무한 적분에서 변수를 변경하는 방법인 일반적인 경우를 고려해 보겠습니다.

실시예 5

예를 들어, 수업 초반에 살펴본 적분을 사용했습니다. 우리가 이미 말했듯이 적분을 풀기 위해 우리는 표 공식을 좋아했고 전체 문제를 그것으로 축소하고 싶습니다.

교체 방법의 기본 아이디어는 다음과 같습니다. 복잡한 표현(또는 일부 기능) 한 글자로 대체.
이 경우 다음과 같이 간청합니다.
두 번째로 많이 사용되는 대체 문자는 문자입니다.
원칙적으로 다른 문자를 사용할 수 있지만 우리는 여전히 전통을 고수할 것입니다.

그래서:
하지만 교체하면 ! 아마도 많은 사람들은 새로운 변수로 전환이 이루어지면 새로운 적분에서 모든 것이 문자를 통해 표현되어야 하며 거기에는 미분을 위한 자리가 전혀 없다고 추측했을 것입니다.
논리적 결론은 필요하다는 것입니다. 에만 의존하는 표현으로 바꾸십시오..

작업은 다음과 같습니다. 교체품을 선택한 후, 이 예에서는. ..차이점을 찾아야 합니다. 차이가 있어서 다들 이미 우정을 쌓은 것 같아요.

그때부터

차동 장치를 분해한 후 최종 결과를 최대한 간략하게 다시 작성하는 것이 좋습니다.
이제 비례의 법칙에 따라 우리에게 필요한 것을 표현합니다.

결국:
따라서:

그리고 이것은 이미 가장 많은 테이블 적분입니다( 적분 테이블, 당연히 변수에도 해당됩니다).

마지막으로 남은 것은 역 교체를 수행하는 것입니다. 그것을 기억합시다.

준비가 된.

고려된 예제의 최종 디자인은 다음과 같아야 합니다.

“

다음을 바꾸자:

“

아이콘에는 수학적 의미가 없으며 중간 설명을 위해 솔루션을 중단했음을 의미합니다.

노트에 예제를 준비할 때는 간단한 연필로 역대체를 표시하는 것이 좋습니다.

주목!다음 예에서는 차이를 찾는 방법에 대해 자세히 설명하지 않습니다.

이제 첫 번째 해결책을 기억할 차례입니다.

차이점은 무엇입니까? 근본적인 차이는 없습니다. 실제로 같은 것입니다. 그러나 작업을 설계하는 관점에서 미분 부호에 함수를 포함시키는 방법은 훨씬 더 짧습니다..

질문이 생깁니다. 첫 번째 방법이 더 짧다면 대체 방법을 사용하는 이유는 무엇입니까? 사실은 많은 적분의 경우 함수를 미분의 부호에 "맞추는" 것이 그리 쉽지 않다는 것입니다.

실시예 6

부정적분을 구합니다.

대체품을 만들어 보겠습니다. (여기서는 다른 대체품을 생각하기 어렵습니다.)

보시다시피 교체 결과 원래 적분은 상당히 단순화되어 일반 전력 함수로 축소되었습니다. 이것이 대체의 목적입니다. 적분을 단순화하는 것입니다..

게으른 고급 사람들은 함수를 미분 부호 아래에 포함시켜 이 적분을 쉽게 풀 수 있습니다.

또 다른 점은 그러한 솔루션이 분명히 모든 학생에게 적용되는 것은 아니라는 것입니다. 또한, 이 예에서는 이미 미분 부호 아래에 함수를 포함하는 방법을 사용했습니다. 결정에 혼란을 줄 위험이 크게 증가합니다..

실시예 7

부정적분을 구합니다. 점검을 수행하십시오.

실시예 8

부정적분을 구합니다.

대사:
과연 어떻게 변할지 지켜봐야 할 것 같습니다

자, 표현은 끝났습니다. 그런데 분자에 남은 “X”는 어떻게 해야 할까요?!
때때로 적분을 풀 때 다음과 같은 트릭에 직면하게 됩니다. 동일한 대체에서 표현합니다!

실시예 9

부정적분을 구합니다.

이는 다음에 대한 예입니다. 독립적인 결정. 답은 강의 마지막 부분에 있습니다.

실시예 10

부정적분을 구합니다.

확실히 어떤 사람들은 내 조회 테이블에 변수 대체 규칙이 없다는 것을 알아차렸습니다. 이것은 의도적으로 수행되었습니다. 이 규칙은 위의 예에서 명시적으로 나타나지 않기 때문에 설명과 이해에 혼란을 야기할 수 있습니다.

이제 변수 대체 방법을 사용하는 기본 전제에 대해 이야기할 시간입니다. 피적분 함수는 어떤 함수를 포함해야 합니다 그리고 그 파생물 : (제품에 기능이 없을 수도 있습니다)

이런 점에서 적분을 구할 때 미분표를 살펴봐야 하는 경우가 많습니다.

고려중인 예에서 분자의 차수가 분모의 차수보다 1 작다는 것을 알 수 있습니다. 도함수 표에서 차수를 1만큼 줄이는 공식을 찾을 수 있습니다. 그리고 이는 이를 분모로 지정하면 분자가 좋은 것으로 바뀔 가능성이 높다는 것을 의미합니다.

대사:

그건 그렇고, 미분 기호 아래에 함수를 포함시키는 것은 그리 어렵지 않습니다.

와 같은 분수의 경우 이 트릭은 더 이상 작동하지 않는다는 점에 유의해야 합니다(더 정확하게는 대체 기술뿐만 아니라 적용도 필요합니다). 수업 시간에 일부 분수를 통합하는 방법을 배울 수 있습니다. 일부 분수의 통합.

다음은 동일한 오페라의 독립 솔루션에 대한 몇 가지 일반적인 예입니다.

실시예 11

부정적분을 구합니다.

실시예 12

부정적분을 구합니다.

수업이 끝나면 솔루션이 제공됩니다.

실시예 13

부정적분을 구합니다.

미분표를 보고 아크코사인을 찾습니다. . 우리 피적분 함수에는 아크 코사인과 그 파생물과 비슷한 것이 있습니다.

일반 규칙:
뒤에 우리는 함수 자체를 나타냅니다(그리고 그 파생물이 아닙니다).

이 경우: . 피적분함수의 나머지 부분이 어떻게 변할지 알아내는 것이 남아 있습니다.

이 예에서는 복잡한 함수이므로 결과를 자세히 설명하겠습니다.

또는 짧게 말하면:
비례 법칙을 사용하여 필요한 나머지를 표현합니다.

따라서:

여기서는 함수를 미분 기호 아래에 포함시키는 것이 더 이상 쉽지 않습니다.

실시예 14

부정적분을 구합니다.

독립적인 솔루션의 예입니다. 대답은 매우 가깝습니다.

주의 깊은 독자라면 내가 삼각함수에 관한 몇 가지 예를 고려했다는 것을 알아차렸을 것입니다. 그리고 이것은 우연이 아닙니다. 삼각 함수의 적분별도의 강의가 제공됩니다. 더욱이, 이 강의에서는 변수 교체에 대한 몇 가지 유용한 지침을 제공합니다. 이는 특정 적분에서 어떤 종류의 교체가 이루어져야 하는지 항상 이해하지 못하고 즉시 이해하지 못하는 인형에게 특히 중요합니다. 기사에서 일부 유형의 교체를 볼 수도 있습니다. 확실한 적분. 솔루션의 예.

경험이 많은 학생들은 일반적인 교체 방법에 익숙해질 수 있습니다. 비합리적 함수와 적분. 근을 통합할 때 대체는 구체적이며 구현 기술은 이 단원에서 논의한 것과 다릅니다.

나는 당신의 성공을 기원합니다!

예시 3:해결책 :

예시 4:해결책 :

예시 7:해결책 :

예시 9:해결책 :

대사:

예 11:해결책 :

다음을 바꾸자:

실시예 12:해결책 :

다음을 바꾸자:

실시예 14:해결책 :

다음을 바꾸자:

부품별 통합. 솔루션의 예

다시 안녕하세요. 오늘 수업에서는 부분별로 통합하는 방법을 배웁니다. 부분적분법은 적분법의 초석 중 하나입니다. 시험이나 시험 중에 학생들은 거의 항상 다음 유형의 적분을 풀어야 합니다. (기사 참조무기한 적분. 솔루션의 예 ) 또는 변수를 대체하여 적분 (기사 참조부정적분의 변수 변경 방법 ) 아니면 적분이 방금 켜져 있습니다. 부품 방식에 의한 통합.

언제나 그렇듯이 다음 사항을 준비해야 합니다. 적분표그리고 파생상품표. 아직 가지고 있지 않다면 제 웹사이트의 보관실을 방문해 주세요: 수학 공식 및 표. 반복하는 데 지치지 않을 것입니다. 모든 것을 인쇄하는 것이 좋습니다. 모든 자료를 일관되고 단순하며 명확하게 제시하려고 노력할 것이며, 각 부분을 통합하는 데 특별한 어려움은 없습니다.

부품 통합 방법은 어떤 문제를 해결합니까? 부품 통합 방식은 매우 중요한 문제를 해결하며, 표에 없는 일부 기능을 통합할 수 있게 하며, 일하다함수, 그리고 어떤 경우에는 심지어 몫까지 가능합니다. 우리가 기억하는 것처럼 편리한 공식은 없습니다. . 그러나 이런 것이 있습니다: – 부분별 통합 공식. 나도 알아요, 당신이 유일한 사람이라는 걸 알아요. 우리는 수업 내내 그녀와 함께 일할 것입니다(이제 더 쉬워졌습니다).

4) , - 역삼각함수(“아치”), “아치”에 일부 다항식을 곱함.

일부 분수도 부분적으로 취해지며 해당 예도 자세히 고려할 것입니다.

로그의 적분

실시예 1

부정적분을 구합니다.

권위 있는. 때때로 이 적분은 표에서 찾을 수 있지만 교사는 봄철 비타민 결핍증이 있고 심하게 맹세할 것이기 때문에 기성 답변을 사용하는 것은 바람직하지 않습니다. 고려중인 적분은 결코 표 형식이 아니기 때문에 부분적으로 취해집니다. 우리는 다음을 결정합니다:

중간 설명을 위해 솔루션을 중단합니다.

우리는 부품별 통합 공식을 사용합니다.

ㅏ 적분을 표 형식으로 줄이는 방법우리는 당신을 위해 다음을 나열했습니다:

변수 교체 방법;

부품 통합 방법;

직접 통합 방식

유리 분수의 적분에 대해 표 형식을 통해 부정 적분을 표현하는 방법;

무리수식의 적분에 대한 테이블 적분을 통해 부정적분을 표현하는 방법;

삼각 함수의 적분에 대해 표 형식을 통해 부정 적분을 표현하는 방법.

거듭제곱 함수의 무기한 적분

지수 함수의 부정 적분

그러나 로그의 부정적분은 표 적분이 아닙니다. 대신 공식은 표 형식입니다.

삼각 함수의 부정 적분: 사인, 코사인 및 탄젠트의 적분

역삼각함수를 이용한 부정적분

표 형식으로 축소또는 직접 통합 방식. 적분의 동일한 변환을 사용하면 적분은 적분의 기본 규칙이 적용 가능한 적분으로 축소되고 기본 적분 표를 사용할 수 있습니다.

예

운동.적분 찾기

해결책.적분의 속성을 사용하여 이 적분을 표 형식으로 줄여보겠습니다.

답변.

기술적으로 변수 교체 방법 무기한 적분은 두 가지 방법으로 구현됩니다.

– 미분 부호 아래에 함수를 포함합니다. – 실제로 변수를 변경합니다.

미분 부호 아래에 함수를 포함

실시예 2

점검을 수행하십시오.

피적분 함수를 분석해 보겠습니다. 여기에는 분수가 있고 분모는 선형 함수입니다("x"의 1제곱). 적분표를 보고 가장 유사한 것을 찾습니다.

우리는 함수를 미분 기호 아래로 가져옵니다.

어떤 분수를 곱해야 할지 즉시 파악하기 어려운 사람들은 초안에서 미분을 신속하게 공개할 수 있습니다. 예, 이것은 아무것도 변경하지 않으려면 적분에 를 곱해야 한다는 것을 의미합니다. 다음으로 표 형식 공식을 사용합니다.

시험: 원래의 적분 함수를 얻었습니다. 이는 적분이 올바르게 발견되었음을 의미합니다.

실시예 5

부정적분을 구합니다.

예를 들어, 수업 초반에 살펴본 적분을 사용했습니다. 우리가 이미 말했듯이 적분을 풀기 위해 우리는 표 형식을 좋아했습니다. , 그리고 나는 모든 문제를 그녀에게 맡기고 싶습니다.

교체 방법의 기본 아이디어는 다음과 같습니다. 복잡한 표현식(또는 일부 함수)을 단일 문자로 바꿉니다.이 경우 다음과 같이 제안됩니다. 두 번째로 가장 많이 사용되는 대체 문자는 문자입니다. 원칙적으로 다른 문자를 사용할 수 있지만 우리는 여전히 전통을 고수할 것입니다.

그래서: 하지만 교체하면 ! 아마도 많은 사람들은 새로운 변수로 전환이 이루어지면 새로운 적분에서 모든 것이 문자를 통해 표현되어야 하며 거기에는 미분을 위한 자리가 전혀 없다고 추측했을 것입니다. 논리적 결론은 필요하다는 것입니다. 에만 의존하는 표현으로 바꾸십시오..

작업은 다음과 같습니다. 이 예에서는 교체품을 선택한 후 차이를 찾아야 합니다. 차이가 있어서 다들 이미 우정을 쌓은 것 같아요.

그때부터

미분을 정리한 후 최종 결과를 최대한 간략하게 다시 작성하는 것이 좋습니다. 이제 비례 규칙에 따라 필요한 결과를 표현합니다.

결국: 따라서: 그리고 이것은 이미 가장 표 형식의 적분입니다. (물론 적분표는 변수에도 유효합니다).

마지막으로 남은 것은 역 교체를 수행하는 것입니다. 그것을 기억합시다.

준비가 된.

고려된 예제의 최종 디자인은 다음과 같아야 합니다.

“

다음을 바꾸자:

“

아이콘에는 수학적 의미가 없으며 중간 설명을 위해 솔루션을 중단했음을 의미합니다.

노트에 예제를 준비할 때는 간단한 연필로 역대체를 표시하는 것이 좋습니다.

주목!다음 예에서는 차이를 찾는 방법에 대해 자세히 설명하지 않습니다.

이제 첫 번째 해결책을 기억할 차례입니다.

차이점은 무엇입니까? 근본적인 차이는 없습니다. 실제로 같은 것입니다. 그러나 작업을 설계하는 관점에서 미분 부호에 함수를 포함시키는 방법은 훨씬 더 짧습니다.질문이 생깁니다. 첫 번째 방법이 더 짧다면 대체 방법을 사용하는 이유는 무엇입니까? 사실은 많은 적분의 경우 함수를 미분의 부호에 "맞추는" 것이 그리 쉽지 않다는 것입니다.

부품별 통합. 솔루션의 예

로그의 적분

실시예 1

부정적분을 구합니다.

중간 설명을 위해 솔루션을 중단합니다.

우리는 부품별 통합 공식을 사용합니다.

수식은 왼쪽에서 오른쪽으로 적용됩니다.

우리는 왼쪽을 봅니다 : . 분명히, 우리의 예(그리고 우리가 고려할 다른 모든 예)에서 어떤 것은 로 지정되어야 하고, 어떤 것은 로 지정되어야 합니다.

고려중인 유형의 일체형항상 로그로 표시됩니다.

기술적으로 솔루션 설계는 다음과 같이 구현됩니다. 칼럼에 다음과 같이 적었습니다.

즉, 우리는 로그를 다음과 같이 표시했습니다. 남은 부분피적분 표현.

다음 단계: 미분 찾기:

미분은 미분과 거의 동일하며, 이전 강의에서 미분을 찾는 방법을 이미 논의했습니다.

이제 우리는 기능을 찾습니다. 통합해야 할 기능을 찾으려면 오른쪽낮은 평등:

이제 솔루션을 열고 공식의 우변을 구성합니다. 그런데 다음은 몇 가지 참고 사항이 포함된 최종 솔루션 샘플입니다.

작업의 유일한 요점은 로그 앞에 요소를 쓰는 것이 관례이기 때문에 즉시 과 를 교체했다는 것입니다.

보시다시피 부품별 적분 공식을 적용하면 솔루션이 본질적으로 두 가지 간단한 적분으로 축소되었습니다.

경우에 따라서는 주의해주세요 직후공식을 적용하면 나머지 적분 하에서 단순화가 반드시 수행됩니다. 고려 중인 예에서는 적분을 "x"로 줄였습니다.

점검 해보자. 이렇게 하려면 답의 파생물을 취해야 합니다.

원래의 적분 함수가 얻어졌습니다. 이는 적분이 올바르게 풀렸음을 의미합니다.

테스트 중에는 제품 차별화 규칙을 사용했습니다. 그리고 이것은 우연이 아닙니다.

부분별 적분 공식 그리고 공식– 이것은 서로 반대되는 두 가지 규칙입니다.

다항식을 곱한 지수의 적분

일반 규칙: 뒤에

실시예 5

부정적분을 구합니다.

익숙한 알고리즘을 사용하여 부분별로 통합합니다.

적분에 어려움이 있으면 기사로 돌아가야 합니다. 부정적분의 변수 변경 방법.

당신이 할 수 있는 유일한 다른 일은 대답을 조정하는 것입니다.

그러나 계산 기술이 좋지 않은 경우 가장 수익성이 높은 옵션은 답변을 남기거나 심지어

즉, 마지막 적분을 취하면 예제가 해결된 것으로 간주됩니다. 이는 실수가 아니며 교사가 답을 단순화하도록 요청할 수도 있는 또 다른 문제입니다.

다항식을 곱한 삼각 함수의 적분

일반 규칙: 뒤에항상 다항식으로 표시됨

실시예 7

부정적분을 구합니다.

부분별로 통합해 보겠습니다.

흠...그리고 코멘트할 내용이 없습니다.

무기한 적분에서 변수의 변화는 함수 중 하나가 다른 함수의 도함수인 적분을 찾는 데 사용됩니다. 적분 $ \int f(x) dx $가 있다고 가정하고, 대체 $ x=\phi(t) $를 만들어 보겠습니다. $ \phi(t) $ 함수는 미분 가능하므로 $ dx = \phi"(t) dt $를 찾을 수 있습니다.

이제 $ \begin(vmatrix) x = \phi(t) \\ dx = \phi"(t) dt \end(vmatrix) $를 적분에 대체하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

$$ \int f(x) dx = \int f(\phi(t)) \cdot \phi"(t) dt $$

이것은 부정 적분에서 변수를 변경하는 공식.

변수 대체 방법의 알고리즘

따라서 문제에 다음 형식의 적분이 주어지면: $$ \int f(\phi(x)) \cdot \phi"(x) dx $$ 변수를 새 변수로 바꾸는 것이 좋습니다: $$ t = \phi(x) $ $ $$ dt = \phi"(t) dt $$

그 후, 적분은 기본 적분 방법으로 쉽게 취할 수 있는 형태로 표시됩니다: $$ \int f(\phi(x)) \cdot \phi"(x) dx = \int f(t) dt $$

대체된 변수를 $x$로 다시 반환하는 것도 잊지 마세요.

솔루션의 예

실시예 1
변수 변경 방법을 사용하여 부정 적분을 구합니다. $$ \int e^(3x) dx $$
해결책
적분의 변수를 $ t = 3x, dt = 3dx $로 대체합니다. $$ \int e^(3x) dx = \int e^t \frac(dt)(3) = \frac(1)(3) \int e^t dt = $$ 지수의 적분은 적분표에 따르면 여전히 동일하지만 $ x $ 대신 $ t $로 작성됩니다. $$ = \frac(1)(3) e^t + C = \frac(1)(3) e^(3x) + C $$ 문제를 해결할 수 없다면 저희에게 보내주세요. 상세한 솔루션을 제공해드리겠습니다. 계산 진행 상황과 이득 정보를 볼 수 있습니다. 이렇게 하면 적시에 선생님으로부터 성적을 받는 데 도움이 될 것입니다!
답변
$$ \int e^(3x) dx = \frac(1)(3) e^(3x) + C $$

~에 이번 수업우리는 부정 적분을 풀 때 사용되는 가장 중요하고 가장 일반적인 기술 중 하나인 변수 방법 변경에 대해 알게 될 것입니다. 자료를 성공적으로 숙달하려면 초기 지식과 통합 기술이 필요합니다. 적분 미적분학에서 텅 빈 주전자 같은 느낌이 든다면 먼저 자료에 익숙해져야 합니다. 여기서는 적분이 무엇인지 접근 가능한 형식으로 설명하고 초보자를 위한 기본 예를 자세히 분석했습니다.

기술적으로, 부정적분에서 변수를 변경하는 방법은 두 가지 방법으로 구현됩니다.

– 미분 부호 아래에 함수를 포함;
– 실제로 변수를 교체.

본질적으로 이들은 동일하지만 솔루션의 디자인은 다르게 보입니다.

더 간단한 사례부터 시작해 보겠습니다.

미분 부호 아래에 함수를 포함

수업에서 무기한 적분. 솔루션의 예우리는 차동 장치를 여는 방법을 배웠습니다. 제가 제시한 예를 상기시켜 드리겠습니다.

즉, 미분을 밝히는 것은 공식적으로 미분을 찾는 것과 거의 동일합니다.

실시예 1

점검을 수행하십시오.

적분표를 보고 비슷한 공식을 찾습니다. . 그러나 문제는 사인 아래에 문자 "X"뿐만 아니라 복잡한 표현도 있다는 것입니다. 무엇을 해야 할까요?

우리는 함수를 미분 기호 아래로 가져옵니다.

차동 장치를 열면 다음 사항을 쉽게 확인할 수 있습니다.

사실 그리고 같은 내용을 녹음한 것입니다.

그러나 그럼에도 불구하고 첫 번째 단계에서 적분을 정확히 다음과 같이 작성해야 한다는 생각을 어떻게 갖게 되었는지에 대한 질문은 남아 있습니다. ? 왜 이것이고 그렇지 않은가?

공식 (및 기타 모든 테이블 수식)은 변수뿐만 아니라 함수 인수로만 복잡한 표현식에도 유효하고 적용 가능합니다.( – 이 예에서는) 그리고 미분 기호 아래의 표현은 다음과 같습니다. 똑같다 .

그러므로 문제를 풀 때 정신적 추론은 다음과 같아야 합니다. “적분을 풀어야 해요. 표를 보다가 비슷한 공식을 발견했어요 . 하지만 논쟁이 복잡해서 공식을 즉시 사용할 수 없습니다. 그러나 차등 기호 아래로 가져오면 모든 것이 잘 될 것입니다. 적어보면 그렇죠. 하지만 원래 적분에는 3인자가 없으므로 피적분 함수가 변경되지 않도록 하려면 "를 곱해야 합니다. 대략적인 정신적 추론 과정에서 다음 항목이 탄생합니다.

이제 표 형식 수식을 사용할 수 있습니다. :

준비가 된

유일한 차이점은 문자 "X"가 없고 복잡한 표현이 있다는 것입니다.

점검 해보자. 파생상품 표를 열고 답을 차별화하세요.

원래의 적분 함수를 얻었습니다. 이는 적분이 올바르게 발견되었음을 의미합니다.

검증 과정에서 우리는 복잡한 기능을 구별하기 위한 규칙을 사용했습니다. . 본질적으로, 미분 부호 아래에 함수를 포함시키고 - 이것은 서로 반대되는 두 가지 규칙입니다..

실시예 2

피적분 함수를 분석해 보겠습니다. 여기에는 분수가 있고 분모는 선형 함수입니다("x"의 1제곱). 적분표를 보고 가장 유사한 것을 찾습니다. .

우리는 함수를 미분 기호 아래로 가져옵니다.

어떤 분수를 곱해야 할지 즉시 파악하기 어려운 사람들은 초안에서 미분을 신속하게 공개할 수 있습니다. 예, 이것은 아무것도 변경하지 않으려면 적분에 를 곱해야 한다는 것을 의미합니다.
다음으로 우리는 표 형식을 사용합니다 :

시험:

원래의 적분 함수를 얻었습니다. 이는 적분이 올바르게 발견되었음을 의미합니다.

실시예 3

부정적분을 구합니다. 점검을 수행하십시오.

실시예 4

부정적분을 구합니다. 점검을 수행하십시오.

이것은 스스로 해결하는 예입니다. 답은 강의 마지막 부분에 있습니다.

적분을 푸는 데 약간의 경험이 있으면 이러한 예는 쉬워 보이고 미친 듯이 클릭될 것입니다.

이 섹션의 마지막 부분에서는 선형 함수에서 변수가 단위 계수와 함께 입력되는 "자유" 사례에 대해서도 설명하고 싶습니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

엄밀히 말하면 솔루션은 다음과 같아야 합니다.

보시다시피 미분 기호 아래에 함수를 포함시키는 것은 곱셈 없이 "쉽게" 이루어졌습니다. 따라서 실제로 이러한 긴 솔루션은 종종 무시되고 즉시 다음과 같이 기록됩니다. . 하지만 필요하다면 선생님에게 문제를 어떻게 해결했는지 설명할 준비를 하세요! 실제로 테이블에는 적분이 없기 때문입니다.

부정적분의 변수 변경 방법

무한 적분에서 변수를 변경하는 방법인 일반적인 경우를 고려해 보겠습니다.

실시예 5

부정적분을 구합니다.

교체 방법의 기본 아이디어는 다음과 같습니다. 복잡한 표현식(또는 일부 함수)을 단일 문자로 대체.
이 경우 다음과 같이 간청합니다.
두 번째로 많이 사용되는 대체 문자는 문자입니다.
원칙적으로 다른 문자를 사용할 수 있지만 우리는 여전히 전통을 고수할 것입니다.

작업은 다음과 같습니다. 이 예에서는 교체품을 선택한 후 차이를 찾아야 합니다. 차이가 있어서 다들 이미 우정을 쌓은 것 같아요.

그때부터

차동 장치를 분해한 후 최종 결과를 최대한 간략하게 다시 작성하는 것이 좋습니다.
이제 비례의 법칙에 따라 우리에게 필요한 것을 표현합니다.

결국:
따라서:

그리고 이것은 이미 가장 표 형식의 적분입니다. (물론 적분표는 변수에도 유효합니다).

마지막으로 남은 것은 역 교체를 수행하는 것입니다. 그것을 기억합시다.

준비가 된.

고려된 예제의 최종 디자인은 다음과 같아야 합니다.

“

다음을 바꾸자:

“

아이콘에는 수학적 의미가 없으며 중간 설명을 위해 솔루션을 중단했음을 의미합니다.

노트에 예제를 준비할 때는 간단한 연필로 역대체를 표시하는 것이 좋습니다.

주목!다음 예에서는 차이를 찾는 방법에 대해 자세히 설명하지 않습니다.

이제 첫 번째 해결책을 기억할 차례입니다.

실시예 6

부정적분을 구합니다.

대체품을 만들어 보겠습니다. (여기서는 다른 대체품을 생각하기 어렵습니다.)

게으른 고급 사람들은 함수를 미분 부호 아래에 포함시켜 이 적분을 쉽게 풀 수 있습니다.

실시예 7

부정적분을 구합니다. 점검을 수행하십시오.

실시예 8

부정적분을 구합니다.

실시예 9

부정적분을 구합니다.

이것은 스스로 해결하는 예입니다. 답은 강의 마지막 부분에 있습니다.

실시예 10

부정적분을 구합니다.

이제 변수 대체 방법을 사용하는 기본 전제에 대해 이야기할 시간입니다. 피적분 함수에는 일부 함수와 그 파생물이 포함되어야 합니다.(제품에 기능이 없을 수도 있습니다)

이런 점에서 적분을 구할 때 미분표를 살펴봐야 하는 경우가 많습니다.

다항식 바꾸기또는. 여기에 차수 다항식이 있습니다. 예를 들어, 표현은 차수 다항식입니다.

예를 들어보겠습니다.

변수 교체 방법을 사용해 보겠습니다. 무엇을 위해 취해야 한다고 생각합니까? 오른쪽, .

방정식은 다음과 같습니다.

변수의 역변경을 수행합니다.

첫 번째 방정식을 풀어보겠습니다.

결정하자 두번째방정식:

… 이것은 무엇을 의미 하는가? 오른쪽! 해결책이 없다는 것입니다.

따라서 우리는 두 가지 답변을 받았습니다. .

다항식에 대한 변수 대체 방법을 사용하는 방법을 이해합니까? 직접 연습해 보세요.

결정했다? 이제 주요 사항을 확인해 보겠습니다.

당신은 그것을 가져 가야합니다.

우리는 다음과 같은 표현을 얻습니다.

이차 방정식을 풀면 두 개의 근이 있음을 알 수 있습니다.

첫 번째 이차 방정식의 해는 숫자와

두 번째 이차 방정식 풀기 - 숫자와.

답변: ; ; ;

요약하자면

변수 대체 방법에는 방정식 및 부등식의 주요 변수 대체 유형이 있습니다.

1. 거듭제곱 대체, 우리가 어떤 미지의 것을 거듭제곱으로 받아들일 때.

2. 미지수를 포함하는 전체 표현식을 취하는 경우 다항식 대체.

3. 분수-유리 대체(Fractional-rational replacement), 알려지지 않은 변수를 포함하는 관계를 취할 때.

중요한 조언새로운 변수를 도입할 때:

1. 변수 교체는 가능한 한 즉시 이루어져야 합니다.

2. 새로운 변수에 대한 방정식은 끝까지 풀린 다음 이전 미지수로 돌아가야 합니다.

3. 원래의 알 수 없는 부분으로 돌아갈 때(실제로 전체 솔루션 전체에서) ODZ의 루트를 확인하는 것을 잊지 마십시오.

방정식과 부등식 모두에서 비슷한 방식으로 새로운 변수가 도입됩니다.

3가지 문제를 살펴보겠습니다

3가지 문제에 대한 답변

1. Let, 그러면 표현이 형식을 취합니다.

왜냐하면 그것은 긍정적일 수도 있고 부정적일 수도 있기 때문입니다.

답변:

2. Let, 그러면 표현은 다음과 같은 형식을 취합니다.

해결책이 없으니까...

답변:

3. 그룹화를 통해 다음을 얻습니다.

그러면 표현의 형식을 취하겠습니다.
.

답변:

변수 교체. 평균 수준.

변수 교체- 이것은 방정식이나 부등식이 더 단순한 형태를 갖는 새로운 미지수의 도입입니다.

주요 교체 유형을 나열하겠습니다.

전력 대체

전력 대체.

예를 들어 대체를 사용하면 2차 방정식이 2차 방정식으로 줄어듭니다.

불평등에서는 모든 것이 비슷합니다.

예를 들어, 부등식을 대체하여 2차 부등식을 얻습니다.

예(직접 결정):

해결책:

이는 분수-유리 방정식(반복)이지만 일반적인 방법(공통 분모로의 환원)을 사용하여 풀면 정도의 방정식을 얻게 되므로 변수 변경을 사용하므로 불편합니다.

다음을 교체하면 모든 것이 훨씬 쉬워집니다. 그 다음에:

이제 해보자 역 교체:

답변: ; .

다항식 바꾸기

다항식을 대체하거나.

다음은 차수의 다항식입니다. 형태의 표현

(예를 들어, 표현은 차수의 다항식입니다. 즉).

이차 삼항식에 대해 가장 일반적으로 사용되는 대체는 다음과 같습니다. 또는.

예:

방정식을 풀어보세요.

해결책:

그리고 다시 변수 대체가 사용됩니다.

그러면 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

이 이차 방정식의 근은 다음과 같습니다.

두 가지 경우가 있습니다. 각각을 역으로 치환해 보겠습니다.

이는 이 방정식에 근이 없음을 의미합니다.

이 방정식의 근은 다음과 같습니다. i.

답변. .

분수-합리적 대체

분수-합리적 대체.

그리고 는 각각 과 의 다항식입니다.

예를 들어, 역 방정식, 즉 다음 형식의 방정식을 풀 때

교체가 일반적으로 사용됩니다.

이제 어떻게 작동하는지 보여드리겠습니다.

이 방정식의 근본이 아닌 것이 무엇인지 확인하는 것은 쉽습니다. 결국 이를 방정식에 대입하면 조건에 모순되는 것을 얻게 됩니다.

방정식을 다음과 같이 나누어 보겠습니다.

다시 정리해보자:

이제 교체 작업을 수행합니다.

그것의 장점은 항의 이중 곱을 제곱할 때 x가 감소한다는 것입니다.

그것은 다음과 같습니다.

방정식으로 돌아가 보겠습니다.

이제 이차방정식을 풀고 역대입을 하면 충분합니다.

예:

방정식을 푼다: .

해결책:

따라서 평등이 유지되지 않을 때. 방정식을 다음과 같이 나누어 보겠습니다.

방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

그 뿌리:

역치환을 해보자:

결과 방정식을 풀어 보겠습니다.

답변: ; .

다른 예시:

불평등을 해결하십시오.

해결책:

직접 대체를 통해 우리는 그것이 이러한 불평등의 해결책에 포함되지 않는다고 확신합니다. 각 분수의 분자와 분모를 다음과 같이 나눕니다.

이제 변수의 교체는 명백합니다: .

그러면 불평등은 다음과 같은 형태를 취합니다.

y를 찾기 위해 간격 방법을 사용합니다.

왜냐하면 모두들 앞에서

따라서 부등식은 다음과 동일합니다.

모두들 앞에서, 왜냐면...

즉, 부등식은 다음과 동일합니다.

따라서 불평등은 집계와 동일합니다.

답변: .

변수 교체- 방정식과 부등식을 해결하는 가장 중요한 방법 중 하나입니다.

마지막으로 몇 가지 중요한 팁을 알려드리겠습니다.

변수 교체. 요약 및 기본 공식.

변수 교체- 원래 표현을 단순화하고 표준 형식으로 가져올 수 있는 복잡한 방정식과 부등식을 해결하는 방법입니다.

변수 대체 유형:

전원 대체:는 알려지지 않은 것으로 간주되어 거듭제곱됩니다.
분수-유리 대체:알 수 없는 변수를 포함하는 모든 관계로 간주됩니다. , 여기서 및 는 각각 n차와 m차의 다항식입니다.
다항식 바꾸기:미지수를 포함하는 전체 표현식은 다음과 같이 간주됩니다. 또는 정도의 다항식은 어디에 있습니까?

단순화된 방정식/부등식을 푼 후에는 역대입을 해야 합니다.