Să fie 2 funcții:
: A→B și g: D→F
Fie inclus domeniul de definiție D al funcției g în domeniul valorilor funcției f (DB). Apoi puteți defini o nouă funcție - suprapunere (compunere, funcție complexă) funcțiile f și g: z= g( (X)).
Exemple. f(x)=x 2 , g(x)=e x . f:R→R, g:R→R .
(g(x))=e 2x , g((x))=.
Definiție
Să fie două funcții. Atunci compoziția lor este funcția definită de egalitate:
Proprietăți de compoziție
Compoziția este asociativă:
Dacă F= id X- cartografiere identică cu X, acesta este
.
Dacă G= id Y- cartografiere identică cu Y, acesta este
.
Proprietăți suplimentare
Seturi numărabile și nenumărate.
Două mulțimi finite constau dintr-un număr egal de elemente dacă se poate stabili o corespondență unu-la-unu între aceste mulțimi. Numărul de elemente ale unei mulțimi finite este cardinalitatea mulțimii.
Pentru un set infinit, se poate stabili o corespondență unu-la-unu între întregul set și partea sa.
Cea mai simplă dintre mulțimile infinite este mulțimea N.
Definiție. Se numesc multimile A si B echivalent(AB), dacă între ei se poate stabili o corespondență unu-la-unu.
Dacă două mulțimi finite sunt echivalente, atunci ele constau din același număr de elemente.
Dacă seturile A și B care sunt echivalente între ele sunt arbitrare, atunci se spune că A și B au același lucru putere. (putere = echivalență).
Pentru multimile finite, conceptul de cardinalitate coincide cu conceptul de numarul de elemente ale multimii.
Definiție. Setul este numit numărabile, dacă este posibil să se stabilească o corespondență unu-la-unu între aceasta și mulțimea numerelor naturale. (Adică o mulțime numărabilă este infinită, echivalentă cu mulțimea N).
(Adică toate elementele unui set numărabil pot fi numerotate).
Proprietățile relațiilor de putere egală.
1) AA - reflexivitate.
2) AB, apoi BA – simetrie.
3) AB și BC, atunci AC este tranzitivitatea.
Exemple.
1) n→2n, 2,4,6,… - chiar naturale
2) n→2n-1, 1,3,5,… - cele naturale impare.
Proprietățile seturilor numărabile.
1. Submulțimile infinite ale unei mulțimi numărabile sunt numărabile.
Dovada. Deoarece A este numărabil, apoi A: x 1, x 2,... - mapat A la N.
ВА, В: →1,→2,... - a atribuit fiecărui element B un număr natural, adică. mapat B la N. Prin urmare, B este numărabil. etc.
2. Unirea unui sistem finit (numărabil) de mulțimi numărabile este numărabilă.
Exemple.
1. Mulțimea numerelor întregi Z este numărabilă, deoarece mulţimea Z poate fi reprezentată ca o uniune a mulţimilor numărabile A şi B, unde A: 0,1,2,.. şi B: -1,-2,-3,...
2. Loturi ordonat perechi ((m,n): m,nZ) (adică (1,3)≠(3,1)).
3 (!) . Mulțimea numerelor raționale este numărabilă.
Q=. Se poate stabili o corespondență unu-la-unu între mulțimea fracțiilor ireductibile Q și mulțimea perechilor ordonate:
Acea. mulţimea Q este echivalentă cu mulţimea ((p,q))((m,n)).
Mulțimea ((m,n)) – mulțimea tuturor perechilor ordonate – este numărabilă. În consecință, mulțimea ((p,q)) este numărabilă și, prin urmare, Q este numărabilă.
Definiție. Un număr irațional este o zecimală infinită arbitrară neperiodică fracție, adică 0 , 1 2 …
Mulțimea tuturor fracțiilor zecimale formează mulțimea numere reale (reale).
Mulțimea numerelor iraționale este de nenumărat.
Teorema 1. Mulțimea numerelor reale din intervalul (0,1) este o mulțime nenumărabilă.
Dovada. Să presupunem contrariul, adică. că toate numerele din intervalul (0,1) pot fi numerotate. Apoi, scriind aceste numere sub formă de fracții zecimale infinite, obținem șirul:
x 1 =0,a 11 a 12 ...a 1n ...
x 2 =0,a 21 a 22 …a 2n …
…………………..
x n =0,a n 1 a n 2 …a nn …
……………………
Să considerăm acum numărul real x=0,b 1 b 2 …b n…, unde b 1 este orice număr diferit de a 11, (0 și 9), b 2 este orice număr diferit de a 22, (0 și 9). ) ,…, b n - orice număr diferit de a nn, (0 și 9).
Acea. x(0,1), dar xx i (i=1,…,n) deoarece în caz contrar, b i =a ii . Am ajuns la o contradicție. etc.
Teorema 2. Orice interval al axei reale este o mulțime nenumărabilă.
Teorema 3. Mulțimea numerelor reale este de nenumărat.
Despre orice mulțime echivalentă cu mulțimea numerelor reale se spune că este putere continuu(Latin continuum – continuu, continuu).
Exemplu. Să arătăm că intervalul are puterea unui continuum.
Funcția y=tg x: →R afișează intervalul pe întreaga linie numerică (grafic).
- (Lat. târzie superpositio, - suprapunere, din Lat. superpositus - aşezat deasupra) (compoziţie) - operaţie logico-matematică. calcul, care constă în obţinerea din k.l. funcțiile date f și g ale unui calcul dat optiune noua g (f) (expresia g... ... Enciclopedie filosofică
Termenul de suprapunere (suprapunere) se poate referi la următoarele concepte: Compoziția de suprapunere a funcțiilor (funcție complexă) Principiul suprapunerii este un principiu din fizică și matematică care descrie suprapunerea proceselor (de exemplu, undele) și, ca urmare, ... ... Wikipedia
Compunerea de funcții, alcătuirea unei funcții complexe din două funcții... Enciclopedie matematică
Acest termen are alte semnificații, vezi Suprapoziție. Mecanica cuantică... Wikipedia
Acest articol sau secțiune conține o listă de surse sau referințe externe, dar sursele declarațiilor individuale rămân neclare din cauza lipsei de note de subsol... Wikipedia
În teoria sistemelor funcționale discrete, o funcție booleană este o funcție de tip, unde este o mulțime booleană și n este un întreg nenegativ, care se numește aritatea sau localitatea funcției. Elementele 1 (unu) și 0 (zero) sunt interpretate standard ...... Wikipedia
Unul dintre cele mai importante pentru bazele matematicii și matematicii. clase logice de concepte care servesc drept clarificări conţin. conceptele unei funcții aritmetice efectiv calculabile și un predicat aritmetic efectiv decidabil și, în cele din urmă, și... ... Enciclopedie filosofică
Funcția, calculul valorilor unui roi poate fi efectuat folosind o procedură eficientă predeterminată sau un algoritm. O trăsătură caracteristică a proceselor de calcul este calculul cantităților necesare de probleme care apare secvenţial din datele iniţiale... ... Enciclopedie matematică
Este necesar să transferați conținutul acestui articol la articolul „Diferențierea unei funcții complexe”. Puteți ajuta proiectul combinând articole. Dacă este necesar să discutăm despre fezabilitatea fuziunii, înlocuiți acest șablon cu șablonul ((la fuzionare)) ... Wikipedia
- (lat. compositio compoziție, legare, adăugare, conexiune): Wikționarul are un articol „compoziție” Art Composition (artă plastică) este o componentă organizatorică a unei forme artistice care dă pro... Wikipedia
Cărți
- Matematică discretă. Construcții teoretice de bază. Partea a VI-a, A.I. Shirokov. Manualul este partea a VI-a a secțiunii „Construcții teoretice de bază ale matematicii discrete”. În cap. XI are în vedere următoarele concepte: alcătuirea funcţiilor (§1); functii,...
În comunitatea științifică, o glumă cunoscută pe această temă este că „neliniaritatea” este comparată cu un „non-elefant” - toate creaturile, altele decât „elefanții” sunt „non-elefanți”. Asemănarea constă în faptul că majoritatea sistemelor și fenomenelor din lumea din jurul nostru sunt neliniare, cu câteva excepții. Spre deosebire de aceasta, în școală ni se învață gândirea „liniară”, ceea ce este foarte rău în ceea ce privește disponibilitatea noastră de a percepe neliniaritatea omniprezentă a Universului, fie că este vorba de aspectele sale fizice, biologice, psihologice sau sociale. Neliniaritatea concentrează în sine una dintre principalele dificultăți de cunoaștere a lumii înconjurătoare deoarece efectele, în masa lor totală, nu sunt proporționale cu cauzele, două cauze, atunci când interacționează, nu sunt aditive, adică efectele sunt mai complexe decât o simplă suprapunere, funcții ale cauzelor. Adică rezultatul rezultat din prezența și influența a două cauze care acționează simultan nu este suma rezultatelor obținute în prezența fiecăreia dintre cauze separat, în absența celeilalte cauze.
Definiția 9. Dacă, pe un anumit interval X, se definește o funcție z-φ(lz) cu un set de valori Z și se definește o funcție y =/(z) pe mulțimea Z, atunci funcția y este o funcție complexă a lui x (sau o suprapunere a funcției), iar variabila z - o variabilă intermediară a unei funcții complexe.
Controlling-ul poate fi reprezentat ca o suprapunere a trei funcții clasice de management - contabilitate, control și analiză (retrospectivă). Controlul ca funcție de management integrată face posibilă nu numai pregătirea unei decizii, ci și asigurarea controlului asupra implementării acesteia folosind instrumente de management adecvate.
După cum se știe /50/, orice funcție de timp poate fi reprezentată ca o suprapunere (mulțime) de funcții armonice simple cu diferite perioade, amplitudini și faze. În general, P(t) = f(t),
Caracteristicile tranzitorii sau de impuls sunt determinate experimental. Atunci când le folosiți folosind metoda suprapunerii, modelul selectat al influenței de intrare este mai întâi descompus în funcții elementare ale timpului, iar apoi răspunsurile la acestea sunt rezumate. Ultima operatie numite uneori convoluție, iar integralele din expresii (24). . . (29) - integrale de convoluție. Dintre acestea, este selectat cel a cărui funcție integrand este mai simplă.
Această teoremă reduce problema extremului condiționat la o suprapunere de probleme extreme necondiționate. Într-adevăr, să definim funcția R (g)
Suprapunerea ((>(f(x)), unde y(y) este o funcție convexă nedescrescătoare a unei variabile, /(x) este o funcție convexă, este o funcție convexă.
Exemplul 3.28. Să revenim la Exemplul 3.27. În fig. Figura 3.24 prezintă sub forma unei curbe punctate rezultatul suprapunerii a două funcții de membru corespunzătoare cuantificatorilor care sunt prezenți în acest exemplu. Folosind un nivel de limită de 0,7, se obțin intervale fuzzy pe axa x. Acum putem spune că dispeceratul ar trebui să se aștepte la o schimbare a planului
O altă modalitate de definire a funcției F, diferită de metoda suprapunerii, este aceea că atunci când orice cuantificator este aplicat altui cuantificator, are loc o anumită transformare monotonă a funcției de apartenență inițială, care se rezumă la întinderea și deplasarea maximului funcției într-unul. direcție sau alta.
Exemplul 3.29. În fig. Figura 3.25 prezintă două rezultate obținute folosind suprapunerea și deplasarea întinderii pentru cazul în care XA și X corespund cuantificatorului adesea. Diferența pare să fie că suprapunerea izolează în funcția de membru acele valori care apar frecvent. În cazul deplasării și întinderii, putem interpreta rezultatul ca apariția unui nou cuantificator cu valoarea adesea-deseori, care poate fi, dacă se dorește, aproximat, de exemplu, cu valoarea foarte des.
Arătați că suprapunerea unei funcții strict crescătoare și a unei funcții de utilitate care reprezintă o relație de preferință > este, de asemenea, o funcție de utilitate care reprezintă acea relație de preferință. Care dintre următoarele funcții poate acționa ca o astfel de transformare?
Prima dintre relațiile (2) nu este altceva decât o înregistrare a regulii conform căreia fiecare funcție F(x) aparținând familiei funcțiilor absolut continue monoton nedescrescătoare este asociată cu una și o singură funcție continuă w(j). Această regulă este liniară, adică principiul suprapunerii este valabil pentru el
Dovada. Dacă maparea F este continuă, funcția M0 este continuă ca o suprapunere de funcții continue. Pentru a demonstra a doua parte a afirmației, luați în considerare funcția
Funcții complexe (suprapoziții)
Metoda transformărilor funcționale implică și utilizarea unei abordări euristice. De exemplu, utilizarea transformărilor logaritmice ca operatori B și C conduce la criterii de informare pentru construirea de modele identificabile și utilizarea Unealtă puternică teoria informaţiei. Fie operatorul B o suprapunere a operatorilor de înmulțire cu funcția,(.) și deplasare cu funcția K0(), operatorul C este operatorul
Vor fi aici schiță generală Sunt prezentate rezultatele rezolvării unui număr de probleme variaționale (1)-(3). Ele au fost rezolvate prin metoda liniarizării secvențiale (19-21) încă din 1962-1963, când tehnologia metodei tocmai începea să prindă contur și era în curs de testare. Prin urmare, ne vom concentra doar pe câteva detalii. În primul rând, observăm că funcțiile C și C2 au fost specificate suficient expresii complexe, care sunt o suprapunere de funcții auxiliare, inclusiv cele specificate în tabele. Prin urmare, la rezolvarea sistemului conjugat φ = -fx folosind funcțiile specificate într-un tabel. De obicei, astfel de tabele conțin un număr mic de valori pentru un set de noduri în intervalul de modificări ale argumentului independent, iar între ele funcția este interpolată liniar, deoarece utilizarea unor metode de interpolare mai precise nu este justificată din cauza inexactitatea valorilor tabelului în sine (de regulă, dependențele funcționale de natură experimentală sunt specificate de tabele). Cu toate acestea, pentru scopurile noastre avem nevoie de funcții diferențiabile /(x, u), așa că ar trebui să preferăm metode netede de completare a unei funcții specificate în tabel (de exemplu, folosind spline).
Fie acum (DA și (q) funcții arbitrare corespunzătoare unor valori ale cuantificatorilor de frecvență. Figura 3.23 prezintă două curbe cu o cocoașă corespunzătoare acestor funcții. Rezultatul suprapunerii lor este o curbă cu două cocoașe, prezentată printr-o linie întreruptă. Care este semnificația sa dacă, de exemplu, (DA există rar și (d - adesea,
Avantajul acestei metode de determinare a lui F este că în timpul transformărilor monotone forma funcției de membru nu se schimbă dramatic. Unimodalitatea sau monotonitatea sa este păstrată, iar trecerea de la un nou tip de funcție (2.16) are formă trapezoidală, atunci suprapunerea liniară (2.15) este un număr fuzzy trapezoidal (ceea ce se dovedește cu ușurință când se folosește regula de calcul al segmentului). Și putem reduce operațiunile cu funcții de membru la operațiuni cu vârfurile lor. Dacă notăm numărul trapezoidal (2.16) ca (ab a2, az, a4), unde a corespunde abscisei vârfurilor trapezului, atunci
O funcție f obținută din funcțiile f 1 , f 2 ,…f n folosind operațiile de înlocuire și redenumire a argumentelor se numește suprapunere funcții.
Orice formulă care exprimă o funcție f ca o suprapunere a altor funcții specifică o metodă de calcul a acesteia, adică formula poate fi calculată dacă sunt calculate valorile tuturor subformulelor sale. Valoarea unei subformule poate fi calculată dintr-un set cunoscut de valori ale variabilelor binare.
Folosind fiecare formulă, puteți restaura tabelul unei funcții logice, dar nu invers, deoarece Fiecare funcție logică poate fi reprezentată prin mai multe formule în baze diferite
Se numesc formulele F i şi F j care reprezintă aceeaşi funcţie logică f i echivalent . Deci, formulele echivalente sunt:
1. f 2 (x 1 ; x 2)=(x 1 ×`x 2)=ù(`x 1 Úx 2)= ù(x 1 ®x 2);
2. f 6 (x 1 ; x 2)=(`x 1 ×x 2 Úx 1 ×`x 2)= ù(x 1 “x 2)=(x 1 Åx 2);
3. f 8 (x 1 ; x 2)=(`x 1 ×`x 2)= ù(x 1 Úx 2)=(x 1 ¯x 2);
4. f 14 (x 1 ;x 2)=(`x 1 Ú`x 2)= ù(x 1 ×x 2)=x 1 ½x 2 ;
5. f 9 (x 1 ;x 2)=((`x 1 ×`x 2)Ú(x 1 ×x 2))=(x 1 “x 2) ;
6. f 13 (x 1 ;x 2)= (`x 1 Úx 2)=(x 1 ®x 2).
Dacă orice formulă F conține o subformula F i , atunci înlocuirea lui F i cu un echivalent F j nu modifică valoarea formulei F pentru orice set de vectori booleeni, ci schimbă forma descrierii acesteia. Formula F` nou obținută este echivalentă cu formula F.
Pentru a simplifica expresiile algebrice complexe, sunt efectuate funcții booleene transformări echivalente folosind legile algebrei booleene și regulile de substituție Și substituţie ,
Când scrieți formule de algebră booleană, amintiți-vă:
· numărul de paranteze din stânga este egal cu numărul de paranteze din dreapta,
· nu există două conexiuni logice adiacente, adică trebuie să existe o formulă între ele,
· nu există două formule adiacente, adică trebuie să existe o legătură logică între ele,
· conjunctivul logic „×” este mai puternic decât conjunctivul logic „Ú”,
· dacă „ù” se referă la formula (F 1 ×F 2) sau (F 1 Ú F 2), atunci în primul rând aceste transformări ar trebui efectuate conform legii lui De Morgan: ù(F 1 ×F 2) = ` F 1 Ú` F 2 sau ù(F 1 ÚF 2)=`F 1 ×`F 2 ;
· Operațiune " × ” este mai puternic decât „Ú”, ceea ce vă permite să omiteți parantezele.
Exemplu: efectuați transformări echivalente ale formulei F=x 1 ×x 2 ×x 3 ×`x 4 Ú`x 1 ×x 3 Ú`x 2 ×x 3 Úx 3 ×x 4 .
· conform legii comutativității:
F=x 3 ×x 1 ×x 2 ×`x 4 Úx 3 ×`x 1 Úx 3 ×`x 2 Úx 3 ×x 4 ;
· conform legii distributivității:
F=x 3 ×x 1 ×x 2 ×`x 4 Úx 3 ×`x 1 Úx 3 ×(`x 2 Úx 4);
· conform legii distributivității:
F=x 3 ×x 1 ×x 2 ×`x 4 Úx 3 ×(`x 1 Ú`x 2 Úx 4);
· conform legii distributivității:
F=x 3 ×((x 1 ×x 2 ×`x 4)Ú(`x 1 Ú`x 2 Úx 4));
· conform legii lui De Morgan:
F=x 3 ×((x 1 ×x 2 ×`x 4)Úù(x 1 ×x 2 ×`x 4));
· conform legii contradictiei:
Astfel x 1 ×x 2 ×x 3 ×`x 4 Ú`x 1 ×x 3 Ú`x 2 ×x 3 Úx 3 ×x 4 =x 3 .
Exemplu: efectuează transformări de formule
F=(x 1 ×`x 2 Ú`x 1 ×x 2)×ù(x 1 ×x 2)Ú(x 1 ×x 2)×ù(x 1 ×`x 2 Ú`x 1 ×x 2) );
· conform legii lui De Morgan
F=(x 1 ×`x 2 Ú`x 1 ×x 2)×(`x 1 Ú`x 2)Ú(x 1 ×x 2)×(`x 1 Úx 2)×(x 1 Ú`x 2);
· conform legii distributivității:
F=x 1 ×`x 2 Ú`x 1 ×x 2 Úx 1 ×x 2 ;
· conform legilor comutativității și distributivității:
F= `x 1 ×x 2 Úx 1 ×(`x 2 Úx 2);
· conform legii contradictiei:
F= `x 1 ×x 2 Úx 1 ;
· conform legii lui Poretsky
Astfel (x 1 ×`x 2 Ú`x 1 ×x 2)×ù(x 1 ×x 2)Ú(x 1 ×x 2)×ù(x 1 ×`x 2 Ú`x 1 ×x 2 ) = (x 2 Úx 1).
Exemplu: transformați formula F=ù(`x 1 Úx 2)Ú((`x 1 Úx 3)×x 2).
· conform legii lui De Morgan:
F= ù(`x 1 Úx 2)×ù((`x 1 Úx 3)×x 2);
· conform legii lui De Morgan:
F=x 1 ×`x 2 ×(ù(`x 1 Úx 3)Ú`x 2);
· conform legii lui De Morgan:
F=x 1 ×`x 2 ×(x 1 ×`x 3 Ú`x 2);
· conform legii distributivității:
F=x 1 ×`x 2 ×`x 3 Úx 1 ×`x 2 ;
· conform legii absorbtiei:
Astfel ù(`x 1 Úx 2)×((`x 1 Úx 3)×x 2)= x 1 ×`x 2 .
Exemplu: Convertiți formula:
F=ù(x 1 ®x 2)×(`x 3 Ú`x 4)Ú(x 1 ¯x 2)×ù(x 3 ×x 4).
1) transformați formula într-o bază de algebră booleană:
F=ù(`x 1 Úx 2)×(`x 3 Ú`x 4)Úù(x 1 Úx 2)× ù(x 3 ×x 4);
2) omiteți semnul „`” înaintea variabilelor binare:
F=(x 1 ×`x 2)×(`x 3 Ú`x 4)Ú(`x 1 ×`x 2)×(`x 3 Ú`x 4);
3) transformați formula conform legii distributive:
F=x 1 ×`x 2 ×`x 3 Úx 1 ×`x 2 ×`x 4 Ú`x 1 ×`x 2 ×`x 3 Ú`x 1 ×`x 2 ×`x 4 ;
4) pune `x 2 din paranteze conform legii distributive:
F=`x 2 ×(x 1 ×`x 3 Úx 1 ×`x 4 Ú`x 1 ×`x 3 Ú`x 1 ×`x 4);
5) transforma conform legii distributivității:
F=`x 2 ×(`x 3 ×(x 1 Ú`x 1)Ú`x 4 ×(x 1 Ú`x 1));
6) folosiți legea contradicției:
F=`x 2 ×(`x 3 Ú`x 4)
Proprietăți ale funcțiilor booleene
Adesea apare întrebarea: orice funcție booleană este reprezentabilă printr-o suprapunere a formulelor f 0, f 1,..f 15? Pentru a determina posibilitatea formării oricărei funcții booleene folosind o suprapunere a acestor formule, este necesar să se determine proprietățile și condițiile acestora pentru utilizarea unui sistem complet funcțional.
Funcții booleene auto-duale
auto-dual , dacă f(x 1 ;x 2 ;…x n)=`f(`x 1 ;`x 2 ;…`x n).
De exemplu, funcțiile f 3 (x 1 ;x 2)=x 1 , f 5 (x 1 ;x 2)=x 2 , f 10 (x 1 ;x 2)=`x 2 și f 12 (x 1 ;x 2)=`x 1 sunt auto-duale, deoarece atunci când valoarea argumentului se schimbă, își schimbă valoarea.
Orice funcție obținută prin operații de suprapunere din funcții booleene auto-duale este ea însăși auto-duală. Prin urmare, setul de funcții booleene auto-duale nu permite formarea de funcții non-duale.
Funcții booleene monotone
Se numește funcția f(x 1 ; x 2 ;…x n). monoton , dacă pentru fiecare s 1i £s 2i vectori booleeni (s 11 ; s 12 ;……;s 1n) și (s 21 ;s 22 ;……;s 2n) este îndeplinită următoarea condiție: f(s 11 ;s 12 ;… ;s 1i ;…;s 1n)£f(s 21 ;s 22 ;…;s 2i ;…;s 2n).
De exemplu, pentru funcțiile f(x 1 ; x 2) funcțiile monotone sunt:
dacă (0; 0) £ (0; 1), atunci f(0; 0) £ f (0; 1),
dacă (0; 0)£(1; 0), atunci f(0; 0)£f(1; 0),
dacă (0; 1)£(1; 1), atunci f(0; 1)£f(1; 1),
dacă (1; 0) £ (1; 1), atunci f(1; 0) £ f(1; 1).
Următoarele funcții îndeplinesc aceste condiții:
f 0 (x 1; x 2)=0; f 1 (x 1 ; x 2)=(x 1 ×x 2); f3 (x 1; x 2)=x 1; f 5 (x 1; x 2)=x 2; f 7 (x 1 ;x 2)=(x 1 Úx 2); f 15 (x 1 ; x 2)=1.
Orice funcție obținută folosind operația de suprapunere din funcții booleene monotone este ea însăși monotonă. Prin urmare, setul de funcții monotone nu permite formarea de funcții nemonotone.
Funcții booleene liniare
Algebra Zhegalkin, bazată pe baza F 4 =(×; Å; 1), permite ca orice funcție logică să fie reprezentată printr-un polinom, fiecare termen al căruia este o conjuncție de I variabile booleene ale unui vector boolean în 0£i£ n:
P(x 1 ; x 2 ;…x n)=b 0 ×1 Å b i ×x i Å 1 £ j ¹ k £ n b j ×x j ×x k Å……Å b 2n-1 ×x 1 ×x 2 ×... ×x n.
De exemplu, pentru funcții logice f 8 (x 1 ; x 2)
Polinomul Zhegalkin are forma: P(x 1; x 2)=1Å x 1 Å x 2 Å x 1 ×x 2.
Avantajele algebrei Zhegalkin sunt „aritmetizarea” formulelor logice, în timp ce dezavantajele sunt complexitatea, în special cu un număr mare de variabile binare.
Polinoamele Zhegalkin care nu conțin conjuncții de variabile binare, de ex. P(x 1 ; x 2 ;…;x n)=b 0 ×1Åb 1 ×x 1 Å…Åb n ×x n se numește liniar .
De exemplu, f 9 (x 1 ; x 2) = 1 Åx 1 Åx 2 sau f 12 (x 1 ; x 2) = 1 Åx 1 .
Principalele proprietăți ale operației de adăugare modulo 2 sunt date în Tabelul 1.18.
Dacă o funcție logică este specificată printr-un tabel sau o formulă în orice bază, i.e. sunt cunoscute valorile funcției booleene seturi diferite Variabile booleene, atunci le putem calcula pe toate
coeficienții b i ai polinomului Zhegalkin, compilând un sistem de ecuații pentru toate seturile cunoscute de variabile binare.
Exemplu: dată o funcție booleană f(x 1 ;x 2)=x 1 Úx 2. Valorile acestei funcții sunt cunoscute pentru toate seturile de variabile booleene.
F(0;0)=0=b 0 ×1Å b 1 ×0 Å b 2 ×0 Å b 3 ×0×0;
f(1;0)=1=b 0 ×1Å b 1 ×1Å b 2 ×0Å b 3 ×1×0;
f(1;1)=1=b 0 ×1Å b 1 ×1Å b 2 ×1Å b 3 ×1×1;
Unde găsim b 0 =0; b 1 =1; b2 =1; b 3 =1.
În consecință, (x 1 Úx 2)=x 1 Åx 2 Åx 1 ×x 2, adică disjuncția este o funcție booleană neliniară.
Exemplu: dată o funcție booleană f(x 1 ;x 2)=(x 1 ®x 2). Valorile acestei funcții sunt cunoscute și pentru toate seturile de variabile binare.
F(0;0)=1=b 0 ×1Å b 1 ×0 Å b 2 ×0 Å b 3 ×0×0;
f(0;1)=1=b 0 ×1Å b 1 ×0 Å b 2 ×1Å b 3 ×0×1;
f(1;0)=0=b 0 ×1Åb 1 ×1Åb 2 ×0Åb 3 ×1×0;
f(1;1)=1=b 0 ×1Åb 1 ×1Åb 2 ×1Åb 3 ×1×1;
Unde găsim b 0 =1; b 1 =1; b2 =0; b 3 =1.
Prin urmare, (x 1 ®x 2)=1Å x 2 Å x 1 ×x 2.
Tabelul 1.19 prezintă polinoamele Zhegalkin pentru reprezentanții principali ai funcțiilor booleene din Tabelul 1.15.
Dacă este dată o expresie analitică pentru o funcție logică și valorile acesteia sunt necunoscute pentru diferite seturi de variabile binare, atunci este posibil să se construiască un polinom Zhegalkin pe baza conjunctivă a algebrei Boole F 2 =(` ; ×) :
Fie f(x 1 ; x 2)=(x 1 Úx 2).
Atunci (x 1 Úx 2)=ù(`x 1 ×`x 2)=((x 1 Å 1)×(x 2 Å 1))Å 1=x 1 ×x 2 Å x 1 × 1Å x 2 × 1Å 1×1Å1=
(x 1 Åx 2 Åx 1 ×x 2).
Fie f(x 1 ;x 2)=(x 1 ®x 2).
Atunci (x 1 ®x 2)=(`x 1 Úx 2)=ù(x 1 ×`x 2)=x 1 ×(x 2 Å 1)Å 1=x 1 ×x 2 Å x 1 ×1Å 1 = =(1Åx 1 Åx 1 ×x 2).
Fie f(x 1 ;x 2)=(x 1 “x 2).
Atunci (x 1 “x 2)=(`x 1 ×`x 2 Úx 1 ×x 2)=ù(ù(`x 1 ×`x 2)×ù(x 1 ×x 2))=((( x 1 Å1)×(x 2 Å1))Å1)× ×(x 1 ×x 2 Å)Å1=(x 1 ×x 2 Åx 1 Åx 2 Å1Å1)×(x 1 ×x 2 Å1)Å1=x 1 ×x 2 Åx 1 ×x 2 Åx 1 ×x 2 Åx 1 Å
x 1 ×x 2 Åx 2 Å1=(1Åx 1 Åx 2).
Orice funcție obținută folosind operația de suprapunere din funcții logice liniare este ea însăși liniară. Prin urmare, setul de funcții liniare nu permite formarea de funcții neliniare.
1.5.6.4. Funcții care stochează „0”
Funcția f(x 1 ; x 2 ;...x n) se numește păstrare „0” dacă pentru seturi de valori ale variabilelor binare (0; 0;...0) funcția ia valoarea f(0; 0;…0)=0 .
De exemplu, f 0 (0; 0)=0, f 3 (0; 0)=0, f 7 (0; 0)=0 etc.
Orice funcție obținută folosind operația de suprapunere din funcții care păstrează „0” este ea însăși o funcție care păstrează „0”. Prin urmare, setul de funcții care păstrează „0” nu permite formarea de funcții care nu păstrează „0”.
1.5.6.5. Funcții care stochează „1”
Funcția f(x 1 ; x 2 ;…x n) se numește păstrare „1” dacă pentru seturi de valori ale variabilelor binare (1; 1;…1) funcția ia valoarea f(1;1;…1 )=1.
De exemplu, f 1 (1; 1)=1, f3(1; 1)=1, f 5 (1; 1)=1 etc.
Orice funcție obținută folosind operația de suprapunere din funcții care păstrează „1” păstrează ea însăși „1”. Prin urmare, setul de funcții care păstrează „1” nu permite formarea de funcții care nu păstrează „1”.
Tema: „Funcția: concept, metode de atribuire, caracteristici principale. Funcție inversă. Suprapunerea funcțiilor.”
Epigraful lecției:
„Studiați ceva și nu vă gândiți la el
învăţat – absolut inutil.
Să te gândești la ceva fără să-l studiezi
subiect preliminar de gândire -
Confucius.
Scopul și obiectivele psihologice și pedagogice ale lecției:
1) Scop educativ general (normativ).: Revedeți împreună cu elevii definiția și proprietățile unei funcții. Introduceți conceptul de suprapunere a funcțiilor.
2) Obiectivele dezvoltării matematice a elevilor: utilizarea materialelor educaționale și matematice non-standard pentru a continua dezvoltarea experienței mentale a elevilor, a structurii cognitive semnificative a inteligenței lor matematice, inclusiv abilitățile de gândire logico-deductivă și inductivă, analitică și sintetică reversibilă, gândire algebrică și figurativ-grafică , generalizare și concretizare semnificativă, la reflecție și independență ca abilitate metacognitivă a elevilor; să continue dezvoltarea unei culturi a vorbirii scrise și orale ca mecanisme psihologice ale inteligenței educaționale și matematice.
3) Sarcini educaționale: să continue educația personală a elevilor de interes cognitiv pentru matematică, responsabilitate, simț al datoriei, independență academică, capacitate comunicativă de a coopera cu grupul, profesorul, colegii de clasă; abilitate autogogică pentru activitate educațională și matematică competitivă, luptă pentru rezultate înalte și cele mai înalte (motiv acmeic).
Tipul de lecție: învățarea de material nou; după criteriul conducerii conținutului matematic - o lecție practică; după criteriul tipului de interacţiune informaţională dintre elevi şi profesor – o lecţie de cooperare.
Echipament pentru lecție:
1. Literatură educațională:
1) Kudryavtsev de analiză matematică: manual. pentru universități și studenți. În 3 volume.T. 3. – Ed. a II-a, revăzută. si suplimentare – M.: Mai sus. şcoală, 1989. – 352 p. : bolnav.
2) Probleme și exerciții Demidovich de analiză matematică. – Ed. a 9-a. – M.: Editura „Nauka”, 1977.
2. Ilustrații.
În timpul orelor.
1. Anunțarea temei și a scopului educațional principal al lecției; stimularea simțului datoriei, responsabilității și interesului cognitiv al elevilor în pregătirea pentru sesiune.
2.Repetarea materialului pe bază de întrebări.
a) Definiți o funcție.
Unul dintre conceptele matematice de bază este conceptul de funcție. Conceptul de funcție este asociat cu stabilirea unei relații între elementele a două mulțimi.
Fie două seturi nevide și să fie date. Este numită o potrivire f care potrivește fiecare element cu un singur element funcţie și scrie y = f(x). Ei mai spun că funcția f afișează multi peste multi.
https://pandia.ru/text/79/018/images/image003_18.gif" width="63" height="27">.gif" width="59" height="26"> se numește set de sensuri funcția f și se notează cu E(f).
b) Funcţii numerice. Graficul funcției. Metode de specificare a funcțiilor.
Să fie dată funcția.
Dacă elementele mulțimilor și sunt numere reale, atunci se numește funcția f functie numerica . Se numește variabila x argument sau variabilă independentă și y – funcţie sau variabilă dependentă(din x). În ceea ce privește cantitățile x și y înseși, se spune că se află în dependenta functionala.
Graficul funcției y = f(x) este mulțimea tuturor punctelor planului Oxy, pentru fiecare dintre ele x este valoarea argumentului și y este valoarea corespunzătoare a funcției.
Pentru a specifica funcția y = f(x), este necesar să se precizeze o regulă care să permită, cunoscând x, să se găsească valoarea corespunzătoare a lui y.
Cele mai comune trei moduri de a specifica o funcție sunt: analitică, tabelară și grafică.
Metoda analitica: O funcție este specificată ca una sau mai multe formule sau ecuații.
De exemplu:
Dacă domeniul de definire al funcției y = f(x) nu este specificat, atunci se presupune că aceasta coincide cu setul tuturor valorilor argumentului pentru care formula corespunzătoare are sens.
Metoda analitică de specificare a unei funcții este cea mai avansată, deoarece include metode de analiză matematică care fac posibilă studierea completă a funcției y = f(x).
Metoda grafică: Setează graficul funcției.
Avantajul unei sarcini grafice este claritatea sa, dezavantajul este inexactitatea sa.
Metoda tabelară: O funcție este specificată de un tabel cu o serie de valori ale argumentelor și valorile funcției corespunzătoare. De exemplu, mese celebre valorile funcții trigonometrice, tabele logaritmice.
c) Principalele caracteristici ale funcției.
1. Se numește funcția y = f(x), definită pe mulțimea D chiar , dacă sunt îndeplinite condițiile și f(-x) = f(x); ciudat , dacă sunt îndeplinite condițiile și f(-x) = -f(x).
Graficul unei funcții pare este simetric față de axa Oy, iar o funcție impară este simetrică față de origine. De exemplu, – chiar funcții; și y = sinx, https://pandia.ru/text/79/018/images/image014_3.gif" width="73" height="29"> – funcții de formă generală, adică nici par, nici impar.
2. Fie definită funcția y = f(x) pe mulțimea D și fie . Dacă pentru oricare dintre valorile argumentelor urmează următoarea inegalitate: 
, atunci funcția este apelată crescând
pe platou; Dacă 
, atunci funcția este apelată nedescrescătoare
la https://pandia.ru/text/79/018/images/image021_1.gif" width="117" height="28 src=">apoi funcția este apelată. in scadere
pe ; 
- necrescătoare
.
Funcții de creștere, necreștere, descreștere și nedescrescătoare pe set https://pandia.ru/text/79/018/images/image023_0.gif" width="13" height="13">Valoare D (x +T)D și egalitatea f(x+T) = f(x) este valabilă.
Pentru a reprezenta un grafic al unei funcții periodice a perioadei T, este suficient să îl reprezentați pe orice segment de lungime T și să îl continuați periodic pe întregul domeniu de definiție.
Să notăm principalele proprietăți ale unei funcții periodice.
1) Suma algebrică a funcțiilor periodice cu aceeași perioadă T este o funcție periodică cu perioada T.
2) Dacă funcția f(x) are perioada T, atunci funcția f(ax) are perioada T/a.
d) Funcția inversă.
Fie dată o funcție y = f(x) cu un domeniu de definiție D și un set de valori E..gif" width="48" height="22">, apoi o funcție x = z(y) cu un domeniu de definiție E și un set de valori D este definită O astfel de funcție z(y) se numește verso
la funcția f(x) și se scrie sub următoarea formă: 
. Funcțiile y = f(x) și x = z(y) se spune că sunt reciproc inverse. Pentru a găsi funcția x = z(y), inversă funcției y = f(x), este suficient să rezolvăm ecuația f(x) = y pentru x.
Exemple:
1. Pentru funcția y = 2x funcția inversă este funcția x = ½ y;
2. Pentru funcție 
funcția inversă este funcția .
Din definiția unei funcții inverse rezultă că funcția y = f(x) are inversă dacă și numai dacă f(x) specifică o corespondență unu-la-unu între mulțimile D și E. Rezultă că orice o funcţie strict monotonă are inversă . Mai mult, dacă o funcție crește (descrește), atunci și funcția inversă crește (descrește).
3. Studierea materialelor noi.
Funcție complexă.
Fie definită funcția y = f(u) pe mulțimea D, iar funcția u = z(x) pe mulțime și pentru valoarea corespunzătoare 
. Atunci funcția u = f(z(x)) este definită pe mulțime, care este numită functie complexa
de la x (sau suprapunere
funcții specificate, sau funcţie din funcţie
).
Se numește variabila u = z(x). argument intermediar functie complexa.
De exemplu, funcția y = sin2x este o suprapunere a două funcții y = sinu și u = 2x. O funcție complexă poate avea mai multe argumente intermediare.
4. Rezolvarea mai multor exemple la tablă.
5. Încheierea lecției.
1) rezultatele teoretice și aplicate ale lecției practice; evaluarea diferențiată a nivelului de experiență mentală a elevilor; nivelul lor de stăpânire a temei, competența, calitatea vorbirii matematice orale și scrise; nivelul de creativitate demonstrat; nivelul de independență și reflecție; nivel de inițiativă, interes cognitiv pentru metodele individuale de gândire matematică; niveluri de cooperare, competiție intelectuală, dorință pentru niveluri înalte de activitate educațională și matematică etc.;
2) anunțarea notelor motivate, punctele de lecție.
