시간 함수의 집합(앙상블)은 무작위 프로세스를 의미하며, 모양이 다른 함수는 다른 스펙트럼 특성에 해당한다는 점을 염두에 두어야 합니다. 모든 함수에 대해 (1.47)에 의해 정의된 복소 스펙트럼 밀도를 평균하면 프로세스의 스펙트럼이 0이 됩니다. M[x(티)]=0 ) 다양한 구현에서 스펙트럼 구성 요소 위상의 무작위성과 독립성으로 인한 것입니다.
그러나 평균 제곱의 값이 합산된 고조파의 위상 비율에 의존하지 않기 때문에 랜덤 함수의 평균 제곱의 스펙트럼 밀도 개념을 도입하는 것이 가능합니다. 임의 함수 아래에 있는 경우 x(t)전압 또는 전류를 의미하는 경우 이 함수의 평균 제곱은 1옴 저항에서 소모되는 평균 전력으로 생각할 수 있습니다. 이 전력은 무작위 프로세스의 형성 메커니즘에 따라 특정 대역의 주파수에 분산됩니다.
평균 전력 스펙트럼 밀도는 주어진 주파수에서 Hz당 평균 전력입니다. ω . 기능 차원 여(ω) , 대역폭에 대한 전력의 비율은 다음과 같습니다.
랜덤 프로세스의 형성 메커니즘이 알려진 경우 랜덤 프로세스의 스펙트럼 밀도를 찾을 수 있습니다. 물질과 전기의 원자 구조와 관련된 소음과 관련하여 이 작업은 나중에 하겠습니다. 여기에서 우리는 몇 가지 일반적인 정의로 우리 자신을 제한합니다.
앙상블에서 일부 구현 선택 엑스케이(티) 지속 시간을 유한 간격으로 제한 티, 우리는 그것에 일반적인 푸리에 변환을 적용하고 스펙트럼 밀도를 찾을 수 있습니다 엑스 kT (ω). 그런 다음 고려 중인 구현 세그먼트의 에너지는 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다.
(1.152)
이 에너지를 다음과 같이 나누면 티, 평균 전력을 얻다 k번째세그먼트에 구현 티
(1.153)
증가와 함께 티에너지 이자형kT증가하지만 비율
일정한 한계에 도달하는 경향이 있습니다. 한계에 도달하면 다음을 얻습니다.
G 
드
대표하다 평균 전력 스펙트럼 밀도존경받는 k번째구현.
일반적으로 값 여 케이 (ω) 많은 구현에 대해 평균을 내야 합니다. 이 경우 고정 및 에르고딕 프로세스를 고려하는 것으로 제한하면 하나의 실현에 대한 평균을 통해 찾은 함수가 다음과 같다고 가정할 수 있습니다. 여 케이 (ω) 전체 프로세스를 특징짓습니다. 인덱스 k를 생략하면 무작위 프로세스의 평균 검정력에 대한 최종 표현을 얻습니다.
제로 평균 프로세스의 경우
(1.156)
스펙트럼 밀도(1.155)의 정의에서 분명히 알 수 있습니다. 여 엑스 (ω) 는 짝수이고 음이 아닌 함수입니다. ω.
1.5.3 스펙트럼 밀도와 랜덤 프로세스의 공분산 함수 사이의 관계
한편 변화율은 엑스(티) 시간에 따라 스펙트럼의 너비가 결정됩니다. 반면에, 변화율 x(t) 공분산 함수의 과정을 결정합니다. 사이임이 분명하다.여 엑스 (ω) 및 K 엑스(τ) 밀접한 관계가 있습니다.
Wiener-Khinchin 정리는 다음과 같이 말합니다. 에게 엑스 (τ) 그리고 여 엑스 (ω) 푸리에 변환으로 상호 연결됩니다.
(1.157)
(1.158)
평균이 0인 랜덤 프로세스의 경우 유사한 표현식의 형식은 다음과 같습니다.
이러한 표현식에서 결정론적 신호에 대한 푸리에 변환의 속성과 유사한 속성이 나옵니다.랜덤 프로세스의 스펙트럼이 넓을수록 상관 구간은 더 작아지고, 따라서 상관 구간이 클수록 프로세스의 스펙트럼은 더 좁아집니다(그림 1.20 참조).
그림 1.20. 랜덤 프로세스의 광대역 및 협대역 스펙트럼; 중앙 스트립의 경계: ±F 1
스펙트럼이 모든 주파수에서 균일할 때의 백색 잡음이 매우 중요합니다.
식 1.158에 대입하면 여엑스(ω) = 여 0 = const, 그러면 우리는 얻는다
여기서 δ(τ)는 델타 함수입니다.
무한하고 균일한 스펙트럼을 가진 백색 잡음의 경우 상관 함수는 다음을 제외한 모든 τ 값에 대해 0입니다. τ = 0 , 어느 때 아르 자형 엑스 (0) 무한대로 변합니다. 무한히 미세한 랜덤 스파이크가 있는 바늘 구조를 갖는 이러한 노이즈를 델타 상관 프로세스라고 하는 경우가 있습니다. 백색 잡음의 분산은 무한히 큽니다.
자가 진단을 위한 질문
랜덤 신호의 주요 특성은 무엇입니까?
상관 함수와 랜덤 신호의 에너지 스펙트럼이 수학적으로 얼마나 관련되어 있는지.
임의의 프로세스를 고정이라고 합니다.
임의의 프로세스를 에르고딕이라고 합니다.
협대역 신호의 엔벨로프, 위상 및 주파수가 결정되는 방법
어떤 신호를 분석이라고 합니다.
교차 전력 스펙트럼 밀도(교차 전력 스펙트럼)두 가지 실현 및 고정 에르고딕 랜덤 프로세스 및 상호 공분산 함수에 대한 직접 푸리에 변환으로 정의됩니다.
또는 순환 주파수와 순환 주파수 사이의 관계가 주어지면
역 푸리에 변환은 상호 공분산 함수와 전력 스펙트럼 밀도를 관련시킵니다.
(1.32), (1.33)과 유사하게 우리는 파워 스펙트럼 밀도(파워 스펙트럼) 랜덤 프로세스
이 함수에는 패리티 속성이 있습니다.
다음 관계는 상호 스펙트럼 밀도에 대해 유효합니다.
여기서 복소수 켤레 함수는 입니다.
스펙트럼 밀도에 대한 위의 공식은 양의 주파수와 음의 주파수 모두에 대해 정의되며 다음과 같이 불립니다. 양면 스펙트럼 밀도 . 시스템 및 신호의 분석 연구에 편리합니다. 실제로 그들은 음이 아닌 주파수에 대해서만 정의된 스펙트럼 밀도를 사용합니다. 일방적인 (그림 1.14):
그림 1.14 - 단면 및 양면
스펙트럼 밀도
고정 SP의 단측 스펙트럼 밀도와 공분산 함수와 관련된 식을 유도해 보겠습니다.
고정 SP 및 코사인 함수의 공분산 함수에 대한 패리티 속성, 사인 함수에 대한 홀수 속성 및 적분 한계의 대칭을 고려합니다. 결과적으로 위에서 얻은 식의 두 번째 적분은 사라지고 첫 번째 적분에서는 적분 한계를 절반으로 줄이고 계수를 두 배로 늘릴 수 있습니다.
분명히, 랜덤 프로세스의 전력 스펙트럼 밀도는 실제 함수입니다.
마찬가지로 역 관계를 얻을 수 있습니다.
식 (1.42) at 에서 다음과 같습니다.
즉, 단측 스펙트럼 밀도 플롯 아래의 전체 면적은 랜덤 프로세스의 평균 제곱과 같습니다. 즉, 단측 스펙트럼 밀도는 주파수에 대한 프로세스의 평균 제곱 분포로 해석됩니다.
두 개의 임의의 주파수 값 사이에 둘러싸인 단측 밀도 그래프 아래 영역은 스펙트럼의이 주파수 대역에서 프로세스의 평균 제곱과 같습니다(그림 1.15).
그림 1.15 - 스펙트럼 밀도 속성
상호 전력 스펙트럼 밀도는 복소수이므로 다음과 같이 지수 형식으로 나타낼 수 있습니다. 기준 치수 그리고 위상각 :
모듈은 어디에 있습니까?
는 위상각입니다.
, 는 각각 함수의 실수부와 허수부입니다.
상호 스펙트럼 밀도의 계수는 중요한 부등식에 포함됩니다.
이 불평등을 통해 다음을 결정할 수 있습니다. 일관성 기능 (일관성의 제곱), 이는 정규화된 상관 함수의 제곱과 유사합니다.
스펙트럼 밀도를 도입하는 두 번째 방법은 랜덤 프로세스의 직접 푸리에 변환입니다.
와 를 두 개의 고정 에르고딕 랜덤 과정이라고 하자. 유한 푸리에 변환 길이의 구현은 다음과 같이 정의됩니다.
이러한 무작위 프로세스의 양면 상호 스펙트럼 밀도는 관계를 통해 제품을 사용하여 도입됩니다.
여기서 기대 연산자는 인덱스를 평균화하는 연산을 의미합니다.
랜덤 프로세스의 양면 스펙트럼 밀도 계산은 관계식에 따라 수행됩니다.
단측 스펙트럼 밀도도 유사하게 소개됩니다.
공식 (1.49), (1.50)에 의해 정의된 함수는 공분산 함수에 대한 푸리에 변환으로 관계식 (1.32), (1.33)에 의해 정의된 해당 함수와 동일합니다. 이 진술은 Wiener-Khinchin 정리.
시험 문제
1. 결정론적 프로세스의 분류를 제공하십시오.
2. 다조화와 거의 주기적인 프로세스의 차이점은 무엇입니까?
3. 정상 랜덤 프로세스의 정의를 공식화하십시오.
4. 에르고딕 랜덤 프로세스의 특성을 평균화하는 방법 중 샘플 함수의 앙상블에 대해 평균화하거나 한 실현의 관찰 시간에 대해 평균화하는 중 어떤 방법이 더 좋습니까?
5. 랜덤 프로세스의 확률 분포 밀도의 정의를 공식화하십시오.
6. 정상 랜덤 프로세스의 상관 함수와 공분산 함수를 연결하는 식을 작성하십시오.
7. 두 개의 무작위 프로세스가 상관관계가 없는 것으로 간주되는 경우는 언제입니까?
8. 정상 랜덤 프로세스의 평균 제곱을 계산하는 방법을 표시하십시오.
9. 임의 과정의 스펙트럼 밀도와 공분산 함수는 어떤 변환에 의해 관련됩니까?
10. 두 임의 프로세스의 일관성 함수 값이 어느 정도 변경됩니까?
문학
1. 세르지엔코, A.B. 디지털 신호 처리 / A.B. 세르지엔코. - 남: Peter, 2002. - 604 p.
2. Sadovsky, G.A. 정보 측정 장비의 이론적 기초 / G.A. 사도프스키. - M.: 고등학교, 2008. - 480 p.
3. Bendat, D. 상관관계 및 스펙트럼 분석의 적용 / D. Bendat, A. Pirsol. – M.: Mir, 1983. – 312 p.
4. Bendat, D. 랜덤 프로세스의 측정 및 분석 / D. Bendat, A. Pirsol. – M.: Mir, 1974. – 464 p.
1) 물리적 의미에서 전력 스펙트럼은 실제이며 음이 아닙니다.
따라서 전력 스펙트럼에서 임의 프로세스의 개별 구현을 복원하는 것은 기본적으로 불가능합니다.
2) 인수 의 짝수 함수 이므로 해당 전력 스펙트럼 은 주파수 의 짝수 함수 입니다 . 따라서 푸리에 변환(6.14), (6.15) 쌍은 반무한 한계에서 적분을 사용하여 작성할 수 있습니다.
(6.17)
(6.18)
3. 무작위 프로세스의 소위 단측 전력 스펙트럼을 도입하는 것이 좋습니다. 이를 다음과 같이 정의합니다.
(6.19)
이 기능을 사용하면 양수(물리적 주파수)를 통합하여 정상 랜덤 프로세스의 분산을 계산할 수 있습니다.
(6.20)
4. 기술 계산에서 단측 전력 스펙트럼 N(f)이 종종 도입되는데, 이는 1Hz 너비의 주파수 간격당 무작위 프로세스의 평균 전력입니다.
(6.21)
하지만, 쉽게 볼 수 있는
랜덤 프로세스의 매우 중요한 매개변수는 상관 구간입니다. 무작위 프로세스는 일반적으로 다음과 같은 속성을 갖습니다. 상관 함수는 시간 이동이 증가함에 따라 0이 되는 경향이 있습니다. 함수가 더 빨리 감소할수록 일치하지 않는 두 시점에서 임의 신호의 순시 값 사이의 통계적 관계가 작아집니다.
임의 프로세스 구현의 "변화율"을 평가하는 역할을 하는 수치적 특성은 다음 식으로 정의되는 상관 간격입니다.
(6.22)
"과거에" 구현의 동작에 대한 정보가 알려진 경우 일정 시간 동안 임의 프로세스의 확률적 예측이 가능합니다.
랜덤 프로세스의 또 다른 필수 매개변수는 스펙트럼의 유효 폭입니다. 연구 중인 무작위 과정을 함수 - 단측 전력 스펙트럼 - 이 함수의 극단값으로 특성화합니다. 정신적으로 주어진 무작위 프로세스를 두 프로세스의 평균 전력이 동일한 조건에서 선택한 유효 주파수 대역 내에서 전력 스펙트럼 밀도가 일정하고 동일한 다른 프로세스로 교체해 보겠습니다.
이것은 유효 스펙트럼 폭에 대한 공식을 산출합니다.
(6.23)
지정된 대역 외부에서 임의 프로세스의 스펙트럼 밀도는 0으로 간주됩니다.
이 수치적 특성은 잡음 신호 분산의 엔지니어링 계산에 자주 사용됩니다.
임의 프로세스의 구현이 전압(V) 차원을 갖는 경우 상대 전력 스펙트럼 N은 차원이 .
백색소음과 그 속성. 가우스 랜덤 프로세스.
가) 백색소음.
모든 주파수에서 일정한 전력 스펙트럼 밀도를 갖는 정상 랜덤 프로세스를 백색 잡음이라고 합니다.
(7.1)
Wiener-Khinchin 정리에 따르면 백색 잡음 상관 함수는 다음과 같습니다.
점을 제외하고 모든 곳에서 0과 같습니다. 백색 잡음의 평균 전력(분산)은 무한히 큽니다.
백색 잡음은 델타 상관 프로세스입니다. 이러한 임의 신호의 순시 값의 비상관성은 시간의 변화율이 무한히 높다는 것을 의미합니다. 간격이 아무리 작아도 이 시간 동안의 신호는 미리 결정된 값으로 변경될 수 있습니다.
백색 잡음은 추상적인 수학적 모델이며 이에 상응하는 물리적 과정은 물론 자연에는 존재하지 않습니다. 그러나 이것은 무작위 신호에 의해 영향을 받는 회로의 대역폭이 잡음 스펙트럼의 유효 폭보다 훨씬 더 좁은 것으로 판명되는 경우 충분히 넓은 대역의 실제 무작위 프로세스를 백색 잡음으로 대략적으로 대체하는 것을 방해하지 않습니다.
전력 스펙트럼 밀도를 추정하는 것은 랜덤 프로세스에 대해 잘 알려진 문제입니다. 무작위 프로세스의 예로는 정보를 전달하는 신호뿐만 아니라 노이즈가 있습니다. 일반적으로 통계적으로 안정적인 추정치를 찾는 것이 필요합니다. 신호 분석은 디지털 신호 처리 과정에서 자세히 다룹니다. 초기 정보는 에 제공됩니다.
알려진 통계적 특성을 가진 신호의 경우 스펙트럼 구성은 이 신호의 유한한 간격에서 결정할 수 있습니다. 신호의 통계적 특성이 신호 세그먼트에 대해 알려지지 않은 경우 해당 스펙트럼의 추정값만 얻을 수 있습니다. 다른 방법은 다른 가정을 사용하므로 다른 추정치를 제공합니다.
추정치를 선택할 때 일반적으로 분석된 신호는 무작위 과정이라고 가정합니다. 그리고 신호 스펙트럼을 평균화할 수 있는 작은 분산으로 편향되지 않은 추정치를 선택해야 합니다. 편향은 추정치의 평균값과 수량의 실제 값 간의 차이입니다. 편향되지 않은 추정치는 편향이 0인 추정치입니다. 작은 분산을 가진 추정치는 구한 값을 잘 현지화합니다. 즉, 확률 밀도는 평균 주위에 집중됩니다. 일관성 있는 평가를 하는 것이 바람직합니다. 표본 크기가 증가함에 따라 실제 값에 접근하는 추정치(편향 및 분산이 0인 경향이 있음). 신호 자체에 대한 정보만 사용하는 매개변수 추정과 임의 신호의 통계 모델을 사용하고 이 모델의 매개변수를 선택하는 비모수 추정이 있습니다.
랜덤 프로세스를 평가할 때 상관 함수를 사용하는 것이 일반적입니다.
에르고딕 프로세스의 경우 하나의 구현에 대해 평균을 내서 프로세스의 통계적 매개변수를 결정할 수 있습니다.
을 위한 고정 랜덤 프로세스상관 함수 R x(t)는 결정되는 시간 간격에 따라 다릅니다. 이 값은 간격 t로 구분된 값 x(t) 간의 관계를 특성화합니다. R(t)가 느릴수록 랜덤 프로세스의 값 사이에 통계적 관계가 있는 간격이 길어집니다.
여기서 수학적 기대값 x(t)입니다.
랜덤 프로세스에 대한 상관 함수 R(t)와 전력 스펙트럼 밀도 W(w) 간의 관계는 Wiener-Khinchin 정리에 의해 결정됩니다.
이산 프로세스의 경우 Wiener-Khinchin 정리는 이산 랜덤 프로세스 W(w)의 스펙트럼과 상관 함수 R x(n) 간의 연결을 설정합니다.
W(w)= R x (n) exp(-j w n T)
시간 및 주파수 영역에서 신호 에너지를 추정하기 위해 Parseval 방정식이 사용됩니다.
스펙트럼 밀도의 추정치를 얻는 일반적인 방법 중 하나는 주기도 방법을 사용하는 것입니다.
주기도.이 방법에서는 길이가 N 샘플인 이산 샘플링 지점과 통계적 평균에서 주어진 신호 x(n)에 대해 이산 푸리에 변환이 수행됩니다. 스펙트럼 X(k)의 실제 계산은 유한한 수의 주파수 포인트 N에서만 수행됩니다. FFT(고속 푸리에 변환)가 적용됩니다. 하나의 샘플 샘플당 전력 스펙트럼 밀도는 다음과 같이 계산됩니다.
Pxx(Xk)=|X(k)| 2 /N, X(k)= , k=0,1,…,N-1.
통계적으로 안정적인 추정치를 얻기 위해 사용 가능한 데이터를 겹치는 샘플로 나눈 다음 각 샘플에서 얻은 스펙트럼을 평균화합니다. 샘플당 샘플 수 N과 이전 샘플의 시작에 대한 각 후속 샘플의 시작 이동 N t가 지정됩니다. 표본의 표본 수가 적을수록 표본이 많아지고 추정치의 분산이 작아집니다. 그러나 샘플 길이 N은 주파수 분해능(2.4)과 관련이 있으므로 샘플 길이가 감소하면 주파수 분해능이 감소합니다.
따라서 신호는 창을 통해 보여지고 창에 떨어지지 않는 데이터는 0으로 간주됩니다. N개의 샘플로 구성된 최종 신호 x(n)은 일반적으로 시간이 무한한 신호를 곱한 결과로 표시됩니다. (N)유한한 길이 w R(n)을 갖는 직사각형 창에:
x(n) = (N) w R(n),
관찰된 신호 x(n)의 연속 스펙트럼 X N(f)는 시간 무한 신호의 푸리에 변환 X(f), WR(f)의 컨볼루션으로 정의됩니다. (N)∙창문 w R(n)
X N(f)=X(f)*W R(f)=
연속 직사각형 창(rect)의 스펙트럼은 적분 사인 sinc(x)=sin(x)/x의 형태를 갖습니다. 여기에는 주요 "로브"와 여러 측면이 포함되어 있으며 그 중 가장 큰 부분은 주요 피크보다 약 13dB 낮습니다(그림 15 참조).
연속 직사각형 창의 N-점 이산화에 의해 얻은 이산 시퀀스의 푸리에 변환(스펙트럼)은 그림 32에 나와 있습니다. 이동된 적분 사인(2.9)을 합산하여 계산할 수 있으며 결과적으로 디리클레 커널이 생성됩니다.
쌀. 32. 이산 직사각형 창의 스펙트럼
길이가 무한대인 신호는 정확히 이산 주파수 f k 에 전력을 집중하지만 직사각형 신호 샘플은 전력 스펙트럼이 분산되어 있습니다. 샘플이 짧을수록 스펙트럼이 더 많이 분포됩니다.
스펙트럼 분석에서 데이터는 윈도우 함수를 사용하여 가중치가 부여되어 스펙트럼 추정에 대한 사이드 "로브"의 영향을 줄입니다.
가까운 주파수로 두 개의 고조파 f 1 및 f 2를 감지하려면 시간 창 T에 대해 주 "로브"의 너비 Df -3 ≈ Df L = 0 = 1 / T, 값 -3에서 결정되어야 합니다. dB, 원하는 주파수의 차이보다 작음
Df=f 1 -f 2 > Df -3
시간 창 T의 너비는 공식 (2.4)에 따라 샘플링 속도 fs 및 샘플 샘플 수와 관련이 있습니다.
고조파 분석 도구. 신호 연구를 위해 MATLAB 패키지, 특히 응용 프로그램(Toolbox) 신호 처리를 사용하는 것이 매우 편리합니다.
수정된 주기도깁스 효과를 줄이는 직사각형이 아닌 창 함수를 사용합니다. 해밍 창의 사용이 그 예입니다. 그러나 동시에 스펙트로그램의 메인 로브 너비는 약 2배가 됩니다. 카이저 창이 약간 더 최적화되었습니다. 저역 통과 필터를 생성할 때 메인 로브의 너비를 늘리면 전환 대역(통과 대역과 정지 대역 사이)이 증가합니다.
Welch 채점 기능(Welch). 이 방법은 연속된 시간 데이터를 세그먼트(겹칠 수 있음)로 나눈 다음 각 세그먼트를 처리한 다음 세그먼트 처리 결과를 평균화하여 스펙트럼을 추정하는 것으로 구성됩니다. 해밍 창과 같은 직사각형이 아닌 창 함수를 사용하여 추정치를 개선할 수 있습니다. 세그먼트 수를 늘리면 분산이 감소하지만 방법의 주파수 분해능은 감소합니다. 이 방법은 잡음에 대해 유용한 신호를 약간 초과하여 좋은 결과를 제공하며 실제로 자주 사용됩니다.
그림 33은 다른 샘플(N=100, N=67)과 다른 방법을 사용하여 협대역 유용한 신호 및 백색 잡음을 포함하는 데이터에 대한 고조파 콘텐츠 추정치를 보여줍니다.
쌀. 33. 1024 포인트 FFT 변환을 위한 신호 고조파 추정
매개변수 방법자기회귀 모델(AR)을 사용합니다. 이 방법에서 필터 모델이 구축되고 도움을 받아 신호 스펙트럼이 추정됩니다. 신호에 잡음이 있는 모든 방법은 편향된 추정치를 제공합니다. 방법은 잡음의 배경에 대해 고조파 성분이 있는 신호를 처리하도록 설계되었습니다. 방법(필터)의 순서는 신호에 존재하는 고조파 수의 두 배로 설정됩니다. 여러 매개변수 방법이 제안되었습니다.
Burg 방법은 짧은 샘플에 대해 고주파수 분해능을 제공합니다. 필터 차수가 크면 스펙트럼 피크가 분할됩니다. 스펙트럼 피크의 위치는 초기 고조파 위상에 따라 다릅니다.
공분산 방법을 사용하면 고조파 성분의 합을 포함하는 신호의 스펙트럼을 추정할 수 있습니다.
Yule-Walker 방법은 긴 샘플에서 좋은 결과를 제공하며 짧은 샘플에는 권장되지 않습니다.
상관 방법. MISIC(다중 신호 분류) 및 EV(고유 벡터) 방법은 의사 스펙트럼의 형태로 결과를 생성합니다. 방법은 신호 상관 행렬 벡터의 분석을 기반으로 합니다. 이러한 방법은 자기상관 방법보다 다소 나은 주파수 분해능을 제공합니다.
신호하자 에스(티)는 비주기적 함수로 주어지며, 구간( 티 1 ,티 2) (예 - 단일 펄스). 임의의 기간을 선택하자 티, 간격( 티 1 ,티 2) (그림 1 참조).
에서 얻은 주기적 신호를 나타내자. 에스(티), 처럼 ( 티). 그런 다음 푸리에 급수를 작성할 수 있습니다.
기능에 도달하려면 에스(티)는 식 ( 티) 마침표를 무한대로 둡니다. 이 경우 주파수를 갖는 고조파 성분의 수는 승=N 2피/티무한히 커질 것이고, 그들 사이의 거리는 0이 되는 경향이 있을 것입니다(무한하게 작은 값으로:
구성 요소의 진폭도 극소일 것입니다. 따라서 스펙트럼이 연속적이 되기 때문에 그러한 신호의 스펙트럼에 대해 더 이상 이야기할 수 없습니다.
내부 적분은 주파수의 함수입니다. 신호의 스펙트럼 밀도 또는 신호의 주파수 응답이라고 하며 표시됩니다.
일반적으로 적분의 한계는 s(t)가 0이고 적분이 0인 경우 모두 동일하기 때문에 무한대로 설정할 수 있습니다.
스펙트럼 밀도에 대한 표현을 직접 푸리에 변환이라고 합니다. 역 푸리에 변환은 스펙트럼 밀도에서 신호의 시간 함수를 결정합니다.
직접(*) 및 역(**) 푸리에 변환을 집합적으로 한 쌍의 푸리에 변환이라고 합니다. 스펙트럼 밀도 계수 
신호의 진폭-주파수 특성(AFC) 및 해당 인수를 결정합니다. 
신호의 위상 주파수 특성(PFC)이라고 합니다. 신호의 주파수 응답은 짝수 함수이고 위상 응답은 홀수입니다.
모듈의 의미 에스(승)은 관심 주파수를 포함하는 무한히 좁은 주파수 대역에서 1Hz당 신호(전류 또는 전압)의 진폭으로 정의됩니다. 승. 그 차원은 [신호/주파수]입니다.
신호의 에너지 스펙트럼.함수 s(t)가 신호의 푸리에 전력 밀도( 신호 에너지 스펙트럼 밀도)는 다음 식에 의해 결정됩니다.
w(t) = s(t)s*(t) = |s(t)|2 |S()|2 = S()S*() = W(). (5.2.9)
전력 스펙트럼 W()는 일반적으로 에너지 스펙트럼이라고 하는 음이 아닌 짝수 함수입니다. 신호의 스펙트럼 밀도 계수의 제곱인 전력 스펙트럼에는 주파수 성분에 대한 위상 정보가 포함되어 있지 않으므로 전력 스펙트럼에서 신호를 복원하는 것은 불가능합니다. 이것은 또한 위상 특성이 다른 신호가 동일한 전력 스펙트럼을 가질 수 있음을 의미합니다. 특히 신호 이동은 전력 스펙트럼에 영향을 미치지 않습니다. 후자는 식(5.2.7)에서 직접 에너지 스펙트럼에 대한 식을 얻는 것을 가능하게 합니다. 한도에서 동일한 신호 u(t) 및 v(t) 시프트 t 0, 스펙트럼 Wuv()의 허수 부분은 0 값이 되고 실수 부분은 모듈러스 값에 대한 경향이 있습니다. 스펙트럼. 신호의 완전한 시간적 일치를 통해 다음을 얻을 수 있습니다.
저것들. 신호 에너지는 주파수 스펙트럼의 제곱 모듈의 적분(주파수 구성 요소의 에너지 합)과 같으며 항상 실제 값입니다.
임의 신호 s(t)의 경우 등식
일반적으로 Parseval 평등이라고 합니다(수학에서는 Plancherel 정리, 물리학에서는 Rayleigh 공식). 좌표 및 주파수 표현은 본질적으로 동일한 신호의 다른 수학적 표현이기 때문에 평등은 분명합니다. 유사하게 두 신호의 상호 작용 에너지에 대해:
Parseval에서 평등은 푸리에 변환에 대한 신호와 표준의 스칼라 곱의 불변성을 따릅니다.
신호를 기록하고 전송하는 수많은 실제적인 문제에서 신호의 에너지 스펙트럼은 매우 중요합니다. 주기적인 신호는 푸리에 급수의 형태로 스펙트럼 영역으로 변환됩니다. 복소수 형태의 푸리에 급수 형태로 주기 T가 있는 주기 신호를 작성합니다.
간격 0-T는 지수의 모든 피적분의 정수 기간을 포함하며 k \u003d -m의 지수를 제외하고는 0과 같습니다. 단, 적분은 T입니다. 따라서 주기의 평균 거듭제곱 신호는 푸리에 시리즈 계수 모듈의 제곱의 합과 같습니다.
신호의 에너지 스펙트럼 주파수 축에서 비고조파 신호를 구성하는 기본 신호의 에너지 분포입니다. 수학적으로 신호의 에너지 스펙트럼은 스펙트럼 함수 모듈러스의 제곱과 같습니다.
따라서 진폭-주파수 스펙트럼은 주파수 축에 기본 신호 성분의 진폭 집합을 나타내고 위상-주파수 스펙트럼은 위상 집합을 나타냅니다.
스펙트럼 함수의 계수는 종종 진폭 스펙트럼, 그리고 그 주장은 위상 스펙트럼.
또한 스펙트럼 기능을 알고 있는 원래 신호를 복원할 수 있는 역 푸리에 변환이 있습니다.
예를 들어 직사각형 임펄스를 취하십시오.
스펙트럼의 또 다른 예:
나이퀴스트 주파수, Kotelnikov의 정리 .
나이퀴스트 주파수 - 디지털 신호 처리에서 샘플링 주파수의 절반과 동일한 주파수. 해리 나이퀴스트의 이름을 따서 명명되었습니다. Kotelnikov 정리에 따르면 아날로그 신호를 샘플링할 때 신호의 스펙트럼(유용한 신호의 가장 높은 주파수)이 Nyquist 주파수와 같거나 낮은 경우에만 정보 손실이 없습니다. 그렇지 않으면 아날로그 신호를 복원할 때 스펙트럼 "꼬리"(주파수 대체, 주파수 마스킹)가 겹치고 복원된 신호의 모양이 왜곡됩니다. 신호 스펙트럼에 나이퀴스트 주파수 이상의 구성 요소가 없으면 (이론적으로) 샘플링된 다음 왜곡 없이 재구성될 수 있습니다. 사실, 신호의 "디지털화"(아날로그 신호를 디지털 신호로 변환)는 샘플의 양자화와 관련이 있습니다. 각 샘플은 유한 비트 깊이의 디지털 코드 형태로 기록되며, 그 결과 양자화(반올림) 오류는 "양자화 노이즈"로 간주되는 특정 조건에서 샘플에 추가됩니다.
유한 기간의 실제 신호는 항상 무한히 넓은 스펙트럼을 가지며 주파수가 증가함에 따라 다소 빠르게 감소합니다. 따라서 신호의 샘플링은 샘플링 주파수가 아무리 높아도 항상 정보 손실(샘플링 복구 중 파형의 왜곡)로 이어집니다. 선택한 샘플 레이트에서 왜곡을 방지하기 위해 매우 높은 차수의 필터가 필요한 Nyquist 주파수 이상의 아날로그 신호 스펙트럼 성분을 억제함으로써(사전 샘플링된) 왜곡을 줄일 수 있습니다. 이러한 필터의 실제 구현은 필터의 진폭-주파수 특성이 직사각형이 아니라 매끄럽고 통과 대역과 억제 대역 사이에 특정 전이 주파수 대역이 형성되기 때문에 매우 복잡합니다. 따라서 샘플링 속도는 여유를 두고 선택됩니다. 예를 들어 오디오 CD는 44100Hz의 샘플링 속도를 사용하는 반면 오디오 신호 스펙트럼의 최고 주파수는 20000Hz로 간주됩니다. 44100 / 2 - 20000 = 2050Hz의 Nyquist 주파수 마진은 구현되는 저차 필터를 사용할 때 주파수 대체를 방지합니다.
코텔니코프의 정리
왜곡(오차)이 작은 샘플링된 신호에서 원래의 연속 신호를 복원하려면 샘플링 단계를 합리적으로 선택해야 합니다. 따라서 아날로그 신호를 이산 신호로 변환할 때 반드시 샘플링 단계의 크기에 대한 문제가 발생하게 되는데, 직관적으로 다음과 같은 개념을 이해하는 것은 어렵지 않다. 아날로그 신호에 일부 상위 주파수 Fe에 의해 제한된 저주파 스펙트럼이 있는 경우(즉, 함수 u(t)가 진폭의 급격한 변화 없이 완만하게 변화하는 곡선의 형태를 가짐) 이 함수는 다음 기간 동안 크게 변경되지 않을 것입니다. 특정 작은 샘플링 시간 간격 진폭. 샘플 시퀀스에서 아날로그 신호를 복원하는 정확도는 샘플링 간격의 값에 따라 달라지는 것이 분명합니다.짧을수록 u(t) 함수가 샘플을 통과하는 부드러운 곡선과 덜 다릅니다. 포인트들. 그러나 샘플링 간격이 감소함에 따라 처리 장비의 복잡성과 볼륨이 크게 증가합니다. 샘플링 간격이 충분히 크면 아날로그 신호가 복원될 때 정보가 왜곡되거나 손실될 확률이 높아집니다. 이산화 간격의 최적 값은 Kotelnikov 정리에 의해 설정됩니다(다른 이름은 샘플링 정리, K. Shannon 정리, X. Nyquist 정리입니다. 정리는 O. Cauchy가 수학에서 처음 발견한 다음 D. Carson 및 R. Hartley), 1933년에 그에 의해 증명 참조 값.
Kotelnikov 정리의 가장 유명하고 간단한 해석 중 하나에 따르면 스펙트럼이 특정 주파수 Fe에 의해 제한되는 임의 신호 u(t)는 다음과 같은 참조 값 시퀀스에서 완전히 복원될 수 있습니다. 시간 간격
샘플링 간격 및 주파수 Fe(1)는 종종 무선 공학에서 각각 간격 및 나이퀴스트 주파수라고 합니다. 분석적으로 Kotelnikov 정리는 시리즈로 표현됩니다. 
여기서 k는 샘플 번호입니다. - 기준점에서의 신호 값 - 신호 스펙트럼의 상위 주파수.
이산 신호의 주파수 표현 .
대부분의 신호는 푸리에 급수로 나타낼 수 있습니다.
