Planas:

1 apžvalga
- 1.1 Normalizuoti Buterwortho polinomai
- 1.2 Maksimalus lygumas
- 1.3 Aukšto dažnio nuleidimas
2 Filtro dizainas
- 2.1 Cauer topologija
- 2.2 Sallen-Kay topologija
3 Palyginimas su kitais linijiniais filtrais
4 Pavyzdys

Įvadas

Butterworth filtras- vienas iš elektroninių filtrų tipų. Šios klasės filtrai skiriasi nuo kitų projektavimo metodu. Butterworth filtras sukurtas taip, kad jo amplitudės-dažnio atsakas būtų kuo sklandesnis esant pralaidumo dažniams.

Tokius filtrus pirmą kartą aprašė britų inžinierius Stefanas Butterworthas straipsnyje „Apie filtrų stiprintuvų teoriją“. Apie filtrų stiprintuvų teoriją ), žurnale Belaidžio ryšio inžinierius 1930 metais.

1. Apžvalga

Butterworth filtro dažnio atsakas yra maksimaliai sklandus esant pralaidumo dažniams ir sumažėja beveik iki nulio esant sustabdymo juostos dažniams. Braižant Butterwortho filtro dažnio atsaką logaritminėje fazėje, amplitudė mažėja iki minus begalybės ties sustabdymo juostos dažniais. Pirmos eilės filtro atveju dažnio charakteristika susilpnėja –6 decibelais per oktavą (-20 decibelų per dešimtmetį) (iš tikrųjų visi pirmos eilės filtrai, nepriklausomai nuo tipo, yra identiški ir turi tą patį dažnio atsakas). Antros eilės Butterworth filtro dažnio atsakas susilpnėja –12 dB per oktavą, trečios eilės filtro – –18 dB ir pan. Butterworth filtro dažnio atsakas yra monotoniškai mažėjanti dažnio funkcija. Butterworth filtras yra vienintelis filtras, kuris išlaiko dažnio atsako formą aukštesniems užsakymams (išskyrus staigesnį charakteristikos slinkimą slopinimo juostoje), o daugelis kitų tipų filtrų (Besselio filtras, Čebyševo filtras, elipsinis filtras) turi skirtingas dažnio atsako formas skirtingomis eilėmis.

Palyginti su Chebyshev I ir II tipo filtrais arba elipsiniu filtru, Butterworth filtras turi plokštesnį išsiveržimą, todėl turi būti aukštesnės eilės (o tai sunkiau įgyvendinti), kad būtų užtikrintas norimas našumas esant stabdymo dažniams. Tačiau „Butterworth“ filtras turi linijiškesnį fazės dažnio atsaką pralaidumo dažniuose.

Žemo dažnio Butterworth filtrų dažnio atsakas yra nuo 1 iki 5. Charakteristikos nuolydis yra 20 n dB/dešimtmetį, kur n- filtrų užsakymas.

Svarstant, kaip ir su visais filtrais dažnio charakteristikos naudoti žemųjų dažnių filtrą, iš kurio galima lengvai gauti aukšto dažnio filtrą, ir sujungus kelis tokius filtrus nuosekliai - juostos pralaidumo filtras arba įpjovos filtras.

Trečiosios eilės Butterworth filtro dažnio atsaką galima gauti iš perdavimo funkcijos:

Nesunku pastebėti, kad esant begalinėms reikšmėms, dažnio atsakas tampa stačiakampe funkcija, o dažniai, esantys žemiau ribinio dažnio, bus perduodami stiprinant, o dažniai virš ribinio dažnio bus visiškai slopinami. Esant baigtinėms reikšmėms, charakteristikos mažėjimas bus švelnus.

Naudodami formalų pakaitalą, išraišką pateikiame taip:

Perdavimo funkcijos poliai yra kairiojoje pusplokštumoje vienodu atstumu vienas nuo kito spindulio apskritime. Tai yra, Butterwortho filtro perdavimo funkcija gali būti nustatyta tik nustačius jo perdavimo funkcijos polius kairėje s-plokštumos pusplokštumoje. Ašinis polius nustatomas pagal šią išraišką:

Perkėlimo funkciją galima parašyti taip:

Panašūs samprotavimai galioja ir skaitmeniniams Butterworth filtrams, tačiau vienintelis skirtumas yra tas, kad santykiai nėra parašyti s-lėktuvas, ir už z- lėktuvas.

Šios perdavimo funkcijos vardiklis vadinamas Buterwortho polinomu.

1.1. Normalizuoti Buterwortho polinomai

Butterwortho polinomai gali būti parašyti sudėtinga forma, kaip parodyta aukščiau, tačiau paprastai jie rašomi kaip santykiai su realiais koeficientais (sudėtingos konjuguotos poros sujungiamos naudojant daugybą). Polinomai normalizuojami pagal ribinį dažnį: . Taigi normalizuoti Buterwortho polinomai turi tokią kanoninę formą:

, - lyginis , - nelyginis

Žemiau pateikiami pirmųjų aštuonių užsakymų Butterwortho daugianario koeficientai:

	Polinominiai koeficientai
1
2
3
4
5
6
7
8

1.2. Maksimalus lygumas

Paėmus ir , amplitudės charakteristikos išvestinė pagal dažnį atrodys taip:

Jis mažėja monotoniškai visiems, nes prieaugis visada yra teigiamas. Taigi, Butterworth filtro dažnio atsakas neturi bangavimo. Išplėsdami amplitudės charakteristiką į seriją, gauname:

Kitaip tariant, visos amplitudės-dažnio charakteristikos išvestinės dažnio atžvilgiu iki 2 n- yra lygūs nuliui, o tai reiškia „didžiausias lygumas“.

1.3. Aukšto dažnio nuleidimas

Priėmę, randame dažnio atsako logaritmo nuolydį esant aukštiems dažniams:

Decibelais aukšto dažnio asimptotės nuolydis yra –20 n dB/dešimtmetį.

2. Filtro dizainas

Yra daugybė skirtingų filtrų topologijų, su kuriomis realizuojami linijiniai analoginiai filtrai. Šios schemos skiriasi tik elementų vertėmis, tačiau struktūra išlieka nepakitusi.

2.1. Cauer topologija

Cauerio topologijoje naudojami pasyvūs elementai (talpa ir induktyvumas). Butteworth filtras su nurodyta perdavimo funkcija gali būti sukonstruotas kaip 1 tipo Cowher. k-asis elementas filtras pateikiamas santykiu:

; k nelyginis ; k yra lyginis

2.2. Sallen-Kay topologija

Sallen-Kay topologijoje, be pasyviųjų, naudojami ir aktyvieji elementai (operaciniai stiprintuvai ir kondensatoriai). Kiekvienas Sallen-Kay grandinės etapas yra filtro dalis, matematiškai aprašyta sudėtingų konjuguotų polių pora. Pasirodo visas filtras serijinis ryšys visos kaskados. Jei randamas tinkamas polius, jis turi būti įdiegtas atskirai, paprastai kaip RC grandinė, ir įtrauktas į bendrą grandinę.

Kiekvieno Sallen-Kay grandinės etapo perdavimo funkcija yra tokia:

Vardiklis turi būti vienas iš Butterwortho daugianario veiksnių. Priėmę gauname:

Paskutinis ryšys pateikia du nežinomuosius, kuriuos galima pasirinkti savavališkai.

3. Palyginimas su kitais linijiniais filtrais

Žemiau esančiame paveikslėlyje parodyta Butterworth filtro dažnio charakteristika, palyginti su kitais populiariais tos pačios (penktos) eilės linijiniais filtrais:

Iš paveikslo matyti, kad „Butterworth“ filtro išleidimas yra lėčiausias iš keturių, tačiau jis taip pat turi sklandžiausią dažnio atsaką pralaidumo juostos dažniuose.

4. Pavyzdys

Analoginis žemo dažnio Butterworth filtras (Cauer topologija) su ribiniu dažniu su šiomis elementų reikšmėmis: farad, ohm ir henry.

Perdavimo funkcijos H (s) logaritminio tankio grafikas sudėtingoje argumentų plokštumoje trečios eilės Butterworth filtrui su ribiniu dažniu . Trys poliai guli ant vienetinio spindulio apskritimo kairėje pusiau plokštumoje.

Apsvarstykite trečios eilės analoginį žemo dažnio Butterworth filtrą su faradu, omu ir henriu. Nurodoma bendra kondensatorių varža C Kaip 1/Cs ir induktyvumo varža L Kaip Ls, kur yra sudėtingas kintamasis, ir naudojant lygtis apskaičiuoti elektros schemos, tokiam filtrui gauname tokią perdavimo funkciją:

Dažnio atsakas pateikiamas pagal lygtį:

o fazės atsakas pateikiamas pagal lygtį:

Grupės delsa apibrėžiama kaip atėmus fazės išvestinę apvalaus dažnio atžvilgiu ir yra signalo fazės iškraipymo įvairiais dažniais matas. Tokio filtro logaritminė dažnio charakteristika neturi bangų nei praėjimo, nei slopinimo juostoje.

Perdavimo funkcijos modulio grafikas kompleksinėje plokštumoje aiškiai nurodo tris polius kairiojoje pusplokštumoje. Perkėlimo funkciją visiškai lemia šių polių vieta vieneto apskritime simetriškai apie tikrąją ašį.

Pakeitę kiekvieną induktyvumą talpa, o talpas - induktyvumu, gauname aukšto dažnio Butterworth filtrą.

Ir trečios eilės Butterworth filtro su ribiniu dažniu grupės delsa

Literatūra

V.A. Lukas teorija automatinis valdymas. - M.: Nedra, 1990 m.
B.H. Krivitskis Radioelektronikos teorinių pagrindų vadovas. - M.: Energija, 1977 m.
Miroslavas D. Lutovacas Filtro dizainas signalų apdorojimui naudojant MATLAB© ir Mathematica©. – Naujasis Džersis, JAV.: Prentice Hall, 2001. – ISBN 0-201-36130-2
Richardas W. Danielsas Aproksimacijos metodai elektroninių filtrų projektavimui. – Niujorkas: McGraw-Hill, 1974 m. – ISBN 0-07-015308-6
Stevenas W. Smithas Skaitmeninio signalo apdorojimo mokslininko ir inžinieriaus vadovas. - Antrasis leidimas. – San Diegas: California Technical Publishing, 1999. – ISBN 0-9660176-4-1
Britton C. Rorabaugh Aproksimacijos metodai elektroninių filtrų projektavimui. – Niujorkas: McGraw-Hill, 1999. – ISBN 0-07-054004-7
B. Widrow, S.D. Stearnsas Adaptyvusis signalų apdorojimas. – Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1985. – ISBN 0-13-004029-0
S. Haykinas Adaptyvaus filtro teorija. – 4-asis leidimas. – Paramus, NJ: Prentice-Hall, 2001. – ISBN 0-13-090126-1
Michaelas L. Honigas, Davidas G. Messerschmittas Prisitaikantys filtrai – struktūros, algoritmai ir programos. – Hingham, MA: Kluwer Academic Publishers, 1984. – ISBN 0-89838-163-0
J.D. Markelis, A.H. Grėjus, Jr. Linijinis kalbos numatymas. – Niujorkas: Springer-Verlag, 1982 m. – ISBN 0-387-07563-1
L.R. Rabineris, R.W. Schaferis Skaitmeninis kalbos signalų apdorojimas. – Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1978. – ISBN 0-13-213603-1
Richardas J. Higginsas Skaitmeninis signalų apdorojimas VLSI. – Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1990. – ISBN 0-13-212887-X
A. V. Oppenheimas, R. W. Schaferis Skaitmeninis signalų apdorojimas. – Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1975. – ISBN 0-13-214635-5
L. R. Rabineris, B. Auksas Skaitmeninio signalo apdorojimo teorija ir taikymas. – Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1986. – ISBN 0-13-914101-4
Jonas G. Proakis, Dimitris G. Manolakis Skaitmeninio signalo apdorojimo įvadas. – Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1988. – ISBN 0-02-396815-X

Analizuojant filtrus ir skaičiuojant jų parametrus, visada naudojami kai kurie standartiniai terminai, kurių prasminga laikytis nuo pat pradžių.

Tarkime, kad norite žemųjų dažnių filtro, kurio pralaidumo juosta būtų vienoda ir staigus perėjimas prie sustabdymo juostos. Galutinis atsako nuolydis stabdymo juostoje visada bus 6n dB/oktava, kur n yra „polių“ skaičius. Vienam poliui reikalingas vienas kondensatorius (arba induktorius), todėl galutiniai filtro nusileidimo greičio reikalavimai apytiksliai lemia jo sudėtingumą.

Tarkime, kad nusprendėte naudoti 6 polių žemųjų dažnių filtrą. Jums garantuojamas galutinis išleidimas aukštais 36 dB/oktavos dažniais. Savo ruožtu dabar galima optimizuoti filtro konstrukciją, kad būtų užtikrintas kuo lygesnis atsakas praėjimo juostoje, sumažinant perėjimo nuo praėjimo juostos į stabdymo juostą nuolydį. Kita vertus, leidžiant tam tikrą bangavimą pralaidumo juostoje, galima pasiekti staigesnį perėjimą iš pralaidumo juostos į stabdymo juostą. Trečiasis kriterijus, kuris gali būti svarbus, apibūdina filtro gebėjimą perduoti signalus, kurių spektras yra pralaidumo juostoje, neiškraipant jų formos dėl fazių poslinkių. Taip pat galite domėtis kilimo laiku, viršijimu ir nusistovėjimo laiku.

Yra žinomi filtrų projektavimo metodai, tinkami bet kuriai iš šių charakteristikų arba jų derinių optimizuoti. Tikrai protingas pasirinkimas filtras neatsiranda taip, kaip aprašyta aukščiau; Paprastai pirmiausia nustatomas reikiamas charakteristikų vienodumas pralaidumo juostoje ir reikalingas slopinimas tam tikru dažniu už pralaidumo juostos ribų ir kiti parametrai. Po to parenkama tinkamiausia grandinė su polių skaičiumi, kurio pakanka visiems šiems reikalavimams patenkinti. Kituose skyreliuose bus nagrinėjami trys populiariausi filtrų tipai, būtent Butterworth filtras (plokščiausias pralaidumo dažnių juostos atsakas), Čebyševo filtras (stačiausias perėjimas iš pralaidumo juostos į stabdymo juostą) ir Besselio filtras (plokščiausias delsos laiko atsakas). . Bet kurį iš šių filtrų tipų galima įdiegti naudojant įvairios schemos filtrai; Kai kuriuos iš jų aptarsime vėliau.

Butterworth ir Chebyshev filtrai. Butterworth filtras suteikia plokštiausią atsaką praėjimo juostoje, kuris pasiekiamas sklandumo kaina pereinamojoje srityje, t.y. tarp praėjimo juostų ir vėlinimo juostų. Kaip bus parodyta vėliau, jis taip pat turi prastą fazinio dažnio atsaką. Jo amplitudės-dažnio charakteristika apskaičiuojama pagal šią formulę:
U išėjimas / U įėjimas = 1/ 1/2,
kur n apibrėžia filtrų tvarką (polių skaičių). Padidinus stulpų skaičių, galima išlyginti charakteristikos dalį praėjimo juostoje ir padidinti riedėjimo nuo praėjimo juostos iki slopinimo juostos statumą, kaip parodyta Fig. 5.10.

Ryžiai. 5.10 Normalizuotos Butterworth žemo dažnio filtrų charakteristikos. Atkreipkite dėmesį į tai, kad didėjant filtrų eilės tvarkai būdingas riedėjimas didėja.

Renkantis Butterworth filtrą, visa kita aukojame vardan plokščiausių savybių. Jo charakteristika eina horizontaliai, pradedant nuo nulinio dažnio, jo vingis prasideda nuo ribinio dažnio ƒ s - šis dažnis dažniausiai atitinka -3 dB tašką.

Daugumoje programų svarbiausias dalykas yra tai, kad pralaidumo juostos pulsacija neviršytų tam tikro dydžio, tarkime, 1 dB. „Chebyshev“ filtras atitinka šį reikalavimą, o tam tikri charakteristikos netolygumai leidžiami visoje pralaidumo juostoje, tačiau tuo pat metu jo lūžio ryškumas labai padidėja. Čebyševo filtrui nurodomas polių skaičius ir pralaidumo juostos nelygumai. Atsižvelgdami į didesnius praėjimo juostos nelygumus, gauname ryškesnį kreivumą. Šio filtro amplitudės-dažnio atsakas pateikiamas tokiu ryšiu
U išėjimas / U įėjimas = 1/ 1/2,
čia C n yra pirmos rūšies n laipsnio Čebyševo daugianario, o ε yra konstanta, kuri lemia charakteristikos netolygumą pralaidumo juostoje. Čebyševo filtras, kaip ir Butterworth filtras, turi fazinio dažnio charakteristikas, kurios toli gražu nėra idealios. Fig. 5.11 paveiksle palygintos 6 polių Chebyshev ir Butterworth žemo dažnio filtrų charakteristikos. Kaip nesunkiai matote, abu yra daug geresni nei 6 polių RC filtras.

Ryžiai. 5.11. Kai kurių dažniausiai naudojamų 6 polių žemo dažnio filtrų charakteristikų palyginimas. Tų pačių filtrų charakteristikos rodomos tiek logaritminėmis (viršuje), tiek tiesinėmis (apačiomis) skalėmis. 1 - Besselio filtras; 2 - Butterworth filtras; 3 - Čebyševo filtras (pulsacija 0,5 dB).

Tiesą sakant, Butterworth filtras su labai plokščiu praėjimo dažnių juostos atsaku nėra toks patrauklus, kaip gali atrodyti, nes bet kuriuo atveju turite susitaikyti su tam tikrais pralaidumo juostos nelygumais (Buterwortho filtrui tai laipsniškai mažės, nes dažnis artėja prie ƒ c, o Čebyševo filtrui - bangavimas, paskirstytas per visą pralaidumo juostą). Be to, aktyvieji filtrai, sukurti iš elementų, kurių reitingai turi tam tikrą toleranciją, turės charakteristiką, kuri skirsis nuo apskaičiuotosios, o tai reiškia, kad iš tikrųjų Butterworth filtro charakteristikoje visada bus tam tikrų pralaidumo juostos nelygybių. Fig. 5.12 paveiksle parodytas labiausiai nepageidautinas kondensatoriaus talpos ir rezistoriaus varžos verčių nuokrypių poveikis filtro charakteristikoms.

Ryžiai. 5.12. Elementų parametrų pokyčių įtaka aktyvaus filtro charakteristikoms.

Atsižvelgiant į tai, kas išdėstyta pirmiau, labai racionali struktūra yra Čebyševo filtras. Kartais jis vadinamas vienodų bangų filtru, nes jo charakteristika pereinamojoje srityje turi didesnį statumą dėl to, kad pralaidumo juostoje paskirstomos kelios vienodo dydžio pulsacijos, kurių skaičius didėja priklausomai nuo filtro eilės. Net ir esant santykinai nedideliam bangavimui (apie 0,1 dB), Chebyshev filtras suteikia daug didesnį nuolydį pereinamojoje srityje nei Butterworth filtras. Norėdami kiekybiškai įvertinti šį skirtumą, tarkime, kad reikalingas filtras, kurio pralaidumo juostos lygumas yra ne didesnis kaip 0,1 dB ir 20 dB slopinimas, kai dažnis skiriasi nuo pralaidumo juostos ribinio dažnio. Skaičiavimas rodo, kad šiuo atveju reikalingas 19 polių Butterworth filtras arba tiesiog 8 polių Čebyševo filtras.

Idėja, kad galima toleruoti bangavimą praėjimo juostoje, kad būtų padidintas perėjimo atkarpos statumas, yra logiška išvadoje vadinamojo elipsinio filtro (arba Cauer filtro), kuriame leidžiamas pulsavimas. tiek pralaidumo juostoje, tiek uždelsimas, siekiant užtikrinti, kad perėjimo atkarpos statumas būtų dar didesnis nei Čebyševo filtro charakteristikos. Kompiuterio pagalba elipsiniai filtrai gali būti sukurti taip paprastai, kaip klasikiniai Chebyshev ir Butterworth filtrai. Fig. 5.13 paveiksle parodytas grafinis filtro amplitudės-dažnio atsako aprašymas. Šiuo atveju (žemų dažnių filtras) priimtinas filtro stiprinimo diapazonas (t. y. pulsacija) pralaidumo juostoje, minimalus dažnis, kuriuo charakteristika palieka pralaidumo juostą, didžiausias dažnis, kai charakteristika patenka į stabdymo juostą, ir mažiausias slopinimas areštas.

Ryžiai. 5.13. Filtro dažnio atsako parametrų nustatymas.

Beselio filtrai. Kaip buvo nustatyta anksčiau, filtro amplitudės-dažnio charakteristika apie tai nerodo pilna informacija. Filtras su plokščia amplitudės-dažnio atsaku gali turėti didelius fazių poslinkius. Dėl to signalo, kurio spektras yra pralaidumo juostoje, forma bus iškraipyta praeinant per filtrą. Tais atvejais, kai bangos forma yra itin svarbi, pageidautina turėti linijinės fazės filtrą (pastovios delsos laiko filtrą). Reikalavimas, kad filtras užtikrintų tiesinį fazės poslinkio pokytį, kaip dažnio funkciją, yra tolygus reikalavimui nuolatinio vėlavimo laiko signalui, kurio spektras yra pralaidumo juostoje, ty signalo formos iškraipymo nebuvimas. Besselio filtras (taip pat vadinamas Thomson filtru) turi plokščiausią pralaidumo juostos delsos kreivės dalį, kaip ir Butterworth filtras turi plokštiausią dažnio atsaką. Norėdami suprasti Besselio filtro teikiamą laiko srities patobulinimą, žr. 5.14 paveiksle pavaizduoti 6 polių Besselio ir Butterwortho žemųjų dažnių filtrų dažnio normalizuoti vėlavimo laiko grafikai. Prastos Butterworth filtro delsos charakteristikos sukelia viršijimo tipo efektus, kai impulsiniai signalai praeina per filtrą. Kita vertus, už Besselio filtro uždelsimo laiko pastovumą reikia mokėti tuo, kad jo amplitudės-dažnio charakteristika turi dar plokštesnę perėjimo dalį tarp pralaidumo juostos ir stabdymo juostos nei netgi Butterworth filtro charakteristika.

Ryžiai. 5.14. 6 juostų Besselio (1) ir Butterwortho (2) žemųjų dažnių filtrų laiko delsų palyginimas. Besselio filtras dėl savo puikių laiko srities savybių sukuria mažiausią bangos formos iškraipymą.

Yra daug įvairiais būdais filtrų konstrukcijos, kuriomis bandoma pagerinti Besselio filtro veikimą laiko srityje, iš dalies paaukojant pastovų delsos laiką, siekiant sumažinti kilimo laiką ir pagerinti amplitudės-dažnio atsaką. Gauso filtras pasižymi beveik tokiomis pat geromis fazinėmis charakteristikomis kaip ir Besselio filtras, tačiau pagerino trumpalaikį atsaką. Kita įdomi klasė yra filtrai, kurie leidžia pasiekti identiškus vėlinimo laiko kreivės bangavimą pralaidumo juostoje (panašiai kaip amplitudės-dažnio charakteristikos Čebyševo filtre) ir užtikrina maždaug tokį patį vėlavimą signalams, kurių spektras yra iki stabdymo juosta. Kitas būdas sukurti filtrus su pastoviu delsos laiku yra visų pralaidų filtrų, kitaip vadinamų laiko domeno ekvalaizeriais, naudojimas. Šie filtrai turi pastovią amplitudės-dažnio atsaką, o fazės poslinkis gali būti keičiamas pagal specifinius reikalavimus. Taigi jie gali būti naudojami bet kokių filtrų, ypač Butterworth ir Chebyshev filtrų, delsos trukmei išlyginti.

Filtrų palyginimas. Nepaisant ankstesnių komentarų apie trumpalaikį Besselio filtrų atsaką, jis vis dar turi labai geras laiko domeno savybes, palyginti su Butterworth ir Chebyshev filtrais. Pats Čebyševo filtras, turintis labai tinkamą amplitudės-dažnio atsaką, turi pačius blogiausius parametrus laiko srityje iš visų šių trijų filtrų tipų. Butterworth filtras leidžia pakeisti dažnius ir laiko charakteristikas. Fig. 5.15 paveiksle pateikta informacija apie šių trijų tipų filtrų veikimo charakteristikas laiko srityje, papildant ankstesnes amplitudės-dažnio charakteristikų diagramas. Remiantis šiais duomenimis, galime daryti išvadą, kad tais atvejais, kai svarbūs filtro parametrai laiko srityje, patartina naudoti Besselio filtrą.

Ryžiai. 5.15. Trumpalaikis 6 polių žemo dažnio filtrų palyginimas. Kreivės normalizuojamos sumažinus 3 dB slopinimo reikšmę iki 1 Hz dažnio. 1 - Besselio filtras; 2 - Butterworth filtras; 3 - Čebyševo filtras (pulsacija 0,5 dB).

Butterwortho filtro dažnio atsakas apibūdinamas lygtimi

Butterworth filtro savybės: netiesinis fazės atsakas; ribinis dažnis, nepriklausomas nuo polių skaičiaus; svyruojantis pereinamojo atsako pobūdis su žingsniniu įvesties signalu. Didėjant filtrų tvarkai, didėja virpesių pobūdis.

Čebyševo filtras

Čebyševo filtro dažnio atsakas apibūdinamas lygtimi

Kur T n 2 (ω/ω n ) – Čebyševo daugianario n– įsakymas.

Čebyševo polinomas apskaičiuojamas naudojant pasikartojančią formulę

Čebyševo filtro savybės: padidėjęs fazės atsako netolygumas; bangą primenanti charakteristika pralaidumo juostoje. Kuo didesnis filtro dažnio atsako netolygumo koeficientas pralaidumo juostoje, tuo staigesnis pereinamojo laikotarpio nuosmukis ta pačia tvarka. Laikinasis laipsniško įvesties signalo svyravimas yra didesnis nei Butterworth filtro. Chebyshev filtro polių kokybės koeficientas yra didesnis nei Butterworth filtro.

Beselio filtras

Besselio filtro dažnio atsakas apibūdinamas lygtimi

Kur
;B n 2 (ω/ω cp h ) – Beselio daugianario n– įsakymas.

Besselio polinomas apskaičiuojamas naudojant pasikartojančią formulę

Besselio filtro ypatybės: gana vienoda dažnio ir fazės atsakas, apytikslis Gauso funkcija; filtro fazės poslinkis proporcingas dažniui, t.y. filtras turi nuo dažnio nepriklausomą grupės uždelsimo laiką. Ribinis dažnis keičiasi keičiantis filtro polių skaičiui. Filtro dažnio atsakas paprastai yra plokštesnis nei Butterwortho ir Chebyshev. Šis filtras ypač tinka impulsinėms grandinėms ir fazei jautriam signalų apdorojimui.

Cauer filtras (elipsinis filtras)

Bendras Cauer filtro perdavimo funkcijos vaizdas

Cauer filtro ypatybės: netolygus dažnio atsakas praėjimo ir sustabdymo juostoje; ryškiausias visų minėtų filtrų dažnio atsako kritimas; įgyvendina reikalingas perdavimo funkcijas su mažesne filtrų tvarka nei naudojant kitų tipų filtrus.

Filtrų eilės nustatymas

Reikiama filtrų tvarka nustatoma pagal toliau pateiktas formules ir suapvalinama iki artimiausio sveikojo skaičiaus. Butterworth filtrų užsakymas

Čebyševo filtrų užsakymas

Besselio filtrui nėra jokios eilės skaičiavimo formulės, pateikiamos lentelės, atitinkančios filtrų eiliškumą pagal minimalų reikalaujamą delsos laiko nuokrypį nuo vieneto tam tikru dažniu ir nuostolių lygį dB.

Skaičiuojant Besselio filtrų tvarką, nurodomi šie parametrai:

Leidžiamas procentinis grupės vėlavimo laiko nuokrypis tam tikru dažniu ω ω cp h ;

Filtro stiprinimo slopinimo lygį galima nustatyti dB dažniu ω , normalizuotas, palyginti su ω cp h .

Remiantis šiais duomenimis, nustatoma reikiama Besselio filtro eilės tvarka.

1 ir 2 eilės žemųjų dažnių filtrų kaskadų grandinės

Fig. 12.4, 12.5 parodytos tipinės žemųjų dažnių filtrų kaskadų grandinės.

A) b)

Ryžiai. 12.4. Butterwortho, Chebyshev ir Besselio žemųjų dažnių filtrų kaskados: A - 1 eilė; b – 2 eilė

A) b)

Ryžiai. 12.5. Cauer žemųjų dažnių filtrų kaskados: A - 1 eilė; b – 2 eilė

Bendras 1 ir 2 eilės žemųjų dažnių filtrų Butterworth, Chebyshev ir Bessel perdavimo funkcijų vaizdas

,
.

Bendras 1 ir 2 eilės žemųjų dažnių filtrų Cauer perdavimo funkcijų vaizdas

,
.

pagrindinis skirtumas tarp 2 eilės Cauer filtro ir juostos stabdymo filtro yra tas, kad Cauer filtro perdavimo funkcijoje dažnių santykis Ω s ≠ 1.

Butterworth, Chebyshev ir Bessel žemųjų dažnių filtrų skaičiavimo metodas

Šis metodas pagrįstas lentelėse pateiktais koeficientais ir galioja Butterworth, Chebyshev ir Bessel filtrams. Cauer filtrų apskaičiavimo metodas pateikiamas atskirai. Butterworth, Chebyshev ir Bessel žemųjų dažnių filtrų skaičiavimas prasideda nuo jų eilės nustatymo. Visiems filtrams nustatomi minimalūs ir didžiausi slopinimo parametrai bei ribinis dažnis. Čebyševo filtrams papildomai nustatomas dažnio atsako netolygumo koeficientas pralaidumo juostoje, o Beselio filtrams – grupės vėlavimo laikas. Toliau nustatoma filtro perdavimo funkcija, kurią galima paimti iš lentelių, ir apskaičiuojamos jo 1 ir 2 eilės kaskados, stebima tokia skaičiavimo tvarka:

Priklausomai nuo filtro eilės ir tipo, parenkamos jo kaskadų grandinės, o lyginės eilės filtras susideda iš n/2 2 eilės kaskados ir nelyginės eilės filtras - iš vienos 1 eilės kaskados ir ( n– 1)/2 2 eilės kaskados;

Norėdami apskaičiuoti pirmos eilės pakopą:

Pasirinktas filtro tipas ir tvarka nustato vertę b 1 1 eilės kaskados;

Sumažinus užimamą plotą, pasirenkamas pajėgumo įvertinimas C ir paskaičiavo R pagal formulę (taip pat galite pasirinkti R, bet rekomenduojama rinktis C, tikslumo sumetimais)

;

Apskaičiuojamas pelnas KAM adresu U 1 1 eilės kaskada, kuri nustatoma iš santykio

Kur KAM adresu U– viso filtro stiprinimas; KAM adresu U 2 , …, KAM adresu Un– 2 eilės kaskadų stiprinimo koeficientai;

Norėdami realizuoti pelną KAM adresu U 1 būtina nustatyti rezistorius remiantis tokiu ryšiu

R B = R A ּ (KAM adresu U1 –1) .

Norėdami apskaičiuoti 2 eilės pakopą:

Sumažinus užimamą plotą, parenkamos vardinės konteinerių vertės C 1 = C 2 = C;

Koeficientai parenkami iš lentelių b 1 i Ir K pi 2 eilės kaskadoms;

Pagal nurodytą kondensatoriaus nominalią vertę C apskaičiuojami rezistoriai R pagal formulę

;

Pasirinktam filtro tipui turite nustatyti atitinkamą stiprinimą KAM adresu Ui = 3 – (1/K pi) kiekvieno 2 eilės etapo, nustatydami rezistorius pagal šį ryšį

R B = R A ּ (KAM adresu Ui –1) ;

Besselio filtrams būtina visų kondensatorių nominalus padauginti iš reikiamo grupės vėlavimo laiko.

Butterworth filtras

Butterworth žemųjų dažnių filtro perdavimo funkcija n-tvarka apibūdinama išraiška:

Butterworth filtro amplitudės-dažnio atsakas turi šias savybes:

1) Bet kokia tvarka n dažnio atsako vertė

2) esant ribiniam dažniui u = u s

Žemųjų dažnių filtro dažnio atsakas mažėja monotoniškai didėjant dažniui. Dėl šios priežasties Butterworth filtrai vadinami plokščiaisiais filtrais. 3 paveiksle pavaizduoti 1–5 eilučių Butterworth žemo dažnio filtrų amplitudės-dažnio charakteristikų grafikai. Akivaizdu, kad kuo aukštesnė filtro eilė, tuo tiksliau apytiksliai apskaičiuojama idealaus žemųjų dažnių filtro dažnio atsakas.

3 pav. Žemo dažnio Butterworth filtro dažnio atsakas, kurio eilės nuo 1 iki 5

4 paveiksle parodytas Butterworth aukšto dažnio filtro grandinės įgyvendinimas.

4 pav. – Butterworth HPF-II

Butterworth filtro pranašumas yra sklandžiausias dažnio atsakas esant pralaidumo dažniams ir jo sumažinimas beveik iki nulio esant sustabdymo dažniams. Butterworth filtras yra vienintelis filtras, kuris išlaiko dažnio atsako formą aukštesniems užsakymams (išskyrus staigesnį charakteristikos slinkimą slopinimo juostoje), o daugelis kitų tipų filtrų (Besselio filtras, Čebyševo filtras, elipsinis filtras) turi skirtingas dažnio atsako formas skirtingomis eilėmis.

Tačiau, palyginti su I ir II tipo Čebyševo filtrais arba elipsiniu filtru, Butterworth filtras turi plokštesnį išsiveržimą, todėl turi būti aukštesnės eilės (o tai sunkiau įgyvendinti), kad būtų užtikrintas norimas našumas esant stabdymo dažniams.

Čebyševo filtras

Čebyševo filtro perdavimo funkcijos kvadratinis modulis nustatomas pagal išraišką:

kur yra Čebyševo daugianario. Čebyševo filtro perdavimo funkcijos modulis yra lygus vienetui tuose dažniuose, kur jis tampa nuliu.

Čebyševo filtrai dažniausiai naudojami ten, kur reikia naudoti mažo užsakymo filtrą, kad būtų užtikrintos reikiamos dažnio charakteristikos, ypač geras dažnių slopinimas iš slopinimo juostos ir dažnio atsako sklandumas pralaidumo juostos dažniuose ir slopinimo juostos nėra taip svarbu.

Yra I ir II tipų Čebyševo filtrai.

Pirmojo tipo Čebyševo filtras. Tai dažnesnė Chebyshev filtrų modifikacija. Tokio filtro pralaidumo juostoje matomi raibuliai, kurių amplitudę lemia pulsacijos eksponentas e Analoginio Čebyševo elektroninio filtro atveju jo eilė lygi jo įgyvendinimui naudojamų reaktyviųjų komponentų skaičiui. Staigesnį charakteristikos sumažėjimą galima gauti leidžiant bangavimą ne tik pralaidumo juostoje, bet ir slopinimo juostoje, pridedant nulius prie įsivaizduojamos ašies kompleksinėje plokštumoje prie filtro perdavimo funkcijos. Tačiau tai sukels mažiau efektyvų slopinimo juostą. Gautas filtras yra elipsinis filtras, taip pat žinomas kaip Cauer filtras.

Ketvirtosios eilės pirmojo tipo Čebyševo žemųjų dažnių filtro dažnio charakteristika pateikta 5 paveiksle.

5 pav. Pirmojo tipo, ketvirtos eilės Čebyševo žemųjų dažnių filtro dažnio atsakas

II tipo Čebyševo filtras (atvirkštinis Čebyševo filtras) naudojamas rečiau nei I tipo Čebyševo filtras, nes amplitudės charakteristikos mažėja ne taip smarkiai, o tai lemia komponentų skaičiaus padidėjimą. Praleidimo juostoje jis neturi bangavimo, bet yra slopinimo juostoje.

Ketvirtosios eilės antrojo tipo Čebyševo žemųjų dažnių filtro dažnio charakteristika pateikta 6 paveiksle.

6 pav. II tipo Chebyshev žemo dažnio filtro dažnio atsakas

7 paveiksle parodytos 1 ir 2 eilės Čebyševo aukšto dažnio filtrų grandinės.

7 pav. Čebyševo aukšto dažnio filtras: a) 1 eilės; b) II įsakymas

Chebyshev filtrų dažnių charakteristikų savybės:

1) Praleidimo juostoje dažnio atsakas turi vienodos bangos pobūdį. Ant intervalo (-1?sch?1) yra n taškai, kuriuose funkcija pasiekia didžiausią reikšmę 1 arba mažiausią reikšmę . Jei n nelyginis, jei n lyginis;

2) Čebyševo filtro dažnio atsako reikšmė ribiniame dažnyje yra

3) Kai funkcija monotoniškai mažėja ir linkusi į nulį.

4) Parametras e nustato Čebyševo filtro dažnio atsako netolygumą pralaidumo juostoje:

Palyginus Butterworth ir Chebyshev filtrų dažnio atsaką, matyti, kad Chebyshev filtras užtikrina didesnį pralaidumo juostos slopinimą nei tos pačios eilės Butterworth filtras. Čebyševo filtrų trūkumas yra tas, kad jų fazinės-dažnio charakteristikos praėjimo juostoje labai skiriasi nuo linijinių.

Butterworth ir Chebyshev filtrams yra pateiktos išsamios lentelės, kuriose pateikiamos įvairių eilių polių koordinatės ir perdavimo funkcijų koeficientai.

DF DAŽNIO SAVYBĖS KONVERTAVIMAS (LPF -> LPF1)

DF DAŽNIO SAVYBĖS KONVERTAVIMAS (LPF -> HPF)

DF DAŽNIO SAVYBĖS KONVERTAVIMAS (LPF -> PF)

DF DAŽNIO SAVYBĖS KONVERTAVIMAS (LPF -> RF)

4 eilės Butterworth filtras

DF DAŽNIO SAVYBĖS KONVERTAVIMAS (LPF -> LPF1)

DF DAŽNIO SAVYBĖS KONVERTAVIMAS (LPF -> HPF)

DF DAŽNIO SAVYBĖS KONVERTAVIMAS (LPF -> PF)

DF DAŽNIO SAVYBĖS KONVERTAVIMAS (LPF -> RF)

Čebyševo filtras 3 eilės

DF DAŽNIO SAVYBĖS KONVERTAVIMAS (LPF -> LPF1)

DF DAŽNIO SAVYBĖS KONVERTAVIMAS (LPF -> HPF)

DF DAŽNIO SAVYBĖS KONVERTAVIMAS (LPF -> PF)

DF DAŽNIO SAVYBĖS KONVERTAVIMAS (LPF -> RF)

Čebyševo filtras 4 užsakymai

DF DAŽNIO SAVYBĖS KONVERTAVIMAS (LPF -> LPF1)

DF DAŽNIO SAVYBĖS KONVERTAVIMAS (LPF -> HPF)

DF DAŽNIO SAVYBĖS KONVERTAVIMAS (LPF -> PF)

DF DAŽNIO SAVYBĖS KONVERTAVIMAS (LPF -> RF)

Beselio filtras 3 eilės

DF DAŽNIO SAVYBĖS KONVERTAVIMAS (LPF -> LPF1)

DF DAŽNIO SAVYBĖS KONVERTAVIMAS (LPF -> HPF)

DF DAŽNIO SAVYBĖS KONVERTAVIMAS (LPF -> PF)

DF DAŽNIO SAVYBĖS KONVERTAVIMAS (LPF -> RF)

Beselio filtras 4 eilės

DF DAŽNIO SAVYBĖS KONVERTAVIMAS (LPF -> LPF1)

DF DAŽNIO SAVYBĖS KONVERTAVIMAS (LPF -> HPF)

DF DAŽNIO SAVYBĖS KONVERTAVIMAS (LPF -> PF)

DF DAŽNIO SAVYBĖS KONVERTAVIMAS (LPF -> RF)

Išanalizuoti skaitmeninių žemųjų dažnių filtro koeficientų nustatymo klaidų įtaką dažnio atsakui (pakeitus vieną iš koeficientų b j). Apibūdinkite dažnio atsako pokyčio pobūdį. Padarykite išvadą apie vieno iš koeficientų pakeitimo poveikį filtro veikimui.

Išanalizuosime skaitmeninių žemųjų dažnių filtro koeficientų nustatymo klaidų įtaką dažnio atsakui, naudodamiesi 4 eilės Besselio filtro pavyzdžiu.

Parinkkime koeficientų ε nuokrypio reikšmę –1,5%, kad didžiausias dažnio charakteristikos nuokrypis būtų apie 10%.

„Idealaus“ filtro ir filtrų, kurių koeficientai pasikeitė reikšme ε, dažnio atsakas parodytas paveikslėlyje:

IR

Paveikslėlyje parodyta, kad didžiausią įtaką dažnio charakteristikoms daro koeficientų b 1 ir b 2 pokyčiai (jų reikšmė viršija kitų koeficientų reikšmę). Naudojant neigiamą ε reikšmę, pastebime, kad teigiami koeficientai sumažina amplitudę apatinėje spektro dalyje, o neigiami – padidina. Teigiamai ε vertei viskas vyksta atvirkščiai.

Skaitmeninio filtro koeficientus kvantuokite tokiu dvejetainių skaitmenų skaičiumi, kad didžiausias dažnio atsako nuokrypis nuo originalo būtų apie 10 - 20%. Nubraižykite dažnio atsaką ir apibūdinkite jo pokyčio pobūdį.

Keičiant trupmeninės koeficientų dalies skaitmenų skaičių b j Atkreipkite dėmesį, kad didžiausias dažnio atsako nuokrypis nuo pradinio neviršija 20%, kai n≥3.

Skirtingo dažnio atsako tipas n parodyta nuotraukose:

n =3, maksimalus dažnio atsako nuokrypis =19,7 %

n =4, maksimalus dažnio atsako nuokrypis =13,2 %

n =5, maksimalus dažnio atsako nuokrypis =5,8 %

n =6, maksimalus dažnio atsako nuokrypis =1,7 %

Taigi, galima pastebėti, kad bitų gylio didinimas kvantuojant filtro koeficientus lemia tai, kad filtro dažnio atsakas vis labiau linksta į pradinį. Tačiau reikia pažymėti, kad tai apsunkina fizinį filtro realizavimą.

Kvantifikavimas skirtingais n galima pamatyti paveiksle: