Jelenleg a rádiócsatornák (rádiós technológiák) szervezésének következő módszerei ismertek: FDMA, TDMA, CDMA, FH-CDMA. Lehetséges kombinációkat (például, FDMA / TDMA). A technológiák használatának határideje nagymértékben egybeesik a mobil rendszerek fejlesztésének szakaszaival. Az első generáció mobil rádiótelefonos csatlakozásának felszereltségében többszörös méretű csatornákat használtunk csatornákkal (FDMA). Az FDMA rádiós technológiáját eddig sikeresen alkalmazta az első generációs mobil kommunikáció fejlett berendezéseiben, valamint egyszerűbb mobil rádiótelefon-kommunikációban, nem sejtes szerkezettel. Az első szakasz mobil kommunikációs szabványait illetően az első sugárirányú rendszerek esetében a szabványok fogalmát nem használták fel, és a berendezések eltérőek a rendszerek nevei (Altai, Volvetot, Action, stb.). A celluláris kommunikációs rendszerek a szabványok szerint kezdődtek. Az FDMA technológiáján az első generációs mobil rendszerek ilyen szabványai alapulnak, mint NMT-450, NMT-900, AMPS, TACS. A második generációs mobiltelefon-kommunikációs rendszerekben átállt a továbbított hangüzenetek digitális feldolgozására, amelyre a csatornák időszétválasztásához többszörös hozzáférésű rádió technológiát kezdtünk (TDMA). A TDMA-ra való áttérés következtében: a rádiófájás zaji mentessége növekszik, jobb, ha jobban védett volna a hallgatástól stb. A TDMA olyan rendszerekben alkalmazandó, mint a szabványok GSM, D-AMPS (Az utolsó az amerikai változatban gyakran TDMA-nak nevezik). A CDMA csatornák kódosztáival való többszörös hozzáférésű rádiótechnológia, vagy a CDMA angol nyelvű változata aktívan csak az elmúlt öt évben beágyazódott. Ez a rádiótechnológia előnye van, mert A CDMA berendezésekben: - a rádiófrekvenciás spektrum 20-szor nagyobb hatékonysága, mint az AMPS szabvány (FDMA technológia) rádióberendezése és 3-szor - a GSM-vel (TDMA technológia); - jelentősen jobb, mint más 2. generációs rendszerek TDMA, a minőség, a megbízhatóság és a kommunikáció titkosság; - Lehetőség van a kis méretű alacsony teljesítményű terminálok hosszú munkaidővel; - az azonos távolságra a bázisállomás sugárzási teljesítménye CDMA előfizetői terminálok kisebb mint 5-ször képest ugyanez a mutató a hálózatok szabványokon alapuló egyéb rádiós technológiák; - Lehetőség van a hálózatok topológiájának optimalizálása a lefedettségi területek kiszámításakor. A CDMA technológiát először az IS-95 sejtes celluláris berendezésekben hajtották végre. Szolgáltatási képességei szerint a meglévő CDMA rendszerek a második generációs mobiltelefon-rendszerekre vonatkoznak. A Nemzeti Távközlési Intézet (ETRI) statisztikai adatai szerint a CDMA hálózati előfizetők száma 2000 emberre nő. Ami a növekedési üteme az előfizetők száma, ezek a hálózatok jobbak a hálózatok más meglévő mobil szabvány, megelőzve a fejlesztési mobilhálózatok még ilyen népszerű szabvány, mint a GSM. Jelenleg a CDMA hálózatoknak legalább 30 millió előfizetője van. A Világ Telekommunikációs Közösség hajlamos arra, hogy az előfizetői vonalak vezeték nélküli hozzáférésének jövőbeni rendszerében (harmadik generációs személyes kommunikációs rendszerek) CDMA vezető pozíciót foglal el. Ilyen következtetés történt, mivel a CDMA technológia többnyire képes biztosítani a harmadik generációs IMT-2000 berendezés felszerelésére vonatkozó követelmények teljesítését, különösen annak érdekében, hogy biztosítsák a nagy átviteli sebességgel kapcsolatos információk cseréjét. Azonban a jövő vezeték nélküli hozzáférési rendszerek, úgy tervezik, hogy az úgynevezett CDMA széles sávú rendszerek, ahol a frekvenciasáv a csatornán lesz legalább 5 MHz (modern CDMA rendszerekben a második generáció, a csatorna bár 1,23 MHz ). Az elmúlt években a vezeték nélküli kommunikációs eszközök megkezdődtek, amelyek a meghosszabbított frekvenciaspektrum technológián alapulnak, frekvenciaugrásokkal (FH-CDMA). Ez a technológia ötvözi a TDMA sajátosságait, ahol minden egyes frekvencia több időintervallumba kerül, és a CDMA, ahol minden adó egy bizonyos zajszerű jelszekvenciát használ. Ez a technológia megállapította, hogy alkalmazza a rögzített kommunikáció szervezésére szánt rendszereket.

Hol keressük meg a jellemzőiket, amit fasz ismerek

44. Időszakos jelek bemutatása Fourier sorozat formájában

http://scask.ru/book_brts.php?id\u003d8.

Időszakos jelek és Fourier Sorok

A folyamat matematikai modellje az idő múlásával az időszakos jel a következő tulajdonság:

Itt T jelentési időszak.

A feladat az, hogy megtalálja az ilyen jel spektrális bomlását.

Fourier sor.

Állítsuk be a ch. I Ortonormált alap, amelyet a harmonikus funkciók több frekvenciával állítanak elő;

Ennek alapján bármilyen funkció megfelel a frekvencia állapotának (2.1). Ezért - a jel ortogonális bomlása ezen az alapon, azaz számítástechnikai együtthatók

kapunk spektrális bomlást

tisztességes az idő tengelyének minden végtelen.

Egy sor faj (2.4) a Danrgo jel Fourier közelében van. Bemutatjuk az időszakos jelet képező szekvencia fő frekvenciáját. A bomlási együtthatók kiszámítása (2.3), írjon egy Fourier-sorozat egy periodikus jelet

együtthatókkal

(2.6)

Tehát az általános esetben a periodikus jel tartalmazza az állandó folyamatos alkatrész és végtelen sok harmonikus oszcilláció, az úgynevezett harmonikus frekvenciákkal több fő frekvenciája sorrendben.

Minden harmonika az amplitúdójával és az első fázissal írható le, a Fourier sorozat együtthatóként meg kell írni

Ezen kifejezések alállomása (2,5), kapunk egy másik, - a Fourier sorozat egyenértékű formáját:

ami néha kényelmesebb.

Időszakos jel spektrális diagramja.

Tehát szokásos, hogy egy négyesebb sorozatból álló grafikus képet hívjon egy adott jelhez. Az amplitúdó és fázis spektrális diagramok megkülönböztetik (2.1 ábra).

Itt a vízszintes tengely mentén, a frekvenciák a harmonikusok halasztani néhány szinten, valamint az amplitúdója és a kezdeti fázisban kerülnek bemutatásra a függőleges tengely mentén.

Ábra. 2.1. Néhány periodikus jel spektrális diagramjai: A - amplitúdó; B - fázis

Különösen érdekli az amplitúdó diagram, amely lehetővé teszi, hogy megítélje bizonyos harmonikusok százalékos tartalmát az időszakos jel spektrumában.

Számos konkrét példát tanulunk.

2.1. Példa. A téglalap alakú videoimpulzusok négyesebb szekvenciája ismert paraméterekkel, még a t \u003d 0 ponthoz képest is.

A rádiótechnikában az arányt a szekvencia wellnessének nevezik. A képletek szerint (2.6) találunk

A Fourier sorozat végső képletét kényelmesen írják az űrlapon

Ábrán. 2.2 A szekvencia amplitúdójára két extrém esetben jelenik meg.

Fontos megjegyezni, hogy a rövid impulzusok sorrendje, a következő ritkán, gazdag spektrális összetételű.

Ábra. 2.2. A rhriturikus video impulzusok periodikus szekvenciájának amplitúdó spektruma: A - nagy kötelességgel; B - Alacsony kötelességgel

2.2. Példa. Egy sor Fourier periódusos impulzus, amelyet a fajok korlátozott fajok harmonikus jele (azt feltételezik, hogy).

Bemutatunk egy speciális paramétert - a vágási szög meghatározása az aránytól, ahonnan

Ennek megfelelõen az érték megegyezik az impulzus időtartamával, szögmérettel fejezve:

A vizsgált szekvenciát generáló impulzus analitikai felvétele az űrlapot tartalmazza

A szekvencia állandó összetevője

Az első harmonikus amplitúdó együtthatója

Hasonlóképpen számolja ki az amplitúdókat - harmonikus alkatrészeket, amikor

Az eredményeket általában a következőképpen rögzítik:

ahol az úgynevezett Berg funkciók:

A Berg egyes funkcióinak grafikonjai az 1. ábrán láthatóak. 2.3.

Ábra. 2.3. A Berg több első funkciójának grafikonjai

A jelek spektrális sűrűsége. Közvetlen és fordított Fourier transzformáció.

A jelet hívják időszakosHa az űrlapja az idő múlásával ciklikusan megismétlődik. Az időszakos rendszer általában a következőképpen íródik:

Itt van a jelidő. A periodikus jelek egyszerűek és összetettek lehetnek.

A matematikai reprezentációja periodikus jelek egy ideig, akkor gyakran használják a ez a következő, amelyben harmonikus (szinuszos és koszinuszos és koszinusz) oszcillációk vannak kiválasztva, mint alapvető funkciók:

hol. - A funkciók funkciójának fő szögfrekvenciája. A harmonikus alapfunkciókkal a Fourier sorozata ebből a sorozatból kap, amely a legegyszerűbb esetben a következő formában írható:

ahol az együtthatók vannak

Számos Fourierből látható, hogy az általános esetben egy periodikus jel állandó komponenst és a főfrekvencia harmonikus oszcillációját és a frekvenciákkal való harmonikus oszcillációt tartalmazza. A Fourier sorozat minden harmonikus oszcillációját amplitúdó és kezdeti fázis jellemzi.

Spektrális diagram és időszakos jelspektrum.

Ha bármilyen jelet mutatnak a különböző frekvenciák közötti harmonikus oszcillációk összegének formájában, ez azt jelenti, hogy elvégezték spektrális bomlás Jel.

Spektrális diagram A jelet grafikus képnek nevezik a jelek Fourier sorozatának együtthatóinak. Vannak amplitúdó és fázisdiagramok. A diagramok felépítéséhez a vízszintes tengely mentén valamilyen skálán a harmonikus frekvenciájának értékét helyezik el, és az amplitúdókat és fázisukat a függőleges tengely mentén adjuk hozzá. Ezenkívül a harmonikus amplitúdók csak pozitív értékeket, fázisokat - pozitív és negatív értékeket vehetnek igénybe az intervallumban.

Spectral periodikus jeldiagramok:

a) - amplitúdó; b) - fázis.

Jelspektrum - Ez a kombináció a harmonikus összetevők specifikus frekvencia értékeket, amplitúdók és a kezdeti fázis keletkezik egy jelet az összeget. A gyakorlatban a spektrális diagramokat röviden hívják - amplitúdó spektrum, fázisspektrum. A legnagyobb érdeklődés látható az amplitúdó spektrális diagram. Becslhető a spektrum harmónia százalékában.

A távközlési technikák spektrális jellemzői nagy szerepet játszanak. A jel spektrumának ismerete helyesen kiszámítható és telepíthető a sávszélesség, szűrők, kábelek és egyéb kommunikációs csatorna csomópontok. A jelspektrumok ismerete szükséges a többcsatornás rendszerek kialakításához, a csatornák frekvenciaválasztásával. Az interferencia spektrumának ismerete nélkül nehéz meghozni az intézkedéseket, hogy elnyomják.

Ebből arra lehet következtetni, hogy a spektrum ismerni kell, hogy végezze el a hosszú lejáratú jelátvitel a kommunikációs csatornán keresztül, hogy biztosítsák a jelek szétválasztása és gyengül az interferenciát.

A jelek spektrumának figyelemmel kísérése Vannak olyan eszközök, amelyeket hívnak spektrum analizátorok. Lehetővé teszik, hogy megfigyeljék és mérjék az időszakos jelspektrum egyedi komponenseinek paramétereit, valamint mérjék a folyamatos jel spektrális sűrűségét.

Gyakran a matematikai leírás még a determinisztikus jelek szerkezete és formája is nehéz feladat. Ezért, egy eredeti vétel alkalmazunk, amelyben a valós komplex jeleket helyettesítik (képviselő közelíthető) egy sor (súlyozott összege, azaz a közelben) a matematikai modellek által leírt elemi függvényekkel. Ez fontos eszközt ad az elektromos jelek elektronikus áramkörökön keresztül történő elemzéséhez. Ezenkívül a jel bemutatása szintén kezdeti, ha leírása és elemzése. Ugyanakkor jelentősen egyszerűsíteni az inverz feladatot - szintézis összetett jelek az elemi funkciók sorából.

A periodikus jelek spektrális ábrázolása Fourier rangsor

Fourier sorozat.

A jelek spektrális ábrázolásának alapgondolata (funkciók) több mint 200 évvel ezelőtt emelkedik, és a fizika és a matematika J. B. Fourier.

Tekintsük az elemi ortogonális funkciók rendszerét, amelyek mindegyike egy forrásból származik - a prototípus funkció. Ez a funkció prototípus "építési blokkként" működik, és a kívánt közelítés alkalmas ugyanazon blokkok kombinációjára. Fourier azt mutatták, hogy bármilyen bonyolult funkció képviseli (közelíthető) formájában véges vagy végtelen összege számos többszörös harmonikus rezgések bizonyos amplitúdójú, frekvenciák és a kezdeti fázisban. Ez a funkció különösen a lánc jelenlegi vagy feszültsége lehet. A színkaprísérettel kiváltott napsugár a Fourier matematikai transzformációk fizikai analógja (2.7. Ábra).

A prizmából származó fény különálló tiszta színekkel vagy frekvenciákra oszlik. A spektrum átlagos amplitúdója van minden egyes frekvencián. Így, az intenzitás függvényében időről átalakult az amplitúdó függvény gyakoriságától függően. A Fourier-érvelés egyszerű példája az ábrán látható. 2.8. Időszakos, meglehetősen bonyolult ívelt görbe (2.8. Ábra, de) - Ez a két különböző, de több frekvenciájú harmonikus összege: egyetlen (2.8. Ábra, b) és megduplázódott (2.8. Ábra, ban ben).

Ábra. 2.7.

Ábra. 2.8.

de - komplex oszcilláció; b, 1. és 2. közelítő jelek

A Fourier spektrális analízis segítségével a komplex függvény harmonikusnak tűnik, amelyek mindegyike gyakorisága, amplitúdója és induló fázisa. Fourier-transzformáció határozza meg a funkciókat képviselő amplitúdóját és fázisát harmonikus összetevők megfelelő egy adott frekvenciát, és a fázis a kezdeti pontja a szinuszgörbe.

Az átalakulást két különböző matematikai módszerrel állíthatjuk elő, amelyek közül az egyik a kezdeti funkció folyamatos, a másik pedig a különálló diszkrét értékek meghatározása.

Ha a vizsgálat alatt álló funkció bizonyos diszkrét intervallumokkal rendelkező értékekből származik, akkor a legalacsonyabb, fő- vagy főfrekvenciájú szinuszoid funkciók szekvenciális sorába osztható, majd kétszer, hármas, A fő felett. Az összetevők ilyen összege és hívják közel Fourier.

Ortogonális jelek. A Fourier jel spektrális leírásainak kényelmes módja az analitikai ábrázolása az ortogonális alapidős funkciók rendszerével. Legyen egy Hilbert jelterület u 0 (t) y g /, (?), ..., u n (t) véges vagy végtelen időintervallumon meghatározott véges energiával (T v 1. 2). Ezen a szegmensen beállítjuk az érintett elemi funkciók végtelen rendszerét (részhalmazát), és hívjuk meg alapvető. "

hol r \u003d. 1, 2, 3,....

Funkciók u (t) és v (t) Ortogonális az intervallumon (?,?

A matematikában, így határozza meg a Hilbert jelterületen ortogonális koordináta alap. Az ortogonális alapfunkciók rendszere.

A funkciók ortogonalitásának (jelek) tulajdonsága a meghatározásuk intervallumához kapcsolódik (2.9. Ábra). Például két harmonikus jel m, (?) \u003d \u003d Bűn (2NR / 7 '0) és u., (t) \u003d Bűn (4 nt / t q) (azaz frekvenciák / 0 \u003d 1/7 '0 és 2/0, illetve) ortogonális bármely időintervallumon, amelynek időtartama egyenlő egy félidős számmal T 0. (2.9. Ábra, de). Ezért az első időszakban a jelek és (((1) és u 2 (t) Ortogonális az intervallumon (0, 7 "0/2); de az intervallumon (O, ZG 0/4), amelyek nem ortrogonálisak. PA 2.9 ábra, b. A jelek ortogonálisak a megjelenésük bősége miatt.

Ábra. 2.9.

de - az intervallumon; b - A jelképezés megjelenésének időpontja miatt u (t) Az elemi modellek nagymértékben egyszerűsítik, ha az alapvető funkciók rendszerét választja ki. vff birtokában van orthonormity. A matematikáról ismert, hogy az ortogonális rendszerből származó bármely funkcióval elégedett állapot (2.7)

ezután a funkciók rendszere (2.7) ortonormált.

A matematikában az űrlap alapvető funkciói (2.7) vagy-vékonyan felszerelt alap.

Hagyja a megadott időintervallumot, t 2. | Tetszőleges jel van u (t) És a bemutatója ortonormális funkciókrendszert használ (2.7). Tetszőleges jel megtervezése u (t) A koordináta alap tengelyére hívják bomlást egy általánosított Fourier sorozatba. Ez a bomlás nézete.

ahol c, - bizonyos állandó együtthatók.

Az együtthatók meghatározása k. Válassza ki az alapfunkciók egyikét (2.7) v k (t) önkényes szám nak nek. Szorozzuk meg mindkét részét a bomlást (2.9) ezen a funkción, és integrálják az eredményt időben:

Az egyenlőség jobb oldalán lévő kiválasztott funkciók ortonormálása miatt az összeg valamennyi tagja, amikor ÉN. ^ nak nek Nulla. Nem csak az egyetlen tag a számmal, amely a számmal marad nulla ÉN. = nak nek, így

Fajok termelése c k v k (t), az általánosított Fourier sorozatban (2.9) tartalmazza spektrális komponens Jel u (t), És az együtthatók kombinációja (a jelvektorok előrejelzései a koordináta tengelyén) (0, S, ..., ..., k,..., c ") teljes mértékben meghatározza az elemzett jelet iI (t) és ezt hívják spektrum (Latól. spektrum - kép).

Lényeg spektrális ábrázolás (elemzés) A jel az I. képlet (2.19) szerint az I.-os együtthatók meghatározása.

A koordináta-alapok racionális ortogonális rendszerének megválasztása a kutatás céljától függ, és az elemzés, az átalakítások és az adatfeldolgozás matematikai berendezéseinek maximális egyszerűsítésének vágya. Alapvető funkciók, Chebyshev, Hermita, Lagerre, Lejander és mások jelenleg használják. A legnagyobb elosztás a harmonikus funkciók alapjaiban kapott jeleket: komplex exponenciális exp (J 2LFT) és valódi trigonometrikus sinus-cosine funkciók kapcsolódnak a Formula Euler e\u003e H. \u003d COSX + Y "SINX. Ez annak köszönhető, hogy a harmonikus oszcilláció elméletileg megőrzi formáját, ha állandó paraméterekkel halad át lineáris láncok, és csak az amplitúdója és a kezdeti fázis megváltozik. A láncelméletben jól kialakított szimbolikus módszer széles körben használják. A determinisztikus jelek ábrázolásának működése állandó komponenskészlet formájában ( Állandó komponens) és a harmonikus oszcillációk összegét több frekvenciával hívják spektrális bomlás. Teljesen közös használat az általánosított Fourier sorozat jelei elméletében is társul a nagyon fontos tulajdonsággal: a választott ortonormális funkciórendszerrel v k (t) és a sorozat kategóriáinak rögzített száma (2.9) a megadott jel legjobb megjelenítését biztosítja u (t). A Fourier sorozat ezen a szálláshely széles körben ismert.

Amikor a jelek spektrális nézete, a trigonometrikus funkciók orthonormális bázisai a legnagyobb alkalmazást kapták. Ez a következőknek köszönhető: a harmonikus oszcillációt leginkább generálják; A harmonikus jelek az invariánsok az álló lineáris elektromos áramkörök által végzett átalakítások tekintetében.

Az analóg jel ideiglenes és spektrális ábrázolását becsüljük meg (2.10. Ábra). Ábrán. 2.10, de A folyamatos jel formájában lévő komplexek átmeneti diagramja látható, és az 1. ábrán látható. 2.10, b - Spektrális bomlása.

Tekintsük a spektrális ábrázolását periodikus jelek formájában az összeg vagy a harmonikus függvények, vagy komplex exponenciális frekvenciákon képező számtani sorozat.

Időszakos Hívja a jelet és "(?). Ismétlődő időközönként (2.11 ábra):

ahol r - ismétlés vagy impulzusok után; n \u003d 0,1, 2,....

Ábra. 2.11. Időszakos jel

Ha egy T. Ez egy jelidőszak u (t), Ezután az időszakok több érték is: 2g, 3 T. stb. Impulzusok periodikus sorrendje (ezeket hívják videóimpulzusok) Kifejezés szerint

Ábra. 2.10.

de - ideiglenes diagram; b. - amplitúdó spektrum

Itt u q (t) - egy impulzusforma, amelyet amplitúdó (magasság) jellemez h \u003d e, időtartama t ", a következő időszak T \u003d. 1 / F (F - frekvencia), az impulzusok helyzete az órákhoz képest, például t \u003d. 0.

Amikor a periodikus jeleket látványosan elemzi, az ortogonális rendszer (2.7) kényelmes, mint harmonikus funkciók több frekvenciával:

ahol co, \u003d 2p / t- Impulzusok gyakorisága.

Az integrálok számítása, a (2.8) általános képletű kiszámítása érdekében könnyű biztosítani a funkciók ortogonitását az intervallumban [-g / 2, G / 2 |. Bármely funkció megfelel az időszakossági feltételnek (2.11), mivel frekvenciájuk többszörös. Ha a rendszer (2.12) írjon

a harmonikus funkciók orthonormális alapjait kapjuk.

Képzelje el a jelek elméletében leggyakoribb időszakos jelet trigonometrikus (sinus-cosine) forma Fourier sorozat:

A matematika folyamán ismert, hogy a bomlás (2.11) létezik, vagyis A szám konvergál, ha a funkció (ebben az esetben a jel) u (t) Az intervallumban [-7/2, 7/2] megfelelnek dirichlet feltételei (A Dirichlet tételektől eltérően gyakran egyszerűsítettek):

• A második fajta lebomlása nem lehet (az Infinity-ben elhagyott ágakkal);
• A funkció korlátozott, és véges számú hiányossága van az 1. nemzetség (ugrások);
• A funkció véges számú szélsőséges (azaz maxima és minimum).

Az elemzett jel következő elemei a (2.13) képletben kaphatók:

Állandó komponens

A koszinusz formális alkatrészek amplitúdója

Amplitúdó szinuszoid alkatrészek

A kommunikáció elméletében lévő CO frekvenciájú spektrális komponenst hívják első (fő-) szájharmonikaés az ISO frekvenciájú alkatrészek, (p\u003e 1) - magasabb harmóniák Időszakos jel. Lépés az ASO frekvenciáján a Fourier bomlástól két szomszédos sinusoidok között frekvenciafelbontás spektrum.

Ha a jel egyenletes idő funkció u (t) \u003d u (-t), majd a Fourier sorozat (2.13) Trigonometriai rekordjában nincsenek sinusoidális együtthatók B n, mivel a (2.16) képlet szerint nullára fordul. Jelzéshez u (t), Az idő furcsa funkciója, éppen ellenkezőleg, a (2.15) képlet szerint, nulla egyenlő a koszinusz együtthatókkal p. (állandó komponens a 0. hiányzik), és a tartomány alkatrészeket tartalmaz B n.

Az integráció határai (-7/2-től 7/2) nem feltétlenül olyanok, mint például a képletekben (2.14) - (2.16). Az integráció bármely időintervallum szélességében végezhető el - az eredmény nem változik ebből. A számítások kényelmének megfontolása miatt külön határértékeket választanak ki; Például könnyebb lehet továbbra is 7 vagy -7-től 0-ig, stb.

Matematika Szekció Az idő funkciójának aránya u (T.) és spektrális koefficiensek és p, b n, Hívás harmonikus elemzés A kommunikációs funkció miatt u (t) Az összeg szinuszos és cosinidális tagjaival. Továbbá a spektrális elemzést elsősorban a harmonikus elemzés keretei korlátozzák, ami kivételes alkalmazás.

Gyakran a Fourier sorozat szinusz-koszinusz alakjának használata nem teljesen kényelmes, mert az összes összeg az összegző index p (azaz mindegyik harmonikusok esetében a MOJ frekvenciájával) a (2.13 képlet) képletében két kifejezés szerepel - cosine és sinus. Matematikai szempontból kényelmesebb a Fourier ekvivalenssel egyenértékű képlet jelenlétében valódi forma /.

hol A 0. = a 0 /2; És n \u003d yja 2 n + B - amplitúdó; P-TH harmonikus jel. Néha az arány (2.17) a Wedl L jel "Plus", majd a harmonikus kezdeti fázisa CP és \u003d -KRCTG ( b N Fa. n).

A jelek elméletében a Fourier sorozat összetett formáját széles körben használják. A koszinusz-ábrázolás sorának valódi formájából származik, az Euler-képlet félig megengedett exponenciális kiállítói formájában:

A Fourier sorozat (2.17) valós formájához való alkalmazásáról a pozitív és negatív mutatókkal rendelkező komplex exponenciák mennyisége:

És most a kiállítókat a (2.19) képletben a CO gyakoriságában értelmezzük, a "mínusz" jelzéssel a mutatóban, mint a szám tagja negatív számokkal. Ugyanezen megközelítés részeként az együttható A 0. Ez egy szám tagjává válik nulla számmal. A nem komplikált átalakítások után jönnek Összetett forma Sor Fourier

Átfogó amplitúdó p-d harmonika.

Értékek P. pozitív és negatív számok p összetett konjugátum.

Ne feledje, hogy a Fourier sorozat (2.20) komplex exponenciális együttes exp (jn (o (t) Az aritmetikai progresszió kialakulása.

Meghatározzuk a Fourier sorozat trigonometrikus és összetett formáinak együtthatók közötti összefüggést. Nyilvánvaló, hogy

Azt is megmutathatja, hogy az együtthatók p. \u003d 2C W COSCP "; b n \u003d 2c / i Sincp, F.

Ha egy u (t) egyenletes funkció, a c, lesz igazi mi van ha u (t) - A funkció furcsa, a sor együtthatók lesznek képzeletbeli.

A Fourier (2.20) komplex formájú periodikus jel spektrális ábrázolása pozitív és negatív frekvenciákat tartalmaz. De negatív frekvenciák a természetben nem létezik, és ez egy matematikai absztrakció (a fizikai értelmében a negatív frekvencia az elforgatás az ellentétes irányba az egyik, hogy hozott pozitív). Úgy tűnik, hogy a harmonikus oszcillációk formális ábrázolása átfogó formában. Amikor átkapcsolunk egy átfogó formanyomtatvány (2.20) a valódi (2.17), a negatív frekvencia eltűnik.

Vizuálisan a jel spektrumát a grafikus kép - a spektrális diagram (2.12. Ábra) ítélik meg. Megkülönböztet amplitúdó-frekvenciaés fázisfrekvenciás spektrumok. Összesített amplitúdó harmonikus P. (2.12. Ábra, de) Hívás amplitúdó spektrum, fázisuk (2.12. Ábra, b) CP I - fázisspektrum. Teljes P. = |P. egy komplex amplitúdó spektrum (2.12. Ábra, ban ben). A spektrális diagramjai, az abszcissza tengely megállapító az aktuális frekvencia, és de az ordináta tengely valós vagy komplex amplitúdó vagy fázis a megfelelő harmonikus összetevők az elemzett jel.

Ábra. 2.12.

de - amplitúdó; b - fázis; ban ben - Komplex Fourier szórakoztató tartománya

Az időszakos jel spektrumát hívják világos vagy diszkrétMivel különálló vonalakból áll, amelynek magassága egyenlő az amplitúdóval P. Harmonikus. Az összes típusú spektrumok, a legtöbb információt az amplitúdó, mivel lehetővé teszi, hogy megbecsüljük a mennyiségi tartalom egyes felharmonikusok gyakorisága összetétele a jelet. A jelek elméletében bebizonyosodott, hogy az amplitúdó spektrum egyenletes frekvencia funkció, és fázis - páratlan.

jegyzet egyenlő egyenlőség (Equifference a eredetű) a komplex spektrumát periodikus jelek: szimmetrikus (pozitív és negatív) frekvenciák, amelyeken a spektrális együtthatókat a trigonometrikus sorozat Fourier található, képeznek ekvidisztáns szekvenciát (... - V. ..., -2so p -so p 0, V. 2 o, ..., nCOV. ...), amely tartalmazza a CO \u003d 0 frekvenciáját, és egy lépés CO T \u003d 2L / 7 '. Az együtthatók bármilyen értéket igényelhetnek.

2.1

Számítsa ki a téglalap alakú impulzusok periodikus szekvenciájának amplitúdóját és fázisspektrumát, amplitúdóval, időtartammal és és az ismétlés időtartamát T. A jel akár funkció is (2.13. Ábra).

Ábra. 2.13.

Döntés

Ismeretes, hogy a tökéletes téglalap alakú videoimpulzust a következő egyenlet írja le:

azok. A két egyfunkció közötti különbség (?) A (?) (?) (Intlusion funkciók) közötti különbség a t n idővel eltolódott.

A téglalap alakú impulzusok szekvenciája bizonyos impulzusok száma:

Mivel a megadott jel egyenletes időfunkció, és egy periódus csak a [T és / 2, T és / 2] intervallumon működik, a (2.14) képlet szerint

hol q. = T / T

A kapott képlet elemzésével megjegyezhető, hogy a következő időtartama és az impulzusok időtartama összefüggésben szerepel. Ez a paraméter q - Az impulzusok időtartamának arányát az impulzusok időtartamára hívják tanulás Az impulzusok periodikus szekvenciája (a külföldi irodalomban a vám helyett, használja a fordított értéket - töltési együttható, angolról, szolgálati ciklus.egyenlő t és / 7); -ért q \u003d. 2 A téglalap alakú impulzusok sorrendje, amikor az impulzusok és rések időtartama egyenlővé válik, hívják kanyarog (görögül. Paiav5poq egy minta, geometriai dísz).

Az elemzett jelet leíró funkció paritásának köszönhetően számos Fourierben, az állandó komponens mellett csak a koszorúkomponensek jelen vannak (2.15):

A (2.22) képlet jobb oldalán a második faktor elemi funkció (SINX) / x formájában van. A matematikában ez a funkció Sinc (X), és csak akkor, ha h. \u003d 0 egyenlő egy (lim (sinx / x) \u003d 1) áthalad

nulla módon az X \u003d ± L, ± 2L pontoknál ... és az X argumentum növekedésével elhalványul (2.14. Ábra). Végül a Trigonometric Fourier sorozat (2.13), amely közelíti a megadott jelet, az űrlapon rögzítve

Ábra. 2.14. Ütemezési funkció sinX / X.

A szinusz funkciónak van egy sziroma. Szólva a szélessége a szirmok, hangsúlyozni kell, hogy a grafikonok diszkrét spektruma periodikus jelek két lehetőség van a hasított a vízszintes tengely - a szobákban és harmonikus frekvenciákat. Például az 1. ábrán. 2.14 Az ordinát tengelyének érettsége megfelel a frekvenciáknak. A szirmok szélessége, a harmonikusok között mérve megegyezik a szekvencia wellnessjével. Innen következik a fontos tulajdonsága az a spektrum a szekvencia négyszögletes impulzusok - nincsenek (nulla amplitúdója) felharmonikusok számokkal, több adó betegségek). Ha az impulzusok impulzusai három, eltűnnek, eltűnik minden harmadik harmonikus. Ha az étrend kettővel egyenlő lenne, akkor a főfrekvencia csak furcsa harmonikusai maradnak a spektrumban.

A (2.22) képletből és az 1. ábrán látható. 2.14 Ebből következik, hogy számos nagyobb jel harmonika együtthatók negatív jele. Ez annak köszönhető, hogy ezeknek a harmonikusoknak a kezdeti szakasza egyenlő p. Ezért a (2.22) képletet módosított formában kell benyújtani:

A Fourier sorozat ilyen rekordjával a spektrális diagram grafikonján lévő összes magasabb harmonikus komponens amplitúdója pozitív (2.15. Ábra, de).

A jel amplitúdó spektruma nagymértékben függ az ismétlési időszak viszonyától T. és az impulzus időtartama t és, azaz vámtól q.A szomszédos harmonikusok közötti frekvencia közötti távolság megegyezik az impulzusok frekvenciájával 1 \u003d 2L / t. A spektrumszirmok szélessége, a frekvenciaegységekben mérve, egyenlő a 2nd / t n, azaz. Fordítottan arányos az impulzus időtartamával. Ne feledje, hogy az impulzus azonos időtartamával és növekszik

Ábra. 2.15.

de - amplitúdó;b. Fázis

ismétlésüket T. A CO fő gyakorisága, csökken, és a spektrum sűrűbb lesz.

Ugyanaz a kép figyelhető meg, ha az impulzus időtartam lerövidül és állandó időszakmal. T. Az összes harmonika amplitúdója csökken. Ez egy általános törvény megnyilvánulása (a bizonytalanság elve V. Heisenberg - Bizonytalanság elv), Minél rövidebb a jel időtartama, a szélesebb spektrum.

A komponensek fázisai a CP P \u003d Arctg képletből határozzák meg (B N / A N). Itt az együtthatók B " \u003d 0, akkor

hol m \u003d. 0, 1, 2,....

Az arány (2.24) azt mutatja, hogy a spektrális komponensek fázisainak kiszámításakor matematikai bizonytalansággal foglalkozik. A közzétételeiben, fordulunk képletű (2,22), amely szerint a harmonikus amplitúdók periodikusan változik a jel változásának megfelelően, a jele a SIN funkció (NCO 1 x 1i / 2). A (2.22) képletben lévő jel megváltoztatása megegyezik a funkció fáziseltolódásával p.Ezért, ha ez a funkció pozitív, a harmonikus fázis (p és \u003d 2 tpÉs mikor negatív - \u003d (2t. + 1 )nak nek (2.15. Ábra, b). Ne feledje, hogy bár a téglalap alakú impulzusok spektrumában lévő összetevők amplitúdója és növekvő gyakorisággal csökkent (lásd 2.15. Ábra, de), Ez a csökkenés meglehetősen lassú (az amplitúdók fordítottan arányosan csökkennek). Az ilyen impulzusok torzítás nélküli átvitele, a kommunikációs csatorna végtelen sávja szükséges. A viszonylag alacsony torzulások esetén a frekvenciasáv határértékének sokszor nagyobbnak kell lennie, mint az érték, az impulzus inverz időtartama. Azonban az összes igazi csatorna véges sávszélességgel rendelkezik, amely a továbbított impulzusok alakjának torzulásához vezet.

A Fourier Sorozat önkényes rendszeres jelek tartalmazhatnak végtelenül nagyszámú tagot. Kiszámításakor a spektrumok az ilyen jelek, a számítás a végtelen összege a Fourier sor okoz bizonyos nehézségek, és nem mindig van szükség, ezért korlátozza az összegzése a végső szám a feltételeket (a sorozat „fatörzsek”).

A jel közelítésének pontossága a Sumblame komponensek számától függ. Tekintsük ezt a példában a közelítés példájánál a négyszögletes impulzusok sorozatának nyolc első harmonikusainak összegével (2.16. Ábra). A jelnek van egy unipoláris kanyarodása az ismétlés időtartamával. T u. amplitúdó E. \u003d 1 és impulzus időtartam t és \u003d T./ 2 (a megadott jel egyenletes - 2.16. Ábra, de; Squater q. \u003d 2). A közelítés az 1. ábrán látható. 2.16, B, és a Sumblame harmonikusok száma látható a diagramokon. Egy adott időszakos jel közelítésében a közelítés alatt (lásd 2.13 ábra) Trigonometric közelében (2.13), az első és magasabb harmonikusok összegzése csak páratlan együtthatókkal történik Pu Mivel még azok értékeikkel és impulzus időtartamával t és \u003d T./ 2 \u003d \u003d TT / CO, a bűn értéke (mo, t h / 2) \u003d bűn (WT / 2) eltűnik.

A Fourier sorozat (2.23) trigonometrikus alakja az adott jel számára

Ábra. 2.16.

de - meghatározott jel; 6 - Az összegzés közbenső szakaszai

A kényelem érdekében a Fourier sorozat (2,25) egyszerűsíthető:

A (2.26) képletből nyilvánvaló, hogy a harmonikusok, a kanyargós, páratlan, váltakozó jelekkel rendelkeznek, és amplitúdóik fordítottan arányosak a számokkal. Meg kell jegyezni, hogy a négyszögletes impulzusok szekvenciája gyengén alkalmas a Fourier-közelítés közelében lévő prezentációhoz, amely hullámokat és ugrást tartalmaz, és bármely amplitúdóval rendelkező harmonikus komponensek összege mindig folyamatos függvény lesz. Ezért a hiányosságok közelében a Fourier sorozat viselkedése különösen érdekes. Grafikonokból. 2.16, nem nehéz észrevenni, mivel a Sumblame Harmonika számának növekedése mellett az eredményül kapott függvény egyre inkább közeledik a forrásjel formájához u (t) Mindenhol, kivéve a hiányosságokat. A Rupture pontok környékén a Fourier sorozat összegzése ferde szakaszot ad, és a billentési funkció növeli az eredményes harmonika számának növelését. A szakadás pontján (azt jelöljük, mint t. = t 0) Négyesebb sor u (t 0) A jobb és a bal oldali határértékek felét konvergálja:

A közelített görbe szomszédos területein a sor összege észrevehető hullámokat és az 1. ábrán látható. 2.16 Látható, hogy az amplitúdó a főbb kibocsátási ezen hullámai nem csökken a növekvő számú summable harmonikus - ez csak sűrített vízszintesen, közeledik a töréspontot.

-Ért p -? A diszkontinuitás pontokon a kibocsátás amplitúdója állandó marad,

És szélessége végtelenül szűk lesz. A hullámok relatív amplitúdója (az ugrás amplitúdójához képest) és a relatív csillapítás nem változik; Csak a pulzációk gyakorisága megváltozik, amelyet a legújabb Sumblame harmonika gyakorisága határoz meg. Ez a Fourier sorozat konvergenciájának köszönhető. Tegyük fel a klasszikus példát: Valaha eléri a falakat, ha minden lépésnél fele a fennmaradó távolságot elfoglalja? Az első lépés az út felére fog vezetni, a második pedig a harmadik negyedévében, és az ötödik lépés után az út közel 97% -a fog haladni. Majdnem elérte a célt, de nem számít, hány lépést tesznek elő, soha nem éri el szigorú matematikai értelemben. Csak matematikailag bizonyítható, hogy végül közelebb kerülhetsz önkényesen távolabb. Ez a bizonyíték egyenértékű lesz az 1/2, 1,1 / 8.1 / 16, stb. Számok demonstrációjával. Ő egyre törekszik. Ez a jelenség minden Fourier sorban rejlik az 1. nemzetség megszakításával (például ugrások, mint a téglalap alakú impulzusok elülső részén) a gibbs hatását* Ebben az esetben az amplitúdó első (legnagyobb) amplitúdójának értéke a közelített görbe körülbelül 9% -a az ugrásszint (lásd 2.16 ábra, p = 4).

A Gibbs hatás végzetes hiba az időszakos impulzusjelek közelítésének az 1. nemzetség megszakításával. A hatás élesen károsodott monotóniával történik. Az ugrásoknál a maximális hatás minden más esetben a pulzációk amplitúdója a monotoniai jogsértés jellegétől függ. Számos gyakorlati alkalmazás esetében a Gibbs hatás bizonyos problémákat okoz. Például a hangszeprodukáló rendszerekben ezt a jelenséget "csengetésnek" vagy "patkánynak" nevezik. Ebben az esetben minden éles kononáns vagy más hirtelen hangzás kíséri egy rövid hangot, kellemetlen hallásra.

A Fourier Sor nem csak az időszakos jelekre, hanem a végtartamú jelekre is alkalmazható. Azonban az idő áll rendelkezésre

zajintervallum, amelyre egy sorozat Fourier épül, és a fennmaradó idő alatt a jel nulla. A szám együtthatóinak kiszámításához ez a megközelítés azt jelenti időszakos folytatás Jel a vizsgált intervallumon kívül.

Ne feledje, hogy a természet (például az emberi meghallgatás) a jelek harmonikus elemzésének elvét használja. Virtuális Fourier-transzformáció a személy lehetővé teszi, hogy hallja a hangot: a fül automatikusan elvégzi azt, ami a hang formájában spektrumát következetes térfogat értékek hangok különböző magasságú. Az emberi agy ezt az információt észlelt hangra fordítja.

Harmonikus szintézis. A jelek elméletében a harmonikus elemzés mellett a jeleket széles körben használják harmonikus szintézis - A komplex forma által adott rezsgombok beszerzése számos spektrumának harmonikus összetevőinek összegzésével. Lényegében a négyszögletes impulzusok időszakos szekvenciájának szintézisét több harmonikus mennyiségből végeztük. A gyakorlatban ezeket a műveleteket számítógépen végezzük, amint az az 1. ábrán látható. 2.16, b.

• Jean Batista Joseph Fourier (J. V. J. Fourier, 1768-1830) - francia matematikus és fizikus.
• Josayia Gibbs (J. Gibbs, 1839-1903) amerikai fizikus és matematikus, az egyik alapítója a kémiai termodinamika és a statisztikai fizika.

A Fourier sorozatú felvétel formái. A jelet hívják időszakosha az űrlapot időben megismétli az idő periodikus jelben u (t)Általánosságban elmondható:

u (t) \u003d u (t + mt), m \u003d 0, ± 1, ± 2, ...

Itt T-időszak a jel. A periodikus jelek egyszerűek és összetettek lehetnek.

Az időszakos jelek matematikai ábrázolására egy időszakmal T.gyakran közel (2.2) használják, amelyben harmonikus (szinuszos és koszinusz) oszcillációt választanak alapfunkcióként

y 0 (t) \u003d 1; y 1 (t) \u003d sinw 1 t; y 2 (t) \u003d cosw 1 t;

y 3 (t) \u003d sin2w 1 t; y 4 (t) \u003d cos2w 1 t; ..., (2.3)

ahol w 1 \u003d 2p / t- a szekvencia fő szögfrekvenciája

funkciók. A számból (2.2) harmonikus alapfüggvényekkel számos Fourier-t kapunk (Jean Fourier-francia matematikus és a XIX. Század fizikusa).

Az űrlap harmonikus funkciói (2.3) Számos Fourierben a következő előnyökkel rendelkeznek: 1) egyszerű matematikai leírás; 2) invariancia a lineáris transzformációk, azaz, ha a bemenet a lineáris áramkör működtet egy harmonikus rezgés, majd a kilépő ott is egy harmonikus rezgés, eltérő a bemenet csak amplitudó és a kezdeti szakaszban; 3) Jelként a harmonikus funkciók periodikusak és végtelen időtartamúak; 4) A harmonikus funkciók létrehozására szolgáló technika meglehetősen egyszerű.

A matematikai arányból ismert, hogy az időszakos jel lebomlására a harmonikus funkciók sorában (2.3) a dirchle feltételeinek elvégzése szükséges. De az összes valós időszakos jel elégedett ezekkel a feltételekkel, és tekinthető Fourier sorozatként, amelyet az alábbi formák egyikében rögzíthetünk:

u (t) \u003d A 0/2 + (A 'MN Cosnw 1 t + A "MN NW 1 T), (2.4)

ahol az együtthatók vannak

Egy mn "\u003d (2.5)

u (t) \u003d A 0/2 + (2.6)

Egy mn \u003d. (2.7)

vagy összetett formában

u (t) \u003d (2.8)

C n \u003d (2.9)

A (2.4) - (2.9.) Ebből következik, hogy az U (t) időszakos periódusos jele egy 0/2 konstans komponenst és a W 1 \u003d 2PF 1 főfrekvenciájának harmonikus oszcillációját és annak harmonikus halmazát tartalmazza Wn \u003d nw 1, n \u003d 2, 3.4, ... mindegyik harmonikus

a Fourier sorozat oszcillációit az y n .nn kezdeti fázis amplitúdója jellemzi

Egy periodikus jel spektrális diagramja és spektruma. Ha bármilyen jelet képviselnek a különböző frekvenciákkal rendelkező harmonikus oszcillációk összegeként, azt mondják, hogy spektrális bomlásjel.

Spektrális diagrama jelet grafikus ábrázolásnak nevezik a jelek Fourier sorozatának együtthatóinak. Vannak amplitúdó és fázisdiagramok. Ábrán. 2.6 Egy bizonyos méretű, a vízszintes tengely halasztani az értékeket a frekvencia a harmonikus, mentén grasty tengely - az amplitúdója A Mn és fázis y n. Ráadásul a harmonikus amplitúdók csak pozitív értékeket, fázisokat - pozitív és negatív értékeket vehetnek igénybe az intervallum £ y n £ p

Jelspektrum- Ez egy olyan harmonikus komponensek kombinációja, amelyek specifikus frekvenciaértékeket, amplitúdókat és kezdeti fázisokat képeznek az összegben. A gyakorlati műszaki alkalmazásokban a spektrális diagramokat rövidebbnek hívják - amplitúdó spektrum, fázisspektrum.Leggyakrabban érdekelt egy amplitúdó spektrális diagram. Becslhető a spektrum harmónia százalékában.

Példa2.3. Téglalap alakú videoimpulzusok Fourier periódusos sorrendje tól tőlhíres paraméterek (U m, t, t z),még „képest a T pont \u003d 0. A konstrukció spektrális diagramja amplitúdója és fázisa a u m \u003d 2b, t \u003d 20 ms, S \u003d T / T és \u003d 2 és 8.

A megadott időszakos jel egy időszakban meg lehet írni

A Fourier sorozat rögzítésének jelzésére szolgálunk ban ben(2.4). Mivel a jel egyenletes, akkor csak a koszinusz komponensek bomlásban maradnak.

Ábra. 2.6. Spectral periodikus jeldiagramok:

a - amplitúdó; b.Fázis

A páratlan funkcióból a dühös nulla időszakban. A képletek szerint (2.5) megtaláljuk az együtthatókat

fourier sorozat megírása:

A spektrális diagramok konkrét numerikus adatokkal történő kialakításához megkérdezhetem \u003d 0, 1, 2, 3, ... és kiszámíthatom a harmonikus együtthatókat. A spektrum első nyolc komponenseinek kiszámításának eredményeit a táblázat foglalja össze. 2.1. Számban (2.4) A "mn \u003d 0És (2.7.) Mn \u003d | A 'Mn |, az F 1 \u003d 1 / t \u003d 1 / 20-10 -3 \u003d 50 Hz, W 1 \u003d 2pf 1 \u003d 2p * 50 \u003d 314rad / s. Amplitúdó spektrum az 1. ábrán.

2.7 n,amelyekre És mn.a maximális érték több mint 5% -a.

A fenti 2.3 példából következik, hogy a vámnövekedés növekedésével a spektrális komponensek száma növekszik, és az amplitúdók csökkennek. Azt mondják, hogy egy ilyen jel gazdag spektrummal rendelkezik. Meg kell jegyezni, hogy sok gyakorlatilag használt jelzésre nincs szükség a korábban a harmonikusok amplitúdóinak és fázisainak kiszámítására.

2.1. Táblázat. A négykerekű impulzusok négyesebb szekvenciájának amplitúdó komponensei

Ábra. 2.7. Az időszakos impulzus szekvencia spektrális diagramjai: de- S-2 erőssége; - B-at DLUTY S \u003d 8

A matematikai könyvtárakban a négyesebb sorban lévő táblázatok bomlása van. Az alábbi táblázatok egyike a függelékben (táblázat 2. §) jelenik meg.

Gyakran felmerül a kérdés: mennyit kell venni a spektrális együttes beállításokat (harmonikusok), hogy valódi jelet jelenítsenek meg a Fourier mellett? Végtére is, egy szám, szigorúan beszélő, végtelen. Egyértelmű válasz nem adható itt. Mindez a jelzőlapotól és a Fourier közelében lévő prezentáció pontosságától függ. Több sima jelváltozás - A harmonikus kevésbé szükséges. Ha a jel ugrik (szünetek), akkor szükség van egy nagyobb számú harmonika összegére ugyanazt a hibát. Azonban sok esetben, például a távíróban úgy vélik, hogy a téglalap alakú impulzusok meredek frontjainak továbbítása elegendő három harmonika.

A múlt században Ivan Bernoulli, Leonard Euler, majd Jean-Batista Fourier először alkalmazta az időszakos funkciók bemutatását trigonometrikus sorokkal. Ezt a bemutatót részletesen tanulmányozzák más tanfolyamokon, ezért csak a fő kapcsolatokat és definíciókat emlékeztetünk.

Amint azt fentebb említettük, minden időszakos funkció u (t) Mely egyenlőséggel történik u (t) \u003d u (t + t) hol T \u003d 1 / f \u003d 2p / w , El tudod képzelni Közel Fourier:

A sorozat minden kategóriáját a koszinusz képlet két szögben lebonthatja, és két kifejezés formájában jelentkezik:

,

hol: N \u003d c n cosφ n, b n \u003d c n sinφ n így , de

Tényezők N. és Fogadó. az Euler-képlet szerint meghatározott:

;
.

-Ért n \u003d 0. :

de B 0 \u003d 0.

Tényezők N. és Fogadó. a funkció munkájának átlagos értékei u (t) és a harmonikus oszcilláció gyakorisággal nW. a tartósság intervalluma T. . Már tudjuk (2.5. Szakasz), hogy ezek a kölcsönös korreláció funkciói, amelyek meghatározzák a kapcsolatuk mértékét. Következésképpen az együtthatók N. és B N. Mutasd meg nekünk "hány sinusoids vagy cosinons frekvenciát nW. ebben a funkcióban található u (t) négyesebb sorba osztva.

Így bemutathatunk egy periodikus funkciót u (t) A harmonikus oszcillációk összege, ahol a számok C N. amplitúdók és számok Φ N. - fázisok. Általában az irodalomban az amplitúdók spektruma, és - Fázisspektrum. Csak az amplitúdók spektrumát gyakran figyelembe veszik, amelyet a pontokon található vonalak formájában ábrázolnak. nW. a frekvenciák tengelyén, és magassága megfelel a számnak C N. . Emlékeztetni kell azonban arra, hogy az időfunkció közötti egyértelmű levelezés megszerzése u (t) És spektrumának az amplitúdók spektrumát és fázisspektrumát kell használnia. Ez egy ilyen egyszerű példából látható. A jelek ugyanolyan spektrummal rendelkeznek, mint amplitúdók, de teljesen másfajta időfunkciók.

A diszkrét spektrumnak nemcsak periodikus funkciója lehet. Például egy jel: nem periodikus, de két spektrális vonalból álló különálló spektrumú. Szigorúan periódusos jel, amely a rádióimpulzusok szekvenciájából áll (nagyfrekvenciás töltésű impulzusok), amelyben az alábbi időtartam állandó, de a nagyfrekvenciás töltés kezdeti fázisa az impulzusra az impulzusra változik bármely törvényhez. Az ilyen jeleket szinte periodikusnak nevezik. Ahogy a jövőben látni fogjuk, különálló spektrumuk is van. Az ilyen jelek spektrumának fizikai jellegének tanulmányozása ugyanúgy fogunk végezni, mint az időszakos.