Fiecare rând al matricei A este notat cu e i = (a i 1 a i 2 …, a in) (de exemplu,
e 1 = (a 11 a 12 ..., a 1 n), e 2 = (a 21 a 22 ..., a 2 n), etc.). Fiecare dintre ele este o matrice de rând care poate fi înmulțită cu un număr sau adăugată la un alt rând cu reguli generale operatii cu matrici.
Combinație liniară Dreptele e l , e 2 ,...e k se numesc suma produselor acestor drepte prin numere reale arbitrare:
e = l l e l + l 2 e 2 +...+ l k e k, unde l l, l 2,..., l k sunt numere arbitrare (coeficienții unei combinații liniare).
Se numesc rândurile matricei e l , e 2 ,...e m dependent liniar, dacă există numere l l , l 2 ,..., l m care nu sunt egale cu zero în același timp, astfel încât combinația liniară de rânduri a matricei să fie egală cu rândul zero:
l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0, unde 0 = (0 0...0).
O relație liniară între rândurile unei matrice înseamnă că cel puțin un rând al matricei este o combinație liniară a celorlalte. Într-adevăr, pentru certitudine, să fie ultimul coeficient l m ¹ 0. Apoi, împărțind ambele părți ale egalității la l m, obținem o expresie pentru ultima linie ca o combinație liniară a liniilor rămase:
e m = (l l /l m)e l + (l 2 /l m)e 2 +...+ (l m-1 /l m)e m-1 .
Dacă o combinație liniară de rânduri este egală cu zero dacă și numai dacă toți coeficienții sunt egali cu zero, i.e. l l e l + l 2 e 2 +...+ l m e m = 0 Û l k = 0 "k, atunci liniile se numesc liniar independent.
Teorema rangului matricei. Rangul unei matrice este egal cu numărul maxim al rândurilor sau coloanelor sale liniar independente prin care toate celelalte rânduri sau coloane ale sale pot fi exprimate liniar.
Să demonstrăm această teoremă. Fie ca o matrice A de dimensiunea m x n să aibă rangul r (r(A) £ min (m; n)). În consecință, există un minor diferit de zero de ordinul r-a. Vom chema fiecare astfel de minor de bază. Să fie minor ca să fie clar
Vor fi numite și liniile acestui minor de bază.
Să demonstrăm că atunci rândurile matricei e l , e 2 ,...e r sunt liniar independente. Să presupunem contrariul, adică. una dintre aceste drepte, de exemplu a r-a, este o combinație liniară a celorlalte: e r = l l e l + l 2 e 2 +...+ l r-1 e r-1 = 0. Atunci, dacă scădem din elementele r-th rândurile sunt elementele rândului 1 înmulțite cu l l , elementele rândului 2 înmulțite cu l 2 etc., în sfârșit, elementele rândului (r-1) înmulțite cu l r-1 , apoi a doua linie va deveni zero. În acest caz, conform proprietăților determinantului, determinantul de mai sus nu ar trebui să se schimbe și, în același timp, ar trebui să fie egal cu zero. Se obține o contradicție și se dovedește independența liniară a rândurilor.
Acum demonstrăm că orice rând (r+1) ale matricei sunt dependente liniar, adică. orice șir poate fi exprimat în termeni de cele de bază.
Să suplimentăm minorul considerat anterior cu încă un rând (i-a) și încă o coloană (j-a). Ca rezultat, obținem un minor de ordin (r+1), care prin definiția rangului este egal cu zero.
Rețineți că rândurile și coloanele matricei pot fi considerate vectori aritmetici de dimensiuni mȘi n, respectiv. Astfel, matricea dimensiunilor poate fi interpretată ca un set m n-dimensional sau n m-vectori aritmetici dimensionali. Prin analogie cu vectorii geometrici, introducem conceptele de dependență liniară și independență liniară a rândurilor și coloanelor unei matrice.
4.8.1. Definiție. Linia 
numit combinație liniară de șiruri cu cote 
, dacă toate elementele acestei linii au următoarea egalitate:
,
.
4.8.2. Definiție.
Siruri de caractere 
sunt numite dependent liniar, dacă există o combinație liniară netrivială a acestora egală cu rândul zero, i.e. există numere care nu sunt toate egale cu zero
,
.
4.8.3. Definiție.
Siruri de caractere 
sunt numite liniar independent, dacă numai combinația lor liniară trivială este egală cu rândul zero, i.e.
,
4.8.4. Teorema. (Criteriul pentru dependența liniară a rândurilor matricei)
Pentru ca rândurile să fie dependente liniar, este necesar și suficient ca cel puțin unul dintre ele să fie o combinație liniară a celorlalte.
Dovada:
Necesitate. Lasă liniile 
sunt dependente liniar, atunci există o combinație liniară netrivială a acestora egală cu rândul zero:
.
Fără a pierde generalitatea, presupunem că primul dintre coeficienții combinației liniare este diferit de zero (în caz contrar, rândurile pot fi renumerotate). Împărțind acest raport la 
, primim
,
adică primul rând este o combinație liniară a celorlalte.
Adecvarea. Lasă una dintre linii, de exemplu, 
, este o combinație liniară a celorlalte, atunci
adică există o combinație liniară netrivială de șiruri 
, egal cu șirul zero:
ceea ce înseamnă liniile 
sunt dependente liniar, ceea ce trebuia demonstrat.
Cometariu.
Definiții și enunțuri similare pot fi formulate pentru coloanele matricei.
§4.9. Rangul matricei.
4.9.1. Definiție. Minor Ordin 
matrici 
mărimea 
numit determinant de ordine 
cu elemente situate la intersecția unora dintre ele 
linii şi 
coloane.
4.9.2. Definiție. Comandă minoră diferită de zero 
matrici 
mărimea 
numit de bază
minor, dacă toți minorii matricei sunt de ordine 
sunt egale cu zero.
Cometariu. O matrice poate avea mai multe minore de bază. Evident, toate vor fi de aceeași ordine. De asemenea, este posibil ca matricea 
mărimea 
comanda minora 
este diferit de zero, iar minorii sunt de ordine 
nu există, adică 
.
4.9.3. Definiție. Se numesc rândurile (coloanele) care formează baza minoră de bază rânduri (coloane).
4.9.4. Definiție. Rang a unei matrice se numește ordinea bazei sale minore. Rangul matricei 
notat cu 
sau 
.
Cometariu.
Rețineți că, datorită egalității rândurilor și coloanelor determinantului, rangul matricei nu se modifică atunci când este transpusă.
4.9.5. Teorema. (Invarianța rangului matricei sub transformări elementare)
Rangul unei matrice nu se schimbă în timpul transformărilor sale elementare.
Nicio dovadă.
4.9.6. Teorema. (Despre minorul de bază).
Rândurile (coloanele) subiacente sunt liniar independente. Orice rând (coloană) a unei matrice poate fi reprezentată ca o combinație liniară a rândurilor (coloanelor) de bază.
Dovada:
Să facem dovada pentru șiruri. Dovada afirmației pentru coloane poate fi efectuată prin analogie.
Fie rangul matricei 
dimensiuni 
egală 
, A 
− minor de bază. Fără a pierde generalitatea, presupunem că baza minoră este situată în colțul din stânga sus (în caz contrar, matricea poate fi redusă la această formă folosind transformări elementare):
.
Să demonstrăm mai întâi independența liniară a rândurilor de bază. Vom efectua dovada prin contradicție. Să presupunem că rândurile de bază sunt dependente liniar. Apoi, conform teoremei 4.8.4, unul dintre șiruri poate fi reprezentat ca o combinație liniară a șirurilor de bază rămase. Prin urmare, dacă scădem combinația liniară specificată din acest rând, obținem un rând zero, ceea ce înseamnă că minorul 
este egal cu zero, ceea ce contrazice definiția unei baze minore. Astfel, am obținut o contradicție; prin urmare, independența liniară a rândurilor de bază a fost dovedită.
Să demonstrăm acum că fiecare rând al unei matrice poate fi reprezentat ca o combinație liniară de rânduri de bază. Dacă numărul rândului în cauză 
de la 1 la r, atunci, evident, poate fi reprezentat ca o combinație liniară cu un coeficient egal cu 1 pentru linie 
și zero coeficienți pentru rândurile rămase. Să arătăm acum că dacă numărul liniei 
din 
inainte de 
, poate fi reprezentat ca o combinație liniară de șiruri de bază. Luați în considerare matricea minoră 
, obtinut din baza minora 
adăugarea unei linii 
și o coloană arbitrară 
:
Să arătăm că acest minor 
din 
inainte de 
și pentru orice număr de coloană 
de la 1 la 
.
Într-adevăr, dacă numărul coloanei 
de la 1 la r, atunci avem un determinant cu două coloane identice, care este evident egal cu zero. Dacă numărul coloanei 
din r+1 la 
, și numărul liniei 
din 
inainte de 
, Acea 
este un minor al matricei originale de ordin mai mare decât baza minoră, ceea ce înseamnă că este egal cu zero din definiția bazei minore. Astfel, s-a dovedit că minorul 
este zero pentru orice număr de linie 
din 
inainte de 
și pentru orice număr de coloană 
de la 1 la 
. Extindendu-l peste ultima coloană, obținem:
Aici 
− adunări algebrice corespunzătoare. observa asta 
, din moment ce deci 
este un minor de bază. Prin urmare, elementele liniei k poate fi reprezentat ca o combinație liniară a elementelor corespunzătoare ale rândurilor de bază cu coeficienți independenți de numărul coloanei 
:
Astfel, am demonstrat că un rând arbitrar al unei matrice poate fi reprezentat ca o combinație liniară a rândurilor sale de bază. Teorema a fost demonstrată.
Cursul 13
4.9.7. Teorema. (Despre rangul unei matrice pătrate non-singulare)
Pentru ca o matrice pătrată să fie nesingulară, este necesar și suficient ca rangul matricei să fie egal cu dimensiunea acestei matrice.
Dovada:
Necesitate. Fie matricea pătrată 
mărimea n este nedegenerat, atunci 
, prin urmare, determinantul matricei este o bază minoră, adică. 
Adecvarea. Lăsa 
atunci ordinea bazei minore este egală cu dimensiunea matricei, prin urmare baza minoră este determinantul matricei 
, adică 
prin definiţia unui minor de bază.
Consecinţă.
Pentru ca o matrice pătrată să fie nesingulară, este necesar și suficient ca rândurile sale să fie liniar independente.
Dovada:
Necesitate. Deoarece o matrice pătrată este nesingulară, rangul ei este egal cu dimensiunea matricei 
adică determinantul matricei este o bază minoră. Prin urmare, prin teorema 4.9.6 pe baza minorului, rândurile matricei sunt liniar independente.
Adecvarea. Deoarece toate rândurile matricei sunt liniar independente, rangul său nu este mai mic decât dimensiunea matricei, ceea ce înseamnă 
prin urmare, prin teorema anterioară 4.9.7, matricea 
este nedegenerat.
4.9.8. Metoda limitării minorilor pentru găsirea rangului unei matrice.
Rețineți că o parte a acestei metode a fost deja descrisă implicit în demonstrarea teoremei minore a bazei.
4.9.8.1. Definiție. Minor 
numit mărginind relativ la minor 
, dacă este obținută de la un minor 
adăugând unul linie nouăși o nouă coloană a matricei originale.
4.9.8.2. Procedura de găsire a rangului unei matrice folosind metoda minorilor învecinați.
Găsim orice minor curent al matricei care este diferit de zero.
Calculăm toți minorii care se învecinează cu acesta.
Dacă toate sunt egale cu zero, atunci minorul actual este unul de bază, iar rangul matricei este egal cu ordinea minorului actual.
Dacă printre minorii învecinați există cel puțin unul diferit de zero, atunci acesta este considerat curent și procedura continuă.
Folosind metoda limitării minorilor, găsim rangul matricei
.
Este ușor să specificați minorul curent de ordinul doi, diferit de zero, de ex.
.
Calculăm minorii care se învecinează cu acesta:
În consecință, întrucât toți minorii învecinați de ordinul trei sunt egali cu zero, atunci minorul 
este de bază, adică 
Cometariu. Din exemplul luat în considerare, reiese clar că metoda este destul de intensivă în muncă. Prin urmare, în practică, este mult mai des folosită metoda transformărilor elementare, care va fi discutată mai jos.
4.9.9. Găsirea rangului unei matrice folosind metoda transformărilor elementare.
Pe baza teoremei 4.9.5, se poate argumenta că rangul matricei nu se modifică în cazul transformărilor elementare (adică rândurile matricelor echivalente sunt egale). Prin urmare, rangul matricei este egal cu rangul matricei trepte obținute din cea originală prin transformări elementare. Rangul unei matrice pas este, evident, egal cu numărul rândurilor sale diferite de zero.
Să determinăm rangul matricei
prin metoda transformărilor elementare.
Să prezentăm matricea 
la vizualizarea pas:
Numărul de rânduri diferite de zero ale matricei eșalonului rezultat este trei, prin urmare, 
4.9.10. Rangul unui sistem de vectori spațiali liniari.
Luați în considerare sistemul de vectori 
ceva spațiu liniar 
. Dacă este dependent liniar, atunci se poate distinge în el un subsistem liniar independent.
4.9.10.1. Definiție. Rangul sistemului vectorial
spațiu liniar 
se numește numărul maxim de vectori liniar independenți ai acestui sistem. Rangul sistemului vectorial 
notat ca 
.
Cometariu. Dacă un sistem de vectori este liniar independent, atunci rangul său este egal cu numărul de vectori din sistem.
Să formulăm o teoremă care să arate legătura dintre conceptele de rang al unui sistem de vectori într-un spațiu liniar și rangul unei matrice.
4.9.10.2. Teorema. (Despre rangul unui sistem de vectori în spațiu liniar)
Rangul unui sistem de vectori într-un spațiu liniar este egal cu rangul unei matrice ale cărei coloane sau rânduri sunt coordonatele vectorilor dintr-o anumită bază a spațiului liniar.
Nicio dovadă.
Consecinţă.
Pentru ca un sistem de vectori dintr-un spațiu liniar să fie liniar independent, este necesar și suficient ca rangul matricei, ale cărei coloane sau rânduri sunt coordonatele vectorilor într-o anumită bază, să fie egal cu numărul a vectorilor din sistem.
Dovada este evidentă.
4.9.10.3. Teoremă (Cu privire la dimensiunea unei învelișuri liniare).
Dimensiunea vectorilor liniari ai carcasei 
spațiu liniar 
egal cu rangul acestui sistem vectorial:
Nicio dovadă.
Conceptele de dependență liniară și independență liniară sunt definite în mod egal pentru rânduri și coloane. Prin urmare, proprietățile asociate acestor concepte formulate pentru coloane sunt, desigur, valabile și pentru rânduri.
1. Dacă un sistem de coloane include o coloană zero, atunci aceasta este dependentă liniar.
2. Dacă un sistem de coloane are două coloane egale, atunci este dependent liniar.
3. Dacă un sistem de coloane are două coloane proporționale, atunci este dependent liniar.
4. Un sistem de coloane este dependent liniar dacă și numai dacă cel puțin una dintre coloane este o combinație liniară a celorlalte.
5. Orice coloane incluse în liniar sistem independent, formează un subsistem liniar independent.
6. Un sistem de coloane care conține un subsistem dependent liniar este dependent liniar.
7. Dacă un sistem de coloane este liniar independent și, după adăugarea unei coloane la acesta, se dovedește a fi dependent liniar, atunci coloana poate fi extinsă în coloane și, în plus, într-un mod unic, de exemplu. coeficienții de expansiune pot fi găsiți în mod unic.
Să demonstrăm, de exemplu, ultima proprietate. Deoarece sistemul de coloane este dependent liniar, există numere care nu sunt toate egale cu 0, care
În această egalitate. De fapt, dacă , atunci
Aceasta înseamnă că o combinație liniară netrivială de coloane este egală cu coloana zero, ceea ce contrazice independența liniară a sistemului. Prin urmare, și apoi, adică. o coloană este o combinație liniară de coloane. Rămâne să arătăm unicitatea unei astfel de reprezentări. Să presupunem contrariul. Să fie două expansiuni și , și nu toți coeficienții expansiunilor sunt, respectiv, egali între ei (de exemplu, ). Apoi de la egalitate
Obținem (\alpha_1-\beta_1)A_1+\ldots+(\alpha_k-\beta_k)A_k=o
secvenţial, combinaţia liniară de coloane este egală cu coloana zero. Deoarece nu toți coeficienții săi sunt egali cu zero (cel puțin), această combinație este netrivială, ceea ce contrazice condiția independenței liniare a coloanelor. Contradicția rezultată confirmă unicitatea expansiunii.
Exemplul 3.2. Demonstrați că două coloane diferite de zero și sunt dependente liniar dacă și numai dacă sunt proporționale, i.e. .
Soluţie. De fapt, dacă coloanele sunt dependente liniar, atunci există numere care nu sunt egale cu zero în același timp, astfel încât . Și în această egalitate. Într-adevăr, presupunând că , obținem o contradicție, deoarece coloana este și ea diferită de zero. Mijloace, . Prin urmare, există un număr astfel încât . Necesitatea a fost dovedită.
În schimb, dacă , atunci . Am obținut o combinație liniară netrivială de coloane egală cu coloana zero. Aceasta înseamnă că coloanele sunt dependente liniar.
Exemplul 3.3. Luați în considerare toate tipurile de sisteme formate din coloane
Examinați fiecare sistem pentru dependența liniară.
Soluţie.
Să luăm în considerare cinci sisteme care conțin câte o coloană fiecare. Conform paragrafului 1 din Observațiile 3.1: sistemele sunt liniar independente, iar un sistem format dintr-o coloană zero este dependent liniar.
Să luăm în considerare sistemele care conțin două coloane:
– fiecare dintre cele patru sisteme este dependent liniar, deoarece conține o coloană zero (proprietatea 1);
– sistemul este dependent liniar, deoarece coloanele sunt proporţionale (proprietatea 3): ;
– fiecare dintre cele cinci sisteme este liniar independent, deoarece coloanele sunt disproporționate (vezi enunțul din Exemplul 3.2).
Luați în considerare sistemele care conțin trei coloane:
– fiecare dintre cele șase sisteme este dependent liniar, deoarece conține o coloană zero (proprietatea 1);
– sistemele sunt dependente liniar, deoarece conțin un subsistem dependent liniar (proprietatea 6);
– sisteme și sunt liniar dependente, deoarece ultima coloană este exprimată liniar prin restul (proprietatea 4): și, respectiv.
În cele din urmă, sistemele de patru sau cinci coloane sunt dependente liniar (prin proprietatea 6).
Rangul matricei
În această secțiune, vom lua în considerare o altă caracteristică numerică importantă a unei matrice, legată de măsura în care rândurile (coloanele) acesteia depind unele de altele.
Definiția 14.10 Fie o matrice de dimensiuni și un număr care să nu depășească cel mai mic dintre numere și să fie dată: 
. Să alegem aleatoriu rândurile și coloanele matricei (numerele rândurilor pot diferi de numerele coloanelor). Determinantul unei matrice compuse din elemente la intersecția rândurilor și coloanelor selectate se numește ordinea minoră a matricei.
Exemplul 14.9 Lăsa 
.
Un minor de ordinul întâi este orice element al matricei. Deci 2, , sunt minori de ordinul întâi.
Minori de ordinul doi:
1. luăm rândurile 1, 2, coloanele 1, 2, obținem un minor 
;
2. luăm rândurile 1, 3, coloanele 2, 4, obținem un minor 
;
3. luăm rândurile 2, 3, coloanele 1, 4, obținem minore 
Minori de ordinul trei:
rândurile de aici pot fi selectate doar într-un singur fel,
1. luăm coloanele 1, 3, 4, obținem minore 
;
2. luăm coloanele 1, 2, 3, obținem minore 
.
Propunerea 14.23 Dacă toate minorele unei matrice de ordine sunt egale cu zero, atunci toate minorii de ordin, dacă există, sunt de asemenea egale cu zero.
Dovada. Să luăm un minor arbitrar de ordine. Acesta este determinantul matricei de ordine. Să o descompunem de-a lungul primei linii. Apoi, în fiecare termen al expansiunii, unul dintre factori va fi un minor de ordinul matricei originale. După condiție, ordinul minorilor sunt egali cu zero. Prin urmare, minorul ordinului va fi egal cu zero.
Definiția 14.11 Rangul unei matrice este cel mai mare ordin al matricei minore, altele decât zero. Rangul unei matrice zero este considerat a fi zero.
Nu există o desemnare unică, standard, pentru rangul matricei. În urma manualului, îl vom nota.
Exemplul 14.10 Matricea din Exemplul 14.9 are rangul 3 deoarece există un minor de ordinul trei, altul decât zero, dar nu există minori de ordinul al patrulea.
Rangul matricei 
este egal cu 1, deoarece există un minor de ordinul întâi (element de matrice) diferit de zero și toți minorii de ordinul doi sunt egali cu zero.
Rangul unei matrice pătrate de ordin nesingular este egal cu , deoarece determinantul său este un minor al ordinului și este diferit de zero pentru o matrice nesingulară.
Propunerea 14.24 Când o matrice este transpusă, rangul ei nu se schimbă, adică 
.
Dovada. Un minor transpus al matricei originale va fi un minor al matricei transpuse și invers, orice minor este un minor transpus al matricei originale. La transpunere, determinantul (minor) nu se modifică (Propunerea 14.6). Prin urmare, dacă toți minorii unui ordin din matricea originală sunt egali cu zero, atunci toți minorii din același ordin sunt, de asemenea, egali cu zero. Dacă minorul de ordine din matricea originală este diferit de zero, atunci b este un minor de același ordin, diferit de zero. Prin urmare, .
Definiția 14.12 Fie rangul matricei . Atunci orice minor de ordin, altul decât zero, se numește bază minoră.
Exemplul 14.11 Lăsa 
. Determinantul matricei este zero, deoarece al treilea rând este egal cu suma primelor două. Minorul de ordinul doi, situat în primele două rânduri și primele două coloane, este egal cu 
. În consecință, rangul matricei este doi, iar minorul considerat este de bază.
Un minor de bază este, de asemenea, un minor situat, de exemplu, în primul și al treilea rând, prima și a treia coloană: 
. Baza va fi minorul pe al doilea și al treilea rând, prima și a treia coloană: 
.
Minorul din primul și al doilea rând și din a doua și a treia coloană este zero și, prin urmare, nu va fi o bază. Cititorul poate verifica independent care alți minori de ordinul doi vor fi de bază și care nu.
Deoarece coloanele (rândurile) unei matrice pot fi adăugate, înmulțite cu numere și formate combinații liniare, este posibil să se introducă definiții ale dependenței liniare și ale independenței liniare a unui sistem de coloane (rânduri) ale unei matrice. Aceste definiții sunt similare cu aceleași definiții 10.14, 10.15 pentru vectori.
Definiția 14.13 Un sistem de coloane (rânduri) se numește dependent liniar dacă există un astfel de set de coeficienți, dintre care cel puțin unul este diferit de zero, încât o combinație liniară de coloane (rânduri) cu acești coeficienți să fie egală cu zero.
Definiția 14.14 Un sistem de coloane (rânduri) este liniar independent dacă egalitatea cu zero a unei combinații liniare a acestor coloane (rânduri) implică faptul că toți coeficienții acestei combinații liniare sunt egali cu zero.
Următoarea propoziție, similară cu Propoziția 10.6, este de asemenea adevărată.
Teza 14.25 Un sistem de coloane (rânduri) este dependent liniar dacă și numai dacă una dintre coloane (unul dintre rânduri) este o combinație liniară a altor coloane (rânduri) ale acestui sistem.
Să formulăm o teoremă numită teorema minoră a bazei.
Teorema 14.2 Orice coloană matrice este o combinație liniară a coloanelor care trec prin baza minoră.
Dovada poate fi găsită în manualele de algebră liniară, de exemplu, în,.
Propunerea 14.26 Rangul unei matrice este egal cu numărul maxim de coloane care formează un sistem liniar independent.
Dovada. Fie rangul matricei . Să luăm coloanele care trec prin baza minoră. Să presupunem că aceste coloane formează un sistem dependent liniar. Apoi, una dintre coloane este o combinație liniară a celorlalte. Prin urmare, într-o bază minoră, o coloană va fi o combinație liniară a celorlalte coloane. Prin Propozițiile 14.15 și 14.18, această bază minoră trebuie să fie egală cu zero, ceea ce contrazice definiția unei baze minore. Prin urmare, ipoteza că coloanele care trec prin baza minoră sunt dependente liniar nu este adevărată. Deci, numărul maxim de coloane care formează un sistem liniar independent este mai mare sau egal cu .
Să presupunem că coloanele formează un sistem liniar independent. Să facem o matrice din ele. Toți minorii de matrice sunt minori de matrice. Prin urmare, baza minoră a matricei are un ordin nu mai mare decât . Conform teoremei minore a bazei, o coloană care nu trece prin baza minoră a unei matrice este o combinație liniară a coloanelor care trec prin baza minoră, adică coloanele matricei formează un sistem dependent liniar. Acest lucru este contrar alegerii coloanelor care formează matricea. În consecință, numărul maxim de coloane care formează un sistem liniar independent nu poate fi mai mare de . Aceasta înseamnă că este egal cu ceea ce a fost declarat.
Propunerea 14.27 Rangul unei matrice este egal cu numărul maxim de rânduri ale acesteia formând un sistem liniar independent.
Dovada. Conform Propoziției 14.24, rangul matricei nu se modifică în timpul transpunerii. Rândurile matricei devin coloanele acesteia. Numărul maxim de coloane noi ale matricei transpuse (foste rânduri ale originalului) care formează un sistem liniar independent este egal cu rangul matricei.
Propunerea 14.28 Dacă determinantul unei matrice este zero, atunci una dintre coloanele sale (unul dintre rânduri) este o combinație liniară a coloanelor (rândurilor) rămase.
Dovada. Fie ordinea matricei egală cu . Determinantul este singurul minor al unei matrice pătrate care are ordine. Deoarece este egal cu zero, atunci . În consecință, un sistem de coloane (rânduri) este dependent liniar, adică una dintre coloane (unul dintre rânduri) este o combinație liniară a celorlalte.
Rezultatele Propozițiilor 14.15, 14.18 și 14.28 dau următoarea teoremă.
Teorema 14.3 Determinantul unei matrice este egal cu zero dacă și numai dacă una dintre coloanele sale (unul dintre rânduri) este o combinație liniară a coloanelor (rândurilor) rămase.
Găsirea rangului unei matrice prin calcularea tuturor minorilor ei necesită prea multă muncă de calcul. (Cititorul poate verifica dacă există 36 de minori de ordinul doi într-o matrice pătrată de ordinul al patrulea.) Prin urmare, se folosește un alt algoritm pentru a găsi rangul. Pentru a-l descrie, vor fi necesare o serie de informații suplimentare.
Definiția 14.15 Să numim următoarele acțiuni asupra lor transformări elementare ale matricelor:
1) rearanjarea rândurilor sau coloanelor;
2) înmulțirea unui rând sau a unei coloane cu un alt număr decât zero;
3) adăugarea la unul dintre rânduri a unui alt rând înmulțit cu un număr sau adăugarea la una dintre coloane a unei alte coloane înmulțite cu un număr.
Propunerea 14.29 În timpul transformărilor elementare, rangul matricei nu se modifică.
Dovada. Fie rangul matricei egal cu , - matricea rezultată din efectuarea unei transformări elementare.
Să luăm în considerare permutarea șirurilor. Fie un minor al matricei, atunci matricea are un minor care fie coincide sau diferă de ea prin rearanjarea rândurilor. Și invers, orice matrice minoră poate fi asociată cu o matrice minoră care fie coincide sau diferă de ea în ordinea rândurilor. Prin urmare, din faptul că toți minorii unui ordin dintr-o matrice sunt egali cu zero, rezultă că în matrice toți minorii din acest ordin sunt, de asemenea, egali cu zero. Și întrucât matricea are un minor de ordin , diferit de zero, atunci matricea are și un minor de ordin, diferit de zero, adică .
Luați în considerare înmulțirea unui șir cu un alt număr decât zero. Un minor dintr-o matrice îi corespunde unui minor dintr-o matrice care fie coincide sau diferă de ea într-un singur rând, care se obține din rândul minor prin înmulțirea cu un alt număr decât zero. In ultimul caz. În toate cazurile, fie și sunt simultan egale cu zero sau, în același timp, diferite de zero. Prin urmare, .
Considerăm o matrice A arbitrară, nu neapărat pătrată, de dimensiunea mxn.
Rangul matricei.
Conceptul de rang al matricei este asociat cu conceptul de dependență liniară (independență) a rândurilor (coloanelor) matricei. Să luăm în considerare acest concept pentru șiruri. Pentru coloane - în mod similar.
Să notăm drenurile matricei A:
e 1 =(a 11,a 12,…,a 1n); e 2 =(a 21,a 22,…,a 2n);…, e m =(a m1,a m2,…,a mn)
e k =e s dacă a kj =a sj , j=1,2,…,n
Operaţiile aritmetice pe rânduri de matrice (adunare, înmulţire cu un număr) sunt introduse ca operaţii efectuate element cu element: λе k =(λа k1 ,λа k2 ,…,λа kn);
e k +е s =[(a k1 +a s1),(a k2 +a s2),…,(a kn +a sn)].
Linia e este numită combinație liniară rândurile e 1, e 2,…, e k, dacă este egală cu suma produselor acestor drepte prin numere reale arbitrare:
e=λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+λ k e k
Liniile e 1, e 2,…, e m sunt numite dependent liniar, dacă există numere reale λ 1 ,λ 2 ,…,λ m , nu toate egale cu zero, că combinația liniară a acestor șiruri este egală cu șirul zero: λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+λ m e m = 0 ,Unde 0 =(0,0,…,0) (1)
Dacă o combinație liniară este egală cu zero dacă și numai dacă toți coeficienții λ i sunt egali cu zero (λ 1 =λ 2 =...=λ m =0), atunci rândurile e 1, e 2,..., e m sunt numite liniar independent.
Teorema 1. Pentru ca șirurile e 1 , e 2 ,…, e m să fie dependente liniar, este necesar și suficient ca unul dintre aceste șiruri să fie o combinație liniară a șirurilor rămase.
Dovada. Necesitate. Fie șirurile e 1, e 2,…, e m dependente liniar. Să, pentru certitudine, (1) λ m ≠0, atunci
Acea. șirul e m este o combinație liniară a șirurilor rămase. etc.
Adecvarea. Fie unul dintre șiruri, de exemplu e m, o combinație liniară a șirurilor rămase. Apoi vor exista numere astfel încât egalitatea să fie valabilă, care pot fi rescrise în formă
unde cel puțin 1 dintre coeficienți, (-1), nu este egal cu zero. Acestea. rândurile sunt dependente liniar. etc.
Definiție. Ordinea k-a minoră matricea A de dimensiunea mxn se numește determinant de ordinul k cu elemente care se află la intersecția oricăror k rânduri și oricăror k coloane ale matricei A. (k≤min(m,n)). .
Exemplu., minori de ordinul I: =, =;
Minori de ordinul 2: , ordinul 3
O matrice de ordinul 3 are 9 minori de ordinul 1, 9 minori de ordinul 2 și 1 minor de ordinul 3 (determinantul acestei matrice).
Definiție. Rangul matricei A este cel mai înalt ordin al minorilor diferit de zero ale acestei matrice. Denumire - rg A sau r(A).
Proprietățile rangului matricei.
1) rangul matricei A nxm nu depășește dimensiunile sale mai mici, adică.
r(A)≤min(m,n).
2) r(A)=0 când toate elementele matricei sunt egale cu 0, i.e. A=0.
3) Pentru o matrice pătrată A de ordin al n-lea r(A)=n, când A este nedegenerată.
(Rangul unei matrici diagonale este egal cu numărul elementelor diagonale diferite de zero).
4) Dacă rangul unei matrice este egal cu r, atunci matricea are cel puțin un minor de ordinul r care nu este egal cu zero, iar toate minorele de ordine superioară sunt egale cu zero.
Următoarele relații sunt valabile pentru rangurile matricei:
2) r(A+B)≤r(A)+r(B); 3) r(AB)≤min(r(A),r(B));
3) r(A+B)≥│r(A)-r(B)│; 4) r(A T A)=r(A);
5) r(AB)=r(A), dacă B este o matrice pătrată nesingulară.
6) r(AB)≥r(A)+r(B)-n, unde n este numărul de coloane ale matricei A sau rânduri ale matricei B.
Definiție. Se numește un minor diferit de zero de ordinul r(A). minor de bază. (Matricea A poate avea mai multe minori de bază). Se numesc rândurile și coloanele la intersecția cărora există o bază minoră corzi de bazăȘi coloane de bază.
Teorema 2 (despre baza minoră). Rândurile (coloanele) subiacente sunt liniar independente. Orice rând (orice coloană) din matricea A este o combinație liniară a rândurilor de bază (coloane).
Dovada. (Pentru coarde). Dacă rândurile de bază erau dependente liniar, atunci conform teoremei (1) unul dintre aceste rânduri ar fi o combinație liniară a altor rânduri de bază, atunci, fără a modifica valoarea minorului de bază, puteți scădea din acest rând combinația liniară indicată. și obțineți un rând zero, iar acest lucru este în contradicție cu faptul că baza minoră este diferită de zero. Acea. rândurile de bază sunt liniar independente.
Să demonstrăm că orice rând al matricei A este o combinație liniară a rândurilor de bază. Deoarece cu modificări arbitrare ale rândurilor (coloanelor) determinantul păstrează proprietatea de a fi egal cu zero, apoi, fără pierderea generalității, putem presupune că baza minoră se află în colțul din stânga sus al matricei
A=, acestea. situate pe primele r rânduri și primele r coloane. Fie 1£j£n, 1£i£m. Să arătăm că determinantul de ordin (r+1).
Dacă j£r sau i£r, atunci acest determinant este egal cu zero, deoarece va avea două coloane identice sau două rânduri identice.
Dacă j>r și i>r, atunci acest determinant este minor de ordinul (r+1) al matricei A. Deoarece Rangul matricei este r, ceea ce înseamnă că orice minor de ordin superior este egal cu 0.
Expandându-l în funcție de elementele ultimei coloane (adăugate), obținem
a 1j A 1j +a 2j A 2j +…+a rj A rj +a ij A ij =0, unde ultimul complement algebric A ij coincide cu baza minoră M r și deci A ij = M r ≠0.
Împărțind ultima egalitate la A ij, putem exprima elementul a ij ca o combinație liniară: , unde .
Să fixăm valoarea lui i (i>r) și să aflăm că pentru orice j (j=1,2,…,n) elementele i-a linie e i sunt exprimate liniar prin elementele dreptelor e 1, e 2,…, e r, i.e. i-a linie este o combinație liniară a șirurilor de bază: . etc.
Teorema 3. (condiție necesară și suficientă pentru ca determinantul să fie egal cu zero). Pentru ca determinantul D de ordinul al n-lea să fie egal cu zero, este necesar și suficient ca rândurile (coloanele) ale acestuia să fie dependente liniar.
Dovada (p.40). Necesitate. Dacă determinantul de ordinul al n-lea D este egal cu zero, atunci baza minoră a matricei sale este de ordinul r Astfel, un rând este o combinație liniară a celorlalte. Apoi, prin teorema 1, rândurile determinantului sunt liniar dependente. Adecvarea. Dacă rândurile D sunt dependente liniar, atunci după teorema 1 un rând A i este o combinație liniară a rândurilor rămase. Scăzând combinația liniară specificată din șirul A i fără a modifica valoarea lui D, obținem un șir zero. Prin urmare, conform proprietăților determinanților, D=0. etc. Teorema 4.În timpul transformărilor elementare, rangul matricei nu se modifică. Dovada. După cum sa arătat când se iau în considerare proprietățile determinanților, la transformarea matricelor pătrate, determinanții lor fie nu se modifică, fie sunt înmulțiți cu un număr diferit de zero, fie își schimbă semnul. În acest caz, se păstrează cel mai înalt ordin al minorilor non-zero din matricea originală, adică. rangul matricei nu se modifică. etc. Dacă r(A)=r(B), atunci A și B sunt echivalent: A~B. Teorema 5. Folosind transformări elementare, puteți reduce matricea la vedere în trepte. Matricea se numește treptat, dacă are forma: A=, unde a ii ≠0, i=1,2,…,r; r≤k. Condiția r≤k poate fi întotdeauna atinsă prin transpunere. Teorema 6. Rangul unei matrice eșalon este egal cu numărul rândurilor sale diferite de zero .
Acestea. Rangul matricei pasului este egal cu r, deoarece există un minor diferit de zero de ordinul r:
