Оператор Лапласа - дифференциальный оператор, действующий в линейном пространстве гладких функций и обозначаемый символом. Функции F он ставит в соответствие функцию
Оператор Лапласа эквивалентен последовательному взятию операций градиента и дивергенции.
Градиент-- вектор, показывающий направление наискорейшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля). Например, если взять в качестве высоту поверхности Земли над уровнем моря, то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «направление самого крутого подъёма». Величина (модуль) вектора градиента равна скорости роста в этом направлении. Для случая трёхмерного пространства, градиентом называется векторная функция с компонентами, где - некоторая скалярная функция координат x,y,z.
Если - функция n переменных то ее градиентом называется n-мерный вектор
Компоненты которого равны частным производным по всем ее аргументам. Градиент обозначается grad, или с использованием оператора набла,
Из определения градиента следует, что:
Смысл градиента любой скалярной функции f в том, что его скалярное произведение с бесконечно малым вектором перемещения дает полный дифференциал этой функции при соответствующем изменении координат в пространстве, на котором определена f, то есть линейную (в случае общего положения она же главная) часть изменения f при смещении на. Применяя одну и ту же букву для обозначения функции от вектора и соответствующей функции от его координат, можно написать:
Стоит здесь заметить, что поскольку формула полного дифференциала не зависит от вида координат x i, то есть от природы параметров x вообще, то полученный дифференциал является инвариантом, то есть скаляром, при любых преобразованиях координат, а поскольку dx -- это вектор, то градиент, вычисленный обычным образом, оказывается ковариантным вектором, то есть вектором, представленным в дуальном базисе, какой только и может дать скаляр при простом суммировании произведений координат обычного (контравариантного), то есть вектором, записанным в обычном базисе.
Таким образом, выражение (вообще говоря -- для произвольных криволинейных координат) может быть вполне правильно и инвариантно записано как:
Или опуская по правилу Эйнштейна знак суммы,
Дивергенция -- дифференциальный оператор, отображающий векторное поле на скалярное (то есть операция дифференцирования, в результате применения которой к векторному полю получается скалярное поле), который определяет (для каждой точки), «насколько расходится входящее и исходящее из малой окрестности данной точки поле» (точнее -- насколько расходятся входящий и исходящий поток).
Если учесть, что потоку можно приписать алгебраический знак, то нет необходимости учитывать входящий и исходящий потоки по отдельности, всё будет автоматически учтено при суммировании с учетом знака. Поэтому можно дать более короткое определение дивергенции:
дивергенция -- это дифференциальный оператор на векторном поле, характеризующий поток данного поля через поверхность малой окрестности каждой внутренней точки области определения поля.
Оператор дивергенции, применённый к полю F, обозначают как или
Определение дивергенции выглядит так:
где ФF -- поток векторного поля F через сферическую поверхность площадью S, ограничивающую объём V. Ещё более общим, а потому удобным в применении, является определение, когда форма области с поверхностью S и объёмом V допускается любой. Единственным требованием является её нахождение внутри сферы радиусом, стремящимся к нулю. Это определение, в отличие от приводимого ниже, не привязано к определённым координатам, например, к декартовым, что может представлять дополнительное удобство в определённых случаях. (Например, если выбирать окрестность в форме куба или параллелепипеда, легко получаются формулы для декартовых координат, приведённые в следующем параграфе).
таким образом значение оператора Лапласа в точке может быть истолковано как плотность источников (стоков) потенциального векторного поля gradF в этой точке. В декартовой системе координат оператор Лапласа часто обозначается следующим образом то есть в виде скалярного произведения оператора набла на себя.
Оно является частным случаем уравнения Гельмгольца. Может рассматриваться в трехмерном (1), двумерном (2), одномерном и n – мерном пространствах:
Оператор называется оператором Лапласа (Оператор Лапласа эквивалентен последовательному взятию операций градиента и дивергенции.).
Решение уравнения Лапласа
Решениями уравнения Лапласа являются гармонические функции.
Уравнение Лапласа относится к эллиптическим уравнениям. Неоднородное уравнение Лапласа становится уравнением Пуассона.
Каждое решение уравнения Лапласа в ограниченной области G однозначно выделяется краевыми условиями, накладываемыми на поведение решения (или его производных) на границе области G. Если решение отыскивается во всём пространстве , краевые условия сводятся к предписанию некоторой асимптотики для f при . Задача о нахождении таких решений называется краевой задачей. Чаще всего встречаются задача Дирихле, когда на границе задано значение самой функции f, и задача Немана, когда задано значение f по нормали к границе.
Уравнение Лапласа в сферических, полярных и цилиндрических координатах
Уравнение Лапласа можно записать не только в декартовых координатах.
В сферических координатах ( уравнение Лапласа имеет следующий вид:
В полярных координатах ( система координат уравнение имеет вид:
В цилиндрических координатах ( уравнение имеет вид:
К уравнению Лапласа приводят многие задачи физики и механики, в которых физическая величина является функцией только координат точки. Так, уравнение Лапласа описывает потенциал в области, не содержащей тяготеющих масс, потенциал электростатического поля – в области, не содержащей зарядов, температуру при стационарных процессах и т. д. Большое количество инженерных задач, связанных, в частности, с медленным стационарным обтеканием корпуса корабля, стационарной фильтрацией подземных вод, возникновением поля вокруг электромагнита, а также стационарного электрического поля в окрестности фарфорового изолятора или заглубленного в землю электрического кабеля переменного поперечного сечения, сводится к решению трехмерных уравнений Лапласа или Пуассона. Большое значение оператор Лапласа играет в квантовой механике.
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
| Задание | Найдите поле между двумя коаксиальными цилиндрами с радиусами и , разность потенциалов между которыми равна |
| Решение | Запишем уравнение Лапласа в цилиндрических координатах с учетом аксиальной симметрии:
Оно имеет решение Следовательно Получим:
В результате имеем: |
| Ответ | Поле между двумя коаксиальными цилиндрами задается функцией
|
+B. Выберем нулевой потенциал на наружном цилиндре, найдем, получим:
ПРИМЕР 2
| Задание | Исследовать устойчивость равновесия положительно заряженной частицы в электрическом поле (теорема Ирншоу). |
| Решение | Поместим начало координат в положение равновесия частицы. При этом можно считать, что потенциал представляется в виде: |
Рассмотрели три основные операции векторного анализа: вычисление gradtx для скалярного поля а и rot а для векторного поля а = а(ж, у, г). Эти операции могут быть записаны в более простом виде с помощью символического оператора V («набла»): Оператор V (оператор Гамильтона) обладает как дифференциальными, так и вектор-
ными свойствами. Формальное умножение, например, умножение ^ на функцию и(х, у), будем понимать как частное дифференцирование:
В рамках векторной алгебры формальные операции над оператором V будем проводить так, как если бы он был вектором. Используя этот формализм, получим следующие основные формулы:
1. Если - скалярная дифференцируемая функция, то по правилу умножения вектора на скаляр получим
где P, Q, R - дифференцируемые функции, то по формуле для нахождения скалярного произведения получим
Оператор Гамильтона Дифференциальные операции второго порядка Оператор Лапласа Понятие о криволинейных координатах Сферические координаты
3. Вычисляя векторное произведение , получим
Для постоянной функции и = с получим
а для постоянного вектора с будем иметь
Из распределительного свойства для скалярного и векторного произведений получаем Замечание 1. Формулы (5) и (6) можно трактовать тамке как проявление дифференциальных свойств оператора «набла» (V - линейный дифференциальный оператор). Условились считал., что оператор V действует на все величины, написанные за ним. В этом смысле, например,
- скалярный дифференциальный оператор.
Применяя оператор V к произведению каких-либо величин, надо иметь в виду обычное правило дифференцирования произведения.
Пример 1. Доказать, что
По формуле (2) с учетом замечания 1 получаем
или
Чтобы отметить тот факт, что «набл а» не действует на какую-либо величину, входящую в состав сложной формулы, эту величину отмечают индексом с («const»), который в окончательном результате опускается.
Пример 2. Пусть u(xty,z) - скалярная дифференцируемая функция, а(х,у,г) - векторная дифференцируемая функция. Доказать, что
4 Перепишем левую часть (8) в символическом виде
Учитывая дифференциальный характер оператора V, получаем. Так как ие - постоянный скаляр, то его можно вынести за знак скалярного произведения, так что
а (на последнем шаге мы опустили индекс е).
В выражении (V, иас) оператор V действует только на скалярную функцию и, поэтому
В итоге получаем
Замечай ие 2. Используя формализм действа с оператором V как с вектором, надо помнить, что V не является обычным вектором - он не им«ет ни длины, ни направления, так что. например, вектор ,
где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): H_i\
- коэффициенты Ламе .
Цилиндрические координаты
В цилиндрических координатах вне прямой Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ r=0
:
texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta f = {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left(r {\partial f \over \partial r} \right) + {\partial^2f \over \partial z^2} + {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}
Сферические координаты
В сферических координатах вне начала отсчёта (в трёхмерном пространстве):
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файлtexvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta f = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left(r^2 {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2\sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta f = {1 \over r} {\partial^2 \over \partial r^2} \left(rf \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}.
В случае если Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ f=f(r)
в n
-мерном пространстве:
texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta f = {d^2 f\over dr^2} + {n-1 \over r } {df\over dr}.
Параболические координаты
В параболических координатах (в трёхмерном пространстве) вне начала отсчёта:
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файлtexvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta f= \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}} \left[ \frac{1}{\sigma} \frac{\partial }{\partial \sigma} \left(\sigma \frac{\partial f}{\partial \sigma} \right) + \frac{1}{\tau} \frac{\partial }{\partial \tau} \left(\tau \frac{\partial f}{\partial \tau} \right)\right] + \frac{1}{\sigma^2\tau^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}
Цилиндрические параболические координаты
В координатах параболического цилиндра вне начала отсчёта:
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файлtexvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta F(u,v,z) = \frac{1}{c^2(u^2+v^2)} \left[ \frac{\partial^2 F }{\partial u^2}+ \frac{\partial^2 F }{\partial v^2}\right] + \frac{\partial^2 F }{\partial z^2}.
Общие криволинейные координаты и римановы пространства
Пусть на гладком многообразии Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc
задана локальная система координат и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): g_{ij}
- риманов метрический тензор на Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): X
, то есть метрика имеет вид
texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): ds^2 =\sum^n_{i,j=1}g_{ij} dx^idx^j
.
Обозначим через Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): g^{ij}
элементы матрицы Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): (g_{ij})^{-1}
и
texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): g = \operatorname{det} g_{ij} = (\operatorname{det} g^{ij})^{-1}
.
Дивергенция векторного поля Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): F
, заданного координатами Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): F^i
(и представляющего дифференциальный оператор первого порядка Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \sum_i F^i\frac{\partial}{\partial x^i}
) на многообразии X
вычисляется по формуле
texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \operatorname{div} F = \frac{1}{\sqrt{g}}\sum^n_{i=1}\frac{\partial}{\partial x^i}(\sqrt{g}F^i)
,
а компоненты градиента функции f - по формуле
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файлtexvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): (\nabla f)^j =\sum^n_{i=1}g^{ij} \frac{\partial f}{\partial x^i}.
Оператор Лапласа - Бельтрами на Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): X
:
texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta f = \operatorname{div} (\nabla f)= \frac{1}{\sqrt{g}}\sum^n_{i=1}\frac{\partial}{\partial x^i}\Big(\sqrt{g} \sum^n_{k=1}g^{ik} \frac{\partial f}{\partial x^k}\Big).
Значение Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta f
является скаляром, то есть не изменяется при преобразовании координат.
Применение
С помощью данного оператора удобно записывать уравнения Лапласа , Пуассона и волновое уравнение . В физике оператор Лапласа применим в электростатике и электродинамике, квантовой механике , во многих уравнениях физики сплошных сред , а также при изучении равновесия мембран, плёнок или поверхностей раздела фаз с поверхностным натяжением (см. Лапласово давление), в стационарных задачах диффузии и теплопроводности, которые сводятся, в непрерывном пределе, к обычным уравнениям Лапласа или Пуассона или к некоторым их обобщениям.
Вариации и обобщения
- Оператор Д’Аламбера - обобщение оператора Лапласа для гиперболических уравнений . Включает в себя вторую производную по времени.
- Векторный оператор Лапласа - обобщение оператора Лапласа на случай векторного аргумента.
См. также
Напишите отзыв о статье "Оператор Лапласа"
Литература
Ссылки
| |||||||||||||||||||
