Progresele în studiul electromagnetismului în secolul al XIX-lea au dus la dezvoltarea rapidă a industriei și tehnologiei, în special în comunicații. În timp ce puneau linii telegrafice pe distanțe lungi, inginerii s-au confruntat cu o serie de fenomene inexplicabile care i-au determinat pe oamenii de știință să efectueze cercetări. Așadar, în anii 50, fizicianul britanic William Thomson (Lord Kelvin) a abordat problema telegrafiei transatlantice. Ținând cont de eșecurile primilor practicanți, el a investigat teoretic problema propagării impulsurilor electrice de-a lungul unui cablu. În același timp, Kelvin a primit o serie de concluzii importante, care au făcut mai târziu posibilă implementarea telegrafiei peste ocean. Tot în 1853, un fizician britanic a derivat condițiile pentru existența unei descărcări electrice oscilatorii. Aceste condiții au stat la baza întregului studiu al oscilațiilor electrice. În această lecție și în alte lecții din acest capitol, ne vom uita la câteva elemente de bază ale teoriei lui Thomson a oscilațiilor electrice.
Periodic sau aproape modificari periodice se numesc sarcina, curentul și tensiunea dintr-un circuit vibratii electromagnetice. Mai poate fi dată și o definiție.
Vibrații electromagnetice se numesc modificări periodice ale intensității câmpului electric ( E) și inducția magnetică ( B).
Pentru a excita oscilații electromagnetice, este necesar să existe un sistem oscilator. Cel mai simplu sistem oscilator în care se pot menține oscilații electromagnetice libere se numește circuit oscilator.
Figura 1 prezintă cel mai simplu circuit oscilator - acesta este un circuit electric care constă dintr-un condensator și o bobină conducătoare conectate la plăcile condensatorului.
Orez. 1. Circuit oscilator
Într-un astfel de circuit oscilator pot apărea oscilații electromagnetice libere.
Gratuit se numesc oscilatii care se realizeaza datorita rezervelor de energie acumulate de sistemul oscilator insusi, fara a atrage energie din exterior.
Se consideră circuitul oscilator prezentat în figura 2. Este format din: o bobină cu inductanță L, condensator cu capacitate C, un bec (pentru a controla prezenta curentului in circuit), o cheie si o sursa de curent Folosind o cheie condensatorul poate fi conectat fie la o sursa de curent, fie la o bobina. În momentul inițial de timp (condensatorul nu este conectat la o sursă de curent), tensiunea dintre plăcile sale este 0.
Orez. 2. Circuit oscilator
Încărcăm condensatorul prin scurtcircuitarea acestuia la sursă curent continuu.
Când comutați condensatorul pe bobină, lumina se aprinde pentru o perioadă scurtă de timp, adică condensatorul se descarcă rapid.
Orez. 3. Graficul tensiunii dintre plăcile condensatorului în funcție de timp în timpul descărcării
Figura 3 prezintă un grafic al tensiunii dintre plăcile condensatorului în funcție de timp. Acest grafic arată intervalul de timp din momentul în care condensatorul este comutat pe bobină până când tensiunea pe condensator este zero. Se poate observa că tensiunea s-a schimbat periodic, adică au apărut oscilații în circuit.
În consecință, în circuitul oscilator curg oscilații electromagnetice amortizate liber.
În momentul inițial de timp (înainte ca condensatorul să fie închis la bobină), toată energia a fost concentrată în câmpul electric al condensatorului (vezi Fig. 4 a).
Când un condensator este scurtcircuitat la o bobină, acesta va începe să se descarce. Curentul de descărcare al condensatorului, care trece prin spirele bobinei, creează un câmp magnetic. Aceasta înseamnă că există o schimbare a fluxului magnetic din jurul bobinei și apare în ea o fem de auto-inducție, care împiedică descărcarea instantanee a condensatorului, prin urmare, curentul de descărcare crește treptat. Pe măsură ce curentul de descărcare crește, câmpul electric din condensator scade, dar câmpul magnetic al bobinei crește (vezi Fig. 4 b).
În momentul în care câmpul condensatorului dispare (condensatorul este descărcat), câmpul magnetic al bobinei va fi maxim (vezi Fig. 4 c).
În continuare, câmpul magnetic se va slăbi și un curent de autoinducție va apărea în circuit, care va împiedica scăderea camp magnetic Prin urmare, acest curent de auto-inducție va fi direcționat în același mod ca și curentul de descărcare a condensatorului. Acest lucru va face ca condensatorul să se reîncarce. Adică pe coperta unde era un semn plus la început va apărea un minus și invers. Direcția vectorului intensității câmpului electric din condensator se va schimba și în sens opus (vezi Fig. 4 d).
Curentul din circuit se va slăbi din cauza creșterii câmpului electric din condensator și va dispărea complet atunci când câmpul din condensator va atinge valoarea maximă (vezi Fig. 4 d).
Orez. 4. Procese care au loc în timpul unei perioade de oscilație
Când câmpul electric al condensatorului dispare, câmpul magnetic va atinge din nou maximul (vezi Fig. 4g).
Condensatorul va începe să se încarce datorită curentului de inducție. Pe măsură ce încărcarea avansează, curentul se va slăbi și, odată cu acesta, câmpul magnetic (vezi Fig. 4 h).
Când condensatorul este încărcat, curentul din circuit și câmpul magnetic vor dispărea. Sistemul va reveni la starea initiala(Vezi fig. 4 f).
Astfel, am examinat procesele care au loc într-o perioadă de oscilație.
Valoarea energiei concentrate în câmpul electric al condensatorului în momentul inițial de timp se calculează prin formula:
, Unde
Încărcarea condensatorului; C- capacitatea electrică a condensatorului.
După un sfert din perioadă, toată energia câmpului electric al condensatorului este convertită în energia câmpului magnetic al bobinei, care este determinată de formula:
Unde L- inductanța bobinei, eu- puterea curentului.
Pentru un moment arbitrar în timp, suma energiilor câmpului electric al condensatorului și câmpului magnetic al bobinei este o valoare constantă (dacă se neglijează atenuarea):
Conform legii conservării energiei, energia totală a circuitului rămâne constantă, prin urmare, derivata unei valori constante în raport cu timpul va fi egală cu zero:
Calculând derivatele în funcție de timp, obținem:
Să luăm în considerare că valoarea instantanee a curentului este prima derivată a sarcinii în raport cu timpul:
Prin urmare:
Dacă valoarea instantanee a curentului este prima derivată a sarcinii în raport cu timpul, atunci derivata curentului în raport cu timpul va fi derivata a doua a sarcinii în raport cu timpul:
Prin urmare:
Avem ecuație diferențială, a cărei soluție va fi o funcție armonică (sarcina depinde armonic de timp):
Frecvența de oscilație ciclică, care este determinată de valorile capacității electrice a condensatorului și inductanța bobinei:
Prin urmare, oscilațiile sarcinii și, prin urmare, curentul și tensiunea din circuit, vor fi armonice.
Deoarece perioada de oscilație este legată de frecvența ciclică printr-o relație inversă, perioada este egală cu:
Această expresie se numește formula lui Thomson.
Bibliografie
- Myakishev G.Ya. Fizica: manual. pentru clasa a XI-a educatie generala instituţiilor. - M.: Educație, 2010.
- Kasyanov V.A. Fizică. Clasa a XI-a: Educațional. pentru învăţământul general instituţiilor. - M.: Dropia, 2005.
- Gendenstein L.E., Dick Yu.I., Fizica 11. - M.: Mnemosyne
- Lms.licbb.spb.ru ().
- Home-task.com ().
- Sch130.ru ().
- Youtube.com().
Teme pentru acasă
- Cum se numesc oscilațiile electromagnetice?
- Întrebări la sfârșitul paragrafului 28, 30 (2) - Myakishev G.Ya. Fizica 11 (vezi lista de citiri recomandate) ().
- Cum se transformă energia în circuit?
ÎN circuite electrice, ca în sistemele mecanice, cum ar fi o sarcină pe un arc sau pe un pendul, poate apărea vibratii libere.
Vibrații electromagneticese numesc modificări periodice interdependente ale sarcinii, curentului și tensiunii.
Gratuitoscilaţiile sunt cele care apar fără influenţă externă datorită energiei acumulate iniţial.
Forţatse numesc oscilații într-un circuit sub influența unei forțe electromotoare periodice externe
Oscilații electromagnetice libere – acestea sunt modificări periodice repetate ale cantităților electromagnetice (q- incarcare electrica,eu- puterea curentului,U– diferența de potențial) care apare fără consum de energie din surse externe.
Cel mai simplu sistem electric, capabil de vibrații libere, este circuit RLC serial sau circuit oscilator.
circuit oscilator -este un sistem format din condensatoare conectate în serieC, inductoriL si un conductor cu rezistentaR
Luați în considerare un circuit oscilator închis format din inductanța L și containere CU.
Pentru a excita oscilații în acest circuit, este necesar să se imprime o anumită sarcină condensatorului de la sursă ε . Când cheia K este în poziția 1, condensatorul este încărcat la tensiune. După comutarea cheii în poziția 2, începe procesul de descărcare a condensatorului prin rezistor Rși inductor L. În anumite condiții, acest proces poate fi de natură oscilativă.
Oscilațiile electromagnetice libere pot fi observate pe ecranul osciloscopului.
După cum se poate observa din graficul de oscilație obținut pe un osciloscop, oscilațiile electromagnetice libere sunt decolorare, adică amplitudinea lor scade în timp. Acest lucru se întâmplă pentru că parțial energie electrica la rezistenţa activă R este transformată în energie internă. conductor (conductorul se încălzește când trece curentul electric prin el).
Să luăm în considerare modul în care apar oscilațiile într-un circuit oscilator și ce schimbări de energie au loc. Să luăm mai întâi în considerare cazul în care nu există pierderi de energie electromagnetică în circuit ( R = 0).
Dacă încărcați condensatorul la tensiunea U 0, atunci în momentul inițial de timp t 1 = 0, valorile amplitudinii tensiunii U 0 și încărcarea q 0 = CU 0 vor fi stabilite pe plăcile condensatorului.
Energia totală W a sistemului este egală cu energia câmpului electric W el:
Dacă circuitul este închis, curentul începe să curgă. În circuit apare o fem. auto-inducere
Datorită autoinducției în bobină, condensatorul se descarcă nu instantaneu, ci treptat (deoarece, conform regulii lui Lenz, curentul indus rezultat cu câmpul său magnetic contracarează modificarea fluxului magnetic care l-a provocat. Adică, magneticul câmpul curentului indus nu permite fluxului magnetic al curentului să crească instantaneu în circuit). În acest caz, curentul crește treptat, atingând valoarea sa maximă I 0 la momentul t 2 = T/4, iar sarcina condensatorului devine zero.
Pe măsură ce condensatorul se descarcă, energia câmpului electric scade, dar în același timp crește energia câmpului magnetic. Energia totală a circuitului după descărcarea condensatorului este egală cu energia câmpului magnetic W m:
În momentul următor, curentul curge în aceeași direcție, scăzând la zero, ceea ce face ca condensatorul să se reîncarce. Curentul nu se oprește instantaneu după ce condensatorul este descărcat din cauza auto-inducției (acum câmpul magnetic al curentului de inducție împiedică scăderea instantanee a fluxului magnetic al curentului din circuit). În momentul de timp t 3 =T/2, sarcina condensatorului este din nou maximă și egală cu sarcina inițială q = q 0, tensiunea este, de asemenea, egală cu U = U 0 inițial, iar curentul din circuit este zero I = 0.
Apoi condensatorul se descarcă din nou, curentul trece prin inductanță în direcția opusă. După o perioadă de timp T, sistemul revine la starea inițială. Oscilația completă se termină și procesul se repetă.
Graficul modificărilor în sarcină și puterea curentului în timpul oscilațiilor electromagnetice libere din circuit arată că fluctuațiile puterii curentului sunt în urmă cu π/2 în urma fluctuațiilor de sarcină.
În orice moment, energia totală este:
Cu oscilații libere, are loc transformarea periodică a energiei electrice W e, stocat într-un condensator, în energie magnetică W m bobine și invers. Dacă nu există pierderi de energie în circuitul oscilator, atunci energia electromagnetică totală a sistemului rămâne constantă.
Vibrațiile electrice libere sunt similare cu vibrațiile mecanice. Figura prezintă grafice ale modificărilor de sarcină q(t) condensator și polarizare X(t) sarcina din pozitia de echilibru, precum si grafice curente eu(t) și viteza de încărcare υ( t) pentru o perioadă de oscilație.
În absența amortizării, oscilațiile libere într-un circuit electric sunt armonic, adică se produc conform legii
q(t) = q 0 cos(ω t + φ 0)
Opțiuni LȘi C circuitul oscilator este determinat doar de frecvența naturală a oscilațiilor libere și de perioada de oscilație - formula lui Thompson
Amplitudine q 0 și faza inițială φ 0 sunt determinate condiții inițiale, adică modul în care sistemul a fost scos din echilibru.
Pentru fluctuațiile de sarcină, tensiune și curent, se obțin următoarele formule:
Pentru condensator:
q(t) = q 0 cosω 0 t
U(t) = U 0 cosω 0 t
Pentru inductor:
i(t) = eu 0 cos(ω 0 t+ π/2)
U(t) = U 0 cos(ω 0 t + π)
Să ne amintim Principalele caracteristici ale mișcării oscilatorii:
q 0, U 0 , eu 0 - amplitudine– modul cea mai mare valoare magnitudine fluctuantă
T - perioadă– perioada minimă de timp după care procesul se repetă complet
ν - Frecvență– numărul de oscilații pe unitatea de timp
ω - Frecvența ciclică– numărul de oscilații în 2n secunde
φ - faza de oscilatie- o mărime sub semnul cosinus (sinus) și care caracterizează starea sistemului în orice moment.
Oscilațiile electrice înseamnă modificări periodice ale sarcinii, curentului și tensiunii. Cel mai simplu sistem, în care sunt posibile oscilații electrice libere, este așa-numitul circuit oscilator. Acesta este un dispozitiv format dintr-un condensator și o bobină conectate între ele. Vom presupune că nu există rezistență activă a bobinei, caz în care circuitul se numește ideal. Când energie este transmisă acestui sistem, vor avea loc în el oscilații armonice neamortizate ale sarcinii de pe condensator, tensiune și curent.
Puteți da energie circuitului oscilator căi diferite. De exemplu, prin încărcarea unui condensator de la o sursă de curent continuu sau excitarea unui curent într-un inductor. În primul caz, energia este deținută de câmpul electric dintre plăcile condensatorului. În al doilea, energia este conținută în câmpul magnetic al curentului care circulă prin circuit.
§1 Ecuaţia oscilaţiilor într-un circuit
Să demonstrăm că atunci când energie este transmisă circuitului, vor avea loc în el oscilații armonice neamortizate. Pentru a face acest lucru, este necesar să se obțină o ecuație diferențială a vibrațiilor armonice ale formei.
Să presupunem că condensatorul este încărcat și scurtcircuitat la bobină. Condensatorul va începe să se descarce și curentul va curge prin bobină. Conform celei de-a doua legi a lui Kirchhoff, suma căderilor de tensiune de-a lungul unui circuit închis este egală cu suma FEM din acest circuit.
În cazul nostru, căderea de tensiune se datorează faptului că circuitul este ideal. Condensatorul din circuit se comportă ca o sursă de curent; diferența de potențial dintre plăcile condensatorului acționează ca EMF, unde este sarcina condensatorului și este capacitatea electrică a condensatorului. În plus, atunci când un curent în schimbare trece prin bobină, în ea apare o femură auto-inductivă, unde este inductanța bobinei și este rata de schimbare a curentului în bobină. Deoarece f.e.m. de auto-inducție împiedică procesul de descărcare a condensatorului, a doua lege a lui Kirchhoff ia forma
Dar curentul din circuit este curentul de descărcare sau de încărcare al condensatorului, prin urmare. Apoi
Ecuația diferențială este transformată în forma
Prin introducerea notației, obținem binecunoscuta ecuație diferențială a oscilațiilor armonice.
Aceasta înseamnă că sarcina condensatorului din circuitul oscilant se va modifica conform legii armonice
unde este valoarea maximă de încărcare a condensatorului, este frecvența ciclică, este faza inițială a oscilațiilor.
Perioada de oscilație a sarcinii. Această expresie se numește formula Thompson.
Tensiunea condensatorului
Curentul circuitului
Vedem că pe lângă sarcina de pe condensator, conform legii armonice, se vor modifica și curentul din circuit și tensiunea de pe condensator. Tensiunea oscilează în fază cu sarcina, iar puterea curentului conduce sarcina înăuntru
faza pe .
Energia câmpului electric al unui condensator
Energia curentă a câmpului magnetic
Astfel, energiile câmpurilor electrice și magnetice se modifică și ele conform legii armonice, dar cu frecvență dublă.
Rezuma
Oscilațiile electrice trebuie înțelese ca modificări periodice ale sarcinii, tensiunii, curentului, energiei câmpului electric și energiei câmpului magnetic. Aceste vibrații, ca și cele mecanice, pot fi fie libere, fie forțate, armonice și nearmonice. Oscilațiile electrice armonice libere sunt posibile într-un circuit oscilator ideal.
§2 Procese care au loc într-un circuit oscilator
Am demonstrat matematic existența oscilațiilor armonice libere într-un circuit oscilator. Cu toate acestea, rămâne neclar de ce este posibil un astfel de proces. Ce cauzează oscilațiile în circuit?
În cazul vibrațiilor mecanice libere, s-a găsit un astfel de motiv - aceasta este forța internă care apare atunci când sistemul este scos din poziția de echilibru. Această forță în orice moment este îndreptată spre poziția de echilibru și este proporțională cu coordonatele corpului (cu semnul minus). Să încercăm să găsim un motiv similar pentru apariția oscilațiilor în circuitul oscilator.
Lăsați oscilațiile din circuit să se excite prin încărcarea condensatorului și scurtcircuitarea acestuia la bobină.
În momentul inițial de timp, încărcarea condensatorului este maximă. În consecință, tensiunea și energia câmpului electric al condensatorului sunt și ele maxime.
Nu există curent în circuit, energia câmpului magnetic al curentului este zero.
Primul trimestru al perioadei– descărcarea condensatorului.
Plăcile condensatorului, având potențiale diferite, sunt conectate printr-un conductor, astfel încât condensatorul începe să se descarce prin bobină. Sarcina, tensiunea pe condensator și energia câmpului electric scad.
Curentul care apare în circuit crește, cu toate acestea, creșterea lui este împiedicată de f.e.m. de auto-inducție care apare în bobină. Energia câmpului magnetic al curentului crește.
A trecut un sfert din perioada- condensatorul este descărcat.
Condensatorul a fost descărcat, tensiunea de pe el a devenit egală cu zero. Energia câmpului electric în acest moment este, de asemenea, zero. Conform legii conservării energiei, aceasta nu putea dispărea. Energia câmpului condensatorului este complet convertită în energia câmpului magnetic al bobinei, care în acest moment atinge valoarea sa maximă. Curentul maxim în circuit.
S-ar părea că în acest moment curentul din circuit ar trebui să se oprească, deoarece cauza curentului – câmpul electric – a dispărut. Cu toate acestea, dispariția curentului este din nou împiedicată de fem-ul de auto-inducție în bobină. Acum va suporta curentul în scădere și va continua să curgă în aceeași direcție, încărcând condensatorul. Începe al doilea trimestru al perioadei.
Al doilea trimestru al perioadei – reincarcarea condensatorului.
Curentul, susținut de fem-ul de auto-inducție, continuă să curgă în aceeași direcție, scăzând treptat. Acest curent încarcă condensatorul în polaritate opusă. Sarcina și tensiunea de pe condensator cresc.
Energia câmpului magnetic al curentului, în scădere, se transformă în energia câmpului electric al condensatorului.
Al doilea trimestru al perioadei a trecut - condensatorul s-a reîncărcat.
Condensatorul se reîncarcă atâta timp cât există curent. Prin urmare, în momentul în care curentul se oprește, sarcina și tensiunea de pe condensator capătă valoarea maximă.
Energia câmpului magnetic în acest moment a fost complet convertită în energia câmpului electric al condensatorului.
Situația din circuit în acest moment este echivalentă cu cea inițială. Procesele din circuit se vor repeta, dar în sens invers. O oscilație completă a circuitului, care durează o perioadă, se va termina atunci când sistemul revine la starea inițială, adică atunci când condensatorul este reîncărcat în polaritatea sa inițială.
Este ușor de observat că cauza oscilațiilor în circuit este fenomenul de autoinducție. EMF de auto-inducție împiedică schimbarea curentului: îl împiedică să crească instantaneu și să dispară instantaneu.
Apropo, nu ar fi greșit să comparăm expresiile pentru calcularea forței cvasi-elastice într-un sistem oscilator mecanic și f.e.m. de auto-inducție în circuit:
Anterior, s-au obținut ecuații diferențiale pentru sisteme oscilatorii mecanice și electrice:
În ciuda diferențelor fundamentale în procesele fizice ale sistemelor oscilatoare mecanice și electrice, identitatea matematică a ecuațiilor care descriu procesele din aceste sisteme este clar vizibilă. Ar trebui să vorbim despre asta mai detaliat.
§3 Analogie între electrice şi vibratii mecanice
O analiză atentă a ecuațiilor diferențiale pentru un pendul cu arc și un circuit oscilator, precum și a formulelor care conectează cantitățile care caracterizează procesele din aceste sisteme, ne permite să identificăm ce mărimi se comportă la fel (Tabelul 2).
| Pendul de primăvară | Circuit oscilator |
| Coordonatele corpului () | Încărcare pe condensator () |
| Viteza corpului | Puterea curentului în circuit |
| Energia potențială a unui arc deformat elastic | Energia câmpului electric al unui condensator |
| Energia cinetică a încărcăturii | Energia câmpului magnetic al unei bobine de curent |
| Reciprocul rigidității arcului | Capacitatea condensatorului |
| Greutatea încărcăturii | Inductanța bobinei |
| Forță elastică | FEM de auto-inducție egală cu tensiunea pe condensator |
masa 2
Ceea ce este important nu este doar asemănarea formală dintre mărimile care descriu procesele de oscilație a pendulului și procesele din circuit. Procesele în sine sunt identice!
Pozițiile extreme ale pendulului sunt echivalente cu starea circuitului când sarcina pe condensator este maximă.
Poziția de echilibru a pendulului este echivalentă cu starea circuitului când condensatorul este descărcat. În acest moment, forța elastică devine zero și nu există tensiune pe condensatorul din circuit. Viteza pendulului și curentul din circuit sunt maxime. Energia potențială de deformare elastică a arcului și energia câmpului electric al condensatorului sunt egale cu zero. Energia sistemului constă din energia cinetică a sarcinii sau energia câmpului magnetic al curentului.
Descărcarea unui condensator se desfășoară în mod similar cu mișcarea unui pendul de la poziția sa extremă la poziția sa de echilibru. Procesul de reîncărcare a condensatorului este identic cu procesul de îndepărtare a sarcinii din poziția de echilibru în poziția extremă.
Energia totală a unui sistem oscilator sau rămâne neschimbată în timp.
O analogie similară poate fi urmărită nu numai între un pendul cu arc și un circuit oscilator. Legile universale ale vibrațiilor libere de orice natură! Aceste modele, ilustrate prin exemplul a două sisteme oscilatoare (un pendul cu arc și un circuit oscilator), sunt nu numai posibile, dar trebuie sa vezi în oscilaţiile oricărui sistem.
În principiu, este posibil să se rezolve problema oricărui proces oscilator prin înlocuirea acestuia cu oscilații pendulului. Pentru a face acest lucru, este suficient să construiți în mod competent un sistem mecanic echivalent, să rezolvați o problemă mecanică și să înlocuiți cantitățile în rezultatul final. De exemplu, trebuie să găsiți perioada de oscilație într-un circuit care conține un condensator și două bobine conectate în paralel.
Circuitul oscilant conține un condensator și două bobine. Deoarece bobina se comportă ca greutatea unui pendul cu arc, iar condensatorul ca un arc, sistemul mecanic echivalent trebuie să conțină un arc și două greutăți. Problema este modul în care greutățile sunt atașate la arc. Sunt posibile două cazuri: un capăt al arcului este fix și o greutate este atașată la capătul liber, al doilea este pe primul sau greutățile sunt atașate la diferite capete ale arcului.
La conexiune paralelă bobinele cu inductanță diferită au curenți diferiți care circulă prin ele. În consecință, vitezele sarcinilor într-un sistem mecanic identic trebuie să fie și ele diferite. Evident, acest lucru este posibil doar în al doilea caz.
Am găsit deja perioada acestui sistem oscilator. Este egal. Înlocuind masele sarcinilor cu inductanța bobinelor, iar inversul rigidității arcului cu capacitatea condensatorului, obținem.
§4 Circuit oscilant cu sursa de curent continuu
Luați în considerare un circuit oscilator care conține o sursă de curent continuu. Lăsați condensatorul să fie inițial neîncărcat. Ce se va întâmpla în sistem după ce cheia K este închisă? Se vor observa oscilații în acest caz și care este frecvența și amplitudinea lor?
Evident, după închiderea cheii, condensatorul va începe să se încarce. Scriem a doua lege a lui Kirchhoff:
Prin urmare, curentul din circuit este curentul de încărcare al condensatorului. Apoi . Ecuația diferențială este transformată în forma
*Rezolvăm ecuația prin schimbarea variabilelor.
Să notăm. Diferențiem de două ori și, ținând cont de faptul că , obținem . Ecuația diferențială ia forma
Aceasta este o ecuație diferențială a oscilațiilor armonice, soluția sa este funcția
unde este frecvența ciclică, constantele de integrare și se găsesc din condițiile inițiale.
Sarcina condensatorului se modifică conform legii
Imediat după ce cheia este închisă, sarcina condensatorului este zero și nu există curent în circuit. Ținând cont de condițiile inițiale, obținem un sistem de ecuații:
Rezolvând sistemul, obținem și . După ce cheia este închisă, încărcarea condensatorului se modifică conform legii.
Este ușor de observat că în circuit apar oscilații armonice. Prezența unei surse de curent continuu în circuit nu a afectat frecvența de oscilație, aceasta a rămas egală. „Poziția de echilibru” s-a schimbat - în momentul în care curentul din circuit este maxim, condensatorul este încărcat. Amplitudinea oscilațiilor de sarcină pe condensator este egală cu Cε.
Același rezultat poate fi obținut mai simplu prin utilizarea unei analogii între oscilațiile dintr-un circuit și oscilațiile unui pendul cu arc. O sursă de curent continuu este echivalentă cu un câmp de forță constant în care este plasat un pendul cu arc, de exemplu, un câmp gravitațional. Absența sarcinii pe condensator în momentul în care circuitul este închis este identică cu absența deformării arcului în momentul în care pendulul este adus în mișcare oscilatorie.
Într-un câmp de forță constant, perioada de oscilație a pendulului cu arc nu se modifică. Perioada de oscilație în circuit se comportă în același mod - rămâne neschimbată atunci când o sursă de curent continuu este introdusă în circuit.
În poziția de echilibru, când viteza sarcinii este maximă, arcul este deformat:
Când curentul din circuitul oscilator este maxim. A doua lege a lui Kirchhoff va fi scrisă după cum urmează
În acest moment, sarcina condensatorului este egală cu Același rezultat ar putea fi obținut pe baza expresiei (*) prin înlocuirea
§5 Exemple de rezolvare a problemelor
Problema 1 Legea conservării energiei
L= 0,5 µH și un condensator cu o capacitate CU= apar oscilații electrice de 20 pF. Care este tensiunea maximă pe condensator dacă amplitudinea curentului în circuit este de 1 mA? Rezistența activă a bobinei este neglijabilă.
Soluţie:
2 În momentul în care tensiunea pe condensator este maximă (încărcare maximă pe condensator), nu există curent în circuit. Energia totală a sistemului constă numai din energia câmpului electric al condensatorului
3 În momentul în care curentul din circuit este maxim, condensatorul este complet descărcat. Energia totală a sistemului constă numai din energia câmpului magnetic al bobinei
4 Pe baza expresiilor (1), (2), (3) obținem egalitatea . Tensiunea maximă pe condensator este
Problema 2 Legea conservării energiei
Într-un circuit oscilant format dintr-o bobină inductivă Lși un condensator cu o capacitate CU, oscilaţiile electrice apar cu o perioadă T = 1 μs. Valoarea maximă de încărcare. Care este curentul în circuit în momentul în care sarcina condensatorului este egală cu? Rezistența activă a bobinei este neglijabilă.
Soluţie:
1 Deoarece rezistența activă a bobinei poate fi neglijată, energia totală a sistemului, constând din energia câmpului electric al condensatorului și energia câmpului magnetic al bobinei, rămâne neschimbată în timp:
2 În momentul în care încărcarea condensatorului este maximă, nu există curent în circuit. Energia totală a sistemului constă numai din energia câmpului electric al condensatorului
3 Pe baza (1) și (2), obținem egalitatea . Curentul din circuit este egal cu .
4 Perioada de oscilație în circuit este determinată de formula lui Thomson. De aici. Apoi pentru curentul din circuit obținem
Problema 3 Circuit oscilator cu doi condensatori conectați în paralel
Într-un circuit oscilant format dintr-o bobină inductivă Lși un condensator cu o capacitate CU, apar oscilații electrice cu amplitudinea sarcinii . În momentul în care încărcarea condensatorului este maximă, întrerupătorul K este închis. Care va fi perioada de oscilație în circuit după închiderea cheii? Care este amplitudinea curentului în circuit după ce întrerupătorul este închis? Neglijați rezistența ohmică a circuitului.
Soluţie:
1 Închiderea cheii duce la apariția unui alt condensator în circuit, conectat în paralel cu primul. Capacitatea totală a două condensatoare conectate în paralel este egală cu .
Perioada de oscilații în circuit depinde numai de parametrii săi și nu depinde de modul în care au fost excitate oscilațiile în sistem și de ce energie a fost transmisă sistemului pentru aceasta. Conform formulei lui Thomson.
2 Pentru a găsi amplitudinea curentului, să aflăm ce procese au loc în circuit după ce comutatorul este închis.
Al doilea condensator a fost conectat în momentul în care încărcarea primului condensator era maximă, prin urmare, nu exista curent în circuit.
Condensatorul de buclă ar trebui să înceapă să se descarce. Curentul de descărcare, care a ajuns la nod, ar trebui împărțit în două părți. Cu toate acestea, în ramura cu bobina, apare un EMF de auto-inducție, care împiedică creșterea curentului de descărcare. Din acest motiv, întregul curent de descărcare va curge în ramura cu condensatorul, a cărui rezistență ohmică este zero. Curentul se va opri de îndată ce tensiunile de pe condensatoare sunt egale, iar sarcina inițială a condensatorului va fi redistribuită între cei doi condensatori. Timpul de redistribuire a sarcinii între doi condensatori este neglijabil din cauza absenței rezistenței ohmice în ramurile cu condensatoare. În acest timp, curentul din ramura cu bobina nu va avea timp să apară. Fluctuații în sistem nou va continua după redistribuirea sarcinii între condensatori.
Este important să înțelegeți că în procesul de redistribuire a sarcinii între doi condensatori, energia sistemului nu este conservată! Înainte ca cheia să fie închisă, un condensator, unul de circuit, avea energie:
După redistribuirea sarcinii, banca de condensatoare are energie:
Este ușor de observat că energia sistemului a scăzut!
3 Găsim noua amplitudine a curentului folosind legea conservării energiei. În timpul procesului de oscilație, energia băncii de condensatoare este convertită în energia câmpului magnetic al curentului:
Vă rugăm să rețineți că legea conservării energiei începe să „funcționeze” numai după ce redistribuirea sarcinii între condensatoare este finalizată.
Problema 4 Circuit oscilator cu doi condensatori conectați în serie
Circuitul oscilator constă dintr-o bobină de inductanță L și două condensatoare C și 4C conectate în serie. Un condensator de capacitate C este încărcat la tensiune, un condensator de capacitate 4C nu este încărcat. După ce cheia este închisă, în circuit încep oscilațiile. Care este perioada acestor oscilații? Determinați amplitudinea curentului, valorile maxime și minime ale tensiunii pe fiecare condensator.
Soluţie:
1 În momentul în care curentul din circuit este maxim, nu există f.em. auto-inductivă în bobină. Scriem a doua lege a lui Kirchhoff pentru acest moment
Vedem că în momentul în care curentul din circuit este maxim, condensatorii sunt încărcați la aceeași tensiune, dar în polaritate opusă:
2 Înainte de închiderea comutatorului, energia totală a sistemului consta numai din energia câmpului electric al condensatorului C:
În momentul în care curentul din circuit este maxim, energia sistemului este suma energiei câmpului magnetic al curentului și a energiei a doi condensatoare încărcate la aceeași tensiune:
Conform legii conservării energiei
Pentru a găsi tensiunea pe condensatoare, vom folosi legea conservării sarcinii - sarcina plăcii inferioare a condensatorului C este parțial transferată pe placa superioară a condensatorului 4C:
Înlocuim valoarea tensiunii găsite în legea conservării energiei și găsim amplitudinea curentului în circuit:
3 Să găsim limitele în care tensiunea de pe condensatoare se modifică în timpul oscilațiilor.
Este clar că în momentul în care circuitul a fost închis, a existat o tensiune maximă pe condensatorul C. Prin urmare, condensatorul 4C nu a fost încărcat.
După ce cheia este închisă, condensatorul C începe să se descarce, iar condensatorul cu capacitatea 4C începe să se încarce. Procesul de descărcare a primului și de încărcare a celui de-al doilea condensator se termină imediat ce curentul din circuit se oprește. Acest lucru se va întâmpla după jumătate de perioadă. Conform legilor conservării energiei şi incarcare electrica:
Rezolvând sistemul, găsim:
Semnul minus înseamnă că după o jumătate de ciclu condensatorul C este încărcat în polaritate opusă celui original.
Problema 5 Circuit oscilator cu două bobine conectate în serie
Circuitul oscilator constă dintr-un condensator cu capacitatea C și două bobine de inductanță L 1Și L 2. În momentul în care curentul din circuit a atins valoarea maximă, un miez de fier este introdus rapid în prima bobină (față de perioada de oscilație), ceea ce duce la creșterea inductanței sale de μ ori. Care este amplitudinea tensiunii în timpul oscilațiilor ulterioare din circuit?
Soluţie:
1 Când miezul este introdus rapid în bobină, fluxul magnetic trebuie menținut (fenomenul de inducție electromagnetică). Prin urmare, o schimbare rapidă a inductanței uneia dintre bobine va duce la schimbare rapidă curent în circuit.
2 În timpul introducerii miezului în bobină, încărcarea condensatorului nu a avut timp să se schimbe; a rămas neîncărcat (miezul a fost introdus în momentul în care curentul din circuit era maxim). După un sfert din perioadă, energia câmpului magnetic al curentului se va transforma în energia unui condensator încărcat:
Inlocuim valoarea curenta in expresia rezultata euși găsiți amplitudinea tensiunii pe condensator:
Problema 6 Circuit oscilator cu două bobine conectate în paralel
Inductoarele L 1 și L 2 sunt conectate prin întrerupătoarele K1 și K2 la un condensator cu capacitatea C. În momentul inițial, ambele întrerupătoare sunt deschise, iar condensatorul este încărcat la o diferență de potențial. În primul rând, comutatorul K1 este închis și, când tensiunea de pe condensator devine zero, K2 este închis. Determinați tensiunea maximă pe condensator după închiderea K2. Neglijați rezistențele bobinei.
Soluţie:
1 Când comutatorul K2 este deschis, au loc oscilații în circuitul format dintr-un condensator și prima bobină. Până la închiderea K2, energia condensatorului s-a transferat în energia câmpului magnetic al curentului din prima bobină:
2 După închiderea K2, există două bobine conectate în paralel în circuitul oscilant.
Curentul din prima bobină nu se poate opri din cauza fenomenului de autoinducție. La nod este împărțit: o parte a curentului merge la a doua bobină, iar cealaltă încarcă condensatorul.
3 Tensiunea pe condensator va fi maximă atunci când curentul se oprește eu, condensator de încărcare. Evident, în acest moment curenții din bobine vor fi egali.
:Pendulul se mișcă translațional cu viteza centrului de masă și oscilează în raport cu centrul de masă.
Forta elastica este maxima in momentul deformarii maxime a arcului. Evident, în acest moment viteza relativă a sarcinilor devine zero, iar față de tabel greutățile se mișcă cu viteza centrului de masă. Scriem legea conservării energiei:
Rezolvând sistemul, găsim
Facem un înlocuitor
și obținem valoarea găsită anterior pentru tensiunea maximă
§6 Sarcini pentru decizie independentă
Exerciţiul 1 Calculul perioadei şi frecvenţei oscilaţiilor naturale
1 Circuitul oscilator include o bobină de inductanță variabilă care variază în interior L 1= 0,5 uH la L 2= 10 µH și un condensator a cărui capacitate poate varia de la C 1= 10 pF la
C 2=500 pF. Ce interval de frecvență poate fi acoperit prin reglarea acestui circuit?
2 De câte ori se va schimba frecvența oscilațiilor naturale în circuit dacă inductanța acestuia este crescută de 10 ori și capacitatea sa este redusă de 2,5 ori?
3 Un circuit oscilant cu un condensator de 1 µF este reglat la o frecvență de 400 Hz. Dacă conectați un al doilea condensator în paralel cu acesta, atunci frecvența de oscilație în circuit devine egală cu 200 Hz. Determinați capacitatea celui de-al doilea condensator.
4 Circuitul oscilant este format dintr-o bobină și un condensator. De câte ori se va schimba frecvența oscilațiilor naturale în circuit dacă un al doilea condensator este conectat în serie la circuit, a cărui capacitate este de 3 ori capacitate mai mică primul?
5 Determinați perioada de oscilație a circuitului, care include o bobină (fără miez) de lungime V= 50 cm m aria secțiunii transversale
S= 3 cm 2, având N= 1000 de spire și capacitatea condensatorului CU= 0,5 uF.
6 Circuitul oscilator include un inductor L= 1,0 µH și un condensator de aer a cărui suprafață a plăcii S= 100 cm 2. Circuitul este reglat la o frecvență de 30 MHz. Determinați distanța dintre plăci. Rezistența activă a circuitului este neglijabilă.
Dispozitivul principal care determină frecvența de funcționare a oricărui generator curent alternativ, este un circuit oscilator. Circuitul oscilator (Fig. 1) este format dintr-o bobină inductanţă L(luați în considerare cazul ideal când bobina nu are rezistență ohmică) și un condensator C si se numeste inchis. Caracteristica unei bobine este inductanța, este desemnată Lși măsurat în Henry (H), condensatorul este caracterizat de capacitate C, care se măsoară în faradi (F).
Fie ca în momentul inițial de timp condensatorul să fie încărcat în așa fel (Fig. 1) încât pe una dintre plăcile sale să existe o încărcare + Q 0, iar pe de altă parte - taxă - Q 0 . În acest caz, între plăcile condensatorului se formează un câmp electric cu energie
unde este tensiunea de amplitudine (maximă) sau diferența de potențial peste plăcile condensatorului.
După închiderea circuitului, condensatorul începe să se descarce și trece prin circuit electricitate(Fig. 2), a cărui valoare crește de la zero la valoarea maximă. Întrucât în circuit curge un curent de magnitudine variabilă, în bobină este indusă o f.e.m. auto-inductivă, care împiedică descărcarea condensatorului. Prin urmare, procesul de descărcare a condensatorului nu are loc instantaneu, ci treptat. În fiecare moment de timp, diferența de potențial între plăcile condensatorului
(unde este încărcarea condensatorului acest moment timp) este egal cu diferența de potențial pe bobină, adică egală cu fem-ul de auto-inducție
| Fig.1 | Fig.2 |
Când condensatorul este complet descărcat și , curentul din bobină va atinge valoarea maximă (Fig. 3). Inducerea câmpului magnetic al bobinei în acest moment este de asemenea maximă, iar energia câmpului magnetic va fi egală cu
Apoi curentul începe să scadă, iar sarcina se va acumula pe plăcile condensatorului (Fig. 4). Când curentul scade la zero, sarcina condensatorului atinge valoarea maximă Q 0, dar placa, încărcată anterior pozitiv, va fi acum încărcată negativ (Fig. 5). Apoi condensatorul începe să se descarce din nou, iar curentul din circuit curge în direcția opusă.
Deci procesul de încărcare care curge de la o placă de condensator la alta prin inductor se repetă din nou și din nou. Se spune că în circuit există vibratii electromagnetice. Acest proces este asociat nu numai cu fluctuațiile cantității de încărcare și tensiune pe condensator, cu puterea curentului în bobină, ci și cu transferul de energie din câmpul electric în câmpul magnetic și invers.
| Fig.3 | Fig.4 |
Reîncărcarea condensatorului la tensiunea maximă va avea loc numai dacă nu există pierderi de energie în circuitul oscilant. Un astfel de contur se numește ideal.
În circuitele reale apar următoarele pierderi de energie:
1) pierderi de căldură, deoarece R ¹ 0;
2) pierderi în dielectricul condensatorului;
3) pierderi de histerezis în miezul bobinei;
4) pierderi de radiații etc. Dacă neglijăm aceste pierderi de energie, atunci putem scrie că, i.e.
Se numesc oscilații care apar într-un circuit oscilator ideal în care această condiție este îndeplinită gratuit, sau proprii, vibrațiile circuitului.
În acest caz, tensiunea U(și încărcați Q) asupra modificărilor condensatorului conform legii armonice:
unde n este frecvența naturală a circuitului oscilator, w 0 = 2pn este frecvența naturală (circulară) a circuitului oscilator. Frecvența oscilațiilor electromagnetice din circuit este definită ca
Perioada T- se determină timpul în care are loc o oscilație completă a tensiunii pe condensator și a curentului din circuit formula lui Thomson
Puterea curentului din circuit se modifică, de asemenea, conform legii armonice, dar rămâne în urmă față de tensiunea în fază cu . Prin urmare, dependența de timp a intensității curentului din circuit va avea forma
Figura 6 prezintă grafice ale schimbărilor de tensiune U pe condensator și curent euîn bobină pentru un circuit oscilant ideal.
Într-un circuit real, energia va scădea cu fiecare oscilație. Amplitudinile tensiunii de pe condensator și curentul din circuit vor scădea; astfel de oscilații se numesc amortizate. Ele nu pot fi folosite în oscilatoarele master, deoarece Dispozitivul va funcționa cel mai bine în modul puls.
| Fig.5 | Fig.6 |
Pentru a obține oscilații neamortizate, este necesar să se compenseze pierderile de energie la o mare varietate de frecvențe de funcționare ale dispozitivelor, inclusiv cele utilizate în medicină.
