121 ათობითიდან ორობით. ნომრების გადაყვანა ერთი რიცხვითი სისტემიდან მეორეზე ონლაინ რეჟიმში

ამით ონლაინ კალკულატორითქვენ შეგიძლიათ გადაიყვანოთ მთელი და წილადი რიცხვები ერთი რიცხვითი სისტემიდან მეორეზე. მოცემულია დეტალური გადაწყვეტა განმარტებებით. თარგმნისთვის შეიყვანეთ ორიგინალი ნომერი, დააყენეთ წყაროს ნომრის სისტემის საფუძველი, დააყენეთ რიცხვითი სისტემის საფუძველი, რომელშიც გსურთ ნომრის გადაქცევა და დააჭირეთ ღილაკს "თარგმნა". იხილეთ თეორიული ნაწილი და რიცხვითი მაგალითები ქვემოთ.

შედეგი უკვე მიღებულია!

მთელი რიცხვების და წილადების გადაქცევა ერთი რიცხვითი სისტემიდან სხვაზე - თეორია, მაგალითები და ამონახსნები

არსებობს პოზიციური და არაპოზიციური რიცხვითი სისტემები. არაბული რიცხვების სისტემა, რომელშიც ჩვენ ვიყენებთ Ყოველდღიური ცხოვრების, არის პოზიციური, მაგრამ რომანი არა. IN პოზიციონირების სისტემებიაღნიშვნით, რიცხვის პოზიცია ცალსახად განსაზღვრავს რიცხვის ზომას. მოდით განვიხილოთ ეს 6372 რიცხვის მაგალითის გამოყენებით ათობითი რიცხვების სისტემაში. ნულიდან ნულიდან დავნომროთ ეს რიცხვი მარჯვნიდან მარცხნივ:

მაშინ რიცხვი 6372 შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგნაირად:

6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .

რიცხვი 10 განსაზღვრავს რიცხვთა სისტემას (ამ შემთხვევაში ეს არის 10). მოცემული რიცხვის პოზიციის მნიშვნელობები მიიღება უფლებამოსილებად.

განვიხილოთ ნამდვილი ათობითი რიცხვი 1287.923. მოდით დავთვალოთ იგი რიცხვის ნულიდან ათწილადის წერტილიდან მარცხნივ და მარჯვნივ:

მაშინ რიცხვი 1287.923 შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც:

1287.923 =1000+200+80 +7+0.9+0.02+0.003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3· 10 -3.

ზოგადად, ფორმულა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგნაირად:

C n ს n +C n-1 · ს n-1 +...+C 1 · ს 1 +C 0 ·s 0 +D -1 ·s -1 +D -2 ·s -2 +...+D -k ·s -k

სადაც C n არის პოზიციის მთელი რიცხვი ნ, დ -კ - წილადი რიცხვიპოზიციაზე (-k), ს- რიცხვების სისტემა.

რამდენიმე სიტყვა რიცხვითი სისტემების შესახებ რიცხვი ათწილადი რიცხვების სისტემაში შედგება მრავალი ციფრისგან (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), რვა რიცხვების სისტემაში იგი შედგება მრავალი ციფრისგან. (0,1, 2,3,4,5,6,7), ბინარულ რიცხვთა სისტემაში - ციფრთა სიმრავლიდან (0,1), თექვსმეტობით რიცხვთა სისტემაში - ციფრთა სიმრავლიდან (0,1). ,2,3,4,5,6, 7,8,9,A,B,C,D,E,F), სადაც A,B,C,D,E,F შეესაბამება რიცხვებს 10,11, 12,13,14,15 ცხრილში Tab.1 მოცემულია ნომრები სხვადასხვა სისტემებიგაანგარიშება

ცხრილი 1
აღნიშვნა
10	2	8	16
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	ა
11	1011	13	ბ
12	1100	14	C
13	1101	15	დ
14	1110	16	ე
15	1111	17	ფ

რიცხვების გადაყვანა ერთი რიცხვითი სისტემიდან მეორეზე

რიცხვების ერთი რიცხვითი სისტემიდან მეორეზე გადასაყვანად უმარტივესი გზაა ჯერ რიცხვის გადაყვანა ათობითი რიცხვების სისტემაში, შემდეგ კი ათობითი სისტემაგადაიყვანეთ ნომრები საჭირო ნომრების სისტემაში.

რიცხვების გადაქცევა ნებისმიერი რიცხვითი სისტემიდან ათობითი რიცხვების სისტემაში

ფორმულის (1) გამოყენებით შეგიძლიათ გადაიყვანოთ რიცხვები ნებისმიერი რიცხვითი სისტემიდან ათობითი რიცხვების სისტემაში.

მაგალითი 1. გადაიყვანეთ რიცხვი 1011101.001 ბინარული რიცხვების სისტემიდან (SS) ათობითი SS-ში. გამოსავალი:

1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 · 2 4 + 1 · 2 3 + 1 · 2 2 + 0 · 2 1 + 1 · 2 0 + 0 ·2 -1 + 0 ·2 -2 + 1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125

მაგალითი2. გადაიყვანეთ ნომერი 1011101.001-დან რვადი სისტემააღნიშვნა (SS) ათობითი SS-მდე. გამოსავალი:

მაგალითი 3 . გადაიყვანეთ რიცხვი AB572.CDF თექვსმეტობითი რიცხვების სისტემიდან ათობითი SS-ში. გამოსავალი:

Აქ ა- შეიცვალა 10-ით, ბ- 11 საათზე C- 12 საათზე ფ- 15-მდე.

რიცხვების გადაქცევა ათობითი რიცხვების სისტემიდან სხვა რიცხვთა სისტემაში

რიცხვების ათწილადი რიცხვითი სისტემიდან სხვა რიცხვთა სისტემაში გადასაყვანად საჭიროა ცალ-ცალკე გადაიყვანოთ რიცხვის მთელი ნაწილი და წილადი ნაწილინომრები.

რიცხვის მთელი ნაწილი გარდაიქმნება ათობითი SS-დან სხვა რიცხვთა სისტემაში რიცხვის მთელი ნაწილის თანმიმდევრულად გაყოფით რიცხვითი სისტემის ფუძეზე (ორობითი SS-ისთვის - 2-ზე, 8-წლიანი SS-ისთვის - 8-ზე, 16-ზე. -ary SS - 16-ით და ა.შ.) სანამ მთლიანი ნარჩენი მიიღება, საბაზისო CC-ზე ნაკლები.

მაგალითი 4 . გადავიყვანოთ რიცხვი 159 ათობითი SS-დან ორობით SS-ში:

159	2
158	79	2
1	78	39	2
	1	38	19	2
		1	18	9	2
			1	8	4	2
				1	4	2	2
					0	2	1
						0

როგორც ჩანს ნახ. 1, რიცხვი 159, როდესაც 2-ზე იყოფა, იძლევა 79-ს, ხოლო ნაშთს 1-ს. გარდა ამისა, რიცხვი 79, როდესაც იყოფა 2-ზე, იძლევა კოეფიციენტს 39-ს და ნარჩენს 1-ს და ა.შ. შედეგად, გაყოფის ნაშთებიდან რიცხვის აგებით (მარჯვნიდან მარცხნივ), ვიღებთ რიცხვს ბინარულ SS-ში: 10011111 . ამიტომ შეგვიძლია დავწეროთ:

159 10 =10011111 2 .

მაგალითი 5 . გადავიყვანოთ რიცხვი 615 ათობითი SS-დან რვადიან SS-ში.

615	8
608	76	8
7	72	9	8
	4	8	1
		1

როდესაც რიცხვი ათწილადი SS-დან რვადიან SS-ზე გადაიყვანეთ, თანმიმდევრულად უნდა გაყოთ რიცხვი 8-ზე, სანამ არ მიიღებთ 8-ზე ნაკლებ ნაშთს. შედეგად, რიცხვის აგება გაყოფის ნაშთებიდან (მარჯვნიდან მარცხნივ) მივიღებთ. რიცხვი რვადიან SS-ში: 1147 (იხ. სურ. 2). ამიტომ შეგვიძლია დავწეროთ:

615 10 =1147 8 .

მაგალითი 6 . გადავიყვანოთ რიცხვი 19673 ათობითი რიცხვების სისტემიდან თექვსმეტობით SS-ში.

19673	16
19664	1229	16
9	1216	76	16
	13	64	4
		12

როგორც სურათი 3-დან ჩანს, რიცხვი 19673 16-ზე თანმიმდევრულად გაყოფით, ნაშთები არის 4, 12, 13, 9. თექვსმეტობით რიცხვთა სისტემაში რიცხვი 12 შეესაბამება C-ს, რიცხვი 13-ს - D. ამიტომ, ჩვენი თექვსმეტობითი რიცხვია 4CD9.

რეგულარული ათობითი წილადების (ნამდვილი რიცხვი ნულოვანი მთელი ნაწილით) რიცხვთა სისტემად გადასაყვანად s ფუძით, აუცილებელია ამ რიცხვის თანმიმდევრულად გამრავლება s-ზე, სანამ წილადი არ შეიცავს სუფთა ნულს, ან არ მივიღებთ ციფრთა საჭირო რაოდენობას. . თუ გამრავლებისას მიიღება რიცხვი, რომელსაც აქვს ნულის გარდა სხვა მთელი ნაწილი, მაშინ ეს მთელი ნაწილი არ არის გათვალისწინებული (შედეგში თანმიმდევრულად შედის).

მოდით შევხედოთ ზემოთ მოცემულ მაგალითებს.

მაგალითი 7 . გადავიყვანოთ რიცხვი 0.214 ათობითი რიცხვების სისტემიდან ორობით SS-ში.

		0.214
	x	2
0		0.428
	x	2
0		0.856
	x	2
1		0.712
	x	2
1		0.424
	x	2
0		0.848
	x	2
1		0.696
	x	2
1		0.392

როგორც ნახ.4-დან ჩანს, რიცხვი 0.214 თანმიმდევრულად მრავლდება 2-ზე. თუ გამრავლების შედეგი არის რიცხვი, რომელსაც აქვს ნულის გარდა სხვა მთელი ნაწილი, მაშინ მთელი ნაწილი იწერება ცალკე (რიცხვის მარცხნივ). და რიცხვი იწერება ნულოვანი მთელი ნაწილით. თუ გამრავლების შედეგად მიიღება რიცხვი ნულოვანი მთელი ნაწილით, მაშინ ნული იწერება მის მარცხნივ. გამრავლების პროცესი გრძელდება მანამ, სანამ წილადი ნაწილი არ მიაღწევს სუფთა ნულს ან არ მივიღებთ ციფრთა საჭირო რაოდენობას. თამამი რიცხვების (ნახ. 4) ზემოდან ქვევით ჩაწერისას ორობით რიცხვთა სისტემაში ვიღებთ საჭირო რიცხვს: 0. 0011011 .

ამიტომ შეგვიძლია დავწეროთ:

0.214 10 =0.0011011 2 .

მაგალითი 8 . გადავიყვანოთ რიცხვი 0.125 ათობითი რიცხვების სისტემიდან ორობით SS-ში.

		0.125
	x	2
0		0.25
	x	2
0		0.5
	x	2
1		0.0

რიცხვი 0.125 ათობითი SS-დან ორობითად გადასაყვანად ეს რიცხვი თანმიმდევრულად მრავლდება 2-ზე. მესამე ეტაპზე შედეგი არის 0. შესაბამისად მიიღება შემდეგი შედეგი:

0.125 10 =0.001 2 .

მაგალითი 9 . გადავიყვანოთ რიცხვი 0.214 ათწილადი რიცხვითი სისტემიდან თექვსმეტობით SS-ში.

		0.214
	x	16
3		0.424
	x	16
6		0.784
	x	16
12		0.544
	x	16
8		0.704
	x	16
11		0.264
	x	16
4		0.224

4 და 5 მაგალითების შემდეგ მივიღებთ რიცხვებს 3, 6, 12, 8, 11, 4. მაგრამ თექვსმეტობითი SS-ში რიცხვები 12 და 11 შეესაბამება C და B რიცხვებს. აქედან გამომდინარე, გვაქვს:

0,214 10 =0,36C8B4 16 .

მაგალითი 10 . გადავიყვანოთ რიცხვი 0.512 ათწილადი რიცხვების სისტემიდან რვადიან SS-ში.

		0.512
	x	8
4		0.096
	x	8
0		0.768
	x	8
6		0.144
	x	8
1		0.152
	x	8
1		0.216
	x	8
1		0.728

მივიღე:

0.512 10 =0.406111 8 .

მაგალითი 11 . გადავიყვანოთ რიცხვი 159.125 ათობითი რიცხვების სისტემიდან ორობით SS-ში. ამისათვის ცალ-ცალკე ვთარგმნით რიცხვის მთელ ნაწილს (მაგალითი 4) და რიცხვის წილად ნაწილს (მაგალითი 8). ამ შედეგების შემდგომი კომბინირებისას მივიღებთ:

159.125 10 =10011111.001 2 .

მაგალითი 12 . გადავიყვანოთ რიცხვი 19673.214 ათობითი რიცხვების სისტემიდან თექვსმეტობით SS-ში. ამისათვის ცალ-ცალკე ვთარგმნით რიცხვის მთელ ნაწილს (მაგალითი 6) და რიცხვის წილად ნაწილს (მაგალითი 9). გარდა ამისა, ამ შედეგების გაერთიანებით მივიღებთ.

ყველა პოზიციური რიცხვითი სისტემა თანაბარია, მაგრამ იმის მიხედვით, თუ რა ამოცანები წყვეტს ადამიანი რიცხვების გამოყენებით, მას შეუძლია გამოიყენოს რიცხვითი სისტემები სხვადასხვა ფუძით.

ყველაზე ხშირად გამოყენებული რიცხვების სისტემა არის ათობითი რიცხვითი სისტემა, ე.ი. რიცხვთა სისტემა, რომლის ანბანი შედგება ათი ციფრისგან (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) და, შესაბამისად, ფუძე უდრის ათს. ამ რიცხვების სისტემის ფართო გამოყენება მარტივად აიხსნება. ჯერ ერთი, რიცხვის დაწერა ათობითი რიცხვების სისტემაში საკმაოდ კომპაქტურია და მეორეც, ათობითი რიცხვების სისტემას კაცობრიობა რამდენიმე საუკუნის განმავლობაში იყენებს. ამ დროის განმავლობაში ხალხი მიეჩვია რიცხვებს, რიცხვების წერას და რიცხვების გამოთქმას ათობითი რიცხვების სისტემაში, მაგალითად, ჩანაწერი „15“ გასაგებია ნებისმიერი ადამიანისთვის და ის წაიკითხავს როგორც თხუთმეტს, მაგრამ იგივე რიცხვს. ორობითი რიცხვების სისტემაში დაწერილი „1111“ იწვევს სულ მცირე გაკვირვებას, თუ როგორ უნდა წაიკითხოს ეს რიცხვი.

და მაინც, ცალსახაა იმის თქმა, რომ ათობითი რიცხვების სისტემა არის ოპტიმალური არჩევანიკაცობრიობას არ შეუძლია ციფრებთან მუშაობა. ეს რამდენიმე მაგალითით დავამტკიცოთ.

ყველას გახსოვთ გამრავლების ცხრილი და, რა თქმა უნდა, გახსოვთ, რამდენი ძალისხმევა მოგიწიათ ამ ცხრილის შესასწავლად. ჩვენ აქ არ მივცემთ გამრავლების ცხრილს ათობითი რიცხვების სისტემაში, მაგრამ შედარებისთვის ვაძლევთ გამრავლების ცხრილს ბინარული რიცხვების სისტემაში:

როგორც ხედავთ, ორობითი რიცხვების სისტემაში გამრავლების ცხრილი გაცილებით მარტივი ჩანს, ვიდრე ათობითი რიცხვების სისტემაში.

რიცხვების ჩაწერის კომპაქტურობა ათეულზე მეტი ფუძის მქონე რიცხვების სისტემაში ასევე არ არის ყველაზე მაღალი, რიცხვები უფრო კომპაქტურად დაიწერება, მაგალითად, იგივე რიცხვი "15" დაიწერება როგორც "F"; თექვსმეტობით რიცხვთა სისტემაში.

როგორც უკვე აღვნიშნეთ მე-5 პუნქტში, ბინარული რიცხვების სისტემა მიღებულია კომპიუტერში რიცხვების ჩასაწერად. ამ პარაგრაფში უნდა გვესმოდეს, თუ როგორ არის წარმოდგენილი რიცხვები კომპიუტერის მეხსიერებაში ამისთვის საკმარისი იქნება თარგმანის წესების გაგება ათობითი რიცხვებიბინარული რიცხვების სისტემაში.

პრაქტიკაში, რიცხვების გადასაყვანად ათი ფუძე რიცხვითი სისტემიდან საბაზისო ორ რიცხვთა სისტემაში გამოიყენეთ შემდეგი წესი:

1. რიცხვთა სისტემაში ჩაწერილი რიცხვი ათი ფუძის მქონე ნაშთით იყოფა ორზე (ფუძე ახალი სისტემააღნიშვნა), დაწერილი ათი ფუძის რიცხვითი სისტემის ციფრებით ( ძველი სისტემარიცხვი), სანამ კოეფიციენტი არ მიაღწევს 0-ს.

2. გაყოფით მიღებული ნაშთები, რომლებიც იწერება საპირისპირო თანმიმდევრობით, ქმნის რიცხვს ახალ რიცხვთა სისტემაში ორი ფუძით.

ეს წესი უფრო მოსახერხებელია ათობითი რიცხვების სისტემიდან რიცხვების გადასაყვანად. ათწილადის რიცხვთა სისტემაში დასაბრუნებლად უფრო მოსახერხებელია ე.წ ჰორნერის სქემა.

1. დანომრეთ რიცხვში პოზიციები, მარჯვნიდან მარცხნივ, ნულიდან დაწყებული;

2. შეადგინეთ რიგი, რომელიც წარმოადგენს რიცხვის ციფრთა ნამრავლების ჯამს ძველი რიცხვითი სისტემის ფუძით, ჩაწერილი ახალი რიცხვითი სისტემის ციფრებში, გაზრდილი ხარისხზე, რომელიც ტოლია ციფრის პოზიციის ნომრის რიცხვში. ნომერი;

3. იპოვეთ სერიების ჯამი.

მოდით შევხედოთ ამ წესებს კონკრეტული მაგალითების გამოყენებით.

მაგალითი 1: ჩაწერეთ ათწილადი რიცხვი 121 ბინარულ რიცხვთა სისტემაში.

121 | 2 121 D =1111001 ბ

120 60 | 2

1 60 30 | 2

0 30 15 | 2

0 14 7 | 2

1 6 3 | 2

სამუშაოს მიზანი.რიცხვების ერთი პოზიციური რიცხვითი სისტემიდან მეორეში გადაყვანის მეთოდების შესწავლა და უნარების გამომუშავება.

პოზიციურ სისტემაში გამოყენებული სხვადასხვა ციფრის რაოდენობა განსაზღვრავს რიცხვითი სისტემის სახელს და ე.წ საფუძველი რიცხვების სისტემა.

ნებისმიერი N რიცხვი პოზიციურ რიცხვთა სისტემაში ფუძით შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ფუძიდან მრავალწევრის სახით :

სად
- ნომერი, - რიცხვის ციფრები (კოეფიციენტები სიმძლავრეზე ),- რიცხვების სისტემის საფუძველი ( >1).

რიცხვები იწერება რიცხვების თანმიმდევრობით:

.
, მიმდევრობის წერტილი გამოყოფს რიცხვის მთელ ნაწილს წილადი ნაწილისგან (კოეფიციენტები არაუარყოფითი ხარისხებისთვის, კოეფიციენტები უარყოფითი ხარისხებისთვის). წერტილი გამოტოვებულია, თუ რიცხვი არის მთელი რიცხვი (უარყოფითი ძალები).

კომპიუტერული სისტემები იყენებენ პოზიციური რიცხვების სისტემებს არაათწილადი ფუძით: ორობითი, რვადი, თექვსმეტობითი.

კომპიუტერის ტექნიკის საფუძველი შედგება ორი პოზიციური ელემენტებისაგან, რომლებიც შეიძლება იყოს მხოლოდ ორ მდგომარეობაში; რომელთაგან ერთი არის დანიშნული 0, ხოლო მეორე - 1. მაშასადამე, არითმეტიკურ-ლოგიკური მთავარი კომპიუტერი არის ბინარული რიცხვების სისტემა.

ორობითი რიცხვების სისტემა.გამოიყენება ორი ციფრი: 0 და 1. ბინარულ სისტემაში ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც:
.
, სად ან 0 ან 1.

ეს ჩანაწერი შეესაბამება მითითებული კოეფიციენტებით აღებული 2-ის ხარისხების ჯამს:

ოქტალური რიცხვების სისტემა.გამოიყენება რვა ციფრი: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. გამოიყენება კომპიუტერში, როგორც დამხმარე ინფორმაციის შემოკლებული ფორმით ჩაწერისთვის. რვაფეხა სისტემის ერთი ციფრის წარმოსადგენად გამოიყენება სამი ორობითი ციფრი (ტრიადა) (იხ. ცხრილი 1).

თექვსმეტობითი რიცხვების სისტემა.რიცხვების წარმოსაჩენად გამოიყენება 16 ციფრი. ამ სისტემის პირველი ათი ციფრი მითითებულია რიცხვებით 0-დან 9-მდე, ხოლო ზედა ექვსი ციფრი ლათინური ასოებით: A (10), B (11), C (12), D (13), E (14), F (15). თექვსმეტობითი სისტემა, ისევე როგორც ოქტალური სისტემა, გამოიყენება ინფორმაციის შემოკლებული ფორმით ჩასაწერად. თექვსმეტობითი რიცხვების სისტემის ერთი ციფრის გამოსაყენებლად გამოიყენება ოთხი ორობითი ციფრი (ტეტრადი) (იხ. ცხრილი 1).

ცხრილი 1.

პოზიციური რიცხვითი სისტემების ანბანები (სს)

ორობითი სს

(ბაზა 2)

ოქტალური სს

(ბაზა 8)

ათწილადი სს

(ბაზა 10)

თექვსმეტობითი სს

(ბაზა 16)

ორობითი

ორობითი ტეტრადები

სავარჯიშო 1.ნომრების კონვერტაცია მოცემული სისტემებირიცხვები ათობითი სისტემაში.

მეთოდური ინსტრუქციები.

რიცხვების გადაყვანა ათობითი სისტემაში ხორციელდება ძაბვის სერიის ჯამის შედგენით სისტემის ფუძით, საიდანაც ხდება რიცხვის გარდაქმნა. ამის შემდეგ გამოითვლება ამ თანხის ღირებულება.

მაგალითები.

ა) თარგმნეთ ს.ს. 

ბ) თარგმნა
ს.ს.

გ) თარგმნა
ს.ს.

დავალება 2.გადაიყვანეთ მთელი რიცხვები ათწილადიდან რვადიანად, თექვსმეტობით და ორობით.

მეთოდური ინსტრუქციები.

მთელი ათობითი რიცხვების რვიან, თექვსმეტობით და ორობით სისტემებად გადაქცევა ხორციელდება ათობითი რიცხვის თანმიმდევრულად გაყოფით იმ სისტემის ფუძეზე, რომელშიც ის გარდაიქმნება მანამ, სანამ კოეფიციენტი არ იქნება ნულის ტოლი. რიცხვი ახალ სისტემაში იწერება გაყოფის ნაშთების სახით, ბოლოდან დაწყებული.

მაგალითები.

ა) თარგმნა
ს.ს.