintamųjų pakeitimo taisyklės. Tai buvo padaryta sąmoningai. Taisyklė sukeltų painiavą aiškinant ir suprantant, nes pirmiau pateiktuose pavyzdžiuose ji nėra aiškiai nurodyta.
Dabar atėjo laikas pakalbėti apie pagrindinę kintamojo pakeitimo metodo naudojimo prielaidą: integrandas turi turėti tam tikrą funkciją ir jos išvestinę:(funkcijų gaminyje gali nebūti)
Šiuo atžvilgiu, ieškant integralų, dažnai tenka žiūrėti į išvestinių lentelę.
Nagrinėjamame pavyzdyje pastebime, kad skaitiklio laipsnis yra vienu mažesnis už vardiklio laipsnį. Išvestinių lentelėje randame formulę, kuri tiesiog sumažina laipsnį vienu. Ir tai reiškia, kad jei jūs nurodysite jį kaip vardiklį, tada yra didelė tikimybė, kad skaitiklis pavirs kažkuo geru.
Pereikime prie bendrojo atvejo – kintamųjų keitimo neapibrėžtajame integrale metodo.
5 pavyzdys
Kaip pavyzdį paimkime integralą, į kurį žiūrėjome pačioje pamokos pradžioje. Kaip jau minėjome, norint išspręsti integralą, mums patiko lentelės formulė 
,
ir aš norėčiau suvesti visą reikalą jai.
Pakeitimo metodo idėja yra pakeisti sudėtingą išraišką (ar kokią nors funkciją) viena raide.
Šiuo atveju prašoma:
Antra pagal populiarumą pakeičiama raidė yra raidė z. Iš principo galite naudoti ir kitas raides, bet mes vis tiek laikysimės tradicijų.
Tačiau keičiant mums belieka dx! Tikriausiai daugelis atspėjo, kad jei bus pereita prie naujo kintamojo t, tada naujajame integrale viskas turėtų būti išreikšta raide t, ir diferencialas dx vietos visai nėra. Logiška išvada tokia dx reikia virsti kokia nors išraiška, kuri priklauso tik nuot.
Veiksmas yra toks. Pasirinkę pakaitalą, kaip yra šiame pavyzdyje, turime rasti skirtumą dt.
Dabar pagal proporcingumo taisykles išreiškiame dx:
.
Taigi:
.
Ir tai jau yra labiausiai lentelinis integralas
(Integralių lentelė, be abejo, galioja ir kintamajam t).
Galiausiai belieka atlikti atvirkštinį pakeitimą. Prisiminkime tai.
Galutinis nagrinėjamo pavyzdžio dizainas turėtų atrodyti maždaug taip:
Pakeiskime: , tada
.
.
Piktograma neturi matematinės reikšmės, tai reiškia, kad mes pertraukėme sprendimą dėl tarpinių paaiškinimų.
Rengiant pavyzdį sąsiuvinyje, atvirkštinį pakeitimą geriau pažymėti paprastu pieštuku.
Dėmesio! Tolesniuose pavyzdžiuose naujo kintamojo diferencialo paieška nebus išsamiai aprašyta.
Prisiminkite pirmąjį sprendimą:
Koks skirtumas? Esminio skirtumo nėra. Iš tikrųjų tai tas pats.
Tačiau užduoties projektavimo požiūriu funkcijos įtraukimo į diferencialinį ženklą metodas yra daug trumpesnis.
Kyla klausimas. Jei pirmasis metodas yra trumpesnis, kam tada naudoti pakeitimo metodą? Faktas yra tas, kad daugeliui integralų nėra taip lengva „pritaikyti“ funkciją prie diferencialo ženklo.
6 pavyzdys
Raskite neapibrėžtą integralą.
.
Pakeiskime:
;
.
Kaip matote, dėl pakeitimo pradinis integralas buvo žymiai supaprastintas - sumažintas iki įprastos galios funkcijos. Toks ir yra pakeitimo tikslas – supaprastinti integralą.
Tingūs pažengę žmonės gali lengvai išspręsti šį integralą, įtraukdami funkciją po diferencialo ženklu:
Kitas dalykas, toks sprendimas akivaizdžiai tinka ne visiems studentams. Be to, jau šiame pavyzdyje naudojamas funkcijos įtraukimo po diferencialiniu ženklu metodas žymiai padidina riziką susipainioti priimant sprendimą.
7 pavyzdys
Raskite neapibrėžtą integralą
Atlikite patikrinimą.
8 pavyzdys
Raskite neapibrėžtą integralą.
.
Sprendimas: Pakeičiame: .
.
Belieka laukti, kuo tai virs xdx? Retkarčiais, sprendžiant integralus, atsiranda tokia gudrybė: x mes išreikšime iš to paties pakeitimo:
.
9 pavyzdys
Raskite neapibrėžtą integralą.
Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Atsakymas yra pamokos pabaigoje.
10 pavyzdys
Raskite neapibrėžtą integralą.
Žinoma, kai kurie žmonės pastebėjo, kad paieškos lentelėje nėra kintamųjų pakeitimo taisyklės. Tai buvo padaryta sąmoningai. Taisyklė sukeltų painiavą aiškinant ir suprantant, nes pirmiau pateiktuose pavyzdžiuose ji nėra aiškiai nurodyta.
Dabar atėjo laikas pakalbėti apie pagrindinę kintamojo pakeitimo metodo naudojimo prielaidą: integrandas turi turėti tam tikrą funkciją ir jo darinys. Pavyzdžiui, patinka : .
F funkcijos gali būti ne kūrinyje, o kitokioje kombinacijoje.
Šiuo atžvilgiu, ieškant integralų, dažnai tenka žiūrėti į išvestinių lentelę.
Nagrinėjamame 10 pavyzdyje pastebime, kad skaitiklio laipsnis yra vienu mažesnis už vardiklio laipsnį. Išvestinių lentelėje randame formulę, kuri tiesiog sumažina laipsnį vienu. Ir tai reiškia, jei mes įvardysime kaip t vardiklis, tada didelė tikimybė, kad skaitiklis xdx pavirs kažkuo geru:
Pakeitimas: 
.
Beje, funkciją priskirti diferencialiniam ženklui nėra taip sunku:
Pažymėtina, kad tokioms trupmenoms kaip , ši gudrybė nebetiks (tiksliau, reikės taikyti ne tik pakeitimo techniką).
Klasėje galite išmokti integruoti kai kurias trupmenas. Sudėtingų trupmenų integravimas. Štai keletas tipiškesnių pavyzdžių, kaip patiems išspręsti tą patį metodą.
11 pavyzdys
Raskite neapibrėžtą integralą
12 pavyzdys
Raskite neapibrėžtą integralą
Sprendimai pamokos pabaigoje.
13 pavyzdys
Raskite neapibrėžtą integralą
.
Žiūrime į išvestinių lentelę ir randame savo lanko kosinusą: 
, nes mūsų integrandas turime arckosiną ir kažką panašaus į jo išvestinį.
Pagrindinė taisyklė:
Už nugaros tžymime pačią funkciją(o ne jo darinys).
Tokiu atveju: . Belieka išsiaiškinti, kuo pavirs likusi integrando dalis
Šiame pavyzdyje radimas d t Parašykime tai išsamiai, nes tai sudėtinga funkcija:
Arba trumpai:
.
Naudodamiesi proporcingumo taisykle, išreiškiame likusią dalį, kurios mums reikia: 
.
Taigi:
14 pavyzdys
Raskite neapibrėžtą integralą.
.
Nepriklausomo sprendimo pavyzdys. Atsakymas labai artimas.
Dėmesingi skaitytojai pastebėjo, kad mes apsvarstėme keletą pavyzdžių su trigonometrinėmis funkcijomis. Ir tai nėra atsitiktinumas, nes pagal ir trigonometrinių funkcijų integralai Atskiros pamokos skiriamos 7.1.5, 7.1.6, 7.1.7. Be to, žemiau pateikiamos kelios naudingos kintamojo pakeitimo gairės, o tai ypač svarbu manekenams, kurie ne visada ir ne iš karto supranta, kokį pakeitimą reikia atlikti konkrečiame integrale. Be to, kai kuriuos pakaitalų tipus galima rasti 7.2 straipsnyje.
Labiau patyrę studentai gali susipažinti su tipišku pakaitalu integraluose su neracionaliomis funkcijomis
12 pavyzdys: Sprendimas:
Pakeiskime:
14 pavyzdys: Sprendimas:
Pakeiskime:
2. Kintamasis pakeitimas (pakeitimo metodas)
Pakeitimo metodo esmė ta, kad įvedus naują kintamąjį, duota sunku integralas redukuojamas į lentelę arba tokią, kurios skaičiavimo metodas žinomas.
Tegul reikia skaičiuoti integralą. Yra dvi pakeitimo taisyklės:
Bendra funkcijos pasirinkimo taisyklė 
neegzistuoja, tačiau yra keletas integrandinių funkcijų tipų, kuriems yra rekomendacijos, kaip pasirinkti funkciją 
.
Kintamųjų pakeitimas gali būti taikomas keletą kartų, kol bus gautas rezultatas.
1 pavyzdys. Raskite integralus:
A) 
; b) 
; V) 
;
G) 
; d) 
; e) 
.
Sprendimas.
a) Tarp lentelės integralų nėra įvairaus laipsnio radikalų, todėl „noriu atsikratyti“, visų pirma, 
Ir 
. Norėdami tai padaryti, turėsite pakeisti X tokia išraiška, iš kurios galima lengvai išgauti abi šaknis:
b) Tipiškas pavyzdys, kai norima „atsikratyti“ eksponentinės funkcijos 
. Tačiau šiuo atveju patogiau visą išraišką trupmenos vardiklyje paimti kaip naują kintamąjį:
;
c) Pastebėjimas, kad skaitiklyje yra produktas 
, kuris yra radikalios išraiškos diferencialo dalis, pakeiskite visą šią išraišką nauju kintamuoju:
;
d) Čia, kaip ir a atveju, noriu atsikratyti radikalo. Bet kadangi, skirtingai nuo a punkto, yra tik viena šaknis, pakeisime ją nauju kintamuoju:
e) Čia prie pakeitimo pasirinkimo prisideda dvi aplinkybės: viena vertus, intuityvus noras atsikratyti logaritmų, kita vertus, išraiškos buvimas. 
, kuris yra funkcijos skirtumas 
. Tačiau, kaip ir ankstesniuose pavyzdžiuose, į pakeitimą geriau įtraukti logaritmą lydinčias konstantas:
f) Čia, kaip ir ankstesniame pavyzdyje, intuityvus noras atsikratyti sudėtingo indekso eksponento atitinka gerai žinomą faktą: 
(3 lentelės 8 formulė). Todėl mes turime:
.
Kai kurių funkcijų klasių kintamųjų pakeitimas
Pažvelkime į kai kurias funkcijų klases, kurioms gali būti rekomenduojami tam tikri pakaitalai.
4 lentelė.Racionalios funkcijos
|
Integralo tipas |
Integravimo metodas |
|
1.1.
|
|
|
1.2.
|
|
|
1.3.
|
Viso kvadrato pasirinkimas:
|
|
1.4.
|
Pasikartojimo formulė |
Transcendentinės funkcijos:
1.5.
– pakeitimas t = e x ;
1.6.
– pakeitimas t=log a x.
2 pavyzdys. Raskite racionaliųjų funkcijų integralus:
A) 
; b) 
;
V) 
; d) 
.
Sprendimas.
a) Nereikia skaičiuoti šio integralo naudojant kintamųjų pakeitimą, čia lengviau naudoti pakaitalą po diferencialiniu ženklu:
b) Panašiai mes naudojame sumavimą po diferencialiniu ženklu:
;
c) Prieš mus yra 4 lentelės 1.3 tipo integralas, naudosime atitinkamas rekomendacijas:
e) Panašus į ankstesnį pavyzdį:
3 pavyzdys. Raskite integralus
A) 
; b) 
.
Sprendimas.
b) Integrandas turi logaritmą, todėl naudosime 1.6 rekomendaciją. Tik tokiu atveju patogiau pakeisti ne tik funkciją 
, ir visa radikali išraiška:
.
6 lentelė. Trigonometrinės funkcijos (R
|
Integralo tipas |
Integravimo metodas |
|
3.1.
|
Universalus pakaitalas
|
|
3.1.1.
|
Pakeitimas
|
|
3.1.2.
|
Pakeitimas
|
|
3.1.3.
.
(t. y. yra tik lyginiai funkcijų laipsniai |
Pakeitimas |
|
3.2.
|
Jeigu Jeigu Jeigu Jeigu
|
|
3.3.
|
Naudokite formules |
,
,
,
, Jei
, Jei
.
, Jei
)
– nelyginis, tada žr. 3.1.1;
– nelyginis, tada žr. 3.1.2;
– lyginis, tada žr. 3.1.3;
– lyginis, tada naudokite laipsnio mažinimo formules
,
,
,
4 pavyzdys. Raskite integralus:
A) 
; b) 
; V) 
; d) 
.
Sprendimas.
a) Čia integruojame trigonometrinę funkciją. Taikykime universalų pakaitalą (6 lentelė, 3.1):
.
b) Čia taip pat taikome universalų pakaitalą:
.
Atkreipkite dėmesį, kad nagrinėjamame integrale kintamųjų pokytis turėjo būti taikomas du kartus.
c) Skaičiuojame panašiai:
e) Panagrinėkime du šio integralo skaičiavimo būdus.
1)
.
Kaip matote, gavome skirtingas primityvias funkcijas. Tai nereiškia, kad vienas iš naudojamų metodų duoda neteisingą rezultatą. Faktas yra tas, kad naudojant gerai žinomas trigonometrines tapatybes, jungiančias pusės kampo liestinę su viso kampo trigonometrinėmis funkcijomis, turime
Taigi rasti antidariniai tarpusavyje sutampa.
5 pavyzdys. Raskite integralus:
A) 
; b) 
; V) 
; G) 
.
Sprendimas.
a) Šiame integrale taip pat galime taikyti universalųjį pakaitalą 
, bet kadangi kosinusas, įtrauktas į integrandą, yra lygaus laipsnio, racionaliau naudoti 6 lentelės 3.1.3 punkto rekomendacijas:
b) Pirmiausia sumažinkime visas trigonometrines funkcijas, įtrauktas į integrandą, iki vieno argumento:
Gautame integrale galime pritaikyti universalų pakaitalą, tačiau pažymime, kad integrandas nekeičia ženklo, kai pasikeičia sinuso ir kosinuso ženklai:
Vadinasi, funkcija turi 6 lentelės 3.1.3 punkte nurodytas savybes, todėl patogiausias pakeitimas bus 
. Mes turime:
c) Jei duotame integrande pakeičiamas kosinuso ženklas, tada visa funkcija keičia ženklą:
.
Tai reiškia, kad integrandas turi savybę, aprašytą 3.1.2 punkte. Todėl racionalu naudoti pakaitalą 
. Bet pirmiausia, kaip ir ankstesniame pavyzdyje, transformuojame integrando funkciją:
d) Jei duotame integrande pakeičiamas sinuso ženklas, tai visa funkcija pakeis ženklą, o tai reiškia, kad turime atvejį, aprašytą 6 lentelės 3.1.1 punkte, todėl naujasis kintamasis turi būti priskirtas kaip funkcija 
. Bet kadangi integrande funkcijos nėra 
, nei jo diferencialas, pirmiausia transformuojame:
6 pavyzdys. Raskite integralus:
A) 
; b) 
;
V) 
G) 
.
Sprendimas.
a) Šis integralas reiškia 6 lentelės 3.2 tipo integralus. Kadangi sinusas yra nelyginis laipsnis, pagal rekomendacijas funkciją patogu pakeisti 
. Bet pirmiausia transformuojame integrando funkciją:
.
b) Šis integralas yra to paties tipo kaip ir ankstesnis, bet čia funkcijos 
Ir 
turi lygius laipsnius, todėl reikia taikyti laipsnių mažinimo formules: 
,
. Mes gauname:
=
c) Pakeiskite funkciją:
d) Pagal 6 lentelės 3.1.3 rekomendacijas, šiame integrale patogu atlikti pakeitimą 
. Mes gauname:
5 lentelė.Neracionalios funkcijos (R– racionali jos argumentų funkcija)
|
Integralo tipas |
Integravimo metodas |
|
Pakeitimas |
|
|
Pakeitimas
|
|
|
2.3.
|
pakeitimas, Kur k– bendras rodiklių trupmenų vardiklis |
|
2.4.
|
Pakeitimas |
|
2.5.
|
Pakeitimas |
|
2.6.
|
Pakeitimas |
|
2.7.
|
Pakeitimas |
|
2.8. A) R– sveikasis skaičius (pakeitimas X = t k, Kur k– bendrasis trupmenų vardiklis T Ir P); b) V) |
|
, Kur k
–
bendrasis trupmenų vardiklis 
…,
.
, Kur k– bendrasis trupmenų vardiklis
…,
,
…,
.
,
,
.
,
.
(diferencialinis binominis), integruotas tik trimis atvejais:
– visa (pakeitimas 
=
t k, Kur k– trupmenos vardiklis R);
– visa (pakeitimas 
=
t k, Kur k– trupmenos vardiklis R).7 pavyzdys. Raskite integralus:
A) 
; b) 
; V) 
.
Sprendimas.
a) Šis integralas gali būti klasifikuojamas kaip 2.1 tipo integralas, todėl padarykime atitinkamą pakaitalą. Prisiminkime, kad pakeitimo esmė šiuo atveju yra atsikratyti neracionalumo. O tai reiškia, kad radikaliąją išraišką reikėtų pakeisti tokia naujo kintamojo galia, iš kurios būtų išgaunamos visos šaknys po integralu. Mūsų atveju tai akivaizdu 
:
Pagal integralą gauname netinkamą racionaliąją trupmeną. Integruojant tokias trupmenas, pirmiausia reikia atskirti visą dalį. Taigi skaitiklį padalinkime iš vardiklio:
Tada gauname 
, iš čia
Kintamojo keitimas neapibrėžtame integrale naudojamas norint rasti integralus, kuriuose viena iš funkcijų yra kitos funkcijos išvestinė. Tegu yra integralas $ \int f(x) dx $, padarykime pakaitalą $ x=\phi(t) $. Atkreipkite dėmesį, kad funkcija $ \phi(t) $ yra diferencijuojama, todėl galime rasti $ dx = \phi"(t) dt $.
Dabar integralą pakeičiame $ \begin(vmatrix) x = \phi(t) \\ dx = \phi"(t) dt \end(vmatrix) $ ir gauname:
$$ \int f(x) dx = \int f(\phi(t)) \cdot \phi"(t) dt $$
Šitas yra kintamojo keitimo neapibrėžtajame integre formulė.
Kintamųjų pakeitimo metodo algoritmas
Taigi, jei uždaviniui duotas formos integralas: $$ \int f(\phi(x)) \cdot \phi"(x) dx $$ Patartina kintamąjį pakeisti nauju: $$ t = \phi(x) $ $ $$ dt = \phi"(t) dt $$
Po to integralas bus pateiktas tokia forma, kurią galima lengvai paimti naudojant pagrindinius integravimo metodus: $$ \int f(\phi(x)) \cdot \phi"(x) dx = \int f(t) dt $$
Taip pat nepamirškite grąžinti pakeisto kintamojo į $x$.
Sprendimų pavyzdžiai
| 1 pavyzdys |
|
Raskite neapibrėžtą integralą naudodami kintamojo keitimo metodą: $$ \int e^(3x) dx $$ |
| Sprendimas |
|
Integralo kintamąjį pakeičiame $ t = 3x, dt = 3dx $: $$ \int e^(3x) dx = \int e^t \frac(dt)(3) = \frac(1)(3) \int e^t dt = $$ Rodyklės integralas vis dar yra tas pats pagal integravimo lentelę, nors vietoj $ x $ rašoma $ t $: $$ = \frac(1)(3) e^t + C = \frac(1)(3) e^(3x) + C $$ Jei negalite išspręsti savo problemos, atsiųskite ją mums. Pateiksime išsamų sprendimą. Galėsite stebėti skaičiavimo eigą ir gauti informacijos. Tai padės jums laiku gauti pažymį iš savo mokytojo! |
| Atsakymas |
| $$ \int e^(3x) dx = \frac(1)(3) e^(3x) + C $$ |
Apskaičiuokite duotąjį integralą tiesiogine integracija
Tai ne visada pavyksta. Viena iš efektyviausių technikų
yra integravimo kintamojo pakeitimo arba pakeitimo metodas.
Šio metodo esmė ta, kad įvedus naują integravimo kintamąjį galima duotą integralą sumažinti iki
į naują integralą, kuris paimamas tiesioginės integracijos būdu.
Apsvarstykite šį metodą:
Leisti būti nuolatinė funkcija
reikia rasti: (1)
Pakeiskime integravimo kintamąjį:
kur φ (t) yra monotoninė funkcija, turinti nuolatinę išvestinę
ir yra kompleksinė funkcija f(φ(t)).
Taikant F (x) = F(φ (t)) kompleksinės diferenciacijos formulę
funkcijas, gauname:
﴾F (φ (t))﴿′ = F′(x) ∙ φ′ (t)
Bet F′(x) = f (x) = f (φ (t)), taigi
﴾F (φ (t))﴿′ = f (φ (t)) ∙ φ′ (t) (3)
Taigi funkcija F(φ (t)) yra funkcijos antidarinė
f (φ (t)) ∙ φ′ (t), todėl:
∫ f (φ (t)) ∙ φ′ (t) dt = F (φ (t)) + C (4)
Atsižvelgiant į tai, kad F (φ (t)﴿ = F (x), iš (1) ir (4) pakeitimo formulė seka
kintamasis neapibrėžtajame integrale:
∫ f (x)dx = ∫ f(φ (t)) φ′ (t)dt (5)
Formaliai formulė (5) gaunama pakeitus x į φ (t) ir dx į φ′ (t) dt
Toliau pateikiamas rezultatas, gautas integravus pagal (5) formulę
grįžkite į kintamąjį x. Tai visada įmanoma, nes pagal pageidavimą
Be to, funkcija x = φ (t) yra monotoniška.
Sėkmingas pakeitimo pasirinkimas paprastai apima gerai žinomas pastangas.
ness. Norint juos įveikti, būtina įvaldyti diferenciacijos techniką
citatų ir gerai išmanyti lentelių integralus.
Bet vis tiek galite nustatyti seriją Bendrosios taisyklės ir kai kurios technikos
integracija.
Integravimo pakeitimu taisyklės:
1. Nustatykite, iki kokio lentelės integralo šis integralas redukuojamas (jei reikia, pakeitus integrando išraišką).
2. Nustatykite, kurią integrando funkcijos dalį reikia pakeisti
naują kintamąjį ir užsirašykite šį pakeitimą.
3. Raskite abiejų įrašo dalių skirtumus ir išreikškite skirtumą
senojo kintamojo ratukas (arba išraiška, kurioje yra šis skirtumas.
regioninis) per naujojo kintamojo skirtumą.
4. Pakeiskite integralu.
5. Raskite gautą integralą.
6. Dėl to jie pereina prie senojo kintamojo.
Integralų sprendimo pakeitimo metodu pavyzdžiai:
1. Raskite: ∫ x²(3+2x) dx
Sprendimas:
padarykime pakeitimą 3+2x = t
Raskime abiejų pakeitimo pusių skirtumą:
6x dx = dt, iš kur
Taigi:
∫ x (3+2x) dx = ∫ t ∙ dt = ∫ t dt = ∙ + C = t + C
Pakeitę t jo išraiška iš pakaitos, gauname:
∫ x (3+2x) dx = (3+2x) + C
Sprendimas:
= = ∫ e = e + C = e + C
Sprendimas:
Sprendimas:
Sprendimas:
Apibrėžtinio integralo sąvoka.
Bet kurios antidarinės funkcijos reikšmių skirtumas, kai argumentas pasikeičia nuo į, vadinamas apibrėžtuoju šios funkcijos integralu diapazone nuo a iki b ir žymimas:
a ir b vadinamos apatine ir viršutine integracijos ribomis.
Norėdami apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą, jums reikia:
1. Raskite atitinkamą neapibrėžtinį integralą
2. Į gautą išraišką vietoj x pakeiskite pirmiau viršutinę integravimo ribą, o po to apatinę ribą - a.
3. Iš pirmojo pakeitimo rezultato atimkite antrąjį.
Trumpai tariant, ši taisyklė parašyta formulių pavidalu:
Ši formulė vadinama Niutono-Leibnizo formule.
Pagrindinės savybės apibrėžtasis integralas:
1. , kur K=konst
3. Jei , tada
4. Jei funkcija yra neneigiama intervale , kur , tada
Pakeičiant seną integravimo kintamąjį nauju, reikia pakeisti senas integravimo ribas naujomis. Šios naujos ribos nustatomos pagal pasirinktą pakaitalą.
Apibrėžtinio integralo taikymas.
Kreivės trapecijos plotas, apribotas kreive, x ašimi ir dviem tiesiomis linijomis Ir apskaičiuojamas pagal formulę:
Kūno tūris, susidaręs sukantis apie kreivinės trapecijos, apribotos kreivės, kuri nekeičia ženklo, x ašies ir dviejų tiesių Ir apskaičiuojamas pagal formulę:
Naudodami apibrėžtąjį integralą taip pat galite išspręsti daugybę fizinių problemų.
Pavyzdžiui:
Jei tiesiai judančio kūno greitis yra žinoma laiko t funkcija, tai kelias S, kurį šis kūnas nuėjo nuo laiko t = t 1 iki laiko t = t 2, nustatomas pagal formulę:
Jei kintamoji jėga yra žinoma kelio S funkcija (manoma, kad jėgos kryptis nekinta), tai šios jėgos atliktas darbas A kelyje nuo iki nustatomas pagal formulę:
Pavyzdžiai:
1. Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja linijos:
y = ; y = (x-2)2; 0x.
Sprendimas:
a) Sudarykime funkcijų grafikus: y = ; y = (x-2) 2
b) Nustatykite figūrą, kurios plotą reikia apskaičiuoti.
c) Nustatykite integravimo ribas išspręsdami lygtį: = (x-2) 2 ; x = 1;
d) Apskaičiuokite nurodytos figūros plotą:
S = dx + 2 dx = 1 vienetas 2
2. Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja linijos:
Y = x2; x = y 2 .
Sprendimas:
x 2 = ; x 4 = x ;
x (x 3 – 1) = 0
x 1 = 0; x 2 = 1
S = - x 2) dx = ( x 3\2 - ) │ 0 1 = 2 vienetas
3. Apskaičiuokite kūno tūrį, gautą sukant aplink 0x ašį tiesėmis apribotą figūrą: y = ; x = 1.
Sprendimas:
V = π dx = π ) 2 dx = π = π │ = π/2 vnt. 3
Namų darbų testas iš matematikos
Užduočių parinktys.
1 variantas
y = (x + 1) 2; y = 1 – x ; 0x
Variantas Nr.2
1. Išspręskite lygčių sistemą trimis būdais:
2. Apskaičiuokite integralus pakeisdami kintamąjį:
3. Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja linijos:
y = 6 – x ; y = x 2 + 4
3 variantas.
1. Išspręskite lygčių sistemą trimis būdais:
2. Apskaičiuokite integralus pakeisdami kintamąjį:
3. Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja linijos:
y = - x 2 + 5; y = x + 3
Pasirinkimo numeris 4.
1. Išspręskite lygčių sistemą trimis būdais:
2. Apskaičiuokite integralus pakeisdami kintamąjį:
3. Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja linijos:
y = x 2; x = 3; Jautis
5 variantas.
1. Išspręskite lygčių sistemą trimis būdais:
2. Apskaičiuokite integralus pakeisdami kintamąjį:
3. Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja linijos:
y = 3 + 2x – x 2; Jautis
Pasirinkimo numeris 6.
1. Išspręskite lygčių sistemą trimis būdais:
2. Apskaičiuokite integralus pakeisdami kintamąjį:
3. Apskaičiuokite figūros plotą, kurį riboja linijos:
y = x + 6; y = 8 + 2x – x 2
Variantas Nr.7
1. Išspręskite lygčių sistemą trimis būdais:
2. Apskaičiuokite integralus pakeisdami kintamąjį:
3. Apskaičiuokite kūno, susidarančio sukant aplink Ox figūrą, apribotą linijomis, tūrį:
y = sin x; y = 0; x = 0; x = π
Variantas Nr.8.
1. Išspręskite lygčių sistemą trimis būdais:
2. Apskaičiuokite integralus pakeisdami kintamąjį:
Bibliografija
1. Parašytas D.T. Aukštosios matematikos paskaitų konspektas 1, 2 dalys. M. IRIS PRESS, 2006 m.
2. Grigorjevas V.P., Dubinsky Yu.A. Aukštosios matematikos elementai. M. Akademija, 2008 m
3. Vygodskis M.Ya. Aukštosios matematikos vadovas. M. Mokslas, 2001
4. Šipačiovas V.S. Aukštoji matematika. M. Aukštoji mokykla, 2005 m
5. Šipačiovas V.S. Aukštosios matematikos problemų knyga. M. Aukštoji mokykla, 2005 m
