Laplaso operatorius yra diferencialinis operatorius, veikiantis lygiųjų funkcijų linijinėje erdvėje ir žymimas simboliu. Funkciją F jis susieja su funkcija
Laplaso operatorius atitinka gradiento ir divergencijos operacijų paeiliui.
Gradientas – vektorius, rodantis tam tikro dydžio sparčiausio didėjimo kryptį, kurio reikšmė kinta iš vieno erdvės taško į kitą (skaliarinis laukas). Pavyzdžiui, jei laikysime Žemės paviršiaus aukštį virš jūros lygio kaip aukštį, tada jo gradientas kiekviename paviršiaus taške parodys „stačiausio pakilimo kryptį“. Gradiento vektoriaus dydis (modulis) yra lygus augimo greičiui šia kryptimi. Trimatės erdvės atveju gradientas yra vektorinė funkcija su komponentais, kur yra koordinačių x, y, z skaliarinė funkcija.
Jei yra n kintamųjų funkcija, tai jos gradientas yra n matmenų vektorius
Kurio komponentai lygūs visų jos argumentų dalinėms išvestinėms. Gradientas žymimas grad arba naudojant operatorių nabla,
Iš gradiento apibrėžimo matyti, kad:
Bet kurios skaliarinės funkcijos f gradiento reikšmė yra ta, kad jos skaliarinė sandauga su be galo mažu poslinkio vektoriumi suteikia bendrą šios funkcijos skirtumą su atitinkamu koordinačių pokyčiu erdvėje, kurioje yra apibrėžta f, tai yra tiesinė (tuo atveju bendra pozicija ji taip pat yra pagrindinė) f pokyčio dalis, kai pasislenka. Naudodami tą pačią raidę, žymėdami vektoriaus funkciją ir atitinkamą jo koordinačių funkciją, galime parašyti:
Čia verta paminėti, kad kadangi bendro diferencialo formulė nepriklauso nuo koordinačių x i tipo, tai yra nuo parametrų x pobūdžio apskritai, gautas diferencialas yra nekintamas, tai yra skaliarinis. bet kokios koordinačių transformacijos, o kadangi dx yra vektorius, tada įprastu būdu apskaičiuotas gradientas pasirodo kaip kovariantinis vektorius, tai yra vektorius, vaizduojamas dvigubu pagrindu, kuris yra vienintelis skaliaras, kurį galima pateikti tiesiog sumuojant įprasto (kontravarianto), tai yra vektoriaus, užrašyto taisyklingu pagrindu, koordinačių sandaugas.
Taigi, išraiška (paprastai kalbant apie savavališkas kreivines koordinates) gali būti gana teisingai ir nekintamai parašyta taip:
Arba, pagal Einšteino taisyklę, praleidžiant sumos ženklą,
Divergencija yra diferencialinis operatorius, susiejantis vektorinį lauką su skaliariniu (tai yra diferenciacijos operacija, dėl kurios atsiranda skaliarinis laukas, kai taikomas vektoriniam laukui), kuris nustato (kiekvienam taškui) „kiek laukas įeina ir išeina. iš mažos duoto taško kaimynystės išsiskiria“ (tiksliau, kiek skiriasi įeinantys ir išeinantys srautai).
Jei atsižvelgsime į tai, kad srautui galima priskirti algebrinį ženklą, tada nereikia atskirai atsižvelgti į gaunamus ir išeinančius srautus, į viską bus automatiškai atsižvelgiama sumuojant atsižvelgiant į ženklą. Todėl galime pateikti trumpesnį skirtumo apibrėžimą:
divergencija yra diferencialinis operatorius vektoriniame lauke, apibūdinančiame srautą šios srities per kiekvieno lauko apibrėžimo srities vidinio taško mažos kaimynystės paviršių.
Nukrypimo operatorius, pritaikytas laukui F, žymimas kaip arba
Divergencijos apibrėžimas atrodo taip:
kur ФF yra vektorinio lauko F srautas per S srities sferinį paviršių, ribojantį tūrį V. Dar bendresnis ir todėl patogus naudoti yra apibrėžimas, kai leidžiama srities su paviršiumi S ir tūriu V forma būti bet kokia. Vienintelis reikalavimas, kad jis būtų rutulio viduje, kurio spindulys linkęs į nulį. Šis apibrėžimas, skirtingai nei pateiktas toliau, nėra susietas su konkrečiomis koordinatėmis, pavyzdžiui, Dekarto koordinatėmis, kurios tam tikrais atvejais gali būti papildomas patogumas. (Pavyzdžiui, jei pasirenkate kubo arba gretasienio formos apylinkę, kitoje pastraipoje pateiktas Dekarto koordinačių formules galite lengvai gauti).
taigi Laplaso operatoriaus reikšmė taške gali būti interpretuojama kaip potencialo vektorinio lauko gradF šaltinių (grimzdžių) tankis šiame taške. Dekarto koordinačių sistemoje Laplaso operatorius dažnai žymimas taip, tai yra, Nabla operatoriaus ir jo paties skaliarinio sandauga.
Tai ypatingas Helmholtzo lygties atvejis. Galima nagrinėti trimatėse (1), dvimatėse (2), vienmatėse ir n-matėse erdvėse:
Operatorius vadinamas Laplaso operatoriumi (Laplaso operatorius yra lygiavertis gradiento ir divergencijos operacijų paėmimui nuosekliai.).
Laplaso lygties sprendimas
Laplaso lygties sprendiniai yra harmoninės funkcijos.
Laplaso lygtis priklauso elipsinėms lygtims. Laplaso nehomogeninė lygtis tampa Puasono lygtimi.
Kiekvienas Laplaso lygties sprendinys apribotoje srityje G yra vienareikšmiškai identifikuojamas ribinėmis sąlygomis, nustatytomis sprendimo (ar jo išvestinių) elgsenai ant srities G ribos. Jei sprendinio ieškoma visoje erdvėje, ribinės sąlygos yra sumažinami iki tam tikro asimptotinio elgesio, skirto f at . Tokių sprendimų suradimo problema vadinama ribinės vertės problema. Dažniausios yra Dirichlet uždavinys, kai pačios funkcijos f reikšmė pateikiama ant ribos, ir Nemano uždavinys, kai f reikšmė pateikiama išilgai normaliosios ribos.
Laplaso lygtis sferinėmis, polinėmis ir cilindrinėmis koordinatėmis
Laplaso lygtį galima parašyti ne tik Dekarto koordinatėmis.
Sferinėmis koordinatėmis (Laplaso lygtis turi tokią formą:
Polinėse koordinatėse (koordinačių sistemoje) lygtis yra tokia:
Cilindrinėmis koordinatėmis (lygtis yra tokia:
Daugelis fizikos ir mechanikos problemų, kuriose fizikinis dydis yra tik taško koordinačių funkcija, veda į Laplaso lygtį. Taigi Laplaso lygtis apibūdina potencialą regione, kuriame nėra gravitacinių masių, elektrostatinio lauko potencialą regione, kuriame nėra krūvių, temperatūrą stacionarių procesų metu ir kt. Daug inžinerinių problemų, ypač susijusių su su lėtu stacionariu srautu aplink laivo korpusą, stacionariu požeminio vandens filtravimu, lauko atsiradimu aplink elektromagnetą, taip pat elektrinis laukasšalia porcelianinio izoliatoriaus ar kintamo skerspjūvio elektros kabelio, įkasto į žemę, reikia išspręsti trimačius Laplaso arba Puasono lygtis. Didelė svarbaŽaidžia Laplaso operatorius Kvantinė mechanika.
Problemų sprendimo pavyzdžiai
1 PAVYZDYS
| Pratimas | Raskite lauką tarp dviejų bendraašių cilindrų, kurių spindulys ir , potencialų skirtumas tarp kurių yra lygus |
| Sprendimas | Parašykime Laplaso lygtį cilindrinėmis koordinatėmis, atsižvelgdami į ašinę simetriją:
Jis turi sprendimą Vadinasi Mes gauname:
Dėl to turime: |
| Atsakymas | Lauką tarp dviejų bendraašių cilindrų suteikia funkcija
|
+B. Išsirinkime išorinio cilindro nulinį potencialą, suraskime jį ir gaukime:
2 PAVYZDYS
| Pratimas | Ištirkite teigiamai įkrautos dalelės pusiausvyros stabilumą elektriniame lauke (Earnshaw teorema). |
| Sprendimas | Padėkime koordinačių pradžią dalelės pusiausvyros padėtyje. Šiuo atveju galime manyti, kad potencialas pavaizduotas tokia forma: |
Išnagrinėjome tris pagrindines vektorinės analizės operacijas: gradtx apskaičiavimą skaliariniam laukui a ir rot a vektoriniam laukui a = a(x, y, z). Šias operacijas galima parašyti daugiau paprasta forma naudojant simbolinį operatorių V („nabla“): operatorius V (Hamiltono operatorius) turi ir diferencialines, ir vektorines savybes. Formalioji daugyba, pavyzdžiui, daugyba ^ iš funkcijos u(x, y), bus suprantama kaip dalinė diferenciacija: Vektorinės algebros rėmuose formalios operacijos su operatoriumi V bus atliekamos taip, lyg tai būtų vektorius. Naudodami šį formalizmą gauname šias pagrindines formules: 1. Jei yra skaliarinė diferencijuojama funkcija, tai pagal vektoriaus dauginimo iš skaliro taisyklę gauname, kur P, Q, R yra diferencijuojamos funkcijos, tada pagal formulę, kaip rasti skaliarinę sandaugą gauname Hamiltono operatorių Antros eilės diferencialinės operacijos Operatorius Laplasas Kreiviųjų koordinačių samprata Sferinės koordinatės 3. Apskaičiuodami vektorinę sandaugą gauname Jei funkcija yra pastovi ir = c, o pastoviam vektoriui c gauname Iš pasiskirstymo savybės skaliarinės ir vektorinės sandaugos gauname Pastaba 1. Formulės (5) ir (6) gali būti interpretuojamos Tamka kaip „nabla“ operatoriaus diferencialinių savybių pasireiškimas (V yra tiesinis diferencialinis operatorius). Sutarėme, kad operatorius V veikia visus po jo užrašytus kiekius. Šia prasme, pavyzdžiui, skaliarinis diferencialinis operatorius. Taikant operatorių V bet kokio kiekio gaminiui, reikia turėti omenyje įprastą gaminio diferencijavimo taisyklę. 1 pavyzdys. Įrodykite, kad pagal formulę (2), atsižvelgdami į 1 pastabą, gauname arba Norėdami pažymėti, kad „obs a“ neveikia jokios reikšmės, įtrauktos į sudėtingą formulę, ši reikšmė pažymėta indeksu c ( „const“), kuris galutiniame rezultate praleistas. 2 pavyzdys. Tegul u(xty,z) yra skaliarinė diferencijuojama funkcija, o (x,y,z) yra vektorinė diferencijuojama funkcija. Įrodykite, kad 4 Perrašykite (8) kairę pusę simboline forma Atsižvelgdami į operatoriaus V diferencialumą, gauname. Kadangi u yra pastovus skaliaras, jį galima paimti iš skaliarinės sandaugos ženklo, kad a (paskutiniame žingsnyje praleidome indeksą e). Išraiškoje (V, iac) operatorius V veikia tik skaliarinę funkciją, todėl gauname 2 pastabą. Naudodami formalizmą veikti naudojant operatorių V kaip vektorių, turime atsiminti, kad V yra ne paprastas vektorius – jis neturi nei ilgio, nei krypties, taigi. pavyzdžiui, vektorius, Kur Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. matematiką / README – pagalba nustatant.): H_i\- Lamé koeficientai.
Cilindrinės koordinatės
Cilindrinėmis koordinatėmis už linijos Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. matematikos / README sąrankos pagalbos.):\r=0
:
texvc nerastas; Žr. matematikos / README sąrankos pagalbą.): \Delta f = (1 \over r) (\partial \over \partial r) \left(r (\partial f \over \partial r) \right) + ( \partial ^2f \over \partial z^2) + (1 \over r^2) (\partial^2 f \over \partial \varphi^2)
Sferinės koordinatės
Sferinėse koordinatėse už pradžios (trimatėje erdvėje):
Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failastexvc nerastas; Žr. matematikos / README sąrankos pagalbą.: \Delta f = (1 \over r^2) (\partial \over \partial r) \left(r^2 (\partial f \over \partial r) \ right) + (1 \virš r^2 \sin \theta) (\partial \over \partial \theta) \left(\sin \theta (\partial f \over \partial \theta) \right) + (1 \ virš r^ 2\sin^2 \theta) (\partial^2 f \over \partial \varphi^2)
Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. matematikos / README sąrankos pagalbos.): \Delta f = (1 \over r) (\partial^2 \over \partial r^2) \left(rf \right) + (1 \over r^2 \sin \theta) (\partial \over \partial \theta) \left(\sin \theta (\partial f \over \partial \theta) \right) + (1 \over r^2 \sin^2 \theta ) ( \partial^2 f \over \partial \varphi^2).
Jeigu Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. matematikos / README sąrankos pagalbos.): \ f=f(r) V n- matmenų erdvė:
texvc nerastas; Jei reikia pagalbos dėl nustatymo, žr. matematikos / README.): \Delta f = (d^2 f\over dr^2) + (n-1 \over r ) (df\over dr).
Parabolinės koordinatės
Parabolinėse koordinatėse (trimatėje erdvėje) už pradžios:
Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failastexvc nerastas; Jei reikia pagalbos nustatant, žr. matematiką / README.): \Delta f= \frac(1)(\sigma^(2) + \tau^(2)) \left[ \frac(1)(\sigma) \frac (\partial )(\partial \sigma) \left(\sigma \frac(\partial f)(\partial \sigma) \right) + \frac(1)(\tau) \frac(\partial )(\partial \tau) \left(\tau \frac(\partial f)(\partial \tau) \right)\right] + \frac(1)(\sigma^2\tau^2)\frac(\partial^2 f)(\dalinis \varphi^2)
Cilindrinės parabolinės koordinatės
Parabolinio cilindro koordinatėse už pradžios:
Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failastexvc nerastas; Žr. matematiką / README – pagalba nustatant.): \Delta F(u,v,z) = \frac(1)(c^2(u^2+v^2)) \left[ \frac(\partial ^ 2 F )(\partial u^2)+ \frac(\partial^2 F )(\partial v^2)\right] + \frac(\partial^2 F )(\partial z^2).
Bendrosios kreivinės koordinatės ir Riemano erdvės
Padėkite ant lygaus kolektoriaus Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nurodoma vietinė koordinačių sistema ir Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. matematiką / README – pagalba nustatant.): g_(ij)- Riemano metrinis tenzorius įjungtas Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. matematikos / README sąrankos pagalbos.): X, tai yra, metrika turi formą
texvc nerastas; Žr. matematiką / README – pagalba nustatant.): ds^2 =\sum^n_(i,j=1)g_(ij) dx^idx^j
.
Pažymėkime pagal Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. matematikos / README sąrankos pagalbos.): g^(ij) matricos elementai Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. matematiką / README – pagalba nustatant.): (g_(ij))^(-1) Ir
texvc nerastas; Žr. matematikos / README sąrankos pagalbą.): g = \operatoriaus pavadinimas(det) g_(ij) = (\operatoriaus pavadinimas(det) g^(ij))^(-1)
.
Vektoriaus lauko divergencija Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Norėdami gauti pagalbos dėl sąrankos, žr. matematiką / README.): F, nurodyta koordinatėmis Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. matematiką / README – pagalba nustatant.): F^i(ir atstovaujantis pirmosios eilės diferencialinį operatorių Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. matematiką / README – pagalba nustatant.): \sum_i F^i\frac(\partial)(\partial x^i)) ant kolektoriaus X apskaičiuojamas pagal formulę
texvc nerastas; Norėdami gauti pagalbos dėl sąrankos, žr. math/README.): \operatoriaus pavadinimas(div) F = \frac(1)(\sqrt(g))\sum^n_(i=1)\frac(\partial)(\partial x ^i )(\sqrt(g)F^i)
,
ir funkcijos gradiento komponentai f- pagal formulę
Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failastexvc nerastas; Žr. matematiką / README – pagalba dėl sąrankos.): (\nabla f)^j =\sum^n_(i=1)g^(ij) \frac(\partial f)(\partial x^i).
Laplaso operatorius – Beltrami įjungtas Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. matematikos / README sąrankos pagalbos.): X
:
texvc nerastas; Žr. matematiką/README – pagalba nustatant.): \Delta f = \operatoriaus vardas(div) (\nabla f)= \frac(1)(\sqrt(g))\sum^n_(i=1)\frac ( \partial)(\partial x^i)\Big(\sqrt(g) \sum^n_(k=1)g^(ik) \frac(\partial f)(\partial x^k)\Big) .
Reikšmė Nepavyko išanalizuoti išraiškos (vykdomasis failas texvc nerastas; Žr. matematikos / README sąrankos pagalbą.): \Delta f yra skaliarinis, tai yra, jis nekinta transformuojant koordinates.
Taikymas
Naudojant šį operatorių patogu rašyti Laplaso, Puasono ir bangų lygtis. Fizikoje Laplaso operatorius pritaikomas elektrostatikoje ir elektrodinamikoje, kvantinėje mechanikoje, daugelyje kontinuumo fizikos lygčių, taip pat tiriant membranų, plėvelių ar sąsajų su paviršiaus įtempimu pusiausvyrą (žr. Laplaso slėgį), stacionariuose uždaviniuose. difuzijos ir šilumos laidumo, kurie tolydžioje riboje redukuoja į įprastas Laplaso arba Puasono lygtis arba kai kuriuos jų apibendrinimus.
Variacijos ir apibendrinimai
- D'Alemberto operatorius yra Laplaso operatoriaus apibendrinimas hiperbolinėms lygtims. Apima antrąją išvestinę laiko atžvilgiu.
- Vektorinis Laplaso operatorius yra Laplaso operatoriaus apibendrinimas vektoriaus argumento atveju.
taip pat žr
Parašykite apžvalgą apie straipsnį "Laplaso operatorius"
Literatūra
Nuorodos
| |||||||||||||||||||
