Skaičiai dvejetainėje skaičių sistemoje rašomi naudojant tik du skaitmenis – 0 ir 1. Todėl ši sistema praktikoje lengviausiai įgyvendinama elektroninėje kompiuteriai ir prietaisai. Pažiūrėkime, kaip konvertuoti skaičių į dvejetainė sistema nuo įprasto dešimtainio skaičiaus be skaičiuoklės ir kompiuterinių programų pagalbos.
Sveiki skaičiai
Norėdami konvertuoti sveikąjį skaičių iš dešimtainio į dvejetainį, turite jį padalyti iš dviejų, o tada kiekvieną gautą koeficientą padalyti iš dviejų, kol gausite vieną. Norimas dvejetainis skaičius rašomas kaip skaitmenų seka, lygi paskutinei daliai (vienas) ir visoms gautoms liekanoms, pradedant nuo paskutinio.
Pateikime pavyzdžių.
Turime skaičių 23 paversti dvejetainiu.
- 23: 2 = 11 (likęs 1)
- 11: 2 = 5 (likęs 1)
- 5: 2 = 2 (likęs 1)
- 2: 2 = 1 (likęs 0)
Dėl to 23 10 = 10 111 2
Turime paversti skaičių 88 į dvejetainį:
- 88: 2 = 44 (likęs 0)
- 44: 2 = 22 (likęs 0)
- 22: 2 = 11 (likęs 0)
- 11: 2 = 5 (likęs 1)
- 5: 2 = 2 (likęs 1)
- 2: 2 = 1 (likęs 0)
Dėl to 88 10 = 1011000 2
Trupmeniniai skaičiai
Dabar pažvelkime į trupmeninių dešimtainių skaičių konvertavimo į dvejetainę sistemą algoritmą. Norėdami tai padaryti, dirbame su sveikąja skaičiaus dalimi pagal aukščiau aprašytą procedūrą ir trupmeninę dalį padauginame iš dviejų. Gautos sandaugos trupmeninę dalį vėl dauginame iš dviejų ir taip toliau, kol trupmeninė dalis tampa lygi nuliui arba kol gaunama reikiama aproksimacija iki nurodyto dvejetainių skaitmenų po kablelio. Reikalinga trupmeninė dalis dvejetainis skaičius gauname kaip skaičių seką po kablelio, lygią gautų sandaugų sveikosioms dalims, pradedant nuo pirmosios.
Štai keletas pavyzdžių:
Turime konvertuoti skaičių 5.625 į dvejetainį:
- Pirmiausia pažvelkime į sveikąją dešimtainio skaičiaus dalį:
- 5: 2 = 2 (likęs 1)
- 2: 2 = 1 (likęs 0)
- Dabar trupmeninė dalis:
- 0,625 * 2 = 1,25
- 0,25 * 2 = 0,5
- 0,5 * 2 = 1,0
Dėl to 5 10 = 101 2
Dėl to 0,125 10 = 0,101 2
Dėl to 5,625 10 = 101,101 2
Turite konvertuoti 8.35 į dvejetainį 5 skaitmenų po kablelio tikslumu:
- Pradėkime nuo visos dalies:
- 8: 2 = 4 (likęs 0)
- 4: 2 = 2 (likęs 0)
- 2: 2 = 1 (likęs 0)
- Trupmeninė skaičiaus dalis:
- 0,35 * 2 = 0,7
- 0,7 * 2 = 1,4
- 0,4 * 2 = 0,8
- 0,8 * 2 = 1,6
- 0,6 * 2 = 1,2
Dėl to 8 10 = 1000 2
Dėl to 0,35 10 = 0,01011 2 5 tikslumu po kablelio.
Dėl to 8,35 10 = 1000,01011 2 5 tikslumu po kablelio.
Su šiuo internetinis skaičiuotuvas Galite konvertuoti sveikuosius ir trupmeninius skaičius iš vienos skaičių sistemos į kitą. Pateikiamas išsamus sprendimas su paaiškinimais. Norėdami išversti, įveskite originalų skaičių, nustatykite šaltinio skaičiaus skaičių sistemos pagrindą, nustatykite skaičių sistemos, į kurią norite konvertuoti skaičių, pagrindą ir spustelėkite mygtuką „Išversti“. Žr. toliau pateiktą teorinę dalį ir skaitinius pavyzdžius.
Rezultatas jau gautas!
Sveikųjų skaičių ir trupmenų konvertavimas iš vienos skaičių sistemos į bet kurią kitą – teorija, pavyzdžiai ir sprendimai
Yra poziciniai ir nepoziciniai padėties nustatymo sistemos Skaičiavimas. Arabų skaičių sistema, kurią naudojame Kasdienybė, yra pozicinis, bet Romanas – ne. Padėčių skaičių sistemose skaičiaus padėtis vienareikšmiškai lemia skaičiaus dydį. Panagrinėkime tai naudodamiesi skaičiaus 6372 pavyzdžiu dešimtainėje skaičių sistemoje. Sunumeruokime šį skaičių iš dešinės į kairę, pradedant nuo nulio:
Tada skaičius 6372 gali būti pavaizduotas taip:
6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .
Skaičius 10 lemia skaičių sistemą (šiuo atveju tai yra 10). Tam tikro skaičiaus padėties reikšmės laikomos galiomis.
Apsvarstykite tikrąjį dešimtainį skaičių 1287.923. Sunumeruokime jį nuo nulinės skaičiaus padėties nuo kablelio į kairę ir dešinę:
Tada skaičius 1287.923 gali būti pavaizduotas taip:
1287,923 =1000+200+80 +7+0,9+0,02+0,003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10-1 +2·10-2 +3· 10 -3.
Apskritai formulę galima pavaizduoti taip:
C n s n +C n-1 · s n-1 +...+C 1 · s 1 +C 0 ·s 0 +D -1 ·s -1 +D -2 ·s -2 +...+D -k ·s -k
kur C n yra sveikasis skaičius padėtyje n, D -k – trupmeninis skaičius pozicijoje (-k), s- skaičių sistema.
Keletas žodžių apie skaičių sistemas Skaičius dešimtainėje skaičių sistemoje susideda iš daugelio skaitmenų (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), aštuntinėje – iš daugybės skaitmenų (0,1, 2,3,4,5,6,7), dvejetainėje skaičių sistemoje - iš skaitmenų rinkinio (0,1), šešioliktainėje skaičių sistemoje - iš skaitmenų rinkinio (0,1 ,2,3,4,5,6, 7,8,9,A,B,C,D,E,F), kur A,B,C,D,E,F atitinka skaičius 10,11, 12,13,14,15.Lentelėje Tab.1 skaičiai pateikti in skirtingos sistemos Skaičiavimas.
| 1 lentelė | |||
|---|---|---|---|
| Žymėjimas | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E | 15 | 1111 | 17 | F |
Skaičių konvertavimas iš vienos skaičių sistemos į kitą
Norėdami konvertuoti skaičius iš vienos skaičių sistemos į kitą, paprasčiausias būdas yra pirmiausia konvertuoti skaičių į dešimtainė sistema skaičių sistemą, tada konvertuokite iš dešimtainės skaičių sistemos į reikiamą skaičių sistemą.
Skaičių konvertavimas iš bet kurios skaičių sistemos į dešimtainę skaičių sistemą
Naudodami (1) formulę galite konvertuoti skaičius iš bet kurios skaičių sistemos į dešimtainę skaičių sistemą.
Pavyzdys 1. Konvertuokite skaičių 1011101.001 iš dvejetainės skaičių sistemos (SS) į dešimtainį SS. Sprendimas:
1 ·2 6 +0 · 2 5 + 1 · 2 4+ 1 · 2 3+ 1 · 2 2+ 0 · 2 1+ 1 ·2 0+ 0 ·2 -1 + 0 ·2 -2 + 1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93,125
Pavyzdys2. Konvertuokite skaičių 1011101.001 iš aštuntainių skaičių sistemos (SS) į dešimtainį SS. Sprendimas:
Pavyzdys 3 . Konvertuokite skaičių AB572.CDF iš šešioliktainės skaičių sistemos į dešimtainę SS. Sprendimas:
Čia A- pakeista 10, B– 11 val. C– 12 val. F- iki 15.
Skaičių konvertavimas iš dešimtainės skaičių sistemos į kitą skaičių sistemą
Norint konvertuoti skaičius iš dešimtainės skaičių sistemos į kitą skaičių sistemą, reikia atskirai konvertuoti sveikąją skaičiaus dalį ir trupmeninę skaičiaus dalį.
Sveikoji skaičiaus dalis paverčiama iš dešimtainės SS į kitą skaičių sistemą, nuosekliai padalijus sveikąją skaičiaus dalį iš skaičių sistemos pagrindo (dvejetainei SS - iš 2, 8-ių SS - iš 8, jei 16 -ary SS - 16 ir tt), kol bus gauta visa liekana, mažesnė už bazinę CC.
Pavyzdys 4 . Paverskime skaičių 159 iš dešimtainio SS į dvejetainį SS:
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
Kaip matyti iš fig. 1, skaičius 159, padalytas iš 2, suteikia koeficientą 79, o liekaną 1. Be to, skaičius 79, padalytas iš 2, suteikia dalinį 39, o liekaną 1 ir t. Dėl to, sudarydami skaičių iš padalijimo liekanų (iš dešinės į kairę), gauname skaičių dvejetainiu SS: 10011111 . Todėl galime rašyti:
159 10 =10011111 2 .
Pavyzdys 5 . Paverskime skaičių 615 iš dešimtainio SS į aštuntainį SS.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
Konvertuojant skaičių iš dešimtainio SS į aštuntąjį SS, skaičių reikia padalyti iš 8, kol gauname sveikojo skaičiaus liekaną, mažesnę nei 8. Dėl to, sukūrę skaičių iš padalijimo liekanų (iš dešinės į kairę), gauname skaičius aštuntaine SS: 1147 (žr. 2 pav.). Todėl galime rašyti:
615 10 =1147 8 .
Pavyzdys 6 . Paverskime skaičių 19673 iš dešimtainės skaičių sistemos į šešioliktainę SS.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
Kaip matyti iš 3 paveikslo, skaičių 19673 paeiliui padalijus iš 16, liekanos yra 4, 12, 13, 9. Šešioliktainėje skaičių sistemoje skaičius 12 atitinka C, o skaičius 13 – D. Todėl mūsų šešioliktainis skaičius yra 4CD9.
Norint paversti įprastas dešimtaines trupmenas (realųjį skaičių su nuline sveikojo skaičiaus dalimi) į skaičių sistemą su baze s, reikia paeiliui padauginti šį skaičių iš s, kol trupmeninėje dalyje bus grynas nulis arba gausime reikiamą skaičių skaitmenų . Jei dauginant gaunamas skaičius, kurio sveikoji dalis yra kitokia nei nulis, į šią sveikąją dalį neatsižvelgiama (jie nuosekliai įtraukiami į rezultatą).
Pažvelkime į aukščiau pateiktus pavyzdžius.
Pavyzdys 7 . Paverskime skaičių 0,214 iš dešimtainės skaičių sistemos į dvejetainį SS.
| 0.214 | ||
| x | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.392 |
Kaip matyti iš 4 pav., skaičius 0,214 nuosekliai dauginamas iš 2. Jei daugybos rezultatas yra skaičius, kurio sveikoji dalis yra kitokia nei nulis, tai sveikoji dalis rašoma atskirai (skaičiaus kairėje). o skaičius rašomas su nuline sveikojo skaičiaus dalimi. Jei padauginus gaunamas skaičius, kurio sveikojo skaičiaus dalis yra nulinė, tada kairėje jo pusėje rašomas nulis. Daugybos procesas tęsiasi tol, kol trupmeninė dalis pasiekia gryną nulį arba gauname reikiamą skaičių skaitmenų. Rašydami paryškintus skaičius (4 pav.) iš viršaus į apačią gauname reikiamą skaičių dvejetainėje skaičių sistemoje: 0. 0011011 .
Todėl galime rašyti:
0.214 10 =0.0011011 2 .
Pavyzdys 8 . Paverskime skaičių 0,125 iš dešimtainės skaičių sistemos į dvejetainį SS.
| 0.125 | ||
| x | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| x | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| x | 2 | |
| 1 | 0.0 |
Norint paversti skaičių 0,125 iš dešimtainio SS į dvejetainį, šis skaičius nuosekliai dauginamas iš 2. Trečiajame etape rezultatas yra 0. Vadinasi, gaunamas toks rezultatas:
0.125 10 =0.001 2 .
Pavyzdys 9 . Paverskime skaičių 0,214 iš dešimtainės skaičių sistemos į šešioliktainę SS.
| 0.214 | ||
| x | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| x | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| x | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| x | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| x | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| x | 16 | |
| 4 | 0.224 |
Vadovaudamiesi 4 ir 5 pavyzdžiais, gauname skaičius 3, 6, 12, 8, 11, 4. Tačiau šešioliktainėje SS skaičiai 12 ir 11 atitinka skaičius C ir B. Todėl turime:
0,214 10 =0,36C8B4 16 .
Pavyzdys 10 . Paverskime skaičių 0,512 iš dešimtainės skaičių sistemos į aštuntąjį SS.
| 0.512 | ||
| x | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| x | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| x | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| x | 8 | |
| 1 | 0.728 |
Gavau:
0.512 10 =0.406111 8 .
Pavyzdys 11 . Paverskime skaičių 159.125 iš dešimtainės skaičių sistemos į dvejetainį SS. Norėdami tai padaryti, verčiame atskirai sveikąją skaičiaus dalį (4 pavyzdys) ir trupmeninę skaičiaus dalį (8 pavyzdys). Toliau derinant šiuos rezultatus gauname:
159.125 10 =10011111.001 2 .
Pavyzdys 12 . Paverskime skaičių 19673.214 iš dešimtainės skaičių sistemos į šešioliktainę SS. Norėdami tai padaryti, mes atskirai išverčiame sveikąją skaičiaus dalį (6 pavyzdys) ir trupmeninę skaičiaus dalį (9 pavyzdys). Be to, sujungę šiuos rezultatus gauname.
1. Eilinis skaičiavimas įvairios sistemos Skaičiavimas.
IN šiuolaikinis gyvenimas naudojame pozicinių skaičių sistemas, tai yra sistemas, kuriose skaitmeniu žymimas skaičius priklauso nuo skaitmens padėties skaičiaus žymėjime. Todėl ateityje kalbėsime tik apie juos, praleisdami terminą „pozicinis“.
Norėdami išmokti konvertuoti skaičius iš vienos sistemos į kitą, naudodamiesi dešimtainės sistemos pavyzdžiu suprasime, kaip vyksta nuoseklus skaičių įrašymas.
Kadangi turime dešimtainę skaičių sistemą, skaičiams sudaryti turime 10 simbolių (skaitmenų). Pradedame skaičiuoti: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Skaičiai baigėsi. Padidiname skaičiaus bitų gylį ir iš naujo nustatome žemos eilės skaitmenį: 10. Tada vėl didiname žemos eilės skaitmenį, kol išnyks visi skaitmenys: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Didesnės eilės skaitmenį padidiname 1, o žemos eilės skaitmenį nustatome iš naujo: 20. Panaudoję visus abiejų skaitmenų skaitmenis (gauname skaičių 99), vėl padidiname skaičiaus skaitmenų talpą ir iš naujo nustatome esami skaitmenys: 100. Ir taip toliau.
Pabandykime tą patį padaryti 2-oje, 3-ioje ir 5-oje sistemose (įvedame žymėjimą 2-ajai, 3-ajai ir tt):
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 10 | 3 |
| 4 | 100 | 11 | 4 |
| 5 | 101 | 12 | 10 |
| 6 | 110 | 20 | 11 |
| 7 | 111 | 21 | 12 |
| 8 | 1000 | 22 | 13 |
| 9 | 1001 | 100 | 14 |
| 10 | 1010 | 101 | 20 |
| 11 | 1011 | 102 | 21 |
| 12 | 1100 | 110 | 22 |
| 13 | 1101 | 111 | 23 |
| 14 | 1110 | 112 | 24 |
| 15 | 1111 | 120 | 30 |
Jei skaičių sistemos bazė yra didesnė nei 10, tada turėsime įvesti papildomų simbolių, įprasta įvesti lotyniškos abėcėlės raides. Pavyzdžiui, 12 skaitmenų sistemai, be dešimties skaitmenų, mums reikia dviejų raidžių ( ir ):
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 4 |
| 5 | 5 |
| 6 | 6 |
| 7 | 7 |
| 8 | 8 |
| 9 | 9 |
| 10 | |
| 11 | |
| 12 | 10 |
| 13 | 11 |
| 14 | 12 |
| 15 | 13 |
2. Konvertavimas iš dešimtainės skaičių sistemos į bet kurią kitą.
Norėdami konvertuoti teigiamą sveikąjį dešimtainį skaičių į skaičių sistemą su skirtinga baze, turite padalyti šį skaičių iš bazės. Gautą koeficientą dar kartą padalykite iš pagrindo ir toliau, kol koeficientas bus mažesnis už bazę. Dėl to vienoje eilutėje užrašykite paskutinį koeficientą ir visus likučius, pradedant nuo paskutinio.
1 pavyzdys. Paverskime dešimtainį skaičių 46 į dvejetainę skaičių sistemą.
2 pavyzdys. Dešimtainį skaičių 672 paverskime aštuntainių skaičių sistema.
3 pavyzdys. Paverskime dešimtainį skaičių 934 į šešioliktainę skaičių sistemą.
3. Konvertavimas iš bet kurios skaičių sistemos į dešimtainę.
Norėdami sužinoti, kaip konvertuoti skaičius iš bet kurios kitos sistemos į dešimtainį skaičių, panagrinėkime įprastą dešimtainio skaičiaus žymėjimą.
Pavyzdžiui, dešimtainis skaičius 325 yra 5 vienetai, 2 dešimtys ir 3 šimtai, t.y.
Lygiai tokia pati situacija ir kitose skaičių sistemose, tik dauginsime ne iš 10, 100 ir pan., o iš skaičių sistemos pagrindo laipsnių. Pavyzdžiui, paimkime skaičių 1201 trijų dalių sistemoje. Suskaičiuokime skaitmenis iš dešinės į kairę, pradėdami nuo nulio ir įsivaizduokime savo skaičių kaip skaitmens ir trijų sandaugų sumą iki skaičiaus skaitmens laipsnio:
Tai mūsų skaičiaus dešimtainis žymėjimas, t.y.
4 pavyzdys. Konvertuokime į dešimtainę skaičių sistemą aštuntainis skaičius 511.
5 pavyzdys. Paverskime šešioliktainį skaičių 1151 į dešimtainę skaičių sistemą.
4. Konvertavimas iš dvejetainės sistemos į sistemą su bazine „dviejų galia“ (4, 8, 16 ir kt.).
Norint paversti dvejetainį skaičių į skaičių, kurio bazinė „dviejų galia“, dvejetainę seką reikia padalyti į grupes pagal skaitmenų skaičių, lygų galiai iš dešinės į kairę, ir kiekvieną grupę pakeisti atitinkamu skaitmeniu. nauja sistema Skaičiavimas.
Pavyzdžiui, paverskime dvejetainį skaičių 1100001111010110 į aštuntainę sistemą. Norėdami tai padaryti, suskirstysime jį į 3 simbolių grupes, pradedant nuo dešinės (nuo ), tada naudokite atitikmenų lentelę ir pakeisime kiekvieną grupę nauju skaičiumi:
1 veiksme išmokome sudaryti atitikmenų lentelę.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
Tie.
6 pavyzdys. Paverskime dvejetainį skaičių 1100001111010110 į šešioliktainį.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | A |
| 1011 | B |
| 1100 | C |
| 1101 | D |
| 1110 | E |
| 1111 | F |
5. Konvertavimas iš sistemos su bazine „dviejų galia“ (4, 8, 16 ir kt.) į dvejetainę.
Šis vertimas panašus į ankstesnį, atliktas priešinga kryptimi: kiekvieną skaitmenį pakeičiame skaitmenų grupe dvejetainėje sistemoje iš atitikmenų lentelės.
7 pavyzdys. Paverskime šešioliktainį skaičių C3A6 į dvejetainę skaičių sistemą.
Norėdami tai padaryti, pakeiskite kiekvieną skaičiaus skaitmenį 4 skaitmenų grupe (nuo ) iš atitikmenų lentelės, jei reikia, pradžioje papildykite grupę nuliais:
