В настоящее время известны следующие способы организации радиоканалов (радиотехнологии): FDMA, TDMA, CDMA, FH-CDMA. Возможны их сочетания (например, FDMA/TDMA ). Временные сроки применения этих технологий во многом совпадают с этапами развития систем подвижной связи. В оборудовании подвижной радиотелефонной связи первого поколения использовалась технология многостанционного доступа с частотным разделением каналов (FDMA). Радиотехнология FDMA до настоящего времени успешно применяется в усовершенствованном оборудовании сотовой связи первого поколения, а также в более простых системах подвижной радиотелефонной связи с не сотовой структурой. Что касается стандартов подвижной связи первого этапа, то для первых радиальных систем понятие стандартов не использовалось, и оборудование различалось по названиям систем (Алтай, Волемот, Actionet и т.д.). Системы сотовой связи стали различаться по стандартам. На технологии FDMA базируются такие стандарты систем сотовой связи первого поколения, как NMT-450, NMT-900, AMPS, TACS. В системах сотовой подвижной связи второго поколения был сделан переход к цифровой обработке передаваемых голосовых сообщений, для чего стала использоваться радиотехнология многостанционного доступа с временным разделением каналов (TDMA). В результате перехода к TDMA: повысилась помехоустойчивость радиотракта, стала лучше его защищенность от прослушивания и т.д. TDMA применяется в системах таких стандартов, как GSM, D-AMPS (последний в американской версии часто именуется просто TDMA). Радиотехнология многостанционного доступа с кодовым разделением каналов МДКР, или в английской версии CDMA, активно стала внедряться на сетях радиотелефонной связи общего пользования только последние пять лет. Эта радиотехнология имеет свои преимущества, т.к. в оборудовании CDMA: - эффективность использования радиочастотного спектра в 20 раз выше по сравнению с радиооборудованием стандарта AMPS (технология FDMA) и в 3 раза – по отношению GSM (технология TDMA); - значительно лучше, чем в других системах 2-ого поколения TDMA, качество, надежность и конфиденциальность связи; - имеется возможность использовать малогабаритные маломощные терминалы с длительным сроком работы; - при одинаковом расстоянии от базовой станции мощность излучения абонентских терминалов CDMA ниже более, чем в 5 раз относительно этого же показателя в сетях стандартов, базирующихся на других радиотехнологиях; - имеется возможность оптимизации топологии сетей при расчете зон покрытия. Технология CDMA впервые была реализована в оборудовании сотовой связи стандарта IS-95. По своим сервисным возможностям существующие системы CDMA относятся к системам сотовой связи второго поколения. По статистическим данным Национального института телекоммуникаций (ETRI), число абонентов сетей CDMA ежедневно возрастает на 2000 человек. По темпам роста числа абонентов эти сети превосходят сети других существующих стандартов сотовой связи, опережая развитие сетей сотовой связи даже такого популярного стандарта, как GSM. В настоящее время в сетях CDMA насчитывается не менее 30 млн. абонентов. Мировое телекоммуникационное сообщество склоняется к тому, что в будущих системах беспроводного доступа абонентских линий (системах персональной связи третьего поколения) CDMA будет занимать лидирующее положение. Такой вывод был сделан в связи с тем, что технология CDMA в наибольшей степени способна обеспечить выполнение требований, предъявляемых к оборудованию третьего поколения IMT-2000, в частности, по обеспечению обмена информацией с высокими скоростями передачи. Однако в будущих системах беспроводного доступа предполагается использовать так называемые широкополосные системы CDMA, где частотная полоса на канал будет не менее 5 МГц (в современных системах CDMA второго поколения полоса на канал составляет 1,23 МГц). В последние несколько лет стали появляться средства беспроводной связи, в основу которых положена технология расширенного спектра частот с частотными скачками (FH-CDMA). Эта технология сочетает специфику TDMA, где имеет место деление каждой частоты на несколько временных интервалов, и CDMA, где каждый передатчик использует определенную последовательность шумоподобных сигналов. Эта технология нашла свое применение в системах, предназначенных для организации фиксированной связи.

ГДЕ ИСКАТЬ ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ Я ХУЙ ЕГО ЗНАЕТ

44. Представление периодических сигналов в виде рядов Фурье

http://scask.ru/book_brts.php?id=8

Периодические сигналы и ряды Фурье

Математической моделью процесса, повторяющегося во времени, является периодический сигнал со следующим свойством:

Здесь Т - период сигнала.

Ставится задача найти спектральное разложение такого сигнала.

Ряд Фурье.

Зададим на отрезке времени рассмотренный в гл. I ортонормированцый базис, образованный гармоническими функциями с кратными частотами;

Любая функция из этого базиса удовлетворяет условию периодичности (2.1). Поэтому, - выполнив ортогональное разложение сигнала в этом базисе, т. е. вычислив коэффициенты

получим спектральное разложение

справедливое на всей бесконечности оси времени.

Ряд вида (2.4) называется рядом Фурье даннрго сигнала. Введем основную частоту последовательности, образующей периодический сигнал. Вычисляя коэффициенты разложения по формуле (2.3), запишем ряд Фурье для периодического сигнала

с коэффициентами

(2.6)

Итак, в общем случае периодический сигнал содержит не зависящую от времени постоянную составляющую и бесконечный набор гармонических колебаний, так называемых гармоник с частотами кратными основной частоте последовательности.

Каждую гармонику можно описать ее амплитудой и начальной фазой Для этого коэффициенты ряда Фурье следует записать в виде

Подставив эти выражения в (2.5), получим другую, - эквивалентную форму ряда Фурье:

которая иногда оказывается удобнее.

Спектральная диаграмма периодического сигнала.

Так принято называть графическое изображение коэффициентов ряда Фурье для конкретного сигнала. Различают амплитудные и фазовые спектральные диаграммы (рис. 2.1).

Здесь по горизонтальной оси в некотором масштабе отложены частоты гармоник, а по вертикальной оси представлены их амплитуды и начальные фазы.

Рис. 2.1. Спектральные диаграммы некоторого периодического сигнала: а - амплитудная; б - фазовая

Особо интересуются амплитудной диаграммой, которая позволяет судить о процентном содержании тех или иных гармоник в спектре периодического сигнала.

Изучим несколько конкретных примеров.

Пример 2.1. Ряд Фурье периодической последовательности прямоугольных видеоимпульсов с известными параметрами , четной относительно точки t = 0.

В радиотехнике отношение называют скважностью последовательности. По формулам (2.6) находим

Окончательную формулу ряда Фурье удобно записать в виде

На рис. 2.2 представлены амплитудные диаграммы рассматриваемой последовательности в двух крайних случаях.

Важно отметить, что последовательность коротких импульсов, следующих друг за другом достаточно редко , обладает богатым спектральным составом.

Рис. 2.2. Амплитудный спектр периодической последовательности ррямоугольных видеоимпульсов: а - при большой скважности; б - при малой скважности

Пример 2.2. Ряд Фурье периодической последовательности импульсов, образованной гармоническим сигналом вида ограниченным на уровне (предполагается, что ).

Введем специальный параметр - угол отсечки , определяемый из соотношения откуда

В соотаетствии с этим величина равна длительности одного импульса, выраженной в угловой мере:

Аналитическая запись импульса, порождающего рассматриваемую последовательность, имеет вид

Постоянная составляющая последовательности

Амплитудный коэффициент первой гармоники

Аналогично вычисляют амплитуды - гармонических составляющих при

Полученные результаты обычно записывают так:

где так называемые функции Берга:

Графики некоторых функций Берга приведены на рис. 2.3.

Рис. 2.3. Графики нескольких первых функций Берга

Спектральная плотность сигналов. Прямое и обратное преобразования Фурье.

Сигнал называется периодическим , если его форма циклически повторяется во времени. Периодический сигнал в общем виде записывается так:

Здесь - период сигнала. Периодические сигналы могут быть как простыми, так и сложными.

Для математического представления периодических сигналов с периодом часто пользуются этим рядом, в котором как базисные функции выбираются гармонические (синусоидальные и косинусоидальные) колебания кратных частот:

где . - основная угловая частота последовательности функций. При гармонических базисных функциях из этого ряда получим ряд Фурье, который в простейшем случае можно записать в следующем виде:

где коэффициенты

Из ряда Фурье видно, что в общем случае периодический сигнал содержит постоянную составляющую и набор гармонических колебаний основной частоты и ее гармоник с частотами . Каждое гармоническое колебание ряда Фурье характеризуется амплитудой и начальной фазой .

Спектральная диаграмма и спектр периодического сигнала .

Если какой - либо сигнал представлен в виде суммы гармонических колебаний с разными частотами, то это означает, что было осуществлено спектральное разложение сигнала.

Спектральной диаграммой сигнала называется графическое изображение коэффициентов ряда Фурье этого сигнала. Существуют амплитудные и фазовые диаграммы. Для построения этих диаграмм, в некотором масштабе по горизонтальной оси откладываются значения частот гармоник, а по вертикальной оси - их амплитуды и фазы . Причем амплитуды гармоник могут принимать только положительные значения, фазы - как положительные, так и отрицательные значения в интервале .

Спектральные диаграммы периодического сигнала:

а) - амплитудная; б) - фазовая.

Спектр сигнала - это совокупность гармонических составляющих с конкретными значениями частот, амплитуд и начальных фаз, образующих в сумме сигнал. На практике спектральные диаграммы называются более кратко - амплитудный спектр , фазовый спектр . Наибольший интерес проявляют к амплитудной спектральной диаграмме. По ней можно оценить процентное содержание гармоник в спектре.

Спектральные характеристики в технике электросвязи играют большую роль. Зная спектр сигнала можно правильно рассчитать и установить полосу пропускания усилителей, фильтров, кабелей и других узлов каналов связи. Знание спектров сигналов необходимо для построения многоканальных систем с частотным разделением каналов. Без знания спектра помехи трудно принять меры для ее подавления.

Из этого можно сделать вывод, что спектр надо знать для осуществления неискаженной передачи сигнала по каналу связи, для обеспечения разделения сигналов и ослабления помех.

Для наблюдения за спектрами сигналов существует приборы, которые называются анализаторами спектра . Они позволяют наблюдать и измерять параметры отдельных составляющих спектра периодического сигнала, а также измерять спектральную плотность непрерывного сигнала.

Часто математическое описание даже несложных по структуре и форме детерминированных сигналов является трудной задачей. Поэтому используют оригинальный прием, при котором реальные сложные сигналы заменяют (представляют, аппроксимируют) набором (взвешенной суммой, т.е. рядом) математических моделей, описываемых элементарными функциями. Это дает важный инструмент для анализа прохождения электрических сигналов через электронные цепи. Кроме того, представление сигнала может использоваться и как исходное при его описании и анализе. При этом можно существенно упростить обратную задачу - синтез сложных сигналов из совокупности элементарных функций.

Спектральное представление периодических сигналов рядами Фурье

Обобщенный ряд Фурье.

Фундаментальная идея спектрального представления сигналов (функций) восходит к временам более чем 200-летней давности и принадлежит физику и математику Ж. Б. Фурье .

Рассмотрим системы элементарных ортогональных функций, каждая из которых получается из одной исходной - функции-прототипа. Эта функция-прототип выполняет роль «строительного блока», а искомая аппроксимация находится соответствующим комбинированием одинаковых блоков. Фурье показал, что любую сложную функцию можно представить (аппроксимировать) в виде конечной или бесконечной суммы ряда кратных гармонических колебаний с определенными амплитудами, частотами и начальными фазами. Этой функцией может быть, в частности, ток или напряжение в цепи. Солнечный луч, разложенный призмой на спектр цветов, представляет собой физический аналог математических преобразований Фурье (рис. 2.7).

Свет, выходящий из призмы, разделен в пространстве на отдельные чистые цвета, или частоты. В спектре имеется средняя амплитуда на каждой частоте. Таким образом, функция интенсивности от времени трансформировалась в функцию амплитуды в зависимости от частоты. Простой пример иллюстраций рассуждений Фурье показан на рис. 2.8. Периодическая, достаточно сложная по форме кривая (рис. 2.8, а) - это сумма двух гармоник разных, но кратных частот: одинарной (рис. 2.8, б) и удвоенной (рис. 2.8, в).

Рис. 2.7.

Рис. 2.8.

а - сложное колебание; б,в- 1-й и 2-й аппроксимирующие сигналы

При помощи спектрального анализа Фурье сложная функция представляется суммой гармоник, каждая из которых имеет свою частоту, амплитуду и начатьную фазу. Преобразование Фурье определяет функции, представляющие амплитуду и фазу гармонических составляющих, соответствующие конкретной частоте, а фаза - начальная точка синусоиды.

Преобразование можно получить двумя разными математическими методами, один из которых применяют, когда исходная функция непрерывна, а другой - когда она задается множеством отдельных дискретных значений.

Если исследуемая функция получена из значений с определенными дискретными интервалами, то ее можно разбить на последовательный ряд синусоидальных функций с дискретными частотами - от самой низкой, основной или главной частоты, и далее с частотами вдвое, втрое и т.д. выше основной. Такая сумма составляющих и называется рядом Фурье.

Ортогональные сигналы. Удобным способом спектрального описания сигнала по Фурье является его аналитическое представление с помощью системы ортогональных элементарных функций времени. Пусть имеется гильбертово пространство сигналов u 0 (t) y г/,(?), ..., u n (t) с конечной энергией, определенных на конечном или бесконечном интервале времени (t v 1 2). На этом отрезке зададим бесконечную систему (подмножество) взаимосвязанных элементарных функций времени и назовем ее базисной".

где г = 1, 2, 3,....

Функции u(t) и v(t) ортогональны на интервале (?, ? 2), если их скалярное произведение при условии что ни одна из этих функций нс равна тождественно нулю.

В математике так задают в гильбертовом пространстве сигналов ортогональный координатный базис , т.е. систему ортогональных базисных функций.

Свойство ортогональности функций (сигналов) связано с интервалом их определения (рис. 2.9). Например, два гармонических сигнала м,(?) = = sin(2nr/7’ 0) и u.,(t) = sin(4nt/T Q) (т.е. с частотами/ 0 = 1/7’ 0 и 2/ 0 соответственно) ортогональны на любом интервале времени, длительность которого равна целому числу полупериодов Т 0 (рис. 2.9, а). Следовательно, в первом периоде сигналы и { (1) и u 2 (t) ортогональны на интервале (0, 7" 0 /2); но на интервале (О, ЗГ 0 /4) они неортогональны. Па рис. 2.9, б сигналы ортогональны из-за разновременности их появления.

Рис. 2.9.

а - на интервале; б - из-за разновременности появления Представление сигнала u(t) элементарными моделями существенно упрощается, если выбрана система базисных функций vff), обладающих свойством ортонормированности. Из математики известно, если для любой пары функций из ортогональной системы (2.7) выполняется условие

то система функций (2.7) ортонормированна.

В математике такую систему базисных функций вида (2.7) называют ор- тонормированным базисом.

Пусть на заданном интервале времени |г, t 2 | действует произвольный сигнал u(t) и для его представления используется ортонормированная система функций (2.7). Проектирование произвольного сигнала u(t) на оси координатного базиса называется разложением в обобщенный ряд Фурье. Это разложение имеет вид

где с, - некоторые постоянные коэффициенты.

Для определения коэффициентов с к обобщенного ряда Фурье выберем одну из базисных функций (2.7) v k (t) с произвольным номером к. Умножим обе части разложения (2.9) на эту функцию и проинтегрируем результат по времени:

Вследствие ортонормированности базиса выбранных функций в правой части этого равенства все члены суммы при i ^ к обратятся в нуль. Ненулевым останется только единственный член суммы с номером i = к, поэтому

Произведение вида c k v k (t), входящее в обобщенный ряд Фурье (2.9), представляет собой спектральную составляющую сигнала u(t), а совокупность коэффициентов (проекций векторов сигнала на оси координат) {с 0 , с,..., с к, ..., с„} полностью определяет анализируемый сигнал ii(t) и называется его спектром (от лат. spectrum - образ).

Суть спектрального представлениия (анализа ) сигнала состоит в определении коэффициентов с я в соответствии с формулой (2.19).

Выбор рациональной ортогональной системы координатного базиса функций зависит от цели исследований и определяется стремлением максимального упрощения математического аппарата анализа, преобразований и обработки данных. В качестве базисных функций в настоящее время используются полиномы Чебышева, Эрмита, Лагерра, Лежандра и др. Наибольшее распространение получило преобразование сигналов в базисах гармонических функций: комплексных экспоненциальных exp(J 2лft) и вещественных тригонометрических синусно-косинусных функций, связанных формулой Эйлера е >х = cosx + y"sinx. Это объясняется тем, что гармоническое колебание теоретически полностью сохраняет свою форму при прохождении через линейные цепи с постоянными параметрами, а изменяются при этом лишь его амплитуда и начальная фаза. Также широко используется хорошо разработанный в теории цепей символический метод. Операцию представления детерминированных сигналов в виде совокупности постоянной составляющей (constant component) и суммы гармонических колебаний с кратными частотами принято называть спектральным разложением. Достаточно распространенное использование в теории сигналов обобщенного ряда Фурье связано также с его очень важным свойством: при выбранной ортонормированной системе функций v k (t) и фиксированном числе слагаемых ряда (2.9) он обеспечивает наилучшее представление заданного сигнала u(t). Это свойство рядов Фурье широко известно.

При спектральном представлении сигналов наибольшее применение получили ортонормированные базисы тригонометрических функций. Это обусловлено следующим: гармонические колебания наиболее просто генерировать; гармонические сигналы инвариантны относительно преобразований, осуществляемых стационарными линейными электрическими цепями.

Оценим временное и спектральное представления аналогового сигнала (рис. 2.10). На рис. 2.10, а показана временная диаграмма сложного по форме непрерывного сигнала, а на рис. 2.10, б - его спектральное разложение.

Рассмотрим спектральное представление периодических сигналов в виде суммы либо гармонических функций, либо комплексных экспонент с частотами, образующими арифметическую прогрессию.

Периодическим называют сигнал и„(?). повторяющийся через регулярные интервалы времени (рис. 2.11):

где Г - период повторения или следования импульсов; п = 0,1, 2,....

Рис. 2.11. Периодический сигнал

Если Т является периодом сигнала u(t), то периодами будут и кратные ему значения: 2Г, 3Т и т.д. Периодическая последовательность импульсов (их называют видеоимпульсами ) описывается выражнением

Рис. 2.10.

а - временная диаграмма; б - амплитудный спектр

Здесь u Q (t) - форма одиночного импульса, характеризующаяся амплитудой (высотой) h = Е, длительностью т„, периодом следования Т= 1/F(F - частота), положением импульсов во времени относительно тактовых точек, например t = 0.

При спектральном анализе периодических сигналов удобна ортогональная система (2.7) в виде гармонических функций с кратными частотами:

где со, = 2п/Т- частота следования импульсов.

Вычисляя интегралы, по формуле (2.8) легко убедиться в ортогональности этих функций на интервале [-Г/2, Г/2|. Любая функция удовлетворяет условию периодичности (2.11), поскольку частоты их кратны. Если систему (2.12) записать как

то получим ортонормированный базис гармонических функций.

Представим периодический сигнал наиболее распространенной в теории сигналов тригонометрической (синусно-косинусной) формой ряда Фурье:

Из курса математики известно, что разложение (2.11) существует, т.е. ряд сходится, если функция (в данном случае сигнал) u(t) на интервале [-7/2, 7/2] удовлетворяет условиям Дирихле (в отличие от теоремы Дирихле их часто трактуют упрощенно):

• не должно быть разрывов 2-го рода (с уходящими в бесконечность ветвями);
• функция ограничена и имеет конечное число разрывов 1-го рода (скачков);
• функция имеет конечное число экстремумов (т.е. максимумов и минимумов).

В формуле (2.13) имеются следующие компоненты анализируемого сигнала:

Постоянная составляющая

Амплитуды косинусоидальных составляющих

Амплитуды синусоидальных составляющих

Спектральную составляющую с частотой со, в теории связи называют первой (основной ) гармоникой , а составляющие с частотами исо, (п > 1) - высшими гармониками периодического сигнала. Шаг по частоте Асо между двумя соседними синусоидами из разложения Фурье называют частотным разрешением спектра.

Если сигнал представляет собой четную функцию времени u(t) = u(-t ), то в тригонометрической записи ряда Фурье (2.13) отсутствуют синусоидальные коэффициенты Ь п, так как в соответствии с формулой (2.16) они обращаются в нуль. Для сигнала u(t), описываемого нечетной функцией времени, наоборот, согласно формуле (2.15) нулю равны косинусоидальные коэффициенты а п (постоянная составляющая а 0 также отсутствует), и ряд содержит составляющие Ь п.

Пределы интегрирования (от -7/2 до 7/2) не обязательно должны быть такими, как в формулах (2.14)-(2.16). Интегрирование может производиться по любому интервалу времени шириной 7 - результат от этого не изменится. Конкретные пределы выбираются из соображений удобства вычислений; например, может оказаться проще выполнять интегрирование от О до 7 или от -7 до 0 и т.д.

Раздел математики, устанавливающий соотношение между функцией времени u(t ) и спектральными коэффициентами а п, Ь п, называют гармоническим анализом вследствие связи функции u(t) с синусоидальными и косинусоидальными членами этой суммы. Далее спектральный анализ в основном ограничен рамками гармонического анализа, находящего исключительное применение.

Часто применение синусно-косинусной формы ряда Фурье не совсем удобно, поскольку для каждого значения индекса суммирования п (т.е. для каждой гармоники с частотой mOj) в формуле (2.13) фигурируют два слагаемых - косинус и синус. С математической точки зрения удобнее эту формулу представить эквивалентным рядом Фурье в вещественной форме/.

где А 0 = а 0 / 2; А п = yja 2 n + Ь - амплитуда; п-й гармоники сигнала. Иногда в соотношении (2.17) перед ср Л ставят знак «плюс», тогда начальную фазу гармоник записывают как ср и = -arctg (b n fa n).

В теории сигналов широко используют комплексную форму ряда Фурье. Она получается из вещественной формы ряда представлением косинуса в виде полусуммы комплексных экспонент по формуле Эйлера:

Применив данное преобразование к вещественной форме ряда Фурье (2.17), получим суммы комплексных экспонент с положительными и отрицательными показателями:

А теперь будем трактовать в формуле (2.19) экспоненты при частоте со, со знаком «минус» в показателе как члены ряда с отрицательными номерами. В рамках этого же подхода коэффициент А 0 станет членом ряда с нулевым номером. После несложных преобразований приходим к комплексной форме ряда Фурье

Комплексная амплитуда п -й гармоники.

Значения С п по положительным и отрицательным номерам п являются комплексно-сопряженными.

Отметим, что ряд Фурье (2.20) представляет собой ансамбль комплексных экспонент exp(jn(o { t) с частотами, образующими арифметическую прогрессию.

Определим связь между коэффициентами тригонометрической и комплексной форм ряда Фурье. Очевидно, что

Можно также показать, что коэффициенты а п = 2C w coscp„; b n = 2C /I sincp, f .

Если u(t) является четной функцией, коэффициенты ряда С, будут вещественными, а если u(t) - функция нечетная, коэффициенты ряда станут мнимыми.

Спектральное представление периодического сигнала комплексной формой ряда Фурье (2.20) содержит как положительные, так и отрицательные частоты. Но отрицательные частоты в природе не существуют, и это математическая абстракция (физический смысл отрицательной частоты - вращение в направлении, противоположном тому, которое принято за положительное). Они появляются как следствие формального представления гармонических колебаний комплексной формой. При переходе от комплексной формы записи (2.20) к вещественной (2.17) отрицательная частота пропадает.

Наглядно о спектре сигнала судят но его графическому изображению - спектральной диаграмме (рис. 2.12). Различают амплитудно-частотные и фазо-частотные спектры. Совокупность амплитуд гармоник А п (рис. 2.12, а) называют амплитудным спектром , их фаз (рис. 2.12, б) ср я - фазовым спектром. Совокупность С п = |С п является комплексным амплитудным спектром (рис. 2.12, в). На спектральных диаграммах но оси абсцисс откладывают текущую частоту, а но оси ординат - либо вещественную, либо комплексную амплитуду или фазу соответствующих гармонических составляющих анализируемого сигнала.

Рис. 2.12.

а - амплитудный; б - фазовый; в - амплитудный спектр комплексного ряда Фурье

Спектр периодического сигнала называют линейчатым или дискретным , так как он состоит из отдельных линий с высотой, равной амплитуде А п гармоник. Из всех видов спектров наиболее информативен амплитудный, поскольку он позволяет оценить количественное содержание тех или иных гармоник в частотном составе сигнала. В теории сигналов доказано, что амплитудный спектр есть четная функция частоты , а фазовый - нечетная.

Отметим эквидистантность (равноудаленность от начала координат) комплексного спектра периодических сигналов: симметричные (положительные и отрицательные) частоты, на которых расположены спектральные коэффициенты тригонометрического ряда Фурье, образуют эквидистантную последовательность (..., -жo v ..., -2со р -со р 0, v 2со, ..., nco v ...), содержащую частоту со = 0 и имеющую шаг co t = 2л/7’. Коэффициенты могут принимать любые значения.

Пример 2.1

Рассчитаем амплитудный и фазовый спектры периодической последовательности прямоугольных импульсов с амплитудой?, длительностью т и и периодом повторения Т. Сигнал - функция четная (рис. 2.13).

Рис. 2.13.

Решение

Известно, что идеальный прямоугольный видеоимпульс описывается следующим уравнением:

т.е. он формируется как разность двух единичных функций а(?) (функций включения), сдвинутых во времени на т н.

Последовательность прямоугольных импульсов представляет собой известную сумму одиночных импульсов:

Поскольку заданный сигнал является четной функцией времени и в течение одного периода действует только на интервале [т и /2, т и /2], то согласно формуле (2.14)

где q = Т/ т„.

Анализируя полученную формулу, можно заметить, что период следования и длительность импульсов входят в нее в виде отношения. Этот параметр q - отношение периода к длительности импульсов - называют скважностью периодической последовательности импульсов (в зарубежной литературе вместо скважности используют обратную величину - коэффициент заполнения , от англ, duty cycle , равный т и /7); при q = 2 последовательность прямоугольных импульсов, когда длительности импульсов и промежутков между ними становятся равными, называют меандром (от греч. paiav5poq - узор, геометрический орнамент).

В силу четности функции, описывающей анализируемый сигнал, в ряде Фурье наряду с постоянной составляющей будут присутствовать только косинусоидальные составляющие (2.15):

В правой части формулы (2.22) второй сомножитель имеет вид элементарной функции (sinx)/x. В математике эту функцию обозначают как sinc(x), причем только при значении х = 0 она равна единице (lim (sinx/x) =1), проходит

через нуль в точках х = ±л, ±2л,... и затухает с ростом аргумента х (рис. 2.14). Окончательно тригонометрический ряд Фурье (2.13), который аппроксимирует заданный сигнал, записывают в форме

Рис. 2.14. График функции sinx/x

Функция sine имеет лепестковый характер. Говоря о ширине лепестков, следует подчеркнуть, что для графиков дискретных спектров периодических сигналов возможны два варианта градуировки горизонтальной оси - в номерах гармоник и частотах. Например, на рис. 2.14 градуировка оси ординат соответствует частотам. Ширина лепестков, измеренная в числе гармоник, равна скважности последовательности. Отсюда следует важное свойство спектра последовательности прямоугольных импульсов - в нем отсутствуют (имеют нулевые амплитуды) гармоники с номерами, кратными скважности. При скважности импульсов, равной трем, исчезает каждая третья гармоника. Если бы скважность была бы равна двум, то в спектре остались бы лишь нечетные гармоники основной частоты.

Из формулы (2.22) и рис. 2.14 следует, что коэффициенты ряда высших гармоник сигнала имеют отрицательный знак. Это связано с тем, что начальная фаза этих гармоник равна п. Поэтому формулу (2.22) принято представлять в измененном виде:

При такой записи ряда Фурье значения амплитуд всех высших гармонических составляющих на графике спектральной диаграммы положительны (рис. 2.15, а).

Амплитудный спектр сигнала в значительной степени зависит от отношения периода повторения Т и длительности импульса т и, т.е. от скважности q. Расстояние по частоте между соседними гармониками равно частоте следования импульсов со 1 = 2л/Т. Ширина лепестков спектра, измеренная в единицах частоты, равна 2я/т н, т.е. обратно пропорциональна длительности импульсов. Отметим, что при одной и той же длительности импульса т и с увеличением не-

Рис. 2.15.

а - амплитудный; б - фазовый

риода их повторения Т основная частота со, уменьшается и спектр становится плотнее.

Ту же картину наблюдают, если укорачивают длительность импульса т и при неизменном периоде Т. Амплитуды всех гармоник при этом уменьшаются. Это проявление общего закона (принципа неопределенности В. Гейзенберга - Uncertainty principle)’, чем короче длительность сигнала, тем шире его спектр.

Фазы составляющих определим из формулы ср п = arctg(b n /a n). Так как здесь коэффициенты Ь„ = 0, то

где m = 0, 1, 2,....

Соотношение (2.24) показывает, что при вычислениях фаз спектральных составляющих имеем дело с математической неопределенностью. Для ее раскрытия обратимся к формуле (2.22), согласно которой амплитуды гармоник периодически меняют знак в соответствии с изменением знака функции sin(nco 1 x 1I /2). Изменение знака в формуле (2.22) эквивалентно сдвигу фазы этой функции на п. Следовательно, когда данная функция положительна, фаза гармоники (р и = 2тп, а когда отрицательна - = (2т + 1 )к (рис. 2.15, б). Заметим, что хотя амплитуды составляющих в спектре прямоугольных импульсов и уменьшаются с ростом частоты (см. рис. 2.15, а), этот спад довольно медленный (амплитуды убывают обратно пропорционально частоте). Для передачи таких импульсов без искажений необходима бесконечная полоса частот канала связи. Для сравнительно малозаметных искажений граничное значение полосы частот должно быть во много раз больше значения, обратного длительности импульса. Однако все реальные каналы имеют конечную полосу пропускания, что приводит к искажениям формы переданных импульсов.

Ряды Фурье произвольных периодических сигналов могут содержать бесконечно большое количество членов. При расчетах спектров таких сигналов вычисление бесконечной суммы ряда Фурье вызывает определенные трудности и не всегда требуется, поэтому ограничиваются суммированием конечного количества слагаемых (ряд «усекают»).

Точность аппроксимации сигнала зависит от числа суммируемых составляющих. Рассмотрим это на примере аппроксимации суммой из восьми первых гармоник последовательности прямоугольных импульсов (рис. 2.16). Сигнал имеет вид однополярного меандра с периодом повторения Т у амплитудой Е = 1 и длительностью импульсов т и = Т /2 (заданный сигнал - функция четная - рис. 2.16, а ; скважность q = 2). Аппроксимация показана на рис. 2.16, б, причем на графиках показано число суммируемых гармоник. В проводимой аппроксимации заданного периодического сигнала (см. рис. 2.13) тригонометрическим рядом (2.13) суммирование первой и высших гармоник будет осуществляться только по нечетным коэффициентам Пу так как при четных их значениях и длительности импульса т и = Т /2 = = тт/со, величина sin(mo,T H /2) = sin(wt/2) обращается в нуль.

Тригонометрическая форма ряда Фурье (2.23) для заданного сигнала имеет вид

Рис. 2.16.

а - заданный сигнал; 6 - промежуточные стадии суммирования

Для удобства представления ряд Фурье (2.25) можно записать упрощенно:

Из формулы (2.26) очевидно, что гармоники, аппроксимирующие меандр, нечетны, имеют чередующиеся знаки, а их амплитуды обратно пропорциональны номерам. Отметим, что последовательность прямоугольных импульсов плохо подходит для представления рядом Фурье - аппроксимация содержит пульсации и скачки, а сумма любого числа гармонических составляющих с любыми амплитудами всегда будет непрерывной функцией. Поэтому поведение ряда Фурье в окрестностях разрывов представляет особый интерес. Из графиков рис. 2.16, б нетрудно заметить, как с увеличением числа суммируемых гармоник результирующая функция все точнее приближается к форме исходного сигнала u{t) везде, кроме точек ее разрыва. В окрестности точек разрыва суммирование ряда Фурье дает наклонный участок, причем крутизна наклона результирующей функции возрастает с увеличением числа суммируемых гармоник. В самой точке разрыва (обозначим ее как t = t 0) ряд Фурье u(t 0) сходится к полусумме правого и левого пределов:

На примыкающих к разрыву участках аппроксимируемой кривой сумма ряда дает заметные пульсации, причем на рис. 2.16 видно, что амплитуда основного выброса этих пульсаций не уменьшается с ростом числа суммируемых гармоник - он лишь сжимается по горизонтали, приближаясь к точке разрыва.

При п -? в точках разрыва амплитуда выброса остается постоянной,

а его ширина будет бесконечно узкой. Не изменяются и относительная амплитуда пульсаций (по отношению к амплитуде скачка), и относительное затухание; изменяется только частота пульсаций, которая определяется частотой последних суммируемых гармоник. Это связано со сходимостью ряда Фурье. Обратимся к классическому примеру: достигнете ли вы когда-нибудь стены, если с каждым шагом будете проходить половину оставшегося расстояния? Первый шаг приведет к отметке половины пути, второй - к отметке на трех его четвертях, а после пятого шага пройдете уже почти 97% пути. Вы почти дошли до цели, однако сколько бы вы еще шагов вперед ни сделали, никогда не достигнете ее в строгом математическом смысле. Можно лишь доказать математически, что в конце концов вы сможете приблизиться на любое заданное сколь угодно малое расстояние. Данное доказательство будет эквивалентно демонстрации того, что сумма чисел 1/2,1/4,1/8,1/16 и т.д. стремится к единице. Это явление, присущее всем рядам Фурье для сигналов с разрывами 1-го рода (например, скачками, как на фронтах прямоугольных импульсов), называют эффектом Гиббса *. При этом значение первого (самого большого) выброса амплитуды в аппроксимируемой кривой составляет около 9% уровня скачка (см. рис. 2.16, п = 4).

Эффект Гиббса приводит к неустранимой погрешности аппроксимации периодических импульсных сигналов с разрывами 1-го рода. Эффект имеет место при резких нарушениях монотонности функций. На скачках эффект максимален, во всех других случаях амплитуда пульсаций зависит от характера нарушения монотонности. Для ряда практических приложений эффект Гиббса вызывает определенные проблемы. Например, в звуковоспроизводящих системах это явление называют «звоном» или «дребезгом». При этом каждый резкий согласный или другой внезапный звук может сопровождаться коротким неприятным для слуха звуком.

Ряд Фурье может быть применен не только для периодических сигналов, но и для сигналов конечной длительности. При этом оговаривается времен-

ной интервал, для которого строится ряд Фурье, а в остальные моменты времени сигнал считается равным нулю. Для расчета коэффициентов ряда такой подход означает периодическое продолжение сигнала за границами рассматриваемого интервала.

Отметим, что и природа (например, слух человека) использует принцип гармонического анализа сигналов. Виртуальное преобразование Фурье человек производит всякий раз, когда слышит звук: ухо автоматически выполняет это, представляя звук в виде спектра последовательных значений громкости для тонов различной высоты. Мозг человека превращает эту информацию в воспринимаемый звук.

Гармонический синтез. В теории сигналов наряду с гармоническим анализом сигналов широко используют гармонический синтез - получение заданных колебаний сложной формы путем суммирования ряда гармонических составляющих их спектра. По существу выше был проведен синтез периодической последовательности прямоугольных импульсов суммой из ряда гармоник. На практике эти операции выполняют на компьютере, как это показано на рис. 2.16, б.

• Жан Батист Жозеф Фурье (J. В. J. Fourier; 1768-1830) - французский математик и физик.
• Джозайя Гиббс (J. Gibbs, 1839-1903) - американский физик и математик, один из основоположников химической термодинамики и статистической физики.

Формы записи ряда Фурье. Сигнал называется пери­одическим, если его форма циклически повторяется во времени Периодический сигнал u(t) в общем виде записывается так:

u(t)=u(t+mT), m=0, ±1,±2,…

Здесь Т-период сигнала. Периодические сигналы могут быть как простыми, так и сложными.

Для математического представления периодических сигналоа с периодом Т часто пользуются рядом (2.2), в котором как ба­зисные функции выбираются гармонические (синусоидальные и косинусоидальные) колебания кратных частот

y 0 (t)=1; y 1 (t)=sinw 1 t; y 2 (t)=cosw 1 t;

y 3 (t)=sin2w 1 t; y 4 (t)=cos2w 1 t; …,(2.3)

где w 1 =2p/T- основная угловая частота последовательности

функций. При гармонических базисных функциях из ряда (2.2) получаем ряд Фурье (Жан Фурье - французский математик и фи­зик XIX века).

Гармонические функции вида (2.3) в ряде Фурье имеют сле­дующие преимущества: 1) простое математическое описание; 2) инвариантность к линейным преобразованиям, т. е. если на входе линейной цепи действует гармоническое колебание, то и на выходе ее также будет гармоническое колебание, отличающееся от входного только амплитудой и начальной фазой; 3) как и сиг­нал, гармонические функции периодические и имеют бесконечную длительность; 4) техника генерирования гармонических функций достаточно проста.

Из курса математики известно, что для разложения периоди­ческого сигнала в ряд по гармоническим функциям (2.3) необхо­димо выполнение условий Дирихле. Но все реальные периодичес­кие сигналы этим условиям удовлетворяют и их можно предста­вить в виде ряда Фурье, который может быть записан в одной из следующих форм:

u(t)=A 0 /2+ (A’ mn cosnw 1 t+A” mn nw 1 t), (2.4)

где коэффициенты

A mn ”= (2.5)

u(t)=A 0 /2+ (2.6)

A mn = (2.7)

или в комплексной форме

u(t)= (2.8)

C n = (2.9)

Из (2.4) - (2.9) следует, что в общем случае периодический сигнал u(t) содержит постоянную составляющую A 0 /2и набор гармонических колебаний основной частоты w 1 =2pf 1 и ее гармоник с частотами w n =nw 1 , n=2,3,4,… Каждое из гармонических

колебаний ряда Фурье характеризуется амплитудойи начальной фазой y n .nn

Спектральная диаграмма и спектр периодиче­ского сигнала. Если какой-либо сигнал представлен в виде суммы гармонических колебаний с разными частотами, то гово­рят, что осуществлено спектральное разложение сигнала.

Спектральной диаграммой сигнала принято называть графиче­ское изображение коэффициентов ряда Фурье этого сигнала. Раз­личают амплитудные и фазовые диаграммы. На рис. 2.6 в неко­тором масштабе по горизонтальной оси отложены значения час­тот гармоник, по зертикальной оси - их амплитуды A mn и фазы y n . Причем амплитуды гармоник могут принимать только поло­жительные значения, фазы - как положительные, так и отрица­тельные значения в интервале -p£y n £p

Спектр сигнала - это совокупность гармонических составляю­щих с конкретными значениями частот, амплитуд и начальных фаз, образующих в сумме сигнал. В технических приложениях на практике спектральные диаграммы называют более кратко - ам­плитудный спектр, фазовый спектр. Чаще всего интересуются ам­плитудной спектральной диаграммой. По ней можно оценить про­центное содержание гармоник в спектре.

Пример 2.3. Разложить в ряд Фурье периодическую последовательность прямоугольных видеоимпульсов с известными параметрами (U m , T, t z), четную "Относительно точки t=0. Построить спектральную диаграмму амплитуд и фаз при U m =2B, T=20мс, S=T/t и =2 и 8.

Заданный периодический сигнал на интервале одного периода можно запи­сать как

Воспользуемся для представления этого сигнала формой записи ряда Фурье в виде (2.4). Так как сигнал четный, то в разложении останутся только косинусоидальные составляющие.

Рис. 2.6. Спектральные диаграммы периодического сигнала:

а - амплитудная; б - фазoвая

Интеграл от нечетной функции за период равеy нулю. По формулам (2.5) находим коэффициенты

позволяющие записать ряд Фурье:

Для построения спектральных диаграмм при конкретных числовых данных задаемся я=0, 1, 2, 3, ... и вычисляем коэффициенты гармоник. Результаты расчета первых восьми составляющих спектра сведены в табл. 2.1. В ряде (2.4) А" mn =0 и согласно (2.7) A mn =|A’ mn |, основная частота f 1 =1/T= 1/20-10 -3 =50 Гц, w 1 =2pf 1 =2p*50=314рад/с. Амплитудный спектр на рис.

2.7 построен для таких n, при которых А mn больше 5% максимального зна­чения.

Из приведенного примера 2.3 следует, что с увеличением скваж­ности увеличивается число спектральных составляющих и умень­шаются их амплитуды. Говорят, что такой сигнал обладает бога­тым спектром. Необходимо отметить, что для многих практиче­ски применяемых сигналов нет необходимости проводить вычисление амплитуд и фаз гармоник по приведенным ранее форму­лам.

Таблица 2.1. Амплитуды составляющих ряда Фурье периодической последова­тельности прямоугольных импульсов

Рис. 2.7. Спектральные диаграммы периодической последовательности импуль­сов: а -при скважности S-2; - б-при скважности S=8

В математических справочниках имеются таблицы разложе­ний сигналов в ряд Фурье. Одна из таких таблиц приведена в приложении (табл. П.2).

Часто возникает вопрос: сколько же взять спектральных со-ставляющих (гармоник), чтобы представить реальный сигнал ря­дом Фурье? Ведь ряд-то, строго говоря, бесконечный. Однознач­ного ответа здесь нельзя дать. Все зависит от формы сигнала и точности его представления рядом Фурье. Более плавное измене­ние сигнала - меньше требуется гармоник. Если сигнал имеет скачки (разрывы), то необходимо суммировать большее число гармоник для достижения такой же погрешности. Однако во мно­гих случаях, например в телеграфии, считают, что и для пере­дачи прямоугольных импульсов с крутыми фронтами достаточно трех гармоник.

В прошлом веке Иван Бернулли, Леонард Эйлер, а затем и Жан-Батист Фурье впервые применили представление периодических функций тригонометрическими рядами. Это представление изучается достаточно подробно в других курсах, поэтому напомним только основные соотношения и определения.

Как уже отмечалось выше, всякую периодическую функцию u(t) , для которой выполняется равенство u(t)=u(t+T) , где T=1/F=2p/W , можно представить рядом Фурье:

Каждое слагаемое этого ряда можно разложить по формуле косинуса для разности двух углов и представить в виде двух слагаемых:

,

где: A n =C n cosφ n , B n =C n sinφ n , так что , а

Коэффициенты А n и В n определяются по формулам Эйлера:

;
.

При n=0 :

а B 0 =0.

Коэффициенты А n и В n , являются средними значениями произведе­ния функции u(t) и гармонического колебания с частотой nw на интервале длительностью Т . Мы уже знаем (раздел 2.5), что это функции взаимной корреляции, определяющие меру их связи. Следовательно, коэффициенты A n и B n показывают нам "сколько" синусоиды или косинусоиды с час­тотой nW содержится в данной функции u(t) , разлагаемой в ряд Фурье.

Таким образом, мы можем представить периодическую функцию u(t) в виде суммы гармонических колебаний, где числа C n являются амплитудами, а числа φ n - фазами. Обычно в литературе называется спектром амплитуд, а - спектром фаз. Часто рассматривается только спектр амплитуд, который изображается в виде линий, расположенных в точках nW на оси частот и имеющих высоту, соответствующую числу C n . Однако следует пом­нить, что для получения однозначного соответствия между времен­ной функцией u(t) и её спектром необходимо использовать и спектр амплитуд, и спектр фаз. Это видно из такого простого примера. У сигналов и будет одинаковый спектр амплитуд, но совершенно разный вид временных функций.

Дискретный спектр может иметь не только периодическая функция. Например, сигнал: не является периодическим, но имеет дискретный спектр, состоящий из двух спектральных линий. Также не будет строго периодическим сигнал, состоящий из последовательности радиоимпульсов (импульсов с высокочастотным заполнением), у которых период следования постоянен, но начальная фаза высокочастотного заполнения меняется от импульса к импульсу по какому-либо закону. Такие сигналы называются почти периодическими. Как мы увидим в дальнейшем, они также имеют дискретный спектр. Исследование физической природы спектров таких сигналов, мы будем выполнять так же, как и периодических.