6.1. 여러 변수의 함수의 극한과 연속성.
아르 자형 N – 미터법 공간:
을 위한 중 0 (엑스, 엑스,…, 엑스) 그리고 중(엑스 1 , 엑스 2 , …, 엑스 N) ( 중 0 , 중) = .
N= 2: for 중 0
(엑스 0 ,
와이 0),
중
(엑스,
와이)
( 중 0 ,
중)
=
.
포인트 주변 중 0 유 (중 0) = – 중심이 있는 반경 원의 내부 지점 중 0 .
6.1.1. 여러 변수의 함수의 한계. 반복 제한.
에프: 아르 자형 N 아르 자형포인트의 일부 지역에 제공됩니다. 중 0, 어쩌면 포인트 자체를 제외하고 중 0 .
정의.숫자 ㅏ~라고 불리는 한계기능
에프(엑스 1 , 엑스 2 , …, 엑스 N) 시점에서 중 0이면 >0 >0 중 (0 < (중 0 , 중 ) < | 에프 (중 ) – ㅏ |< ).
에프 
녹음 형식: 
N
= 2: 
이것 이중 한도.
포인트 이웃의 언어로:
>0 >0 중 (엑스 , 와이 ) (중 유 (중 0 )\ 중 0 에프 (엑스 , 와이 ) 유 (ㅏ )).
(중다가오고 있을지도 모른다 중모든 경로에서 0).
반복 제한:
그리고 
.
(중접근 중가로, 세로 각각 0).
이중 극한과 반복 극한 사이의 연결에 관한 정리.
이중 제한인 경우 
그리고 한도 
,
,
그런 다음 반복 제한 
,
두 배와 같습니다.
참고 1.그 반대의 진술은 사실이 아닙니다.
예.
에프
(엑스,
와이)
=
,
.
그러나 이중 한도는
=
존재하지 않습니다. 왜냐하면 (0, 0) 지점 근처에서 함수는 0에서 "먼" 값을 취하기 때문입니다. 예를 들어 다음과 같습니다. 엑스 = 와이, 저것 에프 (엑스, 와이) = 0,5.
노트 2.설사 ㅏ아르 자형: 에프 (엑스, 와이) ㅏ
운전할 때 중에게 중임의의 직선을 따라 0이면 이중 한계가 존재하지 않을 수 있습니다.
예.에프
(엑스,
와이)
=
,중 0
(0, 0). 중
(엑스,
와이)
중 0
(0, 0)
결론: (이중) 한계는 존재하지 않습니다.
한계를 찾는 예.
에프
(엑스,
와이)
=
, 중 0
(0, 0).
숫자 0이 해당 점에서 함수의 극한임을 보여드리겠습니다. 중 0 .
=
,
– 점 사이의 거리 중그리고 중 0 .(부등식 사용 
,
불평등에 따른 결과 
)
> 0으로 설정하고 = 2로 설정하겠습니다. <
6.1.2. 여러 변수의 함수의 연속성.
정의.
에프
(엑스,
와이)는 점에서 연속이다 중 0
(엑스 0 ,
와이 0) 일부에서 정의된 경우 유 (중 0) 그리고 
,티. e.>0 >0 중
(0 < (중 0 ,
중)
<
|
에프
(중)
– 에프
(중 0)|<
).
논평.함수는 점을 통과하는 일부 방향을 따라 연속적으로 달라질 수 있습니다. 중 0이며 다른 방향이나 다른 모양의 경로를 따라 불연속성이 있습니다. 그렇다면 그 시점에서 불연속이다. 중 0 .
6.1.3. 여러 변수의 함수 극한의 속성입니다. 한 지점에서 연속적인 함수의 속성입니다.
발생 한계의 고유성;
한 점에서 유한한 한계를 갖는 함수 중 0 , 이 지점 근처에 국한되어 있음; 실시되고 있습니다 순서 및 대수 속성한계
한계까지의 통과 등호와 약한 불평등을 보존합니다..
함수가 해당 지점에서 연속인 경우 중 0과 에프 (중 0 ) 0 , 저것 의미 표시에프 (중 )는 보존된다일부에서는 유 (중 0).
합계, 곱, 몫(분모 0) 연속 함수도 연속 기능, 연속 복소 함수, 연속적인 것으로 구성됩니다.
6.1.4. 연결된 닫힌 경계 집합에서 연속적인 함수의 속성입니다.N= 1, 2, 3.
정의 1.집합 는 다음과 같다. 일관성 있는, 만약 두 개의 점과 함께 그들을 연결하는 연속적인 곡선이 포함되어 있는 경우.
정의 2.를 설정하세요 아르 자형 N~라고 불리는 제한된, 어떤 "공"에 포함되어 있는 경우 
.
N
= 1
N
= 2 
N = 3 .
예연결된 닫힌 경계 집합.
아르 자형 1 = 아르 자형: 선분 [ ㅏ, 비];
아르 자형 2: 세그먼트 AB점에서 끝이 있는 연속 곡선 ㅏ그리고 안에;
닫힌 연속 곡선;
원 
;
정의 3. 에프: 아르 자형 N 아르 자형연결된 닫힌 집합에서 연속이다 아르 자형 N, 만약 중 0
.
정리.한 무리의가치연속 함수
에프: 아르 자형 N 아르 자형닫힌 경계 연결 집합에는 세그먼트가 있습니다. [ 중 , 중 ] , 여기 중 - 최소, ㅏ 중 - 가장 위대한세트 포인트의 값.
따라서, 닫힌 경계 연결 세트에서아르 자형 N 연속 함수는 유계이고 가장 작은 값, 가장 큰 값 및 모든 중간 값을 취합니다.
| " |
위에서 논의된 2개 또는 3개 변수의 함수 개념은 변수의 경우로 일반화될 수 있다.
정의.기능 
변수 
함수라고 불리는 정의 영역 
속하는 
, 값의 범위는 실제 축입니다.
각 변수 세트에 대한 이러한 함수 
~에서 
단수와 일치 
.
다음에서는 명확성을 위해 기능을 고려할 것입니다. 
그러나 그러한 함수에 대해 공식화된 모든 진술은 더 많은 수의 변수로 구성된 함수에 대해 그대로 유지됩니다.
정의.숫자 
함수의 극한이라고 부른다
그 시점에 
, 각각에 대해 
그런 숫자가 있어요 
그건 모두들 앞에서 
동네에서 
, 이 점을 제외하면 부등식은 성립합니다.
.
기능의 한계인 경우 
그 시점에 
같음 
, 이는 다음 형식으로 표시됩니다.
.
이전에 한 변수의 함수에 대해 고려한 극한의 거의 모든 속성은 여러 변수의 함수에 대한 극한에 대해 유효하지만 이러한 극한의 실제 결정을 다루지는 않습니다.
정의.기능 
한 지점에서 연속이라고 불림 
세 가지 조건이 충족되는 경우:
1) 존재한다 
2) 해당 지점에 함수의 값이 있습니다. 
3) 이 두 숫자는 서로 같습니다. .
실제로 다음 정리를 사용하여 함수의 연속성을 연구할 수 있습니다.
정리.모든 기본 기능 
정의 영역의 모든 내부(즉, 경계가 아닌) 지점에서 연속적입니다.
예.함수가 작동하는 모든 지점을 찾아봅시다.
마디 없는.
위에서 언급했듯이 이 함수는 닫힌 원으로 정의됩니다.
.
이 원의 내부 점은 원하는 함수 연속점입니다. 기능 
열린 원에서 연속 
.
정의 영역의 경계점에서 연속성 개념 정의 
기능은 가능하지만 이 과정에서는 이 문제에 대해 논의하지 않습니다.
1.3 부분증분과 부분도함수
단일 변수의 함수와 달리 여러 변수의 함수에는 다양한 증분 유형이 있습니다. 이는 비행기의 움직임 때문입니다. 
지점에서 
다양한 방향으로 진행될 수 있습니다.
정의.부분적으로 증가 
기능 
그 시점에 
해당 증분 
차이라고 불리는
이 증분은 본질적으로 하나의 변수에 대한 함수의 증분입니다. 
함수에서 얻은 
일정한 값으로 
.
마찬가지로 부분 증분으로
그 시점에 
기능 
해당 증분 
차이라고 불리는
이 증분은 고정된 값으로 계산됩니다. 
.
예.허락하다 
,
,
. 이 함수의 부분 증분을 다음과 같이 찾아보겠습니다. 
그리고 
이 예에서는 인수 증분 값이 동일합니다. 
그리고 
, 함수의 부분적 증가가 다른 것으로 나타났습니다. 이는 변이 있는 직사각형의 면적이 
그리고 
면을 늘릴 때 
~에 
금액만큼 증가 
, 그리고 증가하는 측면에서 
~에 
증가 
(그림 4 참조).
두 변수의 함수가 두 가지 유형의 증분을 갖는다는 사실로부터 두 가지 유형의 도함수를 정의할 수 있습니다.
정의. 부분도함수 
기능 
그 시점에 
부분 증분 비율의 한계라고 합니다. 
이 함수의 지정된 지점에서 증분 
논쟁 
저것들.
.
(1)
이러한 부분 파생 상품은 기호로 표시됩니다. 
,
,
,
. 후자의 경우 둥근 글자 “ 
”
– “
”는 “비공개”라는 단어를 의미합니다.
마찬가지로, 에 대한 편도함수는 
그 시점에 
한계를 사용하여 결정
.
(2)
이 편미분에 대한 다른 표기법: 
,
,
.
함수의 부분 도함수는 한 변수의 함수를 미분하는 알려진 규칙에 따라 구해지는 반면, 함수를 미분하는 변수를 제외한 모든 변수는 상수로 간주됩니다. 그래서 당신이 찾을 때 
변하기 쉬운 
상수로 간주되며 발견되면 
- 끊임없는 
.
예.함수의 편도함수를 구해보자 
.
,
.
예.세 변수의 함수의 편도함수를 찾아봅시다
.
;
;
.
편도함수 
변수 중 하나가 고정된 경우 이 함수의 변화율을 특성화합니다.
경제학의 예.
소비이론의 주요 개념은 효용함수이다. 
. 이 함수는 집합의 유용성을 표현합니다. 
, 여기서 x는 제품 X의 수량이고, y는 제품 Y의 수량입니다. 그런 다음 편도함수는 
를 각각 x와 y의 한계효용이라고 합니다. 한계대체율 
한 재화 대 다른 재화는 한계효용의 비율과 같습니다.
.
(8)
문제 1. 점 A(3,12)에서 효용함수에 대한 한계대체율 h를 y로 구합니다.
해결책:공식 (8)에 따라 우리는 다음을 얻습니다.
한계 대체율의 경제적 의미는 공식의 입증에 있습니다. 
, 어디 
-제품 X의 가격, 
- 상품 가격 U.
정의.기능의 경우 
편도함수가 있고, 그 편미분은 다음과 같습니다.
그리고 
여기 
그리고 
.
편미분은 두 변수의 함수에서 얻은 한 변수의 함수의 미분입니다. 
고정된 
또는 
.
경제학의 예. Cobb-Douglas 함수를 예로 들어보겠습니다.
크기 
- 평균 노동 생산성. 이는 한 근로자가 생산하는 제품의 양(가치 기준)이기 때문입니다.
크기 
- 평균 자본 생산성 - 기계당 제품 수.
크기 
- 평균 자본-노동 비율 - 노동 자원 단위당 자금 비용.
따라서 부분 도함수 
노동의 한계생산성이라고 불리는 이유는 노동자 한 명이 추가로 생산한 생산량의 부가가치와 같기 때문이다.
비슷하게, 
- 한계 자본 생산성.
경제학에서는 종종 다음과 같은 질문을 합니다. 근로자 수가 1% 증가하거나 자금이 1% 증가하면 생산량은 몇 퍼센트만큼 변경됩니까? 이러한 질문에 대한 답은 인수 또는 상대 도함수에 대한 함수의 탄력성 개념으로 제공됩니다. 노동에 대한 생산량의 탄력성을 구하라 
. 위에서 계산한 편도함수를 분자에 대입하면 
, 우리는 얻는다 
. 그래서 매개변수는 
이는 분명한 경제적 의미를 갖고 있습니다. 이는 노동에 대한 생산량의 탄력성입니다.
매개변수는 비슷한 의미를 갖습니다. 
자금 전반에 걸친 생산량의 탄력성입니다.
여러 변수의 함수 정의. 기본 개념.
어떤 규칙에 따라 특정 집합에서 서로 독립적인 각 숫자 쌍(x, y)이 변수 z의 하나의 값과 연관되어 있으면 이를 호출합니다. 두 변수의 함수. z=f(x,y,)
함수 z의 영역- 함수 z가 존재하는 쌍(x, y)의 집합입니다.
함수의 값 집합(값 범위)은 함수가 해당 정의 영역에서 사용하는 모든 값입니다.
2의 함수 그래프변수 - 좌표가 방정식 z=f(x,y)를 만족하는 점 P의 집합
반경 r인 점 M0(x0;y0)의 근방– 조건을 만족하는 모든 점(x,y)의 집합< r
여러 변수의 함수 정의 영역 및 값 범위. 여러 변수의 함수 그래프.
여러 변수의 함수의 극한과 연속성.
여러 변수의 함수의 한계
여러 변수의 함수의 극한 개념을 제공하기 위해 우리는 두 변수의 경우로 제한합니다. 엑스그리고 ~에. 정의에 따르면, 기능 에프(x,y)지점에 한도가 있습니다( 엑스 0 , ~에 0), 숫자와 동일 ㅏ, 다음과 같이 표시됩니다.
(1)
(그들도 쓴다 에프(x,y)→ㅏ~에 (x, y)→ (엑스 0 , ~에 0)), 점의 일부 인근에 정의된 경우( 엑스 0 , ~에 0), 아마도 이 시점 자체와 제한이 있는 경우를 제외하고
(2)
어떤 경향이 있든 ( 엑스 0 , ~에 0) 일련의 점 ( xk,yk).
단일 변수 함수의 경우와 마찬가지로 두 변수 함수의 극한에 대한 또 다른 동등한 정의가 도입될 수 있습니다. 에프지점에 있습니다 ( 엑스 0 , ~에 0) 다음과 같은 한계 ㅏ, 포인트 근처에 정의된 경우( 엑스 0 , ~에 0) 아마도 이 점 자체와 ε > 0에 대해 다음과 같은 δ > 0이 있는 경우는 제외됩니다.
| 에프(x,y) – ㅏ| < ε (3)
모든 (x, y), 부등식을 만족
0 < 
< δ. (4)
이 정의는 결국 다음과 동일합니다: 임의의 ε > 0에 대해 점의 δ-이웃이 있습니다( 엑스 0 , ~에 0) 모든 사람에게 ( 엑스, 와이) 이 동네에서, (와는 다르게) 엑스 0 , ~에 0), 부등식 (3)이 만족됩니다.
임의의 점의 좌표( 엑스, 와이) 점의 근방 ( 엑스 0 , ~에 0) 다음과 같이 쓸 수 있다. x = x 0 + Δ 엑스, 와이 = 와이 0 + Δ ~에이면 동등(1)은 다음 동등과 동일합니다.
점 근처에 정의된 일부 함수를 고려해 보겠습니다( 엑스 0 , ~에 0) 아마도 이 지점 자체를 제외하고 말이죠.
Ω = (Ω 엑스, ω ~에) – 길이가 1인 임의의 벡터(|Ω| 2 = Ω 엑스 2 + Ω ~에 2 = 1) 그리고 티> 0 – 스칼라. 관점
(엑스 0 + 티ω 엑스, 와이 0 + 티ω ~에) (0 < 티)
(에서 나오는 광선을 형성합니다. 엑스 0 , ~에 0) 벡터 Ω의 방향으로. 각 Ω에 대해 다음 함수를 고려할 수 있습니다.
에프(엑스 0 + 티ω 엑스, 와이 0 + 티ω ~에) (0 < 티< δ)
스칼라 변수에서 티, 여기서 δ는 상당히 작은 숫자입니다.
이 함수의 한계(변수 1개) 티)
에프(엑스 0 + 티ω 엑스, 와이 0 + 티ω ~에),
존재한다면 한계라고 부르는 것이 당연하다. 에프지점에서 ( 엑스 0 , ~에 0) Ω 방향으로.
예시 1.기능
평면에 정의됨( 엑스, 와이) 그 점을 제외하고 엑스 0 = 0, ~에 0 = 0. 우리는 (다음을 고려하십시오) 
그리고 
):
(ε > 0인 경우 δ = ε/2로 설정하고 | 에프(x,y)| < ε, если < δ).
서로 다른 방향의 점 (0, 0)에서의 한계 Φ가 일반적으로 다르다는 것이 분명합니다(광선의 단위 벡터 y = kx, 엑스> 0, 다음과 같은 형식을 갖습니다.
).
숫자 ㅏ함수의 극한이라고 부른다 에프(엠)~에 중 → 중임의의 숫자 ε > 0에 대해 항상 숫자 δ > 0이 있으면 0입니다. 중, 와는 다르다 중 0이고 조건을 만족함 | MM 0 | < δ, будет иметь место неравенство |에프(엠) – ㅏ | < ε.
한계 표시 
두 변수의 함수의 경우 
정리를 제한하십시오.기능의 경우 에프 1 (중)그리고 에프 2 (중)~에 중 → 중 0은 각각 유한한 한계를 갖는 경향이 있으며 다음과 같습니다.
V) 
여러 변수의 함수의 연속성
정의에 따르면, 기능 에프(x,y)는 점( 엑스 0 , ~에 0), 지점 자체를 포함하여 일부 인근 지역에서 정의된 경우( 엑스 0 , ~에 0) 그리고 한도인 경우 에프(x,y)이 시점에서의 값은 다음과 같습니다.
(1)
연속성 조건 에프지점에서 ( 엑스 0 , ~에 0)은 다음과 같은 형식으로 쓸 수 있습니다.
(1")
저것들. 기능 에프는 점( 엑스 0 , ~에 0) 함수가 연속인 경우 에프(엑스 0 + Δ 엑스, ~에 0 + Δ 와이)변수 Δ에 대해 엑스, Δ ~에Δ에서 엑스 = Δ 와이 = 0.
증분 Δ를 입력할 수 있습니다. 그리고기능 그리고 = 에프(x,y)그 시점에 (x, y), 증분 Δ에 해당 엑스, Δ ~에인수
Δ 그리고 = 에프(엑스 + Δ 엑스, ~에 + Δ 와이) – 에프(x,y)
이 언어로 연속성을 정의합니다. 에프 V (x, y): 기능 에프한 지점에서 연속 (x, y), 만약에
(1"")
정리.한 점에서 연속의 합, 차이, 곱 및 몫( 엑스 0 ,~에 0) 기능 에프그리고 ψ는 이 시점에서 연속 함수입니다. 단, 물론 몫 ψ( 엑스 0 , ~에 0) ≠ 0.
끊임없는 와 함께함수로 간주될 수 있다 에프(x,y) = 와 함께변수에서 x,y. 이 변수에서는 연속적이므로
|에프(x,y) – 에프 (엑스 0 , ~에 0) | = |봄 여름 시즌| = 0 0.
그다음으로 어려운 기능은 에프(x,y) = 엑스그리고 에프(x,y) = ~에. 그들은 또한 다음의 기능으로 간주될 수 있습니다. (x, y), 동시에 연속적입니다. 예를 들어, 함수 에프(x,y) = 엑스각 포인트와 일치 (x, y)다음과 같은 숫자 엑스. 임의의 지점에서 이 기능의 연속성 (x, y)다음과 같이 증명할 수 있습니다.
| 에프(엑스 + Δ 엑스, ~에 + Δ 와이) – 에프(x,y) | = |에프(엑스 + Δ x) - x| = | Δ 엑스 | ≤ 0.
과잉기능을 생산하는 경우 엑스, 와이그리고 유한수에서 덧셈, 뺄셈, 곱셈의 지속적인 동작을 통해 다항식이라는 함수를 얻을 수 있습니다. 엑스, 와이. 위에서 공식화된 속성을 기반으로 변수의 다항식 엑스, 와이– 모든 점에 대한 이러한 변수의 연속 함수 (x, y) 아르 자형 2 .
태도 P/Q두 개의 다항식 (x, y)의 합리적인 함수이다 (x,y), 분명히 모든 곳에서 연속적입니다. 아르 자형 2, 포인트 제외 (x, y), 어디 Q(x, y) = 0.
피(x,y) = 엑스 3 – ~에 2 + 엑스 2 ~에 – 4
다항식의 예가 될 수 있습니다 (x, y) 3도 및 기능
피(x,y) = 엑스 4 – 2엑스 2 ~에 2 +~에 4
다항식의 예가 있습니다 (x, y) 4급.
연속 함수의 함수의 연속성을 나타내는 정리의 예를 들어 보겠습니다.
정리.기능을 보자 f(x, y, z)한 지점에서 연속 (엑스 0 , y 0 , z 0 ) 공간 아르 자형 3 (포인트 (x, y, z)) 및 기능
엑스 = φ (유, v), y= ψ (유, v), z= χ (유, v)
한 지점에서 연속 (유 0 ,V 0 ) 공간 아르 자형 2 (포인트 (유, v)). 게다가,
엑스 0 = φ (유 0 ,V 0 ), 예 0 = ψ (유 0 ,V 0 ), z 0 = χ (유 0 ,V 0 ) .
그런 다음 기능 F(유, v) = f[ φ (유, v),ψ (유, v),χ (유, v)]는 연속적이다(
(유, v)) 시점에서 (유 0 ,V 0 ) .
증거. 극한의 부호는 연속함수의 특성 부호 아래에 놓일 수 있으므로,
정리.기능 에프(x,y), 점에서 연속 ( 엑스 0 , ~에 0) 이 시점에서 0이 아니며 숫자의 부호를 유지합니다. 에프(엑스 0 , ~에 0) 지점의 일부 인근 지역( 엑스 0 , ~에 0).
정의에 따르면, 기능 에프(엑스) = 에프(엑스 1 , ..., xp)한 지점에서 연속 엑스 0 =(엑스 0 1 , ..., 엑스 0 피), 지점 자체를 포함하여 일부 인근 지역에 정의된 경우 엑스 0, 한계가 해당 지점에 있는 경우 엑스 0은 그 값과 같습니다.
(2)
연속성 조건 에프그 시점에 엑스 0은 동일한 형식으로 작성할 수 있습니다.
(2")
저것들. 기능 에프엑스(f(x))한 지점에서 연속 엑스함수가 연속인 경우 0 에프(엑스 0 +시간)~에서 시간그 시점에 시간 = 0.
증분을 입력할 수 있습니다. 에프그 시점에 엑스 0은 증분에 해당 시간 = (시간 1 , ..., h p),
Δ hf(x 0 ) = 에프(엑스 0 + 시간) – 에프(엑스 0 )
그리고 그의 언어로 연속성을 정의합니다 에프 V 엑스 0: 기능 에프계속해서 엑스 0이면
정리.한 점에서 연속되는 합, 차이, 곱 및 몫 엑스 0개의 기능 에프엑스(f(x))그리고 ∅ (엑스)는 이 시점에서 연속 함수입니다. 물론 특정 ψ의 경우 (엑스 0 ) ≠ 0.
논평. 증분 Δ hf(x 0 ) 함수의 완전한 증가라고도 함 에프그 시점에 엑스 0 .
우주에서 Rn포인트들 엑스 = (엑스 1 , ..., xp)포인트를 설정해 봅시다 G.
우선순위 엑스 0 = (엑스 0 1 , ..., 엑스 0 피)세트의 내부 포인트입니다 G, 중심이 있는 열린 공이 있으면 완전히 다음에 속합니다. G.
한 무리의 G Rn모든 점이 내부에 있으면 개방형이라고 합니다.
기능이 있다고 하더군요
엑스 1 = Φ1 (티), ..., xn =φ 피(티) (a ≤ t ≤ b)
세그먼트에서 연속 [ ㅏ, 비]에서 연속 곡선을 정의합니다. Rn, 포인트를 연결 엑스 1 = (엑스 1 1 , ..., 엑스 1 피)그리고 엑스 2 = (엑스 2 1 , ..., 엑스 2 피), 어디 엑스 11 = Φ1 (ㅏ), ..., 엑스 1 n =φ 아빠), 엑스 2 1 = Φ 1 (비), ..., 엑스 2 n =φ 피(b). 편지 티곡선 매개변수라고 합니다.
비행기와 시스템을 고려해보세요 옥시 직교 직각 좌표(다른 좌표계를 고려할 수 있음)
분석기하학을 통해 우리는 각 순서쌍의 숫자에 대해 다음을 알 수 있습니다. (x, y) 단일 지점을 비교할 수 있습니다 중 평면 또는 그 반대로, 각 지점으로 중 평면은 단일 숫자 쌍에 해당합니다.
따라서 앞으로는 어떤 점에 대해 말할 때 해당 숫자 쌍을 의미하는 경우가 많습니다. (x, y) 그 반대.
정의 1.2 숫자 쌍의 집합 (x, y) 부등식을 만족하는 을 직사각형(열린형)이라고 합니다.
평면에서는 측면이 좌표축과 평행하고 점을 중심으로 하는 직사각형(그림 1.2)으로 표시됩니다. 중 0 (엑스 0 와이 0 ) .
직사각형은 일반적으로 다음 기호로 표시됩니다.
추가 논의를 위해 중요한 개념인 한 점의 이웃을 소개하겠습니다.
정의 1.3 직사각형 δ -주변( 델타 지역 ) 포인트들 중 0 (엑스 0 와이 0 ) 직사각형이라고 불리는
한 점을 중심으로 중 0 그리고 변의 길이가 같은 경우 2δ .
정의 1.4 원형 δ - 점 근처 중 0 (엑스 0 와이 0 ) 반경의 원이라고 불림 δ 한 점을 중심으로 중 0 , 즉 점의 집합 M(xy) , 그 좌표는 부등식을 만족합니다:
이웃과 다른 유형의 개념을 도입할 수 있지만 기술적인 문제에 대한 수학적 분석의 목적으로는 주로 직사각형과 원형 이웃만 사용됩니다.
두 변수의 함수의 극한에 대한 다음 개념을 소개하겠습니다.
기능을 보자 z = f(x, y) 일부 영역에서 정의됨 ζ 그리고 중 0 (엑스 0 와이 0 ) - 이 영역의 내부 또는 경계에 있는 지점.
정의 1.5유한수 ㅏ ~라고 불리는 함수 f(x, y)의 극한 ~에
양수인 경우 ε 그런 양수를 찾을 수 있나요 δ 그 불평등
모든 포인트에 대해 수행됨 남(x,y) 지역 출신 ζ , 와는 다르다 중 0 (엑스 0 와이 0 ) , 그 좌표는 부등식을 만족합니다:
이 정의의 의미는 함수의 값이 에프(x, y) 지점의 충분히 작은 이웃에 있는 지점에서 숫자 A와 원하는 만큼 차이가 나지 않습니다. 중 0 .
여기서 정의는 직사각형 이웃을 기반으로 합니다. 중 0 . 지점의 원형 이웃을 고려할 수 있습니다. 중 0 그러면 불평등을 요구해야 할 것입니다.
모든 지점에서 남(x,y) 지역 ζ , 와는 다르다 중 0 조건을 충족합니다.
점 사이의 거리 중 그리고 중 0 .
다음 제한 지정이 사용됩니다.
두 변수 함수의 극한에 대한 정의가 주어지면, 우리는 한 변수 함수의 극한에 대한 기본 정리를 두 변수 함수로 확장할 수 있습니다.
예를 들어, 두 함수의 합, 곱, 몫의 극한에 관한 정리입니다.
§3 두 변수 함수의 연속성
기능을 보자 z = f(x,y) 지점에서 정의됨 중 0 (엑스 0 와이 0 ) 그리고 그 주변.
정의 1.6 함수는 한 점에서 연속적이라고 합니다. 중 0 (엑스 0 와이 0 ) , 만약에
기능의 경우 에프(x,y) 한 지점에서 연속 중 0 (엑스 0 와이 0 ) , 저것
왜냐하면
즉, 함수의 경우 에프(x,y) 한 지점에서 연속 중 0 (엑스 0 와이 0 ) , 이 영역에서 인수의 극소 증분은 극소 증분에 해당합니다. Δz 기능 지 .
그 반대도 마찬가지입니다. 인수의 극소 증가가 함수의 극소 증가와 일치하면 함수는 연속입니다.
정의역의 모든 점에서 연속인 함수를 정의역에서 연속이라고 합니다. 두 변수의 연속 함수와 구간에서 연속적인 하나의 변수 함수의 경우 Weierstrass와 Bolzano-Cauchy의 기본 정리가 유효합니다.
참고 자료: Karl Theodor Wilhelm Weierstrass(1815 - 1897) - 독일 수학자. 베르나르 볼차노(1781 - 1848) - 체코 수학자이자 철학자. 오귀스탱 루이 코시(1789 - 1857) - 프랑스 수학자, 프랑스 과학 아카데미 회장(1844 - 1857).
예제 1.4. 함수의 연속성 검사
이 함수는 변수의 모든 값에 대해 정의됩니다. 엑스 그리고 와이 , 분모가 0이 되는 원점을 제외하고.
다항식 엑스 2 +y 2 는 모든 곳에서 연속이므로 연속함수의 제곱근은 연속입니다.
분수는 분모가 0인 점을 제외한 모든 곳에서 연속입니다. 즉, 고려 중인 함수는 전체 좌표 평면에서 연속적입니다. 오오 , 원산지는 제외합니다.
예제 1.5. 함수의 연속성 검사 z=tg(x,y) . 접선은 양의 홀수와 같은 값을 제외하고 인수의 모든 유한 값에 대해 정의되고 연속적입니다. π/2 , 즉. 점을 제외하고
모든 고정에 대해 "케이" 방정식 (1.11)은 쌍곡선을 정의합니다. 따라서 고려 중인 함수는 연속 함수입니다. x와 y , 곡선 위에 있는 점은 제외합니다(1.11).
두 변수의 함수의 한계.
솔루션의 개념과 예시
주제에 대한 세 번째 강의에 오신 것을 환영합니다. FNP, 모든 두려움이 마침내 실현되기 시작한 곳 =) 많은 사람들이 의심하는 것처럼 한계의 개념은 임의의 수의 인수의 함수로 확장되며, 이것이 오늘 우리가 알아내야 하는 것입니다. 그러나 낙관적인 소식도 있습니다. 이는 그 한계가 어느 정도 추상적이며 해당 작업이 실제로 극히 드물다는 사실로 구성됩니다. 이와 관련하여 우리의 관심은 두 변수의 함수의 한계에 초점을 맞출 것입니다. 또는 우리가 더 자주 작성하는 것처럼: .
많은 아이디어, 원리 및 방법은 "일반적인" 한계의 이론 및 실제와 유사합니다. 이 순간당신은해야합니다 한계를 찾을 수 있다가장 중요한 것은 그것이 무엇인지 이해하는 것입니다. 하나의 변수에 대한 함수의 한계. 그리고 운명이 당신을 이 페이지로 데려왔기 때문에 아마도 당신은 이미 많은 것을 이해하고 알고 있을 것입니다. 그렇지 않더라도 괜찮습니다. 모든 공백은 실제로 몇 시간, 심지어 몇 분 안에 채워질 수 있습니다.
이 수업의 사건은 우리의 3차원 세계에서 일어나기 때문에 거기에 적극적으로 참여하지 않는 것은 단순히 큰 누락이 될 것입니다. 먼저, 잘 알려진 것을 만들어 봅시다. 공간의 직교 좌표계. 일어나서 방 안을 조금 걸어보자... ...당신이 걷는 바닥은 평면이다. 방해가 되지 않도록 축을 어딘가에 배치해 봅시다. 예를 들어 어느 구석에나 말이죠. 엄청난. 이제 고개를 들어 담요가 거기에 펼쳐져 있다고 상상해 보십시오. 이것 표면, 함수에 의해 주어진. 이해하기 쉬운 것처럼 바닥에서의 우리 움직임은 독립 변수의 변화를 모방하며 담요 아래에서만 독점적으로 움직일 수 있습니다. V 두 변수의 함수 정의 영역. 하지만 재미는 이제 막 시작되었습니다. 작은 바퀴벌레가 코끝 바로 위의 담요 위를 기어다니고 있고, 어디를 가든지 기어다닙니다. 그를 프레디라고 부르자. 움직임은 해당 기능 값의 변화를 시뮬레이션합니다. (표면이나 그 조각이 평면과 평행하고 높이가 변하지 않는 경우는 제외). 프레디라는 독자 여러분, 화를 내지 마십시오. 이것은 과학에 필요합니다.
손에 송곳을 들고 임의의 지점에 담요를 뚫습니다. 그 높이는 로 표시됩니다. 그런 다음 도구를 구멍 아래의 바닥에 엄격하게 붙일 것입니다. 이것이 요점이 될 것입니다. 이제 시작해보자 무한히 가까운특정 지점에 접근 
, 우리는 모든 궤적을 따라 접근할 권리가 있습니다 (물론 각 항목은 정의 영역에 포함됩니다). 모든 경우에 프레디가 무한히 가까운구멍이 뚫린 곳의 높이와 정확히 이 높이까지 기어가면 함수는 다음 지점에서 제한을 갖습니다. 
:
지정된 조건에서 피어싱 지점이 담요 가장자리에 있으면 한계가 여전히 존재합니다. 임의로 작은 동네송곳의 끝은 적어도 함수 정의 영역의 일부 지점이었습니다. 게다가 저번의 경우와 마찬가지로 하나의 변수에 대한 함수의 한계, 상관없어, 함수가 특정 지점에서 정의되었는지 여부. 즉, 껌으로 구멍을 봉할 수 있습니다. (그렇게 생각해 두 변수의 함수는 연속이다) 그리고 이것은 상황에 영향을 미치지 않을 것입니다. 우리는 한계의 본질이 의미한다는 것을 기억합니다 무한히 가까운 근사, 특정 지점에 대한 "정확한 접근 방식"이 아닙니다.
그러나 구름없는 삶은 남동생과 달리 한계가 훨씬 더 자주 존재하지 않는다는 사실로 인해 가려집니다. 이는 일반적으로 비행기의 특정 지점으로 가는 경로가 많고 각 경로가 Freddy를 구멍이 있는 곳으로 엄격하게 유도해야 하기 때문입니다. (선택 사항 "츄잉껌으로 밀봉")그리고 엄격하게 높이까지. 그리고 똑같이 기괴한 불연속성을 지닌 기괴한 표면이 너무 많아 어떤 지점에서는 이 엄격한 조건을 위반하게 됩니다.
정리하자 가장 간단한 예- 손에 칼을 쥐고, 뚫린 부분이 절단선에 오도록 담요를 잘라주세요. 한도가 있으니 참고하세요 
여전히 존재하지만 유일한 것은 이 영역이 절단선 아래의 지점으로 "빠져나갔기" 때문에 우리가 절단선 아래 지점으로 들어갈 권리를 잃었다는 것입니다. 기능 영역. 이제 담요의 왼쪽 부분을 축을 따라 조심스럽게 들어 올리고, 반대로 오른쪽 부분을 아래로 이동하거나 그대로 두세요. 무엇이 바뀌었나요? 다음 사항은 근본적으로 변경되었습니다. 이제 왼쪽 지점에 접근하면 Freddy는 오른쪽 특정 지점에 접근할 때보다 더 높은 고도에 있게 됩니다. 따라서 제한이 없습니다.
그리고 물론 놀라운 한계그들이 없었다면 우리는 어디에 있었을까요? 모든 면에서 유익한 예를 살펴보겠습니다.
실시예 11
우리는 표준 인공 기술을 사용하여 구성하는 매우 친숙한 삼각법 공식을 사용합니다. 첫 번째 놀라운 한계 :
극좌표로 넘어가겠습니다.
그렇다면
해결책은 자연스러운 결과를 향해 나아가는 것처럼 보이고 문제를 예고하는 것은 아무것도 없지만 결국에는 심각한 결함을 만들 위험이 큽니다. 그 성격은 이미 예제 3에서 조금 암시하고 자세히 설명했습니다. 예 6 이후. 먼저 결말, 그 다음 주석:
단순히 "무한대" 또는 "더하기 무한대"라고 쓰는 것이 왜 나쁜지 알아봅시다. 분모를 살펴보겠습니다. 이후 , 극 반경은 다음과 같은 경향이 있습니다. 극소의양수 값: . 게다가, . 따라서 분모의 부호와 전체 극한은 코사인에만 의존합니다.
, 극각인 경우 (두 번째 및 세 번째 좌표 분기: );
, 극각인 경우 (첫 번째 및 네 번째 좌표 분기: ).
기하학적으로 이는 왼쪽에서 원점에 접근하면 함수에 의해 정의된 표면이 된다는 것을 의미합니다. 
, 무한대로 확장됩니다. 
