1. Логические величины, операции, выражения. Логические выражения в качестве условий в ветвящихся и циклических алгоритмах.
Для того чтобы понять работу ветвящихся и циклических алгоритмов, рассмотрим понятие логического выражения.
В некоторых случаях выбор варианта действий в программе должен зависеть от того, как соотносятся между собой значения каких-то переменных.
Например, расчёт корней квадратного уравнения производится по-разному в зависимости от дискриминанта (вспомните математику).
В результате сравнения значений двух выражений возможны два варианта ответа: сравнение истинно или ложно ?
Например:
2+3 > 3+1 - да (истинно)
0 < -5 - нет (ложно)
Выражения такого вида мы будем называть логическими выражениями .
Логическое выражение, подобно математическому выражению, выполняется (вычисляется), но в результате получается не число, а логическое значение: истина (true) или ложь (false). Логическая величина - это всегда ответ на вопрос, истинно ли данное высказывание.
Нам известны шесть операций сравнения:
С помощью этих операций мы будем составлять логические выражения. Причём в выражениях не обязательно присутствуют только константы, но и переменные.
Как выполняются операции отношения для числовых величин понятно из математики. Как же сравниваются символьные величины? Отношение «равно» истинно для двух символьных величин, если их длинны одинаковы и все соответствующие символы совпадают. Следует учитывать, что пробел тоже символ.
Символьные величины можно сопоставлять и в отношениях >, <, >=, <=. Здесь упорядоченность слов (последовательности символов) определяется по алфавитному принципу.
«кот» = «кот»
«кот» < «лис»
«кот» > «дом»
Выражение, состоящее из одной логической величины или одного отношения, будем называть простым логическим выражением.
Часто встречаются задачи, в которых используются не отдельные условия, а совокупность связанных между собой условий (отношений). Например, в магазине вам нужно выбрать туфли, размер которых r = 45, цвет color = белый, цена price не более 400руб.
Другой пример: школьник выяснил, что сможет купить шоколадку, если она стоит 3руб. или 3руб. 50коп.
В первом примере мы имеем дело с тремя отношениями, связанными между собой союзом "и" и частицей "не", во втором - с двумя отношениями, связанными союзом "или". Подобные условия назовём составными , и для их обозначения в алгоритме договоримся использовать союзы "и ", "или ", "не ", которые будем рассматривать как знаки логических операций, позволяющих из простых условий создавать составные, подобно тому, как из простых переменных и констант с помощью знаков +, - и т. д. можно создавать алгебраические выражения.
Так условия наших примеров в алгоритме могут выглядеть таким образом:
первое: (r = 45) и (color = белый) и (не (price>400))
второе: (цена=3) или (цена=3.5)
Выражение, содержащее логические операции, будем называть сложным логическим выражением.
Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза «и» называется операцией логического умножения или конъюнкцией .
В результате логического умножения (конъюнкции) получается истина, если истинны все логические выражения.
Объединение двух (или нескольких) высказываний с по мощью союза «или» называется операцией логического сложения или дизъюнкцией .
В результате логического сложения (дизъюнкции) получается истина, если истинно хотя бы одно логическое выражения.
Присоединение частицы «не» к высказыванию называется операцией логического отрицания или инверсией .
Отрицание изменяет значение логической величины на противоположное: не истина = ложь; не ложь = истина.
Если в сложном логическом выражении имеется несколько логических операций, то возникает вопрос, в каком порядке их выполнит компьютер. По убыванию старшинства логические операции располагаются в таком порядке:
отрицание (не );
конъюнкция (и );
дизъюнкция (или ).
В логических выражениях можно использовать круглые скобки. Так же как и в математических формулах, скобки влияют на последовательность выполнения операций. Если нет скобок, то операции выполняются в порядке их старшинства.
Пример. Пусть a, b, c - логические величины, которые имеют следующие значения: a = истина, b = ложь, c = истина. Необходимо определить результаты вычисления следующих логических выражений:
a и b
a или b
не a или b
a и b или c
a или b и c
не a или b и c
(a или b) и (с или b)
не (a или b) и (с или b)
не (a и b и c)
Получим в результате:
Пример . Составить алгоритм для вычисления:
Алгоритм Вычисление x
начало
ввод (а, c)
если (4*а – с >=0) и (а<>0) то
начало
x:= корень(4*а – с)/(2*a)
вывод (х)
конец
иначе
вывод («нет решения»)
конец
Компьютер сначала проверит условие (4*а - с >=0) и (а<>0) и если оно окажется истинно, то вычислить x, иначе выведет сообщение «нет решения».
Пример . Составить алгоритм для вычисления суммы всех чисел от 1 до n.
Алгоритм Вычисление суммы чисел
переменные a, c, x - вещественные
начало
ввод (n)
x:= 1
пока x
s:= s + x
x:= x +1
конец
вывод (s)
конец
До тех пор пока условие x Описание презентации по отдельным слайдам: 1
слайд
Описание слайда:
Логические величины, операции, выражения. (10 класс) Выполнила: учитель информатики МБОУ Салганской СОШ-Глухова Т.И. 2
слайд
Описание слайда:
К числу основных понятий логики относятся: Высказывание Логическая величина Логические операции Логические выражения Формулы 3
слайд
Описание слайда:
Высказывание (суждение) – это повествовательное предложение, в котором что-либо утверждается или отрицается. По поводу любого высказывания можно сказать, истинно оно или ложно. Например: « На улице идёт дождь» будет истинным или ложным в зависимости от состояния погоды в данный момент. Истинность высказывания «Значение больше, чем », записанного в форме неравенства: > , будет зависеть от значений переменных и. 4
слайд
Описание слайда:
Какие из предложений являются высказываниями? Определить их истинность. Какой длины эта лента? Прослушайте сообщение. Делайте утреннюю зарядку! Назовите устройство ввода информации. Кто отсутствует? Париж - столица Англии. Число 11 является простым. 4 + 5 = 10. Без труда не вытащишь и рыбку из пруда. Сложите числа 2 и 5. Некоторые медведи живут на севере. Все медведи - бурые. Чему равно расстояние от Москвы до Ленинграда? 5
слайд
Описание слайда:
Логические величины – это понятия, выражаемые словами: ИСТИНА, ЛОЖЬ(true, false). Следовательно, истинность высказывания выражается через логические величины. Логическая переменная: символически обозначенная логическая величина. Например: если известно, что А,В,Х, Y и др. – переменные логические величины, то, значит они могут принимать значение только ИСТИНА или ЛОЖЬ. Логическое выражение – простое или сложное высказывание. Сложное высказывание строится на простых с помощью логических операций(связок) 6
слайд
Описание слайда:
Логические операции Конъюнкция(логическое умножение) Двухместная операция, записывается в виде A & B. Значение такого выражения будет ЛОЖЬ, если значение хотя бы одного операнда ложно. Дизъюнкция(логическое сложение) Двухместная операция, записывается в виде A V B. Значение такого выражения будет ИСТИНА, если значение хотя бы одного операнда истинно. Отрицание – унарная(одноместная) операция. Записывается в виде ¬ А или Ā. 7
слайд
8
слайд
Описание слайда:
Логическая формула – формула, содержащая лишь логические величины и знаки логических операций. Результатом вычисления логической формулы является ИСТИНА или ЛОЖЬ Последовательность выполнения операций в логических формулах определяется старшенством операций. В порядке убывания старшенства логические операции расположены так: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция. Кроме того, на порядок выполнения операций влияют скобки, которые можно использовать в логических формулах. Например: (A&B)v(Ā&B)v(Ā&В) 9
слайд
Описание слайда:
Пример 1: Вычислить значение логической формулы ¬ X & Y v X & Z Если логические переменные имеют следующие значения: Х=ЛОЖЬ,Y= ИСТИНА, Z=ИСТИНА. Решение: Отметим цифрами сверху порядок выполнения операций в формуле: Используя таблицу истинности, вычислим формулу по шагам: ¬ ЛОЖЬ = ИСТИНА; ИСТИНА & ИСТИНА = ИСТИНА; ЛОЖЬ & ИСТИНА = ЛОЖЬ; ИСТИНА v ЛОЖЬ = ИСТИНА. ¬ X & Y v X & Z 1 2 3 4 10
слайд
Описание слайда:
Пример 2 Определите значение логического выражения: не (X > Z) и не (X = Y), если: 1) X = 3, Y = 5, Z = 2; 2) X = 0, Y = 1, Z = 19; 3) X = 5, Y = 0, Z = -8; 4) X = 9,Y = -9, Z = 9. 11
слайд
Описание слайда:
Логические функции на области числовых значений Алгебра чисел пересекаются с алгеброй логики в тех случаях, когда приходится проверять принадлежность значений алгебраических выражений некоторому множеству. Например, принадлежность значения числовой переменной Х множеству положительных чисел выражается через высказывание: «Х больше нуля». Символически это записывается так: Х > 0. В алгебре такое выражение называется неравенством, а в логике – отношением. Отношение Х>0 может быть истинным или ложным. Если Х положительная величина, то оно истинно, если отрицательная, то ложно. В общем виде отношение имеет следующую структуру: <выражение 1> <знак отношения> <выражение2> Знаки отношений: = ; <>; >; <; >= ; <=. 12
слайд
Описание слайда:
Отношение – это простое высказывание, а значит логическая величина. Оно может быть как постоянной: 5>0 –всегда ИСТИНА, 3≠6:2 –всегда ЛОЖЬ; так и переменной:a 13
слайд
Описание слайда:
Пример: Записать предикат(логическую функцию) от двух вещественных аргументов Xи Y , который будет принимать значение ИСТИНА, если точка на координатной плоскости с координатами X и Y лежит внутри единичной окружности с центром в начале координат. Решение: Из геометрических соображений понятно, что для всех точек, лежащих внутри единичной окружности, будет истинным значение следующей логической функции: F(X,Y)=(X2 +Y2 <1) Для значений координат точек, лежащих на окружности и вне её, значение функции Y будет ложным. 1 1 -1 0 Y X 14
слайд
Описание слайда:
Логические выражения на Паскале Логические константы: true(истина), false(ложь). Логические переменные: описываются с типом Boolean. Операции отношения: осуществляют сравнение двух операндов и определяют, истинно или ложно соответствующее отношение между ними. Знаки операций отношения Логические операции: not –отрицание; and – логическое умножение(конъюнкция); or –логическое сложение (дизъюнкция); xor – исключение ИЛИ. Таблица истинности для этих операций(T- true, F-false) = ; <>; >; <; >= ; <=. A B not A A and B A or B AxorB T T F T T F T F F F T T F T T F T T F F T F F F К числу основных понятий логики относятся: Высказывание Логическая величина Логические операции Логические выражения Формулы Высказывание (суждение) – это повествовательное предложение, в котором что-либо утверждается или отрицается. По поводу любого высказывания можно сказать, истинно оно или ложно. Например: « На улице идёт дождь» будет истинным или ложным в зависимости от состояния погоды в данный момент. Истинность высказывания «Значение больше, чем » , записанного в форме неравенства: > , будет зависеть от значений переменных и. Какие из предложений являются высказываниями? Определить их истинность. Какой длины эта лента? Прослушайте сообщение. Делайте утреннюю зарядку! Назовите устройство ввода информации. Кто отсутствует? Париж - столица Англии. Число 11 является простым. 4 + 5 = 10. Без труда не вытащишь и рыбку из пруда. Сложите числа 2 и 5. Некоторые медведи живут на севере. Все медведи — бурые. Чему равно расстояние от Москвы до Ленинграда? Логические величины – это понятия, выражаемые словами: ИСТИНА, ЛОЖЬ(true, false). Следовательно, истинность высказывания выражается через логические величины. Логическая переменная: символически обозначенная логическая величина. Например: если известно, что А, В, Х, Y и др. – переменные логические величины, то, значит они могут принимать значение только ИСТИНА или ЛОЖЬ. Логическое выражение – простое или сложное высказывание. Сложное высказывание строится на простых с помощью логических операций(связок) Логические операции Конъюнкция (логи ческое умножение) Двухместная операция, записывается в виде A & B. Значение такого выражения будет ЛОЖЬ, если значение хотя бы одного операнда ложно. Дизъюнкция (логи ческое сложение) Двухместная операция, записывается в виде A V B. Значение такого выражения будет ИСТИНА, если значение хотя бы одного операнда истинно. Отрицание – унарная(одноместная) операция. Записывается в виде ¬ А или Ā. Логическая формула – формула, содержащая лишь логические величины и знаки логических операций. Результатом вычисления логической формулы является ИСТИНА или ЛОЖЬ Последовательность выполнения операций в логических формулах определяется старшенством операций. В порядке убывания старшенства логические операции расположены так: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция. Кроме того, на порядок выполнения операций влияют скобки, которые можно использовать в логических формулах. Например: (A&B)v(Ā&B)v(Ā&В) Пример 1: Вычислить значение логической формулы ¬ X & Y v X & Z Если логические переменные имеют следующие значения: Х=ЛОЖЬ, Y= ИСТИНА, Z=ИСТИНА. Решение: Отметим цифрами сверху порядок выполнения операций в формуле: Используя таблицу истинности, вычислим формулу по шагам: 1. ¬ ЛОЖЬ = ИСТИНА; 2. ИСТИНА & ИСТИНА = ИСТИНА; 3. ЛОЖЬ & ИСТИНА = ЛОЖЬ; 4. ИСТИНА v ЛОЖЬ = ИСТИНА. ¬ X & Y v X & Z ПРИМЕР 2 Определите значение логического выражения: не (X > Z) и не (X = Y), если: 1) X = 3, Y = 5, Z = 2; 2) X = 0, Y = 1, Z = 19; 3) X = 5, Y = 0, Z = -8; 4) X = 9, Y = -9, Z = 9. Логические функции на области числовых значений Алгебра чисел пересекаются с алгеброй логики в тех случаях, когда приходится проверять принадлежность значений алгебраических выражений некоторому множеству. Например, принадлежность значения числовой переменной Х множеству положительных чисел выражается через высказывание: «Х больше нуля» . Символически это записывается так: Х > 0. В алгебре такое выражение называется неравенством, а в логике – отношением. Отношение Х>0 может быть истинным или ложным. Если Х положительная величина, то оно истинно, если отрицательная, то ложно. В общем виде отношение имеет следующую структуру: Знаки отношений: = ; ; >; = ; <=. Отношение – это простое высказывание, а значит логическая величина. Оно может быть как постоянной: 5>0 –всегда ИСТИНА, 3≠ 6: 2 –всегда ЛОЖЬ; так и переменной: a0) или P(x, y)=(x Пример: Записать предикат(логическую функцию) от двух вещественных аргументов Xи Y , который будет принимать значение ИСТИНА, если точка на координатной плоскости с координатами X и Y лежит внутри единичной окружности с центром в начале координат. 1 1 -1 0 Y X Решение: Из геометрических соображений понятно, что для всех точек, лежащих внутри единичной окружности, будет истинным значение следующей логической функции: F(X, Y)=(X 2 +Y 2 <1) Для значений координат точек, лежащих на окружности и вне её, значение функции Y будет ложным. Логические выражения на Паскале Логические константы: true (истина), false (ложь). Логические переменные: описываются с типом Boolean. Операции отношения: осуществляют сравнение двух операндов и определяют, истинно или ложно соответствующее отношение между ними. Знаки операций отношения Логические операции: not –отрицание; and – логическое умножение(конъюнкция); or –логическое сложение (дизъюнкция); xor – исключение ИЛИ. Таблица истинности для этих операций(T- true, F-false) = ; ; >; = ; <=. A B not A A and B A or B A xor B T T F T F F F T T Логическое выражение может состоять из логических констант и переменных, отношений, логических операций. Логическое выражение принимает значение true или false. Например, логическая формула На Паскале запишется в виде следующего логического выражения: not X and Y or X and Z , где X, Y, Z –переменные Boolean. Логические переменные располагаются в следующем порядке по убыванию старшенства(приоритета): 1) not 2) and 3) or, xor. Операции отношения имеют самый низкий приоритет. Поэтому если операндами логической операции являются отношения, то их следует заключать в круглые скобки. Например, математическому неравенству 1≤ Х ≤ 50 соответствует следующее логическое выражение: (1<=X) and (X<=50)¬ X & Y v X & Z Логическая функция odd(x) – логическая функция определения четности аргумента, равна true , если x- нечетное, и равна false, если x- четное; trunc (x) – целочисленная функция от вещественного аргумента, возвращающая ближайшее целое число, не превышающее x по модулю. Для правильной записи сложного логического выражения(предиката) нужно учитывать относительные предикаты арифметических, логических операций и операций отношений, поскольку все они могут присутствовать в логическом выражении. По убыванию приоритета операции располагаются в следующем порядке: 1. Арифметические операции: -. (минус унарный) *, / +, — 2. Логические операции: not and or, xor 3. Операции отношения: =, >, =, <=
(0,1), и ложь - в противном случае.
Следовательно, результат конъюнкции - истина, если истинны оба операнда. Знак
операции дизъюнкции v читается как частица или.
Например, (х = 0) v (х = 1) читается «х равно 0 или х равно 1». Формула дает истину, если х - двоичная цифра (0 или 1).
Следовательно, дизъюнкция дает в результате истину, если хотя бы один операнд -
истина.В Паскале логические значения обозначаются служебными
словами false (ложь) и true (истина), а идентификатор логического
типа - boolean.
Описание презентации ЛОГИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ, ОПЕРАЦИИ, ВЫРАЖЕНИЯ. (10 КЛАСС) по слайдам
