Практически любую периодическую функцию можно разложить на простые гармоники с помощью тригонометрического ряда (ряда Фурье):
f (x ) = + (a n cos nx + b n sin nx ), (*)
Запишем данный ряд в виде суммы простых гармоник, полагая коэффициенты равными a n = A n sinj n , b n = A n cosj n . Получим: a n cosj n + b n sinj n = A n sin(nx + j n ), где
A n = , tg j n = . (**)
Тогда ряд (*) в виде простых гармоник примет вид f
(x
) = 
.
Ряд Фурье представляет периодическую функцию суммой хотя и бесконечного числа синусоид, но с частотами, имеющими определенное дискретное значение.
Иногда n -ую гармонику записывают в виде a n cos nx + b n sin nx = A n cos(nx – j n ) , где a n = A n cosj n , b n = A n sinj n .
При этом A n и j n определяются по формулам (**). Тогда ряд (*) примет вид
f
(x
) = 
.
Определение 9 . Операция представления периодической функции f (x ) рядом Фурье называется гармоническим анализом .
Выражение (*) встречается и в другой, более употребительной форме:
Коэффициенты a n , b n определяются по формулам:
величина C 0 выражает среднее значение функции за период и называется постоянной составляющей, которая вычисляется по формуле:
В теории колебаний и спектрального анализа представление функции f (t ) в ряд Фурье записывается в виде:
(***)
т.е. периодическая функция представлена суммой слагаемых, каждое из которых есть синусоидальное колебание с амплитудой С n и начальной фазой j n , то есть ряд Фурье периодической функции состоит из отдельных гармоник с частотами, отличающимися друг от друга на постоянное число. Причем каждая гармоника имеет определенную амплитуду. Значения С n и j n должны быть надлежащим образом подобраны для того, чтобы равенство (***) выполнялось, то есть определяются по формулам (**) [С n = А n ].
Перепишем ряд Фурье (***) в виде 
где w
1 – основная частота. Отсюда можно сделать вывод: сложная периодическая функция f
(t
) определяется совокупностью величин С n
и j n
.
Определение 10 . Совокупность величин С n , то есть зависимость амплитуды от частоты, называется амплитудным спектром функции или спектром амплитуд .
Определение 11. Совокупность величин j n носит название спектра фаз .
Когда говорят просто “спектр”, то подразумевают именно амплитудный спектр, в остальных случаях делают соответствующие оговорки. Периодическая функция имеет дискретный спектр (то есть она может быть представлена в виде отдельных гармоник).
Спектр периодической функции можно изобразить графически. Выберем для этого координаты С n и w = nw 1 . Спектр будет изображен в этой системе координат совокупностью дискретных точек, т.к. каждому значению nw 1 соответствует одно определенное значение С n . График, состоящий из отдельных точек, неудобен. Поэтому принято изображать амплитуды отдельных гармоник вертикальными отрезками соответствующей длины (рис. 2).
Рис. 2.
Этот дискретный спектр часто называют линейчатым. Он - гармонический спектр, т.е. состоит из равноотстоящих спектральных линий; частоты гармоник находятся в простых кратных соотношениях. Отдельные гармоники, в том числе первая, могут отсутствовать, т.е. амплитуды их могут равняться нулю, но это не нарушает гармоничности спектра.
Дискретные, или линейчатые, спектры могут принадлежать как периодическим, так и непериодическим функциям. В первом случае спектр обязательно гармонический.
Разложение в ряд Фурье может быть обобщено на случай непериодической функции. Для этого надо применить предельный переход при Т®∞, рассматривая непериодическую функцию как предельный случай периодической при неограниченно возрастающем периоде. Вместо 1/Т введем круговую основную частоту w 1 = 2p/Т . Эта величина – есть частотный интервал между соседними гармониками, частоты которых равны 2pn /Т . Если Т ® ∞, то w 1 ® dw и 2pn /Т ® w , где w – текущая частота, изменяющаяся непрерывно, dw – ее приращение. При этом ряд Фурье перейдет в интеграл Фурье, который представляет собой разложение непериодической функции в бесконечном интервале (–∞;∞) на гармонические колебания, частоты которых w непрерывно меняются от 0 до ∞:
Непериодическая функция имеет непрерывный или сплошной спектры, т.е. вместо отдельных точек спектр изображается непрерывной кривой. Это получается в результате предельного перехода от ряда к интегралу Фурье: интервалы между отдельными спектральными линиями неограниченно сокращаются, линии сливаются, и вместо дискретных точек спектр изображается непрерывной последовательностью точек, т.е. непрерывной кривой. Функции a (w ) и b (w ) дают закон распределения амплитуд и начальных фаз в зависимости от частоты w .
Преобразование Фурье представляет собой наиболее широко используемое средство преобразовать произвольную функцию от времени в набор ее частотных составляющих на плоскости комплексных чисел. Это преобразование может быть применено для апериодических функций для определения их спектров, и в этом случае комплексный оператор s может быть заменен на/со:
С целью определения наиболее интересных частот может быть использовано численное интегрирование на комплексной плоскости.
Для ознакомления с основами поведения этих интегралов рассмотрим несколько примеров. На Рис. 14.6 (слева) приведен импульс единичной площади во временной области и его спектральный состав; в центре - импульс такой же площади, но большей амплитуды, а справа - амплитуда импульса бесконечна, однако его площадь по-прежнему равна единице. Правая картинка особенно интересна тем, что спектр импульса с нулевой шириной содержит все частоты с равными амплитудами.
Рис. 14.6. Спектры импулъсовразной ширины, по одинаковой пяошрди
В 1822 г. французский математикЖ. Б. Ж. Фурье (J. B.J. Fourier) показал в своей работе, посвященной вопросам теплопроводности, что любая периодическая функция может быть разложена на исходные компоненты, включающие частоту повторения и набор гармоник этой частоты, причем каждая из гармоник имеет свою амплитуду и фазу по отношению к частоте повторения. Основные формулы, используемые при Фурье-преобразовании,таковы:
где A() представляет собой компоненту постоянного тока, а А п и В п - гармоники основной частоты порядка и, находящиеся соответственно в фазе и противофазе с ней. Функция/(*), таким образом, является суммой этих гармоник и Ло-
В случаях, когда f{x) симметрична относительно тс/2, т. e. f{x) на области от л до 2л = -f{x) на области от 0 до л, и отсутствует компонента постоянного тока, формулы Фурье-преобразования упрощаются до:
где n = 1, 3,5, 7…
Все гармоники являются синусоидами, только часть из них находится в фазе, а часть - в противофазе с основной частотой. Большинство форм сигналов, встречающихся в силовой электронике, могут быть разложены на гармоники этим манером.
Если преобразование Фурье применить к прямоугольным импульсам длительностью 120°, то гармоники будут составлять набор порядка k = би ± 1, где n - одно из целых чисел. Амплитуда каждой гармоники h по отношению к первой связана с ее номером соотношением h = l//e. При этом первая гармоника будет иметь амплитуду, в 1.1 раза большую, чем амплитуда прямоугольного сигнала.
Преобразование Фурье выдает амплитудное значение для каждой гармоники, но, так как все они являются синусоидальными, среднеквадратичное значение получится просто делением соответствующей амплитуды на корень из 2. Среднеквадратичное значение сложного сигнала представляет собой корень квадратный из суммы квадратов среднеквадратичных значений каждой гармоники, включая первую.
При работе с повторяющимися импульсными функциями полезно рассмотреть рабочий цикл. Если повторяющиеся импульсы на Рис. 14.7 имеют среднеквадратичное значение X за время А, то среднеквадратичное значение за время В будет равно X(A/B) 1 ‘ 2 . Таким образом, среднеквадратичное значение повторяющихся импульсов пропорционально корню квадратному из значения рабочего цикла. Применив этот принцип к прямоугольным импульсамдлительностью 120° (рабочий цикл 2/3) с единичной амплитудой, получим среднеквадратичное значение (2/3) 1/2 = 0.8165.
Рис. 14.7. Определение среднеквадратичного значения (RMS) для повторяющихся
импульсов
Интересно проверить этот результат путем суммирования гармоник, соответствующих упомянутой последовательности прямоугольных импульсов. В Табл. 14.2 приведены результаты этого суммирования. Как видно, все совпадает.
Таблица 14.2. Результаты суммирования гармоник, соответствующих
периодическому сигналу с рабочим циклом 2/3 и единичной амплитудой
|
Номер гармоники |
Амплитуда гармоники |
Суммарное среднеквадратичное значение |
Для целей сравнения можно сгруппировать любой набор гармоник и определить соответствующий общий уровень гармонических искажений. Среднеквадратичное значение сигнала при этом определяется по формуле
где h\ - амплитуда первой (основной) гармоники, а h„ - амплитуда гармоник порядка n > 1.
Компоненты, ответственные за искажения, могут быть записаны отдельно как
где n > 1. Тогда
где Fund - первая гармоника, а коэффициент нелинейньа искажений {THD) получится равным D/Fund.
Хотя анализ прямоугольной последовательности импульсов весьма интересен, он редко применяется в реальном мире. Коммутационные эффекты и другие процессы делают прямоугольные импульсы больше похожими на трапецеидальные, или, в случае с преобразователями, с передним фронтом, описываемым выражением 1 cos(0) и задним фронтом, описываемым зависимостью cos(0), где 0 < 0 логарифмическим масштабом наклон соответствующих участков этого графика составляет -2 и -1.Для систем с типовыми значениями реактанса изменение наклона примерно приходится на частоты от 11-й до 35-й гармоники сетевой частоты, причем при увеличении реактанса или тока в системе частота изменения наклона снижается. Практический результат от всего этого состоит в меньшей значимости высших гармоник, чем можно подумать. Хотя увеличение реактанса способствует уменьшению гармоник высших порядков, обычно это не выполнимо. Более предпочтительным для уменьшения гармонических составляющих в потребляемом токе является увеличение числа импульсов при выпрямлении или преобразовании напряжения, достигаемое сдвигом фаз. Применительно к трансформаторам эта тема была затронута в гл. 7. Если тиристорный преобразователь или выпрямитель питается от обмоток трансформатора, соединенных звездой и треугольником, а выходы преобразователя или выпрямителя соединены последовательно или параллельно, то получается 12-пульсационное выпрямление. Номера гармоник в наборе теперь получаются k = \2n ± 1 взамен k = 6и + 1, где n - одно из целых чисел. Взамен гармоник 5-го и 7-го порядкатеперь появляются гармоники 11-го и 13-го порядков, амплитуда которых существенно меньше. Вполне возможно применение еще большего числа пульсаций, и, например, в больших источниках питания для электрохимических установок используются 48-пульсационные системы. Так как в больших выпрямителях и преобразователях используются наборы соединенных параллельно диодов или тиристоров, дополнительная стоимость фазосдвигающих обмоток в трансформаторе в основном определяет и его цену. На Рис. 14.8 показаны преимущества 12-пульсационной схемы перед 6-пульсационной. Гармоники 11-го и 13-го порядка в 12-пульсационной схеме имеют типовое значение амплитуды, равное примерно 10% от первой гармоники. В схемах с большим числом пульсаций гармоники имеют порядок k = pn + 1, где p - число пульсаций. Для интереса отметим, что пары наборов гармоник, которые просто сдвинуты друг относительно друга на 30°, не взаимоуничтожаются в 6пульсационной схеме. Токи этих гармоник проникают назад через трансформатор; таким образом, требуется дополнительный сдвиг фаз для получения возможности их взаимного уничтожения. Не все гармоники находятся в фазе с первой. Например, в трехфазном наборе гармоник, соответствующем последовательности прямоугольных импульсов 120°, фазы гармоник меняются в соответствии с последовательностью -5-я, +7-я, -11-я, +13-я и т.д. При разбалансировке в трехфазной цепи могут возникать однофазные компоненты, что влечет за собой утраивание гармоник с нулевым фазовым сдвигом. Рис. 14.8. Спектры 6и 12-пульсациоиных преобразователей Изолирующие трансформаторы часто рассматриваются как панацея от проблем с гармониками. Эти трансформаторы добавляют некоторый реактанс в систему и тем самым способствуют снижению уровня высших гармоник, однако, кроме подавления токов нулевой последовательности и электростатической развязки, проку от них немного. Разложение периодических несинусоидальных функций
Общие определения
Часть 1. Теория линейных цепей (продолжение)
ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
Учебное пособие для студентов электроэнергетических специальностей Т. Электрические цепи периодического несинусоидального тока Как известно, в электроэнергетике в качестве стандартной формы для токов и напряжений принята синусоидальная форма. Однако в реальных условиях формы кривых токов и напряжений могут в той или иной мере отличаться от синусоидальных. Искажения форм кривых этих функций у приемников приводят к дополнительным потерям энергии и снижению их коэффициента полезного действия. Синусоидальность формы кривой напряжения генератора является одним из показателей качества электрической энергии как товара. Возможны следующие причины искажения формы кривых токов и напряжений в сложной цепи: 1) наличие в электрической цепи нелинейных элементов, параметры которых зависят от мгновенных значений тока и напряжения [R, L, C=f
(u,i
)], (например, выпрямительные устройства, электросварочные агрегаты и т. д.); 2) наличие в электрической цепи параметрических элементов, параметры которых изменяются во времени[R, L, C=f
(t
)]; 3) источник электрической энергии (трехфазный генератор) в силу конструктивных особенностей не может обеспечить идеальную синусоидальную форму выходного напряжения; 4) влияние в комплексе перечисленных выше факторов. Нелинейные и параметрические цепи рассматриваются в отдельных главах курса ТОЭ. В настоящей главе исследуется поведение линейных электрических цепей при воздействии на них источников энергии с несинусоидальной формой кривой. Из курса математики известно, что любая периодическая функция времени f
(t
), удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть представлена гармоническим рядом Фурье: Здесь А
0 – постоянная составляющая, - k
-я гармоническая составляющая или сокращенно k
-я гармоника. 1-я гармоника называется основной, а все последующие - высшими. Амплитуды отдельных гармоник А к
не зависят от способа разложения функции f
(t
) в ряд Фурье, в то же время начальные фазы отдельных гармоник зависят от выбора начала отсчета времени (начала координат). Отдельные гармоники ряда Фурье можно представить в виде суммы синусной и косинусной составляющих: Тогда весь ряд Фурье получит вид: Соотношения между коэффициентами двух форм ряда Фурье имеют вид: Если k
-ю гармонику и ее синусную и косинусную составляющие заменить комплексными числами, то соотношение между коэффициентами ряда Фурье можно представить в комплексной форме: Если периодическая несинусоидальная функция времени задана (или может быть выражена) аналитически в виде математического уравнения, то коэффициенты ряда Фурье определяются по формулам, известным из курса математики: На практике исследуемая несинусоидальная функция f
(t
) обычно задается в виде графической диаграммы (графически) (рис. 118) или в виде таблицы координат точек (таблично) в интервале одного периода (табл. 1). Чтобы выполнить гармонический анализ такой функции по приведенным выше уравнениям, ее необходимо предварительно заменить математическим выражением. Замена функции, заданной графически или таблично математическим уравнением, получила название аппроксимации функции. Чтобы проверить, правильно ли работает программа, сформируем массив отсчетов как сумму двух синусоид sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) и подсунем программке. Программа нарисовала следующее: рис.1 График временной функции сигнала
рис.2 График спектра сигнала
На графике спектра имеется две палки (гармоники) 5 Гц с амплитудой 0.5 В и 10 Гц - с амплитудой 1 В, все как в формуле исходного сигнала. Все отлично, программист молодец! Программа работает правильно. Это значит, что если мы подадим на вход АЦП реальный сигнал из смеси двух синусоид, то мы получим аналогичный спектр, состоящий из двух гармоник. Итого, наш реальный
измеренный сигнал, длительностью 5 сек
, оцифрованный АЦП, то есть представленный дискретными
отсчетами, имеет дискретный непериодический
спектр. Что-то как бы не то! Гармоника 10 Гц рисуется нормально, а вместо палки на 5 Гц появилось несколько каких-то непонятных гармоник. Смотрим в интернетах, что да как… Во, говорят, что в конец выборки надо добавить нули и спектр будет рисоваться нормальный. рис.5 Добили нулей до 5 сек
рис.6 Получили спектр
Все равно не то, что было на 5 секундах. Придется разбираться с теорией. Идем в Википедию
- источник знаний. K - номер тригонометрической функции (номер гармонической составляющей, номер гармоники) Что значит «представить функцию в виде суммы ряда»? Это значит, что, сложив в каждой точке значения гармонических составляющих ряда Фурье, мы получим значение нашей функции в этой точке.
(Более строго, среднеквадратичное отклонение ряда от функции f(x) будет стремиться к нулю, но несмотря на среднеквадратичную сходимость, ряд Фурье функции, вообще говоря, не обязан сходиться к ней поточечно. См. https://ru.wikipedia.org/wiki/Ряд_Фурье .) Этот ряд может быть также записан в виде: (2), Связь между коэффициентами (1) и (3) выражается следующими формулами: Отметим, что все эти три представления ряда Фурье совершенно равнозначны. Иногда при работе с рядами Фурье бывает удобнее использовать вместо синусов и косинусов экспоненты мнимого аргумента, то есть использовать преобразование Фурье в комплексной форме. Но нам удобно использовать формулу (1), где ряд Фурье представлен в виде суммы косинусоид с соответствующими амплитудами и фазами. В любом случае неправильно говорить, что результатом преобразования Фурье действительного сигнала будут комплексные амплитуды гармоник. Как правильно говорится в Вики «Преобразование Фурье (?) - операция, сопоставляющая одной функции вещественной переменной другую функцию, также вещественной переменной.» Итого:
Преобразование Фурье позволяет представить непрерывную функцию f(x) (сигнал), определенную на отрезке {0, T} в виде суммы бесконечного числа (бесконечного ряда) тригонометрических функций (синусоид и\или косинусоид) с определёнными амплитудами и фазами, также рассматриваемых на отрезке {0, T}. Такой ряд называется рядом Фурье.
Отметим еще некоторые моменты, понимание которых требуется для правильного применения преобразования Фурье к анализу сигналов. Если рассмотреть ряд Фурье (сумму синусоид) на всей оси Х, то можно увидеть, что вне отрезка {0, T} функция представленная рядом Фурье будет будет периодически повторять нашу функцию. Например, на графике рис.7 исходная функция определена на отрезке {-T\2, +T\2}, а ряд Фурье представляет периодическую функцию, определенную на всей оси х. Это происходит потому, что синусоиды сами являются периодическими функциями, соответственно и их сумма будет периодической функцией. рис.7 Представление непериодической исходной функции рядом Фурье
Таким образом: Наша исходная функция - непрерывная, непериодическая, определена на некотором отрезке длиной T. Периоды гармонических составляющих кратны величине отрезка {0, T}, на котором определена исходная функция f(x). Другими словами, периоды гармоник кратны длительности измерения сигнала. Например, период первой гармоники ряда Фурье равен интервалу Т, на котором определена функция f(x). Период второй гармоники ряда Фурье равен интервалу Т/2. И так далее (см. рис. 8). рис.8 Периоды (частоты) гармонических составляющих ряда Фурье (здесь Т=2?)
Соответственно, частоты гармонических составляющих кратны величине 1/Т. То есть частоты гармонических составляющих Fk равны Fk= к\Т, где к пробегает значения от 0 до?, например к=0 F0=0; к=1 F1=1\T; к=2 F2=2\T; к=3 F3=3\T;… Fk= к\Т (при нулевой частоте - постоянная составляющая). Пусть наша исходная функция, представляет собой сигнал, записанный в течение Т=1 сек. Тогда период первой гармоники будет равен длительности нашего сигнала Т1=Т=1 сек и частота гармоники равна 1 Гц. Период второй гармоники будет равен длительности сигнала, деленной на 2 (Т2=Т/2=0,5 сек) и частота равна 2 Гц. Для третьей гармоники Т3=Т/3 сек и частота равна 3 Гц. И так далее. Шаг между гармониками в этом случае равен 1 Гц. Таким образом сигнал длительностью 1 сек можно разложить на гармонические составляющие (получить спектр) с разрешением по частоте 1 Гц. Существует способ искусственного увеличения длительности сигнала путем добавления нулей к массиву отсчетов. Но реальную разрешающую способность по частоте он не увеличивает. Обычная схема измерения и оцифровки сигнала выглядит следующим образом. рис.9 Схема измерительного канала
Сигнал с измерительного преобразователя поступает на АЦП в течение периода времени Т. Полученные за время Т отсчеты сигнала (выборка) передаются в компьютер и сохраняются в памяти. рис.10 Оцифрованный сигнал - N отсчетов полученных за время Т
Какие требования выдвигаются к параметрам оцифровки сигнала? Устройство, преобразующее входной аналоговый сигнал в дискретный код (цифровой сигнал) называется аналого-цифровой преобразователь (АЦП, англ. Analog-to-digital converter, ADC) (Wiki). Одним из основных параметров АЦП является максимальная частота дискретизации (или частота семплирования, англ. sample rate) - частота взятия отсчетов непрерывного во времени сигнала при его дискретизации. Измеряется в герцах. ((Wiki)) Согласно теореме Котельникова, если непрерывный сигнал имеет спектр, ограниченный частотой Fмакс, то он может быть полностью и однозначно восстановлен по его дискретным отсчетам, взятым через интервалы времени , т.е. с частотой Fd ? 2*Fмакс, где Fd - частота дискретизации; Fмакс - максимальная частота спектра сигнала. Другими слова частота оцифровки сигнала (частота дискретизации АЦП) должна как минимум в 2 раза превышать максимальную частоту сигнала, который мы хотим измерить. А что будет, если мы будем брать отсчеты с меньшей частотой, чем требуется по теореме Котельникова? В этом случае возникает эффект «алиасинга» (он же стробоскопический эффект, муаровый эффект), при котором сигнал высокой частоты после оцифровки превращается в сигнал низкой частоты, которого на самом деле не существует. На рис. 5 красная синусоида высокой частоты - это реальный сигнал. Синяя синусоида более низкой частоты - фиктивный сигнал, возникающий вследствие того, за время взятия отсчета успевает пройти больше, чем пол-периода высокочастотного сигнала. Рис. 11. Появление ложного сигнала низкой частоты при недостаточно высокой частоте дискретизации
Чтобы избежать эффекта алиасинга перед АЦП ставят специальный антиалиасинговый фильтр - ФНЧ (фильтр нижних частот), который пропускает частоты ниже половины частоты дискретизации АЦП, а более высокие частоты зарезает. Для того, чтобы вычислить спектр сигнала по его дискретным отсчетам используется дискретное преобразование Фурье (ДПФ). Отметим еще раз, что спектр дискретного сигнала «по определению» ограничен частотой Fмакс, меньшей половине частоты дискретизации Fd. Поэтому спектр дискретного сигнала может быть представлен суммой конечного числа гармоник, в отличие от бесконечной суммы для ряда Фурье непрерывного сигнала, спектр которого может быть неограничен. Согласно теореме Котельникова максимальная частота гармоники должна быть такой, чтобы на нее приходилось как минимум два отсчета, поэтому число гармоник равно половине числа отсчетов дискретного сигнала. То есть если в выборке имется N отсчетов, то число гармоник в спектре будет равно N/2. Рассмотрим теперь дискретное преобразование Фурье (ДПФ). Сравнивая с рядом Фурье Видим, что они совпадают, за исключением того, что время в ДПФ имеет дискретный характер и число гармоник ограничено величиной N/2 - половиной числа отсчетов. Формулы ДПФ записываются в безразмерных целых переменных k, s, где k – номера отсчетов сигнала, s – номера спектральных составляющих. Возвращаясь к результатам, полученным в начале. Как уже было сказано выше, при разложении в ряд Фурье непериодической функции (нашего сигнала), полученный ряд Фурье фактически соответствует периодической функции с периодом Т. (рис.12). рис.12 Периодическая функция f(x) с периодом Т0, с периодом измерения Т>T0
Как видно на рис.12 функция f(x) периодическая с периодом Т0. Однако из-за того, что длительность измерительной выборки Т не совпадает с периодом функции Т0, функция, получаемая как ряд Фурье, имеет разрыв в точке Т. В результате спектр данной функции будет содержать большое количество высокочастотных гармоник. Если бы длительность измерительной выборки Т совпадала с периодом функции Т0, то в полученном после преобразования Фурье спектре присутствовала бы только первая гармоника (синусоида с периодом равным длительности выборки), поскольку функция f(x) представляет собой синусоиду. Другими словами, программа ДПФ «не знает», что наш сигнал представляет собой «кусок синусоиды», а пытается представить в виде ряда периодическую функцию, которая имеет разрыв из-за нестыковки отдельных кусков синусоиды. В результате в спектре появляются гармоники, которые должны в сумме изобразить форму функции, включая этот разрыв. Таким образом, чтобы получить «правильный» спектр сигнала, являющегося суммой нескольких синусоид с разными периодами, необходимо чтобы на периоде измерения сигнала укладывалось целое число периодов каждой синусоиды. На практике это условие можно выполнить при достаточно большой длительности измерения сигнала. Рис.13 Пример функции и спектра сигнала кинематической погрешности редуктора
При меньшей длительности картина будет выглядеть «хуже»: Рис.14 Пример функции и спектра сигнала вибрации ротора
На практике бывает сложно понять, где «реальные составляющие», а где «артефакты», вызванные некратностью периодов составляющих и длительности выборки сигнала или «скачками и разрывами» формы сигнала. Конечно слова «реальные составляющие» и «артефакты» не зря взяты в кавычки. Наличие на графике спектра множества гармоник не означает, что наш сигнал в реальности из них «состоит». Это все равно что считать, будто число 7 «состоит» из чисел 3 и 4. Число 7 можно представить в виде суммы чисел 3 и 4 - это правильно. Так и наш сигнал… а вернее даже не «наш сигнал», а периодическую функцию, составленную путем повторения нашего сигнала (выборки) можно представить в виде суммы гармоник (синусоид) с определенными амплитудами и фазами. Но во многих важных для практики случаях (см. рисунки выше) действительно можно связать полученные в спектре гармоники и с реальными процессами, имеющими циклический характер и вносящими значительный вклад в форму сигнала. 2. Сигнал представлен набором действительных значений и его спектр представлен набором действительных значений. Частоты гармоник положительны. То, что математикам бывает удобнее представить спектр в комплексной форме с использованием отрицательных частот не значит, что «так правильно» и «так всегда надо делать». 3. Сигнал, измеренный на отрезке времени Т определен только на отрезке времени Т. Что было до того, как мы начали измерять сигнал, и что будет после того - науке это неизвестно. И в нашем случае - неинтересно. ДПФ ограниченного во времени сигнала дает его «настоящий» спектр, в том смысле, что при определенных условиях позволяет вычислить амплитуду и частоту его составляющих. Использованные материалы и другие полезные материалы. 2.1. Спектры
периодических сигналов
Периодическим сигналом (током или
напряжением) называют такой вид воздействия, когда форма сигнала повторяется
через некоторый интервал времени T
,
который называется периодом. Простейшей формой периодического сигнала является
гармонический сигнал или синусоида, которая характеризуется амплитудой,
периодом и начальной фазой. Все остальные сигналы будут негармоническими
или
несинусоидальными
. Можно показать, и практика это доказывает, что, если
входной сигнал источника питания является периодическим, то и все остальные
токи и напряжения в каждой ветви (выходные сигналы) также будут периодическими.
При этом формы сигналов в разных ветвях будут отличаться друг от друга.
Существует общая методика исследования
периодических негармонических сигналов (входных воздействий и их реакций) в
электрической цепи, которая основана на разложении сигналов в ряд Фурье. Данная
методика состоит в том, что всегда можно подобрать ряд гармонических (т.е.
синусоидальных) сигналов с такими амплитудами, частотами и начальными фазами, алгебраическая
сумма ординат которых в любой момент времени равна ординате исследуемого
несинусоидального сигнала. Так, например, напряжение u
на рис. 2.1. можно заменить суммой напряжений и , поскольку в любой момент времени имеет место тождественное
равенство: Для рассматриваемого
примера имеем период первой гармоники совпадающим с периодом негармонического
сигнала
T
1
=
T
,
а период второй гармоники в два раза меньшим
T
2
=
T
/2,
т.е. мгновенные значения гармоник должны быть записаны в виде:
Здесь амплитуды колебаний гармоник равны между собой ( Рис. 2.1. Пример сложения первой и второй
гармоники
негармонического сигнала
В электротехнике гармоническая
составляющая, период которой равен периоду негармонического сигнала, называется
первой
или основной
гармоникой сигнала. Все остальные составляющие называются
высшими гармоническими составляющими. Гармоника, частота которой в k раз больше
первой гармоники (а период, соответственно, в k раз меньше), называется
k - ой гармоникой.
Выделяют также среднее значение функции за период, которое называют нулевой
гармоникой. В общем случае ряд
Фурье записывают в виде суммы бесконечного числа гармонических составляющих
разных частот:
(2.1)
где k - номер
гармоники; - угловая частота k -
ой гармоники;
ω
1
=
ω
=2
π
/
T
-
угловая частота первой гармоники; - нулевая гармоника.
Для сигналов часто встречающихся форм
разложение в ряд Фурье можно найти в специальной литературе. В таблице 2
приведены разложения для восьми форм периодических сигналов. Следует отметить,
что приведенные в таблице 2 разложения будут иметь место, если начало системы
координат выбраны так, как это указано на рисунках слева; при изменении начала
отсчета времени t
будут изменяться
начальные фазы гармоник, амплитуды гармоник при этом останутся такими же. В
зависимости от типа исследуемого сигнала под V следует понимать либо величину,
измеряемую в вольтах, если это сигнал напряжения, либо величину, измеряемую в
амперах, если это сигнал тока.
Разложение
в ряд Фурье периодических функций
Таблица
2
График
f
(t
)
Ряд Фурье функции
f
(t
)
Примечание
k=1,3,5,...
k=1,3,5,...
k=1,3,5,...
k=1,2,3,4,5
k=1,3,5,...
k=1,2,3,4,5
S=1,2,3,4,..
k=1,2,4,6,..
Сигналы 7 и 8 формируются из синусоиды
посредством схем, использующих вентильные элементы.
Совокупность гармонических составляющих,
образующих сигнал несинусоидальной формы, называется спектром этого
негармонического сигнала. Из этого набора гармоник выделяют и различают амплитудный
и фазовый
спектр. Амплитудным спектром называют набор амплитуд всех
гармоник, который обычно представляют диаграммой в виде набора вертикальных
линий, длины которых пропорциональны (в выбранном масштабе) амплитудным
значениям гармонических составляющих, а место на горизонтальной оси определяется
частотой (номером гармоники) данной составляющей. Аналогично рассматривают
фазовые спектры как совокупность начальных фаз всех гармоник; их также
изображают в масштабе в виде набора вертикальных линий.
Следует заметить, что
начальные фазы в электротехнике принято измерять в пределах от –180 0
до +180 0 . Спектры, состоящие из отдельных линий, называют линейчатыми или дискретными
.
Спектральные линии находятся на расстоянии f
друг от друга, где f
- частотный
интервал, равный частоте первой гармоники f
.Таким образом, дискретные спектры периодических сигналов имеют спектральные
составляющие с кратными частотами - f
,
2f
, 3f
, 4f
, 5f
и т.д.
Пример
2.1.
Найти амплитудный и фазовый спектр для сигнала прямоугольной формы,
когда длительности положительного и отрицательного сигнала равны, а среднее
значение функции за период равно нулю
u
(t
) = Vпри0<t
<T
/2
u
(t
) = -VприT
/2<t
<T
Для сигналов простыхчасто используемых форм решение
целесообразно находить с помощью таблиц.
Рис. 2.2. Линейчатый амплитудный спектр
прямоугольного сигнала
Из разложения в ряд Фурье сигнала
прямоугольной формы (см. табл.2 - 1) следует, что гармонический ряд содержит
только нечетные гармоники, при этом амплитуды гармоник убывают пропорционально
номеру гармоники. Амплитудный линейчатый спектр гармоник представлен на рис.
2.2. При построении принято, что амплитуда первой гармоники (здесь напряжения)
равна одному вольту: B; тогда амплитуда
третьей гармоники будет равна B, пятой - B и т.д. Начальные
фазы всех гармоник сигнала равны нулю, следовательно, фазовый спектр имеет
только нулевые значения ординат.
Задача решена.
Пример 2.2.
Найти амплитудный и фазовый спектр для напряжения, изменяющегося по закону: при -T
/4<t
<T
/4; u
(t
)
= 0 при T
/4<t
<3/4T
. Такой сигнал
формируется из синусоиды посредством исключения (схемным путем с использованием
вентильных элементов) отрицательной части гармонического сигнала.
Рис. 2.3. Линейчатый спектр сигнала
однополупериодного выпрямления: а)амплитудный; б)фазовый
Для сигнала однополупериодного
выпрямления синусоидального напряжения (см. табл.2 - 8) ряд Фурье содержит
постоянную составляющую (нулевую гармонику), первую гармонику и далее набор
только четных гармоник, амплитуды которых быстро убывают с ростом номера
гармоники. Если, например, положить величину V = 100 B, то, умножив каждое
слагаемое на общий множитель 2V/π , найдем
(2.2)
Амплитудный и фазовый спектры этого
сигнала изображены на рис.2.3а,б.
Задача решена.
В соответствии с теорией рядов Фурье
точное равенство негармонического сигнала сумме гармоник имеет место только при
бесконечно большом числе гармоник. Расчет гармонических составляющих на ЭВМ
позволяет анализировать любое число гармоник, которое определяется целью
расчета, точностью и формой негармонического воздействия. Если длительность
сигнала
t
независимо от его формы много меньше периода T
, то амплитуды гармоник будут убывать медленно, и для более
полного описания сигнала приходится учитывать большое число членов ряда. Эту
особенность можно проследить для сигналов, представленных в таблице 2 - 5 и 6,
при выполнении условия τ
<<T
. Если негармонический
сигнал по форме близок к синусоиде (например, сигналы 2 и 3 в табл.2), то
гармоники убывают быстро, и для точного описания сигнала достаточно
ограничиться тремя - пятью гармониками ряда.
С математической точки зрения - сколько ошибок в этой фразе?
Теперь начальство решило мы решили, что 5 секунд - это слишком долго, давай измерять сигнал за 0.5 сек.
рис.3 График функции sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) на периоде измерения 0.5 сек
рис.4 Спектр функции
2. Непрерывная функция и представление её рядом Фурье
Математически наш сигнал длительностью T секунд является некоторой функцией f(x), заданной на отрезке {0, T} (X в данном случае - время). Такую функцию всегда можно представить в виде суммы гармонических функций (синусоид или косинусоид) вида:
T - отрезок, где функция определена (длительность сигнала)
Ak - амплитуда k-ой гармонической составляющей,
?k- начальная фаза k-ой гармонической составляющей
где , k-я комплексная амплитуда.
Математической основой спектрального анализа сигналов является преобразование Фурье.
Спектр этой функции - дискретный, то есть представлен в виде бесконечного ряда гармонических составляющих - ряда Фурье.
По факту, рядом Фурье определяется некоторая периодическая функция, совпадающая с нашей на отрезке {0, T}, но для нас эта периодичность не существенна.
Чтобы увеличить разрешение в 2 раза до 0,5 Гц - надо увеличить длительность измерения в 2 раза - до 2 сек. Сигнал длительностью 10 сек можно разложить на гармонические составляющие (получить спектр) с разрешением по частоте 0,1 Гц. Других способов увеличить разрешение по частоте нет.3. Дискретные сигналы и дискретное преобразование Фурье
С развитием цифровой техники изменились и способы хранения данных измерений (сигналов). Если раньше сигнал мог записываться на магнитофон и храниться на ленте в аналоговом виде, то сейчас сигналы оцифровываются и хранятся в файлах в памяти компьютера в виде набора чисел (отсчетов).
Величина s показывает количество полных колебаний гармоники на периоде Т (длительности измерения сигнала). Дискретное преобразование Фурье используется для нахождения амплитуд и фаз гармоник численным методом, т.е. «на компьютере»Некоторые итоги
1. Реальный измеренный сигнал, длительностью T сек, оцифрованный АЦП, то есть представленный набором дискретных отсчетов (N штук), имеет дискретный непериодический спектр, представленный набором гармоник (N/2 штук).
. Каждое из слагаемых представляет собой синусоиду, частота
колебания которой связана с периодом T
целочисленными соотношениями.
), а начальные фазы равны нулю.
а)б)
