Actuellement, les méthodes suivantes pour organiser des canaux radio (technologies radio) sont connues: FDMA, TDMA, CDMA, FH-CDMA. Possible leurs combinaisons (par exemple, FDMA / TDMA). Les délais impartis pour l'utilisation de ces technologies ont largement coïncidé avec les étapes du développement des systèmes mobiles. Dans l'équipement du raccord de radiotéléphone mobile de la première génération, des canaux de dimensionnement multiples avec séparation de fréquence des canaux ont été utilisés (FDMA). La technologie radio de la FDMA a jusqu'à présent été utilisée avec succès dans l'équipement avancé de la communication cellulaire de première génération, ainsi que dans des systèmes simples de communications de radiotéléphone mobiles avec une structure non cellulaire. En ce qui concerne les normes de communication mobiles de la première étape, pour les premiers systèmes radiaux, le concept de normes n'a pas été utilisé et que l'équipement diffère par les noms des systèmes (Altaï, Volvetot, actiont, etc.). Les systèmes de communication cellulaire ont commencé à différer selon les normes. Sur la technologie FDMA, de telles normes des systèmes cellulaires de première génération sont basées, comme NMT-450, NMT-900, AMPS, TACS. Dans les systèmes de communication cellulaires de deuxième génération, une transition vers le traitement numérique des messages vocaux transmissibles a été faite, pour laquelle la technologie radio de multiples accès à la séparation temporelle des canaux a commencé à être utilisée (TDMA). À la suite de la transition vers TDMA: l'immunité du bruit de la douleur radio augmente, il est devenu préférable d'être mieux protégé de l'écoute, etc. TDMA s'applique dans des systèmes tels que des normes que GSM, D-AMPS (Le dernier de la version américaine est souvent appelé TDMA). La technologie radio d'accès multiple avec la division de code des canaux CDMA, ou dans la version anglaise de CDMA, est activement intégrée aux réseaux de radio-téléphonie publique uniquement les cinq dernières années. Cette technologie radio a ses avantages, car Dans l'équipement CDMA: - L'efficacité de l'utilisation du spectre radiofréquentrique 20 fois supérieure à l'équipement radio de la norme AMPS (technologie FDMA) et 3 fois - avec GSM (technologie TDMA); - significativement mieux que dans les autres systèmes de 2e génération TDMA, qualité, fiabilité et confidentialité de la communication; - il est possible d'utiliser des bornes à faible puissance de petite taille avec une longue période de travail; - à la même distance de la station de base, la radioprotection des terminaux d'abonné CDMA est inférieure à 5 fois par rapport au même indicateur des réseaux de normes basés sur d'autres technologies radio; - Il est possible d'optimiser la topologie des réseaux lors du calcul des zones de couverture. La technologie CDMA a été la première mise en œuvre dans l'équipement cellulaire Cellular IS-95. Selon ses capacités de service, les systèmes CDMA existants font référence à des systèmes cellulaires de deuxième génération. Selon les données statistiques de l'Institut national des télécommunications (ERTI), le nombre d'abonnés du réseau CDMA augmente pour 2 000 personnes. En ce qui concerne le taux de croissance du nombre d'abonnés, ces réseaux sont supérieurs aux réseaux d'autres normes cellulaires existantes, avant le développement de réseaux cellulaires d'une norme même populaire en tant que GSM. Actuellement, les réseaux CDMA ont au moins 30 millions d'abonnés. La communauté mondiale des télécommunications est encline au fait que dans le futur système d'accès sans fil des lignes d'abonné (systèmes de communication personnelle de troisième génération) CDMA occupera une position de leader. Une telle conclusion a été prise en raison du fait que la technologie CDMA est principalement capable de garantir la réalisation des exigences relatives à l'équipement de la troisième génération IMT-2000, en particulier de garantir l'échange d'informations avec des taux de transmission élevés. Toutefois, dans les systèmes d'accès sans fil ultérieurs, il est prévu d'utiliser les systèmes de large bande de CDMA, où la bande de fréquences sur le canal sera d'au moins 5 MHz (dans des systèmes CDMA modernes de la deuxième génération, la barre de canal est de 1,23 MHz. ). Au cours des dernières années, les moyens de communication sans fil ont commencé à apparaître, qui sont basés sur la technologie de spectre de fréquence étendue avec des sauts de fréquence (FH-CDMA). Cette technologie combine les spécificités de TDMA, où il existe une division de chaque fréquence en plusieurs intervalles de temps et CDMA, où chaque émetteur utilise une certaine séquence de signaux de type bruit. Cette technologie a trouvé son application dans les systèmes destinés à l'organisation de communications fixes.

Où chercher leurs caractéristiques que je bite le connaît

44. Présentation de signaux périodiques sous forme de série Fourier

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Signaux périodiques et lignes de Fourier

Le modèle mathématique du processus récurrent dans le temps est le signal périodique avec la propriété suivante:

Ici est une période de signalisation.

La tâche consiste à trouver la décomposition spectrale d'un tel signal.

Fourier rangée.

Laissez-nous régler le temps discuté dans CH. I Ortonormated Base formée par des fonctions harmonique avec plusieurs fréquences;

Toute fonction de cette base satisfait à la condition de fréquence (2.1). Par conséquent, - en effectuant une décomposition orthogonale du signal dans cette base, c'est-à-dire des coefficients informatiques

nous avons la décomposition spectrale

juste à l'infini de l'axe de l'heure.

Une série d'espèces (2.4) s'appelle près du Fourier du signal DANRGO. Nous introduisons la fréquence principale de la séquence formant un signal périodique. Calcul des coefficients de décomposition (2.3), écrivez une série Fourier pour un signal périodique

avec coefficients

(2.6)

Donc, dans le cas général, le signal périodique contient le composant constant constant et un ensemble infini d'oscillations harmoniques, le soi-disant harmonique avec des fréquences à plusieurs fréquences principales de la séquence.

Chaque harmonica peut être décrit par son amplitude et sa phase initiale pour cela, les coefficients de la série Fourier devraient être écrits comme

Le remplacement de ces expressions dans (2.5), nous en avons un autre, - la forme équivalente de la série Fourier:

qui est parfois plus pratique.

Diagramme spectral d'un signal périodique.

Il est donc de coutume d'appeler une image graphique d'un coefficients de série de Fourier pour un signal spécifique. Les diagrammes spectrales d'amplitude et de phase distinguent (Fig. 2.1).

Ici, le long de l'axe horizontal, les fréquences des harmoniques sont reportées à une échelle et leurs amplitudes et leurs phases initiales sont présentées le long de l'axe vertical.

Figure. 2.1. Diagrammes spectraux d'un signal périodique: une amplitude; B - phase

Particulièrement intéressé par un diagramme d'amplitude, qui vous permet de juger du pourcentage de contenus de certaines harmoniques dans le spectre du signal périodique.

Nous étudions plusieurs exemples spécifiques.

Exemple 2.1. SÉQUENCE PÉRIOIQUE PÉRIODIQUE DE FOURSER DE FOURSER DE VIDEO RECANGULAIRE AVEC DES PARAMETERS CONNAISSANTS MÊME SUR LE POINT T \u003d 0.

En génie radio, le ratio s'appelle le bien-être de la séquence. Selon des formules (2.6), nous trouvons

La formule finale de la série Fourier est commodément écrite sous la forme

En figue. 2.2 Les graphiques d'amplitude de la séquence dans deux cas extrêmes sont présentés.

Il est important de noter que la séquence d'impulsions courtes, les suivantes ont rarement une composition spectrale riche.

Figure. 2.2. Le spectre d'amplitude de la séquence périodique des impulsions vidéo rhargique: A - avec des droits élevés; B - avec un faible devoir

Exemple 2.2. Une série de séquences périodiques de Fourier d'impulsions formées par un signal harmonique de l'espèce limitée au niveau (on suppose que).

Nous introduisons un paramètre spécial - l'angle de coupe déterminé à partir du rapport d'où

Dans la correspondance avec cela, la valeur est égale à la durée d'une impulsion, exprimée en angle de mesure:

L'enregistrement analytique d'une impulsion générant la séquence considérée a la forme

La composante constante de la séquence

Le coefficient d'amplitude du premier harmonique

Calculez de la même manière les amplitudes - composants harmonique lorsque

Les résultats sont généralement enregistrés comme suit:

où la soi-disant fonction Berg:

Les graphiques de certaines fonctions de Berg sont illustrés à la Fig. 2.3.

Figure. 2.3. Graphes de plusieurs premières fonctions de Berg

Densité spectrale des signaux. Transformation directe et inverse Fourier.

Le signal est appelé périodiqueSi sa forme est répétée cycliquement au fil du temps. Le signal périodique en général est écrit comme suit:

Voici la période de signalisation. Les signaux périodiques peuvent être à la fois simples et complexes.

Pour la représentation mathématique de signaux périodiques avec une période, il est souvent utilisé par cela ensuite, dans lequel les oscillations harmonique (sinusoïdale et cosinus et cosinus) sont sélectionnées comme des fonctions de base:

où. - la fréquence angulaire principale de la fonction des fonctions. Avec des fonctions de base harmonique, une série de Fourier reçoit de cette série, qui, dans le cas le plus simple, peut être écrite sous la forme suivante:

où les coefficients sont

À partir d'un certain nombre de Fourier, on peut voir que dans le cas général, un signal périodique contient un composant constant et un ensemble d'oscillations harmoniques de la fréquence principale et de ses harmoniques avec des fréquences. Chaque oscillation harmonieuse de la série Fourier est caractérisée par une amplitude et une phase initiale.

Tableau spectral et spectre de signal périodique.

Si un signal est présenté sous la forme de la somme d'oscillations harmonique avec différentes fréquences, cela signifie qu'il a été effectué décomposition spectrale Signal.

Diagramme spectral Le signal s'appelle une image graphique des coefficients de la série Fourier de ce signal. Il y a des diagrammes d'amplitude et de phase. Pour construire ces diagrammes, à une certaine échelle le long de l'axe horizontal, les valeurs de la fréquence de l'harmonique sont posées et leurs amplitudes et leurs phases sont ajoutées le long de l'axe vertical. De plus, les amplitudes d'harmoniques ne peuvent prendre que des valeurs positives, des phases - à la fois des valeurs positives et négatives dans l'intervalle.

Tableaux de signaux périodiques spectraux:

a) - amplitude; b) - phase.

Spectre du signal - Il s'agit d'une combinaison de composants harmoniques avec des valeurs de fréquence spécifiques, des amplitudes et des phases initiales formant un signal dans la quantité. En pratique, les diagrammes spectraux sont appelés plus brièvement - spectre d'amplitude, spectre de phase. Le plus grand intérêt est montré au diagramme spectral d'amplitude. Il peut être estimé par le pourcentage d'harmoniques dans le spectre.

Les caractéristiques spectrales dans les techniques de télécommunication jouent un rôle important. Connaître le spectre du signal peut être correctement calculé et installer la largeur de bande, les filtres, les câbles et autres nœuds de canal de communication. Les connaissances de Signal Spectra sont nécessaires pour créer des systèmes multicanaux avec une séparation des fréquences des canaux. Sans la connaissance du spectre de l'ingérence, il est difficile de prendre des mesures pour le supprimer.

À partir de là, nous pouvons conclure que le spectre doit être connu pour effectuer une transmission de signal non courant sur le canal de communication afin d'assurer la séparation des signaux et d'affaiblir les interférences.

Pour surveiller les spectres des signaux, il y a des appareils appelés analyseurs de spectre. Ils vous permettent d'observer et de mesurer les paramètres des composants individuels du spectre de signal périodique, ainsi que de mesurer la densité spectrale du signal continu.

Souvent, une description mathématique même simple par la structure et la forme des signaux déterministes est une tâche difficile. Par conséquent, une réception originale est utilisée, dans laquelle les signaux complexes réels sont remplacés (représentés par approximativement) avec un ensemble (quantité pondérée, c'est-à-dire) de modèles mathématiques décrits par des fonctions élémentaires. Cela donne un outil important pour analyser le passage des signaux électriques à travers des circuits électroniques. De plus, la présentation du signal peut également être utilisée comme initiale lors de la description et d'analyse. Dans le même temps, il est possible de simplifier considérablement la tâche inverse - la synthèse signaux complexes de l'ensemble des fonctions élémentaires.

Représentation spectrale des signaux périodiques rangs Fourier

Général série Fourier.

L'idée fondamentale de la représentation spectrale des signaux (fonctions) augmente il y a plus de 200 ans et appartient à la physique et aux mathématiques J. B. Fourier.

Considérez le système de fonctions orthogonales élémentaires, chacune d'elles à partir d'une source - la fonction prototype. Ce prototype de fonctionnalité agit comme un "bloc de construction" et l'approximation souhaitée convient à la combinaison des mêmes blocs. Fourier a montré que toute fonction complexe peut être représentée (approximée) sous la forme d'une somme finie ou infinie d'un certain nombre d'oscillations harmoniques multiples avec certaines amplitudes, fréquences et phases initiales. Cette fonction peut être, en particulier, du courant ou de la tension dans la chaîne. Le rayon du soleil, déplié par la prisouse sur le spectre des couleurs, est un analogue physique de transformations mathématiques de Fourier (Fig. 2.7).

La lumière qui sort du prisme est divisée en espace sur des couleurs propres séparées ou des fréquences. Le spectre a une amplitude moyenne à chaque fréquence. Ainsi, la fonction d'intensité du temps a été transformée en fonction de l'amplitude en fonction de la fréquence. Un exemple simple d'illustrations de raisonnement Fourier est illustrée à la Fig. 2.8. Courbe courbe périodique et assez compliquée (Fig. 2.8, mais) - C'est la somme de deux harmoniques de différentes fréquences, mais plusieurs fréquences: célibataire (Fig. 2.8, b) et doublé (Fig. 2.8, dans).

Figure. 2.7.

Figure. 2.8.

mais - oscillation complexe; b, 1er et 2e signaux approximatifs

Avec l'aide de l'analyse spectrale du Fourier, la fonction complexe semble être une somme d'harmoniques, chacune ayant sa phase de fréquence, d'amplitude et de démarrage. La transformation de Fourier détermine les fonctions représentant l'amplitude et la phase de composants harmoniques correspondant à une fréquence spécifique et la phase est le point initial de la sinusoïde.

La transformation peut être obtenue par deux méthodes mathématiques différentes, dont l'une est utilisée lorsque la fonction initiale est continue et l'autre - lorsqu'elle est spécifiée par l'ensemble de valeurs distinctes distinctes.

Si la fonction à l'étude est obtenue à partir de valeurs avec certains intervalles distincts, il peut être divisé en une rangée séquentielle de fonctions sinusoïdales avec des fréquences discrètes - de la fréquence la plus basse, principale ou principale, puis avec des fréquences deux fois, triplés, etc. Au-dessus de la principale. Une telle somme des composants et s'appelle près de Fourier.

Signaux orthogonaux. Une manière commode de descriptions spectrales du signal de Fourier est sa représentation analytique à l'aide du système de fonctions temporelles élémentaires orthogonales. Que ce soit un espace de signal Hilbert u 0 (t) y g /, (?), ..., u n (t) Avec une énergie finie définie sur un intervalle de temps fini ou infini (T v 1 2). Sur ce segment, nous définissons le système infini (sous-ensemble) des fonctions élémentaires interdépendantes du temps et appelez-la de base. "

où r \u003d. 1, 2, 3,....

Les fonctions u (t) et v (t) Orthogonal sur l'intervalle (?,? 2), si leur produit scalaire, à condition qu'aucune de ces fonctions ne soit identique à zéro.

En mathématiques, définissez donc dans l'espace de signal Hilbert base de coordonnée orthogonale. Le système de fonctions de base orthogonales.

La propriété de l'orthogonalité des fonctions (signaux) est associée à l'intervalle de leur définition (Fig. 2.9). Par exemple, deux signaux harmonique m, (?) \u003d \u003d Péché (2NR / 7 '0) et u., (t) \u003d Péché (4 nt / t q) (C'est-à-dire avec des fréquences / 0 \u003d 1/7 '0 et 2/0, respectivement) orthogonal à tout intervalle de temps, dont la durée est égale à un nombre entier de demi-périodes T 0. (Fig. 2.9, mais). Par conséquent, dans la première période, les signaux et 1) et u 2 (t) Orthogonal sur l'intervalle (0, 7 "0/2); mais sur l'intervalle (o, zg 0/4), ils sont un orthogonal. PA Fig. 2.9, b. Les signaux sont orthogonaux en raison de l'abondance de leur apparition.

Figure. 2.9

mais - sur l'intervalle; b - En raison du temps de l'apparition de la représentation du signal u (t) Les modèles élémentaires sont très simplifiés si le système de fonctions de base est sélectionné. vFF) posséder une propriété orthonormalité. Du mathématique, on sait si une condition est satisfaite pour une paire de fonctions du système orthogonal (2.7)

ensuite, le système de fonctions (2.7) orontormé.

En mathématiques, un tel système de fonctions de base de la forme (2.7) est appelé base mince.

Laissez sur l'intervalle de temps spécifié | r, t 2. | Il y a un signal arbitraire u (t) Et pour sa présentation utilise un système d'orthonormal de fonctions (2.7). Concevoir un signal arbitraire u (t) sur l'axe de la base de coordonnées est appelé décomposition en une série généralisée de Fourier. Cette décomposition a une vue.

où c, - certains coefficients permanents.

Pour déterminer les coefficients avec k. Sélectionnez l'une des fonctions de base (2.7) v k (t) avec nombre arbitraire à. Multiplier les deux parties de la décomposition (2.9) sur cette fonction et intégrer le résultat dans le temps:

En raison de l'orthonormalité de la base des fonctions sélectionnées dans le côté droit de cette égalité, tous les membres du montant lorsque jE. ^ à Se transformer en zéro. Non seulement le seul membre du numéro avec le numéro restera non nul jE. = à, donc

Production d'espèces c k v k (t), inclus dans la série généralisée de Fourier (2.9), est composant spectral Signal u (t), Et la combinaison de coefficients (projections des vecteurs de signaux sur l'axe de la coordonnée) (de 0, s, ..., avec k,..., c ") détermine entièrement le signal analysé iI (t) et l'a appelé spectre (de la lat. spectre - image).

Essence représentation spectrale (analyse) Le signal est de déterminer les coefficients avec I conformément à la formule (2.19).

Le choix du système orthogonal rationnel de la base de coordonnées des fonctions dépend de l'objet de la recherche et est déterminé par le désir de la simplification maximale de l'appareil mathématique d'analyse, de transformations et de traitement des données. Les fonctions de base, Chebyshev, Hermita, Lagerre, Lejander et d'autres sont actuellement utilisées. La plus grande distribution reçue des signaux dans les bases des fonctions harmonique: complexe exponentiel exp (j 2lft) et de vraies fonctions trigonométriques sinusines liées à la formule Euler e\u003e H. \u003d Cosx + y "sinx. Cela est dû au fait que l'oscillation harmonique conserve théoriquement sa forme lors de la traversée par des chaînes linéaires à des paramètres constants, et seule son amplitude et la phase initiale sont bien développées dans la théorie de la chaîne est également largement utilisé. Le fonctionnement de la représentation des signaux déterministes sous la forme d'un ensemble de composants constant ( composant constant) et la somme des oscillations harmonique avec plusieurs fréquences est appelée appelée décomposition spectrale. Utilisation entièrement courante dans la théorie des signaux d'une série de Fourier généralisée est également associée à sa propriété très importante: avec le système de fonction orthonormulaire choisi v k (t) et le nombre fixe des catégories de la série (2.9) fournit la meilleure représentation du signal spécifié. u (t). Cette propriété de la série Fourier est largement connue.

Lorsque la vue spectrale des signaux, des bases orthonormales de fonctions trigonométriques ont été obtenues la plus grande application. Cela est dû à ce qui suit: les oscillations harmoniques sont la plus simplement générées; Les signaux harmoniques sont invariants en ce qui concerne les transformations effectuées par des circuits électriques linéaires fixes.

Nous estimons la représentation temporaire et spectrale du signal analogique (Fig. 2.10). En figue. 2.10, mais Un diagramme temporaire de complexe sous la forme d'un signal continu est représenté et à la Fig. 2.10, b - Sa décomposition spectrale.

Considérez la représentation spectrale des signaux périodiques sous la forme de la somme ou des fonctions harmoniques, ou des exponentielles complexes avec des fréquences formant une progression arithmétique.

Périodique appelez le signal et "(?). Répéter à intervalles de temps réguliers (Fig. 2.11):

où r - une période de répétition ou d'impulsions suivantes; n \u003d 0,1, 2,....

Figure. 2.11. Signal périodique

Si un T. C'est une période de signalisation u (t), Ensuite, les périodes seront également multiples valeurs: 2G, 3 T. etc. Séquence périodique d'impulsions (elles sont appelées impulsions vidéo) Décrit par expression

Figure. 2.10.

mais - diagramme temporaire; b. - spectre d'amplitude

Ici u q (t) - une forme d'impulsion unique caractérisée par une amplitude (hauteur) h \u003d e, Durée T ", une période de suivante T \u003d. 1 / F (F - Fréquence), la position des impulsions dans le temps par rapport aux points d'horloge, par exemple t \u003d. 0.

Lors de l'analyse spectrale des signaux périodiques, un système orthogonal (2.7) est pratique comme fonction harmonique avec plusieurs fréquences:

où co, \u003d 2p / t- Fréquence des impulsions.

Calculer les intégrales, par formule (2.8), il est facile d'assurer l'orthogonalité de ces fonctions de l'intervalle [-g / 2, G / 2 |. Toute fonction satisfait à la condition de périodicité (2.11), car leurs fréquences sont multiples. Si le système (2.12) écrit comme

nous aurons une base orthonormale de fonctions harmoniques.

Imaginez un signal périodique le plus courant en théorie des signaux trigonométrique (sinus-cosinine) forme Série Fourier:

Du cours des mathématiques, il est connu que la décomposition (2.11) existe, c'est-à-dire Un nombre converge si la fonction (dans ce cas, le signal) u (t) À l'intervalle [-7/2, 7/2] satisfait conditions de Dirichlet (Contrairement au théorème de Dirichlet, ils sont souvent interprétés simplifiés):

• Il ne devrait y avoir aucune panne du 2ème type (avec des branches qui partent à l'infini);
• La fonction est limitée et a un nombre fini de lacunes du 1er genre (sauts);
• La fonction a un nombre fini d'extrêmes (c'est-à-dire maxima et minima).

Les composants suivants du signal analysé sont disponibles dans la formule (2.13):

Composant permanent

Les amplitudes de composants formels de cosinus

Amplitude composants sinusoïdaux

Le composant spectral avec la fréquence de CO dans la théorie de la communication est appelé premier (principale) harmonicaet composants avec des fréquences ISO, (p\u003e 1) - harmonies plus élevées Signal périodique. Étape à la fréquence d'ASO entre deux sinusoïdes adjacentes de la décomposition de Fourier est appelée résolution de fréquence spectre.

Si le signal est une fonction de temps uniforme u (t) \u003d u (-t), puis dans l'enregistrement trigonométrique de la série Fourier (2.13), il n'y a pas de coefficients sinusoïdaux B n, car conformément à la formule (2.16), ils se tournent vers zéro. Pour le signal u (t), Décrit par une fonction étrange du temps, au contraire, selon la formule (2.15), zéro est égal aux coefficients de cosinus un P. (composant constant a 0. également absent), et la plage contient des composants B n.

Les limites de l'intégration (de -7/2 à 7/2) ne doivent pas nécessairement être telles que des formules (2.14) - (2.16). L'intégration peut être effectuée à tout moment de la largeur de l'intervalle 7 - le résultat ne changera pas de ceci. Les limites spécifiques sont choisies en raison de considérations de la commodité des calculs; Par exemple, il peut être plus facile de continuer à intégrer d'environ 7 ou de -7 à 0, etc.

Section des mathématiques Réglage du rapport entre la fonction temporelle u (T.) et coefficients spectraux et p, b n, Appel analyse harmonique En raison de la fonction de communication u (t) Avec des membres sinusoïdaux et cosinéidiens de cette quantité. En outre, l'analyse spectrale est principalement limitée par le cadre de l'analyse harmonique, qui est une application exceptionnelle.

Souvent, l'utilisation de la forme des sinus-cosinus de la série Fourier n'est pas entièrement pratique, car pour chaque valeur de l'indice de sommation. p (C'est-à-dire, pour chaque harmonique avec la fréquence moj) de la formule (2.13), deux termes sont inclus - cosinus et sinus. D'un point de vue mathématique, il est plus pratique de présenter cette formule équivalente à l'équivalent de Fourier forme réelle /.

où A 0. = un 0 /2; Et n \u003d yja 2 n + B - amplitude; P-ème signal harmonique. Parfois, dans le rapport (2.17) avant le Wedl l Signer "Plus", la phase initiale de l'harmonique est enregistrée en tant que CP et \u003d -Arctg ( b n fa. n).

Dans la théorie des signaux, la forme complexe de la série Fourier est largement utilisée. Il est obtenu à partir de la forme réelle d'une rangée d'une représentation cosinus sous la forme d'un exposant exponentiel semi-émis par la formule Euler:

En appliquant cette transformation sur la forme réelle d'une série de Fourier (2.17), nous obtenons la quantité d'exponentielles complexes avec des indicateurs positifs et négatifs:

Et nous interpréterons maintenant les exposants de la formule (2.19) à la fréquence de CO, avec le signe "moins" dans l'indicateur en tant que membres d'un nombre avec des nombres négatifs. Dans le cadre de la même approche, le coefficient A 0. Il deviendra membre d'un numéro avec un numéro zéro. Après des transformations simples viennent à forme complexe Rangée Fourier

Amplitude complète p-d harmoniques.

Valeurs Avec P. sur des nombres positifs et négatifs p sont un conjugué complexe.

Notez que Fourier Series (2.20) est un ensemble d'exponentiels complexes exp (jn (o (t) Avec des fréquences formant une progression arithmétique.

Nous définissons la relation entre les coefficients des formes trigonométriques et complexes de la série Fourier. Il est évident que

Vous pouvez également montrer que les coefficients un P. \u003d 2C W COSCP "; b n \u003d 2C / I SINCP, F.

Si un u (t) est une fonction pair, les coefficients du C, la volonté réel Et qu'est-ce qui se passerait si u (t) - La fonction est impair, les coefficients de la ligne deviendront imaginaire.

La représentation spectrale du signal périodique avec une forme complexe d'une série de Fourier (2.20) contient des fréquences positives et négatives. Mais les fréquences négatives de nature n'existent pas, et il s'agit d'une abstraction mathématique (la signification physique de la fréquence négative est la rotation dans la direction opposée à celle qui est prise pour positive). Ils apparaissent à la suite de la représentation formelle des oscillations harmoniques avec une forme complète. Lors de la mise sous tension d'une forme complète d'enregistrement (2.20) sur REAL (2.17), la fréquence négative disparaît.

Visuellement sur le spectre du signal est jugé par son image graphique - le diagramme spectral (Fig. 2.12). Distinguer fréquence d'amplitudeet spectres de fréquence de phase. Aggregate amplitude harmonique Un P. (Fig. 2.12, mais) Appel spectre d'amplitude, leurs phases (Fig. 2.12, b) Cp i - spectacle de phase. Le total Avec P. = |Avec P. est un spectrum d'amplitude complexe (Fig. 2.12, dans). Sur des diagrammes spectraux, l'axe Abscissa repose sur la fréquence actuelle et les axes d'ordonnée sont une amplitude ou une phase réelle ou complexe des composants harmoniques correspondants du signal analysé.

Figure. 2.12.

mais - amplitude; b - phase; dans - Gamme d'amusement de Fourier complexe

Le spectre du signal périodique est appelé linéaire ou alors discretComme il se compose de lignes séparées avec une hauteur égale à l'amplitude Un P. Harmonique. Parmi tous les types de spectres, le plus informatif est une amplitude, car il vous permet d'estimer la teneur quantitative de certaines harmoniques dans la composition de fréquence du signal. Dans la théorie des signaux, il est prouvé que le spectre d'amplitude est fonction même de fréquenceet phase - impair.

Noter Équidistance (Equalence de l'origine) du spectre complexe de signaux périodiques: fréquences symétriques (positives et négatives) sur lesquelles les coefficients spectraux de la série trigonométrique de Fourier sont situés, forment une séquence équidistante (... - V. ..., -2so p-p 0, V. 2 O, ..., nCOV. ...) contenant la fréquence de CO \u003d 0 et ayant une étape CO T \u003d 2L / 7 '. Les coefficients peuvent prendre toutes les valeurs.

Exemple 2.1

Calculez les spectres d'amplitude et de phase d'une séquence périodique d'impulsions rectangulaires avec une amplitude ?, Durée T et une période de répétition T. Le signal est même fonction (Fig. 2.13).

Figure. 2.13.

Décision

On sait que l'impulsion vidéo rectangulaire parfaite est décrite par l'équation suivante:

ceux. Il est formé comme une différence entre deux fonctions simples A (?) (Fonctions d'inclusion) déplacées au fil du temps sur T n.

La séquence d'impulsions rectangulaires est une certaine quantité d'impulsions simples:

Étant donné que le signal spécifié est une fonction de temps uniforme et, pendant une période, n'agend que sur l'intervalle [T et / 2, T et / 2], selon la formule (2.14)

où q. = T / T "

Analyser la formule résultante, on peut noter que la période de la suivante et la durée des impulsions sont incluses sous la forme d'une relation. Ce paramètre q - Le rapport de la période à la durée des impulsions est appelé stupéfait La séquence périodique d'impulsions (dans la littérature étrangère au lieu de devoir, utilisez la valeur inverse - coefficient de remplissage, de l'anglais, cycle de service.égal à t an / 7); pour q \u003d 2 la séquence d'impulsions rectangulaires, lorsque la durée des impulsions et des espaces entre elles devient égale, appelée méandre (du grec. Paidiav5poq est un motif, ornement géométrique).

En raison de la parité de la fonction décrivant le signal analysé, dans un certain nombre de Fourier, ainsi que le composant constant, seuls les composants cosinus seront présents (2.15):

Dans le côté droit de la formule (2.22), le deuxième facteur présente la forme d'une fonction élémentaire (sinx) / x. En mathématiques, cette fonction est indiquée comme Sinc (X), et seulement lorsque h. \u003d 0 il est égal à un (lim (sinx / x) \u003d 1) passe

À travers zéro à des points x \u003d ± L, ± 2L, ... et s'estompe avec la croissance de l'argument x (Fig. 2.14). Enfin la série trigonométrique de Fourier (2.13), qui se rapproche du signal spécifié, enregistré sous la forme

Figure. 2.14. Fonction de planification sinx / x.

La fonction sinusale a un caractère pétale. Parlant de la largeur des pétales, il convient de souligner que les graphiques de spectres distincts de signaux périodiques ont deux options pour classer l'axe horizontal - dans les salles d'harmonique et de fréquences. Par exemple, à la Fig. 2.14 L'obtention du diplôme de l'axe de l'ordonnée correspond aux fréquences. La largeur des pétales, mesurée entre l'harmonique, est égale au bien-être de la séquence. À partir de là, il suit la propriété importante du spectre de la séquence des impulsions rectangulaires - il n'y a pas de zéro amplitudes d'harmoniques avec des nombres, des maladies de droits multiples). Lorsque les impulsions des impulsions, égales à trois, disparaissent chaque tiers harmonique. Si le régime serait égal à deux, seules les harmoniques impaires de la fréquence principale resteraient dans le spectre.

De la formule (2.22) et la Fig. 2.14 Il s'ensuit que les coefficients d'un certain nombre d'harmoniques de signal supérieurs ont un signe négatif. Cela est dû au fait que la phase initiale de ces harmoniques est égale p. Par conséquent, la formule (2.22) est prise pour soumettre sous une forme modifiée:

Avec un tel enregistrement de la série Fourier, les amplitudes de tous les composants harmoniques plus élevés sur le graphique du diagramme spectral sont positifs (Fig. 2.15, mais).

Le spectre d'amplitude du signal dépend en grande partie de la relation de la période de répétition T. et la durée d'impulsion t et, c'est-à-dire du devoir q.La distance dans la fréquence entre les harmoniques adjacentes est égale à la fréquence des impulsions de 1 \u003d 2L / t. La largeur des pétales de spectre, mesurées en unités de fréquence, est égale à 2nd / t N, c'est-à-dire. Inversement proportionnelle à la durée du pouls. Notez qu'avec la même durée du pouls T et avec augmenter

Figure. 2.15.

mais - amplitude;b. - Phase

roda de leur répétition T. La fréquence principale de CO, diminue et le spectre devient plus dense.

La même image est observée si la durée d'impulsion est raccourcie et avec une période constante. T. Les amplitudes de toutes les harmoniques sont réduites. C'est une manifestation d'une loi générale (le principe de l'incertitude V. Heisenberg - Principe incertain) ', Plus la durée du signal est plus courte, plus son spectre.

Phases des composants déterminent de la formule cp p \u003d arctg (B N / A N). Comme ici coefficients B " \u003d 0, alors

où m \u003d. 0, 1, 2,....

Le rapport (2.24) montre que lors du calcul des phases des composants spectraux traite de l'incertitude mathématique. Pour ses divulgations, nous allons passer à la formule (2.22), selon laquelle les amplitudes harmonique modifient périodiquement le signe conformément à la modification du signe de la fonction SIN (NCO 1 x 1i / 2). Changer le signe de la formule (2.22) équivaut au déphasage de cette fonction sur p.Par conséquent, lorsque cette fonction est positive, la phase harmonique (p et 2 tpet quand négatif - \u003d (2T. + 1 )à (Fig. 2.15, B). Notez que, bien que les amplitudes des composants dans le spectre des impulsions rectangulaires et diminuent avec une fréquence croissante (voir la figure 2.15, mais), Ce déclin est assez lent (les amplitudes diminuent de la fréquence inversement proportionnelle). Pour transférer de telles impulsions sans distorsion, une bande infinie du canal de communication est requise. Pour des distorsions relativement basse, la valeur limite de la bande de fréquence doit être de plusieurs fois supérieure à la valeur, la durée inverse de l'impulsion. Cependant, tous les canaux réels ont une bande passante finie, ce qui entraîne des distorsions de la forme des impulsions transmises.

La série de signaux périodiques arbitraires de Fourier peut contenir infiniment un grand nombre de membres. Lorsque vous calculez les spectres de tels signaux, le calcul de la somme infinie de la série Fourier provoque certaines difficultés et n'est pas toujours nécessaire, donc limitée par la Summation du nombre final des termes (la série "Trunks").

La précision de l'approximation du signal dépend du nombre de composants sommables. Considérez cela sur l'exemple d'approximation par la somme des huit premières harmoniques de la séquence d'impulsions rectangulaires (Fig. 2.16). Le signal a une vue d'un méandre unipolaire avec une période de répétition. U. amplitude E. \u003d 1 et durée d'impulsion t and \u003d T./ 2 (le signal spécifié est même - Fig. 2.16, mais; Esclavage q. \u003d 2). L'approximation est représentée à la Fig. 2.16, B et le nombre d'harmoniques sommables sont indiqués sur les graphiques. Dans l'approximation d'un signal périodique donné sous l'approximation (voir figure 2.13) trigonométrique proches (2.13), la somme des harmoniques de premier et supérieur sera effectuée uniquement par des coefficients impairs PU Depuis avec même leurs valeurs et leur durée d'impulsion t and \u003d T./ 2 \u003d \u003d TT / CO, la valeur du péché (MO, T H / 2) \u003d SIN (WT / 2) est disparu.

La forme trigonométrique de la série Fourier (2.23) pour un signal donné a la forme

Figure. 2.16.

mais - signal spécifié; 6 - Étapes intermédiaires de la Sommation

Pour plus de commodité, la série de Fourier (2.25) peut être écrite simplifiée:

De la formule (2.26), il est évident que les harmoniques, l'approximation des méandres, sont impairs, ont des panneaux alternatifs et leurs amplitudes sont inversement proportionnelles au nombre. Il convient de noter que la séquence d'impulsions rectangulaires est mal adaptée à la présentation à proximité de Fourier-approximation contenant des ondulations et des sauts, et la somme d'un nombre quelconque de composants harmoniques avec toutes les amplitudes sera toujours une fonction continue. Par conséquent, le comportement d'une série de Fourier à proximité des lacunes présente un intérêt particulier. Des graphiques. 2.16, il n'est pas difficile de remarquer, comme avec une augmentation du nombre de harmoniques sommables, la fonction résultante s'approche de plus en plus la forme du signal source u (t) Partout, sauf pour ses lacunes. Dans les environs des points de rupture, la sommation de la série Fourier donne une section inclinée et l'inclinaison de la fonction résultante augmente avec l'augmentation du nombre de harmoniques sommables. Au point même de la rupture (nous l'indiquons comme t. = t 0) Rangeur u (t 0) Il converge à la moitié des limites droite et gauche:

Sur les zones adjacentes de la courbe approximée, la somme de la rangée donne des ondulations notables et sur la Fig. 2.16 On peut constater que l'amplitude de l'émission principale de ces ondulations ne diminue pas avec le nombre croissant d'harmoniques sommables - il n'est compressé que horizontalement, approchant du point de rupture.

Pour p -? Aux points de discontinuité, l'amplitude des émissions reste constante,

et sa largeur sera infiniment étroite. L'amplitude relative des ondulations (par rapport à l'amplitude du saut) et l'amortissement relatif ne change pas; Seule la fréquence des pulsations est modifiée, qui est déterminée par la fréquence des dernières harmoniques sommables. Cela est dû à la convergence de la série Fourier. Allons-nous vers l'exemple classique: allons-vous jamais réaliser les murs si vous prenez la moitié de la distance restante à chaque étape? La première étape conduira à la moitié de la voie, la seconde - à la marque sur trois de ses quartiers, et après la cinquième étape, près de 97% du chemin passera. Vous avez presque atteint la cible, mais peu importe combien de marches se passent, ne l'atteignez jamais dans un sens mathématique strict. Il n'est possible que de prouver mathématiquement que, à la fin, vous pouvez vous rapprocher de toute distance arbitraire donnée. Cette preuve sera équivalente à la démonstration de la quantité de nombres 1/2, 1,1 / 8.1 / 16, etc. Elle s'efforce d'être une. Ce phénomène inhérent à toutes les lignes de Fourier pour les signaux avec les ruptures du 1er genre (par exemple, des sauts, comme sur les fronts des impulsions rectangulaires), sont appelés l'effet de Gibbs* Dans ce cas, la valeur de la première (plus grande) émission d'amplitude dans la courbe approximée est d'environ 9% du niveau de saut (voir Fig. 2.16, p = 4).

L'effet Gibbs conduit à une erreur fatale d'approximation des signaux de pouls périodiques avec des ruptures du 1er genre. L'effet a lieu avec une monotonie aiguë avec une altération des fonctions. À des sauts, l'effet du maximum, dans tous les autres cas, l'amplitude de pulsations dépend de la nature de la violation de la monotonie. Pour un certain nombre d'applications pratiques, l'effet GIBBS provoque certains problèmes. Par exemple, dans les systèmes de reproduction de son, ce phénomène s'appelle "sonner" ou "rat". Dans ce cas, chaque consonne tranchant ou un autre son soudain peut être accompagné d'un bref son désagréable pour entendre.

La ligne de Fourier peut être appliquée non seulement pour des signaux périodiques, mais également pour les signaux de durée de fin. Cependant, il est stipulé par le temps

intervalle de bruit pour lequel une série de Fourier est en construction et pendant les moments restants du temps, le signal est considéré comme zéro. Pour calculer les coefficients d'un nombre, cette approche signifie continuation périodique Signaler en dehors de l'intervalle considéré.

Notez que la nature (par exemple, l'audience humaine) utilise le principe de l'analyse harmonique des signaux. Transformation virtuelle Fourier La personne permet d'entendre le son: l'oreille l'effectue automatiquement, ce qui représente le son sous la forme d'un spectre de valeurs de volume cohérentes pour des tons de différentes hauteurs. Le cerveau humain transforme ces informations en son perçu.

Synthèse harmonique. Dans la théorie des signaux, ainsi que l'analyse harmonique, les signaux sont largement utilisés. synthèse harmonique - obtenir des oscillations données de forme complexe en résumant un certain nombre de composants harmoniques de leur spectre. Essentiellement au-dessus de la synthèse d'une séquence périodique d'impulsions rectangulaires la quantité d'un certain nombre d'harmoniques a été effectuée. En pratique, ces opérations sont effectuées sur un ordinateur, comme illustré à la Fig. 2.16, b.

• Jean Batiste Joseph Fourier (J. V. J. Fourier; 1768-1830) - Mathématicien et physicien français.
• Josayia Gibbs (J. Gibbs, 1839-1903) est un physicien et mathématicien américain, l'un des fondateurs de thermodynamique chimique et de physique statistique.

Formes de l'enregistrement de la série Fourier. Le signal est appelé périodiquesi sa forme est répétée de manière cyclique dans le signal périodique de temps u (t)en général, il est écrit de sorte:

u (t) \u003d u (t + mt), m \u003d 0, ± 1, ± 2, ...

Ici-période du signal. Les signaux périodiques peuvent être à la fois simples et complexes.

Pour une représentation mathématique de signaux périodiques avec une période T.utilisez souvent près de (2.2), dans laquelle les oscillations harmonique (sinusoïdale et cosinus) sont sélectionnées comme des fonctions de base

y 0 (t) \u003d 1; y 1 (t) \u003d sinw 1 t; Y 2 (T) \u003d COSW 1 T;

y 3 (t) \u003d sin2w 1 t; y 4 (t) \u003d cos2w 1 t; ..., (2.3)

où w 1 \u003d 2p / t- la fréquence angulaire principale de la séquence

les fonctions. Avec des fonctions de base harmonique à partir d'un numéro (2.2), nous recevons un certain nombre de mathématiciens de Fourier (Jean Fourier - français et physicien du XIXe siècle).

Les fonctions harmoniques du formulaire (2.3) dans un certain nombre de Fouriers ont les avantages suivants: 1) une simple description mathématique; 2) invariance à des transformations linéaires, c'est-à-dire si l'entrée du circuit linéaire actionne une oscillation harmonique, alors à la sortie de celui-ci, il y aura également une oscillation harmonique, différant de l'amplitude d'entrée uniquement et de la phase initiale; 3) comme signal, les fonctions harmonique sont périodiques et ont une durée infinie; 4) La technique pour générer des fonctions harmonique est assez simple.

Du tarif mathématique, il est connu que pour décomposer le signal périodique d'une rangée pour les fonctions harmonique (2.3), il est nécessaire d'effectuer les conditions de Dirichle. Mais tous les réels signaux périodiques sont satisfaits de ces conditions et peuvent être représentées comme une série de Fourier, qui peut être enregistrée dans l'une des formes suivantes:

u (t) \u003d un 0/2 + (A 'mn cosnw 1 t + a "mn nw 1 t), (2.4)

où les coefficients sont

Un mn "\u003d (2.5)

u (t) \u003d a 0/2 + (2.6)

Un mn \u003d. (2.7)

ou sous forme complexe

u (t) \u003d (2.8)

C n \u003d (2.9)

De (2.4) - (2.9), il s'ensuit que, dans le cas général, un signal périodique U (t) contient un composant constant A 0/2 et un ensemble d'oscillations harmophoniques de la fréquence principale W 1 \u003d 2PF 1 et son harmonique avec des fréquences Wn \u003d nw 1, n \u003d 2, 3.4, ... chacun de l'harmonique

les oscillations de la série Fourier sont caractérisées par une amplitude de la phase initiale Y n .nn

Diagramme spectral et spectre d'un signal périodique. Si un signal est représenté comme une somme d'oscillations harmoniques avec différentes fréquences, ils disent que décomposition spectralesignal.

Diagramme spectralle signal s'appelle une représentation graphique des coefficients de la série Fourier de ce signal. Il y a des diagrammes d'amplitude et de phase. En figue. 2.6 À une certaine échelle, l'axe horizontal est reporté les valeurs de la fréquence de l'harmonique, le long de l'axe grasé - leurs amplitudes un MN et la phase Y n. De plus, les amplitudes harmoniques ne peuvent prendre que des valeurs positives, des phases - à la fois des valeurs positives et négatives dans l'intervalle -p £ y n £ p

Spectre du signal- Il s'agit d'une combinaison de composants harmoniques avec des valeurs de fréquence spécifiques, des amplitudes et des phases initiales formant un signal dans la quantité. Dans les applications techniques en pratique, les diagrammes spectraux sont appelés plus brefs - spectrum d'amplitude, spectre de phase.Le plus souvent intéressé par un diagramme spectral d'amplitude. Il peut être estimé par le pourcentage d'harmoniques dans le spectre.

Exemple2.3. Expédition Séquence périodique de Fourier d'impulsions vidéo rectangulaires deparamètres célèbres (U m, t, t z),même "par rapport au point T \u003d 0. Pour construire un diagramme spectral d'amplitudes et de phases à u m \u003d 2b, t \u003d 20ms, s \u003d t / t et \u003d 2 et 8.

Le signal périodique spécifié de l'intervalle d'une période peut être écrit comme

Nous utilisons pour représenter ce signal forme d'enregistrement de la série Fourier dansforme (2.4). Étant donné que le signal est même, seuls les composants cosinus resteront en décomposition.

Figure. 2.6. Tableaux de signaux périodiques spectraux:

une amplitude; b.- Phase

Intégrale de la fonction étrange pour la période de Ravey Zero. Selon les formules (2.5), nous trouvons les coefficients

permettant d'écrire une série de Fourier:

Pour construire des diagrammes spectraux avec des données numériques spécifiques, je peux être posé \u003d 0, 1, 2, 3, ... et calculer les coefficients harmonique. Les résultats du calcul des huit premiers composants du spectre sont résumés dans le tableau. 2.1. Dans un numéro (2.4) A "mn \u003d 0et selon (2.7) un mn \u003d | A 'Mn |, la fréquence principale F 1 \u003d 1 / t \u003d 1/20-10 -3 \u003d 50 Hz, w 1 \u003d 2pf 1 \u003d 2p * 50 \u003d 314Rad / s. Spectrum d'amplitude sur la Fig.

2.7 Construit pour tel n,pour qui Et mn.plus de 5% de la valeur maximale.

De l'exemple ci-dessus 2.3 Il s'ensuit qu'avec une augmentation du devoir, le nombre de composants spectraux augmente et leurs amplitudes diminuent. On dit qu'un tel signal a un spectre riche. Il convient de noter que pour de nombreux signaux pratiquement utilisés, il n'est pas nécessaire de calculer les amplitudes et les phases des harmoniques selon les formules précédemment.

Tableau 2.1. Composants d'amplitude d'une série de séquences périodiques de Fourier de légumineuses rectangulaires

Figure. 2.7. Diagrammes spectraux de la séquence d'impulsions périodiques: mais- forces de S-2; - B-au devoir S \u003d 8

Dans les répertoires mathématiques, il existe des décompositions de table de signaux d'une rangée de Fourier. L'une de ces tables est montrée dans l'annexe (tableau. § 2).

Souvent, la question se pose: combien prendre des co-paramètres spectraux (harmoniques) pour présenter un signal réel à côté de Fourier? Après tout, un nombre, strictement parlant, sans fin. Une réponse sans ambiguïté ne peut être donnée ici. Tout dépend du formulaire de signal et de la précision de sa présentation près de Fourier. Plus de changement de signal lisse - Harmonique est moins requis. Si le signal a des sauts (pauses), il est nécessaire de résumer un plus grand nombre d'harmoniques pour obtenir la même erreur. Cependant, dans de nombreux cas, par exemple, dans le télégraphe, ils croient que pour la transmission d'impulsions rectangulaires avec des fronts escarpés suffit de trois harmoniques.

Au cours du siècle dernier, Ivan Bernoulli, Leonard Euler, puis Jean-Batiste Fourier a d'abord appliqué la présentation de fonctions périodiques avec des rangées trigonométriques. Cette présentation est étudiée assez en détail dans d'autres parcours. Nous rappellerons donc uniquement les principales relations et définitions.

Comme indiqué ci-dessus, toute la fonction périodique u (t) Pour quelle égalité est effectuée u (t) \u003d u (t + t) où T \u003d 1 / f \u003d 2p / w , Vous pouvez imaginer près de Fourier:

Chaque catégorie de cette série peut être décomposée par la formule de cosinus pour la différence de deux angles et soumettre sous la forme de deux termes:

,

où: A n \u003d c n cosφ n, b n \u003d c n sinφ n , de sorte que , mais

Les facteurs UN. et Auberge. défini selon les formules d'Euler:

;
.

Pour n \u003d 0. :

mais B 0 \u003d 0.

Les facteurs UN. et Auberge. sont des valeurs moyennes du travail de la fonction u (t) et oscillation harmonique avec fréquence nw. sur l'intervalle de la durabilité T. . Nous savons déjà (section 2.5) que ce sont les fonctions de corrélation mutuelle qui détermine la mesure de leur connexion. Par conséquent, les coefficients UN. et B N. Montrez-nous «combien de sinusoïdes ou de cosineux avec une fréquence nw. contenus dans cette fonctionnalité u (t) divisé en une rangée Fourier.

Ainsi, nous pouvons présenter une fonction périodique u (t) sous la forme de la somme des oscillations harmonique où des nombres C N. sont des amplitudes et des chiffres N. - phases. Généralement dans la littérature appelé le spectre des amplitudes, et - spectre de phase. Seul le spectre des amplitudes est souvent considéré, qui est décrit sous la forme de lignes situées à des points. nw. sur l'axe des fréquences et avoir une hauteur correspondant au nombre C N. . Cependant, il convient de rappeler que d'obtenir une correspondance sans ambiguïté entre la fonction temporelle u (t) Et son spectre doit utiliser le spectre des amplitudes et le spectre de phase. Ceci est vu d'un exemple aussi simple. Les signaux auront le même spectre d'amplitudes, mais un type de temps complètement différent.

Le spectre discret peut avoir non seulement une fonction périodique. Par exemple, un signal: non périodique, mais a un spectre discret constitué de deux lignes spectrales. Il y aura également un signal strictement périodique constitué d'une séquence d'impulsions radio (impulsions avec remplissage à haute fréquence), dans laquelle la période de suivante est constante, mais la phase initiale de remplissage à haute fréquence change de l'impulsion à l'impulsion selon à toute loi. Ces signaux sont appelés presque périodiques. Comme nous le verrons à l'avenir, ils ont également un spectre discret. L'étude de la nature physique des spectres de tels signaux, nous allons effectuer la même manière que périodique.