숫자는 0과 1이라는 두 자리 숫자만 사용하여 이진수 시스템으로 작성됩니다. 따라서 이 시스템은 실제로 전자에서 가장 쉽게 구현됩니다. 컴퓨터그리고 장치. 숫자를 어떻게 변환하는지 살펴보겠습니다. 이진 시스템계산기와 컴퓨터 프로그램의 도움 없이 일반적인 십진수부터 계산합니다.
정수
정수를 10진수에서 2진수로 변환하려면 정수를 2로 나눈 다음, 1이 나올 때까지 각 결과 몫을 2로 나누어야 합니다. 원하는 이진수는 마지막 몫(1)과 마지막부터 시작하여 모든 결과 나머지와 동일한 일련의 숫자로 기록됩니다.
예를 들어 보겠습니다.
숫자 23을 이진수로 변환해야 합니다.
- 23: 2 = 11 (나머지 1)
- 11:2 = 5(나머지 1)
- 5:2 = 2 (나머지 1)
- 2: 2 = 1 (나머지 0)
결과적으로 23 10 = 10111 2
숫자 88을 이진수로 변환해야 합니다.
- 88: 2 = 44 (나머지 0)
- 44: 2 = 22 (나머지 0)
- 22: 2 = 11 (나머지 0)
- 11:2 = 5(나머지 1)
- 5:2 = 2 (나머지 1)
- 2: 2 = 1 (나머지 0)
결과적으로 88 10 = 1011000 2
분수
이제 분수 십진수를 이진수 시스템으로 변환하는 알고리즘을 살펴보겠습니다. 이를 위해 위에서 설명한 절차에 따라 숫자의 정수 부분을 처리하고 분수 부분에 2를 곱합니다. 결과 제품의 분수 부분에 2를 다시 곱하고, 분수 부분이 0이 될 때까지 또는 지정된 이진 소수 자릿수에 필요한 근사치를 얻을 때까지 계속합니다. 필수 분수 부분 이진수우리는 처음부터 시작하여 결과 제품의 정수 부분과 동일한 소수점 이하의 일련의 숫자를 얻습니다.
여기 몇 가지 예가 있어요.
숫자 5.625를 이진수로 변환해야 합니다.
- 먼저 십진수의 정수 부분을 살펴보겠습니다.
- 5:2 = 2 (나머지 1)
- 2: 2 = 1 (나머지 0)
- 이제 분수 부분은 다음과 같습니다.
- 0,625 * 2 = 1,25
- 0,25 * 2 = 0,5
- 0,5 * 2 = 1,0
결과적으로 5 10 = 101 2
결과적으로 0.125 10 = 0.101 2
결과적으로 5.625 10 = 101.101 2
8.35를 소수점 이하 5자리의 정확도로 이진수로 변환해야 합니다.
- 전체 부분부터 시작해 보겠습니다.
- 8: 2 = 4 (나머지 0)
- 4: 2 = 2 (나머지 0)
- 2: 2 = 1 (나머지 0)
- 숫자의 분수 부분:
- 0,35 * 2 = 0,7
- 0,7 * 2 = 1,4
- 0,4 * 2 = 0,8
- 0,8 * 2 = 1,6
- 0,6 * 2 = 1,2
결과적으로 8 10 = 1000 2
결과적으로 0.35 10 = 0.01011 2 소수점 이하 5자리까지 정확합니다.
결과적으로 8.35 10 = 1000.01011 2 소수점 이하 5자리까지 정확합니다.
이것으로 온라인 계산기한 숫자 체계에서 다른 숫자 체계로 정수와 분수를 변환할 수 있습니다. 설명과 함께 자세한 솔루션이 제공됩니다. 번역하려면 원래 숫자를 입력하고 소스 번호의 숫자 체계 기준을 설정한 다음, 숫자를 변환하려는 숫자 체계의 기준을 설정하고 "번역" 버튼을 클릭하세요. 아래의 이론적인 부분과 수치적인 예를 참조하세요.
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정수와 분수를 한 숫자 체계에서 다른 숫자 체계로 변환 - 이론, 예제 및 솔루션
위치형과 비위치형이 있습니다 포지셔닝 시스템계산. 우리가 사용하는 아라비아 숫자 체계 일상 생활는 위치 지정이지만 Roman은 그렇지 않습니다. 위치 숫자 체계에서는 숫자의 위치에 따라 숫자의 크기가 고유하게 결정됩니다. 십진수 체계에서 숫자 6372의 예를 사용하여 이를 고려해 보겠습니다. 이 숫자에 0부터 시작하여 오른쪽에서 왼쪽으로 번호를 매기겠습니다.
그러면 숫자 6372는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .
숫자 10은 숫자 체계를 결정합니다(이 경우 10). 주어진 숫자의 위치 값이 거듭제곱으로 간주됩니다.
실수 십진수 1287.923을 생각해 보세요. 소수점부터 왼쪽과 오른쪽으로 숫자의 0 위치부터 번호를 매기자.
그러면 숫자 1287.923은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
1287.923 =1000+200+80 +7+0.9+0.02+0.003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3· 10 -3.
일반적으로 공식은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
Cn 에스 n +C n-1 · 에스 n-1 +...+C 1 · 에스 1 +C 0 ·s 0 +D -1 ·s -1 +D -2 ·s -2 +...+D -k ·s -k
여기서 Cn은 위치의 정수입니다. N, D -k - 위치(-k)의 분수, 에스- 숫자 체계.
숫자 체계에 대한 몇 마디 십진수 체계의 숫자는 많은 숫자(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)로 구성되며, 8진수 체계에서는 많은 숫자로 구성됩니다. (0,1, 2,3,4,5,6,7), 이진수 체계 - 숫자 집합 (0,1), 16진수 체계 - 숫자 집합 (0,1) ,2,3,4,5,6, 7,8,9,A,B,C,D,E,F), 여기서 A,B,C,D,E,F는 숫자 10,11에 해당합니다. 12,13,14,15. 표 Tab.1에서 숫자는 다음과 같습니다. 다양한 시스템계산.
| 1 번 테이블 | |||
|---|---|---|---|
| 표기법 | |||
| 10 | 2 | 8 | 16 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | ㅏ |
| 11 | 1011 | 13 | 비 |
| 12 | 1100 | 14 | 씨 |
| 13 | 1101 | 15 | 디 |
| 14 | 1110 | 16 | 이자형 | 15 | 1111 | 17 | 에프 |
한 숫자 체계에서 다른 숫자 체계로 숫자 변환
숫자를 한 숫자 체계에서 다른 숫자 체계로 변환하는 가장 쉬운 방법은 먼저 숫자를 다음 숫자 체계로 변환하는 것입니다. 십진법숫자 체계를 선택한 다음 10진수 체계에서 필요한 숫자 체계로 변환합니다.
임의의 숫자 체계에서 10진수 체계로 숫자 변환
공식 (1)을 사용하면 모든 숫자 체계의 숫자를 10진수 체계로 변환할 수 있습니다.
예 1. 숫자 1011101.001을 이진수 체계(SS)에서 십진수 SS로 변환합니다. 해결책:
1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 ·2 4 + 1 ·2 3 + 1 ·2 2 + 0 ·2 1 + 1 ·2 0 + 0 ·2 -1 + 0 ·2 -2 + 1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125
예2. 숫자 1011101.001을 8진수 체계(SS)에서 10진수 SS로 변환합니다. 해결책:
예 3 . 숫자 AB572.CDF를 16진수 체계에서 10진수 SS로 변환합니다. 해결책:
여기 ㅏ-10으로 대체, 비- 11시에 씨- 12시에 에프- 15시까지.
숫자를 10진수 체계에서 다른 숫자 체계로 변환
숫자를 십진수 체계에서 다른 숫자 체계로 변환하려면 숫자의 정수 부분과 숫자의 분수 부분을 별도로 변환해야 합니다.
숫자의 정수 부분은 숫자의 정수 부분을 숫자 체계의 밑수로 순차적으로 나누어 십진수 SS에서 다른 숫자 체계로 변환됩니다(이진수 SS의 경우 - 2, 8진 SS의 경우 - 8, 16의 경우). -ary SS - 16 등) 전체 잔여물이 얻어질 때까지 기본 CC보다 적습니다.
예 4 . 숫자 159를 10진수 SS에서 2진수 SS로 변환해 보겠습니다.
| 159 | 2 | ||||||
| 158 | 79 | 2 | |||||
| 1 | 78 | 39 | 2 | ||||
| 1 | 38 | 19 | 2 | ||||
| 1 | 18 | 9 | 2 | ||||
| 1 | 8 | 4 | 2 | ||||
| 1 | 4 | 2 | 2 | ||||
| 0 | 2 | 1 | |||||
| 0 |
그림에서 볼 수 있듯이. 도 1에서 숫자 159를 2로 나누면 몫이 79가 되고 나머지는 1이 됩니다. 또한 숫자 79를 2로 나누면 몫이 39가 되고 나머지가 1이 됩니다. 결과적으로 나눗셈 나머지(오른쪽에서 왼쪽으로)에서 숫자를 구성하면 이진 SS로 숫자를 얻습니다. 10011111 . 그러므로 우리는 다음과 같이 쓸 수 있습니다:
159 10 =10011111 2 .
예 5 . 숫자 615를 10진수 SS에서 8진수 SS로 변환해 보겠습니다.
| 615 | 8 | ||
| 608 | 76 | 8 | |
| 7 | 72 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 1 | |
| 1 |
숫자를 10진수 SS에서 8진수 SS로 변환할 때 8보다 작은 정수 나머지를 얻을 때까지 숫자를 8로 순차적으로 나누어야 합니다. 결과적으로 나눗셈 나머지(오른쪽에서 왼쪽으로)에서 숫자를 구성하면 다음을 얻습니다. 8진수 SS의 숫자: 1147 (그림 2 참조). 그러므로 우리는 다음과 같이 쓸 수 있습니다:
615 10 =1147 8 .
예 6 . 숫자 19673을 10진수 체계에서 16진수 SS로 변환해 보겠습니다.
| 19673 | 16 | ||
| 19664 | 1229 | 16 | |
| 9 | 1216 | 76 | 16 |
| 13 | 64 | 4 | |
| 12 |
그림 3에서 볼 수 있듯이 숫자 19673을 16으로 연속적으로 나누면 나머지는 4, 12, 13, 9입니다. 16진수 체계에서 숫자 12는 C에 해당하고 숫자 13은 D에 해당합니다. 16진수는 4CD9입니다.
일반 소수 분수(정수 부분이 0인 실수)를 밑이 s인 수 체계로 변환하려면 분수 부분이 순수한 0을 포함할 때까지 이 숫자에 s를 연속적으로 곱하거나 필요한 자릿수를 얻을 필요가 있습니다. . 곱셈 중에 0이 아닌 정수 부분이 있는 숫자를 얻으면 이 정수 부분은 고려되지 않습니다(결과에 순차적으로 포함됩니다).
위의 내용을 예시와 함께 살펴보겠습니다.
예 7 . 숫자 0.214를 10진수 체계의 2진수 SS로 변환해 보겠습니다.
| 0.214 | ||
| 엑스 | 2 | |
| 0 | 0.428 | |
| 엑스 | 2 | |
| 0 | 0.856 | |
| 엑스 | 2 | |
| 1 | 0.712 | |
| 엑스 | 2 | |
| 1 | 0.424 | |
| 엑스 | 2 | |
| 0 | 0.848 | |
| 엑스 | 2 | |
| 1 | 0.696 | |
| 엑스 | 2 | |
| 1 | 0.392 |
그림 4에서 알 수 있듯이 숫자 0.214에 2가 순차적으로 곱해진다. 곱셈의 결과가 0이 아닌 정수 부분을 갖는 숫자인 경우 정수 부분을 별도로(숫자 왼쪽에) 쓴다. 숫자는 0의 정수 부분으로 작성됩니다. 곱셈 결과 정수 부분이 0인 숫자가 나오면 왼쪽에 0이 기록됩니다. 곱셈 과정은 분수 부분이 순수한 0에 도달하거나 필요한 자릿수를 얻을 때까지 계속됩니다. 위에서 아래로 굵은 숫자(그림 4)를 쓰면 이진수 시스템에서 필요한 숫자인 0을 얻습니다. 0011011 .
그러므로 우리는 다음과 같이 쓸 수 있습니다:
0.214 10 =0.0011011 2 .
예 8 . 숫자 0.125를 10진수 체계에서 2진수 SS로 변환해 보겠습니다.
| 0.125 | ||
| 엑스 | 2 | |
| 0 | 0.25 | |
| 엑스 | 2 | |
| 0 | 0.5 | |
| 엑스 | 2 | |
| 1 | 0.0 |
0.125라는 숫자를 10진수 SS에서 2진수로 변환하려면 이 숫자에 2를 순차적으로 곱합니다. 세 번째 단계에서 결과는 0입니다. 결과적으로 다음과 같은 결과를 얻습니다.
0.125 10 =0.001 2 .
예 9 . 숫자 0.214를 10진수 체계에서 16진수 SS로 변환해 보겠습니다.
| 0.214 | ||
| 엑스 | 16 | |
| 3 | 0.424 | |
| 엑스 | 16 | |
| 6 | 0.784 | |
| 엑스 | 16 | |
| 12 | 0.544 | |
| 엑스 | 16 | |
| 8 | 0.704 | |
| 엑스 | 16 | |
| 11 | 0.264 | |
| 엑스 | 16 | |
| 4 | 0.224 |
예제 4와 5에 따르면 숫자 3, 6, 12, 8, 11, 4를 얻습니다. 그러나 16진수 SS에서 숫자 12와 11은 숫자 C와 B에 해당합니다. 따라서 다음을 얻습니다.
0.214 10 =0.36C8B4 16 .
예 10 . 숫자 0.512를 10진수 체계에서 8진수 SS로 변환해 보겠습니다.
| 0.512 | ||
| 엑스 | 8 | |
| 4 | 0.096 | |
| 엑스 | 8 | |
| 0 | 0.768 | |
| 엑스 | 8 | |
| 6 | 0.144 | |
| 엑스 | 8 | |
| 1 | 0.152 | |
| 엑스 | 8 | |
| 1 | 0.216 | |
| 엑스 | 8 | |
| 1 | 0.728 |
갖다:
0.512 10 =0.406111 8 .
예 11 . 숫자 159.125를 10진수 체계에서 2진수 SS로 변환해 보겠습니다. 이를 위해 숫자의 정수 부분(예 4)과 숫자의 분수 부분(예 8)을 별도로 변환합니다. 이러한 결과를 추가로 결합하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.
159.125 10 =10011111.001 2 .
예 12 . 숫자 19673.214를 10진수 체계에서 16진수 SS로 변환해 보겠습니다. 이를 위해 숫자의 정수 부분(예 6)과 숫자의 분수 부분(예 9)을 별도로 변환합니다. 또한 이러한 결과를 결합하여 우리는 얻습니다.
1. 서수 계산 다양한 시스템계산.
안에 현대 생활우리는 위치 숫자 시스템, 즉 숫자로 표시된 숫자가 숫자 표기에서 숫자의 위치에 따라 달라지는 시스템을 사용합니다. 따라서 앞으로는 "위치"라는 용어를 생략하고 이들에 대해서만 설명하겠습니다.
한 시스템에서 다른 시스템으로 숫자를 변환하는 방법을 배우기 위해 십진법의 예를 사용하여 숫자의 순차적 기록이 어떻게 발생하는지 이해합니다.
우리는 십진수 체계를 가지고 있기 때문에 숫자를 구성하는 데에는 10개의 기호(숫자)가 있습니다. 우리는 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9로 세기 시작합니다. 숫자는 끝났습니다. 숫자의 비트 심도를 높이고 하위 숫자를 재설정합니다: 10. 그런 다음 모든 숫자가 사라질 때까지 하위 숫자를 다시 증가시킵니다: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. 상위 숫자를 1 증가시키고 하위 숫자를 재설정합니다. 20. 두 숫자에 모든 숫자를 사용하면(숫자 99가 됨) 숫자의 자릿수 용량을 다시 늘리고 재설정합니다. 기존 숫자: 100. 등등.
두 번째, 세 번째, 다섯 번째 시스템에서도 동일한 작업을 수행해 보겠습니다(두 번째 시스템, 세 번째 등에 대한 표기법을 소개합니다).
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 10 | 3 |
| 4 | 100 | 11 | 4 |
| 5 | 101 | 12 | 10 |
| 6 | 110 | 20 | 11 |
| 7 | 111 | 21 | 12 |
| 8 | 1000 | 22 | 13 |
| 9 | 1001 | 100 | 14 |
| 10 | 1010 | 101 | 20 |
| 11 | 1011 | 102 | 21 |
| 12 | 1100 | 110 | 22 |
| 13 | 1101 | 111 | 23 |
| 14 | 1110 | 112 | 24 |
| 15 | 1111 | 120 | 30 |
숫자 체계의 밑수가 10보다 큰 경우 추가 문자를 입력해야 하며 라틴 알파벳 문자를 입력하는 것이 일반적입니다. 예를 들어, 12자리 시스템의 경우 10자리 외에 두 개의 문자( 및 )가 필요합니다.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 4 |
| 5 | 5 |
| 6 | 6 |
| 7 | 7 |
| 8 | 8 |
| 9 | 9 |
| 10 | |
| 11 | |
| 12 | 10 |
| 13 | 11 |
| 14 | 12 |
| 15 | 13 |
2. 십진수 체계를 다른 체계로 변환합니다.
양의 정수 십진수를 다른 밑수를 사용하는 숫자 체계로 변환하려면 이 숫자를 밑수로 나누어야 합니다. 결과 몫을 밑으로 다시 나누고, 몫이 밑보다 작아질 때까지 더 나눕니다. 결과적으로 마지막 몫과 마지막부터 시작하여 모든 나머지를 한 줄에 기록하십시오.
예시 1.십진수 46을 이진수 체계로 변환해 보겠습니다.
예시 2. 10진수 672를 8진수 체계로 변환해 보겠습니다.
예시 3. 10진수 934를 16진수 체계로 변환해 보겠습니다.
3. 숫자 체계를 십진수로 변환합니다.
다른 시스템의 숫자를 십진수로 변환하는 방법을 배우기 위해 십진수에 대한 일반적인 표기법을 분석해 보겠습니다.
예를 들어, 십진수 325는 5 단위, 2는 십, 3은 백입니다.
상황은 다른 숫자 체계에서도 똑같습니다. 단지 10, 100 등이 아니라 숫자 체계의 밑수를 곱할 것입니다. 예를 들어, 삼항 수 체계에서 숫자 1201을 생각해 보겠습니다. 0부터 시작하여 오른쪽에서 왼쪽으로 숫자의 번호를 매기고 우리 숫자를 숫자와 3의 숫자 곱셈의 합으로 상상해 봅시다.
이것은 숫자의 십진수 표기법입니다.
예시 4. 10진수 체계로 변환해 보겠습니다. 8진수 511.
실시예 5. 16진수 1151을 10진수 체계로 변환해 보겠습니다.
4. 이진법에서 "2의 거듭제곱"(4, 8, 16 등)을 기본으로 하는 시스템으로 변환합니다.
이진수를 "2의 거듭제곱"을 기본으로 하는 숫자로 변환하려면 이진수 시퀀스를 오른쪽에서 왼쪽으로 거듭제곱과 동일한 자릿수에 따라 그룹으로 나누고 각 그룹을 해당 숫자로 대체해야 합니다. 새로운 시스템계산.
예를 들어 이진수 1100001111010110을 8진법으로 변환해 보겠습니다. 이를 위해 오른쪽(부터)부터 시작하여 3개의 문자 그룹으로 나눈 다음 대응표를 사용하여 각 그룹을 새 숫자로 바꿉니다.
우리는 1단계에서 대응표를 작성하는 방법을 배웠습니다.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
저것들.
실시예 6.이진수 1100001111010110을 16진수로 변환해 보겠습니다.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | ㅏ |
| 1011 | 비 |
| 1100 | 씨 |
| 1101 | 디 |
| 1110 | 이자형 |
| 1111 | 에프 |
5. 기본 "2의 거듭제곱"(4, 8, 16 등)을 사용하는 시스템을 이진수로 변환합니다.
이 번역은 반대 방향으로 수행된 이전 번역과 유사합니다. 각 숫자를 대응표의 이진법 숫자 그룹으로 대체합니다.
실시예 7. 16진수 C3A6을 2진수 체계로 변환해 보겠습니다.
이렇게 하려면 숫자의 각 자릿수를 대응표의 4자리 그룹(이후 )으로 바꾸고, 필요한 경우 그룹의 시작 부분에 0을 추가합니다.
