План:

1 Огляд
- 1.1 Нормовані поліноми Баттерворта
- 1.2 Максимальна гладкість
- 1.3 Спад характеристики на високих частотах
2 Проектування фільтра
- 2.1 Топологія Кауера
- 2.2 Топологія Саллена-Кея
3 Порівняння з іншими лінійними фільтрами
4 Приклад

Вступ

Фільтр Баттерворта- один із типів електронних фільтрів. Фільтри цього класу відрізняються від інших методом проектування. Фільтр Баттерворт проектується так, щоб його амплітудно-частотна характеристика була максимально гладкою на частотах смуги пропускання.

Подібні фільтри були вперше описані британським інженером Стефаном Баттервортом у статті «Про теорію фільтруючих підсилювачів» (англ. На Theory of Filter Amplifiers ), в журналі Wireless Engineer 1930 року.

1. Огляд

АЧХ фільтра Баттерворта є максимально гладкою на частотах смуги пропускання і знижується практично до нуля на частотах смуги придушення. При відображенні частотного відгуку фільтра Баттерворта на логарифмічній АФЧХ амплітуда знижується до мінус нескінченності на частотах смуги придушення. У разі фільтра першого порядку АЧХ загасає зі швидкістю -6 децибел на октаву (-20 децибел на декаду) (насправді всі фільтри першого порядку незалежно від типу ідентичні і мають однаковий частотний відгук). Для фільтра Баттерворта другого порядку АЧХ загасає на -12 дБ на октаву, для фільтра третього порядку - на -18 дБ і так далі. АЧХ фільтра Баттерворта - монотонно спадна функція частоти. Фільтр Баттерворта - єдиний з фільтрів, що зберігає форму АЧХ для більш високих порядків (за винятком більш крутого спаду характеристики на смузі придушення) тоді як багато інших різновидів фільтрів (фільтр Бесселя, Чебишева фільтр, еліптичний фільтр) мають різні форми АЧХ при різних порядках.

У порівнянні з фільтрами Чебишева I і II типів або еліптичним фільтром, фільтр Баттерворта має більш пологий спад характеристики і тому повинен мати більший порядок (що складніше в реалізації) для того, щоб забезпечити потрібні характеристики на частотах смуги придушення. Однак фільтр Баттерворта має більш лінійну фазочастотну характеристику на частотах смуги пропускання.

АЧХ для фільтрів Баттерворта нижніх частот від 1 до 5. Нахил характеристики - 20 nдБ/декаду, де n- Порядок фільтра.

Як і для всіх фільтрів під час розгляду частотних характеристиквикористовують фільтр нижніх частот, з якого легко можна отримати фільтр високих частот, а, включивши кілька таких фільтрів послідовно, смуговий фільтрчи режекторний фільтр.

Амплітудно-частотна характеристика фільтра Баттерворта-го порядку може бути отримана з передавальної функції:

Легко помітити, що для нескінченних значень АЧХ стає прямокутною функцією, і частоти нижче частоти зрізу пропускатимуться з коефіцієнтом посилення , а частоти вище частоти зрізу будуть повністю пригнічуватися. Для кінцевих значень спад показника буде пологим.

За допомогою формальної заміни представимо вираз у вигляді:

Полюси передавальної функції розташовані на колі радіуса рівновіддалено один від одного в лівій напівплощині. Тобто передавальну функцію фільтра Баттерворта можна визначити лише визначенням полюсів його передавальної функції у лівій напівплощині s-площини. -й полюс визначається з наступного виразу:

Передачу функцію можна записати у вигляді:

Аналогічні міркування застосовні і до цифрових фільтрів Баттерворта, з тією різницею, що співвідношення записуються не для s-площини, а для z-площини.

Знаменник цієї передавальної функції називається поліномом Баттерворт.

1.1. Нормовані поліноми Баттерворта

Поліноми Баттерворта можуть записуватись у комплексній формі, як показано вище, проте зазвичай вони записуються у вигляді співвідношень з речовими коефіцієнтами (комплексно-пов'язані пари об'єднуються за допомогою множення). Нормуються поліноми за частотою зрізу: . Нормовані поліноми Баттерворта, таким чином, мають таку канонічну форму:

, - парно , - непарно

Нижче наведені коефіцієнти поліномів Баттерворта для перших восьми порядків:

	Коефіцієнти поліномів
1
2
3
4
5
6
7
8

1.2. Максимальна гладкість

Прийнявши і похідна амплітудної характеристики по частоті буде виглядати наступним чином:

Вона монотонно зменшується всім оскільки коефіцієнт посилення завжди позитивний. Таким чином, АЧХ фільтра Баттерворт не має пульсацій. При розкладанні амплітудної характеристики в ряд, отримаємо:

Іншими словами, всі похідні амплітудно-частотної характеристики по частоті до 2 n-ї рівні нулю, з чого випливає «максимальна гладкість».

1.3. Спад характеристики на високих частотах

Прийнявши , знайдемо нахил логарифму АЧХ на високих частотах:

У децибелах високочастотна асимптота має нахил -20 nдБ/декаду.

2. Проектування фільтра

Існує низка різних топологій фільтра, за допомогою яких реалізуються лінійні аналогові фільтри. Ці схеми відрізняються лише значеннями елементів, структура залишається незмінною.

2.1. Топологія Кауера

Топологія Кауера використовує пасивні елементи (ємності та індуктивності). Фільтр Баттеворта із заданою функцією передачі може бути побудований у формі Кауера 1 типу. k-й елементфільтра задається співвідношенням:

; k непарно; k парно

2.2. Топологія Саллена-Кея

Топологія Саллена-Кея використовує крім пасивних також активні елементи (операційні підсилювачі та ємності). Кожен каскад схеми Саллена-Кея є частиною фільтра, що математично описується парою комплексно-сполучених полюсів. Весь фільтр виходить послідовним з'єднаннямвсіх каскадів. У випадку, якщо трапляється дійсний полюс, він повинен бути реалізований окремо, зазвичай у вигляді RC-ланцюжка, і включений до загальної схеми.

Передатна функція кожного каскаду у схемі Саллена-Кея має вигляд:

Потрібно, щоб знаменник був одним із множників полінома Баттерворта. Прийнявши , отримаємо:

Останнє співвідношення дає дві невідомі, які можуть бути обрані довільно.

3. Порівняння з іншими лінійними фільтрами

Малюнок нижче показує АЧХ фільтра Баттерворта порівняно з іншими популярними лінійними фільтрами однакового (п'ятого) порядку:

З малюнка видно, що спад АЧХ фільтра Баттерворта найповільніший із чотирьох, однак він має і найгладшу АЧХ на частотах смуги пропускання.

4. Приклад

Аналоговий фільтр Баттерворта нижніх частот (топологія Кауера) з частотою зрізу з наступними номіналами елементів: фарад, ом та генрі.

Логарифмічний графік густини передавальної функції H(s) на площині комплексного аргументу для фільтра Баттерворта третього порядку з частотою зрізу. Три полюси лежать на колі одиничного радіусу у лівій напівплощині.

Розглянемо аналоговий низькочастотний фільтр Баттерворта третього порядку з фарадом, ом, і генрі. Позначивши повний опір ємностей Cяк 1/Csта повний опір індуктивностей Lяк Ls, де - комплексна змінна, та використовуючи рівняння для розрахунку електричних схем, отримаємо наступну передатну функцію для такого фільтра:

АЧХ задається рівнянням:

а ФЧХ задається рівнянням:

Групова затримка визначається як мінус похідна фази кругової частоти і є мірою спотворень сигналу по фазі на різних частотах. Логарифмічна АЧХ такого фільтра немає пульсацій ні смузі пропускання, ні смузі придушення.

Графік модуля передавальної функції на комплексній площині ясно вказує на три полюси у лівій напівплощині. Передатна функція повністю визначається розташуванням цих полюсів на одиничному колі симетрично щодо дійсної осі.

Замінивши кожну індуктивність ємністю, а ємності індуктивностями, отримаємо високочастотний фільтр Баттерворта.

І групова затримка фільтра Баттерворта третього порядку із частотою зрізу

Література

В.А. ЛукасТеорія автоматичного керування. - M.: Надра, 1990.
Б.Х. КривицькийДовідник з теоретичних основ радіоелектроніки. – М.: Енергія, 1977.
Miroslav D. Lutovac Filter Design for Signal Processing using MATLAB© and Mathematica©. - New Jersey, USA.: Prentice Hall, 2001. - ISBN 0-201-36130-2
Richard W. Daniels Approximation Methods for Electronic Filter Design. - New York: McGraw-Hill, 1974. - ISBN 0-07-015308-6
Steven W. Smith The Scientist and Engineer's Guide до Digital Signal Processing. - Second Edition. - San-Diego: California Technical Publishing, 1999. - ISBN 0-9660176-4-1
Britton C. Rorabaugh Approximation Methods for Electronic Filter Design. - New York: McGraw-Hill, 1999. - ISBN 0-07-054004-7
B. Widrow, S.D. Stearns Adaptive Signal Processing. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1985. - ISBN 0-13-004029-0
S. Haykin Adaptive Filter Theory. - 4rd Edition. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 2001. - ISBN 0-13-090126-1
Michael L. Honig, David G. Messerschmitt Adaptive Filters - Structures, Algorithms, і Applications. - Hingham, MA: Kluwer Academic Publishers, 1984. - ISBN 0-89838-163-0
J.D. Markel, A.H. Gray, Jr. Linear Prediction of Speech. - New York: Springer-Verlag, 1982. - ISBN 0-387-07563-1
L.R. Rabiner, R.W. Schafer Digital Processing of Speech Signals. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1978. - ISBN 0-13-213603-1
Richard J. Higgins Digital Signal Processing в VLSI. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1990. - ISBN 0-13-212887-X
A. V. Oppenheim, R. W. Schafer Digital Signal Processing. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1975. - ISBN 0-13-214635-5
L. R. Rabiner, B. Gold Theory and Application of Digital Signal Processing. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1986. - ISBN 0-13-914101-4
John G. Proakis, Dimitris G. Manolakis Introduction to Digital Signal Processing. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1988. - ISBN 0-02-396815-X

При аналізі фільтрів і розрахунку їх параметрів завжди використовуються деякі стандартні терміни і має сенс дотримуватися їх із самого початку.

Припустимо, що потрібен фільтр нижніх частот з плоскою характеристикою смуги пропускання і різким переходом до смуги придушення. Остаточний нахил характеристики в смузі затримування завжди буде 6n дБ/октава, де n - число "полюсів". На кожен полюс необхідний один конденсатор (або котушка індуктивності), тому вимоги до остаточної швидкості спаду частотної характеристики фільтра, грубо кажучи, визначають його складність.

Тепер припустимо, що ви вирішили використати 6-полюсний фільтр нижніх частот. Вам гарантовано остаточний спад характеристики на високих частотах 36 дБ/октава. У свою чергу тепер можна оптимізувати схему фільтра в сенсі забезпечення максимально плоскої характеристики смуги пропускання за рахунок зменшення крутості переходу від смуги пропускання до смуги затримування. З іншого боку, допускаючи деяку нерівномірність характеристики у смузі пропускання, можна досягти крутішого переходу від смуги пропускання до смуги затримування. Третій критерій, який може виявитися важливим, визначає здатність фільтра пропускати сигнали зі спектром, що лежить у смузі пропускання, без спотворень їх форми, що викликаються фазовими зсувами. Можна також цікавитися часом наростання, викидом та часом встановлення.

Відомі методи проектування фільтрів, придатні для оптимізації будь-якої з цих характеристик або їх комбінацій. Дійсно розумний вибірфільтра відбувається не так, як описано вище; як правило, спочатку задаються необхідна рівномірність характеристики смуги пропускання і необхідне згасання на деякій частоті поза смуги пропускання та інші параметри. Після цього вибирається найбільш підходяща схема з кількістю полюсів, достатньою для того, щоб задовольнялися всі ці вимоги. У наступних кількох розділах будуть розглянуті три найбільш популярні типи фільтрів, а саме фільтр Баттерворта (максимально плоска характеристика в смузі пропускання), фільтр Чебишева (найбільш крутий перехід від смуги пропускання до смуги придушення) та фільтр Бесселя (максимально плоска характеристика часу запізнення). Будь-який із цих типів фільтрів можна реалізувати за допомогою різних схемфільтрів; деякі з них ми обговоримо пізніше Всі вони також підходять для побудови фільтрів нижніх і верхніх частот і смугових фільтрів.

Фільтри Баттерворта та Чебишева.Фільтр Баттерворта забезпечує найбільш плоску характеристику смузі пропускання, що досягається ціною плавності характеристики перехідної області тобто. між смугами пропускання та затримування. Як буде показано далі, у нього також погана фазочастотна характеристика. Його амплітудно-частотна характеристика задається такою формулою:
U вих / U вх = 1/ 1/2 ,
де n визначає порядок фільтра (кількість полюсів). Збільшення числа полюсів дає можливість зробити більш плоским ділянку характеристики у смузі пропускання та збільшити крутість спаду від смуги пропускання до смуги придушення, як це показано на рис. 5.10.

Мал. 5.10 Нормовані характеристики фільтрів нижніх частот Баттерворт. Зверніть увагу на збільшення крутості спаду характеристики зі збільшенням порядку фільтра.

Вибираючи фільтр Баттерворта, ми заради максимально плоскої характеристики поступаємося всім іншим. Його характеристика йде горизонтально, починаючи від нульової частоти, перегин її починається на частоті зрізу - ця частота зазвичай відповідає точці -3 дБ.

У більшості застосувань найістотнішим обставиною і те, що нерівномірність характеристики у смузі пропускання має перевищувати певної певної величини, скажімо 1 дБ. Фільтр Чебишева відповідає цій вимогі, при цьому допускається деяка нерівномірність характерності у всій смузі пропускання, але при цьому сильно збільшується гострота її зламу. Для фільтра Чебишева задають кількість полюсів та нерівномірність у смузі пропускання. Допускаючи збільшення нерівномірності у смузі пропускання, отримуємо гостріший злам. Амплітудно-частотна характеристика цього фільтра визначається наступним співвідношенням
U вих / U вх = 1/ 1/2 ,
де З n - поліном Чебишева першого роду ступеня n, а - константа, що визначає нерівномірність характеристики в смузі пропускання. Фільтр Чебишева, як і фільтр Баттерворта, має фазочастотні характеристики, далекі від ідеальних. На рис. 5.11 представлені для порівняння характеристики 6-полюсних фільтрів нижніх частот Чебишева та Баттерворта. Як легко помітити, і той, і інший набагато кращий за 6-полюсний RC-фільтр.

Мал. 5.11. Порівняння характеристик деяких 6-полюсних фільтрів нижніх частот, що зазвичай застосовуються. Характеристики тих самих фільтрів зображені і в логарифмічному (вгорі), і в лінійному (внизу) масштабі. 1 – фільтр Бесселя; 2 – фільтр Баттерворта; 3 – фільтр Чебишева (пульсації 0,5 дБ).

Насправді фільтр Баттерворта з максимально плоскою характеристикою в смузі пропускання не настільки привабливий, як це може здатися, оскільки в будь-якому випадку доводиться миритися з деякою нерівномірністю в смузі пропускання (для фільтра Баттерворта це буде поступове зниження характеристики при наближенні до частоти с, а для фільтра Чебишева-пульсації, розподілені по всій смузі пропускання). Крім того, активні фільтри, побудовані з елементів, номінали яких мають деякий допуск, матимуть характеристику, що відрізняється від розрахункової, а це означає, що насправді на характеристиці фільтра Баттерворта завжди буде мати деяка нерівномірність у смузі пропускання. На рис. 5.12 проілюстровано вплив найбільш небажаних відхилень значень ємності конденсатора та опору резистора на характеристику фільтра.

Мал. 5.12. Вплив змін параметрів елементів на характеристику активного фільтра.

У світлі вищевикладеного дуже раціональною структурою є фільтр Чебишева. Іноді його називають рівнохвильовим фільтром, так як його характеристика в області переходу має велику крутість за рахунок того, що по смузі пропускання розподілено кілька рівновеликих пульсацій, кількість яких зростає разом із порядком фільтра. Навіть при порівняно малих пульсаціях (близько 0,1 дБ) фільтр Чебишева забезпечує набагато більшу крутість характеристики в перехідній області, ніж фільтр Баттерворта. Щоб виразити цю різницю кількісно, припустимо, що потрібен фільтр з нерівномірністю характеристики смуги пропускання не більше 0,1 дБ і загасанням 20 дБ на частоті, що відрізняється на 25% від граничної частоти смуги пропускання. Розрахунок показує, що в цьому випадку потрібен 19-полюсний фільтр Баттерворта або лише 8-полюсний фільтр Чебишева.

Думка про те, що можна миритися з пульсаціями характеристики у смузі пропускання задля збільшення крутості перехідної ділянки, доводиться до свого логічного завершення в ідеї так званого еліптичного фільтра (або фільтра Кауера), в якому допускаються пульсації характеристики як у смузі пропускання, так і у смузі затримки для забезпечення крутості перехідної ділянки навіть більшої, ніж у характеристики фільтра Чебишева. За допомогою ЕОМ можна сконструювати еліптичні фільтри так само просто, як і класичні фільтри Чебишева та Баттерворта. На рис. 5.13 наведено графічне завдання амплітудно-частотної характеристики фільтра. У цьому випадку (фільтр нижніх частот) визначаються допустимий діапазон коефіцієнта передачі фільтра (тобто. затримування.

Мал. 5.13. Визначення параметрів частотної характеристики фільтра.

Фільтри Безселя. Як було встановлено раніше, амплітудно-частотна характеристика фільтра не дає про нього повної інформації. Фільтр із плоскою амплітудно-частотною характеристикою може мати великі зрушення фаз. Внаслідок цього форма сигналу, спектр якого лежить у смузі пропускання, буде спотворена при проходженні через фільтр. У ситуації, коли форма сигналу має першорядне значення, бажано мати у розпорядженні лінійно-фазовий фільтр (фільтр із постійним часом запізнювання). Пред'явлення до фільтра вимоги забезпечення лінійного зміни зсуву фази в залежності від частоти еквівалентно вимогі сталості часу запізнення для сигналу, спектр якого розташований у смузі пропускання, тобто відсутності спотворень форми сигналу. Фільтр Бесселя (також званий фільтром Томсона) має найбільш плоску ділянку кривої часу запізнення в смузі пропускання, подібно до того, як фільтр Баттерворта має найбільш плоску амплітудно-частотну характеристику. Щоб зрозуміти, яке покращення у часовій області дає фільтр Бесселя, подивіться на рис. 5.14 де зображені нормовані за частотою графіки часу запізнення для 6-полюсних фільтрів нижніх частот Бесселя і Баттерворта. Погана характеристика часу запізнення фільтра Баттерворт зумовлює появу ефектів типу викиду під час проходження через фільтр імпульсних сигналів. З іншого ж боку, за сталість часів запізнення у фільтра Бесселя доводиться розплачуватися тим, що його амплітудно-частотна характеристика має ще більш пологу перехідну ділянку між смугами пропускання та затримування, ніж у характеристики фільтра Баттерворта.

Мал. 5.14. Порівняння тимчасових запізнювань для 6-смугових фільтрів нижніх частот Бесселя (1) та Баттерворта (2). Фільтр Бесселя завдяки своїм чудовим властивостям у часовій області дає найменше спотворення форми сигналу.

існує багато різних способівпроектування фільтрів, у яких робляться спроби поліпшити робочі параметри фільтра Бесселя у часовій області, частково жертвуючи сталістю часу запізнення заради зменшення часу наростання та поліпшення амплітудно-частотної характеристики. Фільтр Гауса має майже так само хороші фазочастотні характеристики, як і фільтр Бесселя, але при покращеній перехідній характеристиці. Інший цікавий клас являють собою фільтри, що дозволяють досягти однакових за величиною пульсацій кривої часу запізнення в смузі пропускання (аналогічно пульсаціям амплітудно-частотної характеристики фільтра Чебишева) і забезпечують приблизно однакове запізнення для сигналів зі спектром до смуги затримування. Ще один підхід до створення фільтрів з постійним часом запізнення - це застосування фільтрів, що називають всепропускними, званих інакше коректорами в тимчасовій області. Ці фільтри мають постійну амплітудно-частотну характеристику, а зсув фази може змінюватися згідно з конкретними вимогами. Таким чином, їх можна застосовувати для вирівнювання часу запізнення будь-яких фільтрів, зокрема фільтрів Баттерворта та Чебишева.

Порівняння фільтрів.Незважаючи на раніше висловлені зауваження про перехідну характеристику фільтрів Бесселя, він все ж таки має дуже хороші властивості в часовій області в порівнянні з фільтрами Баттерворта і Чебишева. Сам фільтр Чебишева за його дуже підходящої амплітудно-частотної характеристиці має найгірші параметри у часовій області з усіх цих трьох типів фільтрів. Фільтр Баттерворта дає компроміс між частотами та часовими характеристиками. На рис. 5.15 надано інформацію щодо робочих характеристик цих трьох типів фільтрів у часовій області, що доповнює наведені раніше графіки амплітудно-частотних характеристик. За цими даними можна дійти невтішного висновку, що у випадках, коли важливі параметри фільтра у часовій області, бажано застосовувати фільтр Бесселя.

Мал. 5.15. Порівняння перехідних процесів 6-полюсних фільтрів нижніх частот. Криві унормовані приведенням значення ослаблення 3 дБ до частоти 1 Гц. 1 – фільтр Бесселя; 2 – фільтр Баттерворта; 3 – фільтр Чебишева (пульсації 0.5 дБ).

АЧХ фільтра Баттерворт описується рівнянням

Особливості фільтра Баттерворт: нелінійна ФЧХ; частота зрізу не залежить від кількості полюсів; коливальний характер перехідної характеристики при ступінчастому вхідному сигналі Зі збільшенням порядку фільтра коливальний характер посилюється.

Фільтр Чебишева

АЧХ фільтра Чебишева описується рівнянням

де T n 2 (ω/ω н ) – поліном Чебишева n-го порядку.

Поліном Чебишева обчислюється за рекурентною формулою

Особливості фільтра Чебишева: - підвищена нерівномірність ФЧХ; хвилеподібна характеристика смуги пропускання. Чим вище коефіцієнт нерівномірності АЧХ фільтра у смузі пропускання, тим паче різкий спад у перехідній області при тому самому порядку. Коливання перехідного процесу при ступінчастому вхідному сигналі сильніше, ніж фільтр Баттерворта. Добротність полюсів фільтра Чебишева вища, ніж у фільтра Баттерворта.

Фільтр Бесселя

АЧХ фільтра Бесселя описується рівнянням

де
;B n 2 (ω/ω cp з ) – поліном Бесселя n-го порядку.

Поліном Бесселя обчислюється за рекурентною формулою

Особливості фільтра Бесселя: досить рівномірні АЧХ та ФЧХ, що апроксимуються функцією Гауса; фазовий зсув фільтра пропорційний частоті, тобто. фільтр має частотно-незалежний груповий час затримки. Частота зрізу змінюється за зміни кількості полюсів фільтра. Спад АЧХ фільтра зазвичай більш пологий, ніж у Баттерворта та Чебишева. Особливо добре цей фільтр підходить для імпульсних ланцюгів та фазочутливої обробки сигналу.

Фільтр Кауера (еліптичний фільтр)

Загальний вигляд функції фільтра Кауера

Особливості фільтра Кауера: нерівномірна АЧХ у смузі пропускання та у смузі затримування; найрізкіший спад АЧХ із усіх наведених фільтрів; реалізує необхідні передавальні функції при меншому порядку фільтра, ніж під час використання фільтрів інших типів.

Визначення порядку фільтра

Необхідний порядок фільтра визначається за наведеними нижче формулами і округляється у бік цілого найближчого значення. Порядок фільтра Баттерворта

Порядку фільтра Чебишева

Для фільтра Бесселя немає формули розрахунку порядку, натомість наводяться таблиці відповідності порядку фільтра мінімально необхідним на заданої частоті відхилення часу затримки від одиничної величини і рівню втрат в дБ).

При розрахунку порядку фільтра Бесселя задаються такі параметри:

Допустиме відсоткове відхилення групового часу затримки на заданій частоті ω ω cp з ;

Може бути заданий рівень ослаблення коефіцієнта передачі фільтра у дБ на частоті ω , нормованої щодо ω cp з .

З цих даних визначається необхідний порядок фільтра Бесселя.

Схеми каскадів фнч 1-го та 2-го порядку

На рис. 12.4, 12.5 наведено типові схеми каскадів ФНЧ.

а) б)

Мал. 12.4. Каскади ФНЧ Баттерворта, Чебишева та Бесселя: а – 1-го порядку; б - 2-го порядку

а) б)

Мал. 12.5. Каскади ФНЧ Кауера: а – 1-го порядку; б - 2-го порядку

Загальний вид передавальних функцій ФНЧ Баттерворта, Чебишева та Бесселя 1-го та 2-го порядку

,
.

Загальний вид передавальних функцій ФНЧ Кауера 1-го та 2-го порядку

,
.

Ключовою відмінністю фільтра Кауера 2-го порядку від фільтра, що загороджує, є те, що в передавальній функції фільтра Кауера відношення частот Ω s ≠ 1.

Методика розрахунку ФНЧ Баттерворта, Чебишева та Бесселя

Ця методика побудована на основі коефіцієнтів, наведених у таблицях і справедлива для фільтрів Баттерворта, Чебишева та Бесселя. Методика розрахунку фільтрів Кауера наводиться окремо. Розрахунок ФНЧ Баттерворта, Чебишева та Бесселя починається з визначення їхнього порядку. Для всіх фільтрів задаються параметри мінімального та максимального ослаблення та частота зрізу. Для фільтрів Чебишева додатково визначається коефіцієнт нерівномірності АЧХ у смузі пропускання, а фільтрів Бесселя – груповий час затримки. Далі визначається передатна функція фільтра, яка може бути взята з таблиць, і розраховуються його каскади 1-го та 2-го порядку, дотримується наступний порядок розрахунку:

Залежно від порядку та типу фільтра вибираються схеми його каскадів, при цьому фільтр парного порядку складається з n/2 каскадів 2-го порядку, а фільтр непарного порядку - з одного каскаду 1-го порядку і ( n– 1)/2 каскадів 2-го порядку;

Для розрахунку каскаду 1-го порядку:

За вибраним типом і порядком фільтра визначається значення b 1 каскаду 1-го порядку;

Зменшуючи площу, вибирається номінал ємності C та розраховується Rза формулою (можна вибрати і R, але рекомендується вибирати C, з міркування точності)

;

Обчислюється коефіцієнт посилення До у U 1 каскаду 1-го порядку, що визначається із співвідношення

де До у U- Коефіцієнт посилення фільтра в цілому; До у U 2 , …, До у Un- Коефіцієнти посилення каскадів 2-го порядку;

Для реалізації посилення До у U 1 необхідно задати резистори, виходячи з наступного співвідношення

R B = R A ּ (До у U1 –1) .

Для розрахунку каскаду 2-го порядку:

Зменшуючи площу, що займає, вибираються номінали ємностей C 1 = C 2 = C;

Вибираються за таблицями коефіцієнти b 1 iі Q piдля каскадів 2-го порядку;

За заданим номіналом конденсаторів C розраховуються резистори Rза формулою

;

Для вибраного типу фільтра необхідно задати відповідний коефіцієнт посилення До у Ui = 3 – (1/Q pi) кожного каскаду 2-го порядку, за допомогою завдання резисторів, виходячи з наступного співвідношення

R B = R A ּ (До у Ui –1) ;

Для фільтрів Бесселя необхідно помножити номінали всіх ємностей на потрібний час затримки.

Фільтр Баттерворта

Передатна функція фільтра нижніх частот Баттерворта n-го порядку характеризується виразом:

Амплітудно-частотна характеристика фільтра Баттерворта має такі властивості:

1) За будь-якого порядку nзначення АЧХ

2) на частоті зрізу щ = щ з

АЧХ ФНЧ монотонно зменшується зі зростанням частоти. Тому фільтри Баттерворта називають фільтрами з максимально плоскими характеристиками. На малюнку 3 показані графіки амплітудно-частотних характеристик ФНЧ Баттерворт 1-5 порядків. Очевидно, що чим більший порядок фільтра, тим точніше апроксимується АЧХ ідеального фільтра нижніх частот.

Малюнок 3 - АЧХ для фільтра Баттерворта нижніх частот від 1 до 5

На малюнку 4 представлена схемна реалізація ФВЧ Баттерворт.

Малюнок 4 - ФВЧ-II Баттерворт

Перевагою фільтра Баттерворт є максимально гладка АЧХ на частотах смуги пропускання та її зниження практично до нуля на частотах смуги придушення. Фільтр Баттерворта - єдиний з фільтрів, що зберігає форму АЧХ для більш високих порядків (за винятком більш крутого спаду характеристики на смузі придушення) тоді як багато інших різновидів фільтрів (фільтр Бесселя, Чебишева фільтр, еліптичний фільтр) мають різні форми АЧХ при різних порядках.

Однак у порівнянні з фільтрами Чебишева I і II типів або еліптичним фільтром, фільтр Баттерворта має більш пологий спад характеристики і тому повинен мати більший порядок (що складніше в реалізації) для того, щоб забезпечити потрібні характеристики на частотах смуги придушення.

Фільтр Чебишева

Квадрат модуля передавальної функції фільтра Чебишева визначається виразом:

де – поліном Чебишева. Модуль передавальної функції фільтра Чебишева дорівнює одиниці тих частотах, де перетворюється на нуль.

Фільтри Чебишева зазвичай використовуються там, де потрібно за допомогою фільтра невеликого порядку забезпечити необхідні характеристики АЧХ, зокрема, хороше пригнічення частот зі смуги придушення, і при цьому гладкість АЧХ на частотах смуг пропускання та придушення не така важлива.

Розрізняють фільтри Чебишева І та ІІ пологів.

Фільтр Чебишева І роду. Це найчастіше зустрічається модифікація фільтрів Чебишева. У смузі пропускання такого фільтра видно пульсації, амплітуда яких визначається показником пульсації. У разі аналогового електронного фільтра Чебишева його порядок дорівнює числу реактивних компонентів, використаних при його реалізації. Більш крутий спад характеристики може бути отриманий якщо допустити пульсації не тільки в смузі пропускання, але і в смузі придушення, додавши в функцію передавальної фільтра нулів на уявній осі jщ в комплексній площині. Це, однак, призведе до меншого ефективного пригнічення смуги придушення. Отриманий фільтр є еліптичним фільтром також відомим як фільтр Кауера.

АЧХ для фільтра Чебишева нижніх частот I роду четвертого порядку представлена малюнку 5.

Рисунок 5 - АЧХ для фільтра Чебишева нижніх частот І роду четвертого порядку

Фільтр Чебишева ІІ роду (інверсний фільтр Чебишева) використовується рідше, ніж фільтр Чебишева І роду через менш крутий спад амплітудної характеристики, що призводить до збільшення числа компонентів. У нього відсутні пульсації у смузі пропускання, проте є у смузі придушення.

АЧХ для фільтра Чебишева нижніх частот ІІ роду четвертого порядку представлена малюнку 6.

Малюнок 6 - АЧХ для фільтра Чебишева нижніх частот ІІ роду

На малюнку 7 представлені схемні реалізації ФВЧ Чебишева І та ІІ порядку.

Малюнок 7 – ФВЧ Чебишева: а) I порядку; б) ІІ порядку

Властивості частотних характеристик фільтрів Чебишева:

1) У смузі пропускання АЧХ має рівнохвильовий характер. На інтервалі (-1?щ?1) є nточок, в яких функція досягає максимального значення, що дорівнює 1, або мінімального значення, що дорівнює. Якщо n непарно, якщо n парно;

2) значення АЧХ фільтра Чебишева на частоті зрізу дорівнює

3) При функції монотонно зменшується і прагне нуля.

4) Параметр е визначає нерівномірність АЧХ фільтра Чебишева у смузі пропускання:

Порівняння АЧХ фільтрів Баттерворта і Чебишева показує, що фільтр Чебишева забезпечує більше ослаблення у смузі пропускання, ніж фільтр Баттерворта такого порядку. Нестача фільтрів Чебишева полягає в тому, що їх фазочастотні характеристики у смузі пропускання значно відрізняються від лінійних.

Для фільтрів Баттерворта і Чебишева є докладні таблиці, у яких наведено координати полюсів та коефіцієнти передавальних функцій різних порядків.

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> ФНЧ1)

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> ФВЧ)

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> ПФ)

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> РФ)

Фільтр Баттерворта 4 порядку

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> ФНЧ1)

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> ФВЧ)

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> ПФ)

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> РФ)

Фільтр Чебишева 3 порядку

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> ФНЧ1)

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> ФВЧ)

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> ПФ)

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> РФ)

Фільтр Чебишева 4 порядки

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> ФНЧ1)

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> ФВЧ)

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> ПФ)

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> РФ)

Фільтр Бесселя 3 порядку

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> ФНЧ1)

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> ФВЧ)

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> ПФ)

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> РФ)

Фільтр Бесселя 4 порядку

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> ФНЧ1)

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> ФВЧ)

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> ПФ)

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧАСТОТНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ЦФ (ФНЧ --> РФ)

Зробити аналіз впливу помилок завдання коефіцієнтів цифрового ФНЧ на АЧХ (змінюючи один з коефіцієнтів b j).

Описати характер зміни ЧХ. Зробити висновок вплив зміни одного з коефіцієнтів на поведінку фільтра.

Аналіз впливу помилок завдання коефіцієнтів цифрового ФНЧ на АЧХ проведемо з прикладу фільтра Бесселя 4 порядку.

Виберемо величину відхилення коефіцієнтів ε, що дорівнює -1,5%, щоб максимальне відхилення АЧХ склало близько 10%.

АЧХ "ідеального" фільтра та фільтрів зі зміненими коефіцієнтами на величину ε показана на малюнку:

І

з малюнка видно, що найбільший вплив на АЧХ має зміна коефіцієнтів b 1 і b 2 (їх величина перевищує величину інших коефіцієнтів). Використовуючи негативну величину, відзначаємо, що позитивні коефіцієнти зменшують амплітуду в нижній частині спектру, а негативні - збільшують. За позитивної величини ε, все відбувається навпаки.

Проквантувати коефіцієнти цифрового фільтра таке число двійкових розрядів, щоб максимальне відхилення АЧХ від вихідної становило близько 10 - 20%. Замалювати АЧХ та описати характер її зміни. b jЗмінюючи кількість розрядів дробової частини коефіцієнтів

відзначимо, що максимальне відхилення АЧХ від вихідної не перевищує 20% виходить при ≥3. nВид АЧХ при різних

n наведено на малюнках:

n =3, максимальне відхилення АЧХ=19,7%

n =4, максимальне відхилення АЧХ=13,2%

n =5, максимальне відхилення АЧХ=5,8%

=6, максимальне відхилення АЧХ=1,7%

Таким чином, можна відзначити, що збільшення розрядності при квантуванні коефіцієнтів фільтра призводить до того, що фільтр АЧХ все більше прагне до вихідної. Однак необхідно відзначити, що це ускладнює фізичну реалізацію фільтра. nКвантування за різних