(Обчислювальна техніка)
Арифметичні дії над числами з плаваючою комою
Складання чиселПри додаванні чисел з плаваючою комою результат визначається як сума мантис доданків із загальним для доданків порядком. Якщо знаки обох мантис однакові, вони складаються у прямих кодах, якщо різні - у додатковому чи зворотному кодах. У табл. 2.8 наведено порядок дій...(Обчислювальна техніка)
Числа в десятковій системі числення
10 ° - одиниця 109 - мільярд 1024 – септилліон 101 – десять 1012 - трильйон 1027 - октиліон 102 - сто 1015 - квадрильйон Ю30 - нонільйон 103 - тисяча 1018 - квінтильйон 1033 - дециліон 106 - мільйон 1021 - ...(Фізика)
Системи числення
Людині з давніх-давен доводилося вважати різні предмети і записувати їх кількість. Для цих цілей виникла унарнасистема запису, за якої числа позначалися відповідною кількістю рисок (або засічок). Наприклад, число 5 представлялося як 111 | Унарний запис дуже громіздкий і...(Архітектура ЕОМ)
Економічність системи числення
Число в системі числення рікрозрядами, очевидно, матиме найбільше значення у тому випадку, якщо всі цифри числа виявляться максимальними, тобто рівними (р- 1). Тоді (гр)тах =(/>-1)...(/>-!) = / -1. доцифр Кількість розрядів числа під час переходу від однієї системи числення...(Архітектура ЕОМ)
Коректура числення шляху по одній лінії положення
При підході до узбережжя обстановка може скластися так, що судновод може отримати тільки одну лінію положення. Наприклад, відкрилася вершина гори, на яку можна виміряти лише пеленг, або прослуховуються сигнали лише одного радіомаяка. Така ж ситуація складається і при визначенні...(Аналіз та обробка навігаційних вимірювань)
Двійково-десяткова система числення набула великого поширення в сучасних комп'ютерах через легкість переведення в десяткову систему і назад. Вона використовується там, де основна увага приділяється не простоті технічної побудови машини, а зручності роботи користувача. У цій системі числення всі десяткові цифри кодуються окремо чотирма двійковими цифрами і в такому вигляді записуються послідовно один за одним.
Двійково-десяткова система не економічна з погляду реалізації технічної побудови машини (приблизно на 20% збільшується потрібне обладнання), але дуже зручна під час підготовки завдань та програмування. У двійково-десятковій системі числення основою системи числення є число десять, але кожна з десяти десяткових цифр (0, 1, ..., 9) зображується з допомогою двійкових цифр, тобто кодується двійковими цифрами. Для представлення однієї десяткової цифри використовуються чотири двійкові. Тут є, звичайно, надмірність, оскільки чотири двійкові цифри (або двійкова зошита) можуть зобразити не 10, а 16 чисел, але це вже витрати виробництва для зручності програмування. Існує цілий ряд двійково-кодованих десяткових систем уявлення чисел, що відрізняються тим, що певним поєднанням нулів і одиниць усередині одного зошита поставлені у відповідність ті чи інші значення десяткових цифр 1 .
У найчастіше використовуваної природної двійково-кодованої десяткової системі числення ваги двійкових розрядів усередині зошити природні, тобто 8, 4, 2, 1 (табл. 3.1).
Таблиця 3.1. Таблиця двійкових кодів десяткових та шістнадцяткових цифр
| Цифра | Код | Цифра | Код |
| A | |||
| B | |||
| C | |||
| D | |||
| E | |||
| F |
Наприклад, десяткове число 9703 у двійково-десятковій системі виглядає так: 1001011100000011.
18 питання. ос.Логічні засади роботи ЕОМ. Операції алгебри логіки
Алгебра логіки передбачає безліч логічних операцій. Однак три з них заслуговують на особливу увагу, т.к. з їх допомогою можна описати решту, і, отже, використовувати менше різноманітних пристроїв при конструюванні схем. Такими операціями є кон'юнкція(І), диз'юнкція(АБО) та заперечення(НЕ). Часто кон'юнкцію позначають & , диз'юнкцію - || , а заперечення - рисою над змінною, що означає висловлювання.
При кон'юнкції істина складного вираження виникає у разі істинності всіх простих висловів, у тому числі складається складне. У решті випадків складний вираз буде хибним.
При диз'юнкції істина складного вираження настає при істинності хоча б одного простого виразу, що входить до нього, або двох відразу. Буває, що складний вираз складається більш ніж з двох простих. В цьому випадку достатньо, щоб одне просте було істинним, і тоді все висловлювання буде істинним.
Заперечення - це унарна операція, тому що виконується по відношенню до одного простого виразу або по відношенню до результату складного. В результаті заперечення виходить новий вислів, протилежний вихідному.
19 питання.Основні правила алгебри логіки
Звичайна запис цих законів у формальній логіці:
20 питання.Таблиця істинності
Таблиці істинності
Логічні операції зручно описувати так званими таблицями істинності, В яких відображають результати обчислень складних висловлювань при різних значеннях вихідних простих висловлювань. Прості висловлювання позначаються змінними (наприклад, A та B).
21 Питання.Логічні елементи. Їх назви та позначення на схема
Як використовувати отримані нами знання з галузі математичної логіки для конструювання електронних пристроїв? Нам відомо, що Про і 1 у логіці не просто цифри, а позначення станів якогось предмета нашого світу, умовно званих "брехня" та "істина". Таким предметом, що має два фіксовані стани, може бути електричний струм. Пристрої, що фіксують два стійкі стани, називаються бістабільними(Наприклад, вимикач, реле). Якщо пам'ятаєте, перші обчислювальні машини були релейними. Пізніше було створено нові пристрої керування електрикою - електронні схемискладаються з набору напівпровідникових елементів. Такі електронні схеми, які перетворюють сигнали лише двох фіксованих напруг електричного струму (бістабільні), стали називати логічними елементами.
Логічний елемент комп'ютера- це частина електронної логічної схеми, яка реалізує елементарну логічну функцію.
Логічними елементами комп'ютерів є електронні схеми І, АБО, НЕ, І-НЕ, АБО-НЕта інші (звані також вентилями), а також тригер.
За допомогою цих схем можна реалізувати будь-яку логічну функцію, яка описує роботу пристроїв комп'ютера. Зазвичай у вентилів буває від двох до восьми входів та один або два виходи.
Щоб представити два логічні стани - "1" і "0" у вентилях, відповідні їм вхідні та вихідні сигнали мають один із двох встановлених рівнів напруги. Наприклад, +5 вольт та 0 вольт.
Високий рівень зазвичай відповідає значенню "істина" ("1"), а низький - значенню "брехня" ("0").
Кожен логічний елемент має своє умовне позначення,яке виражає його логічну функцію, але не вказує на те, яка саме електронна схема у ньому реалізована. Це спрощує запис та розуміння складних логічних схем.
Роботу логічних елементів описують з допомогою таблиць істинності.
Таблиця істинностіце табличне подання логічної схеми (операції), в якому перераховані всі можливі поєднання значень істинності вхідних сигналів (операндів) разом зі значенням істинності вихідного сигналу (результату операції) для кожного з цих поєднань.
У двійковій системі числення використовуються лише дві цифри 0 і 1. Іншими словами, двійка є основою двійкової системи числення. (Аналогічно у десяткової системи основа 10.)
Щоб навчитися розуміти числа у двійковій системі числення, спочатку розглянемо, як формуються числа у звичній для нас десятковій системі числення.
У десятковій системі числення ми маємо десять знаків-цифр (від 0 до 9). Коли рахунок сягає 9, то вводиться новий розряд (десятки), а одиниці обнулюються і рахунок починається знову. Після 19 розряд десятків збільшується на 1, а одиниці знову обнуляються. І так далі. Коли десятки сягають 9, потім з'являється третій розряд – сотні.
Двійкова система числення аналогічна десяткової крім того, що у формуванні числа беруть участь лише дві знака-цифри: 0 і 1. Як тільки розряд досягає своєї межі (тобто одиниці), з'являється новий розряд, а старий обнуляється.
Спробуємо рахувати в двійковій системі:
0 – це нуль
1 – це один (і це межа розряду)
10 – це два
11 – це три (і це знову межа)
100 – це чотири
101 – п'ять
110 – шість
111 - сім і т.д.
Переклад чисел із двійкової системи числення до десяткової
Не важко помітити, що у двійковій системі числення довжини чисел зі збільшенням значення зростають швидкими темпами. Як визначити, що означає ось це: 10001001? Незвичний до такої форми запису чисел людський мозок зазвичай може зрозуміти скільки це. Непогано б вміти переводити двійкові числа до десяткових.
У десятковій системі числення будь-яке число можна у вигляді суми одиниць, десяток, сотень тощо. Наприклад:
1476 = 1000 + 400 + 70 + 6
1476 = 1 * 10 3 + 4 * 10 2 + 7 * 10 1 + 6 * 10 0
Подивіться на цей запис уважно. Тут цифри 1, 4, 7 та 6 - це набір цифр з яких складається число 1476. Всі ці цифри по черзі множаться на десять зведений у той чи інший ступінь. Десять – це основа десяткової системи числення. Ступінь, в яку зводиться десятка – це розряд цифри за мінусом одиниці.
Аналогічно можна розкласти будь-яке двійкове число. Тільки основа тут буде 2:
10001001 = 1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0
1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 128 + 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 137
Тобто. число 10001001 на підставі 2 дорівнює числу 137 на підставі 10. Записати це можна так:
10001001 2 = 137 10
Чому двійкова система числення така поширена?
Справа в тому, що двійкова система числення - це мова обчислювальної техніки. Кожна цифра має бути представлена на фізичному носії. Якщо це десяткова система, доведеться створити такий пристрій, який може бути в десяти станах. Це складно. Простіше виготовити фізичний елемент, який може бути лише у двох станах (наприклад, є струм чи ні струму). Це одна з основних причин, чому двійковій системі числення приділяється стільки уваги.
Переклад десяткового числа в двійкове
Може знадобитися перевести десяткове число в двійкове. Один із способів – це розподіл на два та формування двійкового числа із залишків. Наприклад, потрібно отримати з числа 77 його двійковий запис:
77/2 = 38 (1 залишок)
38/2 = 19 (0 залишок)
19/2 = 9 (1 залишок)
9/2 = 4 (1 залишок)
4/2 = 2 (0 залишок)
2/2 = 1 (0 залишок)
1/2 = 0 (1 залишок)
Збираємо залишки разом, починаючи з кінця: 1001101. Це і є число 77 у двійковому поданні. Перевіримо:
1001101 = 1*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 77
Двійково-десяткова система числення набула великого поширення в сучасних комп'ютерах через легкість переведення в десяткову систему і назад. Вона використовується там, де основна увага приділяється не простоті технічної побудови машини, а зручності роботи користувача. У цій системі числення всі десяткові цифри кодуються окремо чотирма двійковими цифрами і в такому вигляді записуються послідовно один за одним.
Двійково-десяткова система не економічна з погляду реалізації технічної побудови машини (приблизно на 20% збільшується необхідне обладнання), але дуже зручна під час підготовки завдань та програмуванні. У двійково-десятковій системі числення основою системи числення є число 10, але кожна десяткова цифра (0, 1, ..., 9) зображується, тобто кодується двійковими цифрами. Для представлення однієї десяткової цифри використовуються чотири двійкові. Тут, звичайно, є надмірність, оскільки 4 двійкові цифри (або двійковий зошит) можуть зобразити не 10, а 16 чисел, але це вже витрати виробництва для зручності програмування. Існує цілий ряд двійково-кодованих десяткових систем уявлення чисел, що відрізняються тим, що певним поєднанням нулів і одиниць усередині одного зошита поставлені у відповідність ті чи інші значення десяткових цифр. У найчастіше використовуваної природної двійково-кодованої десяткової системі числення ваги двійкових розрядів усередині зошити природні, тобто 8, 4, 2, 1 (табл. 6).
Таблиця 6
Двійково-десяткове числення
Наприклад, десяткове число 5673 у двійково-десятковому поданні має вигляд 01010110011100011.
Переведення чисел з однієї системи числення до іншої становить важливу частину машинної арифметики. Розглянемо основні правила перекладу.
1. Для переведення двійкового числа до десяткового необхідно його записати у вигляді багаточлена, що складається з творів цифр числа та відповідного ступеня числа 2, та обчислити за правилами десяткової арифметики:
При перекладі зручно користуватися таблицею ступенів двійки:
Таблиця 7.
Ступені числа 2
| n (ступінь) | |||||||||||
приклад.Число перевести до десяткової системи числення.
2. Для переведення восьмеричного числа до десяткового необхідно його записати у вигляді багаточлена, що складається з творів цифр числа та відповідного ступеня числа 8, та обчислити за правилами десяткової арифметики:
При перекладі зручно користуватися таблицею ступенів вісімки:
Таблиця 8
Ступені числа 8
| n (ступінь) | |||||||
| 8 n |
приклад.Число 75013 8 перевести до десяткової системи числення.
Двійково-кодована десяткова система числення (D-коди)
Безпосереднє зображення десяткових чисел призводить до необхідності двійкового кодування десяткових цифр. Пристроям, що виконують арифметичні перетворення з десятковими числами, надається спеціальний термін «десяткова арифметика». Такі пристрої повинні мати максимальну подібність до звичайних двійкових пристроїв.
Десяткова арифметика включається до складу апаратурних засобів високопродуктивних систем з метою виключення перетворень вихідних даних у двійкову форму та результатів у десяткову.
Двійково-кодована десяткова система є комбінованою системою числення, яка має переваги двійкової та зручність десяткової системи.
D-код - це двійково-кодоване уявлення десяткового числа, в якому кожна десяткова цифра представляється зошитом із двійкових символів.
Кількість різних двійкових зошит N= 2 4 = 16. Для кодування двійкових цифр із них використовується лише десять. Наявність надлишкових комбінацій дозволяє мати різні Dкоди. В ЕОМ найбільше застосування знайшли системи кодування 8421 - D 1 , 2421 - D 2 , (8421+3) - D 4 . Надмірність, що з'являється, призводить до безлічі кодування десяткових цифр, з яких слід вибирати оптимальну.
Код 8421 (табл. 2.4) називається кодом із природними вагами, де цифри 8,4,2,1 – ваги двійкових розрядів зошит. Будь-яка десяткова цифра у цьому коді зображується її еквівалентом у двійковій системі числення. Цей код знайшов найбільше застосування при кодуванні десяткових чисел у пристроях введення-виведення та при побудові операційних пристроїв десяткової арифметики.
Особливість кодів D 2 та D 4 (8421+3) або коду з надлишком 3 у тому, що кодування будь-якої десяткової цифри та додаткової до неї цифри до 9 здійснюється взаємно доповнюють зошитами. Ця особливість дає простий спосіб отримання доповнення 9 шляхом інвертування двійкових цифр зошита. Такі коди зручно використовуватиме організації операції віднімання при побудові десяткових суматорів.
Таблиця 2.4
Приклади кодування десяткових цифр зошитами
|
Десяткова цифра |
Еквіваленти в D-кодах |
||
|
D 1 (8421) |
D 2 (2421) |
D 4 (8421+3) |
|
Наведемо приклад кодування десяткового числа A = 8371 у двійково-кодованій десятковій системі числення:
D 1: A = 1000 0011 0111 0001 (2/10) ;
D 2: A = 1110 0011 1101 0001 (2/10) ;
D 4: A = 1011 0110 1010 0100 (2/10).
Оптимальність кодування визначається шістьма вимогами, яким має задовольняти десятковий код.
1. Однозначність. Кожній десятковій цифрі повинен відповідати певний двійковий код, який відрізняється від інших.
Невиконання цієї вимоги призводить до неоднозначності результатів.
2. Упорядкованість. Великим десятковим цифрам повинні відповідати великі зошити десяткового коду і, навпаки, меншим – менші зошити.
Виконання цієї вимоги необхідне організації кількісного порівняння цифр у десяткових розрядах.
3. Парність. Парним цифрам мають відповідати парні зошити, непарним цифрам – непарні зошити. Відповідність може бути позначена будь-яким способом.
Виконання цієї вимоги необхідне виконання округлення результату.
4. Додатковість. Якщо x1 і х2 - такі дві цифри, для яких х1+х2 = 9 і цифрі x1 зіставляється зошита, то цифрі х2, якщо задовольняється вимога додатковості, має зіставлятися зошит, одержуваний інверсією двійкових розрядів коду цифри х1.
Вимога додатковості необхідна спрощення реалізації додаткових і зворотних кодів десяткових чисел.
5. Вагомозначність. Повинні існувати чотири цілі позитивні числа: pз, р2, p1, p0, званих вагами, за допомогою яких можна визначити десяткову цифру х за значенням двійкового зошита, зіставленого х, за формулою
Виконання цієї вимоги сприяє декодуванню.
6. Безперервність. Безперервної послідовності змін значення цифр має відповідати безперервна послідовність змін значення зошит.
Жоден із десяткових кодів не задовольняє одночасно всім шести переліченим вимогам.
Найбільшого поширення у ВТ знайшов код прямого заміщення з вагою розрядів 8421. Цей код найнаочніший і найзручніший, оскільки відповідно до назви коду десяткова цифра в ньому відповідним значенням двійкового коду. Однак код 8421 не задовольняє вимогу додатковості, тому дії в цьому коді зі зміною десяткового числа знака пов'язані з інверсією розрядів або взяття доповнення, тобто вимагають додаткових корекцій і/або тимчасових витрат.
Перевагами двійково-кодованої десяткової системи числення щодо двійкової є:
- · Відсутність необхідності перекладу вихідних даних та результатів з однієї системи числення в іншу;
- · Зручність контролю проміжних результатів шляхом виведення їх на індикацію для внутрішнього спостереження;
- · ширші можливості для автоматичного контролю через наявність у D-Кодах надлишкових комбінацій.
D-коди застосовують на вирішення економічних завдань, які характеризуються великим обсягом вихідних даних, порівняльної простотою і малим обсягом виконуваних з них перетворень і великою кількістю результатів обчислень. Ця система широко використовується в калькуляторах та персональних мікроЕОМ.
