6.1. Limita și continuitatea unei funcții a mai multor variabile.
R n – spațiu metric:
Pentru M 0 (X, X,…, X) Și M(X 1 , X 2 , …, X n) ( M 0 , M) = .
n= 2: pentru M 0
(X 0 ,
y 0),
M
(X,
y)
( M 0 ,
M)
=
.
Vecinătatea unui punct M 0 U (M 0) = – punctele interne ale unui cerc de rază cu centrul la M 0 .
6.1.1. Limita unei funcții a mai multor variabile. Repetă limite.
f: R n R este dat într-o apropiere a punctului M 0, cu excepția poate punctul în sine M 0 .
Definiție. Număr A numit limită funcții
f(X 1 , X 2 , …, X n) la un moment dat M 0 dacă >0 >0 M (0 < (M 0 , M ) < | f (M ) – A |< ).
F 
Formulare de înregistrare: 
n
= 2: 
Acest limită dublă.
În limbajul cartierelor de puncte:
>0 >0 M (X , y ) (M U (M 0 )\ M 0 f (X , y ) U (A )).
(M se poate apropia M 0 pe orice cale).
Limite repetate:
Și 
.
(M apropiindu-se M 0 orizontal și respectiv vertical).
Teoremă privind legătura dintre limitele duble și repetate.
Dacă limită dublă 
şi limite 
,
,
apoi limite repetate 
,
și egal cu dublu.
Nota 1. Afirmația opusă nu este adevărată.
Exemplu.
f
(X,
y)
=
,
.
Cu toate acestea, dubla limită
=
nu există, deoarece în orice vecinătate a punctului (0, 0) funcția ia și valori „departe” de la zero, de exemplu, dacă X = y, Acea f (X, y) = 0,5.
Nota 2. Chiar dacă AR: f (X, y) A
la deplasare M La M 0 de-a lungul oricărei linii drepte, limita dublă poate să nu existe.
Exemplu.f
(X,
y)
=
,M 0
(0, 0). M
(X,
y)
M 0
(0, 0)
Concluzie: limita (dublă) nu există.
Un exemplu de găsire a limitei.
f
(X,
y)
=
, M 0
(0, 0).
Să arătăm că numărul 0 este limita funcției în punct M 0 .
=
,
– distanta dintre puncte MȘi M 0 .(a folosit inegalitatea 
,
care rezultă din inegalităţi 
)
Să stabilim > 0 și să fie = 2. <
6.1.2. Continuitatea unei funcții a mai multor variabile.
Definiție.
f
(X,
y) este continuă la punct M 0
(X 0 ,
y 0) dacă este definit în unele U (M 0) și 
,T. e.>0 >0 M
(0 < (M 0 ,
M)
<
|
f
(M)
– f
(M 0)|<
).
Cometariu. Funcția poate varia continuu de-a lungul unor direcții care trec prin punct M 0 și au discontinuități de-a lungul altor direcții sau căi de diferite forme. Dacă da, este discontinuă la punct M 0 .
6.1.3. Proprietăţi ale limitei unei funcţii a mai multor variabile. Proprietățile funcțiilor continue într-un punct.
Apare unicitatea limitei;
funcţie având o limită finită într-un punct M 0 , delimitat într-o vecinătate a acestui punct; sunt efectuate proprietăți ordinale și algebrice limită,
trecere la limită păstrează semnele egale și inegalitățile slabe.
Dacă funcţia este continuă în punct M 0 și f (M 0 ) 0 , Acea semn care înseamnăf (M ) se păstreazăîn unele U (M 0).
Sumă, produs, coeficient(numitorul 0) funcții continue de asemenea funcții continue, funcție complexă continuă, compuse din cele continue.
6.1.4. Proprietăți ale funcțiilor continue pe o mulțime închisă și mărginită conexă.n= 1, 2 și 3.
Definiția 1. Se numește mulțimea coerent, dacă, împreună cu oricare dintre punctele sale, conține și o curbă continuă care le conectează.
Definiția 2. Setați în R n numit limitat, dacă este conținut într-o „minge” 
.
n
= 1
n
= 2 
n = 3 .
Exemplemulţimi mărginite închise conectate.
R 1 = R: segment de linie [ A, b];
R 2: segment AB orice curbă continuă cu capete în puncte AȘi ÎN;
curbă continuă închisă;
cerc 
;
Definiția 3. f: R n R este continuă pe o mulțime închisă conectată R n, dacă M 0
.
Teorema.O multime devalorile funcție continuă
f: R n R pe o mulțime conexă mărginită închisă este un segment [ m , M ] , Aici m - cel putin, A M - cel mai bun valorile sale în punctele setului.
Prin urmare, pe orice set de conexiuni delimitate închise înR n o funcție continuă este mărginită, își ia cea mai mică, cea mai mare și toate valorile intermediare.
| " |
Conceptele de funcții a două sau trei variabile discutate mai sus pot fi generalizate la cazul variabilelor.
Definiție. Funcţie 
variabile 
numită funcție, domeniu de definiție 
care aparține 
, iar intervalul de valori este axa reală.
O astfel de funcție pentru fiecare set de variabile 
din 
se potrivește cu numărul singular 
.
În cele ce urmează, pentru certitudine, vom lua în considerare funcțiile 
variabile, dar toate afirmațiile formulate pentru astfel de funcții rămân adevărate pentru funcțiile unui număr mai mare de variabile.
Definiție. Număr 
numită limita funcției
la punct 
, dacă pentru fiecare 
există un astfel de număr 
că în fața tuturor 
din cartier 
, cu excepția acestui punct, inegalitatea este valabilă
.
Dacă limita funcţiei 
la punct 
egală 
, atunci aceasta se notează în formă
.
Aproape toate proprietățile limitelor pe care le-am luat în considerare mai devreme pentru funcțiile unei variabile rămân valabile pentru limitele funcțiilor mai multor variabile, cu toate acestea, nu ne vom ocupa de determinarea practică a unor astfel de limite.
Definiție. Funcţie 
numit continuu intr-un punct 
daca sunt indeplinite trei conditii:
1) există 
2) există o valoare a funcției în punct 
3) aceste două numere sunt egale între ele, adică .
În practică, putem studia continuitatea unei funcții folosind următoarea teoremă.
Teorema. Orice funcție elementară 
este continuă în toate punctele interne (adică nelimitate) ale domeniului său de definiție.
Exemplu. Să găsim toate punctele în care funcția
continuu.
După cum sa menționat mai sus, această funcție este definită într-un cerc închis
.
Punctele interne ale acestui cerc sunt punctele de continuitate dorite ale functiei, i.e. funcţie 
continuă într-un cerc deschis 
.
Definirea conceptului de continuitate la punctele limită ale domeniului de definire 
funcțiile sunt posibile, dar nu vom discuta această problemă în curs.
1.3 Creșteri parțiale și derivate parțiale
Spre deosebire de funcțiile unei variabile, funcțiile mai multor variabile au diferite tipuri de incremente. Acest lucru se datorează faptului că mișcările în avion 
din punct 
poate fi efectuată în diferite direcții.
Definiție. Creștere parțială cu 
funcții 
la punct 
sporul corespunzător 
numită diferență
Această creștere este în esență o creștere a unei funcții a unei variabile 
obtinut din functie 
la valoare constantă 
.
În mod similar, prin creștere parțială
la punct 
funcții 
sporul corespunzător 
numită diferență
Această creștere este calculată la o valoare fixă 
.
Exemplu. Lăsa 
,
,
. Să găsim incrementele parțiale ale acestei funcții conform 
și prin 
În acest exemplu, cu valori egale ale incrementelor de argument 
Și 
, incrementele parțiale ale funcției s-au dovedit a fi diferite. Acest lucru se datorează faptului că aria unui dreptunghi cu laturi 
Și 
la mărirea laterală 
pe 
crește cu cantitatea 
, și cu latura crescătoare 
pe 
creste cu 
(vezi fig. 4).
Din faptul că o funcție a două variabile are două tipuri de incremente, rezultă că pentru aceasta se pot defini două tipuri de derivate.
Definiție. Derivată parțială cu privire la 
funcții 
la punct 
se numește limita raportului de creștere parțială cu 
a acestei funcții la punctul specificat la increment 
argument 
acestea.
.
(1)
Astfel de derivate parțiale sunt notate prin simboluri 
,
,
,
. În aceste din urmă cazuri, litera rotundă „ 
”
– “
” înseamnă cuvântul „privat”.
În mod similar, derivata parțială cu privire la 
la punct 
determinat cu ajutorul limitei
.
(2)
Alte notații pentru această derivată parțială: 
,
,
.
Derivatele parțiale ale funcțiilor se găsesc conform regulilor cunoscute de diferențiere a unei funcții a unei variabile, în timp ce toate variabilele cu excepția celei prin care funcția este diferențiată sunt considerate constante. Deci când găsești 
variabil 
este luată ca o constantă și atunci când este găsită 
- constant 
.
Exemplu. Să găsim derivatele parțiale ale funcției 
.
,
.
Exemplu. Să găsim derivatele parțiale ale unei funcții de trei variabile
.
;
;
.
Funcții derivate parțiale 
caracterizaţi rata de schimbare a acestei funcţii în cazul în care una dintre variabile este fixă.
Un exemplu în economie.
Conceptul principal al teoriei consumului este funcția de utilitate 
. Această funcție exprimă utilitatea unei mulțimi 
, unde x este cantitatea produsului X, y este cantitatea produsului Y. Atunci derivatele parțiale 
vor fi numite utilitățile marginale ale lui x și respectiv y. Rata marginală de substituție 
un bun la altul este egal cu raportul dintre utilitățile lor marginale:
.
(8)
Problema 1. Aflați rata marginală de substituție h cu y pentru funcția de utilitate în punctul A(3,12).
Soluţie: conform formulei (8) obținem
Sensul economic al ratei marginale de substituție constă în fundamentarea formulei 
, Unde 
-pretul produsului X, 
- prețul mărfurilor U.
Definiție. Dacă funcţia 
există derivate parțiale, atunci diferențialele sale parțiale sunt expresiile
Și 
Aici 
Și 
.
Diferențiale parțiale sunt diferențiale ale funcțiilor unei variabile obținute dintr-o funcție a două variabile 
la fix 
sau 
.
Exemple din economie. Să luăm ca exemplu funcția Cobb-Douglas.
Magnitudinea 
- productivitatea medie a muncii, deoarece aceasta este cantitatea de produse (în termeni valorici) produse de un muncitor.
Magnitudinea 
- productivitatea medie a capitalului - numărul de produse pe mașină.
Magnitudinea 
- raportul mediu capital-muncă - costul fondurilor pe unitatea de resurse de muncă.
Prin urmare derivata parțială 
se numește productivitatea marginală a muncii deoarece este egală cu valoarea adăugată a producției produse de încă un muncitor suplimentar.
De asemenea, 
- productivitatea marginală a capitalului.
În economie, se pun adesea întrebări: cu ce procent se va schimba producția dacă numărul de lucrători crește cu 1% sau dacă fondurile cresc cu 1%? Răspunsurile la astfel de întrebări sunt date de conceptele de elasticitate a unei funcții în raport cu argument sau derivată relativă. Să aflăm elasticitatea producției în raport cu munca 
. Înlocuind derivata parțială calculată mai sus în numărător 
, primim 
. Deci parametrul 
are o semnificație economică clară – este elasticitatea producției față de muncă.
Parametrul are o semnificație similară 
este elasticitatea producției între fonduri.
Definirea unei funcții a mai multor variabile. Noțiuni de bază.
Dacă fiecare pereche de numere (x, y) independentă una de alta dintr-o anumită mulțime, conform unei reguli, este asociată cu o valoare a variabilei z, atunci se numește funcţia a două variabile. z=f(x,y,)
Domeniul funcției z- o mulţime de perechi (x, y) pentru care există funcţia z.
Setul de valori (interval de valori) al unei funcții este totalitatea valorilor pe care funcția le ia în domeniul său de definire.
Graficul unei funcții de doi variabile - o mulțime de puncte P ale căror coordonate satisfac ecuația z=f(x,y)
Vecinătatea unui punct M0 (x0;y0) cu raza r– mulțimea tuturor punctelor (x,y) care îndeplinesc condiția< r
Domeniul de definire și intervalul de valori al unei funcții a mai multor variabile. Graficul unei funcții a mai multor variabile.
Limita și continuitatea unei funcții a mai multor variabile.
Limita unei funcții a mai multor variabile
Pentru a da conceptul de limita a unei functii a mai multor variabile, ne restrângem la cazul a doua variabile XȘi la. Prin definiție, funcție f(x,y) are o limită la punctul ( X 0 , la 0), egal cu numărul A, notată după cum urmează:
(1)
(si scriu f(x,y)→A la (X y)→ (X 0 , la 0)), dacă este definit într-o vecinătate a punctului ( X 0 , la 0), cu excepția, poate, în acest punct însuși și dacă există o limită
(2)
indiferent de tendința la ( X 0 , la 0) succesiune de puncte ( x k ,y k).
La fel ca și în cazul unei funcții a unei variabile, se poate introduce o altă definiție echivalentă a limitei unei funcții a două variabile: funcție f are la un moment dat ( X 0 , la 0) limită egală cu A, dacă este definit într-o apropiere a punctului ( X 0 , la 0) cu excepția, poate, pentru acest punct în sine și pentru orice ε > 0 există un δ > 0 astfel încât
| f(x,y) – A| < ε (3)
pentru toți (X y), satisfacerea inegalităţilor
0 < 
< δ. (4)
Această definiție, la rândul său, este echivalentă cu următoarea: pentru orice ε > 0 există o vecinătate δ a punctului ( X 0 , la 0) astfel încât pentru toți ( X y) din acest cartier, diferit de ( X 0 , la 0), inegalitatea (3) este satisfăcută.
Deoarece coordonatele unui punct arbitrar ( X y) vecinătatea punctului ( X 0 , la 0) poate fi scris ca x = x 0 + Δ X, y = y 0 + Δ la, atunci egalitatea (1) este echivalentă cu următoarea egalitate:
Să considerăm o funcție definită într-o vecinătate a punctului ( X 0 , la 0), cu excepția, poate, a acestui punct în sine.
Fie ω = (ω X, ω la) – un vector arbitrar de lungime unu (|ω| 2 = ω X 2 + ω la 2 = 1) și t> 0 – scalar. Puncte de vedere
(X 0 + tω X, y 0 + tω la) (0 < t)
formează o rază care iese din ( X 0 , la 0) în direcția vectorului ω. Pentru fiecare ω putem considera funcția
f(X 0 + tω X, y 0 + tω la) (0 < t< δ)
dintr-o variabilă scalară t, unde δ este un număr destul de mic.
Limita acestei funcții (o variabilă) t)
f(X 0 + tω X, y 0 + tω la),
dacă există, este firesc să o numim limită f la un moment dat ( X 0 , la 0) în direcția ω.
Exemplul 1. Funcții
definit pe plan ( X y) cu excepția punctului X 0 = 0, la 0 = 0. Avem (țin cont că 
Și 
):
(pentru ε > 0 setăm δ = ε/2 și apoi | f(x,y)| < ε, если < δ).
din care este clar că limita φ în punctul (0, 0) în direcții diferite este în general diferită (vectorul unitar al razei y = kx, X> 0, are forma
).
Număr A numită limita funcției f(M) la M → M 0 dacă pentru orice număr ε > 0 există întotdeauna un număr δ > 0 astfel încât pentru orice punct M, diferit de M 0 și satisfacerea condiției | MM 0 | < δ, будет иметь место неравенство |f(M) – A | < ε.
Limită denotă 
În cazul unei funcţii a două variabile 
Teoreme limită. Dacă funcţiile f 1 (M)Și f 2 (M) la M → M 0 fiecare tind spre o limită finită, atunci:
V) 
Continuitatea unei funcții a mai multor variabile
Prin definiție, funcție f(x,y) este continuu in punctul ( X 0 , la 0), dacă este definit într-o parte din vecinătatea sa, inclusiv în punctul însuși ( X 0 , la 0) iar dacă limita f(x,y)în acest punct este egal cu valoarea sa la el:
(1)
Condiție de continuitate f la un moment dat ( X 0 , la 0) poate fi scris în formă echivalentă:
(1")
acestea. funcţie f este continuu in punctul ( X 0 , la 0), dacă funcția este continuă f(x 0 + Δ X, la 0 + Δ y) pe variabilele Δ X, Δ la la Δ X = Δ y = 0.
Puteți introduce un increment Δ Și funcții Și = f(x,y) la punct (X y), corespunzătoare incrementelor Δ X, Δ la argumente
Δ Și = f(x + Δ X, la + Δ y) – f(x,y)
și în acest limbaj definiți continuitatea f V (X y): funcţia f continuu la un punct (X y), Dacă
(1"")
Teorema. Suma, diferența, produsul și coeficientul continuului într-un punct ( X 0 ,la 0) funcții fși φ este o funcție continuă în acest punct, cu excepția cazului, desigur, în cazul unui coeficient φ ( X 0 , la 0) ≠ 0.
Constant Cu poate fi considerată ca o funcție f(x,y) = Cu din variabile X y. Este continuă în aceste variabile deoarece
|f(x,y) – f (X 0 , la 0) | = |s – s| = 0 0.
Următoarele cele mai dificile funcții sunt f(x,y) = XȘi f(x,y) = la. Ele pot fi considerate și funcții ale (X y), și în același timp sunt continue. De exemplu, funcția f(x,y) = X corespunde fiecărui punct (X y) un număr egal cu X. Continuitatea acestei funcții într-un punct arbitrar (X y) poate fi dovedit astfel:
| f(x + Δ X, la + Δ y) – f(x,y) | = |f(x + Δ x) – x| = | Δ X | ≤ 0.
Dacă produceți peste funcții X yși acțiuni constante de adunare, scădere și înmulțire într-un număr finit, atunci vom obține funcții numite polinoame în X y. Pe baza proprietăților formulate mai sus, polinoame în variabile X y– funcții continue ale acestor variabile pentru toate punctele (X y) R 2 .
Atitudine P/Q două polinoame din (X y) este o funcţie raţională a (X y), evident continuu peste tot R 2, cu excepția punctelor (X y), Unde Q(x, y) = 0.
P(x,y) = X 3 – la 2 + X 2 la – 4
ar putea fi un exemplu de polinom din (X y) gradul al treilea și funcția
P(x,y) = X 4 – 2X 2 la 2 +la 4
există un exemplu de polinom din (X y) gradul al patrulea.
Să dăm un exemplu de teoremă care afirmă continuitatea unei funcții de funcții continue.
Teorema. Lasă funcția f(x, y, z) continuu la un punct (X 0 , y 0 , z 0 ) spaţiu R 3 (puncte (x, y, z)), și funcțiile
X = φ (u, v), y= ψ (u, v), z= χ (u, v)
continuu la un punct (u 0 ,v 0 ) spaţiu R 2 (puncte (u, v)). Să, în plus,
X 0 = φ (u 0 ,v 0 ), y 0 = ψ (u 0 ,v 0 ), z 0 = χ (u 0 ,v 0 ) .
Apoi funcția F(u, v) = f[ φ (u, v),ψ (u, v),χ (u, v)] este continuă (prin
(u, v)) la un moment dat (u 0 ,v 0 ) .
Dovada. Întrucât semnul limitei poate fi plasat sub semnul caracteristicii unei funcții continue, atunci
Teorema. Funcţie f(x,y), continuu in punctul ( X 0 , la 0) și nu este egal cu zero în acest punct, păstrează semnul numărului f(X 0 , la 0) într-o apropiere a punctului ( X 0 , la 0).
Prin definiție, funcție f(x) = f(x 1 , ..., x p) continuu la un punct X 0 =(X 0 1 , ..., X 0 P), dacă este definit în unele din vecinătatea sa, inclusiv în punctul însuși X 0, iar dacă limita sa este în punctul X 0 este egal cu valoarea sa în el:
(2)
Condiție de continuitate f la punct X 0 poate fi scris într-o formă echivalentă:
(2")
acestea. funcţie f(x) continuu la un punct X 0 dacă funcția este continuă f(x 0 +h) din h la punct h = 0.
Puteți introduce o creștere f la punct X 0 corespunzător incrementului h = (h 1 , ..., h p),
Δ h f (x 0 ) = f (x 0 + h) – f(x 0 )
iar în limbajul său definesc continuitatea f V X 0: funcție f continuu in X 0 dacă
Teorema. Suma, diferența, produsul și coeficientul continuului într-un punct X 0 functii f(x)și φ (X) este o funcție continuă în acest punct, dacă, desigur, în cazul unui anumit φ (X 0 ) ≠ 0.
Cometariu. Creșterea Δ h f (x 0 ) numită și creșterea completă a funcției f la punct X 0 .
In spatiu Rn puncte X = (X 1 , ..., x p) să stabilim un set de puncte G.
A-prioriu X 0 = (X 0 1 , ..., X 0 P) este punctul interior al multimii G, dacă există o minge deschisă cu centru în ea, aparținând complet G.
O multime de G Rn se numește deschis dacă toate punctele sale sunt interioare.
Ei spun că funcțiile
X 1 = φ 1 (t), ..., x n =φ p(t) (a ≤ t ≤ b)
continuu pe intervalul [ A, b], definiți o curbă continuă în Rn, conectând punctele X 1 = (X 1 1 , ..., X 1 P)Și X 2 = (X 2 1 , ..., X 2 P), Unde X 1 1 = φ 1 (A), ..., X 1 n =φ p(a), X 2 1 = φ 1 (b), ..., X 2 n =φ p(b). Scrisoare t numit parametru curba.
Luați în considerare avionul și sistemul Oxy Coordonatele dreptunghiulare carteziene pe acesta (pot fi luate în considerare alte sisteme de coordonate).
Din geometria analitică știm că pentru fiecare pereche ordonată de numere (X y) poți compara un singur punct M plan și invers, la fiecare punct M Planul corespunde unei singure perechi de numere.
Prin urmare, în viitor, când vorbim despre un punct, ne vom referi adesea la perechea corespunzătoare de numere (X y) si invers.
Definiție 1.2 Set de perechi de numere (X y) , care satisface inegalitățile, se numește dreptunghi (deschis).
În plan va fi reprezentat ca un dreptunghi (Fig. 1.2) cu laturile paralele cu axele de coordonate și centrate în punct M 0 (X 0 y 0 ) .
Un dreptunghi este de obicei notat cu următorul simbol:
Să introducem un concept important pentru discuții ulterioare: vecinătatea unui punct.
Definiția 1.3 Dreptunghiulară δ -împrejurimi ( cartierul deltei ) puncte M 0 (X 0 y 0 ) numit dreptunghi
centrat într-un punct M 0 și cu laturile de lungime egală 25 .
Definiția 1.4 Circulară δ - vecinătatea unui punct M 0 (X 0 y 0 ) numit cerc cu raza δ centrat într-un punct M 0 , adică un set de puncte M(xy) , ale căror coordonate satisfac inegalitatea:
Este posibil să se introducă conceptele de vecinătăți și alte tipuri, dar în scopul analizei matematice a problemelor tehnice se folosesc în principal numai vecinătăți dreptunghiulare și circulare.
Să introducem următorul concept al limitei unei funcții a două variabile.
Lasă funcția z = f (x, y) definite într-o anumită zonă ζ Și M 0 (X 0 y 0 ) - un punct situat în interiorul sau la limita acestei zone.
Definiție 1.5 Număr finit A numit limita funcției f (x, y) la
dacă pentru orice număr pozitiv ε poți găsi un număr atât de pozitiv δ acea inegalitate
efectuat pentru toate punctele M(x,y) din regiune ζ , diferit de M 0 (X 0 y 0 ) , ale căror coordonate satisfac inegalitățile:
Sensul acestei definiții este că valorile funcției f (x, y) diferă cât se dorește de numărul A în puncte dintr-o vecinătate suficient de mică a punctului M 0 .
Aici definiția se bazează pe cartierele dreptunghiulare M 0 . S-ar putea lua în considerare vecinătăți circulare ale punctului M 0 și atunci ar fi necesar să se ceară inegalitatea
în toate punctele M(x,y) regiune ζ , diferit de M 0 și îndeplinind condiția:
Distanța dintre puncte M Și M 0 .
Sunt utilizate următoarele desemnări limită:
Având în vedere definiția limitei unei funcții a două variabile, putem extinde teoremele de bază privind limitele pentru funcțiile unei variabile la funcțiile a două variabile.
De exemplu, teoreme privind limita sumei, produsului și coeficientului a două funcții.
§3 Continuitatea unei funcţii a două variabile
Lasă funcția z = f (x ,y) definit la punct M 0 (X 0 y 0 ) și împrejurimile sale.
Definiția 1.6 Se spune că o funcție este continuă într-un punct M 0 (X 0 y 0 ) , Dacă
Dacă funcţia f(x,y) continuu la un punct M 0 (X 0 y 0 ) , Acea
Deoarece
Adică dacă funcția f(x,y) continuu la un punct M 0 (X 0 y 0 ) , apoi incremente infinitezimale ale argumentelor din această regiune corespund incrementelor infinitezimale Δz funcții z .
Reversul este de asemenea adevărat: dacă incremente infinitezimale ale argumentelor corespund incrementelor infinitezimale ale funcției, atunci funcția este continuă
O funcție care este continuă în fiecare punct dintr-un domeniu se numește continuă în domeniu. Pentru funcțiile continue a două variabile, precum și pentru o funcție a unei variabile continue pe un interval, sunt valabile teoremele fundamentale ale lui Weierstrass și Bolzano-Cauchy.
Referință: Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 - 1897) - matematician german. Bernard Bolzano (1781 - 1848) - matematician și filozof ceh. Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857) - matematician francez, președinte al Academiei Franceze de Științe (1844 - 1857).
Exemplul 1.4. Examinați continuitatea unei funcții
Această funcție este definită pentru toate valorile variabilelor X Și y , cu excepția originii, unde numitorul merge la zero.
Polinom X 2 +y 2 este continuă peste tot și, prin urmare, rădăcina pătrată a unei funcții continue este continuă.
Fracția va fi continuă peste tot, cu excepția punctelor în care numitorul este zero. Adică, funcția luată în considerare este continuă pe întregul plan de coordonate Ohoo , excluzând originea.
Exemplul 1.5. Examinați continuitatea unei funcții z=tg(x,y) . Tangenta este definită și continuă pentru toate valorile finite ale argumentului, cu excepția valorilor egale cu un număr impar al mărimii π/2 , adică excluzând punctele în care
Pentru fiecare fix "k" ecuația (1.11) definește o hiperbolă. Prin urmare, funcția luată în considerare este o funcție continuă x și y , excluzând punctele situate pe curbe (1.11).
Limita unei funcții a două variabile.
Concept și exemple de soluții
Bun venit la a treia lecție pe această temă FNP, unde toate temerile tale au început în sfârșit să devină realitate =) După cum mulți bănuiau, conceptul de limită se extinde și la o funcție a unui număr arbitrar de argumente, ceea ce trebuie să ne dăm seama astăzi. Cu toate acestea, există câteva știri optimiste. Constă în faptul că limita este într-o anumită măsură abstractă, iar sarcinile corespunzătoare sunt extrem de rare în practică. În acest sens, atenția noastră se va concentra asupra limitelor unei funcție a două variabile sau, așa cum o scriem mai des: .
Multe idei, principii și metode sunt similare cu teoria și practica limitelor „obișnuite”, ceea ce înseamnă că acest moment trebuie să vă să poată găsi limiteși cel mai important ÎNȚELEGE ce este limita unei funcții a unei variabile. Și, din moment ce soarta te-a adus pe această pagină, atunci, cel mai probabil, deja înțelegi și știi multe. Și dacă nu, este în regulă, toate golurile pot fi cu adevărat umplute în câteva ore și chiar minute.
Evenimentele acestei lecții au loc în lumea noastră tridimensională și, prin urmare, ar fi pur și simplu o mare omisiune să nu luăm parte activ la ele. În primul rând, să construim un bine-cunoscut Sistemul de coordonate carteziene în spațiu. Să ne ridicăm și să ne plimbăm puțin prin cameră... ...etajul pe care mergi este un avion. Sa punem axa undeva... pai, de exemplu, in orice colt, ca sa nu stea in cale. Grozav. Acum vă rog să vă uitați în sus și să vă imaginați că pătura atârnă acolo, întinsă. Acest suprafaţă, dat de functie. Mișcarea noastră pe podea, așa cum este ușor de înțeles, imită o schimbare a variabilelor independente și ne putem deplasa exclusiv sub pătură, adică. V domeniul de definire a unei funcţii a două variabile. Dar distracția abia începe. Un gândac mic se târăște pe pătură chiar deasupra vârfului nasului tău și oriunde te duci, la fel se întâmplă. Să-i spunem Freddy. Mișcarea sa simulează o modificare a valorilor funcției corespunzătoare (cu excepția cazurilor în care suprafața sau fragmentele sale sunt paralele cu planul și înălțimea nu se modifică). Dragă cititor pe nume Freddie, nu fi jignit, acest lucru este necesar pentru știință.
Să luăm o punte în mâini și să străpungem pătura într-un punct arbitrar, a cărui înălțime o vom nota cu , după care vom lipi instrumentul în podea strict sub gaură - acesta va fi punctul. Acum să începem infinit de aproape aborda un punct dat 
, și avem dreptul să ne apropiem de-a lungul ORICE traiectorie (fiecare punct, desigur, este inclus în domeniul definiției). Dacă în TOATE cazurile Freddy va fi infinit de aproape târăște-te până la înțepătură la o înălțime și EXACT ACEASTA ÎNĂLȚime, atunci funcția are o limită în punctul de la 
:
Dacă, în condițiile specificate, punctul străpuns este situat pe marginea păturii, atunci limita va exista în continuare - este important ca în cartier arbitrar mic vârfurile awl erau cel puțin câteva puncte din domeniul de definire a funcției. Mai mult, așa cum este cazul cu limita unei funcții a unei variabile, nu contează, indiferent dacă funcția este definită într-un punct sau nu. Adică, înțepătura noastră poate fi sigilată cu gumă de mestecat (cred că funcția a două variabile este continuă) iar acest lucru nu va afecta situația - ne amintim că însăși esența limitei implică aproximare infinit de apropiată, și nu o „abordare precisă” a unui punct.
Cu toate acestea, o viață fără nori este umbrită de faptul că, spre deosebire de fratele ei mai mic, limita mult mai des nu există. Acest lucru se datorează faptului că, de obicei, există multe căi către un anumit punct al avionului și fiecare dintre ele trebuie să-l conducă pe Freddy strict la înțepătură. (opțional „sigilat cu gumă de mestecat”) si strict la inaltime. Și există mai mult decât suficiente suprafețe bizare cu discontinuități la fel de bizare, ceea ce duce la încălcarea acestei condiții stricte în anumite puncte.
Să ne organizăm cel mai simplu exemplu– luați un cuțit în mâini și tăiați pătura astfel încât vârful străpuns să se afle pe linia de tăiere. Rețineți că limita 
încă există, singurul lucru este că ne-am pierdut dreptul de a păși în puncte sub linia de tăiere, deoarece această zonă a „căzut” din domeniul functional. Acum să ridicăm cu atenție partea stângă a păturii de-a lungul axei și, dimpotrivă, să mișcăm partea dreaptă în jos sau chiar să o lăsăm pe loc. Ce sa schimbat? Și următoarele s-au schimbat fundamental: dacă acum ne apropiem de un punct din stânga, atunci Freddy va fi la o altitudine mai mare decât dacă ne-am apropia de un anumit punct din dreapta. Deci nu există limită.
Și, desigur limite minunate Unde am fi noi fără ei? Să ne uităm la un exemplu care este instructiv în toate sensurile:
Exemplul 11
Folosim formula trigonometrică dureros de familiară, în care ne organizăm folosind o tehnică artificială standard primele limite remarcabile :
Să trecem la coordonatele polare:
Daca atunci
S-ar părea că soluția se îndreaptă către un rezultat natural și nimic nu prevestește probleme, dar la sfârșit există un mare risc de a face un defect grav, a cărui natură am făcut-o deja un pic în exemplul 3 și am descris-o în detaliu. după Exemplul 6. Mai întâi finalul, apoi comentariul:
Să ne dăm seama de ce ar fi rău să scriem pur și simplu „infinit” sau „plus infinit”. Să ne uităm la numitor: deoarece , raza polară tinde să infinitezimal valoare pozitivă: . In afara de asta, . Astfel, semnul numitorului și întreaga limită depind doar de cosinus:
, dacă unghiul polar (sferturi de coordonate 2 și 3: );
, dacă unghiul polar (sferturi de coordonate 1 și 4: ).
Geometric, asta înseamnă că dacă te apropii de origine din stânga, atunci suprafața definită de funcție 
, se extinde până la infinit: 
