Візьмемо котушку з феромагнітним сердечником і винесемо окремим елементом омічний опір обмотки як показано на малюнку 1.
Малюнок 1. Котушка індуктивності з феромагнітним сердечником
При подачі змінної напруги e c у котушці, згідно із законом електромагнітної індукції, виникає ЕРС самоіндукції е L .
(1) де ψ
- потокозчеплення, W- Число витків в обмотці, Ф- Основний магнітний потік. Потоком розсіювання нехтуємо. Додана до котушки напруга та наведена ЕРС врівноважуються. За другим законом Кірхгофа для вхідного ланцюга можна записати:
е c + е L = i × Rобм, (2)де Rобм - активний опір обмотки.
Оскільки е L >> i × Rобм, то падінням напруги на омічному опорі нехтуємо, тоді е c ≈ −e L. Якщо напруга мережі гармонійна, е с = E m cosω t, то:
(3)
Знайдемо із цієї формули магнітний потік. Для цього перенесемо кількість витків в обмотці у ліву частину, а магнітний потік Ф у праву:
(4)
Тепер візьмемо невизначений інтеграл від правої та лівої частин:
(5)Оскільки магнітопровід вважаємо лінійним, то ланцюга протікає лише гармонійний струм немає постійного магніту чи постійної складової магнітного потоку, то стала інтегрування з = 0 . Тоді дріб перед синусом є амплітудою магнітного потоку
(6)звідки висловимо амплітуду вхідної ЕРС
E m =Ф m × W × ω (7)Його чинне значення дорівнює
(8) (9)Вираз (9) називають основною формулою трансформаторної ЕРСяка справедлива тільки для гармонійного напруження. При негармонійному напрузі її видозмінюють і вводять так званий коефіцієнт форми, що дорівнює відношенню діючого значення до середнього:
(10)
Знайдемо коефіцієнт форми для гармонійного сигналу, причому середнє значення знаходимо на інтервалі від 0 до π/2
(11)
Тоді коефіцієнт форми дорівнює 
і основна формула трансформаторної ЕРС набуває остаточного вигляду:
Якщо сигнал є послідовністю прямокутних імпульсів однакової тривалості (меандр), то амплітудне, чинне та середнє значення за половину періоду рівні між собою та його kф = 1. Можна знайти коефіцієнт форми та інших сигналів. Основна формула трансформаторної ЕРС буде справедливою.
Побудуємо векторну діаграму котушки з феромагнітним сердечником. При синусоїдальній напрузі на затискачах котушки її магнітний потік теж синусоїдальний і відстає по фазі від напруги на кут π/2, як показано на малюнку 2.
Визначимо ЕРС, індуковану в первинній обмотці трансформатора основним магнітним потоком.
Основний магнітний потік змінюється за синусоїдальним законом
де Фm - максимальне або амплітудне значення основного магнітного потоку;
πf - кутова частота;
f – частота змінної напруги.
Миттєве значення ЕРС
Максимальне значення
Чинне значення ЕРС у первинній обмотці
Для вторинної обмотки можна отримати аналогічну формулу
Електрорушійні сили E1 та E2, індуктовані в обмотках трансформатора основним магнітним потоком, називаються трансформаторними ЕРС. Трансформаторні ЕРС відстають фазою від основного магнітного потоку на 90°.
Магнітний потік розсіювання індукує в первинній обмотці ЕРС розсіювання
де L1s – індуктивність розсіювання у первинній обмотці.
Запишемо рівняння за другим законом Кірхгофа для первинної обмотки
AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA
Напруга на первинній котушці має три доданки: падіння напруги, напруга, що врівноважує трансформаторну ЕРС, напруга, що врівноважує ЕРС розсіювання.
Запишемо рівняння (10.1) у комплексній формі
де індуктивний опір розсіювання первинної обмотки
На рис. 10.4 зображено векторну діаграму трансформатора, що працює в режимі холостого ходу.
Вектори трансформаторних ЕРС відстають на 90° від вектора основного магнітного потоку. Вектор напруги паралельний вектору струму, а вектор випереджає вектор струму на 90 °. Вектор напруги на затискачі первинної обмотки трансформатора дорівнює геометричній сумі векторів - , , Рис. 10.4.
На рис. 10.5 зображено схему заміщення трансформатора, що відповідає рівнянню (10.2).
XЕ - індуктивне опір, пропорційне реактивної потужності, витрачається створення основного магнітного потоку.
У режимі холостого ходу.
Коефіцієнт трансформації 
.
Коефіцієнт трансформації експериментально визначається з досвіду холостого ходу.
Робота трансформатора під навантаженням
Якщо до первинної обмотки трансформатора підключити напругу U1, а вторинну обмотку з'єднати з навантаженням, в обмотках з'являться струми I1 та I2. Ці струми створять магнітні потоки Ф1 та Ф2, спрямовані назустріч один одному. Сумарний магнітний потік у магнітопроводі зменшується. Внаслідок цього індуктовані сумарним потоком ЕРС E1 та E2 зменшуються. Чинне значення напруги U1 залишається постійним. Зменшення E1, згідно (10.2), викликає збільшення струму струму I1. При збільшенні струму I1 потік Ф1 збільшується рівно настільки, щоб компенсувати дію потоку Ф2, що розмагнічує. Знову відновлюється рівновага при практично колишньому значенні сумарного потоку.
У навантаженому трансформаторі, крім основного магнітного потоку, є потоки розсіювання Ф1S і Ф2S, що замикаються частково повітрям. Ці потоки індуктують у первинній та вторинній обмотках ЕРС розсіювання.
де X2S – індуктивний опір розсіювання вторинної обмотки.
Для первинної обмотки можна записати рівняння
Для вторинної обмотки
де R2 - активний опір вторинної обмотки;
ZН – опір навантаження.
Основний магнітний потік трансформатора є результатом спільної дії магніторушійних сил первинної та вторинної обмоток.
Трансформаторна ЕРС E1, пропорційна основному магнітному потоку, приблизно дорівнює напрузі на первинній котушці U1. Чинне значення напруги постійно. Тому основний магнітний потік трансформатора залишається незмінним за зміни опору навантаження від нуля до нескінченності.
Якщо , то й сума магніторушійних сил трансформатора
Рівняння (10.5) називається рівнянням рівноваги магніторушійних сил.
Рівняння (10.3), (10.4), (10.5) називаються основними рівняннями трансформатора.
ПРАКТИКУМ
ПО ЕЛЕКТРИЧНИХ МАШИН
І АПАРАТАМ
Навчальний посібник
Для студентів очного та заочного навчання
в галузі приладобудування та оптотехніки
як навчальний посібник для студентів вищих навчальних
закладів, які навчаються за спеціальністю 200101 (190100)
«Приладобудування»
Казань 2005
УДК 621.375+621.316.5
ББК 31.261+31.264
Прохоров С.Г., Хуснутдінов Р.А.Практикум з електричних машин
та апаратам: Навчальний посібник: Для студентів очного та заочного навчання. Казань: Вид-во Казан. держ. техн. ун-ту, 2005. 90 с.
ISBN 5-7579-0806-8
Призначено для проведення практичних занять та виконання самостійної роботи з дисципліни «Електричні машини та апарати» за напрямом підготовки дипломованого спеціаліста 653700 – «Приладобудування».
Посібник може бути корисним для студентів, які вивчають дисципліни.
"Електротехніка", "Електромеханічне обладнання в приладобудуванні",
"Електричні машини в приладових пристроях", а також студентів усіх
інженерних спеціальностей, у тому числі електротехнічного профілю.
Табл. Іл. Бібліогр.: 11 назв.
Рецензенти: кафедра електроприводу та автоматики промислових установок та технологічних комплексів (Казанський державний енергетичний університет); професор, канд. фіз.-мат. наук, доцент В.А.Кірсанов (Казанська філія Челябінського танкового інституту)
ISBN 5-7579-0806-8 © Вид-во Казан. держ. техн. ун-ту, 2005
© Прохоров С.Г., Хуснутдінов Р.А.,
Пропоновані тести з дисципліни «Електричні машини та апарати» призначені для проведення практичних занять та виконання самостійної роботи. Тести складені за розділами "Трансформатори", "Асинхронні машини", "Синхронні машини", "Коллекторні машини постійного струму", "Електричні апарати". Відповіді у формі таблиці дано наприкінці посібника.
ТРАНСФОРМАТОРИ
1. Чому повітряні зазори у трансформаторі роблять мінімальними?
1) Для збільшення механічної міцності осердя.
3) Зменшення магнітного шуму трансформатора.
4) Для збільшення маси сердечника.
2.Чому сердечник трансформатора виконують із електротехнічної сталі?
1) Для зменшення струму холостого ходу.
2) Для зменшення намагнічуючої складової струму холостого
3) Для зменшення активної складової струму холостого ходу.
4) Для покращення корозійної стійкості.
3.Чому пластини сердечника трансформатора стягують шпильками?
1) Для збільшення механічної міцності.
2) Для кріплення трансформатора до об'єкта.
3) Для зменшення вологи всередині осердя.
4) Зменшення магнітного шуму.
4. Чому сердечник трансформатора виконують із електрично ізольованих одна від одної пластин електротехнічної сталі?
1) Для зменшення маси сердечника.
2) Для збільшення електричної міцності осердя.
3) Для зменшення вихрових струмів.
4) Для спрощення конструкції трансформатора.
5. Як позначаються початку первинної обмотки трифазного трансформатора?
1) a, b, c 2) x, y, z 3) A, B, C 4) X, Y, Z
6. Як з'єднані первинна та вторинна обмотки трифазного трансформатора, якщо трансформатор має 11 групу (Y – зірка, Δ – трикутник)?
1) Y/Δ 2) Δ/Y 3) Y/Y 4) Δ/Δ
7. Як відрізняються за масою магнітопровід та обмотка звичайного трансформатора від автотрансформатора, якщо коефіцієнти трансформації однакові До= 1,95? Потужність та номінальна напруга апаратів однакові.
1) Не відрізняються.
2) Маси магнітопроводу та обмотки автотрансформатора менше мас
магнітопроводу та обмоток звичайного трансформатора відповідно.
3) Маса магнітопроводу автотрансформатора менша за масу магнітопроводу звичайного трансформатора, а маси обмоток рівні.
4) Маси магнітопроводу та обмоток звичайного трансформатора менше, ніж у відповідних величин автотрансформатора.
5) Маса обмотки автотрансформатора менша за масу обмоток звичайного трансформатора, а маси магнітопроводів рівні.
8. На якому законі електротехніки ґрунтується принцип дії трансформатора?
1) На законі електромагнітних сил.
2) На законі Ома.
3) На законі електромагнітної індукції.
4) На першому законі Кірхгофа.
5) На другому законі Кірхгофа.
9. Що станеться з трансформатором, якщо його включити до мережі постійної напруги тієї самої величини?
1) Нічого не станеться.
2) Може згоріти.
3) Зменшиться основний магнітний потік.
4) Зменшиться магнітний потік розсіювання первинної обмотки.
10. Що перетворює трансформатор?
1) Величину струму.
2) Величину напруги.
3) Частоту.
4) Величини струму та напруги.
11. Як передається електрична енергія з первинної обмотки автотрансформатора у вторинну?
1) Електричним шляхом.
2) електромагнітним шляхом.
3) Електричним та електромагнітним шляхом.
4) Як у звичайному трансформаторі.
12. Який магнітний потік у трансформаторі є переносником електричної енергії?
1) Магнітний потік розсіювання первинної обмотки.
2) Магнітний потік розсіювання вторинної обмотки.
3) Магнітний потік вторинної обмотки.
4) Магнітний потік сердечника.
13. На що впливає ЕРС самоіндукції первинної обмотки трансформатора?
1) Збільшує активний опір первинної обмотки.
2) Зменшує активний опір первинної обмотки.
3) Зменшує струм первинної обмотки трансформатора.
4) Збільшує струм вторинної обмотки трансформатора.
5) Збільшує струм первинної обмотки трансформатора.
14. На що впливає ЕРС самоіндукції вторинної обмотки трансформатора?
1) Збільшує активний опір вторинної обмотки.
2) Зменшує активний опір вторинної обмотки.
3) Зменшує струм вторинної обмотки трансформатора.
4) Збільшує струм первинної обмотки трансформатора.
5) Зменшує індуктивний опір вторинної обмотки
трансформаторів.
15. Яка роль ЕРС взаємоіндукції вторинної обмотки трансформатора?
1) Є джерелом ЕРС для вторинного ланцюга.
2) Зменшує струм первинної обмотки.
3) Зменшує струм вторинної обмотки.
4) Збільшує магнітний потік трансформатора.
16. Виберіть формулу закону електромагнітної індукції:
Виберіть правильне написання значення ЕРС вторинної обмотки трансформатора.
18. Як співвідносяться за величиною напруга короткого замикання U 1к та номінальне U 1н у трансформаторах середньої потужності?
1) U 1к ≈ 0,05. U 1н 2) U 1к ≈ 0,5. U 1н 3) U 1к ≈ 0,6. U 1н
4) U 1к ≈ 0,75. U 1н 5) U 1к ≈ U 1н
19. Які параметри Т-подібної схеми заміщення трансформатора визначаються досвідом холостого ходу?
1) r 0 , r 1 2) X 0 , r 1 3) r’ 2 , X' 2
Візьмемо котушку з феромагнітним сердечником і винесемо окремим елементом омічний опір обмотки як показано на рис.2.8.
Рисунок 2.8 – До висновку формули трансформаторної ЕРС
При включенні змінної напруги e c у котушці, згідно із законом електромагнітної індукції, виникає ЕРС самоіндукції е L .
(2.8)
де ψ – потокозчеплення,
W – число витків в обмотці,
Ф – основний магнітний потік.
Потоком розсіювання нехтуємо. Додана до котушки напруга та наведена ЕРС врівноважуються. За другим законом Кірхгофа для вхідного ланцюга можна записати:
е c + е L = i * R обм, (2.9)
де R обм - активний опір обмотки.
Оскільки е L >> i * R обм, то падінням напруги на омічному опорі нехтуємо, тоді е c ≈ – . Якщо напруга мережі гармонійна є = E m cos ωt, то E m cos ωt = , звідки 
. Знайдемо магнітний потік. Для цього беремо невизначений інтеграл від правої та лівої частин. Отримуємо
, (2.10)
Але так як магнітопровід вважаємо лінійним, в ланцюзі протікає тільки гармонійний струм і немає постійного магніту або постійної складової, то постійна інтегрування з = 0. Тоді дріб перед гармонійним множником є амплітуда магнітного потоку, звідки висловимо E m = Ф m * W * ω. Його чинне значення дорівнює
Або отримуємо
де s – перетин магнітопроводу (сердечника, сталі).
Вираз (2.11) називають основною формулою трансформаторної ЕРС, яка справедлива лише гармонійної напруги. Зазвичай її видозмінюють і вводять так званий коефіцієнт форми, що дорівнює відношенню діючого значення до середнього:
. (2.12)
Знайдемо його для гармонійного сигналу, але середнє значення знаходимо на інтервалі
Тоді коефіцієнт форми дорівнює 
і основна формула трансформаторної ЕРС набуває остаточного вигляду:
(2.13)
Якщо сигнал меандр, то амплітудне, чинне та середнє значення за половину періоду рівні між собою та його . Можна знайти коефіцієнт форми та інших сигналів. Основна формула трансформаторної ЕРС буде справедливою.
Побудуємо векторну діаграму котушки з феромагнітним сердечником. При синусоїдальній напрузі на затискачах котушки її магнітний потік теж синусоїдальний і відстає по фазі від напруги на кут π/2, як показано на рис.2.9а.
Рисунок 2.9 – Векторна діаграма котушки з феромагнітним
сердечником а) без втрат; б) із втратами
У котушці без втрат струм, що намагнічує – реактивний струм (I p) збігається по фазі з магнітним потоком Ф m . Якщо мають місце втрати в осерді (), то кут – кут втрат на перемагнічування сердечника. Активна складова струму I а характеризує втрати у магнітопроводі.
