В момента са известни следните методи за организиране на радио канали (радиотехнология): FDMA, TDMA, CDMA, FH-CDMA. Възможни са техните комбинации (например FDMA / TDMA). Моментът на прилагане на тези технологии до голяма степен съвпада с етапите на развитие на мобилните комуникационни системи. Първо поколение мобилно радиотелефонно оборудване използва технологията за множествен достъп с честотно разделение (FDMA). FDMA радио технологията все още се използва успешно в модерното оборудване клетъчнапърво поколение, както и в по-прости неклетъчни мобилни радиотелефонни системи. Що се отнася до стандартите за мобилни комуникации от първия етап, концепцията за стандарти не е използвана за първите радиални системи, а оборудването се отличава с имената на системите (Altai, Volemot, Actionet и др.). Системите за клетъчна комуникация започнаха да се различават по стандарти. FDMA технологията се основава на такива стандарти за клетъчни комуникационни системи от първо поколение като NMT-450, NMT-900, AMPS, TACS.В системите за клетъчни мобилни комуникации от второ поколение беше направен преход към цифрова обработка на предаваните гласови съобщения, за която беше използвана радиотехнологията за множествен достъп с разделяне по време (TDMA). В резултат на прехода към TDMA: шумоустойчивостта на радиопътеката се повиши, защитата му от подслушване стана по-добра и т.н. TDMA се използва в системи като GSM, D-AMPS(последният често се нарича просто TDMA в американската версия). Технологията за множествен достъп с кодово разделение на CDMA, или в английската версия на CDMA, беше активно въведена в обществените радиотелефонни мрежи едва през последните пет години. Тази радиотехнология има своите предимства, т.к в CDMA оборудване: - ефективността на използване на радиочестотния спектър е 20 пъти по-висока в сравнение с радиооборудване по стандарт AMPS (FDMA технология) и 3 пъти по-висока от GSM (TDMA технология); - значително по-добро, отколкото при други TDMA системи от 2-ро поколение, качеството, надеждността и поверителността на комуникацията; - възможно е използването на малки по размер клеми с ниска мощност с дългосроченработа; - на същото разстояние от базовата станция мощността на излъчване на абонатните терминали на CDMA е повече от 5 пъти по-ниска от същия индикатор в стандартните мрежи, базирани на други радиотехнологии; - възможно е да се оптимизира топологията на мрежата при изчисляване на зони на покритие. CDMA технологията за първи път е внедрена в клетъчно оборудване IS-95. По отношение на своите възможности за обслужване, съществуващите CDMA системи принадлежат към второ поколение клетъчни комуникационни системи. Според статистиката на Националния телекомуникационен институт (ETRI) броят на абонатите на CDMA се увеличава с 2000 души дневно. По отношение на темпа на нарастване на броя на абонатите тези мрежи превъзхождат мрежите на други съществуващи клетъчни стандарти, изпреварвайки развитието на клетъчни мрежи дори на такъв популярен стандарт като GSM. В момента има поне 30 милиона абонати в CDMA мрежите. Световната телекомуникационна общност е склонна да вярва, че CDMA ще заеме водеща позиция в бъдещите системи за безжичен достъп за абонатни линии (персонални комуникационни системи от трето поколение). Това заключение е направено поради факта, че CDMA технологията е най-способна да отговори на изискванията за оборудване от трето поколение IMT-2000, по-специално да осигури обмен на информация при високи скорости на предаване. Въпреки това, в бъдещите системи за безжичен достъп се предлага да се използват така наречените широколентови CDMA системи, където честотната лента на канал ще бъде най-малко 5 MHz (в съвременните системи от второ поколение CDMA честотната лента на канал е 1,23 MHz). През последните няколко години започнаха да се появяват средства безжиченбазиран на технологията на разпределения спектър с скачащи честоти (FH-CDMA). Тази технология съчетава спецификата на TDMA, където всяка честота е разделена на няколко времеви слота, и CDMA, където всеки предавател използва специфична последователност от шумоподобни сигнали. Тази технология е намерила своето приложение в системи, предназначени за организация на фиксирани комуникации.

КЪДЕ ДА НАМЕРЯ ТЕХНИТЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИК ГО ЗНАЕ

44. Представяне на периодични сигнали под формата на ред на Фурие

http://scask.ru/book_brts.php?id=8

Периодични сигнали и ред на Фурие

Математическият модел на процес, повтарящ се във времето, е периодичен сигнал със следното свойство:

Тук T е периодът на сигнала.

Задачата е да се намери спектралното разлагане на такъв сигнал.

Ред на Фурие.

Нека зададем интервала от време, разгледан в гл. I ортонормирана основа, образувана от хармонични функции с множество честоти;

Всяка функция от тази база удовлетворява условието за периодичност (2.1). Следователно, - след извършване на ортогоналното разлагане на сигнала в тази база, т.е. изчисляване на коефициентите

получаваме спектралното разлагане

което е валидно за цялата безкрайност на времевата ос.

Поредица от вида (2.4) се нарича ред на Фурие на дадения сигнал. Нека представим основната честота на последователността, която формира периодичния сигнал. Изчислявайки коефициентите на разширение по формула (2.3), ние записваме редицата на Фурие за периодичен сигнал

с коефициенти

(2.6)

Така че, в общия случай, периодичният сигнал съдържа независима от времето постоянна компонента и безкраен набор от хармонични трептения, така наречените хармоници с честоти, кратни на основната честота на последователността.

Всеки хармоник може да бъде описан с неговата амплитуда и начална фаза. За това коефициентите на реда на Фурие трябва да бъдат записани във формата

Замествайки тези изрази в (2.5), получаваме друга, еквивалентна форма на реда на Фурие:

което понякога е по-удобно.

Спектрална диаграма на периодичен сигнал.

Така че е обичайно да се нарича графично представяне на коефициентите на редицата на Фурие за конкретен сигнал. Правете разлика между амплитудните и фазовите спектрални диаграми (фиг. 2.1).

Тук по хоризонталната ос в определен мащаб се нанасят честотите на хармониците, а по вертикалната ос – техните амплитуди и начални фази.

Ориз. 2.1. Спектрални диаграми на някакъв периодичен сигнал: а - амплитуда; b - фаза

Особено се интересуват от амплитудната диаграма, която позволява да се прецени процента на определени хармоници в спектъра на периодичен сигнал.

Нека разгледаме няколко конкретни примера.

Пример 2.1. Серия на Фурие от периодична последователност от правоъгълни видеоимпулси с известни параметри, дори спрямо точката t = 0.

В радиотехниката съотношението се нарича работен цикъл на последователността. Използвайки формули (2.6), намираме

Удобно е да се запише крайната формула на реда на Фурие във формата

На фиг. 2.2 показва амплитудните диаграми на разглежданата последователност в два крайни случая.

Важно е да се отбележи, че поредица от къси импулси, следващи един друг доста рядко, има богат спектрален състав.

Ориз. 2.2. Амплитуден спектър на периодична последователност от правоъгълни видеоимпулси: а - при висок работен цикъл; b - при нисък работен цикъл

Пример 2.2. Серия на Фурие от периодична импулсна поредица, образувана от хармоничен сигнал от типа, ограничен на ниво (приемайки това).

Въвеждаме специален параметър - ъгълът на срязване, определен от съотношението откъдето

В съответствие с това стойността е равна на продължителността на един импулс, изразена в ъглова мярка:

Аналитичен запис на импулса, генериращ разглежданата последователност, има формата

Постоянен компонент на последователността

Амплитуден коефициент на първия хармоник

По същия начин се изчисляват амплитудите - хармоничните компоненти при

Получените резултати обикновено се записват по следния начин:

където така наречените функции на Берг:

Графиките на някои от функциите на Берг са показани на фиг. 2.3.

Ориз. 2.3. Графики на първите няколко функции на Берг

Спектрална плътност на сигналите. Директно и обратно преобразуване на Фурие.

Сигналът се извиква периодичноако формата му се повтаря циклично във времето. Периодичният сигнал обикновено се записва, както следва:

Ето периода на сигнала. Периодичните сигнали могат да бъдат прости или сложни.

За математическо представяне на периодични сигнали с период често се използва тази серия, в която като базисни функции се избират хармонични (синусоидални и косинусови) трептения с множество честоти:

където . е основната ъглова честота на последователността от функции. С хармонични базисни функции от тази серия получаваме ред на Фурие, който в най-простия случай може да се запише в следната форма:

където коефициентите

От редицата на Фурие се вижда, че в общия случай периодичният сигнал съдържа постоянна съставка и набор от хармонични трептения на основната честота и нейните хармоници с честоти. Всяко хармонично трептене от редицата на Фурие се характеризира с амплитуда и начална фаза.

Спектрална диаграма и спектър на периодичен сигнал.

Ако някой сигнал е представен като сума от хармонични трептения с различни честоти, това означава, че спектрално разлагане сигнал.

Спектрална диаграмасигналът е графично представяне на коефициентите от редицата на Фурие на този сигнал. Има амплитудни и фазови диаграми. За да се конструират тези диаграми, хармоничните честоти се нанасят в определен мащаб по хоризонталната ос, а техните амплитуди и фази се нанасят по вертикалната ос. Освен това амплитудите на хармониците могат да приемат само положителни стойности, фазите - както положителни, така и отрицателни стойности в интервала.

Спектрални диаграми на периодичен сигнал:

а) - амплитуда; б) - фаза.

Сигнален спектъре съвкупност от хармонични компоненти със специфични стойности на честоти, амплитуди и начални фази, които заедно образуват сигнал. На практика спектралните диаграми се наричат ​​по-накратко - амплитуден спектър, фазов спектър... Най-голям интерес представлява амплитудната спектрална диаграма. Може да се използва за оценка на процента на хармониците в спектъра.

Спектралните характеристики играят важна роля в телекомуникационните технологии. Познавайки спектъра на сигнала, можете правилно да изчислите и зададете честотната лента на усилватели, филтри, кабели и други възли на комуникационни канали. Познаването на спектрите на сигнала е необходимо за изграждане на многоканални системи с честотно разделяне на мултиплексиране. Без познаване на интерференционния спектър е трудно да се вземат мерки за неговото потискане.

От това можем да заключим, че спектърът трябва да се знае, за да се осъществява неизкривено предаване на сигнал по комуникационния канал, да се осигури разделяне на сигнала и да се отслабят смущенията.

За наблюдение на спектрите на сигналите има устройства, наречени спектрални анализатори... Те позволяват наблюдение и измерване на параметрите на отделни компоненти от спектъра на периодичен сигнал, както и измерване на спектралната плътност на непрекъснат сигнал.

Често математическото описание на детерминираните сигнали, дори прости по структура и форма, е трудна задача. Следователно се използва оригинална техника, при която реални сложни сигнали се заменят (представят, апроксимират) от набор (претеглена сума, т.е. серия) от математически модели, описани от елементарни функции. Това осигурява важен инструмент за анализиране на преминаването на електрически сигнали през електронни схеми. Освен това представянето на сигнала може да се използва като първоначално при неговото описание и анализ. В този случай обратната задача може да бъде значително опростена - синтезсложни сигнали от набор от елементарни функции.

Спектрално представяне на периодични сигнали чрез ред на Фурие

Обобщен ред на Фурие.

Основната идея за спектралното представяне на сигнали (функции) датира от преди повече от 200 години и принадлежи на физика и математика Дж. Б. Фурие.

Да разгледаме система от елементарни ортогонални функции, всяка от които се получава от една начална - прототипна функция. Тази прототипна функция играе ролята на "градивен блок" и необходимото приближение се намира чрез съответно комбиниране на идентични блокове. Фурие показа, че всяка сложна функция може да бъде представена (апроксимирана) като крайна или безкрайна сума от поредица от множество хармонични трептения с определени амплитуди, честоти и начални фази. Тази функция може да бъде по-специално токът или напрежението във веригата. Слънчевият лъч, разложен от призма в спектър от цветове, е физически аналог на математическите преобразувания на Фурие (фиг. 2.7).

Светлината, излизаща от призмата, се разделя в пространството на отделни чисти цветове или честоти. Спектърът има средна амплитуда на всяка честота. По този начин функцията на интензитета спрямо времето се трансформира във функция на амплитудата спрямо честотата. Проста илюстрация на разсъжденията на Фурие е показана на фиг. 2.8. Периодична крива с доста сложна форма (фиг. 2.8, а) -това е сборът от два хармоника с различни, но множество честоти: единични (фиг. 2.8, б)и се удвоява (фиг. 2.8, v).

Ориз. 2.7.

Ориз. 2.8.

а- сложна люлка; б, в- 1-ви и 2-ри апроксимиращи сигнали

С помощта на спектрален анализ на Фурие сложна функция се представя от сумата от хармоници, всеки от които има собствена честота, амплитуда и начална фаза. Преобразуването на Фурие дефинира функции, които представляват амплитудата и фазата на хармоничните компоненти, съответстващи на конкретна честота, а фазата е началната точка на синусоидата.

Преобразуването може да бъде получено чрез два различни математически метода, единият от които се използва, когато оригинална функциянепрекъснат, а другият - когато е даден от набор от отделни дискретни стойности.

Ако изследваната функция е получена от стойности с определени дискретни интервали, тогава тя може да бъде разделена на последователна серия от синусоидални функции с дискретни честоти - от най-ниската, основна или основна честота и след това с честоти два, три пъти, и т.н. над основната. Такава сума от компоненти се нарича до Фурие.

Ортогонални сигнали. По удобен начинспектралното описание на сигнал според Фурие е неговото аналитично представяне с помощта на система от ортогонални елементарни функции на времето. Нека има хилбертово сигнално пространство u 0 (t) y G/,(?), ..., u n (t)с крайна енергия, дефинирана на краен или безкраен интервал от време (t v 1 2). В този сегмент ние дефинираме безкрайна система (подмножество) от взаимосвързани елементарни функции на времето и я наричаме основен ".

където r = 1, 2, 3,....

Функции u (t)и v (t)са ортогонални на интервала (?,? 2), ако тяхното скаларно произведение, при условие, че нито една от тези функции ns не е идентично нула.

В математиката това е дадено в хилбертовото пространство на сигналите ортогонална координатна основа, т.е. система от ортогонални базисни функции.

Свойството на ортогоналност на функциите (сигналите) се свързва с интервала на тяхното определяне (фиг. 2.9). Например, два хармонични сигнала m, (?) = = Sin (2nr / 7'0) и u., (t)= грях (4 nt / T Q)(т.е. с честоти / 0 = 1/7 ’0 и 2/0, съответно) са ортогонални във всеки интервал от време, чиято продължителност е равна на цял брой полупериоди T 0(фиг. 2.9, а).Следователно в първия период сигналите и ((1)и u 2 (t)са ортогонални на интервала (0, 7 "0/2), но на интервала (О, ЗГ 0/4) не са ортогонални. Pa Фиг. 2.9, бсигналите са ортогонални поради разликата във времето на тяхното възникване.

Ориз. 2.9.

а- на интервала; б -поради разликата във времето на възникване Представяне на сигнала u (t)елементарните модели се опростяват значително, ако се избере системата от базисни функции vff),притежаващи имота ортонормалност.От математиката е известно, ако за която и да е двойка функции от ортогоналната система (2.7) е изпълнено условието

тогава системата от функции (2.7) ортонормално.

В математиката такава система от базисни функции от вида (2.7) се нарича ортонормална основа.

Нека на даден интервал от време | r, т 2| активен произволен сигнал u (t)и ортонормираната система от функции (2.7) се използва за представянето му. Проектиране на произволна форма на вълната u (t)по оста на координатната основа се нарича разширение в обобщен ред на Фурие.Това разширение има формата

където c са някои постоянни коефициенти.

За определяне на коефициентите от дообобщен ред на Фурие, избираме една от базисните функции (2.7) v k (t) спроизволно число Да се.Умножаваме двете страни на разширението (2.9) по тази функция и интегрираме резултата във времето:

Поради ортонормалността на основата на избраните функции от дясната страна на това равенство, всички членове на сбора за и ^ Да сеще изчезне. Само единственият член на сбора с числото и = Да се,Ето защо

Продукт на формата c k v k (t),включени в обобщения ред на Фурие (2.9), е спектрален компонентсигнал u (t),и набор от коефициенти (проекции на сигнални вектори върху координатните оси) (с 0, с, ..., от до,..., с „) напълно дефинира анализирания сигнал ii (t)и го нарече спектър(от лат. спектър- образ).

Същността спектрално представяне (анализ) на сигнала се състои в определяне на коефициентите с i по формула (2.19).

Изборът на рационална ортогонална система на координатната основа на функциите зависи от целта на изследването и се определя от желанието да се опрости възможно най-много математическия апарат за анализ, трансформации и обработка на данни. В момента като базисни функции се използват полиномите на Чебишев, Ермит, Лагер, Лежандър и др. Най-разпространено е преобразуването на сигнали в бази на хармонични функции: комплексна експоненциална опит (J 2lft)и реални тригонометрични функции синус-косинус, свързани с формулата на Ойлер f> x= cosx + y "sinx. Това се дължи на факта, че хармоничното трептене теоретично напълно запазва формата си при преминаване през линейни вериги с постоянни параметри и се променят само амплитудата и началната фаза. Символният метод, добре развит в теорията на веригата, широко се използва и Операцията за представяне на детерминирани сигнали под формата на набор от постоянни компоненти ( постоянен компонент)и обикновено се наричат ​​сумите от хармонични вибрации с множество честоти спектрално разлагане.Доста широкото използване на обобщения ред на Фурие в теорията на сигналите е свързано и с неговото много важно свойство: за избраната ортонормирана система от функции v k (t)и фиксиран брой членове в серията (2.9), той осигурява най-доброто представяне на дадения сигнал u (t).Това свойство на редовете на Фурие е широко известно.

В спектралното представяне на сигнали най-широко се използват ортонормирани бази на тригонометричните функции. Това се дължи на следното: най-лесно се генерират хармонични трептения; хармоничните сигнали са инвариантни по отношение на трансформациите, извършвани от стационарни линейни електрически вериги.

Нека оценим временното и спектралното представяне на аналоговия сигнал (фиг. 2.10). На фиг. 2.10, апоказва времева диаграма на непрекъснат сигнал със сложна форма, а фиг. 2.10, б -нейното спектрално разлагане.

Помислете за спектралното представяне на периодични сигнали като сума от хармонични функции или сложни експоненциали с честоти, образуващи аритметична прогресия.

Периодичноизвикайте сигнала и „(?). повтаряне на редовни интервали (фиг. 2.11):

където G е периодът на повторение или повторение на импулси; n = 0,1, 2,....

Ориз. 2.11. Периодичен сигнал

Ако те периодът на сигнала u (t),тогава периодите също ще бъдат негови кратни: 2Г, 3 ти т.н. Периодична последователност от импулси (те се наричат видео импулси) се описва с израза

Ориз. 2.10.

а- времева диаграма; б- амплитуден спектър

Тук u Q (t)- формата на единичен импулс, характеризиращ се с амплитудата (височина) h = E,продължителност т „, периодът на T = 1 / F (F - честота), позицията на импулсите във времето спрямо точките на часовника, например t = 0.

За спектрален анализ на периодични сигнали, ортогоналната система (2.7) е удобна под формата на хармонични функции с множество честоти:

където ω, = 2p / T-честота на повторение на пулса.

Изчислявайки интегралите, използвайки формула (2.8), е лесно да се провери ортогоналността на тези функции на интервала [-Г / 2, Г / 2 |. Всяка функция удовлетворява условието за периодичност (2.11), тъй като техните честоти са кратни. Ако системата (2.12) е записана като

тогава получаваме ортонормирана база за хармонични функции.

Представете си периодичен сигнал, най-често срещаният в теорията на сигналите тригонометричен(синус косинус) формаред на Фурие:

От курса по математика е известно, че съществува разширение (2.11), т.е. серията се сближава, ако функцията (в този случай сигналът) u (t)на интервала [-7/2, 7/2] удовлетворява Условия на Дирихле(за разлика от теоремата на Дирихле, те често се тълкуват по опростен начин):

• не трябва да има прекъсвания от 2-ри вид (с клони, отиващи до безкрайност);
• функцията е ограничена и има краен брой прекъсвания от 1-ви вид (скокове);
• функцията има краен брой екстремуми (т.е. високи и ниски нива).

Формулата (2.13) съдържа следните компоненти на анализирания сигнал:

Постоянен компонент

Амплитуди на косинусните компоненти

Амплитуди на синусоидални компоненти

Спектралната компонента с честота ω в теорията на комуникацията се нарича първият (основен) хармоничен, и компоненти с честоти iso, (n> 1) - висши хармониципериодичен сигнал. Стъпката в честотата Aco между две съседни синусоиди от разширението на Фурие се нарича честотна разделителна способностспектър.

Ако сигналът е четна функция на времето u (t) = u (-t), то в тригонометричното обозначение на редицата на Фурие (2.13) няма синусоидални коефициенти Б n, тъй като в съответствие с формула (2.16) те изчезват. За сигнал u (t),описани с нечетна функция на времето, напротив, съгласно формула (2.15), косинусните коефициенти a n(постоянен компонент а 0също липсва), а поредицата съдържа компонентите B n.

Границите на интегриране (от -7/2 до 7/2) не трябва да са същите като във формули (2.14) - (2.16). Интегрирането може да се извърши през всеки интервал от време 7 - резултатът няма да се промени. Специфични граници са избрани за удобство при изчисление; например може да е по-лесно да се интегрират от 0 до 7 или от -7 до 0 и т.н.

Клонът на математиката, който установява връзката между функцията на времето ти (т) и спектрални коефициенти a n, b n,са наречени хармоничен анализпоради функция за свързване u (t)със синусоидални и косинусови членове на тази сума. Освен това, спектралният анализ е ограничен основно от обхвата на хармоничния анализ, който намира изключително приложение.

Често използването на синус-косинусовата форма на серията на Фурие не е напълно удобно, тъй като за всяка стойност на индекса на сумиране П(т.е. за всеки хармоник с честота mOj) във формула (2.13) се появяват два члена - косинус и синус. От математическа гледна точка е по-удобно тази формула да се представи като еквивалентен ред на Фурие в реална форма /.

където А 0 = а 0 / 2; A n = yja 2 n + Б -амплитуда; n-ти хармоник на сигнала. Понякога във връзка (2.17) пред cp A се поставя знак плюс, тогава началната фаза на хармониците се записва като cp и = -arctg ( b n faн).

В теорията на сигналите сложната форма на редовете на Фурие се използва широко. Получава се от реалната форма на редицата чрез представяне на косинуса под формата на полусума от комплексни експоненциали, използвайки формулата на Ойлер:

Прилагайки тази трансформация към реалната форма на реда на Фурие (2.17), получаваме сумите от комплексни експоненти с положителни и отрицателни експоненти:

И сега ще интерпретираме експоненциали във формула (2.19) на честота ω, със знак минус в експонента като членове на ред с отрицателни числа. В рамките на същия подход кое А 0ще стане член на поредицата с номер нула. След прости трансформации стигаме до интегрирана формаРед на Фурие

Комплексна амплитуда П th хармоник.

Стойностите C nчрез положителни и отрицателни числа Пса комплексно спрегнати.

Забележете, че редът на Фурие (2.20) е ансамбъл от комплексни експоненциали опит (jn (o (t) с честоти, образуващи аритметична прогресия.

Нека дефинираме връзката между коефициентите на тригонометричните и комплексните форми на реда на Фурие. Очевидно е, че

Може също да се покаже, че коефициентите a n= 2C w coscp „; b n = 2C / I sincp, f.

Ако u (t)е четна функция, коефициентите на реда C ще бъдат истински,и ако u (t) -функцията е нечетна, коефициентите на реда стават въображаем.

Спектралното представяне на периодичен сигнал чрез сложната форма на редицата на Фурие (2.20) съдържа както положителни, така и отрицателни честоти. Но отрицателните честоти не съществуват в природата и това е математическа абстракция (физическият смисъл на отрицателната честота е въртене в посока, обратна на тази, която се приема за положителна). Те се появяват като следствие от формалното представяне на хармоничните вибрации в сложна форма. При преминаване от сложната форма на нотация (2.20) към реалната форма (2.17), отрицателната честота изчезва.

За спектъра на сигнала ясно се съди по графичното му изображение – спектралната диаграма (фиг. 2.12). Разграничаване амплитуда-честотаи фазово-честотни спектри.Набор от хармонични амплитуди A n(фиг. 2.12, а)са наречени амплитуден спектър, техните фази (фиг. 2.12, б)сряда I - фазов спектър.Агрегатът C n = |C nе сложен амплитуден спектър(фиг. 2.12, v).В спектралните диаграми осите на абсцисата изобразяват текущата честота, но осите на ординатите представляват реалната или комплексната амплитуда или фаза на съответните хармонични компоненти на анализирания сигнал.

Ориз. 2.12.

а -амплитуда; б -фаза; v -амплитуден спектър на сложен ред на Фурие

Спектърът на периодичния сигнал се нарича управлявалили отделен, тъй като се състои от отделни линии с височина равна на амплитудата A nхармоници. От всички видове спектри, амплитудният спектър е най-информативен, тъй като позволява да се оцени количественото съдържание на определени хармоници в честотния състав на сигнала. В теорията на сигнала е доказано, че амплитудният спектър е равномерна честотна функция, и фаза - странно

Забележка еднакво разстояние(еквидистанция от началото) на сложния спектър от периодични сигнали: симетричните (положителни и отрицателни) честоти, на които са разположени спектралните коефициенти на тригонометричния ред на Фурие, образуват равноотдалечена последователност (..., -jo v..., -2co p -co p 0, v 2co, ..., ncov...) съдържаща честотата co = 0 и имаща стъпка co t = 2n / 7 '. Коефициентите могат да приемат всякакви стойности.

Пример 2.1

Нека изчислим амплитудните и фазовите спектри на периодична последователност от правоъгълни импулси с амплитуда β, продължителност τ и период на повторение Т.Сигнал - четна функция (фиг. 2.13).

Ориз. 2.13.

Решение

Известно е, че идеалният правоъгълен видео импулс се описва със следното уравнение:

тези. образува се като разлика между две единични функции а (?) (функции на включване), изместени във времето от т.нар.

Влак с квадратни вълни е известна сума от единични импулси:

Тъй като даденият сигнал е четна функция на времето и през един период действа само на интервала [t и / 2, t и / 2], то съгласно формула (2.14)

където q = Т/Т".

Анализирайки получената формула, можете да видите, че периодът на повторение и продължителността на импулса са включени в нея под формата на съотношение. Този параметър q -съотношението на периода към продължителността на импулсите - нар работен цикълпериодична последователност от импулси (в чуждата литература вместо работния цикъл се използва реципрочен - коефициент на запълване, от английски, работен цикълравно на m и / 7); в q = 2 се нарича последователност от правоъгълни импулси, когато продължителността на импулсите и интервалите между тях станат равни меандър(от гръцки paiav5poq - модел, геометричен орнамент).

Поради четността на функцията, описваща анализирания сигнал, в редицата на Фурие, заедно с постоянната компонента, ще присъстват само косинусови компоненти (2.15):

От дясната страна на формула (2.22) вторият фактор има формата на елементарна функция (sinx) / x. В математиката тази функция се обозначава като sinc (x) и само за стойността х= 0 е равно на единица (lim (sinx / x) = 1), преминава

през нула в точките x = ± n, ± 2n, ... и запада с нарастващ аргумент x (фиг. 2.14). Накрая тригонометричният ред на Фурие (2.13), който апроксимира дадения сигнал, се записва във вида

Ориз. 2.14.Графика на функциите sinx / x

Функцията синус има венчелистичен характер. Говорейки за ширината на венчелистчетата, трябва да се подчертае, че за графики на дискретни спектри на периодични сигнали има два варианта за градуиране на хоризонталната ос - в хармонични числа и честоти. Например, на фиг. 2.14 градуирането на ординатата съответства на честотите. Ширината на лобовете, измерена в броя на хармониците, е равна на работния цикъл на последователността. Това предполага важно свойство на спектъра на поредица от правоъгълни импулси - няма (нулеви амплитуди) хармоници с числа, кратни на работния цикъл. Когато работният цикъл е равен на три, всеки трети хармоник изчезва. Ако работният цикъл е равен на две, тогава в спектъра ще останат само нечетни хармоници на основната честота.

От формула (2.22) и фиг. 2.14 следва, че коефициентите на редица по-високи хармоници на сигнала имат отрицателен знак. Това се дължи на факта, че началната фаза на тези хармоници е равна на П.Следователно е обичайно формулата (2.22) да се представя в модифициран вид:

При такъв запис на серията на Фурие стойностите на амплитудите на всички по-високи хармонични компоненти на графиката на спектралната диаграма са положителни (фиг. 2.15, а).

Амплитудният спектър на сигнала до голяма степен зависи от съотношението на периода на повторение ти продължителността на импулса m и, т.е. от работния цикъл q.Честотното разстояние между съседните хармоници е равно на честотата на повторение на импулса с 1 = 2n / T. Ширината на спектралните дялове, измерена в честотни единици, е равна на 2n / mn, т.е. е обратно пропорционална на продължителността на импулса. Имайте предвид, че при същата продължителност на импулса m и с увеличаване на

Ориз. 2.15.

а- амплитуда;б- фаза

периодът на тяхното повторение тосновната честота ω намалява и спектърът става по-плътен.

Същата картина се наблюдава, ако продължителността на импулса m е съкратена и с постоянен период Т.В този случай амплитудите на всички хармоници намаляват. Това е проявление на общия закон (принципа на неопределеността на В. Хайзенберг - принцип на несигурност) ',колкото по-кратка е продължителността на сигнала, толкова по-широк е неговият спектър.

Фазите на компонентите се определят по формулата cp n = арктан (b n / a n).Тъй като тук коефициентите Б „= 0, тогава

където m = 0, 1, 2,....

Съотношение (2.24) показва, че при изчисляване на фазите на спектралните компоненти имаме работа с математическа неопределеност. За да го разкрием, нека се обърнем към формула (2.22), според която амплитудите на хармониците периодично променят знака в съответствие с промяната в знака на функцията sin (nco 1 x 1I / 2). Промяната в знака във формула (2.22) е еквивалентна на фазово изместване на тази функция с П.Следователно кога тази функцияположителна, хармонична фаза (p и = 2 tp,а когато е отрицателен - = (2т + 1 )Да се(фиг. 2.15, б). Имайте предвид, че въпреки че амплитудите на компонентите в спектъра на правоъгълните импулси намаляват с увеличаване на честотата (виж фиг. 2.15, а),този спад е доста бавен (амплитудите намаляват обратно на честотата). За предаване на такива импулси без изкривяване е необходима безкрайна честотна лента на комуникационния канал. За относително ненатрапчиви изкривявания, граничната стойност на честотната лента трябва да бъде много пъти по-голяма от стойността, обратна на ширината на импулса. Всички реални канали обаче имат ограничена честотна лента, което води до изкривявания във формата на предаваните импулси.

Серията на Фурие от произволни периодични сигнали може да съдържа безкрайно голям брой термини. При изчисляване на спектрите на такива сигнали, изчисляването на безкрайната сума от редовете на Фурие причинява определени трудности и не винаги се изисква, следователно те са ограничени до сумирането на краен брой термини (серията е "съкратена").

Точността на апроксимация на сигнала зависи от броя на сумираните компоненти. Нека разгледаме това, използвайки пример за апроксимация чрез сумата от първите осем хармоника на поредица от правоъгълни импулси (фиг. 2.16). Сигналът има формата на еднополюсен меандър с период на повторение Чеамплитуда Е= 1 и продължителност на импулса m и = т/ 2 (данният сигнал е четна функция - фиг. 2.16, а; работен цикъл q= 2). Приближението е показано на фиг. 2.16, b, а графиките показват броя на сумираните хармоници. При апроксимацията на даден периодичен сигнал (виж фиг. 2.13) с тригонометричния ред (2.13), сумирането на първия и по-високите хармоници ще се извършва само върху нечетни коефициенти Путъй като за дори техните стойности и продължителност на импулса m и = т/ 2 = = mt / co, стойността sin (mo, T H / 2) = sin (wt / 2) изчезва.

Тригонометричната форма на редицата на Фурие (2.23) за даден сигнал има формата

Ориз. 2.16.

а -подаден сигнал; 6 - междинни етапи на сумиране

За удобство на представянето, редът на Фурие (2.25) може да бъде написан по опростен начин:

От формула (2.26) е видно, че хармониците, приближаващи меандъра, са нечетни, имат редуващи се знаци и техните амплитуди са обратно пропорционални на числата. Обърнете внимание, че поредица от правоъгълни импулси не е подходяща за представяне чрез ред на Фурие - приближението съдържа пулсации и скокове, а сумата от произволен брой хармонични компоненти с всякакви амплитуди винаги ще бъде непрекъсната функция. Следователно поведението на редовете на Фурие в близост до прекъсвания е от особен интерес. От графиките на фиг. 2.16, b е лесно да се види как с увеличаване на броя на сумираните хармоници, получената функция все по-близо до формата на оригиналния сигнал u (t)навсякъде, с изключение на точките на нейното прекъсване. В близост до точките на прекъсване, сумирането на реда на Фурие дава наклонена част и стръмността на наклона на получената функция се увеличава с увеличаване на броя на сумираните хармоници. В самата точка на прекъсване (означаваме го като т = t 0)Ред на Фурие u (t 0)се доближава до полусумата от дясната и лявата граница:

На участъците от апроксимираната крива, съседни на прекъсването, сборът от серията дава забележими пулсации, а на фиг. 2.16 се вижда, че амплитудата на основното излъчване на тези пулсации не намалява с увеличаване на броя на сумираните хармоници - тя се свива само хоризонтално, приближавайки се до точката на прекъсване.

В П-? в точките на прекъсване амплитудата на изтласкване остава постоянна,

и ширината му ще бъде безкрайно тясна. Относителната амплитуда на пулсациите (спрямо амплитудата на скока) и относителното затихване също не се променят; променя се само честотата на пулсациите, която се определя от честотата на последните сумирани хармоници. Това се дължи на сближаването на редовете на Фурие. Да вземем класически пример: ще стигнете ли някога до стена, ако изминавате половината оставащо разстояние с всяка стъпка? Първата стъпка ще доведе до средата, втората до три четвърти, а след петата стъпка ще изминете почти 97% от пътя. Почти сте достигнали целта си, но колкото и още стъпки да направите, никога няма да я постигнете в стриктния математически смисъл. Можете да докажете само математически, че в крайна сметка ще можете да се приближите до произволно малко разстояние. Това доказателство ще бъде еквивалентно на демонстриране, че сборът от числата е 1 / 2.1 / 4.1 / 8.1 / 16 и т.н. клони към единство. Това явление, присъщо на всички серии на Фурие за сигнали с прекъсвания от 1-ви вид (например скокове, както в предните части на правоъгълни импулси), се нарича Ефект на Гибс*. В този случай стойността на първия (най-голям) пик на амплитудата в апроксимираната крива е около 9% от нивото на скока (виж фиг. 2.16, П = 4).

Ефектът на Гибс води до фатална грешка в апроксимацията на периодични импулсни сигнали с прекъсвания от първи вид. Ефектът се получава при резки нарушения на монотонността на функциите. При скокове ефектът е максимален, във всички останали случаи амплитудата на пулсациите зависи от естеството на нарушението на монотонността. За редица практически приложения ефектът на Гибс причинява определени проблеми. Например в системите за възпроизвеждане на звук това явление се нарича "звънене" или "подскачане". В този случай всеки остър съгласен или друг внезапен звук може да бъде придружен от кратък звук, неприятен за ухото.

Редът на Фурие може да се приложи не само за периодични сигнали, но и за сигнали с крайна продължителност. В същото време времето се договаря.

интервал, за който се изгражда редът на Фурие, а в други моменти сигналът се счита за равен на нула. За изчисляване на коефициентите на серия, този подход означава периодично продължениесигнал извън разглеждания интервал.

Имайте предвид, че природата (например човешкият слух) използва принципа на анализа на хармоничния сигнал. Човек извършва виртуална трансформация на Фурие всеки път, когато чуе звук: ухото автоматично изпълнява това, представяйки звука като спектър от последователни стойности на силата на звука за тонове с различна височина. Човешкият мозък преобразува тази информация в възприеман звук.

Хармоничен синтез. В теорията на сигнала, заедно с анализа на хармоничния сигнал, хармоничен синтез- получаване на определени вибрации със сложна форма чрез сумиране на редица хармонични компоненти от техния спектър. По същество синтезът на периодична последователност от правоъгълни импулси чрез сумата на редица хармоници беше извършен по-горе. На практика тези операции се извършват на компютър, както е показано на фиг. 2.16, б.

• Жан Батист Жозеф Фурие (J. B. J. Fourier; 1768-1830) - френски математик и физик.
• Джозая Гибс (J. Gibbs, 1839-1903) - американски физик и математик, един от основателите на химическата термодинамика и статистическата физика.

Форми за нотация на редовете на Фурие. Сигналът се извиква периодичен,ако формата му се повтаря циклично във времето Периодичен сигнал u (t)в общ вид се пише по следния начин:

u (t) = u (t + mT), m = 0, ± 1, ± 2,…

Ето Т-периода на сигнала. Периодичните сигнали могат да бъдат прости или сложни.

За математическо представяне на периодични сигнали с период тЧесто се използва серия (2.2), в която като базисни функции се избират хармонични (синусоидални и косинусови) трептения с множество честоти

y 0 (t) = 1; y 1 (t) = sinw 1 t; y 2 (t) = cosw 1 t;

y 3 (t) = sin2w 1 t; y 4 (t) = cos2w 1 t; ..., (2.3)

където w 1 = 2p / T е основната ъглова честота на последователността

функции. С хармонични базисни функции от ред (2.2) получаваме редицата на Фурие (Жан Фурие е френски математик и физик от 19 век).

Хармоничните функции от вида (2.3) в редовете на Фурие имат следните предимства: 1) просто математическо описание; 2) инвариантност към линейни трансформации, тоест ако на входа на линейна верига действа хармонично трептене, тогава на неговия изход ще има и хармонично трептене, което се различава от входа само по амплитуда и начална фаза; 3) като сигнал, хармоничните функции са периодични и имат безкрайна продължителност; 4) техниката за генериране на хармонични функции е доста проста.

От курса по математика е известно, че за разширяване на периодичен сигнал в редица в хармонични функции (2.3) е необходимо да се изпълнят условията на Дирихле. Но всички реални периодични сигнали удовлетворяват тези условия и те могат да бъдат представени като ред на Фурие, който може да бъде написан в една от следните форми:

u (t) = A 0/2 + (A ’mn cosnw 1 t + A” mn nw 1 t), (2.4)

където коефициентите

A mn ”= (2.5)

u (t) = A 0/2 + (2.6)

A mn = (2.7)

или в сложна форма

u (t) = (2.8)

C n = (2.9)

От (2.4) - (2.9) следва, че в общия случай периодичният сигнал u (t) съдържа постоянен компонент A 0/2 и набор от хармонични трептения на основната честота w 1 = 2pf 1 и нейните хармоници с честоти wn = nw 1, n = 2 , 3,4, ... Всеки от хармониците

трептения от ред на Фурие се характеризират с амплитудата и началната фаза y n .nn

Спектрална диаграма и спектър на периодичен сигнал. Ако някой сигнал се представи като сума от хармонични трептения с различни честоти, тогава се казва, че спектрално разлаганесигнал.

Спектрална диаграмасигнал обикновено се нарича графично представяне на коефициентите на редицата на Фурие на този сигнал. Правете разлика между амплитудни и фазови диаграми. На фиг. 2.6 в определен мащаб по хоризонталната ос се нанасят стойностите на хармоничните честоти, по вертикалната ос - техните амплитуди A mn и фази y n. Освен това амплитудите на хармониците могат да приемат само положителни стойности, фазите - както положителни, така и отрицателни стойности в интервала -p £ y n £ p

Сигнален спектъре съвкупност от хармонични компоненти със специфични стойности на честоти, амплитуди и начални фази, които заедно образуват сигнал. В техническите приложения на практика спектралните диаграми се наричат ​​по-кратко - амплитуден спектър, фазов спектър.Най-често те се интересуват от амплитудната спектрална диаграма. Може да се използва за оценка на процента на хармониците в спектъра.

Пример 2.3. Разширете периодична последователност от правоъгълни видеоимпулси в серия на Фурие Сизвестни параметри (U m, T, t z),дори "Спрямо точка t = 0. Постройте спектрална диаграма на амплитуди и фази при U m = 2B, T = 20ms, S = T / t и = 2 и 8.

Даден периодичен сигнал на интервал от един период може да се запише като

За да представим този сигнал, нека използваме формата за запис на редовете на Фурие vформа (2.4). Тъй като сигналът е четен, в разширението ще останат само косинусови компоненти.

Ориз. 2.6. Спектрални диаграми на периодичен сигнал:

а - амплитуда; б- фаза

Интегралът на нечетна функция за период е равен на нула. Използвайки формули (2.5), намираме коефициентите

позволява да се запише редът на Фурие:

За да построим спектрални диаграми за конкретни числови данни, ние задаваме i = 0, 1, 2, 3, ... и изчисляваме хармоничните коефициенти. Резултатите от изчисляването на първите осем компонента на спектъра са обобщени в табл. 2.1. В поредицата (2.4) A "mn = 0и съгласно (2.7) A mn = | A 'mn |, основната честота f 1 = 1 / T = 1 / 20-10 -3 = 50 Hz, w 1 = 2pf 1 = 2p * 50 = 314 rad / s . Амплитудният спектър на фиг.

2.7 е създаден за такива н,при което A mnповече от 5% от максималната стойност.

От дадения пример 2.3 следва, че с увеличаване на работния цикъл броят на спектралните компоненти се увеличава и амплитудите им намаляват. За такъв сигнал се казва, че има богат спектър. Трябва да се отбележи, че за много практически използвани сигнали не е необходимо да се изчисляват амплитудите и фазите на хармониците, като се използват формулите, дадени по-рано.

Таблица 2.1. Амплитуди на компонентите от редицата на Фурие на периодична последователност от правоъгълни импулси

Ориз. 2.7. Спектрални диаграми на периодична последователност от импулси: а-с работен цикъл S-2; - b-когато работен цикъл S = 8

В математическите справочници има таблици за разлагане на сигнала в серията на Фурие. Една от тези таблици е дадена в приложението (Таблица А.2).

Често възниква въпросът: колко спектрални компоненти (хармоници) да вземем, за да представим реален сигнал като ред на Фурие? В крайна сметка сериалът е, строго погледнато, безкраен. Тук не може да се даде еднозначен отговор. Всичко зависи от формата на сигнала и точността на представянето му от серията на Фурие. По-гладка промяна на сигнала - необходими са по-малко хармоници. Ако сигналът има скокове (прекъсвания), тогава трябва да се сумират повече хармоници, за да се постигне същата грешка. Въпреки това, в много случаи, например в телеграфията, се смята, че три хармоника също са достатъчни за предаване на правоъгълни импулси със стръмни ръбове.

През миналия век Иван Бернули, Леонард Ойлер и след това Жан-Батист Фурие са първите, които използват представянето на периодични функции чрез тригонометрични редове. Този възглед се изучава достатъчно подробно в други курсове, така че ние си припомняме само основните връзки и дефиниции.

Както бе отбелязано по-горе, всяка периодична функция u (t) за което равенството u (t) = u (t + T) , където T = 1 / F = 2p / W , може да бъде представена с ред на Фурие:

Всеки член от тази серия може да бъде разширен с помощта на косинусовата формула за разликата между два ъгъла и представен като два термина:

,

където: A n = C n cosφ n, B n = C n sinφ n , така , а

Коефициенти A n и Кръчма се определят от формулите на Ойлер:

;
.

В n = 0 :

а B 0 = 0.

Коефициенти A n и Кръчма , са средните стойности на произведението на функцията u (t) и хармонични трептения с честота nw на интервал от времетраене т ... Вече знаем (раздел 2.5), че това са функции на кръстосана корелация, които определят мярката на тяхната връзка. Следователно коефициентите A n и B n покажи ни "колко" синусоиди или косинуси с честота nW съдържащи се в тази функция u (t) , разширено в серия на Фурие.

По този начин можем да представим периодичната функция u (t) като сбор от хармонични вибрации, където числата C n са амплитудите и числата φ n - фази. Обикновено в литературата се нарича спектър на амплитудите, и - спектър от фази. Често се разглежда само спектърът на амплитудите, който се изобразява като линии, разположени в точки nW на честотната ос и имащи височина, съответстваща на числото C n ... Трябва обаче да се помни, че за да се получи съответствие едно към едно между времевата функция u (t) и неговия спектър, е необходимо да се използват както амплитуден спектър, така и фазов спектър. Това се вижда от това прост пример... Сигналите ще имат същия амплитуден спектър, но напълно различни типове времеви функции.

Дискретният спектър може да има не само периодична функция. Например сигналът: не е периодичен, но има дискретен спектър, състоящ се от две спектрални линии. Също така няма да има строго периодичен сигнал, състоящ се от поредица от радиоимпулси (импулси с високочестотно пълнене), при които периодът на повторение е постоянен, но началната фаза на високочестотното запълване се променя от импулс към импулс според на някакъв закон. Такива сигнали се наричат ​​почти периодични. Както ще видим по-късно, те също имат дискретен спектър. Изследването на физическата природа на спектрите на такива сигнали ще извършим по същия начин, както при периодичните.