În prezent sunt cunoscute următoarele metode de organizare a canalelor radio (tehnologii radio): FDMA, TDMA, CDMA, FH-CDMA. Sunt posibile combinații ale acestora (de exemplu, FDMA/TDMA). Momentul de aplicare a acestor tehnologii coincide în mare măsură cu etapele de dezvoltare a sistemelor de comunicații mobile. Prima generație de echipamente de radiotelefonie mobilă a folosit tehnologia FDMA (acces multiplu cu diviziune de frecvență). Tehnologia radio FDMA a fost folosită până acum cu succes în echipamentele avansate comunicatii celulare prima generație, precum și în sistemele de radiotelefonie mobile mai simple cu structură non-celulară. În ceea ce privește standardele de comunicații mobile din prima etapă, conceptul de standarde nu a fost utilizat pentru primele sisteme radiale, iar echipamentele difereau în funcție de denumirile sistemelor (Altai, Volemot, Actionet etc.). Sistemele de comunicații celulare au început să difere în standarde. Tehnologia FDMA este baza pentru astfel de standarde ale sistemelor de comunicații celulare de prima generație precum NMT-450, NMT-900, AMPS, TACS. Sistemele de comunicații mobile celulare de a doua generație au făcut tranziția la procesarea digitală a mesajelor vocale transmise, care au început să utilizeze tehnologia radio cu acces multiplu pe diviziune în timp (TDMA). Ca urmare a trecerii la TDMA: imunitatea la zgomot a căii radio a crescut, protecția sa împotriva interceptării a devenit mai bună etc. TDMA este utilizat în sisteme cu standarde precum GSM, D-AMPS(acesta din urmă este adesea denumit pur și simplu TDMA în versiunea americană). Tehnologia radio cu acces multiplu CDMA, sau în versiunea în limba engleză CDMA, a fost introdusă activ în rețelele publice de radiotelefonie doar în ultimii cinci ani. Această tehnologie radio are avantajele ei, deoarece în echipamentele CDMA: - eficiența utilizării spectrului de frecvență radio este de 20 de ori mai mare față de echipamentele radio din standardul AMPS (tehnologia FDMA) și de 3 ori mai mare față de GSM (tehnologia TDMA); - calitate, fiabilitate și confidențialitate semnificativ mai bună a comunicațiilor decât în ​​alte sisteme TDMA de a doua generație; - este posibil să se utilizeze terminale de mică putere cu termen lung muncă; - la aceeași distanță de stația de bază, puterea de radiație a terminalelor de abonat CDMA este mai mică de peste 5 ori față de același indicator în rețelele standard bazate pe alte tehnologii radio; - este posibilă optimizarea topologiei rețelei la calcularea zonelor de acoperire. Tehnologia CDMA a fost implementată pentru prima dată în echipamentele celulare ale standardului IS-95. În ceea ce privește capacitățile lor de servicii, sistemele CDMA existente aparțin sistemelor de comunicații celulare de a doua generație. Potrivit statisticilor Institutului Național de Telecomunicații (ETRI), numărul abonaților la rețeaua CDMA crește cu 2.000 de persoane în fiecare zi. În ceea ce privește ritmul de creștere a numărului de abonați, aceste rețele depășesc rețelele altor standarde de comunicații celulare existente, depășind dezvoltarea rețelelor celulare chiar și a unui standard atât de popular precum GSM. În prezent, există cel puțin 30 de milioane de abonați în rețelele CDMA. Comunitatea globală de telecomunicații este înclinată să creadă că CDMA va ocupa o poziție de lider în viitoarele sisteme de acces fără fir pentru liniile de abonat (sisteme de comunicații personale de a treia generație). Această concluzie a fost făcută datorită faptului că tehnologia CDMA este cea mai capabilă să îndeplinească cerințele pentru echipamentele IMT-2000 de a treia generație, în special pentru asigurarea schimbului de informații cu rate de transmisie ridicate. Cu toate acestea, în viitoarele sisteme de acces fără fir se așteaptă să utilizeze așa-numitele sisteme CDMA de bandă largă, unde banda de frecvență pe canal va fi de cel puțin 5 MHz (în sistemele moderne CDMA de a doua generație banda pe canal este de 1,23 MHz). În ultimii ani au început să apară instrumente comunicații fără fir, care se bazează pe tehnologia Frequency Hopping Spread Spectrum (FH-CDMA). Această tehnologie combină specificul TDMA, în care fiecare frecvență este împărțită în mai multe intervale de timp, și CDMA, în care fiecare transmițător utilizează o secvență specifică de semnale asemănătoare zgomotului. Această tehnologie și-a găsit aplicația în sistemele concepute pentru organizarea comunicațiilor pe linie fixă.

UNDE SA LE GASAI CARACTERISTICILE DAI STIU

44. Reprezentarea semnalelor periodice sub formă de serie Fourier

http://scask.ru/book_brts.php?id=8

Semnale periodice și seriile Fourier

Un model matematic al unui proces care se repetă în timp este un semnal periodic cu următoarea proprietate:

Aici T este perioada semnalului.

Sarcina este de a găsi descompunerea spectrală a unui astfel de semnal.

Seria Fourier.

Să stabilim intervalul de timp considerat în cap. I este o bază ortonormală formată din funcții armonice cu frecvențe multiple;

Orice funcție din această bază satisface condiția de periodicitate (2.1). Prin urmare, efectuând o descompunere ortogonală a semnalului în această bază, adică prin calcularea coeficienților

obținem descompunerea spectrală

valabil pe tot infinitul axei timpului.

O serie de forma (2.4) se numește seria Fourier a unui semnal dat. Să introducem frecvența fundamentală a secvenței care formează semnalul periodic. Calculând coeficienții de expansiune folosind formula (2.3), scriem seria Fourier pentru un semnal periodic

cu cote

(2.6)

Deci, în cazul general, un semnal periodic conține o componentă constantă independentă de timp și un set infinit de oscilații armonice, așa-numitele armonice cu frecvențe care sunt multipli ai frecvenței fundamentale a secvenței.

Fiecare armonică poate fi descrisă prin amplitudinea și faza sa inițială.Pentru a face acest lucru, coeficienții seriei Fourier ar trebui să fie scrieți sub forma

Înlocuind aceste expresii în (2.5), obținem o altă formă echivalentă a seriei Fourier:

care uneori se dovedește a fi mai convenabil.

Diagrama spectrală a unui semnal periodic.

Aceasta este ceea ce se numește în mod obișnuit o reprezentare grafică a coeficienților seriei Fourier pentru un anumit semnal. Există diagrame spectrale de amplitudine și fază (Fig. 2.1).

Aici, axa orizontală reprezintă frecvențele armonice pe o anumită scară, iar axa verticală reprezintă amplitudinile și fazele inițiale ale acestora.

Orez. 2.1. Diagrame spectrale ale unui semnal periodic: a - amplitudine; b - faza

Ei sunt interesați în special de diagrama de amplitudine, care permite să se judece procentul anumitor armonici în spectrul unui semnal periodic.

Să studiem câteva exemple concrete.

Exemplul 2.1. Seria Fourier a unei secvențe periodice de impulsuri video dreptunghiulare cu parametri cunoscuți, chiar relativ la punctul t = 0.

În inginerie radio, raportul se numește ciclu de lucru al secvenței. Folosind formulele (2.6) găsim

Este convenabil să scrieți formula finală a seriei Fourier în formă

În fig. Figura 2.2 prezintă diagramele de amplitudine ale secvenței luate în considerare în două cazuri extreme.

Este important de menționat că o secvență de impulsuri scurte, care se succed destul de rar, are o compoziție spectrală bogată.

Orez. 2.2. Spectrul de amplitudine al unei secvențe periodice de impulsuri video dreptunghiulare: a - cu un ciclu de lucru mare; b - cu ciclu de lucru redus

Exemplul 2.2. Seria Fourier a unei secvențe periodice de impulsuri formată dintr-un semnal armonic de formă limitată la nivel (se presupune că ).

Să introducem un parametru special - unghiul de tăiere, determinat din relația unde

În conformitate cu aceasta, valoarea este egală cu durata unui impuls, exprimată în măsură unghiulară:

Înregistrarea analitică a impulsului care generează secvența luată în considerare are forma

Componentă secvență constantă

Primul factor de amplitudine armonică

În mod similar, amplitudinile componentelor armonice sunt calculate la

Rezultatele obținute sunt de obicei scrise astfel:

unde funcționează așa-numitul Berg:

Graficele unor funcții Berg sunt prezentate în Fig. 2.3.

Orez. 2.3. Grafice ale primelor câteva funcții Berg

Densitatea spectrală a semnalelor. Transformate Fourier directe și inverse.

Semnalul este apelat periodic, dacă forma sa se repetă ciclic în timp. Un semnal periodic în formă generală se scrie după cum urmează:

Iată perioada semnalului. Semnalele periodice pot fi fie simple, fie complexe.

Pentru reprezentarea matematică a semnalelor periodice cu o perioadă, este adesea folosită această serie, în care oscilațiile armonice (sinus și cosinus) de frecvențe multiple sunt selectate ca funcții de bază:

Unde . - frecvența unghiulară principală a succesiunii de funcții. Pentru funcțiile de bază armonică, din această serie obținem o serie Fourier, care în cel mai simplu caz poate fi scrisă sub următoarea formă:

unde sunt coeficienții

Din seria Fourier este clar că, în cazul general, un semnal periodic conține o componentă constantă și un set de oscilații armonice ale frecvenței fundamentale și armonicile sale cu frecvențele. Fiecare oscilație armonică a seriei Fourier este caracterizată de o amplitudine și o fază inițială.

Diagrama spectrală și spectrul unui semnal periodic.

Dacă orice semnal este prezentat ca o sumă de oscilații armonice cu frecvențe diferite, atunci aceasta înseamnă că descompunerea spectrală semnal.

Diagrama spectrală semnalul este o reprezentare grafică a coeficienților din seria Fourier ai acestui semnal. Există diagrame de amplitudine și fază. Pentru a construi aceste diagrame, valorile frecvențelor armonice sunt reprezentate pe o anumită scară de-a lungul axei orizontale, iar amplitudinile și fazele lor sunt reprezentate de-a lungul axei verticale. Mai mult, amplitudinile armonicilor pot lua doar valori pozitive, fazele pot lua atât valori pozitive, cât și negative în interval.

Diagrame spectrale ale unui semnal periodic:

a) - amplitudine; b) - faza.

Spectrul de semnal- acesta este un set de componente armonice cu valori specifice de frecvențe, amplitudini și faze inițiale, care împreună formează un semnal. În practică, diagramele spectrale sunt numite mai pe scurt - spectrul de amplitudine, spectrul de fază. Cel mai mare interes este prezentat în diagrama spectrală de amplitudine. Poate fi folosit pentru a estima procentul de armonici din spectru.

Caracteristicile spectrale joacă un rol important în tehnologia telecomunicațiilor. Cunoscând spectrul semnalului, puteți calcula și seta corect lățimea de bandă a amplificatoarelor, filtrelor, cablurilor și altor noduri ale canalelor de comunicație. Cunoașterea spectrelor de semnal este necesară pentru construirea de sisteme multicanal cu diviziune de frecvență. Fără cunoașterea spectrului de interferență, este dificil să se ia măsuri pentru a-l suprima.

Din aceasta putem concluziona că spectrul trebuie cunoscut pentru a realiza transmisia nedistorsionată a semnalului pe canalul de comunicație, pentru a asigura separarea semnalului și pentru a reduce interferența.

Pentru a observa spectrele semnalelor, există dispozitive numite analizoare de spectru. Acestea vă permit să observați și să măsurați parametrii componentelor individuale ale spectrului unui semnal periodic, precum și să măsurați densitatea spectrală semnal continuu.

Adesea, descrierea matematică chiar și a semnalelor deterministe care sunt simple ca structură și formă este o sarcină dificilă. Prin urmare, se folosește o tehnică originală, în care semnalele complexe reale sunt înlocuite (reprezentate, aproximate) cu o mulțime (sumă ponderată, adică o serie) de modele matematice descrise de funcții elementare. Acesta oferă un instrument important pentru analiza trecerii semnalelor electrice prin circuite electronice. În plus, reprezentarea semnalului poate fi folosită și ca sursă în descrierea și analiza acestuia. În acest caz, puteți simplifica semnificativ problema inversă - sinteză semnale complexe dintr-un set de funcţii elementare.

Reprezentarea spectrală a semnalelor periodice prin seria Fourier

Seria Fourier generalizată.

Ideea fundamentală a reprezentării spectrale a semnalelor (funcțiilor) datează de acum peste 200 de ani și aparține fizicianului și matematicianului J. B. Fourier.

Să luăm în considerare sistemele de funcții ortogonale elementare, fiecare dintre ele obținute dintr-una inițială - funcția prototip. Această funcție prototip acționează ca un „bloc de construcție”, iar aproximarea dorită este găsită prin combinarea adecvată a blocurilor identice. Fourier a arătat că orice funcție complexă poate fi reprezentată (aproximată) ca o sumă finită sau infinită a unei serii de oscilații armonice multiple cu anumite amplitudini, frecvențe și faze inițiale. Această funcție poate fi, în special, curentul sau tensiunea din circuit. O rază de soare, descompusă de o prismă într-un spectru de culori, este un analog fizic al transformării matematice Fourier (Fig. 2.7).

Lumina care iese din prismă este separată în spațiu în culori pure individuale, sau frecvențe. Spectrul are o amplitudine medie la fiecare frecvență. Astfel, funcția de intensitate față de timp a fost transformată într-o funcție de amplitudine față de frecvență. O ilustrare simplă a raționamentului lui Fourier este prezentată în Fig. 2.8. Curba de formă periodică, destul de complexă (Fig. 2.8, A) - aceasta este suma a două armonici cu frecvențe diferite, dar multiple: unică (Fig. 2.8, b)și sa dublat (Fig. 2.8, V).

Orez. 2.7.

Orez. 2.8.

A- oscilatie complexa; b,c- 1 și 2 semnale de aproximare

Folosind analiza spectrală Fourier, o funcție complexă este reprezentată ca o sumă de armonici, fiecare având propria frecvență, amplitudine și fază inițială. Transformata Fourier definește funcții reprezentând amplitudinea și faza componentelor armonice corespunzătoare unei anumite frecvențe, iar faza este punctul de plecare al undei sinusoidale.

Transformarea poate fi obținută prin două metode matematice diferite, dintre care una este utilizată când functia originala continuu, iar celălalt atunci când este dat de multe valori individuale discrete.

Dacă funcția studiată se obține din valori cu anumite intervale discrete, atunci ea poate fi împărțită într-o serie succesivă de funcții sinusoidale cu frecvențe discrete - de la frecvența cea mai joasă, fundamentală sau principală, iar apoi cu frecvențe dublate, triplate. , etc. deasupra celui principal. Această sumă de componente se numește lângă Fourier.

Semnale ortogonale. Într-un mod convenabil Descrierea spectrală a unui semnal conform lui Fourier este reprezentarea sa analitică folosind un sistem de funcții elementare ortogonale ale timpului. Să existe un spațiu Hilbert al semnalelor u0(t)y G/,(?), ..., u n (t) cu energie finită, definită pe un interval de timp finit sau infinit (t v 1 2). Pe acest segment vom defini un sistem (subset) infinit de funcții elementare ale timpului interconectate și îl vom numi de bază".

Unde g = 1, 2, 3,....

Funcții u(t)Și v(t) sunt ortogonale pe intervalul (?, ? 2) dacă produsul lor scalar, cu condiția ca niciuna dintre aceste funcții să nu fie identic zero.

În matematică, aceasta este definită în spațiul Hilbert al semnalelor baza de coordonate ortogonale, adică sistem de funcții de bază ortogonală.

Proprietatea de ortogonalitate a funcțiilor (semnalelor) este asociată cu intervalul de definire a acestora (Fig. 2.9). De exemplu, două semnale armonice m,(?) = = sin(2nr/7’ 0) și u.,(t)= păcat(4 nt/T Q)(adică cu frecvențe / 0 = 1/7’ 0 și, respectiv, 2/ 0) sunt ortogonale pe orice interval de timp a cărui durată este egală cu un număr întreg de semicicluri T 0(Fig. 2.9, A). Prin urmare, în prima perioadă semnalele și ((1)Și u2(t) sunt ortogonale pe intervalul (0,7" 0 /2); dar pe intervalul (O, ZG 0 /4) sunt neortogonale. Pa Fig. 2.9, b semnalele sunt ortogonale datorită diferiţilor timpi de apariţie.

Orez. 2.9.

A- pe interval; b - datorită momentelor diferite de apariţie Prezentarea semnalului u(t) modelele elementare se simplifică semnificativ dacă se alege un sistem de funcții de bază vff), având proprietatea ortonormalitate. Din matematică se știe dacă pentru orice pereche de funcții din sistemul ortogonal (2.7) condiția este îndeplinită

apoi sistemul de funcții (2.7) ortonormal.

În matematică, un astfel de sistem de funcții de bază de forma (2.7) se numește baza ortonormala.

Fie, la un interval de timp dat |r, t 2| este activ un semnal arbitrar u(t) iar pentru a-l reprezenta se folosește sistemul ortonormal de funcții (2.7). Proiectarea semnalului arbitrar u(t) pe axa bazei de coordonate se numește expansiunea într-o serie Fourier generalizată. Această expansiune are forma

unde c, sunt niște coeficienți constanți.

Pentru a determina coeficienții de la catre seria Fourier generalizată, alegem una dintre funcțiile de bază (2.7) v k (t) s orice număr La. Să înmulțim ambele părți ale expansiunii (2.9) cu această funcție și să integrăm rezultatul în timp:

Datorită ortonormalității bazei funcțiilor alese, în partea dreaptă a acestei egalități toți termenii sumei la i ^ La va merge la zero. Doar singurul membru al sumei cu numărul va rămâne diferit de zero i = La, De aceea

Produsul formei c k v k (t), inclusă în seria Fourier generalizată (2.9), este componenta spectrală semnal u(t),și un set de coeficienți (proiecții ale vectorilor semnal pe axele de coordonate) (с 0 , с,..., de la catre,..., s„) determină complet semnalul analizat ii(t) si se numeste spectru(din lat. spectru- imagine).

Esenta reprezentare spectrală (analiză) a semnalului constă în determinarea coeficienților cu i conform formulei (2.19).

Alegerea unui sistem ortogonal rațional de coordonate pe bază de funcții depinde de scopul cercetării și este determinată de dorința de a maximiza simplificarea aparatului matematic de analiză, transformare și prelucrare a datelor. Polinoamele lui Cebyshev, Hermite, Laguerre, Legendre etc sunt utilizate în prezent ca funcții de bază.Cea mai răspândită transformare a semnalelor în bazele funcțiilor armonice: exponențială complexă exp (J 2ft)și funcții sinuso-cosinus trigonometrice reale legate de formula lui Euler e>x= cosx + y"sinx. Acest lucru se explică prin faptul că o oscilație armonică își păstrează teoretic complet forma atunci când trece prin circuite liniare cu parametri constanți, și se schimbă doar amplitudinea și faza inițială. Metoda simbolică, bine dezvoltată în teoria circuitelor, este de asemenea utilizat pe scară largă.Operația de reprezentare a semnalelor deterministe sub forma unui set de componente constante ( componenta constanta) iar suma oscilaţiilor armonice cu frecvenţe multiple se numeşte de obicei descompunerea spectrală. Utilizarea destul de răspândită a seriei Fourier generalizate în teoria semnalului este, de asemenea, asociată cu proprietatea sa foarte importantă: cu un sistem de funcții ortonormal ales. vk(t)și un număr fix de termeni în serie (2.9), oferă cea mai bună reprezentare a unui semnal dat u(t). Această proprietate a seriei Fourier este cunoscută pe scară largă.

În reprezentarea spectrală a semnalelor, bazele ortonormale sunt cele mai utilizate. funcții trigonometrice. Acest lucru se datorează următoarelor: oscilațiile armonice sunt cel mai ușor de generat; semnalele armonice sunt invariante în raport cu transformările efectuate de circuitele electrice liniare staţionare.

Să evaluăm reprezentările temporale și spectrale semnal analog(Fig. 2.10). În fig. 2.10, A prezintă diagrama de timp a unui semnal continuu complex, iar Fig. 2.10, b - descompunerea sa spectrală.

Să considerăm reprezentarea spectrală a semnalelor periodice ca o sumă fie a funcțiilor armonice, fie a exponențialelor complexe cu frecvențe care formează o progresie aritmetică.

Periodic ei numesc semnalul u„(?). repetând la intervale regulate (Fig. 2.11):

unde Г este perioada de repetare sau repetare a impulsurilor; n = 0,1, 2,....

Orez. 2.11. Semnal periodic

Dacă T este perioada semnalului u(t), atunci și perioadele vor fi multipli ale acesteia: 2G, 3 T etc. O secvență periodică de impulsuri (se numesc impulsuri video) este descris prin expresia

Orez. 2.10.

A- diagrama timpului; b- spectrul de amplitudine

Aici uQ(t)- forma unui singur impuls, caracterizată prin amplitudine (înălțime) h = E, durata t„, perioada de urmărire T= 1/F(F - frecvență), poziția impulsurilor în timp în raport cu punctele de ceas, de exemplu t = 0.

Pentru analiza spectrală a semnalelor periodice, sistemul ortogonal (2.7) sub formă de funcții armonice cu frecvențe multiple este convenabil:

unde co, = 2p/T- rata de repetare a pulsului.

Prin calcularea integralelor folosind formula (2.8), este ușor de verificat ortogonalitatea acestor funcții pe intervalul [-Г/2, Г/2|. Orice funcție satisface condiția de periodicitate (2.11), deoarece frecvențele lor sunt multiple. Dacă sistemul (2.12) se scrie ca

atunci obținem o bază ortonormală a funcțiilor armonice.

Să ne imaginăm un semnal periodic, cel mai comun în teoria semnalului trigonometric(sinus-cosinus) formă Seria Fourier:

Din cursul de matematică se știe că expansiunea (2.11) există, i.e. seria converge dacă funcția (în acest caz semnalul) u(t) pe intervalul [-7/2, 7/2] satisface Condiții Dirichlet(spre deosebire de teorema lui Dirichlet, acestea sunt adesea interpretate într-un mod simplificat):

• nu ar trebui să existe discontinuități de al 2-lea fel (cu ramuri mergând la infinit);
• funcția este mărginită și are un număr finit de discontinuități de primul fel (sărituri);
• o funcție are un număr finit de extreme (adică maxime și minime).

Formula (2.13) conține următoarele componente ale semnalului analizat:

Componentă constantă

Amplitudini ale componentelor cosinus

Amplitudini ale componentelor sinusoidale

Componenta spectrală cu frecvența co, în teoria comunicării se numește primul (de bază) armonic, și componente cu frecvențe ISO, (n> 1) - armonici superioare semnal periodic. Se numește treapta de frecvență Aco dintre două sinusoide adiacente din expansiunea Fourier rezolutie frecventa spectru

Dacă semnalul este o funcție uniformă a timpului u(t) = u(-t), atunci în reprezentarea trigonometrică a seriei Fourier (2.13) nu există coeficienți sinusoidali b n, deoarece conform formulei (2.16) ele dispar. Pentru semnal u(t), descrisă de o funcție impară a timpului, dimpotrivă, conform formulei (2.15), coeficienții cosinus sunt egali cu zero a p(componentă constantă un 0 lipsește și el), iar seria conține componente b p.

Limitele de integrare (de la -7/2 la 7/2) nu trebuie să fie aceleași ca în formulele (2.14)-(2.16). Integrarea poate fi efectuată pe orice interval de timp de lățime 7 - rezultatul nu se va schimba. Limitele specifice sunt alese din motive de comoditate de calcul; de exemplu, poate fi mai ușor să se integreze de la O la 7 sau de la -7 la 0 etc.

Ramură a matematicii care stabilește relația dintre o funcție a timpului u(t) și coeficienții spectrale a p, b p, numit analiza armonică datorită conexiunii funcţiei u(t) cu termenii sinus și cosinus ai acestei sume. Mai mult, analiza spectrală este limitată în principal la cadrul analizei armonice, care își găsește aplicație exclusivă.

Adesea, utilizarea formei sinus-cosinus a seriei Fourier nu este complet convenabilă, deoarece pentru fiecare valoare a indicelui de însumare P(adică pentru fiecare armonică cu frecvența mOj) în formula (2.13) apar doi termeni - cosinus și sinus. Din punct de vedere matematic, este mai convenabil să se reprezinte această formulă printr-o serie Fourier echivalentă în formă reală/.

Unde A 0 = a 0 / 2; A n = yja 2 n + b - amplitudine; a n-a armonică semnal. Uneori în relația (2.17) se pune un semn „plus” în fața cp L, apoi faza inițială a armonicilor se scrie cp u = -arctg ( b n fa n).

În teoria semnalului, forma complexă a seriei Fourier este utilizată pe scară largă. Se obține din forma reală a seriei prin reprezentarea cosinusului ca o jumătate de sumă de exponențiale complexe folosind formula lui Euler:

Aplicand această transformare la forma reală a seriei Fourier (2.17), obținem sumele exponențialelor complexe cu exponenți pozitivi și negativi:

Și acum vom interpreta în formula (2.19) exponenții la frecvența с, cu semnul minus în exponent, ca membri ai unei serii cu numere negative. În cadrul aceleiași abordări, coeficientul A 0 va deveni membru al seriei cu numărul zero. După simple transformări ajungem la formă complexă Seria Fourier

Amplitudine complexă P armonicele-le-a.

Valori S p prin numere pozitive și negative P sunt complexe conjugate.

Rețineți că seria Fourier (2.20) este un ansamblu de exponențiale complexe exp(jn(o (t) cu frecvenţele formând o progresie aritmetică.

Să determinăm legătura dintre coeficienții formelor trigonometrice și complexe ale seriei Fourier. Este evident că

Se mai poate demonstra că coeficienţii a p= 2C w coscp„; b n = 2C/I sincp, f .

Dacă u(t) este o funcție pară, coeficienții seriei C vor fi real, si daca u(t) - funcția este impară, coeficienții seriei vor deveni imaginar.

Reprezentarea spectrală a unui semnal periodic prin forma complexă a seriei Fourier (2.20) conține atât frecvențe pozitive, cât și negative. Dar frecvențele negative nu există în natură, iar aceasta este o abstractizare matematică (sensul fizic al unei frecvențe negative este rotația în direcția opusă celei care este considerată pozitivă). Ele apar ca o consecință a reprezentării formale a vibrațiilor armonice într-o formă complexă. La trecerea de la forma complexă de notație (2.20) la forma reală (2.17), frecvența negativă dispare.

Spectrul semnalului este judecat vizual după reprezentarea sa grafică - diagrama spectrală (Fig. 2.12). Distinge amplitudine-frecventaȘi spectre de fază-frecvență. Set de amplitudini armonice A p(Fig. 2.12, A) numit spectrul de amplitudine, fazele lor (Fig. 2.12, b) miercuri I - spectrul de fază. Totalitate S p = |S p este spectru de amplitudine complex(Fig. 2.12, V). Pe diagramele spectrale, axele de abscisă indică frecvența curentă, iar axele ordonatelor indică fie amplitudinea sau faza reală sau complexă a componentelor armonice corespunzătoare ale semnalului analizat.

Orez. 2.12.

A - amplitudine; b - fază; V - spectrul de amplitudine al seriei complexe Fourier

Se numește spectrul unui semnal periodic stăpânit sau discret, deoarece este format din linii individuale cu o înălțime egală cu amplitudinea A p armonici Dintre toate tipurile de spectre, spectrele de amplitudine sunt cele mai informative, deoarece permit estimarea conținutului cantitativ al anumitor armonici în compoziția de frecvență a semnalului. În teoria semnalului s-a dovedit că spectrul de amplitudine este funcția de frecvență uniformă, și faza - ciudat.

Notă echidistanţă(echidistanța de la originea coordonatelor) spectrului complex de semnale periodice: frecvențe simetrice (pozitive și negative) la care se află coeficienții spectrale ai seriei trigonometrice Fourier formează o secvență echidistantă (..., -zho v..., -2so p -so p 0, v 2 deci, ..., ncov...), care conține frecvența co = 0 și având o treaptă co t = 2l/7’. Coeficienții pot lua orice valoare.

Exemplul 2.1

Să calculăm spectrele de amplitudine și fază ale unei secvențe periodice de impulsuri dreptunghiulare cu amplitudinea?, durata m și perioada de repetiție T. Semnalul este o funcție uniformă (Fig. 2.13).

Orez. 2.13.

Soluţie

Se știe că un impuls video dreptunghiular ideal este descris de următoarea ecuație:

acestea. se formează ca diferența a două funcții unitare a(?) (funcții de includere), deplasate în timp cu tn.

Secvența de impulsuri dreptunghiulare este o sumă cunoscută de impulsuri individuale:

Deoarece semnalul dat este o funcție pară a timpului și pe parcursul unei perioade acționează numai asupra intervalului [t și /2, t și /2], atunci conform formulei (2.14)

Unde q = T/ T”.

Analizând formula rezultată, puteți vedea că perioada de repetare și durata pulsului sunt incluse în ea sub forma unui raport. Această opțiune q- se numeste raportul dintre perioada si durata impulsurilor ciclu de lucru secvență periodică de impulsuri (în literatura străină, în loc de ciclu de lucru, se folosește valoarea inversă - ciclu de lucru, din engleza, ciclu de lucru, egal cu m și /7); la q = 2 o succesiune de impulsuri dreptunghiulare, când duratele impulsurilor și intervalele dintre ele devin egale, se numește meandre(din grecescul paiav5poq - model, ornament geometric).

Datorită parității funcției care descrie semnalul analizat, în seria Fourier, împreună cu componenta constantă, vor fi prezente doar componentele cosinus (2.15):

În partea dreaptă a formulei (2.22), al doilea factor are forma unei funcții elementare (sinx)/x. În matematică, această funcție este notată ca sinc(x) și numai pentru valoare X= 0 este egal cu unu (lim (sinx/x) =1), trece

prin zero în punctele x = ±l, ±2l,... și decade cu argumentul crescător x (Fig. 2.14). În cele din urmă, seria Fourier trigonometrică (2.13), care aproximează semnalul dat, se scrie sub forma

Orez. 2.14. Graficul unei funcții sinx/x

Funcția sinus are un caracter petală. Vorbind despre lățimea lobilor, trebuie subliniat faptul că pentru graficele spectrelor discrete ale semnalelor periodice sunt posibile două opțiuni pentru calibrarea axei orizontale - în numere și frecvențe armonice. De exemplu, în Fig. 2.14 Axa ordonatelor este calibrată pentru a corespunde frecvenţelor. Lățimea lobilor, măsurată în numărul de armonici, este egală cu ciclul de lucru al secvenței. Aceasta implică o proprietate importantă a spectrului unei secvențe de impulsuri dreptunghiulare - nu conține (au amplitudini zero) armonici cu numere care sunt multipli ai ciclului de lucru. Cu un ciclu de lucru al impulsului de trei, fiecare a treia armonică dispare. Dacă ciclul de lucru ar fi egal cu doi, atunci doar armonicile impare ale frecvenței fundamentale ar rămâne în spectru.

Din formula (2.22) și Fig. 2.14 rezultă că coeficienții unui număr de armonici superioare ale semnalului au semn negativ. Acest lucru se datorează faptului că faza inițială a acestor armonici este egală cu P. Prin urmare, formula (2.22) este de obicei prezentată într-o formă modificată:

Cu această înregistrare a seriei Fourier, valorile amplitudinii tuturor componentelor armonice superioare de pe graficul diagramei spectrale sunt pozitive (Fig. 2.15, A).

Spectrul de amplitudine al semnalului depinde în mare măsură de raportul perioadei de repetiție Tşi durata pulsului t şi, i.e. din ciclul de lucru q. Distanța de frecvență dintre armonicile adiacente este egală cu frecvența de repetare a impulsului cu 1 = 2l/T. Lățimea lobilor spectrului, măsurată în unități de frecvență, este egală cu 2π/tn, adică. este invers proporţională cu durata pulsului. Rețineți că pentru aceeași durată a impulsului m și cu creșterea non-

Orez. 2.15.

A- amplitudine;b- faza

perioada de repetare a acestora T frecvența fundamentală co scade și spectrul devine mai dens.

Aceeași imagine se observă dacă durata pulsului t este scurtată și perioada rămâne neschimbată T. Amplitudinile tuturor armonicilor scad. Aceasta este o manifestare a legii generale (principiul de incertitudine al lui W. Heisenberg - Principiul incertitudinii), Cu cât durata semnalului este mai scurtă, cu atât spectrul său este mai larg.

Fazele componentelor se determină din formula cp = arctg (bn/an). Din moment ce aici coeficienţii b„= 0, atunci

Unde m = 0, 1, 2,....

Relația (2.24) arată că la calcularea fazelor componentelor spectrale avem de-a face cu incertitudine matematică. Pentru a o dezvălui, să ne întoarcem la formula (2.22), conform căreia amplitudinile armonicilor își schimbă periodic semnul în funcție de schimbarea semnului funcției sin(nco 1 x 1I /2). Schimbarea semnului în formula (2.22) este echivalentă cu deplasarea fazei acestei funcții cu P. Prin urmare, când această funcție faza pozitivă, armonică (p u = 2 tp, iar când este negativ - = (2t + 1 )La(Fig. 2.15, b). Rețineți că, deși amplitudinile componentelor din spectrul impulsurilor dreptunghiulare scad odată cu creșterea frecvenței (vezi Fig. 2.15, A), această dezintegrare este destul de lentă (amplitudinele scad invers proporțional cu frecvența). Pentru a transmite astfel de impulsuri fără distorsiuni, este necesară o bandă de frecvență infinită a canalului de comunicație. Pentru distorsiuni relativ subtile, valoarea limită a benzii de frecvență ar trebui să fie de multe ori mai mare decât valoarea inversă a duratei impulsului. Cu toate acestea, toate canalele reale au o lățime de bandă finită, ceea ce duce la distorsiuni în forma impulsurilor transmise.

Seria Fourier de semnale periodice arbitrare poate conține un număr infinit de termeni. La calcularea spectrelor unor astfel de semnale, calcularea sumei infinite a seriei Fourier provoacă anumite dificultăți și nu este întotdeauna necesară, prin urmare ne limităm la însumarea unui număr finit de termeni (seria este „trunchiată”).

Precizia aproximării semnalului depinde de numărul de componente însumate. Să luăm în considerare acest lucru folosind exemplul de aproximare prin suma primelor opt armonici ale unei secvențe de impulsuri dreptunghiulare (Fig. 2.16). Semnalul are forma unui meandre unipolar cu o perioadă de repetare Acea amplitudine E= 1 și durata pulsului t și = T/2 (semnal specificat - funcție pară - Fig. 2.16, A; ciclu de lucru q= 2). Aproximarea este prezentată în Fig. 2.16, b, iar graficele arată numărul de armonici însumate. În aproximarea în curs de desfășurare a unui semnal periodic dat (vezi Fig. 2.13) prin seria trigonometrică (2.13), însumarea primelor armonice și a armonicilor superioare se va efectua numai pe coeficienți impari. Pu deoarece dacă valorile și durata impulsului lor sunt pare, m și = T/2 = = tm/co, valoarea sin(mo,T H /2) = sin(wt/2) devine zero.

Forma trigonometrică a seriei Fourier (2.23) pentru un semnal dat are forma

Orez. 2.16.

A - semnal dat; 6 - etape intermediare de însumare

Pentru ușurința prezentării, seria Fourier (2.25) poate fi scrisă simplificată:

Din formula (2.26) este evident că armonicile care aproximează meandrul sunt impare, au semne alternative, iar amplitudinile lor sunt invers proporționale cu numerele. Rețineți că o secvență de impulsuri dreptunghiulare este slab potrivită pentru reprezentarea printr-o serie Fourier - aproximarea conține ondulații și salturi, iar suma oricărui număr de componente armonice cu orice amplitudine va fi întotdeauna o funcție continuă. Prin urmare, comportamentul seriei Fourier în vecinătatea discontinuităților prezintă un interes deosebit. Din graficele din Fig. 2.16, b este ușor de observat cum, odată cu creșterea numărului de armonici însumate, funcția rezultată se apropie din ce în ce mai mult de forma semnalului inițial u(t) peste tot, cu excepția punctelor de rupere. În vecinătatea punctelor de discontinuitate, însumarea seriei Fourier dă o pantă, iar panta funcției rezultate crește odată cu numărul de armonici însumate. În chiar punctul de discontinuitate (să-l notăm ca t = t 0) Seria Fourier u(t 0) converge la jumătate din suma limitelor din dreapta și din stânga:

În secțiunile curbei aproximative adiacente discontinuității, suma seriei dă pulsații vizibile, iar în fig. 2.16 este clar că amplitudinea creșterii principale a acestor pulsații nu scade odată cu creșterea numărului de armonici însumate - se comprimă doar pe orizontală, apropiindu-se de punctul de rupere.

La P-? la punctele de rupere amplitudinea de ejecție rămâne constantă,

iar lățimea sa va fi infinit de îngustă. Atât amplitudinea relativă a pulsațiilor (față de amplitudinea săriturii), cât și atenuarea relativă nu se modifică; Se modifică doar frecvența de pulsație, care este determinată de frecvența ultimelor armonice însumate. Acest lucru se datorează convergenței seriei Fourier. Să luăm un exemplu clasic: vei ajunge vreodată la perete dacă vei parcurge jumătate din distanța rămasă cu fiecare pas? Primul pas va duce la jumătatea, al doilea va duce la trei sferturi, iar după al cincilea pas vei fi parcurs aproape 97% din drum. Aproape ești acolo, dar indiferent de câți pași înainte ai face, nu o vei ajunge niciodată în sens strict matematic. Nu poți decât să demonstrezi matematic că până la urmă te vei putea apropia de orice distanță, oricât de mică. Această dovadă ar fi echivalentă cu a demonstra că suma numerelor este 1/2,1/4,1/8,1/16 etc. tinde spre unitate. Acest fenomen, inerent în toate seriile Fourier pentru semnale cu discontinuități de primul fel (de exemplu, salturi, ca pe fronturile impulsurilor dreptunghiulare), se numește efectul Gibbs*. În acest caz, valoarea primei (cea mai mare) creștere a amplitudinii din curba aproximativă este de aproximativ 9% din nivelul de salt (vezi Fig. 2.16, P = 4).

Efectul Gibbs duce la o eroare iremediabilă în aproximarea semnalelor periodice de puls cu discontinuități de primul fel. Efectul apare atunci când există o încălcare accentuată a monotoniei funcțiilor. La cursele de cai, efectul este maxim; în toate celelalte cazuri, amplitudinea pulsațiilor depinde de natura încălcării monotoniei. Pentru o serie de aplicații practice, efectul Gibbs provoacă anumite probleme. De exemplu, în sistemele de reproducere a sunetului, acest fenomen se numește „sunet” sau „clipire”. Mai mult, fiecare consoană ascuțită sau alt sunet brusc poate fi însoțit de un sunet scurt care este neplăcut pentru ureche.

Seria Fourier poate fi aplicată nu numai semnalelor periodice, ci și semnalelor cu durată finită. În acest caz, ora este specificată

intervalul final pentru care se construiește seria Fourier, iar alteori semnalul este considerat egal cu zero. Pentru a calcula coeficienții unei serii, această abordare înseamnă continuare periodică semnal în afara intervalului considerat.

Rețineți că natura (de exemplu, auzul uman) folosește principiul analizei semnalului armonic. O persoană efectuează o transformare Fourier virtuală ori de câte ori aude un sunet: urechea realizează automat acest lucru, reprezentând sunetul ca un spectru de valori succesive de intensitate pentru tonuri de diferite înălțimi. Creierul uman transformă această informație în sunet perceput.

Sinteza armonică. În teoria semnalelor, împreună cu analiza armonică a semnalelor, se folosesc pe scară largă sinteza armonică- obţinerea de oscilaţii specificate de formă complexă prin însumarea unui număr de componente armonice ale spectrului acestora. În esență, mai sus a fost efectuată sinteza unei secvențe periodice de impulsuri dreptunghiulare prin suma unui număr de armonici. În practică, aceste operații sunt efectuate pe un computer, așa cum se arată în Fig. 2.16, b.

• Jean Baptiste Joseph Fourier (J.B.J. Fourier; 1768-1830) - matematician și fizician francez.
• Josiah Gibbs (J. Gibbs, 1839-1903) - fizician și matematician american, unul dintre fondatorii termodinamicii chimice și fizicii statistice.

Forme de înregistrare a seriei Fourier. Semnalul este apelat periodic, dacă forma sa se repetă ciclic în timp Semnal periodic u(t) in general se scrie asa:

u(t)=u(t+mT), m=0, ±1,±2,...

Aici este perioada T a semnalului. Semnalele periodice pot fi fie simple, fie complexe.

Pentru reprezentarea matematică a semnalelor periodice cu perioadă T este adesea folosită seria (2.2), în care sunt alese ca funcții de bază oscilațiile armonice (sinus și cosinus) de mai multe frecvențe

y 0 (t)=1; y 1 (t)=sinw 1 t; y 2 (t)=cosw 1 t;

y 3 (t)=sin2w 1 t; y 4 (t)=cos2w 1 t; ..., (2.3)

unde w 1 =2p/T este frecvența unghiulară principală a secvenței

funcții. Pentru funcțiile de bază armonică, din seria (2.2) obținem seria Fourier (Jean Fourier - matematician și fizician francez al secolului al XIX-lea).

Funcţiile armonice de forma (2.3) din seria Fourier au următoarele avantaje: 1) descriere matematică simplă; 2) invarianță la transformările liniare, adică dacă există o oscilație armonică la intrarea unui circuit liniar, atunci la ieșirea acestuia va exista și o oscilație armonică, care diferă de intrare doar în amplitudine și fază inițială; 3) ca un semnal, funcțiile armonice sunt periodice și au durată infinită; 4) tehnica de generare a funcţiilor armonice este destul de simplă.

Se știe dintr-un curs de matematică că pentru a extinde un semnal periodic într-o serie în funcții armonice (2.3), trebuie îndeplinite condițiile Dirichlet. Dar toate semnalele periodice reale îndeplinesc aceste condiții și pot fi reprezentate sub forma unei serii Fourier, care poate fi scrisă în una din următoarele forme:

u(t)=A 0 /2+ (A’ mn cosnw 1 t+A” mn nw 1 t), (2.4)

unde sunt coeficienții

A mn ”= (2.5)

u(t)=A0/2+ (2.6)

A mn = (2.7)

sau în formă complexă

u(t)= (2.8)

Cn= (2.9)

Din (2.4) - (2.9) rezultă că în cazul general, semnalul periodic u(t) conţine o componentă constantă A 0 /2 şi un set de oscilaţii armonice ale frecvenţei fundamentale w 1 =2pf 1 şi armonicele sale cu frecvențele w n =nw 1, n=2 ,3,4,… Fiecare dintre armonici

Oscilațiile din seria Fourier sunt caracterizate prin amplitudine și faza inițială y n .nn

Diagrama spectrală și spectrul unui semnal periodic. Dacă orice semnal este prezentat ca o sumă de oscilații armonice cu frecvențe diferite, atunci se spune că descompunerea spectrală semnal.

Diagrama spectrală semnalul este de obicei numit o reprezentare grafică a coeficienților din seria Fourier a acestui semnal. Există diagrame de amplitudine și fază. În fig. 2.6, la o anumită scară, valorile frecvențelor armonice sunt reprezentate de-a lungul axei orizontale, iar amplitudinile lor A mn și fazele y n sunt reprezentate de-a lungul axei verticale. Mai mult, amplitudinile armonice pot lua doar valori pozitive, fazele pot lua atat valori pozitive cat si negative in intervalul -p£y n £p

Spectrul de semnal- acesta este un set de componente armonice cu valori specifice de frecvențe, amplitudini și faze inițiale, care împreună formează un semnal. ÎN aplicatii tehniceîn practică, diagramele spectrale sunt numite mai pe scurt - spectru de amplitudine, spectru de fază. Cel mai adesea oamenii sunt interesați de diagrama spectrală de amplitudine. Poate fi folosit pentru a estima procentul de armonici din spectru.

Exemplu 2.3. Extindeți o secvență periodică de impulsuri video dreptunghiulare într-o serie Fourier Cu parametri cunoscuți (Um,T,tz), chiar „Relativ la punctul t=0. Construiți o diagramă spectrală de amplitudini și faze la U m =2B, T=20ms, S=T/t și =2 și 8.

Un semnal periodic dat pe un interval de o perioadă poate fi scris ca

Pentru a reprezenta acest semnal, vom folosi forma seriei Fourier V forma (2.4). Deoarece semnalul este uniform, numai componentele cosinus vor rămâne în expansiune.

Orez. 2.6. Diagrame spectrale ale unui semnal periodic:

a - amplitudine; b- faza

Integrala unei funcții impare într-o perioadă este egală cu zero. Folosind formulele (2.5) găsim coeficienții

permițându-ne să scriem seria Fourier:

Pentru a construi diagrame spectrale pentru date numerice specifice, setăm i=0, 1, 2, 3, ... și calculăm coeficienții armonici. Rezultatele calculării primelor opt componente ale spectrului sunt rezumate în tabel. 2.1. Într-o serie (2.4) A" mn = 0 iar conform (2.7) A mn =|A' mn |, frecvența principală f 1 =1/T= 1/20-10 -3 =50 Hz, w 1 =2pf 1 =2p*50=314 rad/s . Spectrul de amplitudine din Fig.

2.7 este construit pentru acestea n, la care Și mn mai mult de 5% din valoarea maximă.

Din exemplul dat 2.3 rezultă că odată cu creșterea ciclului de lucru, numărul componentelor spectrale crește și amplitudinea lor scade. Se spune că un astfel de semnal are un spectru bogat. Trebuie remarcat faptul că pentru multe semnale utilizate practic nu este nevoie să se calculeze amplitudinile și fazele armonicilor folosind formulele date anterior.

Tabelul 2.1. Amplitudini ale componentelor seriei Fourier ale unei secvențe periodice de impulsuri dreptunghiulare

Orez. 2.7. Diagrame spectrale ale unei secvențe de impulsuri periodice: A- cu ciclu de lucru S-2; - b-cu duty cycle S=8

Cărțile de referință matematică conțin tabele de expansiuni ale semnalului din seria Fourier. Unul dintre aceste tabele este prezentat în Anexă (Tabelul A.2).

Adesea apare întrebarea: câte componente spectrale (armonice) ar trebui luate pentru a reprezenta un semnal real într-o serie Fourier? La urma urmei, serialul este, strict vorbind, nesfârșit. Un răspuns cert nu poate fi dat aici. Totul depinde de forma semnalului și de acuratețea reprezentării acestuia de către seria Fourier. Schimbare mai ușoară a semnalului - sunt necesare mai puține armonice. Dacă semnalul are salturi (discontinuități), atunci este necesar să se însumeze un număr mai mare de armonici pentru a obține aceeași eroare. Cu toate acestea, în multe cazuri, de exemplu în telegrafie, se crede că trei armonici sunt suficiente pentru a transmite impulsuri dreptunghiulare cu fronturi abrupte.

În secolul trecut, Ivan Bernoulli, Leonard Euler și apoi Jean-Baptiste Fourier au fost primii care au folosit reprezentarea funcțiilor periodice prin serii trigonometrice. Această reprezentare este studiată suficient de detaliat în alte cursuri, așa că amintim doar relațiile și definițiile de bază.

După cum sa menționat mai sus, orice funcție periodică u(t) , pentru care egalitatea este valabilă u(t)=u(t+T) , Unde T=1/F=2p/W , poate fi reprezentat într-o serie Fourier:

Fiecare termen al acestei serii poate fi extins folosind formula cosinusului pentru diferența a două unghiuri și reprezentat ca doi termeni:

,

Unde: A n =C n cosφ n , B n =C n sinφ n , Asa de , A

Cote A n Și Han sunt determinate de formulele lui Euler:

;
.

La n=0 :

A B 0 =0.

Cote A n Și Han , sunt valorile medii ale produsului funcției u(t) si vibratii armonice cu frecventa nw pe un interval de durată T . Știm deja (secțiunea 2.5) că acestea sunt funcții de corelație încrucișată care determină amploarea conexiunii lor. Prin urmare, coeficienții A n Și Bn arată-ne „câte” unde sinusoide sau cosinus cu frecvență nW cuprinse în această funcție u(t) , extensibil într-o serie Fourier.

Deci putem reprezenta funcția periodică u(t) ca sumă de oscilații armonice, unde numerele Cn sunt amplitudini, iar numerele φn - în faze. De obicei în literatură se numește spectru de amplitudine și - spectrul de faze. Adesea este luat în considerare doar spectrul de amplitudine, care este reprezentat ca linii situate în puncte nW pe axa frecvenţelor şi având o înălţime corespunzătoare numărului Cn . Cu toate acestea, trebuie amintit că pentru a obține o corespondență unu-la-unu între funcția de timp u(t) iar spectrul său trebuie să folosească atât spectrul de amplitudine, cât și spectrul de fază. Acest lucru se poate vedea din asta exemplu simplu. Semnalele vor avea același spectru de amplitudine, dar complet tip diferit funcții temporare.

Nu numai o funcție periodică poate avea un spectru discret. De exemplu, un semnal: nu este periodic, ci are un spectru discret format din două linii spectrale. De asemenea, un semnal constând dintr-o succesiune de impulsuri radio (impulsuri cu umplere de înaltă frecvență), pentru care perioada de repetare este constantă, dar faza inițială a umplerii de înaltă frecvență variază de la impuls la puls conform unor legi, nu va fie strict periodic. Astfel de semnale sunt numite aproape periodice. După cum vom vedea mai târziu, au și un spectru discret. Vom studia natura fizică a spectrelor unor astfel de semnale în același mod ca și cele periodice.