계획:

리뷰 1개
- 1.1 정규화된 버터워스 다항식
- 1.2 최대 부드러움
- 1.3 고주파수 롤오프
2 필터 설계
- 2.1 카우어 토폴로지
- 2.2 Sallen-Kay 토폴로지
3 다른 선형 필터와의 비교
4 예시

소개

버터워스 필터- 전자 필터 유형 중 하나입니다. 이 클래스의 필터는 설계 방법이 다른 필터와 다릅니다. 버터워스 필터는 통과대역 주파수에서 진폭-주파수 응답이 최대한 매끄러워지도록 설계되었습니다.

이러한 필터는 영국 엔지니어인 Stefan Butterworth가 "필터 증폭기 이론"이라는 기사에서 처음 설명했습니다. 필터 증폭기 이론 ), 잡지에서 무선 엔지니어 1930년에.

1. 검토

버터워스 필터의 주파수 응답은 통과대역 주파수에서 최대로 매끄러우며 저지대역 주파수에서는 거의 0으로 감소합니다. 로그 위상 응답에 대한 버터워스 필터의 주파수 응답을 플로팅할 때 진폭은 저지대역 주파수에서 음의 무한대로 감소합니다. 1차 필터의 경우 주파수 응답은 옥타브당 -6데시벨(10년당 -20데시벨)의 비율로 감쇠됩니다. 실제로 모든 1차 필터는 유형에 관계없이 동일하며 동일한 특성을 갖습니다. 주파수 응답). 2차 버터워스 필터의 경우 주파수 응답은 옥타브당 -12dB만큼 감쇠되고, 3차 필터의 경우 -18dB만큼 감쇠됩니다. 버터워스 필터의 주파수 응답은 주파수의 단조 감소 함수입니다. 버터워스 필터는 억제 대역에서 특성의 급격한 롤오프를 제외하고 더 높은 차수의 주파수 응답 형태를 유지하는 유일한 필터인 반면, 다른 많은 유형의 필터(베셀 필터, 체비쇼프 필터, 타원 필터)는 서로 다른 차수에서 주파수 응답의 모양이 다릅니다.

Chebyshev 유형 I 및 II 필터나 타원형 필터에 비해 버터워스 필터는 더 평평한 롤오프를 가지므로 저지대역 주파수에서 원하는 성능을 제공하려면 차수가 더 높아야 합니다(구현하기가 더 어렵습니다). 그러나 버터워스 필터는 통과대역 주파수에서 더 선형적인 위상-주파수 응답을 갖습니다.

저역 통과 버터워스 필터의 주파수 응답은 1~5 정도입니다. 특성의 기울기는 20입니다. N dB/10년, 여기서 N- 필터 순서.

고려할 때 모든 필터와 마찬가지로 주파수 특성고역 통과 필터를 쉽게 얻을 수 있는 저역 통과 필터를 사용하고 이러한 필터 여러 개를 직렬로 연결하여 - 대역 통과 필터또는 노치 필터.

1차 버터워스 필터의 주파수 응답은 전달 함수로부터 얻을 수 있습니다.

무한한 값의 경우 주파수 응답은 직사각형 함수가 되고 차단 주파수 아래의 주파수는 이득과 함께 전달되고 차단 주파수 위의 주파수는 완전히 억제된다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 유한한 값의 경우 특성의 감소는 완만합니다.

공식적인 대체를 사용하여 표현식을 다음과 같이 제시합니다.

전달 함수의 극점은 왼쪽 절반 평면에서 서로 등거리에 있는 반경의 원에 위치합니다. 즉, 버터워스 필터의 전달 함수는 s 평면의 왼쪽 절반 평면에서 전달 함수의 극점을 결정함으로써만 결정될 수 있습니다. 세 번째 극은 다음 식으로 결정됩니다.

전달 함수는 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

유사한 추론이 디지털 버터워스 필터에도 적용되지만 유일한 차이점은 관계가 작성되지 않았다는 점입니다. 에스-비행기 및 지-비행기.

이 전달 함수의 분모를 버터워스 다항식이라고 합니다.

1.1. 정규화된 버터워스 다항식

버터워스 다항식은 위에 표시된 것처럼 복소수 형태로 작성할 수 있지만 일반적으로 실수 계수와의 관계로 작성됩니다(복소수 켤레 쌍은 곱셈을 사용하여 결합됩니다). 다항식은 차단 주파수로 정규화됩니다. 따라서 정규화된 버터워스 다항식은 다음과 같은 표준 형식을 갖습니다.

, - 홀수

다음은 처음 8개 차수에 대한 버터워스 다항식 계수입니다.

	다항식 계수
1
2
3
4
5
6
7
8

1.2. 최대 부드러움

과 를 취하면 주파수에 대한 진폭 특성의 미분은 다음과 같습니다.

이득은 항상 양수이므로 모든 사람에 대해 단조롭게 감소합니다. 따라서 버터워스 필터의 주파수 응답에는 리플이 없습니다. 진폭 특성을 계열로 확장하면 다음을 얻습니다.

즉, 최대 2까지의 주파수에 대한 진폭-주파수 특성의 모든 파생물입니다. N- 0과 같습니다. 이는 "최대 부드러움"을 의미합니다.

1.3. 고주파수 롤오프

이를 받아들인 후 고주파수에서 주파수 응답의 로그 기울기를 찾습니다.

데시벨 단위로 고주파수 점근선의 기울기는 -20입니다. N dB/10년.

2. 필터 설계

선형 아날로그 필터가 구현되는 다양한 필터 토폴로지가 있습니다. 이러한 구성표는 요소 값만 다르며 구조는 변경되지 않습니다.

2.1. 카우어 토폴로지

Cauer의 토폴로지는 수동 소자(커패시턴스 및 인덕턴스)를 사용합니다. 주어진 전달 함수를 갖는 뷰트워스 필터는 유형 1 Cowher의 형태로 구성될 수 있습니다. k번째 요소필터는 다음 관계식으로 제공됩니다.

; k 홀수 ; k는 짝수이다

2.2. Sallen-Kay 토폴로지

Sallen-Kay 토폴로지는 수동 요소 외에 능동 요소(연산 증폭기 및 커패시터)도 사용합니다. Sallen-Kay 회로의 각 단계는 필터의 일부이며, 한 쌍의 복소 공액 극으로 수학적으로 설명됩니다. 전체 필터가 밝혀졌습니다. 직렬 연결모든 캐스케이드. 유효한 극이 발견되면 일반적으로 RC 회로로 별도로 구현하고 전체 회로에 포함해야 합니다.

Sallen-Kay 회로의 각 단계 전달 함수는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

분모는 버터워스 다항식의 인수 중 하나여야 합니다. 수락하면 다음을 얻습니다.

마지막 관계는 임의로 선택할 수 있는 두 개의 미지수를 제공합니다.

3. 다른 선형 필터와의 비교

아래 그림은 동일한(5차) 차수의 다른 널리 사용되는 선형 필터와 비교하여 버터워스 필터의 주파수 응답을 보여줍니다.

그림에서 볼 수 있듯이 버터워스 필터 롤오프는 4가지 필터 중 가장 느리지만 통과대역 주파수에서 가장 부드러운 주파수 응답을 나타냅니다.

4. 예시

패럿, 옴, 헨리 요소 값을 갖는 차단 주파수를 갖는 아날로그 저역 통과 버터워스 필터(Cauer 토폴로지).

차단 주파수가 인 3차 버터워스 필터에 대한 복소수 인수 평면에서 전달 함수 H(s)의 로그 밀도 플롯입니다. 세 개의 극은 왼쪽 절반 평면의 단위 반경 원 위에 있습니다.

패럿, 옴, 헨리가 포함된 3차 아날로그 저역 통과 버터워스 필터를 생각해 보세요. 커패시터의 총 저항을 나타냅니다. 씨어떻게 1/Cs인덕턴스의 임피던스 엘어떻게 LS, 여기서 은 복잡한 변수이고 방정식을 사용하여 계산합니다. 전기 다이어그램, 이러한 필터에 대해 다음 전달 함수를 얻습니다.

주파수 응답은 다음 방정식으로 제공됩니다.

위상 응답은 다음 방정식으로 제공됩니다.

그룹 지연은 원형 주파수에 대한 위상의 미분을 뺀 값으로 정의되며 다양한 주파수에서 신호의 위상 왜곡을 측정한 것입니다. 이러한 필터의 대수 주파수 응답에는 통과 대역이나 억제 대역에 리플이 없습니다.

복소 평면의 전달 함수 계수 그래프는 왼쪽 절반 평면의 세 극을 명확하게 나타냅니다. 전달 함수는 실수 축에 대해 대칭인 단위원 위의 극점 위치에 의해 완전히 결정됩니다.

각 인덕턴스를 커패시턴스로 바꾸고 커패시턴스를 인덕턴스로 대체하여 고역 통과 버터워스 필터를 얻습니다.

차단 주파수를 갖는 3차 버터워스 필터의 그룹 지연

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필터를 분석하고 해당 매개변수를 계산할 때 일부 표준 용어가 항상 사용되므로 처음부터 이를 고수하는 것이 좋습니다.

통과대역에서 평탄한 응답을 갖고 저지대역으로 급격하게 전환되는 저역통과 필터가 필요하다고 가정해 보겠습니다. 저지대역에서 응답의 최종 기울기는 항상 6ndB/옥타브입니다. 여기서 n은 "극점"의 수입니다. 극당 하나의 커패시터(또는 인덕터)가 필요하므로 필터의 최종 롤오프 속도 요구 사항에 따라 필터의 복잡성이 대략적으로 결정됩니다.

이제 6극 저역 통과 필터를 사용하기로 결정했다고 가정해 보겠습니다. 36dB/옥타브의 고주파수에서 최종 롤오프가 보장됩니다. 이제 통과대역에서 저지대역으로의 전이 기울기를 줄임으로써 통과대역에서 가장 평탄한 응답을 제공한다는 의미에서 필터 설계를 최적화하는 것이 가능해졌습니다. 반면, 통과대역에 약간의 리플을 허용함으로써 통과대역에서 저지대역으로 더 가파른 전환을 달성할 수 있습니다. 중요할 수 있는 세 번째 기준은 위상 변화로 인해 모양이 왜곡되지 않고 통과대역 내에 있는 스펙트럼을 사용하여 신호를 통과시키는 필터의 능력을 설명합니다. 상승 시간, 오버슈트, 정착 시간에도 관심이 있을 수 있습니다.

이들 특성 또는 이들의 조합 중 임의의 것을 최적화하는 데 적합한 필터 설계 방법이 알려져 있습니다. 정말 현명한 선택위에서 설명한 대로 필터가 발생하지 않습니다. 일반적으로 통과대역에서 요구되는 특성의 균일성과 통과대역 외부의 특정 주파수에서 요구되는 감쇠 및 기타 매개변수가 먼저 설정됩니다. 그런 다음 이러한 모든 요구 사항을 충족하기에 충분한 극 수를 사용하여 가장 적합한 회로가 선택됩니다. 다음 몇 섹션에서는 가장 널리 사용되는 세 가지 필터 유형, 즉 버터워스 필터(가장 평탄한 통과대역 응답), 체비쇼프 필터(통과대역에서 저지대역으로의 가장 가파른 전환), 베셀 필터(가장 평탄한 지연 시간 응답)를 살펴보겠습니다. . 이러한 필터 유형은 다음을 사용하여 구현할 수 있습니다. 다양한 계획필터; 그 중 일부는 나중에 논의할 예정이며, 모두 저역 통과 필터와 고역 통과 필터, 대역 통과 필터를 구성하는 데 동일하게 적합합니다.

버터워스 필터와 체비쇼프 필터.버터워스 필터는 통과대역에서 가장 평탄한 응답을 제공하는데, 이는 천이 영역의 매끄러움을 희생하여 달성됩니다. 통과대역과 지연대역 사이. 나중에 설명하겠지만 위상-주파수 응답도 좋지 않습니다. 진폭-주파수 특성은 다음 공식으로 제공됩니다.
U 아웃 /U in = 1/ 1/2,
여기서 n은 필터 차수(극 수)를 정의합니다. 극 수를 늘리면 그림 1과 같이 통과 대역의 특성 부분을 평탄화하고 통과 대역에서 억제 대역으로의 롤오프의 가파른 정도를 증가시킬 수 있습니다. 5.10.

쌀. 5.10 버터워스 저역 통과 필터의 정규화된 특성 필터 차수가 증가함에 따라 특성 롤오프의 가파른 증가에 주목하십시오.

버터워스 필터를 선택할 때 우리는 가장 평탄한 특성을 위해 다른 모든 것을 희생합니다. 그 특성은 0 주파수에서 시작하여 수평으로 진행되며 변곡은 차단 주파수 fs에서 시작됩니다. 이 주파수는 일반적으로 -3dB 지점에 해당합니다.

대부분의 애플리케이션에서 가장 중요한 고려 사항은 통과 대역 리플이 특정 양(예: 1dB)을 초과해서는 안 된다는 것입니다. 체비쇼프 필터는 이 요구 사항을 충족하는 반면 전체 통과 대역에 걸쳐 특성의 일부 불균일성이 허용되지만 동시에 끊김의 선명도가 크게 증가합니다. 체비쇼프 필터의 경우 극점 수와 통과대역의 불균일성이 지정됩니다. 통과대역의 불균일성이 증가하면 더 날카로운 꼬임이 발생합니다. 이 필터의 진폭-주파수 응답은 다음 관계식으로 제공됩니다.
U 아웃 /U in = 1/ 1/2,
여기서 Cn은 제1종 n차의 체비쇼프 다항식이고, ε는 통과대역 특성의 불균일성을 결정하는 상수이다. 버터워스 필터와 마찬가지로 체비쇼프 필터는 이상적이지 않은 위상-주파수 특성을 가지고 있습니다. 그림에서. 그림 5.11은 6극 체비쇼프와 버터워스 저역 통과 필터의 특성을 비교합니다. 쉽게 볼 수 있듯이 둘 다 6극 RC 필터보다 훨씬 좋습니다.

쌀. 5.11. 일반적으로 사용되는 일부 6극 저역 통과 필터의 특성 비교. 동일한 필터의 특성은 로그(상단) 및 선형(하단) 눈금으로 표시됩니다. 1 - 베셀 필터; 2 - 버터워스 필터; 3 - 체비쇼프 필터(리플 0.5dB).

실제로, 매우 평탄한 통과 대역 응답을 갖는 버터워스 필터는 보이는 것만큼 매력적이지 않습니다. 왜냐하면 어떤 경우에도 통과 대역의 불균일성을 참아야 하기 때문입니다(버터워스 필터의 경우 이는 다음과 같이 응답이 점진적으로 감소할 것입니다). 주파수는 fc에 접근하고 Chebyshev 필터의 경우 전체 통과 대역에 걸쳐 리플이 분산됩니다. 또한 등급에 어느 정도 허용 오차가 있는 요소로 구성된 능동 필터는 계산된 것과 다른 특성을 갖게 되며, 이는 실제로 버터워스 필터 특성의 통과 대역에 항상 약간의 불균일성이 있음을 의미합니다. 그림에서. 그림 5.12는 커패시터 커패시턴스 및 저항 저항 값의 가장 바람직하지 않은 편차가 필터 특성에 미치는 영향을 보여줍니다.

쌀. 5.12. 능동 필터의 특성에 요소 매개변수의 변화가 미치는 영향.

위의 관점에서 볼 때 매우 합리적인 구조는 Chebyshev 필터입니다. 때때로 이를 등파 필터라고 부르는데, 전이 영역에서의 특성은 여러 개의 동일한 크기의 맥동이 통과대역에 분포되어 필터의 차수에 따라 그 수가 증가한다는 사실로 인해 더 큰 가파른 정도를 갖기 때문입니다. 상대적으로 작은 리플(약 0.1dB)에도 불구하고 Chebyshev 필터는 Butterworth 필터보다 천이 영역에서 훨씬 더 큰 기울기를 제공합니다. 이 차이를 정량화하려면 통과대역의 차단 주파수와 25% 차이가 나는 주파수에서 통과대역 평탄도가 0.1dB 이하이고 감쇠량이 20dB인 필터가 필요하다고 가정합니다. 계산에 따르면 이 경우에는 19극 버터워스 필터 또는 8극 체비쇼프 필터만 필요하다는 것을 알 수 있습니다.

천이 구간의 가파른 정도를 높이기 위해 통과대역의 리플을 허용할 수 있다는 생각은 리플이 허용되는 소위 타원 필터(또는 Cauer 필터)의 아이디어에서 논리적 결론에 도달합니다. 천이 구간의 가파른 정도를 보장하기 위한 통과 대역과 지연 모두에서 체비쇼프 필터 특성보다 훨씬 더 큽니다. 컴퓨터의 도움으로 타원 필터는 기존의 Chebyshev 필터와 Butterworth 필터처럼 간단하게 설계될 수 있습니다. 그림에서. 그림 5.13은 필터의 진폭-주파수 응답에 대한 그래픽 설명을 보여줍니다. 이 경우(저역 통과 필터), 통과 대역에서 필터 이득(즉, 리플)의 허용 가능한 범위, 특성이 통과 대역을 벗어나는 최소 주파수, 특성이 저지 대역에 들어가는 최대 주파수 및 최소 감쇠 밴드가 정의되었습니다.

쌀. 5.13. 필터 주파수 응답 매개변수를 설정합니다.

베셀 필터. 이전에 확립된 바와 같이 필터의 진폭-주파수 특성은 이에 대해 나타내지 않습니다. 완전한 정보. 평탄한 진폭-주파수 응답을 갖는 필터는 큰 위상 편이를 가질 수 있습니다. 결과적으로, 스펙트럼이 통과대역에 있는 신호의 모양은 필터를 통과할 때 왜곡됩니다. 파형이 가장 중요한 상황에서는 선형 위상 필터(일정 지연 시간 필터)를 사용하는 것이 바람직합니다. 주파수의 함수로서 위상 변이의 선형 변화를 보장하기 위해 필터를 요구하는 것은 스펙트럼이 통과대역에 있는 신호, 즉 신호 형태의 왜곡이 없는 신호에 대해 일정한 지연 시간을 요구하는 것과 같습니다. 베셀 필터(Thomson 필터라고도 함)는 버터워스 필터가 가장 평탄한 주파수 응답을 갖는 것처럼 통과대역 지연 시간 곡선의 가장 평탄한 부분을 갖습니다. Bessel 필터가 제공하는 시간 영역 개선을 이해하려면 그림 1을 참조하십시오. 그림 5.14는 6극 베셀 및 버터워스 저역 통과 필터에 대한 주파수 정규화된 지연 시간 플롯을 보여줍니다. 버터워스 필터의 열악한 지연 시간 특성으로 인해 펄스 신호가 필터를 통과할 때 오버슈트 유형 효과가 발생합니다. 반면, 베셀 필터의 진폭-주파수 특성은 버터워스 필터의 특성보다 통과대역과 저지대역 사이의 전이 구간이 훨씬 더 평평하다는 사실로 인해 베셀 필터의 지연 시간이 일정해야 합니다.

쌀. 5.14. 6대역 베셀(1) 및 버터워스(2) 저역 통과 필터의 시간 지연 비교. 베셀 필터는 뛰어난 시간 영역 특성으로 인해 파형 왜곡이 가장 적습니다.

많이있다 다양한 방법으로상승 시간을 줄이고 진폭-주파수 응답을 향상시키기 위해 일정한 지연 시간을 부분적으로 희생하면서 시간 영역에서 베셀 필터의 성능을 향상시키려는 필터 설계입니다. 가우시안 필터는 베셀 필터만큼 좋은 위상 특성을 갖고 있지만 과도 응답이 향상되었습니다. 또 다른 흥미로운 클래스는 통과 대역의 지연 시간 곡선에서 동일한 리플(체비쇼프 필터의 진폭-주파수 특성의 리플과 유사)을 달성하고 최대 스펙트럼의 신호에 대해 거의 동일한 지연을 제공하는 필터입니다. 저지대역. 일정한 지연 시간을 갖는 필터를 생성하는 또 다른 접근 방식은 전체 통과 필터(시간 영역 이퀄라이저라고도 함)를 사용하는 것입니다. 이러한 필터는 일정한 진폭-주파수 응답을 가지며 특정 요구 사항에 따라 위상 변이를 변경할 수 있습니다. 따라서 이는 모든 필터, 특히 Butterworth 및 Chebyshev 필터의 지연 시간을 균등화하는 데 사용할 수 있습니다.

필터 비교. Bessel 필터의 과도 응답에 대한 이전 설명에도 불구하고 이 필터는 Butterworth 및 Chebyshev 필터에 비해 여전히 매우 우수한 시간 영역 특성을 가지고 있습니다. 매우 적합한 진폭-주파수 응답을 갖춘 체비쇼프 필터 자체는 이 세 가지 유형의 필터 중 시간 영역에서 최악의 매개변수를 갖습니다. 버터워스 필터는 주파수와 타이밍 특성을 절충합니다. 그림에서. 그림 5.15는 진폭-주파수 특성에 대한 이전 그래프를 보완하여 시간 영역에서 이러한 세 가지 유형의 필터 성능 특성에 대한 정보를 제공합니다. 이러한 데이터를 바탕으로 시간 영역의 필터 매개변수가 중요한 경우 베셀 필터를 사용하는 것이 바람직하다는 결론을 내릴 수 있습니다.

쌀. 5.15. 6극 저역 통과 필터의 과도 비교. 곡선은 3dB의 감쇠 값을 1Hz의 주파수로 줄여 정규화됩니다. 1 - 베셀 필터; 2 - 버터워스 필터; 3 - 체비쇼프 필터(리플 0.5dB).

버터워스 필터의 주파수 응답은 다음 방정식으로 설명됩니다.

버터워스 필터의 특징: 비선형 위상 응답; 극 수와 무관한 차단 주파수; 단계 입력 신호에 대한 과도 응답의 진동 특성. 필터 차수가 증가하면 진동 특성이 증가합니다.

체비쇼프 필터

체비쇼프 필터의 주파수 응답은 다음 방정식으로 설명됩니다.

어디 티 N 2 (ω/ω N ) – 체비쇼프 다항식 N-번째 주문.

체비쇼프 다항식은 반복 공식을 사용하여 계산됩니다.

체비쇼프 필터의 특징: 위상 응답의 불균일성 증가; 통과대역에서 파동과 같은 특성. 통과 대역에서 필터의 주파수 응답 불균일 계수가 높을수록 동일한 차수에서 천이 영역의 감소가 더 급격해집니다. 계단형 입력 신호의 일시적인 진동은 버터워스 필터의 진동보다 더 큽니다. Chebyshev 필터 극의 품질 계수는 Butterworth 필터의 품질 계수보다 높습니다.

베셀 필터

베셀 필터의 주파수 응답은 다음 방정식으로 설명됩니다.

어디
;비 N 2 (ω/ω CP 시간 ) – 베셀 다항식 N-번째 주문.

베셀 다항식은 반복 공식을 사용하여 계산됩니다.

베셀 필터의 특징: 가우스 함수로 근사화한 상당히 균일한 주파수 응답 및 위상 응답. 필터의 위상 변이는 주파수에 비례합니다. 즉, 필터에는 주파수 독립적인 그룹 지연 시간이 있습니다. 차단 주파수는 필터 극 수가 변경됨에 따라 변경됩니다. 필터의 주파수 응답은 일반적으로 Butterworth 및 Chebyshev의 주파수 응답보다 평탄합니다. 이 필터는 특히 펄스 회로 및 위상 감지 신호 처리에 적합합니다.

카우어 필터(타원형 필터)

Cauer 필터의 전달 함수에 대한 일반적인 보기

Cauer 필터의 특징: 통과대역과 저지대역의 주파수 응답이 고르지 않습니다. 위의 모든 필터 중 주파수 응답이 가장 급격히 떨어졌습니다. 다른 유형의 필터를 사용할 때보다 낮은 필터 차수로 필요한 전달 함수를 구현합니다.

필터 순서 결정

필요한 필터 차수는 아래 공식에 따라 결정되며 가장 가까운 정수 값으로 반올림됩니다. 버터워스 필터 차수

체비쇼프 필터 순서

베셀 필터의 경우 차수를 계산하는 공식이 없습니다. 대신, 주어진 주파수에서 지연 시간과 손실 수준(dB)의 최소 필수 편차에 필터 차수를 대응하는 표가 제공됩니다.

베셀 필터 차수를 계산할 때 다음 매개변수가 지정됩니다.

주어진 주파수에서 그룹 지연 시간의 허용 가능한 백분율 편차 ω ω CP 시간 ;

필터 이득 감쇠 수준은 주파수에서 dB 단위로 설정할 수 있습니다. ω , 기준으로 정규화됨 ω CP 시간 .

이러한 데이터를 기반으로 Bessel 필터의 필수 차수가 결정됩니다.

1차 및 2차 저역 통과 필터의 계단식 회로

그림에서. 12.4, 12.5는 저역 통과 필터 캐스케이드의 일반적인 회로를 보여줍니다.

ㅏ) 비)

쌀. 12.4. 버터워스(Butterworth), 체비쇼프(Chebyshev) 및 베셀(Bessel)의 저역 통과 필터 캐스케이드: ㅏ - 1차 주문; 비 - 2차

ㅏ) 비)

쌀. 12.5. Cauer 저역 통과 필터 캐스케이드: ㅏ - 1차 주문; 비 - 2차

1차 및 2차 버터워스, 체비쇼프, 베셀 저역 통과 필터의 전달 함수에 대한 일반적인 견해

,
.

1차 및 2차 Cauer 저역 통과 필터의 전달 함수에 대한 일반적인 보기

,
.

2차 Cauer 필터와 대역저지 필터의 주요 차이점은 Cauer 필터 전달 함수에서 주파수 비율이 Ω 에스 ≠ 1.

Butterworth, Chebyshev 및 Bessel 저역 통과 필터의 계산 방법

이 기술은 표에 제공된 계수를 기반으로 하며 Butterworth, Chebyshev 및 Bessel 필터에 유효합니다. Cauer 필터를 계산하는 방법은 별도로 제공됩니다. Butterworth, Chebyshev 및 Bessel 저역 통과 필터의 계산은 순서를 결정하는 것부터 시작됩니다. 모든 필터에 대해 최소 및 최대 감쇠 매개변수와 차단 주파수가 설정됩니다. 체비쇼프 필터의 경우 통과대역의 주파수 응답 불균일 계수가 추가로 결정되고, 베셀 필터의 경우 군지연 시간이 결정됩니다. 다음으로, 표에서 가져올 수 있는 필터의 전달 함수가 결정되고 1차 및 2차 캐스케이드가 계산되며 다음 계산 절차가 관찰됩니다.

필터의 순서와 유형에 따라 캐스케이드 회로가 선택되고 짝수 필터는 다음으로 구성됩니다. N/2 2차 캐스케이드 및 홀수차 필터 - 하나의 1차 캐스케이드 및 ( N– 1)/2차 캐스케이드 2개;

1차 캐스케이드를 계산하려면:

선택한 필터 유형과 순서에 따라 값이 결정됩니다. 비 1 1차 캐스케이드;

점유면적을 줄여 용량등급을 선정 씨 계산하고 아르 자형공식에 따라 (당신은 또한 선택할 수 있습니다 아르 자형, 하지만 선택하는 것이 좋습니다. 씨, 정확성 때문에)

;

이득이 계산됩니다. 에게 ~에 유 1 관계식으로 결정되는 1차 캐스케이드

어디 에게 ~에 유– 필터 전체의 이득; 에게 ~에 유 2 , …, 에게 ~에 유엔- 2차 캐스케이드의 이득 계수;

이익을 실현하려면 에게 ~에 유 1 다음 관계를 기반으로 저항을 설정해야 합니다.

아르 자형 비 = R ㅏ ּ (에게 ~에 U1 –1) .

2차 캐스케이드를 계산하려면:

점유 면적을 줄임으로써 컨테이너의 공칭 값이 선택됩니다. 씨 1 = 씨 2 = 씨;

계수는 표에서 선택됩니다. 비 1 나그리고 큐 파이 2차 캐스케이드의 경우;

주어진 커패시터 정격에 따라 씨 저항이 계산됩니다 아르 자형공식에 따르면

;

선택한 필터 유형에 대해 적절한 게인을 설정해야 합니다. 에게 ~에 우이 = 3 – (1/큐 파이) 각 2차 단계의 다음 관계식에 따라 저항을 설정하여

아르 자형 비 = R ㅏ ּ (에게 ~에 우이 –1) ;

베셀 필터의 경우 모든 커패시터의 정격에 필요한 그룹 지연 시간을 곱해야 합니다.

버터워스 필터

버터워스 저역 통과 필터 전달 함수 N-순서의 특징은 다음과 같습니다.

버터워스 필터의 진폭-주파수 응답에는 다음과 같은 속성이 있습니다.

1) 어떤 순서로든 N주파수 응답 값

2) 차단 주파수에서 u = u s

저역 통과 필터의 주파수 응답은 주파수가 증가함에 따라 단조롭게 감소합니다. 이러한 이유로 버터워스 필터를 평면 필터라고 합니다. 그림 3은 1~5차 버터워스 저역 통과 필터의 진폭-주파수 특성 그래프를 보여줍니다. 분명히, 필터의 차수가 높을수록 이상적인 저역 통과 필터의 주파수 응답이 더 정확하게 근사화됩니다.

그림 3 - 1부터 5까지의 저역 통과 버터워스 필터에 대한 주파수 응답

그림 4는 버터워스 고역 통과 필터의 회로 구현을 보여줍니다.

그림 4 - 버터워스 HPF-II

버터워스 필터의 장점은 통과대역 주파수에서 주파수 응답이 가장 매끄럽고 저지대역 주파수에서 거의 0으로 감소한다는 것입니다. 버터워스 필터는 억제 대역에서 특성의 급격한 롤오프를 제외하고 더 높은 차수의 주파수 응답 형태를 유지하는 유일한 필터인 반면, 다른 많은 유형의 필터(베셀 필터, 체비쇼프 필터, 타원 필터)는 서로 다른 차수에서 주파수 응답의 모양이 다릅니다.

그러나 체비쇼프 필터 유형 I 및 II나 타원형 필터에 비해 버터워스 필터는 더 평평한 롤오프를 가지므로 저지대역 주파수에서 원하는 성능을 제공하려면 차수가 더 높아야 합니다(구현하기가 더 어렵습니다).

체비쇼프 필터

체비쇼프 필터 전달 함수의 제곱 계수는 다음 식으로 결정됩니다.

체비쇼프 다항식은 어디에 있습니까? 체비쇼프 필터의 전달 함수 계수는 0이 되는 주파수에서 1과 같습니다.

체비쇼프 필터는 일반적으로 필요한 주파수 응답 특성, 특히 억제 대역에서 주파수를 효과적으로 억제하고 통과대역 주파수에서 주파수 응답의 부드러움을 제공하기 위해 소차수 필터를 사용해야 하는 경우에 사용됩니다. 억제 밴드는 그다지 중요하지 않습니다.

유형 I과 II의 체비쇼프 필터가 있습니다.

제1종 체비쇼프 필터. 이는 Chebyshev 필터의 보다 일반적인 수정입니다. 이러한 필터의 통과 대역에서는 리플이 표시되며 그 진폭은 리플 지수 e에 의해 결정됩니다. 아날로그 Chebyshev 전자 필터의 경우 그 차수는 구현에 사용되는 반응 구성 요소의 수와 같습니다. 필터 전달 함수에 복소 평면의 허수축에 0을 추가하여 통과 대역뿐만 아니라 억제 대역에서도 리플을 허용함으로써 특성의 급격한 감소를 얻을 수 있습니다. 그러나 이렇게 하면 저지대역에서 억제 효과가 덜해집니다. 결과 필터는 Cauer 필터라고도 알려진 타원 필터입니다.

그림 5에는 첫 번째 유형의 4차 체비쇼프 저역 통과 필터에 대한 주파수 응답이 나와 있습니다.

그림 5 - 1종 4차 체비쇼프 저역 통과 필터의 주파수 응답

유형 II 체비쇼프 필터(역체비쇼프 필터)는 유형 I 체비쇼프 필터에 비해 진폭 특성의 급격한 하락이 덜 하여 부품 수가 증가하므로 사용 빈도가 낮습니다. 통과대역에는 리플이 없으나 억제대역에는 존재합니다.

두 번째 유형의 4차 체비쇼프 저역 통과 필터에 대한 주파수 응답이 그림 6에 나와 있습니다.

그림 6 - 유형 II의 체비쇼프 저역 통과 필터에 대한 주파수 응답

그림 7은 1차 및 2차 체비쇼프 고역 통과 필터의 회로 구현을 보여줍니다.

그림 7 - 체비쇼프 고역 통과 필터: a) 1차; b) II 주문

체비쇼프 필터의 주파수 특성 속성:

1) 통과대역에서 주파수 응답은 등파 특성을 갖습니다. 간격(-1?sch?1)에는 다음이 있습니다. N함수가 최대값 1 또는 최소값 에 도달하는 지점입니다. n이 홀수이면 n이 짝수이면;

2) 차단 주파수에서 체비쇼프 필터의 주파수 응답 값은 다음과 같습니다.

3) 함수가 단조롭게 감소하여 0이 되는 경향이 있는 경우.

4) 매개변수 e는 통과대역에서 체비쇼프 필터의 주파수 응답 불균일성을 결정합니다.

버터워스 필터와 체비쇼프 필터의 주파수 응답을 비교하면 체비쇼프 필터가 동일한 차수의 버터워스 필터보다 통과대역에서 더 큰 감쇠를 제공한다는 것을 알 수 있습니다. 체비쇼프 필터의 단점은 통과대역의 위상-주파수 특성이 선형 특성과 크게 다르다는 것입니다.

버터워스 및 체비쇼프 필터의 경우 다양한 차수에 대한 전달 함수의 극 좌표와 계수를 보여주는 자세한 표가 있습니다.

DF의 주파수 특성 변환(LPF --> LPF1)

DF의 주파수 특성 변환(LPF --> HPF)

DF의 주파수 특성 변환(LPF --> PF)

DF의 주파수 특성 변환(LPF --> RF)

4차 버터워스 필터

DF의 주파수 특성 변환(LPF --> LPF1)

DF의 주파수 특성 변환(LPF --> HPF)

DF의 주파수 특성 변환(LPF --> PF)

DF의 주파수 특성 변환(LPF --> RF)

체비쇼프 필터 3차

DF의 주파수 특성 변환(LPF --> LPF1)

DF의 주파수 특성 변환(LPF --> HPF)

DF의 주파수 특성 변환(LPF --> PF)

DF의 주파수 특성 변환(LPF --> RF)

체비쇼프 필터 4개 주문

DF의 주파수 특성 변환(LPF --> LPF1)

DF의 주파수 특성 변환(LPF --> HPF)

DF의 주파수 특성 변환(LPF --> PF)

DF의 주파수 특성 변환(LPF --> RF)

베셀 필터 3차

DF의 주파수 특성 변환(LPF --> LPF1)

DF의 주파수 특성 변환(LPF --> HPF)

DF의 주파수 특성 변환(LPF --> PF)

DF의 주파수 특성 변환(LPF --> RF)

베셀 필터 4차

DF의 주파수 특성 변환(LPF --> LPF1)

DF의 주파수 특성 변환(LPF --> HPF)

DF의 주파수 특성 변환(LPF --> PF)

DF의 주파수 특성 변환(LPF --> RF)

주파수 응답에 대한 디지털 저역 통과 필터 계수 설정 시 오류의 영향을 분석합니다(계수 b 중 하나를 변경하여). 제이). 주파수 응답 변화의 성격을 설명합니다. 계수 중 하나를 변경하면 필터 동작에 미치는 영향에 대한 결론을 도출합니다.

4차 베셀 필터의 예를 사용하여 디지털 저역 통과 필터 계수 설정 시 오류가 주파수 응답에 미치는 영향을 분석합니다.

주파수 응답의 최대 편차가 약 10%가 되도록 계수 ε의 편차 값을 –1.5%로 선택하겠습니다.

"이상적인" 필터와 값 ε만큼 계수가 변경된 필터의 주파수 응답이 그림에 표시되어 있습니다.

그리고

그림은 계수 b 1 및 b 2의 변화가 주파수 응답에 가장 큰 영향을 미친다는 것을 보여줍니다 (그 값은 다른 계수의 값을 초과합니다). ε의 음수 값을 사용하면 양수 계수는 스펙트럼 하단 부분의 진폭을 감소시키는 반면 음수 계수는 진폭을 증가시킵니다. ε의 양수 값의 경우 모든 것이 반대 방향으로 발생합니다.