2.3. Conversia numerelor dintr-un sistem numeric în altul

2.3.1. Conversia numerelor întregi dintr-un sistem numeric în altul

Este posibil să se formuleze un algoritm pentru conversia numerelor întregi dintr-un sistem radix p într-un sistem cu o bază q :

1. Baza sistem nou exprimați numere folosind numerele din sistemul de numere original și efectuați toate acțiunile ulterioare în sistemul de numere original.

2. Împărțiți în mod consecvent numărul dat și coeficientii întregi rezultați la baza noului sistem de numere până când obținem un cât mai mic decât divizorul.

3. Resturile rezultate, care sunt cifre ale numărului în noul sistem de numere, sunt aduse în conformitate cu alfabetul noului sistem de numere.

4. Compuneți un număr în noul sistem numeric, notându-l pornind de la ultimul rest.

Exemplul 2.12. Convertiți numărul zecimal 173 10 în sistem de numere octale:

Se obține: 173 10 = 255 8

Exemplul 2.13. Convertiți numărul zecimal 173 10 în sistem numeric hexazecimal:

Se obține: 173 10 =AD 16.

Exemplul 2.14. Convertiți numărul zecimal 11 10 în sistem binar Socoteala. Este mai convenabil să descriem secvența acțiunilor discutate mai sus (algoritm de traducere) după cum urmează:

Se obține: 11 10 =1011 2.

Exemplul 2.15. Uneori este mai convenabil să scrieți algoritmul de traducere sub formă de tabel. Să convertim numărul zecimal 363 10 într-un număr binar.


Divizor

Se obține: 363 10 =101101011 2

2.3.2. Conversia numerelor fracționale dintr-un sistem numeric în altul

Este posibil să se formuleze un algoritm pentru conversia unei fracții adecvate cu o bază p într-o fracție cu o bază q:

1. Exprimați baza noului sistem de numere cu numere din sistemul de numere original și efectuați toate acțiunile ulterioare în sistemul de numere original.

2. Înmulțiți în mod constant numerele date și părțile fracționale rezultate ale produselor cu baza noului sistem până când partea fracțională a produsului devine egală cu zero sau se obține acuratețea necesară a reprezentării numerelor.

3. Părțile întregi rezultate ale produselor, care sunt cifre ale numărului din noul sistem de numere, ar trebui aduse în conformitate cu alfabetul noului sistem de numere.

4. Compuneți partea fracționară a unui număr în noul sistem de numere, pornind de la partea întreagă a primului produs.

Exemplul 2.17. Convertiți numărul 0,65625 10 în sistemul de numere octale.

Se obține: 0,65625 10 =0,52 8

Exemplul 2.17. Convertiți numărul 0,65625 10 în sistem numeric hexazecimal.


	X 16

Se obține: 0,65625 10 =0,A8 1

Exemplul 2.18. Convertiți fracția zecimală 0,5625 10 în sistemul numeric binar.

	X 2
	X 2
	X 2
	X 2

Se obține: 0,5625 10 =0,1001 2

Exemplul 2.19. Convertiți fracția zecimală 0,7 10 în sistemul numeric binar.

Evident, acest proces poate continua la nesfârșit, dând tot mai multe semne noi în imaginea echivalentului binar al numărului 0,7 10. Deci, în patru pași obținem numărul 0,1011 2, iar în șapte pași numărul 0,1011001 2, care este o reprezentare mai exactă a numărului 0,7 10 în binar sistemul de numere și etc. Un astfel de proces nesfârșit se încheie la un anumit pas, când se consideră că a fost obținută acuratețea necesară reprezentării numerelor.

2.3.3. Traducerea numerelor arbitrare

Traducerea numerelor arbitrare, de ex. numerele care conțin un număr întreg și o parte fracționară sunt efectuate în două etape. Partea întregă este translată separat, iar partea fracțională separat. În înregistrarea finală a numărului rezultat, partea întreagă este separată de partea fracțională printr-o virgulă (punct).

Exemplul 2.20. Convertiți numărul 17,25 10 în sistemul numeric binar.

Se obține: 17,25 10 =1001,01 2

Exemplul 2.21. Convertiți numărul 124,25 10 în sistem octal.

Se obține: 124,25 10 =174,2 8

2.3.4. Conversia numerelor din baza 2 în baza 2 n și invers

Traducerea numerelor întregi. Dacă baza sistemului numeric q-ary este o putere de 2, atunci conversia numerelor din sistemul numeric q-ary în sistemul numeric 2-ary și înapoi poate fi efectuată folosind mai multe reguli simple. Pentru a scrie un număr binar întreg în sistemul numeric cu baza q=2 n, aveți nevoie de:

1. Împărțiți numărul binar de la dreapta la stânga în grupuri de n cifre fiecare.

2. Dacă ultimul grup din stânga are mai puțin de n cifre, atunci acesta trebuie completat în stânga cu zerouri până la numărul necesar de cifre.

Exemplul 2.22. Numărul 101100001000110010 2 va fi convertit în sistemul de numere octale.

Împărțim numărul de la dreapta la stânga în triade și sub fiecare dintre ele scriem cifra octală corespunzătoare:

Obținem reprezentarea octală a numărului original: 541062 8 .

Exemplul 2.23. Numărul 1000000000111110000111 2 va fi convertit în sistemul numeric hexazecimal.

Împărțim numărul de la dreapta la stânga în tetrade și sub fiecare dintre ele scriem cifra hexazecimală corespunzătoare:

Obținem reprezentarea hexazecimală a numărului original: 200F87 16.

Conversia numerelor fracționale. Pentru a scrie un număr binar fracționar într-un sistem numeric cu baza q=2 n, aveți nevoie de:

1. Împărțiți numărul binar de la stânga la dreapta în grupuri de n cifre fiecare.

2. Dacă ultimul grup din dreapta are mai puțin de n cifre, atunci acesta trebuie completat în dreapta cu zerouri la numărul necesar de cifre.

3. Considerați fiecare grup ca un număr binar de n biți și scrieți-l cu cifra corespunzătoare în sistemul numeric cu baza q=2 n.

Exemplul 2.24. Numărul 0,10110001 2 va fi convertit în sistemul de numere octale.

Împărțim numărul de la stânga la dreapta în triade și sub fiecare dintre ele scriem cifra octală corespunzătoare:

Obținem reprezentarea octală a numărului original: 0,542 8 .

Exemplul 2.25. Numărul 0,100000000011 2 va fi convertit în sistemul numeric hexazecimal. Împărțim numărul de la stânga la dreapta în tetrade și sub fiecare dintre ele scriem cifra hexazecimală corespunzătoare:

Obținem reprezentarea hexazecimală a numărului original: 0,803 16

Traducerea numerelor arbitrare. Pentru a scrie un număr binar arbitrar în sistemul numeric cu baza q=2 n, aveți nevoie de:

1. Împărțiți partea întreagă a unui număr binar dat de la dreapta la stânga și partea fracțională de la stânga la dreapta în grupuri de n cifre fiecare.

2. Dacă ultimele grupuri din stânga și/sau din dreapta au mai puțin de n cifre, atunci acestea trebuie completate în stânga și/sau în dreapta cu zerouri la numărul necesar de cifre;

3. Considerați fiecare grup ca un număr binar de n biți și scrieți-l cu cifra corespunzătoare în sistemul numeric cu baza q = 2 n

Exemplul 2.26. Să convertim numărul 111100101.0111 2 în sistemul de numere octale.

Împărțim părțile întregi și fracționale ale numărului în triade și sub fiecare dintre ele scriem cifra octală corespunzătoare:

Obținem reprezentarea octală a numărului original: 745,34 8 .

Exemplul 2.27. Numărul 11101001000,11010010 2 va fi convertit în sistemul numeric hexazecimal.

Împărțim părțile întregi și fracționale ale numărului în caiete și sub fiecare dintre ele scriem cifra hexazecimală corespunzătoare:

Obținem reprezentarea hexazecimală a numărului original: 748,D2 16.

Conversia numerelor din sisteme numerice cu baza q=2n la binar. Pentru a converti un număr arbitrar scris în sistemul numeric cu baza q=2 n în sistemul numeric binar, trebuie să înlocuiți fiecare cifră a acestui număr cu echivalentul său de n cifre în sistemul numeric binar.

Exemplul 2.28.Să convertim numărul hexazecimal 4AC35 16 în sistemul numeric binar.

Conform algoritmului:

Primim: 1001010110000110101 2 .

Sarcini pentru finalizare independentă (Răspunsuri)

2.38. Completați tabelul, în fiecare rând în care același număr întreg trebuie scris în sisteme numerice diferite.

Binar	Octal	Zecimal	hexazecimal

2.39. Completați tabelul, în fiecare rând în care același număr fracționar trebuie să fie scris în sisteme numerice diferite.

Binar	Octal	Zecimal	hexazecimal

2.40. Completați tabelul, în fiecare rând în care același număr arbitrar (numărul poate conține atât un număr întreg, cât și o parte fracțională) trebuie scris în sisteme numerice diferite.

Binar	Octal	Zecimal	hexazecimal



			59.B

Rezultatul a fost deja primit!

Sisteme numerice

Există sisteme numerice poziționale și nepoziționale. Sistemul de numere arabe pe care îl folosim Viata de zi cu zi, este pozițional, dar Roman nu este. ÎN sisteme poziționaleÎn notație, poziția unui număr determină în mod unic dimensiunea numărului. Să luăm în considerare acest lucru folosind exemplul numărului 6372 din sistemul numeric zecimal. Să numerotăm acest număr de la dreapta la stânga începând de la zero:

Apoi, numărul 6372 poate fi reprezentat astfel:

6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .

Numărul 10 determină sistemul numeric (în acest caz este 10). Valorile poziției unui număr dat sunt luate ca puteri.

Luați în considerare numărul zecimal real 1287,923. Să-l numerotăm începând de la zero, poziția numărului de la virgulă zecimală la stânga și la dreapta:

Atunci numărul 1287.923 poate fi reprezentat ca:

1287,923 =1000+200+80 +7+0,9+0,02+0,003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3· 10 -3.

În general, formula poate fi reprezentată după cum urmează:

C n s n +C n-1 · s n-1 +...+C 1 · s 1 +C 0 ·s 0 +D -1 ·s -1 +D -2 ·s -2 +...+D -k ·s -k

unde C n este un număr întreg în poziție n, D -k - număr fracționar în poziția (-k), s- sistemul de numere.

Câteva cuvinte despre sistemele numerice.Un număr în sistemul numeric zecimal este format din mai multe cifre (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), în sistemul numeric octal este format din mai multe cifre (0,1, 2,3,4,5,6,7), în sistemul numeric binar - dintr-un set de cifre (0,1), în sistemul numeric hexazecimal - dintr-un set de cifre (0,1 ,2,3,4,5,6, 7,8,9,A,B,C,D,E,F), unde A,B,C,D,E,F corespund numerelor 10,11, 12,13,14,15.În tabelul Tab.1 sunt prezentate numerele în sisteme diferite Socoteala.

tabelul 1
Notaţie
10	2	8	16
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

Conversia numerelor dintr-un sistem numeric în altul

Pentru a converti numerele dintr-un sistem numeric în altul, cel mai simplu mod este să convertiți mai întâi numărul în sistemul numeric zecimal și apoi, din sistem zecimal converti numerele în sistemul numeric necesar.

Conversia numerelor din orice sistem numeric în sistemul numeric zecimal

Folosind formula (1), puteți converti numerele din orice sistem numeric în sistemul numeric zecimal.

Exemplu 1. Convertiți numărul 1011101.001 din sistemul numeric binar (SS) în SS zecimal. Soluţie:

1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 ·2 4 + 1 ·2 3 + 1 ·2 2 + 0 ·2 1 + 1 ·2 0 + 0 ·2 -1 + 0 ·2 -2 + 1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93,125

Exemplu2. Convertiți numărul 1011101.001 din sistemul de numere octale (SS) în SS zecimal. Soluţie:

Exemplu 3 . Convertiți numărul AB572.CDF din sistemul numeric hexazecimal în SS zecimal. Soluţie:

Aici A-inlocuit cu 10, B- la 11, C- la 12, F- pana la 15.

Conversia numerelor din sistemul numeric zecimal în alt sistem numeric

Pentru a converti numerele din sistemul de numere zecimal într-un alt sistem de numere, trebuie să convertiți separat partea întreagă a numărului și partea fracțională a numărului.

Partea întreagă a unui număr este convertită din SS zecimal într-un alt sistem de numere prin împărțirea secvențială a părții întregi a numărului la baza sistemului de numere (pentru SS binar - la 2, pentru SS 8-ary - la 8, pentru 16 -ary SS - cu 16, etc.) până când se obține un reziduu întreg, mai mic decât baza CC.

Exemplu 4 . Să convertim numărul 159 din SS zecimal în SS binar:

159	2
158	79	2
1	78	39	2
	1	38	19	2
		1	18	9	2
			1	8	4	2
				1	4	2	2
					0	2	1
						0

După cum se poate observa din fig. 1, numărul 159 când este împărțit la 2 dă câtul 79 și restul 1. În plus, numărul 79 când este împărțit la 2 dă câtul 39 și restul 1 etc. Ca rezultat, construind un număr din resturile de împărțire (de la dreapta la stânga), obținem un număr în SS binar: 10011111 . Prin urmare putem scrie:

159 10 =10011111 2 .

Exemplu 5 . Să convertim numărul 615 din SS zecimal în SS octal.

615	8
608	76	8
7	72	9	8
	4	8	1
		1

Când convertiți un număr dintr-un SS zecimal într-un SS octal, trebuie să împărțiți succesiv numărul la 8 până când obțineți un rest întreg mai mic decât 8. Ca rezultat, construind un număr din resturile de diviziune (de la dreapta la stânga) obținem un număr în SS octal: 1147 (vezi fig. 2). Prin urmare putem scrie:

615 10 =1147 8 .

Exemplu 6 . Să convertim numărul 19673 din sistemul numeric zecimal în SS hexazecimal.

19673	16
19664	1229	16
9	1216	76	16
	13	64	4
		12

După cum se poate observa din figura 3, împărțind succesiv numărul 19673 la 16, resturile sunt 4, 12, 13, 9. În sistemul numeric hexazecimal, numărul 12 corespunde lui C, numărul 13 la D. Prin urmare, numărul nostru numărul hexazecimal este 4CD9.

Pentru a converti fracțiile zecimale adecvate (număr real cu zero întreaga parte) într-un sistem numeric cu baza s, este necesar să înmulțim succesiv acest număr cu s până când partea fracțională este zero pur sau obținem numărul necesar de cifre. Dacă, în timpul înmulțirii, se obține un număr cu o parte întreagă, alta decât zero, atunci această parte întreagă nu este luată în considerare (sunt incluse secvenţial în rezultat).

Să ne uităm la cele de mai sus cu exemple.

Exemplu 7 . Să convertim numărul 0,214 din sistemul numeric zecimal în SS binar.

		0.214
	X	2
0		0.428
	X	2
0		0.856
	X	2
1		0.712
	X	2
1		0.424
	X	2
0		0.848
	X	2
1		0.696
	X	2
1		0.392

După cum se poate vedea din Fig. 4, numărul 0,214 este înmulțit succesiv cu 2. Dacă rezultatul înmulțirii este un număr cu o parte întreagă, alta decât zero, atunci partea întreagă este scrisă separat (în stânga numărului), iar numărul este scris cu o parte întreagă zero. Dacă înmulțirea are ca rezultat un număr cu o parte întreagă zero, atunci în stânga acestuia se scrie un zero. Procesul de înmulțire continuă până când partea fracțională ajunge la zero pur sau obținem numărul necesar de cifre. Scriind numere îngroșate (Fig. 4) de sus în jos obținem numărul necesar în sistemul numeric binar: 0. 0011011 .

Prin urmare putem scrie:

0.214 10 =0.0011011 2 .

Exemplu 8 . Să convertim numărul 0,125 din sistemul numeric zecimal în SS binar.

		0.125
	X	2
0		0.25
	X	2
0		0.5
	X	2
1		0.0

Pentru a converti numărul 0,125 din zecimal SS în binar, acest număr este înmulțit succesiv cu 2. În a treia etapă, rezultatul este 0. În consecință, se obține următorul rezultat:

0.125 10 =0.001 2 .

Exemplu 9 . Să convertim numărul 0,214 din sistemul numeric zecimal în SS hexazecimal.

		0.214
	X	16
3		0.424
	X	16
6		0.784
	X	16
12		0.544
	X	16
8		0.704
	X	16
11		0.264
	X	16
4		0.224

Urmând exemplele 4 și 5, obținem numerele 3, 6, 12, 8, 11, 4. Dar în SS hexazecimal, numerele 12 și 11 corespund numerelor C și B. Prin urmare, avem:

0,214 10 = 0,36C8B4 16 .

Exemplu 10 . Să convertim numărul 0,512 din sistemul numeric zecimal în SS octal.

		0.512
	X	8
4		0.096
	X	8
0		0.768
	X	8
6		0.144
	X	8
1		0.152
	X	8
1		0.216
	X	8
1		0.728

A primit:

0.512 10 =0.406111 8 .

Exemplu 11 . Să convertim numărul 159,125 din sistemul numeric zecimal în SS binar. Pentru a face acest lucru, traducem separat partea întreagă a numărului (Exemplul 4) și partea fracțională a numărului (Exemplul 8). Combinând în continuare aceste rezultate, obținem:

159.125 10 =10011111.001 2 .

Exemplu 12 . Să convertim numărul 19673,214 din sistemul numeric zecimal în SS hexazecimal. Pentru a face acest lucru, traducem separat partea întreagă a numărului (Exemplul 6) și partea fracțională a numărului (Exemplul 9). În plus, combinând aceste rezultate, obținem.

Pentru a converti numere din s/s zecimal în oricare altul, trebuie să împărțiți numărul zecimal la baza sistemului la care faceți conversia, păstrând în același timp restul din fiecare diviziune. Rezultatul este generat de la dreapta la stânga. Împărțirea continuă până când rezultatul împărțirii este mai mic decât divizorul.

Calculatorul convertește numerele dintr-un sistem numeric în oricare altul. Poate converti numere din binar în zecimal sau zecimal în hexazecimal, arătând progresul detaliat al soluției. Puteți converti cu ușurință un număr din ternar în quinar sau chiar din septenar în al șaptesprezecelea. Calculatorul poate converti numere din orice sistem numeric în oricare altul.

Calculator online: convertiți numere dintr-un sistem numeric în oricare altul online

Date de intrare

Introduceți numărul:

Metode de conversie a numerelor dintr-un sistem numeric în altul

La program Examen de stat unificat în informatică include mai multe sarcini legate de conversia numerelor dintr-un sistem în altul. De obicei, aceasta este o conversie între sistemele octal și hexazecimal și binar. Acestea sunt secțiunile A1, LA 11. Dar există și probleme cu alte sisteme de numere, cum ar fi în secțiune B7.

Pentru început, să ne amintim două tabele pe care ar fi bine să le cunoaștem pe de rost pentru cei care aleg informatica ca profesie viitoare.

Tabelul puterilor numărului 2:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6	2 7	2 8	2 9	2 10
2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024

Se obține ușor prin înmulțirea numărului anterior cu 2. Așadar, dacă nu vă amintiți toate aceste numere, nu este dificil să aveți restul în minte de la cele pe care le amintiți.

Tabel de numere binare de la 0 la 15 cu reprezentare hexazecimală:

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F

Valorile lipsă sunt, de asemenea, ușor de calculat adăugând 1 la valorile cunoscute.

Operații aritmetice în sistemul numeric binar

Când sunt adăugate două numere egale cu 1, rezultatul din această cifră este 0, iar 1 este transferat la cea mai mare cifră.

Conversie intreg

Deci, să începem prin a converti direct în sistemul binar. Să luăm același număr 810 10. Trebuie să descompunăm acest număr în termeni egali cu puterile a doi.

Căutăm puterea celor două cele mai apropiate de 810 și să nu o depășească. Acesta este 2 9 = 512.
Scădeți 512 din 810, obținem 298.
Repetați pașii 1 și 2 până când nu mai rămân 1 sau 0.
Am prins asa: 810 = 512 + 256 + 32 + 8 + 2 = 2 9 + 2 8 + 2 5 + 2 3 + 2 1 .

Apoi, există două metode, puteți utiliza oricare dintre ele. Cât de ușor este să vezi că în orice sistem numeric baza lui este întotdeauna 10. Pătratul bazei va fi întotdeauna 100, cubul 1000. Adică, gradul bazei sistemului numeric este 1 (unul), iar în spatele lui există tot atâtea zerouri cât gradul.

Metoda 1: Aranjați 1 în funcție de rangurile indicatorilor termenilor. În exemplul nostru, acestea sunt 9, 8, 5, 3 și 1. Locurile rămase vor conține zerouri. Deci, am obținut reprezentarea binară a numărului 810 10 = 1100101010 2. Unitățile sunt plasate pe locurile 9, 8, 5, 3 și 1, numărând de la dreapta la stânga de la zero.

Metoda 2: Să scriem termenii ca puteri a doi unul sub celălalt, începând cu cel mai mare.

810 =

Acum să adăugăm acești pași împreună, cum ar fi plierea unui evantai: 1100101010.

Asta e tot. În același timp, problema „câte unități sunt în notația binară a numărului 810?” este, de asemenea, rezolvată simplu.

Răspunsul este atâția termeni (puteri a doi) în această reprezentare. 810 are 5 dintre ele.

Acum exemplul este mai simplu.

Să transformăm numărul 63 în sistemul numeric 5-ari. Cea mai apropiată putere de la 5 la 63 este 25 (pătratul 5). Un cub (125) va fi deja mult. Adică 63 se află între pătratul lui 5 și cub. Apoi vom selecta coeficientul pentru 5 2. Acesta este 2.

Se obține 63 10 = 50 + 13 = 50 + 10 + 3 = 2 * 5 2 + 2 * 5 + 3 = 223 5.

Și, în sfârșit, traduceri foarte ușoare între sistemele 8 și hexazecimale. Deoarece baza lor este o putere de doi, traducerea se face automat, pur și simplu prin înlocuirea numerelor cu reprezentarea lor binară. Pentru sistemul octal, fiecare cifră este înlocuită cu trei cifre binare, iar pentru sistemul hexazecimal, patru. În acest caz, sunt necesare toate zerourile înainte, cu excepția cifrei celei mai semnificative.

Să convertim numărul 547 8 în binar.

547 8 =	101	100	111
	5	4	7

Încă unul, de exemplu 7D6A 16.

7D6A 16 =	(0)111	1101	0110	1010
	7	D	6	A

Să convertim numărul 7368 în sistemul hexazecimal.Mai întâi, scrieți numerele în triplete, apoi împărțiți-le în cvadruple de la sfârșit: 736 8 = 111 011 110 = 1 1101 1110 = 1DE 16. Să convertim numărul C25 16 în sistemul octal. Mai întâi, scriem numerele în patru, apoi le împărțim în trei de la sfârșit: C25 16 = 1100 0010 0101 = 110 000 100 101 = 6045 8. Acum să ne uităm la conversia înapoi în zecimală. Nu este dificil, principalul lucru este să nu faci greșeli în calcule. Extindem numărul într-un polinom cu puteri ale bazei și coeficienți pentru ei. Apoi înmulțim și adăugăm totul. E68 16 = 14 * 16 2 + 6 * 16 + 8 = 3688. 732 8 = 7 * 8 2 + 3*8 + 2 = 474 .

Conversia numerelor negative

Aici trebuie să țineți cont de faptul că numărul va fi prezentat în cod suplimentar. Pentru a converti un număr în cod suplimentar, trebuie să știți dimensiunea finală a numărului, adică în ce vrem să-l încadram - într-un octet, în doi octeți, în patru. Cea mai semnificativă cifră a unui număr înseamnă semnul. Dacă există 0, atunci numărul este pozitiv, dacă 1, atunci este negativ. În stânga, numărul este completat cu o cifră semn. Nesemnat ( nesemnat ) nu luăm în considerare numerele, acestea sunt întotdeauna pozitive, iar cifra cea mai semnificativă din ele este folosită ca informație.

Pentru a converti un număr negativ în complement binar, trebuie să convertiți un număr pozitiv în binar, apoi schimbați zerourile în unu și cele în zerouri. Apoi adăugați 1 la rezultat.

Deci, să convertim numărul -79 în sistemul binar. Numărul ne va lua un octet.

Transformând 79 în binar, 79 = 1001111. Să adăugăm zerouri în stânga la o dimensiune de octet de 8 biți, obținem 01001111. Schimbăm 1 cu 0 și 0 cu 1. Primim 10110000. Adăugăm 1 la rezultat, obținem răspunsul 10110001.

Pe parcurs, răspundem la întrebarea Examenului de stat unificat „ câte unități există în reprezentarea binară a numărului -79?».

Raspunsul este 4.

Adăugarea a 1 la inversul unui număr elimină diferența dintre reprezentările +0 = 00000000 și -0 = 11111111. În cod suplimentar vor fi scrise la fel: 00000000.

Conversia numerelor fracționale

Numerele fracționale sunt convertite în modul invers al împărțirii numerelor întregi la bază, la care ne-am uitat chiar de la început. Adică, folosind înmulțirea secvențială cu o nouă bază cu colecția de părți întregi. Părțile întregi obținute în timpul înmulțirii sunt colectate, dar nu participă la următoarele operații. Se înmulțesc doar fracțiile. Dacă numărul inițial este mai mare decât 1, atunci părțile întregi și fracționale sunt translatate separat și apoi lipite împreună.

Să transformăm numărul 0,6752 în sistemul binar.

0	,6752
	*2
1	,3504
	*2
0	,7008
	*2
1	,4016
	*2
0	,8032
	*2
1	,6064
	*2
1	,2128

Procesul poate fi continuat pentru o lungă perioadă de timp până când obținem toate zerourile din partea fracțională sau se obține precizia necesară. Să ne oprim la al 6-lea semn deocamdată.

Se dovedește că 0,6752 = 0,101011.

Dacă numărul a fost 5,6752, atunci în binar va fi 101,101011.

Javascript este dezactivat în browserul dvs.
Pentru a efectua calcule, trebuie să activați controalele ActiveX!

1. Numărarea ordinală în diverse sisteme numerice.

ÎN viața modernă folosim sisteme de numere poziționale, adică sisteme în care numărul notat cu o cifră depinde de poziția cifrei în notația numărului. Prin urmare, în viitor vom vorbi doar despre ele, omițând termenul „pozițional”.

Pentru a învăța cum să convertim numerele dintr-un sistem în altul, vom înțelege cum are loc înregistrarea secvențială a numerelor folosind exemplul sistemului zecimal.

Deoarece avem un sistem de numere zecimal, avem 10 simboluri (cifre) pentru a construi numere. Începem să numărăm: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Numerele s-au terminat. Creștem adâncimea de biți a numărului și resetam cifra de ordin inferioară: 10. Apoi creștem din nou cifra de ordin inferioară până când toate cifrele dispar: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Creștem cifra de ordine superioară cu 1 și resetam cifra de ordin inferioară: 20. Când folosim toate cifrele pentru ambele cifre (obținem numărul 99), creștem din nou capacitatea de cifre a numărului și resetam cifre existente: 100. Și așa mai departe.

Să încercăm să facem același lucru în sistemele 2, 3 și 5 (introducem notația pentru al 2-lea sistem, pentru al 3-lea etc.):


0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	10	3
4	100	11	4
5	101	12	10
6	110	20	11
7	111	21	12
8	1000	22	13
9	1001	100	14
10	1010	101	20
11	1011	102	21
12	1100	110	22
13	1101	111	23
14	1110	112	24
15	1111	120	30

Dacă sistemul numeric are o bază mai mare de 10, atunci va trebui să introducem caractere suplimentare; este obișnuit să introduceți litere din alfabetul latin. De exemplu, pentru sistemul cu 12 cifre, pe lângă zece cifre, avem nevoie de două litere ( și ):


0	0
1	1
2	2
3	3
4	4
5	5
6	6
7	7
8	8
9	9
10
11
12	10
13	11
14	12
15	13

2. Conversia din sistemul numeric zecimal în oricare altul.

Pentru a converti un număr zecimal întreg pozitiv într-un sistem numeric cu o bază diferită, trebuie să împărțiți acest număr la bază. Împărțiți din nou câtul rezultat la bază și mai departe până când câtul este mai mic decât baza. Ca urmare, notează pe un rând ultimul coeficient și toate resturile, începând de la ultimul.

Exemplul 1. Să convertim numărul zecimal 46 în sistemul numeric binar.

Exemplul 2. Să convertim numărul zecimal 672 în sistemul de numere octale.

Exemplul 3. Să convertim numărul zecimal 934 în sistemul numeric hexazecimal.

3. Conversie din orice sistem numeric în zecimal.

Pentru a învăța cum să convertiți numerele din orice alt sistem în zecimal, să analizăm notația obișnuită pentru un număr zecimal.
De exemplu, numărul zecimal 325 este de 5 unități, 2 zeci și 3 sute, adică.

Situația este exact aceeași în alte sisteme de numere, doar că vom înmulți nu cu 10, 100 etc., ci cu puterile bazei sistemului de numere. De exemplu, să luăm numărul 1201 în sistemul numeric ternar. Să numerotăm cifrele de la dreapta la stânga începând de la zero și să ne imaginăm numărul ca suma produselor unei cifre și trei la puterea cifrei numărului:

Aceasta este notația zecimală a numărului nostru, adică

Exemplul 4. Să convertim numărul octal 511 în sistemul numeric zecimal.

Exemplul 5. Să convertim numărul hexazecimal 1151 în sistemul numeric zecimal.

4. Conversia de la sistemul binar la sistemul cu baza „puterea a doi” (4, 8, 16 etc.).

A converti număr binarÎntr-un număr cu „puterea a doi” de bază, este necesar să împărțiți secvența binară în grupuri în funcție de numărul de cifre egal cu puterea de la dreapta la stânga și să înlocuiți fiecare grup cu cifra corespunzătoare a noului sistem de numere.

De exemplu, să convertim numărul binar 1100001111010110 în sistemul octal. Pentru a face acest lucru, îl vom împărți în grupuri de 3 caractere începând din dreapta (din ), apoi vom folosi tabelul de corespondență și vom înlocui fiecare grup cu un număr nou:

Am învățat cum să construim un tabel de corespondență la pasul 1.


0	0
1	1
10	2
11	3
100	4
101	5
110	6
111	7

Acestea.

Exemplul 6. Să convertim numărul binar 1100001111010110 în hexazecimal.


0	0
1	1
10	2
11	3
100	4
101	5
110	6
111	7
1000	8
1001	9
1010	A
1011	B
1100	C
1101	D
1110	E
1111	F

5. Conversia dintr-un sistem cu „puterea a doi” de bază (4, 8, 16 etc.) în binar.

Această traducere este similară cu cea anterioară, făcută în sens invers: înlocuim fiecare cifră cu un grup de cifre în sistemul binar din tabelul de corespondență.

Exemplul 7. Să convertim numărul hexazecimal C3A6 în sistemul de numere binar.

Pentru a face acest lucru, înlocuiți fiecare cifră a numărului cu un grup de 4 cifre (din moment ce ) din tabelul de corespondență, completând grupul cu zerouri la început, dacă este necesar:

Calculatorul vă permite să convertiți numere întregi și fracționale dintr-un sistem numeric în altul. Baza sistemului de numere nu poate fi mai mică de 2 și mai mare de 36 (10 cifre și 26 de litere latine până la urmă). Lungimea numerelor nu trebuie să depășească 30 de caractere. Pentru a introduce numere fracționale, utilizați simbolul. sau, . Pentru a converti un număr dintr-un sistem în altul, introduceți numărul inițial în primul câmp, baza sistemului de numere original în al doilea și baza sistemului numeric în care doriți să convertiți numărul în al treilea câmp, apoi faceți clic pe butonul „Obțineți înregistrare”.

Număr original scris în 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 3 6 -al-lea sistem de numere.

Vreau să scriu un număr 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -al-lea sistem de numere.

Obțineți intrare

Traduceri finalizate: 1237177

Sisteme numerice

Sistemele numerice sunt împărțite în două tipuri: poziționalȘi nu pozițional. Folosim sistemul arab, este pozițional, dar există și sistemul roman - nu este pozițional. În sistemele poziționale, poziția unei cifre într-un număr determină în mod unic valoarea acelui număr. Acest lucru este ușor de înțeles luând în considerare un număr ca exemplu.

Exemplul 1. Să luăm numărul 5921 în sistemul numeric zecimal. Să numerotăm numărul de la dreapta la stânga începând de la zero:

Numărul 5921 se poate scrie sub următoarea formă: 5921 = 5000+900+20+1 = 5·10 3 +9·10 2 +2·10 1 +1·10 0 . Numărul 10 este o caracteristică care definește sistemul numeric. Valorile poziției unui număr dat sunt luate ca puteri.

Exemplul 2. Luați în considerare numărul zecimal real 1234,567. Să-l numerotăm începând de la poziția zero a numărului de la punctul zecimal la stânga și la dreapta:

Numărul 1234.567 se poate scrie sub următoarea formă: 1234.567 = 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007 = 1·10 3 +2·10 2 +3·10 1 +4·10 0 +5·10 -1 + 6·10 -2 +7·10 -3 .

Conversia numerelor dintr-un sistem numeric în altul

Cel mai într-un mod simplu convertirea unui număr dintr-un sistem numeric în altul înseamnă convertirea mai întâi a numărului într-un sistem numeric zecimal, iar apoi rezultatul rezultat în sistemul numeric necesar.

Conversia numerelor din orice sistem numeric în sistemul numeric zecimal

Pentru a converti un număr din orice sistem numeric în zecimal, este suficient să îi numerotați cifrele, începând cu zero (cifra din stânga punctului zecimal) în mod similar cu exemplele 1 sau 2. Să găsim suma produselor cifrelor a numărului de baza sistemului numeric la puterea poziției acestei cifre:

1. Convertiți numărul 1001101.1101 2 în sistemul numeric zecimal.
Soluţie: 10011.1101 2 = 1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +1·2 0 +1·2 -1 +1·2 -2 +0·2 -3 +1·2 - 4 = 16+2+1+0,5+0,25+0,0625 = 19,8125 10
Răspuns: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. Convertiți numărul E8F.2D 16 în sistemul numeric zecimal.
Soluţie: E8F.2D 16 = 14·16 2 +8·16 1 +15·16 0 +2·16 -1 +13·16 -2 = 3584+128+15+0,125+0,05078125 = 3727,17578125 10
Răspuns: E8F.2D 16 = 3727,17578125 10

Conversia numerelor din sistemul numeric zecimal în alt sistem numeric

Pentru a converti numerele din sistemul numeric zecimal într-un alt sistem numeric, părțile întregi și fracționale ale numărului trebuie convertite separat.

Conversia unei părți întregi a unui număr dintr-un sistem numeric zecimal în alt sistem numeric

O parte întreagă este convertită dintr-un sistem de numere zecimal într-un alt sistem de numere prin împărțirea secvențială a părții întregi a unui număr la baza sistemului de numere până când se obține un rest întreg care este mai mic decât baza sistemului de numere. Rezultatul traducerii va fi o înregistrare a restului, începând cu ultima.

3. Convertiți numărul 273 10 în sistemul numeric octal.
Soluţie: 273 / 8 = 34 și restul 1. 34 / 8 = 4 și restul 2. 4 este mai mic decât 8, deci calculul este complet. Înregistrarea din solduri va arăta astfel: 421
Examinare: 4·8 2 +2·8 1 +1·8 0 = 256+16+1 = 273 = 273, rezultatul este același. Aceasta înseamnă că traducerea a fost făcută corect.
Răspuns: 273 10 = 421 8

Luați în considerare translația fracțiilor zecimale adecvate în diverse sisteme Socoteala.

Conversia părții fracționale a unui număr din sistemul numeric zecimal în alt sistem numeric

Amintiți-vă că se numește o fracție zecimală adecvată număr real cu parte întreagă zero. Pentru a converti un astfel de număr într-un sistem numeric cu baza N, trebuie să înmulțiți succesiv numărul cu N până când partea fracțională ajunge la zero sau se obține numărul necesar de cifre. Dacă, în timpul înmulțirii, se obține un număr cu o parte întreagă, alta decât zero, atunci partea întreagă nu este luată în considerare în continuare, deoarece este introdusă succesiv în rezultat.

4. Convertiți numărul 0,125 10 în sistemul numeric binar.
Soluţie: 0,125·2 = 0,25 (0 este partea întreagă, care va deveni prima cifră a rezultatului), 0,25·2 = 0,5 (0 este a doua cifră a rezultatului), 0,5·2 = 1,0 (1 este a treia cifră a rezultatului și, deoarece partea fracțională este zero, atunci translația este finalizată).
Răspuns: 0.125 10 = 0.001 2