2.3. Conversion de nombres d'un système numérique à un autre
2.3.1. Conversion d'entiers d'un système numérique à un autre
Il est possible de formuler un algorithme pour traduire des nombres entiers à partir d'un système avec une base p dans un système avec une base q :
1. Fondation nouveau système pour exprimer les nombres du système numérique d'origine et effectuer toutes les actions ultérieures dans le système numérique d'origine.
2. Effectuez consécutivement la division du nombre donné des quotients entiers résultants sur la base du nouveau système de nombres jusqu'à ce que nous obtenions le quotient inférieur au diviseur.
3. Les résidus résultants, qui sont les chiffres d'un nombre dans le nouveau système de numérotation, doivent être alignés sur l'alphabet du nouveau système de numérotation.
4. Composez un nombre dans le nouveau système de numération, en l'écrivant à partir du dernier reste.
Exemple 2.12. Convertir le nombre décimal 173 10 en système de nombre octal :
On obtient : 173 10 = 255 8
Exemple 2.13. Convertissez le nombre décimal 173 10 en notation hexadécimale :
On obtient : 173 10 = AD 16.
Exemple 2.14. Convertissez 11 décimal 10 en notation binaire. Il est plus pratique de décrire la séquence d'actions considérée ci-dessus (algorithme de traduction) comme suit :
On obtient : 11 10 = 1011 2.
Exemple 2.15. Parfois, il est plus pratique d'écrire l'algorithme de traduction sous la forme d'un tableau. Conversion décimal 363 10 en binaire.
|
Diviseur |
|||||||||
On obtient : 363 10 = 101101011 2
2.3.2. Conversion de nombres fractionnaires d'un système numérique à un autre
Il est possible de formuler un algorithme pour traduire le robi correct avec une base p en fraction avec base q :
1. La base du nouveau système de numérotation est exprimée dans les numéros du système de numérotation d'origine et toutes les actions ultérieures sont effectuées dans le système de numérotation d'origine.
2. Multipliez séquentiellement le nombre donné des parties fractionnaires résultantes des produits sur la base du nouveau système jusqu'à ce que la partie fractionnaire du produit devienne égale à zéro ou que la précision requise de la représentation numérique soit atteinte.
3. Les parties entières résultantes des produits, qui sont les chiffres d'un numéro dans le nouveau système de numérotation, devraient être alignées sur le nouveau système de numérotation alphabétique.
4. Composez la partie fractionnaire du nombre dans le nouveau système numérique, en commençant par la partie entière du premier produit.
Exemple 2.17. Convertissez 0,65625 10 en notation hexadécimale.
On obtient : 0,65625 10 = 0,52 8
Exemple 2.17. Convertissez 0,65625 10 en notation hexadécimale.
|
X 16 |
|
On obtient : 0,65625 10 = 0, A8 1
Exemple 2.18. Convertir la décimale 0.5625 10 en notation binaire.
|
X 2 |
|
|
X 2 |
|
|
X 2 |
|
|
X 2 |
|
On obtient : 0,5625 10 = 0,1001 2
Exemple 2.19. Convertir la fraction décimale en notation binaire 0,7 10.
Évidemment, ce processus peut se poursuivre indéfiniment, donnant de plus en plus de signes de l'image de l'équivalent binaire du nombre 0,7 10. Ainsi, en quatre étapes, nous obtenons le nombre 0,1011 2, et en sept étapes le nombre 0,1011001 2, qui est une représentation plus précise du nombre 0,7 10 en binaire système de numérotation, et Un tel processus sans fin se termine à une certaine étape lorsqu'on considère que la précision requise de la représentation numérique a été obtenue.
2.3.3. Traduction de nombres arbitraires
Traduction de nombres arbitraires, c'est-à-dire les nombres contenant des parties entières et fractionnaires sont effectués en deux étapes. partie entière, séparément - fractionnaire. Dans l'enregistrement final du nombre résultant, la partie entière est séparée de la virgule fractionnaire (point).
Exemple 2.20... Convertir le nombre binaire 17,25 10.
On obtient : 17,25 10 = 1001,01 2
Exemple 2.21. Convertissez 124.25 10 en système octal.
On obtient : 124,25 10 = 174,2 8
2.3.4. Conversion de nombres de base 2 en base 2 n et inversement
Traduction d'entiers. Si la base d'un système de numération q-aire est une puissance de 2, alors la conversion des nombres d'un système de numération q-aire en un système 2-aire et vice versa peut être effectuée plus règles simples... Pour écrire un nombre binaire entier dans la base q = 2 n, il vous faut :
1. Divisez le nombre binaire de droite à gauche en groupes de n chiffres chacun.
2. Si le dernier groupe de gauche contient moins de n chiffres, il doit être complété à gauche avec des zéros jusqu'au nombre de chiffres requis.
Exemple 2.22. Convertissons le nombre 10110000001000110010 2 au système de nombre octal.
Nous divisons le nombre de droite à gauche en triades et sous chacune d'elles, nous écrivons le chiffre octal correspondant :
On obtient la représentation octale du nombre d'origine : 541062 8.
Exemple 2.23. Le nombre 1000000000111110000111 2 est converti en un système numérique hexadécimal.
Nous divisons le nombre de droite à gauche en tétrades et notons le chiffre hexadécimal correspondant sous chacun d'eux :
On obtient la représentation hexadécimale du nombre d'origine : 200F87 16.
Traduction de nombres fractionnaires. Pour écrire un nombre binaire fractionnaire dans la base q = 2 n, il vous faut :
1. Divisez le nombre binaire de gauche à droite en groupes de n chiffres chacun.
2. Si le dernier groupe de droite contient moins de n chiffres, il doit être complété par des zéros à partir de la droite jusqu'au nombre de chiffres requis.
3. Considérez chaque groupe comme un nombre binaire de n bits et notez-le avec le chiffre correspondant dans la base q = 2 n.
Exemple 2.24. Le nombre 0.10110001 2 est converti dans le système de nombre octal.
Nous divisons le nombre de gauche à droite en triades et sous chacun d'eux, nous écrivons le chiffre octal correspondant :
On obtient la représentation octale du nombre d'origine : 0,542 8.
Exemple 2.25. Nous traduisons le nombre 0.100000000011 2 en un système de nombres hexadécimal. Nous divisons le nombre de gauche à droite en tétrades et notons le chiffre hexadécimal correspondant sous chacun d'eux :
On obtient la représentation hexadécimale du nombre d'origine : 0,803 16
Traduction de nombres arbitraires. Pour écrire un nombre binaire arbitraire dans la base q = 2 n, il vous faut :
1. Divisez la partie entière d'un nombre binaire donné de droite à gauche et la partie fractionnaire de gauche à droite en groupes de n chiffres chacun.
2. S'il y a moins de n chiffres dans les derniers groupes à gauche et/ou à droite, ils doivent être complétés par des zéros à gauche et/ou à droite jusqu'au nombre de chiffres requis ;
3. Considérez chaque groupe comme un nombre binaire de n bits et notez-le avec le chiffre correspondant dans la base q = 2 n
Exemple 2.26. Convertissons le nombre 111100101,0111 2 au système de nombre octal.
Nous divisons les parties entières et fractionnaires du nombre en triades et sous chacune d'elles, nous écrivons le chiffre octal correspondant :
On obtient la représentation octale du nombre d'origine : 745,34 8.
Exemple 2.27. Le nombre 11101001000,11010010 2 est converti en un système numérique hexadécimal.
Nous divisons les parties entières et fractionnaires du nombre dans des cahiers et sous chacun d'eux, nous écrivons le chiffre hexadécimal correspondant :
On obtient la représentation hexadécimale du nombre d'origine : 748, D2 16.
Conversion de nombres à partir de systèmes numériques avec la base q = 2n en binaire. Pour qu'un nombre arbitraire écrit dans le système de base q = 2 n soit converti en système de numération binaire, chaque chiffre de ce nombre doit être remplacé par son équivalent à n chiffres dans le système de numération binaire.
Exemple 2.28.Traduisons le nombre hexadécimal 4АС35 16 en un système de nombres binaires.
D'après l'algorithme :
On obtient : 100101011000000110101 2.
Devoirs d'auto-apprentissage (Réponses)
2.38. Remplissez le tableau, dans chaque ligne dont le même entier doit être écrit dans des systèmes numériques différents.
|
Binaire |
Octal |
Décimal |
Hexadécimal |
2.39. Remplissez le tableau avec le même sur chaque ligne un nombre fractionnaire doivent être écrits dans des systèmes de nombres différents.
|
Binaire |
Octal |
Décimal |
Hexadécimal |
2.40. Remplissez le tableau, dans chaque ligne dont le même nombre arbitraire (le nombre peut contenir à la fois des parties entières et fractionnaires) doit être écrit dans des systèmes numériques différents.
|
Binaire |
Octal |
Décimal |
Hexadécimal |
|
59, B |
1. Compte ordinal dans divers systèmes numériques.
V Vie moderne nous utilisons des systèmes de nombres positionnels, c'est-à-dire des systèmes dans lesquels le nombre indiqué par un chiffre dépend de la position du chiffre dans l'enregistrement numérique. Par conséquent, dans ce qui suit, nous ne parlerons que d'eux, en omettant le terme "positionnel".
Afin d'apprendre à traduire des nombres d'un système à un autre, nous allons comprendre comment se déroule l'enregistrement séquentiel des nombres à l'aide d'un exemple système décimal.
Puisque nous avons un système de nombres décimaux, nous avons 10 caractères (chiffres) pour construire des nombres. Nous commençons le décompte ordinal : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Les nombres sont terminés. Nous augmentons la capacité numérique du nombre et mettons à zéro le bit le moins significatif : 10. Ensuite, nous augmentons à nouveau le bit le moins significatif jusqu'à ce que tous les chiffres s'épuisent : 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Augmentez le bit le plus significatif de 1 et zéro le moins significatif : 20. Lorsque nous utilisons tous les chiffres pour les deux chiffres (nous obtenons le nombre 99), nous augmentons à nouveau la capacité numérique du nombre et réinitialisons les chiffres existants : 100. Etc.
Essayons de faire de même dans les 2e, 3e et 5e systèmes (on entrera la désignation pour le 2e système, pour le 3e, etc.) :
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 10 | 3 |
| 4 | 100 | 11 | 4 |
| 5 | 101 | 12 | 10 |
| 6 | 110 | 20 | 11 |
| 7 | 111 | 21 | 12 |
| 8 | 1000 | 22 | 13 |
| 9 | 1001 | 100 | 14 |
| 10 | 1010 | 101 | 20 |
| 11 | 1011 | 102 | 21 |
| 12 | 1100 | 110 | 22 |
| 13 | 1101 | 111 | 23 |
| 14 | 1110 | 112 | 24 |
| 15 | 1111 | 120 | 30 |
Si le système de numérotation a une base de plus de 10, nous devrons alors saisir des caractères supplémentaires, il est d'usage de saisir des lettres de l'alphabet latin. Par exemple, pour le système à 12 aires, en plus de dix chiffres, nous avons besoin de deux lettre(s) :
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 4 |
| 5 | 5 |
| 6 | 6 |
| 7 | 7 |
| 8 | 8 |
| 9 | 9 |
| 10 | |
| 11 | |
| 12 | 10 |
| 13 | 11 |
| 14 | 12 |
| 15 | 13 |
2. Conversion d'un système de nombres décimaux à un autre.
Pour convertir un nombre entier décimal positif en un système numérique avec une base différente, vous devez diviser ce nombre par la base. Divisez à nouveau le quotient résultant par la base, et encore jusqu'à ce que le quotient soit inférieur à la base. En conséquence, écrivez le dernier quotient et tous les restes à partir du dernier sur une ligne.
Exemple 1. Conversion du nombre décimal 46 en système de nombres binaires.
Exemple 2. Conversion du système décimal 672 en nombre octal.
Exemple 3. Convertissons le nombre décimal 934 en système de nombres hexadécimal.
3. Conversion de n'importe quel système numérique en décimal.
Afin d'apprendre à convertir des nombres de n'importe quel autre système en nombre décimal, analysons la notation habituelle d'un nombre décimal.
Par exemple, le nombre décimal 325 est de 5 unités, 2 dizaines et 3 centaines, c'est-à-dire
La situation est exactement la même dans les autres systèmes numériques, seulement nous multiplierons non pas par 10, 100, etc., mais par le degré de la base du système numérique. Prenons comme exemple le nombre ternaire 1201. Numérotons les chiffres de droite à gauche en partant de zéro et représentons notre nombre comme la somme des produits d'un chiffre par un trois dans le degré du chiffre du nombre :
C'est la représentation décimale de notre nombre, c'est-à-dire
Exemple 4. Conversion du nombre octal 511 en notation décimale.
Exemple 5. Convertissons le nombre hexadécimal 1151 en système de nombres décimaux.
4. Traduction de système binaire dans un système avec une base "puissance de deux" (4, 8, 16, etc.).
Pour convertir un nombre binaire en un nombre de base "puissance de deux", il faut diviser la séquence binaire en groupes selon le nombre de chiffres égal à la puissance de droite à gauche et remplacer chaque groupe par le chiffre correspondant de le nouveau système de numérotation.
Par exemple, convertissez le binaire 1100001111010110 en octal. Pour cela, divisez-le en groupes de 3 caractères, en partant de la droite (depuis), puis utilisez la table de correspondance et remplacez chaque groupe par un nouveau chiffre :
Nous avons appris à construire une table de correspondance dans la clause 1.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
Celles.
Exemple 6. Convertir 1100001111010110 binaire en nombre hexadécimal.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | UNE |
| 1011 | B |
| 1100 | C |
| 1101 | ré |
| 1110 | E |
| 1111 | F |
5. Transfert du système avec la base "puissance de deux" (4, 8, 16, etc.) au binaire.
Cette traduction est similaire à la précédente, effectuée dans le sens inverse : on remplace chaque chiffre par un groupe de chiffres du système binaire de la table de correspondance.
Exemple 7. Traduisons le nombre hexadécimal C3A6 en un système de nombres binaires.
Pour cela, remplacez chaque chiffre du numéro par un groupe de 4 chiffres (depuis) de la table de correspondance, en ajoutant, si nécessaire, le groupe avec des zéros au début :
Examinons l'un des sujets les plus importants de l'informatique -. Dans le cursus scolaire, il se révèle plutôt « modestement », vraisemblablement en raison du manque d'heures qui lui sont allouées. Connaissances sur ce sujet, en particulier sur traduction de systèmes numériques, sont une condition préalable à la réussite de l'examen d'État unifié et à l'admission dans les universités des facultés concernées. Ci-dessous sont discutés en détail des concepts tels que systèmes de nombres positionnels et non positionnels, des exemples de ces systèmes numériques sont donnés, les règles de conversion des nombres décimaux entiers, des fractions décimales régulières et des nombres décimaux mixtes vers tout autre système numérique, la conversion des nombres de n'importe quel système numérique en nombre décimal, la conversion des systèmes numériques octaux et hexadécimaux en un nombre binaire système sont présentés. Aux examens, il y a un grand nombre de problèmes sur ce sujet. La capacité de les résoudre est l'une des exigences pour les candidats. Prochainement : Pour chaque thème de la section, en plus du matériel théorique détaillé, presque tous options possibles Tâches pour autodidacte... De plus, vous aurez la possibilité de télécharger des solutions détaillées prêtes à l'emploi pour ces tâches, illustrant différentes façons obtenir la bonne réponse.
systèmes de nombres positionnels.
Systèmes de numérotation non positionnels- les systèmes numériques dans lesquels la valeur quantitative d'un chiffre ne dépend pas de sa position dans le nombre.
Les systèmes de nombres non positionnels incluent, par exemple, le romain, où au lieu de nombres, il y a des lettres latines.
| je | 1 un) |
| V | 5 (cinq) |
| X | 10 (dix) |
| L | 50 (cinquante) |
| C | 100 (cent) |
| ré | 500 (cinq cents) |
| M | 1000 (mille) |
Ici, la lettre V signifie 5 quel que soit son emplacement. Cependant, il convient de mentionner que bien que le système de numération romain soit un exemple classique de système de numération non positionnel, il n'est pas complètement non positionnel, car le plus petit chiffre avant le plus grand en est soustrait :
| IL | 49 (50-1=49) |
| VI | 6 (5+1=6) |
| XXI | 21 (10+10+1=21) |
| MI | 1001 (1000+1=1001) |
Systèmes de nombres positionnels.
Systèmes de numérotation positionnelle- les systèmes numériques, dans lesquels la valeur quantitative d'un chiffre dépend de sa position dans le nombre.
Par exemple, si nous parlons du système décimal, alors dans le nombre 700, le nombre 7 signifie "sept cents", mais le même nombre dans le nombre 71 signifie "sept dizaines", et dans le nombre 7020 - "sept mille".
Chaque système de numérotation positionnelle a son base... Un nombre naturel supérieur ou égal à deux est choisi comme base. Il est égal au nombre de chiffres utilisés dans ce système de numérotation.
- Par exemple:
- Binaire- système de numérotation positionnelle avec base 2.
- Quaternaire- système de numérotation positionnelle avec base 4.
- Quintuple- système de numérotation positionnelle avec base 5.
- Octal- système de numérotation positionnelle avec base 8.
- Hexadécimal- système de numérotation positionnelle avec base 16.
Pour réussir à résoudre des problèmes sur le thème « Systèmes de nombres », l'étudiant doit connaître par cœur la correspondance des nombres binaires, décimaux, octaux et hexadécimaux jusqu'à 16 10 :
| 10 s/s | 2 s/s | 8 s/s | 16 s/s |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | UNE |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | ré |
| 14 | 1110 | 16 | E |
| 15 | 1111 | 17 | F |
| 16 | 10000 | 20 | 10 |
Il est utile de savoir comment les nombres sont obtenus dans ces systèmes numériques. Vous pouvez deviner qu'en octal, hexadécimal, ternaire et autres systèmes de numération positionnelle tout se passe de manière similaire au système décimal auquel nous sommes habitués :
Un est ajouté au nombre et un nouveau nombre est obtenu. Si la place des unités devient égale à la base du système numérique, on augmente le nombre des dizaines de 1, etc.
Cette « transition unique » est ce qui effraie la plupart des étudiants. En fait, tout est assez simple. La transition se produit si le chiffre des unités devient égal à base du système de numération, nous augmentons le nombre de dizaines de 1. Beaucoup, se souvenant du bon vieux système décimal, se confondent instantanément dans le chiffre et dans cette transition, car les dizaines décimales et, par exemple, les dizaines binaires sont des choses différentes.
Ainsi, les étudiants débrouillards ont "leurs propres techniques" (étonnamment ... fonctionnant) lors du remplissage, par exemple, des tables de vérité, dont les premières colonnes (valeurs des variables) sont en fait remplies de nombres binaires dans l'ordre croissant .
Par exemple, regardons comment obtenir des nombres dans système octal: Au premier nombre (0) nous ajoutons 1, nous obtenons 1. Ensuite, nous ajoutons 1 à 1, nous obtenons 2, etc. à 7. Si nous ajoutons un à 7, nous obtenons un nombre égal à la base du système numérique, c'est-à-dire. 8. Ensuite, vous devez augmenter le nombre des dizaines de un (nous obtenons le dix octal - 10). De plus, évidemment, il y a les numéros 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, ..., 27, 30, ..., 77, 100, 101 ...
Règle de traduction d'un système de numérotation à un autre.
1 Conversion de nombres décimaux entiers en tout autre système numérique.
Le nombre doit être divisé par nouvelle base... Le premier reste de la division est le premier chiffre le moins significatif du nouveau nombre. Si le quotient de division est inférieur ou égal à la nouvelle base, alors il (quotient) doit être à nouveau divisé en une nouvelle base. La division doit être poursuivie jusqu'à ce que nous obtenions le quotient inférieur à la nouvelle base. C'est le chiffre le plus significatif du nouveau nombre (vous devez vous rappeler que, par exemple, dans le système hexadécimal après 9, il y a des lettres, c'est-à-dire que si vous avez 11 dans le reste, vous devez l'écrire comme B).
Exemple ("division avec un coin") : Traduisons le nombre 173 10 dans le système de nombre octal.
Donc 173 10 = 255 8
2 Conversion de fractions décimales correctes en tout autre système numérique.
Le nombre doit être multiplié par la nouvelle base du système de numération. Le chiffre qui est passé dans la partie entière est le chiffre le plus significatif de la partie fractionnaire du nouveau nombre. pour obtenir le chiffre suivant, la partie fractionnaire du produit résultant doit à nouveau être multipliée par la nouvelle base du système numérique jusqu'à ce que la transition vers la partie entière se produise. Nous continuons la multiplication jusqu'à ce que la partie fractionnaire devienne égale à zéro, ou jusqu'à ce que nous atteignions la précision spécifiée dans le problème ("... calculer avec une précision de, par exemple, deux décimales").
Exemple : Traduisons le nombre 0,65625 10 dans le système de nombres octaux.
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Systèmes de numérotation
Il existe des systèmes numériques positionnels et non positionnels. système de chiffres arabes que nous utilisons dans Vie courante, est positionnel, mais pas Roman. Dans les systèmes de numération positionnelle, la position du nombre détermine de manière unique la valeur du nombre. Regardons cela en utilisant le nombre décimal 6372 comme exemple. Énumérons ce nombre de droite à gauche en partant de zéro :
Alors le nombre 6372 peut être représenté comme suit :
6372 = 6000 + 300 + 70 + 2 = 6 · 10 3 + 3 · 10 2 + 7 · 10 1 + 2 · 10 0.
Le nombre 10 définit le système de numérotation (dans ce cas, c'est 10). Les valeurs de la position du nombre donné sont prises en degrés.
Considérez le nombre décimal réel 1287.923. Numérotons-le à partir de la position zéro du nombre de la virgule vers la gauche et vers la droite :
Alors le nombre 1287.923 peut être représenté comme :
1287.923 = 1000 + 200 + 80 + 7 + 0,9 + 0,02 + 0,003 = 1 · 10 3 + 2 · 10 2 + 8 · 10 1 + 7 · 10 0 + 9 · 10 -1 + 2 · 10 -2 + 3 · 10 -3.
En général, la formule peut être représentée comme suit :
C n s n + C n-1 s n-1 + ... + C 1 s 1 + D 0 s 0 + D -1 s -1 + D -2 s -2 + ... + D -k s -k
où n est un entier en position m, Д -k - nombre fractionnaire en position (-k), s- système de numérotation.
Quelques mots sur les systèmes numériques. Le nombre dans le système numérique décimal se compose de plusieurs chiffres (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), dans le système numérique octal - de l'ensemble des nombres (0,1, 2,3,4,5,6,7), dans le système de numération binaire - à partir de l'ensemble de chiffres (0,1), dans le système de numération hexadécimal - à partir de l'ensemble de nombres (0, 1,2,3,4,5,6, 7,8,9, A, B, C, D, E, F), où A, B, C, D, E, F correspondent aux nombres 10,11 ,12,13,14,15., des nombres dans différents systèmes numériques sont présentés.
| Tableau 1 | |||
|---|---|---|---|
| Notation | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | UNE |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | ré |
| 14 | 1110 | 16 | E | 15 | 1111 | 17 | F |
Conversion de nombres d'un système numérique à un autre
Pour convertir des nombres d'un système de nombres à un autre, le moyen le plus simple est de convertir d'abord le nombre en système de nombres décimaux, puis, du système de nombres décimaux, au système de nombres requis.
Conversion de nombres de n'importe quel système de nombres vers le système de nombres décimaux
À l'aide de la formule (1), vous pouvez convertir des nombres de n'importe quel système numérique au système numérique décimal.
Exemple 1. Convertissez le nombre 1011101.001 du système de nombres binaires (SS) en SS décimal. Solution:
1 2 6 +0 2 5 + 1 2 4 + 1 · 2 3 + 1 · 2 2 + 0 · 2 1 + 1 2 0 + 0 2 -1 + 0 2 -2 + 1 2 -3 = 64 + 16 + 8 + 4 + 1 + 1/8 = 93,125
Exemple2. Traduire 1011101.001 de système octal compter (ss) au nombre décimal ss. Solution:
Exemple 3 ... Convertissez le nombre AB572.CDF de la base hexadécimale en SS décimal. Solution:
Ici UNE-remplacé par 10, B- à 11 heures, C- à 12, F- par 15.
Conversion de nombres d'un système de nombres décimaux vers un autre système de nombres
Pour convertir des nombres du système de nombres décimaux vers un autre système de nombres, vous devez traduire séparément la partie entière du nombre et la partie fractionnaire du nombre.
La partie entière du nombre est transférée du SS décimal à un autre système de nombres - en divisant séquentiellement la partie entière du nombre par la base du système de nombres (pour un SS binaire - par 2, pour un SS 8-aire - par 8, pour un 16-aire - par 16, etc.) ) jusqu'à obtention d'un résidu entier, inférieur à la base CC.
Exemple 4 ... Convertissons le nombre 159 de SS décimal en SS binaire :
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
Comme on le voit sur la Fig. 1, le nombre 159 divisé par 2 donne le quotient 79 et le reste 1. De plus, le nombre 79 divisé par 2 donne le quotient 39 et le reste 1, et ainsi de suite. En conséquence, après avoir construit un nombre à partir du reste de la division (de droite à gauche), nous obtenons le nombre dans le SS binaire : 10011111 ... On peut donc écrire :
159 10 =10011111 2 .
Exemple 5 ... Convertissons le nombre 615 de SS décimal en SS octal.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
Lors de la conversion d'un nombre de SS décimal en SS octal, vous devez diviser séquentiellement le nombre par 8 jusqu'à obtenir un reste entier inférieur à 8. En conséquence, construire un nombre à partir des restes de la division (de droite à gauche), on obtient le nombre en octal SS : 1147 (voir fig. 2). On peut donc écrire :
615 10 =1147 8 .
Exemple 6 ... Conversion du nombre 19673 de décimal en hexadécimal SS.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
Comme on peut le voir sur la figure 3, en divisant séquentiellement 19673 par 16, nous avons obtenu les restes 4, 12, 13, 9. Dans le système hexadécimal, le nombre 12 correspond à C, le nombre 13 correspond à D. Par conséquent, notre hexadécimal le numéro est 4CD9.
Pour convertir les fractions décimales correctes (un nombre réel avec une partie entière nulle) en base s, ce nombre doit être séquentiellement multiplié par s jusqu'à ce qu'un zéro pur soit obtenu dans la partie fractionnaire, ou nous obtenons le nombre requis de chiffres. Si, lors de la multiplication, on obtient un nombre dont la partie entière est différente de zéro, alors cette partie entière n'est pas prise en compte (elles sont ajoutées séquentiellement au résultat).
Considérons ce qui précède avec des exemples.
Exemple 7 ... Convertissez le nombre 0,214 de décimal en binaire SS.
| 0.214 | ||
| X | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| X | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| X | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.392 |
Comme on peut le voir sur la figure 4, le nombre 0,214 est séquentiellement multiplié par 2. Si la multiplication donne un nombre différent de zéro avec une partie entière, alors la partie entière est écrite séparément (à gauche du nombre), et le nombre s'écrit avec une partie entière nulle. Si, lors de la multiplication, un nombre avec une partie entière nulle est obtenu, alors zéro est écrit à gauche de celui-ci. Le processus de multiplication se poursuit jusqu'à ce qu'un zéro pur soit obtenu dans la partie fractionnaire, ou que le nombre requis de chiffres soit obtenu. En notant les nombres en gras (Fig. 4) de haut en bas, nous obtenons le nombre requis dans le système de numération binaire : 0. 0011011 .
On peut donc écrire :
0.214 10 =0.0011011 2 .
Exemple 8 ... Convertissons le nombre 0,125 du système de nombres décimaux en SS binaire.
| 0.125 | ||
| X | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| X | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| X | 2 | |
| 1 | 0.0 |
Pour convertir le nombre 0,125 de SS décimal en binaire, ce nombre est séquentiellement multiplié par 2. Dans la troisième étape, il s'est avéré être 0. Par conséquent, le résultat suivant a été obtenu :
0.125 10 =0.001 2 .
Exemple 9 ... Convertissons le nombre 0,214 de décimal en hexadécimal SS.
| 0.214 | ||
| X | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| X | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| X | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| X | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| X | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| X | 16 | |
| 4 | 0.224 |
En suivant les exemples 4 et 5, on obtient les nombres 3, 6, 12, 8, 11, 4. Mais dans le SS hexadécimal, les nombres 12 et 11 correspondent aux nombres C et B. On a donc :
0,214 10 = 0,36C8B4 16.
Exemple 10 ... Convertir Décimal en Octal SS.
| 0.512 | ||
| X | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| X | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| X | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| X | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| X | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| X | 8 | |
| 1 | 0.728 |
Eu:
0.512 10 =0.406111 8 .
Exemple 11 ... Conversion du nombre 159.125 de décimal en binaire SS. Pour ce faire, nous traduisons séparément la partie entière du nombre (exemple 4) et la partie fractionnaire du nombre (exemple 8). De plus, en combinant ces résultats, nous obtenons :
159.125 10 =10011111.001 2 .
Exemple 12 ... Conversion du nombre 19673.214 de décimal en hexadécimal SS. Pour ce faire, nous traduisons séparément la partie entière du nombre (exemple 6) et la partie fractionnaire du nombre (exemple 9). De plus, en combinant ces résultats, nous obtenons.
Dans cet article, je vais vous expliquer les bases de la technologie informatique - il s'agit d'un système binaire. C'est le niveau le plus bas, ce sont les chiffres par lesquels l'ordinateur fonctionne. Et vous apprendrez à traduire à partir d'un système
Tableau 1 - Représentation des nombres dans différents systèmes
calcul (début)
Systèmes de numérotation |
||||
Décimal |
Binaire |
Octal |
Hexadécimal |
décimal binaire |
Il existe deux options pour convertir du décimal au binaire.
1) Par exemple, le nombre 37 doit être converti de décimal en binaire, puis vous devez le diviser par deux, puis vérifier le reste de la division. Si le reste est impair, alors en bas nous signons une unité et le prochain cycle de division passe par un nombre pair, si le reste de la division est pair, alors nous écrivons zéro. À la fin, il doit nécessairement s'avérer 1. Et maintenant, nous allons convertir le résultat obtenu en binaire, avec le nombre allant de droite à gauche.
Pas à pas : 37 est un nombre impair, donc 1 , alors 36/2 = 18. Le nombre est pair, donc 0. 18/2 = 9 est un nombre impair, donc 1 , alors 8/2 = 4. Le nombre est pair, compte 0. 4/2 = 2, nombre pair signifie 0, 2/2 = 1.
Alors on a le numéro. N'oubliez pas que le comptage va de droite à gauche : 100101 - ici nous avons un nombre en système binaire. En général, cela s'écrit sous forme de division longue, comme vous pouvez le voir sur la figure ci-dessous :
2) Mais il existe une deuxième voie. Je l'aime mieux. Le transfert d'un système à un autre est le suivant :
où ai - i-ième chiffre Nombres;
k - le nombre de chiffres dans la partie fractionnaire du nombre;
m - le nombre de chiffres dans la partie entière du nombre ;
N est la base du système de nombres.
La base N indique combien de fois le "poids" du i-ème chiffre est supérieur au "poids" (i-1) du chiffre. La partie entière du nombre est séparée de la partie fractionnaire par un point (virgule).
La partie entière du nombre AN1, avec la base N1, est convertie au système numérique avec la base N2 en divisant séquentiellement la partie entière du nombre AN1 par la base N2 écrite comme un nombre avec la base N1 jusqu'à ce que le reste soit obtenu. la fraction résultante est à nouveau divisée par la base N2, et ce processus doit être répété jusqu'à ce que la particule soit inférieure au diviseur. Les restes résultants de la division et la dernière partie sont écrits dans l'ordre inverse de la division. Le nombre formé sera un entier avec une base N2.
La partie fractionnaire de AN1, de base N1, est convertie dans le système numérique de base N2 en multipliant séquentiellement la partie fractionnaire de AN1 par la base N2, écrite sous la forme d'un nombre de base N1. À chaque multiplication, la partie entière du produit est considérée comme le chiffre suivant du chiffre correspondant, et la partie fractionnaire du reste est considérée comme une nouvelle multiplication. Le nombre de multiplications détermine la longueur du résultat obtenu, qui représente la partie fractionnaire du nombre AN1 dans le système numérique N2. La partie fractionnaire d'un nombre est souvent présentée de manière inexacte lors de la traduction.
Faisons cela avec un exemple :
Conversion décimale en binaire
37 en décimal doit être converti en binaire. Travaillons avec les diplômes :
2 0 = 1
2 1 = 2
2 2 = 4
2 3 = 8
2 4 = 16
2 5 = 32
2 6 = 64
2 7 = 128
2 8 = 256
2 9 = 512
2 10 = 1024 et ainsi de suite ... à l'infini
Signifie : 37 - 32 = 5. 5 - 4 = 1. La réponse est la suivante dans le système binaire : 100101.
Convertissons 658 de décimal en binaire :
658-512=146
146-128=18
18-16 = 2. Dans le système binaire, le nombre ressemblera à : 1010010010.
Conversion de décimal en octal
Si vous devez convertir de décimal en octal, vous devez d'abord convertir en binaire, puis convertir de binaire en octal. C'est-à-dire que c'est plus facile de cette façon, bien que vous puissiez le traduire tout de suite. Algorithme similaire à la traduction binaire, voir ci-dessus.
Conversion décimale en hexadécimale
Si vous devez convertir de décimal en hexadécimal, vous devez d'abord convertir en binaire, puis convertir de binaire en hexadécimal. C'est-à-dire que c'est plus facile de cette façon, bien que vous puissiez le traduire tout de suite. Algorithme similaire à la traduction binaire, voir ci-dessus.
Traduction du binaire vers l'octal
Pour convertir un nombre du système binaire au système octal, vous devez diviser le binaire en trois nombres.
Par exemple, le nombre résultant 1010010010 est divisé en trois nombres, et la répartition va de droite à gauche : 1 010 010 010 = 1222. Voir le tableau au tout début.
Traduction du binaire vers l'hexadécimal
Pour convertir un nombre binaire en hexadécimal, vous devez le diviser en tétrades (quatre chacun)
10 1001 0010 = 292
Voici quelques exemples à consulter :
La traduction s'effectue du binaire vers l'octal, puis vers l'hexadécimal, puis du binaire décimal
(2) = 11101110
(8) = 11 101 110 = 276
(16) = 1110 1110 = EE
(10) = 1*128+ 1*64+ 1*32+ 0 +1*8 + 1*4 + 1*2+ 0= 238
3) (8) = 657
La traduction s'effectue de l'hexadécimal au binaire, puis à l'octal, puis du binaire décimal
(16) = 6E8
(2) = 110 1110 1000
(8) = 11 011 101 000 = 2250
(10) = 1*1024+1*512+ 0 +1*128+ 1*64+ 1*32+ 8 = 1768
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