Sisteme numerice

Zecimal

Binar

Octal

hexazecimal

BCD

Nota 1

Dacă doriți să convertiți un număr dintr-un sistem numeric în altul, atunci este mai convenabil să îl convertiți mai întâi în sistemul numeric zecimal și abia apoi să îl convertiți din sistemul numeric zecimal în orice alt sistem numeric.

Reguli pentru conversia numerelor din orice sistem numeric în zecimal

ÎN tehnologia calculatoarelor, folosind aritmetica mașină, un rol important îl joacă conversia numerelor dintr-un sistem numeric în altul. Mai jos dăm regulile de bază pentru astfel de transformări (traduceri).

Când convertiți un număr binar într-o zecimală, trebuie să reprezentați numărul binar ca un polinom, fiecare element fiind reprezentat ca produsul unei cifre a numărului și puterea corespunzătoare a numărului de bază, în acest caz $2$, și apoi trebuie să calculați polinomul folosind regulile aritmeticii zecimale:

$X_2=A_n \cdot 2^(n-1) + A_(n-1) \cdot 2^(n-2) + A_(n-2) \cdot 2^(n-3) + ... + A_2 \cdot 2^1 + A_1 \cdot 2^0$

Figura 1. Tabelul 1

Exemplul 1

Convertiți numărul $11110101_2$ în sistemul numeric zecimal.

Soluţie. Folosind tabelul dat de $1$ puteri ale bazei $2$, reprezentăm numărul ca polinom:

$11110101_2 = 1 \cdot 27 + 1 \cdot 26 + 1 \cdot 25 + 1 \cdot 24 + 0 \cdot 23 + 1 \cdot 22 + 0 \cdot 21 + 1 \cdot 20 = 128 + 6 + 6 + 2 + 0 + 4 + 0 + 1 = 245_(10)$

Pentru a converti un număr din sistemul de numere octale în sistemul de numere zecimal, trebuie să îl reprezentați ca un polinom, fiecare element fiind reprezentat ca produsul unei cifre a numărului și puterea corespunzătoare a numărului de bază, în acest caz $8$, iar apoi trebuie să calculați polinomul conform regulilor aritmeticii zecimale:

$X_8 = A_n \cdot 8^(n-1) + A_(n-1) \cdot 8^(n-2) + A_(n-2) \cdot 8^(n-3) + ... + A_2 \cdot 8^1 + A_1 \cdot 8^0$

Figura 2. Tabelul 2

Exemplul 2

Convertiți numărul $75013_8$ în sistemul numeric zecimal.

Soluţie. Folosind tabelul dat de $2$ puteri ale bazei $8$, reprezentăm numărul ca polinom:

$75013_8 = 7\cdot 8^4 + 5 \cdot 8^3 + 0 \cdot 8^2 + 1 \cdot 8^1 + 3 \cdot 8^0 = 31243_(10)$

Pentru a converti un număr din hexazecimal în zecimal, trebuie să îl reprezentați ca un polinom, fiecare element fiind reprezentat ca produsul unei cifre a numărului și puterea corespunzătoare a numărului de bază, în acest caz $16$, apoi trebuie să calculați polinomul conform regulilor aritmeticii zecimale:

$X_(16) = A_n \cdot 16^(n-1) + A_(n-1) \cdot 16^(n-2) + A_(n-2) \cdot 16^(n-3) + . .. + A_2 \cdot 16^1 + A_1 \cdot 16^0$

Figura 3. Tabelul 3

Exemplul 3

Convertiți numărul $FFA2_(16)$ în sistemul numeric zecimal.

Soluţie. Folosind tabelul dat de $3$ puteri ale bazei $8$, reprezentăm numărul ca un polinom:

$FFA2_(16) = 15 \cdot 16^3 + 15 \cdot 16^2 + 10 \cdot 16^1 + 2 \cdot 16^0 =61440 + 3840 + 160 + 2 = 65442_(10)$

Reguli pentru conversia numerelor din sistemul numeric zecimal în altul

• Pentru a converti un număr din sistemul numeric zecimal în sistemul binar, acesta trebuie împărțit secvenţial la $2$ până când există un rest mai mic sau egal cu $1$. Un număr din sistemul binar este reprezentat ca o succesiune a ultimului rezultat al împărțirii și a resturilor din divizare în ordine inversă.

Exemplul 4

Convertiți numărul $22_(10)$ în sistemul numeric binar.

Soluţie:

Figura 4.

$22_{10} = 10110_2$

• Pentru a converti un număr din sistemul numeric zecimal în octal, acesta trebuie împărțit succesiv la $8$ până când există un rest mai mic sau egal cu $7$. Un număr din sistemul de numere octale este reprezentat ca o succesiune de cifre a rezultatului ultimei diviziuni și resturile din împărțire în ordine inversă.

Exemplul 5

Convertiți numărul $571_(10)$ în sistem octal Socoteala.

Soluţie:

Figura 5.

$571_{10} = 1073_8$

• Pentru a converti un număr din sistemul numeric zecimal în sistemul hexazecimal, acesta trebuie împărțit succesiv la $16$ până când există un rest mai mic sau egal cu $15$. Un număr din sistemul hexazecimal este reprezentat ca o succesiune de cifre a rezultatului ultimei diviziuni și restul divizării în ordine inversă.

Exemplul 6

Convertiți numărul $7467_(10)$ în sistem numeric hexazecimal.

Soluţie:

Figura 6.

$7467_(10) = 1D2B_(16)$

Pentru a converti o fracție adecvată dintr-un sistem de numere zecimal într-un sistem de numere non-zecimal, este necesar să înmulțiți secvențial partea fracțională a numărului care este convertit cu baza sistemului în care trebuie convertit. Fracție în sistem nou vor fi prezentate sub forma unor părți întregi de lucrări, începând cu prima.

De exemplu: $0,3125_((10))$ în sistemul de numere octale va arăta ca $0,24_((8))$.

În acest caz, este posibil să întâmpinați o problemă când o fracție zecimală finită poate corespunde unei fracțiuni infinite (periodice) în sistemul numeric non-zecimal. În acest caz, numărul de cifre din fracția reprezentată în noul sistem va depinde de precizia necesară. De asemenea, trebuie remarcat faptul că numerele întregi rămân numere întregi, iar fracțiile proprii rămân fracții în orice sistem numeric.

Reguli pentru conversia numerelor dintr-un sistem de numere binar în altul

• Pentru a converti un număr din sistem binar numerotarea în octal, aceasta trebuie împărțită în triade (triple de cifre), începând cu cifra cea mai puțin semnificativă, dacă este necesar, adăugând zerouri la triada principală, apoi înlocuiți fiecare triadă cu cifra octală corespunzătoare conform tabelului 4.

Figura 7. Tabelul 4

Exemplul 7

Convertiți numărul $1001011_2$ în sistemul de numere octale.

Soluţie. Folosind Tabelul 4, convertim numărul din sistemul numeric binar în octal:

$001 001 011_2 = 113_8$

• Pentru a converti un număr din sistemul de numere binar în hexazecimal, acesta trebuie împărțit în tetrade (patru cifre), începând cu cifra cea mai puțin semnificativă, dacă este necesar, adăugând zerouri la cea mai semnificativă tetradă, apoi înlocuiți fiecare tetradă cu cifra octală corespunzătoare. conform tabelului 4.

Instrucțiuni

Video pe tema

În sistemul de numărare pe care îl folosim în fiecare zi, există zece cifre - de la zero la nouă. De aceea se numește zecimală. Totuși, în calculele tehnice, în special cele legate de calculatoare, altele sisteme, în special binar și hexazecimal. Prin urmare, trebuie să fiți capabil să traduceți numere de la unul sisteme numărând la altul.

Vei avea nevoie

• - o bucată de hârtie;
• - creion sau stilou;
• - calculator.

Instrucțiuni

Sistemul binar este cel mai simplu. Are doar două cifre - zero și unu. Fiecare cifră a binarului numere, începând de la capăt, corespunde unei puteri de doi. Doi în egal cu unu, în primul - doi, în al doilea - patru, în al treilea - opt și așa mai departe.

Să presupunem că vi se dă numărul binar 1010110. Unitățile din acesta se află pe locurile al doilea, al treilea, al cincilea și al șaptelea. Prin urmare, în sistemul zecimal acest număr este 2^1 + 2^2 + 2^4 + 2^6 = 2 + 4 + 16 + 64 = 86.

Problemă inversă - zecimală numere sistem. Să presupunem că aveți numărul 57. Pentru a-l obține, trebuie să împărțiți succesiv numărul la 2 și să scrieți restul. Numărul binar va fi construit de la sfârșit la început.
Primul pas vă va oferi ultima cifră: 57/2 = 28 (restul 1).
Apoi îl obțineți pe al doilea de la final: 28/2 = 14 (restul 0).
Alți pași: 14/2 = 7 (restul 0);
7/2 = 3 (restul 1);
3/2 = 1 (restul 1);
1/2 = 0 (restul 1).
Acesta este ultimul pas deoarece rezultatul împărțirii este zero. Drept urmare, ați primit numărul binar 111001.
Verificați răspunsul: 111001 = 2^0 + 2^3 + 2^4 + 2^5 = 1 + 8 + 16 + 32 = 57.

Al doilea, folosit în chestiuni informatice, este hexazecimal. Nu are zece, ci șaisprezece cifre. Pentru a evita noi convenții, primele zece cifre de hexazecimal sisteme sunt desemnate prin numere obișnuite, iar restul de șase - prin litere latine: A, B, C, D, E, F. Ele corespund notării zecimale numere m de la 10 la 15. Pentru a evita confuziile, numărul scris în hexazecimal este precedat de semnul # sau de simbolurile 0x.

Pentru a face un număr din hexazecimal sisteme, trebuie să înmulțiți fiecare dintre cifrele sale cu puterea corespunzătoare de șaisprezece și să adăugați rezultatele. De exemplu, numărul #11A în notație zecimală este 10*(16^0) + 1*(16^1) + 1*(16^2) = 10 + 16 + 256 = 282.

Conversie inversă din zecimală sisteme la hexazecimal se face folosind aceeași metodă a resturilor ca și la binar. De exemplu, luați numărul 10000. Împărțind în mod constant la 16 și notând resturile, obțineți:
10000/16 = 625 (restul 0).
625/16 = 39 (restul 1).
39/16 = 2 (restul 7).
2/16 = 0 (restul 2).
Rezultatul calculului va fi numărul hexazecimal #2710.
Verificați răspunsul: #2710 = 1*(16^1) + 7*(16^2) + 2*(16^3) = 16 + 1792 + 8192 = 10000.

Transfer numere din hexazecimal sisteme Este mult mai ușor să convertiți în binar. Numărul 16 este doi: 16 = 2^4. Prin urmare, fiecare cifră hexazecimală poate fi scrisă ca un număr binar de patru cifre. Dacă aveți mai puțin de patru cifre într-un număr binar, adăugați zerouri de început.
De exemplu, #1F7E = (0001)(1111)(0111)(1110) = 1111101111110.
Verificați răspunsul: ambele numereîn notație zecimală sunt egale cu 8062.

Pentru a traduce, trebuie să împărțiți numărul binar în grupuri de patru cifre, începând de la sfârșit, și să înlocuiți fiecare astfel de grup cu o cifră hexazecimală.
De exemplu, 11000110101001 devine (0011)(0001)(1010)(1001), care în notație hexazecimală este egal cu #31A9. Corectitudinea răspunsului este confirmată prin conversia în notație zecimală: ambele numere sunt egale cu 12713.

Sfat 5: Cum se transformă un număr în binar

Datorită utilizării limitate a simbolurilor, sistemul binar este cel mai convenabil pentru utilizare în computere și altele dispozitive digitale. Există doar două simboluri: 1 și 0, deci acesta sistem utilizate în operarea registrelor.

Instrucțiuni

Binarul este pozițional, adică Poziția fiecărei cifre într-un număr corespunde unei anumite cifre, care este egală cu două la puterea corespunzătoare. Gradul începe de la zero și crește pe măsură ce vă deplasați de la dreapta la stânga. De exemplu, număr 101 este egal cu 1*2^0 + 0*2^1 + 1*2^2 = 5.

Sistemele octale, hexazecimale și zecimale sunt, de asemenea, utilizate pe scară largă printre sistemele poziționale. Și dacă pentru primele două a doua metodă este mai aplicabilă, atunci pentru traducerea din ambele sunt aplicabile.

Considerați un număr zecimal în binar sistem prin împărțire secvențială cu 2. Pentru a converti o zecimală număr 25 V

2.3. Conversia numerelor dintr-un sistem numeric în altul

2.3.1. Conversia numerelor întregi dintr-un sistem numeric în altul

Este posibil să se formuleze un algoritm pentru conversia numerelor întregi dintr-un sistem radix p într-un sistem cu o bază q :

1. Exprimați baza noului sistem de numere cu numere din sistemul de numere original și efectuați toate acțiunile ulterioare în sistemul de numere original.

2. Împărțiți în mod consecvent numărul dat și coeficientii întregi rezultați la baza noului sistem de numere până când obținem un cât mai mic decât divizorul.

3. Resturile rezultate, care sunt cifre ale numărului în noul sistem de numere, sunt aduse în conformitate cu alfabetul noului sistem de numere.

4. Compuneți un număr în noul sistem numeric, notându-l pornind de la ultimul rest.

Exemplul 2.12. Traduceți numar decimal 173 10 în sistemul de numere octale:

Se obține: 173 10 = 255 8

Exemplul 2.13. Convertiți numărul zecimal 173 10 în sistem numeric hexazecimal:

Se obține: 173 10 =AD 16.

Exemplul 2.14. Convertiți numărul zecimal 11 10 în sistemul numeric binar. Este mai convenabil să descriem secvența acțiunilor discutate mai sus (algoritm de traducere) după cum urmează:

Se obține: 11 10 =1011 2.

Exemplul 2.15. Uneori este mai convenabil să scrieți algoritmul de traducere sub formă de tabel. Să convertim numărul zecimal 363 10 într-un număr binar.

Se obține: 363 10 =101101011 2

2.3.2. Conversia numerelor fracționale dintr-un sistem numeric în altul

Este posibil să se formuleze un algoritm pentru conversia unei fracții adecvate cu o bază p într-o fracție cu o bază q:

1. Exprimați baza noului sistem de numere cu numere din sistemul de numere original și efectuați toate acțiunile ulterioare în sistemul de numere original.

2. Înmulțiți în mod constant numerele date și părțile fracționale rezultate ale produselor cu baza noului sistem până când partea fracțională a produsului devine egală cu zero sau se obține acuratețea necesară a reprezentării numerelor.

3. Părțile întregi rezultate ale produselor, care sunt cifre ale numărului din noul sistem de numere, ar trebui aduse în conformitate cu alfabetul noului sistem de numere.

4. Compuneți partea fracționară a unui număr în noul sistem de numere, pornind de la partea întreagă a primului produs.

Exemplul 2.17. Convertiți numărul 0,65625 10 în sistemul de numere octale.

Se obține: 0,65625 10 =0,52 8

Exemplul 2.17. Convertiți numărul 0,65625 10 în sistem numeric hexazecimal.

Se obține: 0,65625 10 =0,A8 1

Exemplul 2.18. Convertiți fracția zecimală 0,5625 10 în sistemul numeric binar.

Se obține: 0,5625 10 =0,1001 2

Exemplul 2.19. Convertiți fracția zecimală 0,7 10 în sistemul numeric binar.

Evident, acest proces poate continua la nesfârșit, dând tot mai multe semne noi în imaginea echivalentului binar al numărului 0,7 10. Deci, în patru pași obținem numărul 0,1011 2, iar în șapte pași numărul 0,1011001 2, care este o reprezentare mai exactă a numărului 0,7 10 în binar sistemul de numere și etc. Un astfel de proces nesfârșit se încheie la un anumit pas, când se consideră că a fost obținută acuratețea necesară reprezentării numerelor.

2.3.3. Traducerea numerelor arbitrare

Traducerea numerelor arbitrare, de ex. numerele care conțin un număr întreg și o parte fracționară sunt efectuate în două etape. Partea întregă este translată separat, iar partea fracțională separat. În înregistrarea finală a numărului rezultat, partea întreagă este separată de partea fracțională printr-o virgulă (punct).

Exemplul 2.20. Convertiți numărul 17,25 10 în sistemul numeric binar.

Se obține: 17,25 10 =1001,01 2

Exemplul 2.21. Convertiți numărul 124,25 10 în sistem octal.

Se obține: 124,25 10 =174,2 8

2.3.4. Conversia numerelor din baza 2 în baza 2 n și invers

Traducerea numerelor întregi. Dacă baza sistemului numeric q-ary este o putere de 2, atunci conversia numerelor din sistemul numeric q-ary în sistemul numeric 2-ary și înapoi poate fi efectuată folosind mai multe reguli simple. Pentru a scrie un număr binar întreg în sistemul numeric cu baza q=2 n, aveți nevoie de:

1. Împărțiți numărul binar de la dreapta la stânga în grupuri de n cifre fiecare.

2. Dacă ultimul grup din stânga are mai puțin de n cifre, atunci acesta trebuie completat în stânga cu zerouri până la numărul necesar de cifre.

Exemplul 2.22. Numărul 101100001000110010 2 va fi convertit în sistemul de numere octale.

Împărțim numărul de la dreapta la stânga în triade și sub fiecare dintre ele scriem cifra octală corespunzătoare:

Obținem reprezentarea octală a numărului original: 541062 8 .

Exemplul 2.23. Numărul 1000000000111110000111 2 va fi convertit în sistemul numeric hexazecimal.

Împărțim numărul de la dreapta la stânga în tetrade și sub fiecare dintre ele scriem cifra hexazecimală corespunzătoare:

Obținem reprezentarea hexazecimală a numărului original: 200F87 16.

Traducere numere fracționare. Pentru a scrie un număr binar fracționar într-un sistem numeric cu baza q=2 n, aveți nevoie de:

1. Împărțiți numărul binar de la stânga la dreapta în grupuri de n cifre fiecare.

2. Dacă ultimul grup din dreapta are mai puțin de n cifre, atunci acesta trebuie completat în dreapta cu zerouri la numărul necesar de cifre.

3. Considerați fiecare grup ca un număr binar de n biți și scrieți-l cu cifra corespunzătoare în sistemul numeric cu baza q=2 n.

Exemplul 2.24. Numărul 0,10110001 2 va fi convertit în sistemul de numere octale.

Împărțim numărul de la stânga la dreapta în triade și sub fiecare dintre ele scriem cifra octală corespunzătoare:

Obținem reprezentarea octală a numărului original: 0,542 8 .

Exemplul 2.25. Numărul 0,100000000011 2 va fi convertit în sistemul numeric hexazecimal. Împărțim numărul de la stânga la dreapta în tetrade și sub fiecare dintre ele scriem cifra hexazecimală corespunzătoare:

Obținem reprezentarea hexazecimală a numărului original: 0,803 16

Traducerea numerelor arbitrare. Pentru a scrie un număr binar arbitrar în sistemul numeric cu baza q=2 n, aveți nevoie de:

1. Împărțiți partea întreagă a unui număr binar dat de la dreapta la stânga și partea fracțională de la stânga la dreapta în grupuri de n cifre fiecare.

2. Dacă ultimele grupuri din stânga și/sau din dreapta au mai puțin de n cifre, atunci acestea trebuie completate în stânga și/sau în dreapta cu zerouri la numărul necesar de cifre;

3. Considerați fiecare grup ca un număr binar de n biți și scrieți-l cu cifra corespunzătoare în sistemul numeric cu baza q = 2 n

Exemplul 2.26. Să convertim numărul 111100101.0111 2 în sistemul de numere octale.

Împărțim părțile întregi și fracționale ale numărului în triade și sub fiecare dintre ele scriem cifra octală corespunzătoare:

Obținem reprezentarea octală a numărului original: 745,34 8 .

Exemplul 2.27. Numărul 11101001000,11010010 2 va fi convertit în sistemul numeric hexazecimal.

Împărțim părțile întregi și fracționale ale numărului în caiete și sub fiecare dintre ele scriem cifra hexazecimală corespunzătoare:

Obținem reprezentarea hexazecimală a numărului original: 748,D2 16.

Conversia numerelor din sisteme numerice cu baza q=2n la binar. Pentru a converti un număr arbitrar scris în sistemul numeric cu baza q=2 n în sistemul numeric binar, trebuie să înlocuiți fiecare cifră a acestui număr cu echivalentul său de n cifre în sistemul numeric binar.

Exemplul 2.28.Să convertim numărul hexazecimal 4AC35 16 în sistemul numeric binar.

Conform algoritmului:

Primim: 1001010110000110101 2 .

Sarcini pentru finalizare independentă (Răspunsuri)

2.38. Completați tabelul, în fiecare rând în care același număr întreg trebuie scris în sisteme numerice diferite.

2.39. Completați tabelul, în fiecare rând în care același număr fracționar trebuie să fie scris în sisteme numerice diferite.

2.40. Completați tabelul, în fiecare rând în care același număr arbitrar (numărul poate conține atât un număr întreg, cât și o parte fracțională) trebuie scris în sisteme numerice diferite.