Plan:

1 Recenzie
- 1.1 Polinoame Butterworth normalizate
- 1.2 Netezime maximă
- 1.3 Roll-off de înaltă frecvență
2 Designul filtrului
- 2.1 Topologie Cauer
- 2.2 Topologia Sallen-Kay
3 Comparație cu alte filtre liniare
4 Exemplu

Introducere

filtru Butterworth- unul dintre tipurile de filtre electronice. Filtrele din această clasă diferă de altele în metoda de proiectare. Filtrul Butterworth este proiectat astfel încât răspunsul său amplitudine-frecvență să fie cât mai neted posibil la frecvențele benzii de trecere.

Astfel de filtre au fost descrise pentru prima dată de inginerul britanic Stefan Butterworth în articolul „Despre teoria amplificatoarelor cu filtre”. Despre teoria amplificatoarelor cu filtru ), În revistă Inginer fără firîn 1930.

1. Revizuire

Răspunsul în frecvență al filtrului Butterworth este maxim neted la frecvențele de bandă de trecere și scade la aproape zero la frecvențele de bandă stop. Când se trasează răspunsul în frecvență al unui filtru Butterworth pe un răspuns de fază logaritmică, amplitudinea scade spre minus infinit la frecvențele benzii de oprire. În cazul unui filtru de ordinul întâi, răspunsul în frecvență se atenuează cu o rată de -6 decibeli pe octava (-20 decibeli pe decada) (de fapt, toate filtrele de ordinul întâi, indiferent de tip, sunt identice și au aceleași răspuns în frecvență). Pentru un filtru Butterworth de ordinul doi, răspunsul în frecvență se atenuează cu −12 dB pe octava, pentru un filtru de ordinul trei - cu −18 dB și așa mai departe. Răspunsul în frecvență al filtrului Butterworth este o funcție monotonă a frecvenței. Filtrul Butterworth este singurul filtru care păstrează forma răspunsului în frecvență pentru ordinele superioare (cu excepția unei declinări mai abrupte a caracteristicii la banda de suprimare), în timp ce multe alte tipuri de filtre (filtru Bessel, filtru Chebyshev, filtru eliptic) au forme diferite ale răspunsului în frecvență la ordine diferite.

În comparație cu filtrele Chebyshev de tip I și II sau cu filtrul eliptic, filtrul Butterworth are un rolloff mai plat și, prin urmare, trebuie să fie de ordin mai înalt (ceea ce este mai dificil de implementat) pentru a oferi performanța dorită la frecvențele stopband. Cu toate acestea, filtrul Butterworth are un răspuns de fază-frecvență mai liniar la frecvențele de bandă de trecere.

Răspunsul în frecvență pentru filtrele Butterworth trece-jos este de ordinul 1 la 5. Panta caracteristicii este de 20 n dB/deceniu, unde n- ordinea filtrului.

Ca și în cazul tuturor filtrelor atunci când luați în considerare caracteristicile de frecvență utilizați un filtru trece-jos, de la care se poate obține cu ușurință un filtru trece-înalt și conectând mai multe astfel de filtre în serie - filtru trece-bandă sau filtru crestătură.

Răspunsul în frecvență al unui filtru Butterworth de ordinul al treilea poate fi obținut din funcția de transfer:

Este ușor de observat că pentru valori infinite, răspunsul în frecvență devine o funcție dreptunghiulară, iar frecvențele sub frecvența de tăiere vor fi trecute cu un câștig, iar frecvențele de peste frecvența de tăiere vor fi complet suprimate. Pentru valori finite, declinul caracteristicii va fi ușor.

Folosind o înlocuire formală, prezentăm expresia ca:

Polii funcției de transfer sunt situați pe un cerc de rază echidistant unul de celălalt în semiplanul stâng. Adică, funcția de transfer a unui filtru Butterworth poate fi determinată numai prin determinarea polilor funcției sale de transfer în semiplanul stâng al planului s. Al-lea pol se determină din următoarea expresie:

Funcția de transfer poate fi scrisă ca:

Raționament similar se aplică filtrelor digitale Butterworth, singura diferență fiind că relațiile nu sunt scrise pentru s-avion, si pentru z-avion.

Numitorul acestei funcții de transfer se numește polinomul Butterworth.

1.1. Polinoame Butterworth normalizate

Polinoamele Butterworth pot fi scrise într-o formă complexă, așa cum se arată mai sus, dar de obicei sunt scrise ca relații cu coeficienți reali (perechile conjugate complexe sunt combinate folosind înmulțirea). Polinoamele sunt normalizate prin frecvența de tăiere: . Polinoamele Butterworth normalizate au astfel următoarea formă canonică:

, - chiar ciudat

Mai jos sunt coeficienții polinomii Butterworth pentru primele opt ordine:

	Coeficienți polinomi
1
2
3
4
5
6
7
8

1.2. Netezime maximă

Luând și , derivata caracteristicii de amplitudine în raport cu frecvența va arăta astfel:

Descrește monoton pentru toată lumea, deoarece câștigul este întotdeauna pozitiv. Astfel, răspunsul în frecvență al filtrului Butterworth nu are ondulație. Când extindem caracteristica de amplitudine într-o serie, obținem:

Cu alte cuvinte, toate derivatele caracteristicii amplitudine-frecvență în raport cu frecvența până la 2 n- sunt egale cu zero, ceea ce implică „netezime maximă”.

1.3. Roll-off de înaltă frecvență

După ce am acceptat, găsim panta logaritmului răspunsului în frecvență la frecvențe înalte:

În decibeli, asimptota de înaltă frecvență are o pantă de -20 n dB/deceniu.

2. Designul filtrului

Există o serie de topologii diferite de filtre cu care sunt implementate filtre analogice liniare. Aceste scheme diferă doar prin valorile elementelor, dar structura rămâne neschimbată.

2.1. Topologie Cauer

Topologia lui Cauer folosește elemente pasive (capacitate și inductanță). Un filtru Butteworth cu o funcție de transfer dată poate fi construit sub forma unui Cowher de tip 1. k-lea element filtrul este dat de relația:

; k impar ; k este par

2.2. Topologia Sallen-Kay

Topologia Sallen-Kay folosește, pe lângă cele pasive, și elemente active (amplificatoare operaționale și condensatoare). Fiecare etapă a circuitului Sallen-Kay este o parte a filtrului, descrisă matematic de o pereche de poli conjugați complecși. Se dovedește întreg filtrul conexiune serială toate cascadele. Dacă se găsește un stâlp valid, acesta trebuie implementat separat, de obicei ca circuit RC, și inclus în circuitul general.

Funcția de transfer a fiecărei etape din circuitul Sallen-Kay are forma:

Numitorul trebuie să fie unul dintre factorii polinomului Butterworth. După ce am acceptat, obținem:

Ultima relație dă două necunoscute care pot fi alese în mod arbitrar.

3. Comparație cu alte filtre liniare

Figura de mai jos arată răspunsul în frecvență al filtrului Butterworth în comparație cu alte filtre liniare populare de același (al cincilea) ordin:

Se poate observa din figură că rularea filtrului Butterworth este cea mai lentă dintre cele patru, dar are și cel mai bun răspuns în frecvență la frecvențele benzii de trecere.

4. Exemplu

Filtru Butterworth analog trece-jos (topologie Cauer) cu frecvență de tăiere cu următoarele valori ale elementelor: farad, ohm și henry.

Diagrama de densitate logaritmică a funcției de transfer H(e) pe planul argumentului complex pentru un filtru Butterworth de ordinul trei cu frecvență de tăiere . Cei trei poli se află pe un cerc cu raza unitară în semiplanul stâng.

Luați în considerare un filtru Butterworth de ordinul al treilea analog cu trecere joasă, cu farad, ohm și Henry. Indicând rezistența totală a condensatoarelor C Cum 1/Csși impedanța inductanțelor L Cum Ls, unde este o variabilă complexă și folosind ecuații pentru a calcula scheme electrice, obținem următoarea funcție de transfer pentru un astfel de filtru:

Răspunsul în frecvență este dat de ecuația:

iar răspunsul de fază este dat de ecuația:

Întârzierea de grup este definită ca minus derivata fazei în raport cu frecvența circulară și este o măsură a distorsiunii de fază a unui semnal la diferite frecvențe. Răspunsul în frecvență logaritmică al unui astfel de filtru nu are ondulații nici în banda de trecere, nici în banda de suprimare.

Graficul modulului funcției de transfer în planul complex indică clar trei poli în semiplanul stâng. Funcția de transfer este complet determinată de locația acestor poli pe cercul unitar simetric față de axa reală.

Prin înlocuirea fiecărei inductanțe cu o capacitate, iar capacitățile cu inductanțe, obținem un filtru Butterworth de trecere înalt.

Și întârzierea de grup a unui filtru Butterworth de ordinul trei cu frecvență de tăiere

Literatură

V.A. Lucas Teorie control automat. - M.: Nedra, 1990.
B.H. Krivitsky Manual privind bazele teoretice ale electronicii radio. - M.: Energie, 1977.
Miroslav D. Lutovac Design de filtru pentru procesarea semnalului folosind MATLAB© și Mathematica©. - New Jersey, SUA.: Prentice Hall, 2001. - ISBN 0-201-36130-2
Richard W. Daniels Metode de aproximare pentru proiectarea filtrului electronic. - New York: McGraw-Hill, 1974. - ISBN 0-07-015308-6
Steven W. Smith Ghidul omului de știință și al inginerului pentru procesarea semnalului digital. - A doua editie. - San-Diego: California Technical Publishing, 1999. - ISBN 0-9660176-4-1
Britton C. Rorabaugh Metode de aproximare pentru proiectarea filtrului electronic. - New York: McGraw-Hill, 1999. - ISBN 0-07-054004-7
B. Widrow, S.D. Stearns Procesare adaptivă a semnalului. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1985. - ISBN 0-13-004029-0
S. Haykin Teoria filtrului adaptiv. - Ediția a 4-a. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 2001. - ISBN 0-13-090126-1
Michael L. Honig, David G. Messerschmitt Filtre adaptive - Structuri, algoritmi și aplicații. - Hingham, MA: Kluwer Academic Publishers, 1984. - ISBN 0-89838-163-0
J.D. Markel, A.H. Gray, Jr. Predicția liniară a vorbirii. - New York: Springer-Verlag, 1982. - ISBN 0-387-07563-1
L.R. Rabiner, R.W. Schafer Procesarea digitală a semnalelor vocale. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1978. - ISBN 0-13-213603-1
Richard J. Higgins Procesarea semnalului digital în VLSI. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1990. - ISBN 0-13-212887-X
A. V. Oppenheim, R. W. Schafer Procesarea semnalului digital. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1975. - ISBN 0-13-214635-5
L. R. Rabiner, B. Gold Teoria și aplicarea procesării semnalelor digitale. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1986. - ISBN 0-13-914101-4
John G. Proakis, Dimitris G. Manolakis Introducere în procesarea semnalelor digitale. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1988. - ISBN 0-02-396815-X

Când se analizează filtrele și se calculează parametrii acestora, se folosesc întotdeauna câțiva termeni standard și este logic să se țină de ei încă de la început.

Să presupunem că doriți un filtru trece-jos care are un răspuns plat în banda de trecere și o tranziție bruscă la banda de oprire. Panta finală a răspunsului în banda de oprire va fi întotdeauna 6n dB/octavă, unde n este numărul de „poli”. Este necesar un condensator (sau inductor) pe pol, astfel încât cerințele finale ale ratei de rulare ale filtrului determină aproximativ complexitatea acestuia.

Acum să presupunem că decizi să folosești un filtru trece jos cu 6 poli. Vi se garantează o depășire finală la frecvențe înalte de 36 dB/octavă. La rândul său, acum este posibil să se optimizeze designul filtrului în sensul furnizării celui mai plat răspuns în banda de trecere prin reducerea pantei tranziției de la banda de trecere la banda de oprire. Pe de altă parte, permițând o anumită ondulație în banda de trecere, se poate realiza o tranziție mai abruptă de la banda de trecere la banda de oprire. Al treilea criteriu, care poate fi important, descrie capacitatea filtrului de a trece semnale cu un spectru situat în banda de trecere fără a le distorsiona forma din cauza schimbărilor de fază. Puteți fi, de asemenea, interesat de timpul de creștere, depășire și timpul de stabilire.

Sunt cunoscute metode de proiectare a filtrului care sunt potrivite pentru optimizarea oricăreia dintre aceste caracteristici sau combinații ale acestora. Într-adevăr alegere inteligentă filtrul nu are loc așa cum este descris mai sus; De regulă, uniformitatea necesară a caracteristicii în banda de trecere și atenuarea necesară la o anumită frecvență în afara benzii de trecere și alți parametri sunt mai întâi setate. După aceasta, se selectează cel mai potrivit circuit cu un număr de poli suficient pentru a satisface toate aceste cerințe. Următoarele câteva secțiuni vor analiza cele mai populare trei tipuri de filtre, și anume filtrul Butterworth (cel mai plat răspuns în bandă de trecere), filtrul Chebyshev (cea mai abruptă tranziție de la banda de trecere la banda de oprire) și filtrul Bessel (cel mai plat răspuns la timp de întârziere) . Oricare dintre aceste tipuri de filtre poate fi implementat folosind diverse scheme filtre; Vom discuta unele dintre ele mai târziu.Toate sunt la fel de potrivite pentru construirea de filtre de trecere joasă și înaltă și filtre de trecere de bandă.

Filtre Butterworth și Chebyshev. Filtrul Butterworth oferă cel mai plat răspuns în banda de trecere, care este obținut cu prețul netederii în regiunea de tranziție, de exemplu. între benzile de trecere și benzile de întârziere. După cum se va arăta mai târziu, are, de asemenea, un răspuns slab de fază-frecvență. Caracteristica sa amplitudine-frecvență este dată de următoarea formulă:
U out /U in = 1/ 1/2,
unde n definește ordinea filtrului (numărul de poli). Creșterea numărului de poli face posibilă aplatizarea porțiunii de caracteristică în banda de trecere și creșterea abruptului rulării de la banda de trecere la banda de suprimare, așa cum se arată în Fig. 5.10.

Orez. 5.10 Caracteristicile normalizate ale filtrelor trece-jos Butterworth. Observați creșterea abruptului declinului caracteristic odată cu creșterea ordinii de filtrare.

Atunci când alegem un filtru Butterworth, sacrificăm orice altceva de dragul celor mai plate caracteristici. Caracteristica sa merge orizontal, pornind de la frecvența zero, inflexia sa începe la frecvența de tăiere ƒ s - această frecvență corespunde de obicei punctului -3 dB.

În majoritatea aplicațiilor, cel mai important aspect este că ondulația benzii de trecere nu trebuie să depășească o anumită cantitate, să zicem 1 dB. Filtrul Chebyshev îndeplinește această cerință, în timp ce o anumită neuniformitate a caracteristicii este permisă pe întreaga bandă de trecere, dar, în același timp, claritatea ruperii sale crește foarte mult. Pentru filtrul Chebyshev, sunt specificate numărul de poli și denivelările din banda de trecere. Permițând o denivelare crescută în banda de trecere, obținem o îndoire mai ascuțită. Răspunsul amplitudine-frecvență al acestui filtru este dat de următoarea relație
U out /U in = 1/ 1/2,
unde C n este un polinom Chebyshev de primul fel de grad n, iar ε este o constantă care determină denivelarea caracteristicii în banda de trecere. Filtrul Chebyshev, ca și filtrul Butterworth, are caracteristici de fază-frecvență care sunt departe de a fi ideale. În fig. Figura 5.11 compară caracteristicile filtrelor trece-jos Chebyshev și Butterworth cu 6 poli. După cum puteți vedea cu ușurință, ambele sunt mult mai bune decât un filtru RC cu 6 poli.

Orez. 5.11. Comparație a caracteristicilor unor filtre trece-jos cu 6 poli utilizate în mod obișnuit. Caracteristicile acelorași filtre sunt afișate atât la scară logaritmică (sus) cât și liniară (de jos). 1 - filtru Bessel; 2 - filtru Butterworth; 3 - Filtru Chebyshev (ripple 0,5 dB).

De fapt, un filtru Butterworth cu un răspuns foarte plat în bandă de trecere nu este atât de atractiv pe cât ar părea, deoarece, în orice caz, trebuie să suportați anumite neuniformități în banda de trecere (pentru un filtru Butterworth aceasta va fi o scădere treptată a răspunsului, deoarece frecvența se apropie de ƒ c, iar pentru filtrul Chebyshev - ondulații distribuite pe întreaga bandă de trecere). În plus, filtrele active construite din elemente ale căror ratinguri au o oarecare toleranță vor avea o caracteristică care diferă de cea calculată, ceea ce înseamnă că, în realitate, va exista întotdeauna o anumită neuniformitate în banda de trecere în caracteristica filtrului Butterworth. În fig. Figura 5.12 ilustrează efectul celor mai nedorite abateri ale valorilor capacității condensatorului și rezistenței rezistenței asupra caracteristicii filtrului.

Orez. 5.12. Influența modificărilor parametrilor elementului asupra caracteristicilor filtrului activ.

În lumina celor de mai sus, o structură foarte rațională este filtrul Chebyshev. Uneori se numește filtru cu undă egală, deoarece caracteristica sa în regiunea de tranziție are o abruptă mai mare datorită faptului că mai multe pulsații de dimensiuni egale sunt distribuite pe banda de trecere, al căror număr crește odată cu ordinea filtrului. Chiar și cu ondulații relativ mici (aproximativ 0,1 dB), filtrul Chebyshev oferă o pantă mult mai mare în regiunea de tranziție decât filtrul Butterworth. Pentru a cuantifica această diferență, presupunem că este necesar un filtru cu o planeitate a benzii de trecere de cel mult 0,1 dB și o atenuare de 20 dB la o frecvență care diferă cu 25% de frecvența de tăiere a benzii de trecere. Calculul arată că în acest caz este necesar un filtru Butterworth cu 19 poli sau doar un filtru Chebyshev cu 8 poli.

Ideea că se poate tolera ondularea în banda de trecere de dragul creșterii abruptului secțiunii de tranziție este dusă la concluzia sa logică în ideea așa-numitului filtru eliptic (sau filtru Cauer), în care ondularea este permisă. atât în banda de trecere, cât și în întârziere pentru a asigura abruptitatea secțiunii de tranziție este chiar mai mare decât cea a caracteristicii filtrului Chebyshev. Cu ajutorul unui computer, filtrele eliptice pot fi proiectate la fel de simplu ca filtrele clasice Chebyshev și Butterworth. În fig. Figura 5.13 prezintă o descriere grafică a răspunsului amplitudine-frecvență al filtrului. În acest caz (filtru trece jos), intervalul acceptabil al câștigului filtrului (adică ondulația) în banda de trecere, frecvența minimă la care caracteristica părăsește banda de trecere, frecvența maximă la care caracteristica intră în banda de oprire și atenuarea minimă în se definesc trupa.detenţie.

Orez. 5.13. Setarea parametrilor de răspuns în frecvența filtrului.

filtre Bessel. După cum sa stabilit mai devreme, caracteristica de amplitudine-frecvență a filtrului nu indică despre aceasta informatii complete. Un filtru cu un răspuns plat amplitudine-frecvență poate avea schimbări mari de fază. Ca urmare, forma semnalului, al cărui spectru se află în banda de trecere, va fi distorsionată la trecerea prin filtru. În situațiile în care forma de undă este de o importanță capitală, este de dorit să existe un filtru de fază liniară (filtru de întârziere constantă) disponibil. Cererea unui filtru pentru a asigura o schimbare liniară a defazajului în funcție de frecvență este echivalentă cu necesitatea unui timp de întârziere constant pentru un semnal al cărui spectru este situat în banda de trecere, adică absența distorsiunii formei semnalului. Filtrul Bessel (numit și filtrul Thomson) are cea mai plată parte a curbei timpului de întârziere a benzii de trecere, la fel cum filtrul Butterworth are cel mai plat răspuns în frecvență. Pentru a înțelege îmbunătățirea în domeniul timpului pe care o oferă un filtru Bessel, priviți Fig. Figura 5.14 prezintă grafice de timp de întârziere normalizate în funcție de frecvență pentru filtrele trece-jos Bessel și Butterworth cu 6 poli. Caracteristicile slabe ale timpului de întârziere ale filtrului Butterworth determină să apară efecte de tip depășire atunci când semnalele pulsate trec prin filtru. Pe de altă parte, trebuie să plătiți pentru constanța timpilor de întârziere ai filtrului Bessel prin faptul că caracteristica sa amplitudine-frecvență are o secțiune de tranziție și mai plată între banda de trecere și banda de oprire decât chiar caracteristica filtrului Butterworth.

Orez. 5.14. Comparație a întârzierilor pentru filtrele trece-jos Bessel (1) și Butterworth (2) cu 6 benzi. Filtrul Bessel, datorită proprietăților sale excelente în domeniul timpului, produce cea mai mică distorsiune a formei de undă.

Există multe în diverse moduri design de filtru care încearcă să îmbunătățească performanța unui filtru Bessel în domeniul timpului, sacrificând parțial timpul de întârziere constant pentru a reduce timpul de creștere și a îmbunătăți răspunsul amplitudine-frecvență. Filtrul Gaussian are caracteristici de fază aproape la fel de bune ca filtrul Bessel, dar cu un răspuns tranzitoriu îmbunătățit. O altă clasă interesantă sunt filtrele care fac posibilă obținerea de ondulații identice în curba timpului de întârziere în banda de trecere (similar cu ondulațiile în caracteristica amplitudine-frecvență a unui filtru Chebyshev) și oferă aproximativ aceeași întârziere pentru semnalele cu un spectru de până la bandă de oprire. O altă abordare a creării de filtre cu timp de întârziere constant este utilizarea filtrelor de trecere totală, denumite altfel egalizatoare în domeniul timpului. Aceste filtre au un răspuns constant de amplitudine-frecvență, iar defazarea poate fi modificată în funcție de cerințele specifice. Astfel, ele pot fi utilizate pentru a egaliza timpul de întârziere al oricăror filtre, în special filtrele Butterworth și Chebyshev.

Comparația filtrelor.În ciuda comentariilor anterioare despre răspunsul tranzitoriu al filtrelor Bessel, acesta are încă proprietăți foarte bune în domeniul timpului în comparație cu filtrele Butterworth și Chebyshev. Filtrul Chebyshev în sine, cu răspunsul său de amplitudine-frecvență foarte potrivit, are cei mai răi parametri din domeniul temporal dintre toate aceste trei tipuri de filtre. Filtrul Butterworth face un compromis între frecvențe și caracteristicile de sincronizare. În fig. Figura 5.15 oferă informații despre caracteristicile de performanță ale acestor trei tipuri de filtre în domeniul timp, completând graficele anterioare ale caracteristicilor amplitudine-frecvență. Pe baza acestor date, putem concluziona că în cazurile în care parametrii de filtru din domeniul temporal sunt importanți, este recomandabil să folosiți un filtru Bessel.

Orez. 5.15. Comparație tranzitorie a filtrelor trece-jos cu 6 poli. Curbele sunt normalizate prin reducerea valorii de atenuare de 3 dB la o frecvență de 1 Hz. 1 - filtru Bessel; 2 - filtru Butterworth; 3 - Filtru Chebyshev (ripple 0,5 dB).

Răspunsul în frecvență al filtrului Butterworth este descris de ecuație

Caracteristici ale filtrului Butterworth: răspuns de fază neliniar; frecvența de tăiere independentă de numărul de poli; natura oscilativă a răspunsului tranzitoriu cu un semnal de intrare pas. Pe măsură ce ordinea filtrului crește, natura oscilativă crește.

filtru Cebyshev

Răspunsul în frecvență al filtrului Chebyshev este descris de ecuație

Unde T n 2 (ω/ω n ) – Polinomul Cebyshev n-a ordine.

Polinomul Chebyshev este calculat folosind formula recurentă

Caracteristici ale filtrului Chebyshev: neuniformitate crescută a răspunsului de fază; caracteristică de tip val în banda de trecere. Cu cât este mai mare coeficientul de neuniformitate al răspunsului în frecvență al filtrului în banda de trecere, cu atât declinul în regiunea de tranziție este mai accentuat în aceeași ordine. Oscilația tranzitorie a unui semnal de intrare în trepte este mai mare decât cea a unui filtru Butterworth. Factorul de calitate al filtrului Chebyshev este mai mare decât cel al filtrului Butterworth.

filtru Bessel

Răspunsul în frecvență al filtrului Bessel este descris de ecuație

Unde
;B n 2 (ω/ω cp h ) – Polinomul Bessel n-a ordine.

Polinomul Bessel este calculat folosind formula recurentă

Caracteristici ale filtrului Bessel: răspuns în frecvență și răspuns de fază destul de uniform, aproximat prin funcția Gauss; defazajul filtrului este proporțional cu frecvența, adică. filtrul are un timp de întârziere de grup independent de frecvență. Frecvența de tăiere se modifică pe măsură ce se schimbă numărul de poli ai filtrului. Răspunsul în frecvență al filtrului este de obicei mai plat decât cel al lui Butterworth și Chebyshev. Acest filtru este potrivit în special pentru circuitele de impulsuri și procesarea semnalelor sensibile la fază.

filtru Cauer (filtru eliptic)

Vedere generală a funcției de transfer a filtrului Cauer

Caracteristici ale filtrului Cauer: răspuns neuniform în frecvență în banda de trecere și banda de oprire; cea mai mare scădere a răspunsului în frecvență dintre toate filtrele de mai sus; implementează funcțiile de transfer necesare cu o ordine de filtrare mai mică decât atunci când se utilizează alte tipuri de filtre.

Determinarea ordinii de filtrare

Ordinea de filtrare necesară este determinată de formulele de mai jos și rotunjită la cea mai apropiată valoare întreagă. Comanda filtrului Butterworth

Ordinea filtrului Chebyshev

Pentru filtrul Bessel, nu există o formulă pentru calcularea ordinii; în schimb, sunt furnizate tabele care corespund ordinei filtrului cu abaterea minimă necesară a timpului de întârziere de la unitate la o frecvență dată și nivelul de pierdere în dB).

Când se calculează ordinea filtrului Bessel, sunt specificați următorii parametri:

Abaterea procentuală permisă a timpului de întârziere a grupului la o frecvență dată ω ω cp h ;

Nivelul de atenuare a câștigului filtrului poate fi setat în dB la frecvență ω , normalizat relativ la ω cp h .

Pe baza acestor date, se determină ordinea necesară a filtrului Bessel.

Circuite de cascade de filtre trece-jos de ordinul 1 și 2

În fig. 12.4, 12.5 arată circuitele tipice ale cascadelor de filtre trece-jos.

A) b)

Orez. 12.4. Cascade de filtre trece-jos de Butterworth, Chebyshev și Bessel: A - ordinul 1; b – Ordinul 2

A) b)

Orez. 12.5. Cascade de filtru trece-jos Cauer: A - ordinul 1; b – Ordinul 2

Vedere generală a funcțiilor de transfer ale filtrelor trece-jos Butterworth, Chebyshev și Bessel de ordinul 1 și 2

,
.

Vedere generală a funcțiilor de transfer ale filtrului trece-jos Cauer de ordinul 1 și 2

,
.

Diferența cheie dintre un filtru Cauer de ordinul 2 și un filtru de oprire a benzii este că în funcția de transfer al filtrului Cauer raportul de frecvență Ω s ≠ 1.

Metoda de calcul pentru filtrele trece-jos Butterworth, Chebyshev și Bessel

Această tehnică se bazează pe coeficienții dați în tabele și este valabilă pentru filtrele Butterworth, Chebyshev și Bessel. Metoda de calcul a filtrelor Cauer este dată separat. Calculul filtrelor trece-jos Butterworth, Chebyshev și Bessel începe cu determinarea ordinii acestora. Pentru toate filtrele sunt setate parametrii de atenuare minimă și maximă și frecvența de tăiere. Pentru filtrele Chebyshev, se determină suplimentar coeficientul de neuniformitate a răspunsului în frecvență în banda de trecere, iar pentru filtrele Bessel este determinat timpul de întârziere a grupului. În continuare, se determină funcția de transfer a filtrului, care poate fi luată din tabele, și se calculează cascadele sale de ordinul 1 și 2, se respectă următoarea procedură de calcul:

În funcție de ordinea și tipul filtrului, circuitele cascadelor sale sunt selectate, în timp ce un filtru de ordine uniformă este format din n/2 cascade de ordinul 2 și un filtru de ordin impar - dintr-o cascadă de ordinul 1 și ( n– 1)/2 cascade de ordinul 2;

Pentru a calcula o cascadă de ordinul 1:

Tipul de filtru selectat și ordinea determină valoarea b 1 cascada de ordinul 1;

Prin reducerea suprafeței ocupate, se selectează capacitatea nominală C si calculat R conform formulei (puteți alege și R, dar este recomandat să alegeți C, din motive de acuratețe)

;

Se calculează câștigul LA la U 1 Cascada de ordinul 1, care este determinată din relație

Unde LA la U– câștigul filtrului în ansamblu; LA la U 2 , …, LA la Un– factori de câștig de cascade de ordinul 2;

Pentru a realiza câștig LA la U 1 este necesară setarea rezistențelor pe baza următoarei relații

R B = R A ּ (LA la U1 –1) .

Pentru a calcula o cascadă de ordinul 2:

Prin reducerea suprafeței ocupate se selectează valorile nominale ale containerelor C 1 = C 2 = C;

Coeficienții sunt selectați din tabele b 1 iȘi Q pi pentru cascade de ordinul 2;

În funcție de un grad de capacitate dat C se calculează rezistențele R conform formulei

;

Pentru tipul de filtru selectat, trebuie să setați câștigul corespunzător LA la Ui = 3 – (1/Q pi) din fiecare treaptă de ordinul 2, prin setarea rezistențelor pe baza următoarei relații

R B = R A ּ (LA la Ui –1) ;

Pentru filtrele Bessel, este necesar să se înmulțească valorile nominale ale tuturor condensatoarelor cu timpul de întârziere de grup necesar.

filtru Butterworth

Funcția de transfer al filtrului Butterworth Low Pass n-ordinea se caracterizeaza prin expresia:

Răspunsul amplitudine-frecvență al filtrului Butterworth are următoarele proprietăți:

1) În orice ordine n valoarea răspunsului în frecvență

2) la frecvența de tăiere u = u s

Răspunsul în frecvență al filtrului trece-jos scade monoton odată cu creșterea frecvenței. Din acest motiv, filtrele Butterworth sunt numite filtre plate. Figura 3 prezintă grafice ale caracteristicilor amplitudine-frecvență ale filtrelor trece-jos Butterworth de 1-5 ordine. Evident, cu cât ordinea filtrului este mai mare, cu atât este mai precis răspunsul în frecvență al unui filtru trece-jos ideal.

Figura 3 - Răspunsul în frecvență pentru un filtru Butterworth trece jos de ordinul de la 1 la 5

Figura 4 prezintă o implementare în circuit a unui filtru trece-înalt Butterworth.

Figura 4 - Butterworth HPF-II

Avantajul filtrului Butterworth este cel mai bun răspuns în frecvență la frecvențele în bandă de trecere și reducerea acestuia la aproape zero la frecvențele în bandă de oprire. Filtrul Butterworth este singurul filtru care păstrează forma răspunsului în frecvență pentru ordinele superioare (cu excepția unei declinări mai abrupte a caracteristicii în banda de suprimare), în timp ce multe alte tipuri de filtre (filtru Bessel, filtru Chebyshev, filtru eliptic) au forme diferite ale răspunsului în frecvență la ordine diferite.

Totuși, în comparație cu filtrul Chebyshev tipurile I și II sau cu filtrul eliptic, filtrul Butterworth are o rulare mai plată și, prin urmare, trebuie să fie de ordin mai înalt (ceea ce este mai dificil de implementat) pentru a oferi performanța dorită la frecvențele stopband.

filtru Cebyshev

Modulul pătrat al funcției de transfer a filtrului Chebyshev este determinat de expresia:

unde este polinomul Cebyshev. Modulul funcției de transfer a filtrului Chebyshev este egal cu unitatea la acele frecvențe în care devine zero.

Filtrele Chebyshev sunt utilizate de obicei acolo unde este necesar să se utilizeze un filtru de ordin mic pentru a oferi caracteristicile de răspuns în frecvență necesare, în special, o bună suprimare a frecvențelor din banda de suprimare și netezimea răspunsului în frecvență la frecvențele benzii de trecere și benzile de suprimare nu sunt atât de importante.

Există filtre Chebyshev de tipurile I și II.

Filtru Chebyshev de primul fel. Aceasta este o modificare mai comună a filtrelor Chebyshev. În banda de trecere a unui astfel de filtru, sunt vizibile ondulațiile, a căror amplitudine este determinată de exponentul ondulației e. În cazul unui filtru electronic analog Chebyshev, ordinea acestuia este egală cu numărul de componente reactive utilizate în implementarea sa. O scădere mai abruptă a caracteristicii poate fi obținută permițând ondulații nu numai în banda de trecere, ci și în banda de suprimare, prin adăugarea de zerouri pe axa imaginară în plan complex la funcția de transfer al filtrului. Acest lucru va duce, totuși, la o suprimare mai puțin eficientă în banda de oprire. Filtrul rezultat este un filtru eliptic, cunoscut și sub numele de filtru Cauer.

Răspunsul în frecvență pentru un filtru trece-jos Chebyshev de primul tip de ordinul al patrulea este prezentat în Figura 5.

Figura 5 - Răspunsul în frecvență pentru un filtru trece-jos Chebyshev de primul fel, ordinul al patrulea

Un filtru Chebyshev de tip II (filtru Chebyshev invers) este utilizat mai rar decât un filtru Chebyshev de tip I datorită unei scăderi mai puțin abrupte a caracteristicii de amplitudine, ceea ce duce la creșterea numărului de componente. Nu are ondulație în banda de trecere, dar este prezent în banda de suprimare.

Răspunsul în frecvență pentru un filtru trece-jos Chebyshev de al doilea tip de ordinul al patrulea este prezentat în Figura 6.

Figura 6 - Răspunsul în frecvență pentru un filtru trece-jos Chebyshev de tip II

Figura 7 prezintă implementări de circuit ale filtrelor de trecere înaltă Chebyshev de ordinul 1 și 2.

Figura 7 - Filtru trece-înalt Chebyshev: a) ordinul I; b) ordinul II

Proprietăți ale caracteristicilor de frecvență ale filtrelor Chebyshev:

1) În banda de trecere, răspunsul în frecvență are un caracter de undă egală. Pe intervalul (-1?sch?1) există n puncte în care funcția atinge o valoare maximă de 1 sau o valoare minimă de . Dacă n este impar, dacă n este par;

2) valoarea răspunsului în frecvență al filtrului Chebyshev la frecvența de tăiere este egală cu

3) Când funcția scade monoton și tinde spre zero.

4) Parametrul e determină neuniformitatea răspunsului în frecvență al filtrului Chebyshev în banda de trecere:

O comparație a răspunsului în frecvență al filtrelor Butterworth și Chebyshev arată că filtrul Chebyshev oferă o atenuare mai mare în banda de trecere decât un filtru Butterworth de același ordin. Dezavantajul filtrelor Chebyshev este că caracteristicile lor de fază-frecvență în banda de trecere diferă semnificativ de cele liniare.

Pentru filtrele Butterworth și Chebyshev există tabele detaliate care arată coordonatele polilor și coeficienții funcțiilor de transfer de diferite ordine.

CONVERTIREA PROPRIETĂȚILOR DE FRECVENȚĂ ALE DF (LPF --> LPF1)

CONVERTIREA PROPRIETĂȚILOR DE FRECVENȚĂ ALE DF (LPF --> HPF)

CONVERTIREA PROPRIETĂȚILOR DE FRECVENȚĂ ALE DF (LPF --> PF)

CONVERTIREA PROPRIETĂȚILOR DE FRECVENȚĂ ALE DF (LPF --> RF)

Filtru Butterworth de ordinul 4

CONVERTIREA PROPRIETĂȚILOR DE FRECVENȚĂ ALE DF (LPF --> LPF1)

CONVERTIREA PROPRIETĂȚILOR DE FRECVENȚĂ ALE DF (LPF --> HPF)

CONVERTIREA PROPRIETĂȚILOR DE FRECVENȚĂ ALE DF (LPF --> PF)

CONVERTIREA PROPRIETĂȚILOR DE FRECVENȚĂ ALE DF (LPF --> RF)

Filtru Chebyshev de ordinul 3

CONVERTIREA PROPRIETĂȚILOR DE FRECVENȚĂ ALE DF (LPF --> LPF1)

CONVERTIREA PROPRIETĂȚILOR DE FRECVENȚĂ ALE DF (LPF --> HPF)

CONVERTIREA PROPRIETĂȚILOR DE FRECVENȚĂ ALE DF (LPF --> PF)

CONVERTIREA PROPRIETĂȚILOR DE FRECVENȚĂ ALE DF (LPF --> RF)

Filtru Chebyshev 4 comenzi

CONVERTIREA PROPRIETĂȚILOR DE FRECVENȚĂ ALE DF (LPF --> LPF1)

CONVERTIREA PROPRIETĂȚILOR DE FRECVENȚĂ ALE DF (LPF --> HPF)

CONVERTIREA PROPRIETĂȚILOR DE FRECVENȚĂ ALE DF (LPF --> PF)

CONVERTIREA PROPRIETĂȚILOR DE FRECVENȚĂ ALE DF (LPF --> RF)

Filtru Bessel de ordinul 3

CONVERTIREA PROPRIETĂȚILOR DE FRECVENȚĂ ALE DF (LPF --> LPF1)

CONVERTIREA PROPRIETĂȚILOR DE FRECVENȚĂ ALE DF (LPF --> HPF)

CONVERTIREA PROPRIETĂȚILOR DE FRECVENȚĂ ALE DF (LPF --> PF)

CONVERTIREA PROPRIETĂȚILOR DE FRECVENȚĂ ALE DF (LPF --> RF)

Filtru Bessel de ordinul 4

CONVERTIREA PROPRIETĂȚILOR DE FRECVENȚĂ ALE DF (LPF --> LPF1)

CONVERTIREA PROPRIETĂȚILOR DE FRECVENȚĂ ALE DF (LPF --> HPF)

CONVERTIREA PROPRIETĂȚILOR DE FRECVENȚĂ ALE DF (LPF --> PF)

CONVERTIREA PROPRIETĂȚILOR DE FRECVENȚĂ ALE DF (LPF --> RF)

Analizați influența erorilor în setarea coeficienților filtrului digital trece-jos asupra răspunsului în frecvență (prin modificarea unuia dintre coeficienții b j). Descrieți natura modificării răspunsului în frecvență. Trageți o concluzie despre efectul modificării unuia dintre coeficienți asupra comportamentului filtrului.

Vom analiza influența erorilor în setarea coeficienților filtrului digital trece-jos asupra răspunsului în frecvență folosind exemplul unui filtru Bessel de ordinul 4.

Să alegem valoarea abaterii coeficienților ε egală cu –1,5%, astfel încât abaterea maximă a răspunsului în frecvență să fie de aproximativ 10%.

Răspunsul în frecvență al unui filtru „ideal” și al filtrelor cu coeficienți modificați cu valoarea ε este prezentat în figură:

ȘI

Figura arată că cea mai mare influență asupra răspunsului în frecvență o exercită modificările coeficienților b 1 și b 2 (valoarea acestora depășește valoarea altor coeficienți). Folosind o valoare negativă a lui ε, observăm că coeficienții pozitivi reduc amplitudinea în partea inferioară a spectrului, în timp ce coeficienții negativi o măresc. Pentru o valoare pozitivă a lui ε, totul se întâmplă invers.

Cuantificați coeficienții filtrului digital cu un astfel de număr de cifre binare încât abaterea maximă a răspunsului în frecvență de la original să fie de aproximativ 10 - 20%. Schițați răspunsul în frecvență și descrieți natura modificării acestuia.

Prin modificarea numărului de cifre ale părții fracționale a coeficienților b j Rețineți că abaterea maximă a răspunsului în frecvență față de cel original nu depășește 20% atunci când n≥3.

Tip de răspuns în frecvență la diferite n arata in poze:

n =3, abaterea maximă a răspunsului în frecvență =19,7%

n =4, abaterea maximă a răspunsului în frecvență =13,2%

n =5, abaterea maximă a răspunsului în frecvență =5,8%

n =6, abaterea maximă a răspunsului în frecvență = 1,7%

Astfel, se poate observa că creșterea adâncimii de biți la cuantificarea coeficienților filtrului duce la faptul că răspunsul în frecvență al filtrului tinde din ce în ce mai mult spre cel original. Cu toate acestea, trebuie remarcat faptul că acest lucru complică realizabilitatea fizică a filtrului.

Cuantificare la diferite n poate fi văzut în figură: