Преминаваме към разглеждането на общия случай - метода за промяна на променливите в неопределения интеграл.

Пример 5

Като пример взех интеграла, който разгледахме в самото начало на урока. Както вече казахме, за да решим интеграла, харесахме табличната формула и бих искал да сведа всичко до нея.

Идеята зад метода за замяна е да заменете сложен израз (или някаква функция) с една буква.
В този случай се пита:
Втората най-популярна заместваща буква е буквата .
По принцип можете да използвате и други букви, но ние все пак се придържаме към традициите.

Така:
Но при смяната ни остава! Вероятно мнозина са се досетили, че ако се направи преход към нова променлива, тогава в новия интеграл всичко трябва да бъде изразено чрез буквата и изобщо няма място за диференциала.
Следва логично заключение, че е необходимо се превръщат в някакъв израз, който зависи само от.

Действието е следното. След като сме избрали замяна, в този пример, , трябва да намерим диференциала . С диференциали мисля, че приятелството вече е установено за всички.

От тогава

След разкриването с диференциала препоръчвам да пренапишете крайния резултат възможно най-кратко:
Сега, според правилата за пропорция, ние изразяваме този, от който се нуждаем:

В крайна сметка:
По този начин:

И това вече е най-табличният интеграл ( таблица на интегралите, разбира се, важи и за променливата ).

В заключение остава да се извърши обратната подмяна. Ние помним това.

Готов.

Крайният дизайн на този пример трябва да изглежда така:

“

Нека заменим:

“

Иконата не носи никакво математическо значение, това означава, че сме прекъснали решението за междинни обяснения.

Когато правите пример в тетрадка, е по-добре да надстроите обратното заместване с обикновен молив.

Внимание!В следващите примери намирането на диференциала няма да бъде описано подробно.

И сега е време да си спомним първото решение:

Каква е разликата? Няма принципна разлика. Всъщност е едно и също нещо. Но от гледна точка на дизайна на задачата, методът за привеждане на функцията под знака на диференциала е много по-кратък.

Възниква въпросът. Ако първият начин е по-кратък, тогава защо да използвате метода за замяна? Факт е, че за редица интеграли не е толкова лесно да се "намести" функцията под знака на диференциала.

Пример 6

Намерете неопределения интеграл.

Нека направим замяна: (тук е трудно да се мисли за друга замяна)

Както можете да видите, в резултат на подмяната оригиналният интеграл е значително опростен - сведен до обикновена степенна функция. Това е целта на замяната - да опрости интеграла.

Мързеливите напреднали могат лесно да решат този интеграл, като поставят функцията под диференциалния знак:

Друго нещо е, че подобно решение не е очевидно за всички ученици. Освен това, вече в този пример, използването на метода за привеждане на функция под диференциалния знак значително увеличава риска от объркване при вземането на решение.

Пример 7

Намерете неопределения интеграл. Извършете проверка.

Пример 8

Намерете неопределения интеграл.

Замяна:
Остава да видим какво ще стане

Е, изразихме, но какво да правим с останалото „Х” в числителя?!
От време на време, в хода на решаването на интеграли, се получава следният трик: ще изразим от същата замяна!

Пример 9

Намерете неопределения интеграл.

Това е пример "направи си сам". Отговорете в края на урока.

Пример 10

Намерете неопределения интеграл.

Със сигурност някои са забелязали, че моята референтна таблица няма правило за заместване на променливи. Беше направено умишлено. Правилото би объркало обяснението и разбирането, тъй като не се появява изрично в горните примери.

Време е да поговорим за основната предпоставка за използването на метода за заместване на променлива: интегралната функция трябва да съдържа някаква функция и негова производна : (функциите може да не са в продукта)

В тази връзка, когато се намират интеграли, често се налага да се разглежда таблицата на производните.

В този пример забелязваме, че степента на числителя е една по-малка от степента на знаменателя. В таблицата на производните намираме формулата, която просто намалява степента с единица. И следователно, ако посочите за знаменател, тогава има големи шансове числителят да се превърне в нещо добро.

Замяна:

Между другото, тук не е толкова трудно да поставите функцията под диференциалния знак:

Трябва да се отбележи, че за дроби като , такъв трик вече няма да работи (по-точно ще е необходимо да се прилага не само техниката на заместване). Можете да научите как да интегрирате някои дроби в урока Интегриране на някои дроби.

Ето още няколко типични примера за независимо решение от същата опера:

Пример 11

Намерете неопределения интеграл.

Пример 12

Намерете неопределения интеграл.

Решения в края на урока.

Пример 13

Намерете неопределения интеграл.

Разглеждаме таблицата на производните и намираме нашия арков косинус: . Имаме в интегранта аркосинус и нещо подобно на неговата производна.

Общо правило:
Отзад обозначава самата функция(а не негова производна).

В такъв случай: . Остава да разберем в какво ще се превърне останалата част от интегранта.

В този пример ще опиша подробно констатацията, защото това е сложна функция.

Или по-кратко:
Според правилото за пропорция изразяваме остатъка, от който се нуждаем:

По този начин:

Тук не е толкова лесно функцията да се постави под знака на диференциала.

Пример 14

Намерете неопределения интеграл.

Пример за независимо решение. Отговорът е много близък.

Внимателните читатели ще забележат, че разгледах няколко примера с тригонометрични функции. И това не е случайно, т.к интеграли от тригонометрични функциидаден отделен урок. Освен това в посочения урок са дадени някои полезни насоки за промяна на променливата, което е особено важно за манекени, които не винаги и веднага разбират какъв вид подмяна трябва да се извърши в един или друг интеграл. Също така, някои видове заместители могат да бъдат намерени в статията Определен интеграл. Примери за решение.

По-опитните студенти могат да се запознаят с типичен заместител в интеграли с ирационални функции. Подмяната на коренна интеграция е специфична и техниката на нейното изпълнение се различава от тази, която разгледахме в този урок.

Желая ти късмет!

Пример 3:Решение :

Пример 4:Решение :

Пример 7:Решение :

Пример 9:Решение :

Замяна:

Пример 11:Решение :

Нека заменим:

Пример 12:Решение :

Нека заменим:

Пример 14:Решение :

Нека заменим:

Интегриране по части. Примери за решение

Здравей отново. Днес в урока ще научим как да интегрираме по части. Методът на интегриране по части е един от крайъгълните камъни на интегралното смятане. На теста, изпита на студента почти винаги се предлага да реши интеграли от следните видове: най-простият интеграл (виж статиятаНеопределен интеграл. Примери за решение ) или интеграл за промяна на променливата (виж статиятаМетод на промяна на променливата в неопределен интеграл ) или интегралът просто включен метод на интегриране по части.

Както винаги, под ръка трябва да има: Таблица на интегралитеи Таблица на производните. Ако все още ги нямате, моля, посетете склада на моя сайт: Математически формули и таблици. Няма да се уморя да повтарям - по-добре е да отпечатате всичко. Ще се опитам да представя целия материал по последователен, прост и достъпен начин, няма особени трудности при интегрирането по части.

Какъв проблем решава интеграцията по части? Методът на интегриране по части решава много важен проблем, той ви позволява да интегрирате някои функции, които не са в таблицата, работафункции, а в някои случаи - и частни. Както помним, няма удобна формула: . Но има и този: е формулата за интегриране по части лично. Знам, знам, ти си единствената - с нея ще работим целия урок (вече е по-лесно).

4) , - обратни тригонометрични функции („арки“), „арки“, умножени по някакъв полином.

Също така някои дроби се вземат на части, ние също ще разгледаме подробно съответните примери.

Интеграли от логаритми

Пример 1

Намерете неопределения интеграл.

Класически. От време на време този интеграл може да се намери в таблици, но е нежелателно да се използва готов отговор, тъй като учителят има бери-бери през пролетта и той ще се скара много. Тъй като разглежданият интеграл в никакъв случай не е табличен - той се взема на части. Ние решаваме:

Прекъсваме решението за междинни обяснения.

Използваме формулата за интегриране по части:

НО начини за редуциране на интегралите до табличниние ви дадохме:

метод на променлива замяна;

метод на интегриране по части;

Метод на директна интеграция

начини за представяне на неопределени интеграли чрез таблични за интеграли от рационални дроби;

методи за представяне на неопределени интеграли чрез таблични интеграли за интеграли от ирационални изрази;

начини за изразяване на неопределени интеграли чрез таблични за интеграли от тригонометрични функции.

Неопределен интеграл от степенна функция

Неопределен интеграл от експоненциална функция

Но неопределеният интеграл от логаритъма не е табличен интеграл; вместо това формулата е таблична:

Неопределени интеграли от тригонометрични функции: Интеграли от синус, косинус и тангенс

Неопределени интеграли с обратни тригонометрични функции

Табулиранеили метод на директна интеграция. С помощта на идентични трансформации на интеграла интегралът се свежда до интеграл, за който се прилагат основните правила за интегриране и е възможно да се използва таблицата на основните интеграли.

Пример

Упражнение.Намерете интеграла

Решение.Използваме свойствата на интеграла и привеждаме този интеграл в табличен вид.

Отговор.

Технически метод на променлива замяна в неопределения интеграл се изпълнява по два начина:

– Подвеждане на функция под диференциалния знак. – Действителната промяна на променливата.

Подвеждане на функция под диференциалния знак

Пример 2

Извършете проверка.

Анализираме интегралната функция. Тук имаме дроб, а знаменателят е линейна функция (с "x" в първа степен). Разглеждаме таблицата на интегралите и намираме най-подобното нещо: .

Подвеждаме функцията под знака на диференциала:

Тези, на които им е трудно веднага да разберат по коя дроб да се умножат, могат бързо да разкрият диференциала на чернова:. Да, оказва се, за да не се промени нищо, трябва да умножа интеграла по . След това използваме табличната формула:

Преглед: Получава се оригиналният интеграл, което означава, че интегралът е намерен правилно.

Пример 5

Намерете неопределения интеграл.

Като пример взех интеграла, който разгледахме в самото начало на урока. Както вече казахме, за да решим интеграла, харесахме табличната формула , и бих искал да сведа всичко до нея.

Идеята зад метода за замяна е да сложен израз (или някаква функция) се заменя с една буква.В този случай се подсказва: Втората най-популярна заместваща буква е буквата . По принцип можете да използвате и други букви, но ние все пак се придържаме към традициите.

Така: Но при смяната ни остава! Вероятно мнозина са се досетили, че ако се направи преход към нова променлива, тогава в новия интеграл всичко трябва да бъде изразено чрез буквата и изобщо няма място за диференциала. Следва логично заключение, че е необходимо се превръщат в някакъв израз, който зависи само от.

От тогава

След разкриване с диференциала препоръчвам да пренапишете крайния резултат възможно най-кратко: Сега, според правилата за пропорция, изразяваме този, от който се нуждаем:

В крайна сметка: По този начин: И това е най-табличният интеграл (таблицата на интегралите, разбира се, е валидна и за променливата).

В заключение остава да се извърши обратната подмяна. Ние помним това.

Готов.

Крайният дизайн на този пример трябва да изглежда така:

“

Нека заменим:

“

Когато правите пример в тетрадка, е по-добре да надстроите обратното заместване с обикновен молив.

Внимание!В следващите примери намирането на диференциала няма да бъде описано подробно.

И сега е време да си спомним първото решение:

Каква е разликата? Няма принципна разлика. Всъщност е едно и също нещо. Но от гледна точка на проектиране на задачата, методът за привеждане на функцията под знака на диференциала е много по-кратък.Възниква въпросът. Ако първият начин е по-кратък, тогава защо да използвате метода за замяна? Факт е, че за редица интеграли не е толкова лесно да се "намести" функцията под знака на диференциала.

Интегриране по части. Примери за решение

Интеграли от логаритми

Пример 1

Намерете неопределения интеграл.

Прекъсваме решението за междинни обяснения.

Използваме формулата за интегриране по части:

Формулата се прилага отляво надясно

Разглеждаме лявата страна:. Очевидно в нашия пример (и във всички останали, които ще разгледаме), нещо трябва да бъде обозначено с , а нещо с .

В интеграли от разглеждания тип, завинаги се означава с логаритъм.

Технически, дизайнът на решението се изпълнява по следния начин, пишем в колоната:

Тоест, тъй като ние означихме логаритъма, а за - останалата частинтегрална функция.

Следваща стъпка: намерете диференциала:

Диференциалът е почти същият като производната, вече обсъдихме как да го намерим в предишни уроци.

Сега намираме функцията. За да се намери функцията е необходимо да се интегрира правилната странапо-ниско равенство:

Сега отваряме нашето решение и конструираме дясната страна на формулата: . Между другото, ето пример за окончателно решение с малки бележки:

Единственият момент в продукта, аз веднага пренаредих и, тъй като е обичайно да се пише множителя преди логаритъма.

Както можете да видите, прилагането на формулата за интегриране по части по същество намали нашето решение до два прости интеграла.

Моля, имайте предвид, че в някои случаи веднага следПри прилагане на формулата задължително се извършва опростяване под оставащия интеграл - в разглеждания пример намалихме интеграла с "x".

Да направим проверка. За да направите това, трябва да вземете производната на отговора:

Получава се оригиналният интеграл, което означава, че интегралът е решен правилно.

По време на проверката използвахме правилото за диференциране на продукти: . И това не е случайно.

Формула за интегриране по части и формулаТова са две взаимно обратни правила.

Интеграли на степента, умножени по полинома

Общо правило: зад

Пример 5

Намерете неопределения интеграл.

Използвайки познат алгоритъм, ние интегрираме по части:

Ако имате някакви затруднения с интеграла, тогава трябва да се върнете към статията Метод на промяна на променливата в неопределен интеграл.

Единственото друго нещо, което трябва да направите, е да "срешете" отговора:

Но ако техниката ви за изчисление не е много добра, тогава най-изгодният вариант е да оставите отговора или дори

Тоест примерът се счита за решен, когато се вземе последният интеграл. Няма да е грешка, друг е въпросът, че учителят може да поиска да опрости отговора.

Интеграли от тригонометрични функции, умножени по полином

Общо правило: задполиномът винаги се обозначава

Пример 7

Намерете неопределения интеграл.

Интегриране по части:

Хммм... и няма какво да коментирам.

Промяната на променливата в неопределения интеграл се използва при намиране на интеграли, в които една от функциите е производна на друга функция. Нека има интеграл $ \int f(x) dx $, нека направим заместването $ x=\phi(t) $. Обърнете внимание, че функцията $ \phi(t) $ е диференцируема, така че $ dx = \phi"(t) dt $ може да бъде намерена.

Сега заместваме $ \begin(vmatrix) x = \phi(t) \\ dx = \phi"(t) dt \end(vmatrix) $ в интеграла и получаваме това:

$$ \int f(x) dx = \int f(\phi(t)) \cdot \phi"(t) dt $$

Този е формула за промяна на променливата в неопределен интеграл.

Алгоритъм за метод за заместване на променлива

По този начин, ако в задачата е даден интеграл от формата: $$ \int f(\phi(x)) \cdot \phi"(x) dx $$ Препоръчително е променливата да се замени с нова: $ $ t = \phi(x) $ $ $$ dt = \phi"(t) dt $$

След това интегралът ще бъде представен във вид, който е лесен за възприемане с основните методи за интегриране: $$ \int f(\phi(x)) \cdot \phi"(x) dx = \int f(t) dt $$

Не забравяйте също да зададете заменената променлива обратно на $x$.

Примери за решение

Пример 1
Намерете неопределения интеграл чрез метода за промяна на променливата: $$ \int e^(3x) dx $$
Решение
Променяме променливата в интеграла на $ t = 3x, dt = 3dx $: $$ \int e^(3x) dx = \int e^t \frac(dt)(3) = \frac(1)(3) \int e^t dt = $$ Експоненциалният интеграл все още е същият според таблицата за интегриране, въпреки че $ t $ се изписва вместо $ x $: $$ = \frac(1)(3) e^t + C = \frac(1)(3) e^(3x) + C $$ Ако не можете да решите проблема си, изпратете ни го. Ние ще предоставим подробно решение. Ще можете да се запознаете с хода на изчислението и да съберете информация. Това ще ви помогне да получите кредит от учителя своевременно!
Отговор
$$ \int e^(3x) dx = \frac(1)(3) e^(3x) + C $$

В този урок ще се запознаем с един от най-важните и най-често срещани трикове, които се използват при решаването на неопределени интеграли - методът за промяна на променливи. За успешно усвояване на материала са необходими първоначални знания и умения за интеграция. Ако има усещане за празен пълен чайник в интегралното смятане, тогава първо трябва да прочетете материала, където обясних в достъпна форма какво е интеграл и анализирах подробно основните примери за начинаещи.

Технически методът за промяна на променлива в неопределен интеграл се реализира по два начина:

– Подвеждане на функцията под знака на диференциала;
– Действителната промяна на променливата.

Всъщност това е едно и също нещо, но дизайнът на решението изглежда различно.

Нека започнем с по-прост случай.

Подвеждане на функция под диференциалния знак

На урока Неопределен интеграл. Примери за решениенаучихме се как да отваряме диференциала, спомням си примера, който дадох:

Тоест, отварянето на диференциала формално е почти същото като намирането на производната.

Пример 1

Извършете проверка.

Разглеждаме таблицата на интегралите и намираме подобна формула: . Но проблемът е, че имаме под синуса не просто буквата "x", а сложен израз. Какво да правя?

Подвеждаме функцията под знака на диференциала:

Разширявайки диференциала, е лесно да се провери, че:

Всъщност и е запис на същото.

Но въпреки това остава въпросът как стигнахме до идеята, че на първата стъпка трябва да напишем нашия интеграл точно така: ? Защо така, а не иначе?

Формула (и всички други таблични формули) са валидни и приложими НЕ САМО за променлива, но също и за всеки сложен израз САМО АРГУМЕНТА НА ФУНКЦИЯТА(- в нашия пример) И ИЗРАЗИТЕ ПОД ДИФЕРЕНЦИАЛНИЯ ЗНАК БЯХА СЪЩОТО .

Следователно умственото разсъждение при решаване трябва да бъде нещо подобно: „Трябва да реша интеграла. Погледнах таблицата и намерих подобна формула . Но имам сложен аргумент и не мога веднага да използвам формулата. Успея ли обаче да вляза под знака на диференциала, значи всичко ще е наред. Ако пиша, значи. Но в оригиналния интеграл няма троен фактор, следователно, за да не се промени подинтегралният, трябва да го умножа по ". В хода на приблизително такива умствени разсъждения се ражда запис:

Сега можете да използвате електронната таблица :

Готов

Единствената разлика е, че нямаме буквата "x", а сложен израз.

Да направим проверка. Отворете таблицата на производните и разграничете отговора:

Получава се оригиналният интеграл, което означава, че интегралът е намерен правилно.

Моля, имайте предвид, че по време на проверката използвахме правилото за диференциране на сложна функция . Всъщност подвеждането на функцията под знака на диференциала и са две взаимно обратни правила.

Пример 2

Анализираме интегралната функция. Тук имаме дроб, а знаменателят е линейна функция (с "x" в първа степен). Гледаме в таблицата на интегралите и намираме най-подобното нещо: .

Подвеждаме функцията под знака на диференциала:

Тези, на които им е трудно веднага да разберат по коя дроб да се умножат, могат бързо да разкрият диференциала на чернова:. Да, оказва се, за да не се промени нищо, трябва да умножа интеграла по .
След това използваме формулата за електронна таблица :

Преглед:

Получава се оригиналният интеграл, което означава, че интегралът е намерен правилно.

Пример 3

Намерете неопределения интеграл. Извършете проверка.

Пример 4

Намерете неопределения интеграл. Извършете проверка.

Това е пример "направи си сам". Отговорете в края на урока.

С известен опит в решаването на интеграли, такива примери ще изглеждат лесни и ще се спукат като ядки:

В края на този параграф бих искал да се спра и на „свободния“ случай, когато променлива влиза в линейна функция с единичен коефициент, например:

Строго погледнато, решението трябва да изглежда така:

Както можете да видите, привеждането на функцията под знака на диференциала премина „безболезнено“, без никакви умножения. Затова на практика толкова дълго решение често се пренебрегва и веднага се записва като . Но бъдете готови, ако е необходимо, да обясните на учителя как сте решили! Тъй като в таблицата изобщо няма интеграл.

Метод на промяна на променливата в неопределен интеграл

Преминаваме към разглеждането на общия случай - метода за промяна на променливите в неопределения интеграл.

Пример 5

Намерете неопределения интеграл.

От тогава

В крайна сметка:
По този начин:

И това е най-табличният интеграл (таблицата на интегралите, разбира се, е валидна и за променливата).

В заключение остава да се извърши обратната подмяна. Ние помним това.

Готов.

Крайният дизайн на този пример трябва да изглежда така:

“

Нека заменим:

“

Когато правите пример в тетрадка, е по-добре да надстроите обратното заместване с обикновен молив.

Внимание!В следващите примери намирането на диференциала няма да бъде описано подробно.

И сега е време да си спомним първото решение:

Пример 6

Намерете неопределения интеграл.

Нека направим замяна: (тук е трудно да се мисли за друга замяна)

Мързеливите напреднали могат лесно да решат този интеграл, като поставят функцията под диференциалния знак:

Пример 7

Намерете неопределения интеграл. Извършете проверка.

Пример 8

Намерете неопределения интеграл.

Пример 9

Намерете неопределения интеграл.

Това е пример "направи си сам". Отговорете в края на урока.

Пример 10

Намерете неопределения интеграл.

Време е да поговорим за основната предпоставка за използването на метода за заместване на променлива: интегралната функция трябва да съдържа някаква функция и нейната производна:(функциите може да не са в продукта)

В тази връзка, когато се намират интеграли, често се налага да се разглежда таблицата на производните.

Полиномна замянаили. Тук - полином от степен, например, изразът е полином от степен.

Да кажем, че имаме пример:

Нека използваме метода за заместване на променлива. За какво според вас трябва да се приема? Правилно, .

Уравнението приема формата:

Правим обратната промяна на променливите:

Нека решим първото уравнение:

ние ще решим второуравнението:

… Какво означава това? Правилно! Че няма решения.

Така получихме два отговора - ; .

Разбрахте как да приложите метода за замяна на променлива с полином? Практикувайте да правите това сами:

Реших? Сега нека проверим основните моменти с вас.

Защото трябва да вземете.

Получаваме израза:

Чрез решаването на квадратно уравнение получаваме, че то има два корена: и.

Решението на първото квадратно уравнение са числата и

Решението на второто квадратно уравнение - числата и.

Отговор: ; ; ;

Обобщаване

Методът за промяна на променливите има основните видове промяна на променливите в уравнения и неравенства:

1. Замяна на мощност, когато приемаме за някаква неизвестна издигната до степен.

2. Замяна на полином, когато за вземаме целочислен израз, съдържащ неизвестно.

3. Дробно-рационално заместване, когато вземем за всяка релация, съдържаща неизвестна променлива.

Важно съветипри въвеждане на нова променлива:

1. Замяната на променлива трябва да се извърши незабавно, при първа възможност.

2. Уравнението за новата променлива трябва да се реши докрай и едва след това да се върне към старото неизвестно.

3. Когато се връщате към първоначалното неизвестно (и всъщност в цялото решение), не забравяйте да проверите корените за ODZ.

Новата променлива се въвежда по подобен начин, както в уравнения, така и в неравенства.

Нека анализираме 3 задачи

Отговори на 3 задачи

1. Нека, тогава изразът приема формата.

Тъй като може да бъде както положителен, така и отрицателен.

Отговор:

2. Нека, тогава изразът приема формата.

няма решение, защото.

Отговор:

3. Чрез групиране получаваме:

След това нека изразът приеме формата
.

Отговор:

ПРОМЯНА НА ПРОМЕНИТЕЛНИ. СРЕДНО НИВО.

Промяна на променливи- това е въвеждането на ново неизвестно, по отношение на което уравнението или неравенството има по-проста форма.

Ще изброя основните видове замествания.

Промяна на мощността

Постепенна подмяна.

Например, с помощта на заместване, биквадратното уравнение се свежда до квадратно: .

В неравенствата всичко е подобно.

Например, в неравенството правим заместване и получаваме квадратно неравенство: .

Пример (решете сами):

решение:

Това е дробно рационално уравнение (повтаряне), но решаването му по обичайния начин (свеждане до общ знаменател) е неудобно, тъй като ще получим уравнение за степен, така че се използва промяна на променливите.

Всичко ще стане много по-лесно след подмяната: . Тогава:

Сега го правим обратно заместване:

Отговор: ; .

Полиномна замяна

Замяна на полином или.

Тук е полином от степен, т.е. изразяване на формата

(например изразът е степенен полином, т.е.).

Най-често използваната замяна на квадратния трином е: или.

пример:

Решете уравнението.

решение:

Отново се използва промяна на променливите.

Тогава уравнението ще приеме вида:

Корените на това квадратно уравнение: i.

Имаме два случая. Нека направим обратна замяна за всеки от тях:

Така че това уравнение няма корени.

Корените на това уравнение са: i.

Отговор. .

Дробно-рационална замяна

Дробно-рационално заместване.

и са полиноми от степени и съответно.

Например при решаване на реципрочни уравнения, тоест уравнения от вида

обикновено се използва замяна.

Сега ще ви покажа как работи.

Лесно е да се провери кое не е коренът на това уравнение: в края на краищата, ако го заместим в уравнението, получаваме това, което противоречи на условието.

Нека разделим уравнението на:

Прегрупиране:

Сега правим подмяна: .

Красотата му е, че при квадратурата в удвоеното произведение на членовете x се намалява:

Оттук следва, че.

Да се върнем към нашето уравнение:

Сега е достатъчно да решим квадратното уравнение и да направим обратното заместване.

пример:

Решете уравнението: .

решение:

Следователно, когато равенството не е изпълнено. Нека разделим уравнението на:

Уравнението ще приеме формата:

Неговите корени:

Нека направим обратна замяна:

Нека решим получените уравнения:

Отговор: ; .

Друг пример:

Решете неравенството.

решение:

Чрез директно заместване се уверяваме, че това не е включено в решението на това неравенство. Разделете числителя и знаменателя на всяка дроб на:

Сега промяната на променливата е очевидна: .

Тогава неравенството приема формата:

Използваме интервалния метод, за да намерим y:

за всички, защото

Така че неравенството е еквивалентно на следното:

за всички, защото.

Така че неравенството е еквивалентно на следното: .

И така, неравенството се оказва еквивалентно на съвкупността:

Отговор: .

Промяна на променливи- един от най-важните методи за решаване на уравнения и неравенства.

Накрая ще ви дам няколко важни съвета:

ПРОМЯНА НА ПРОМЕНИТЕЛНИ. ОБОБЩЕНИЕ И ОСНОВНА ФОРМУЛА.

Промяна на променливи- метод за решаване на сложни уравнения и неравенства, който ви позволява да опростите оригиналния израз и да го приведете в стандартна форма.

Видове заместване на променлива:

Замяна на мощност:за някои неизвестни, издигнати на власт - .
Дробно-рационално заместване:всяка релация, съдържаща неизвестна променлива, се приема като , където и са полиноми от степени n и m, съответно.
Полиномна замяна:се приема като целочислен израз, съдържащ неизвестното - или където е градусов полином.

След решаване на опростеното уравнение/неравенство е необходимо да се направи обратна замяна.