통합 변수를 대체하는 규칙입니다. 변수방식 변경에 의한 통합

~에 이번 수업우리는 부정 적분을 풀 때 사용되는 가장 중요하고 가장 일반적인 기술 중 하나인 변수 방법 변경에 대해 알게 될 것입니다. 자료를 성공적으로 숙달하려면 초기 지식과 통합 기술이 필요합니다. 적분 미적분학에서 텅 빈 주전자 같은 느낌이 든다면 먼저 자료에 익숙해져야 합니다. 여기서는 적분이 무엇인지 접근 가능한 형식으로 설명하고 초보자를 위한 기본 예를 자세히 분석했습니다.

기술적으로, 부정적분에서 변수를 변경하는 방법은 두 가지 방법으로 구현됩니다.

– 미분 부호 아래에 함수를 포함;
– 실제로 변수를 교체.

본질적으로 이들은 동일하지만 솔루션의 디자인은 다르게 보입니다.

더 간단한 사례부터 시작해 보겠습니다.

미분 부호 아래에 함수를 포함

수업에서 무기한 적분. 솔루션의 예우리는 차동 장치를 여는 방법을 배웠습니다. 제가 제시한 예를 상기시켜 드리겠습니다.

즉, 미분을 밝히는 것은 공식적으로 미분을 찾는 것과 거의 동일합니다.

실시예 1

점검을 수행하십시오.

적분표를 보고 비슷한 공식을 찾습니다. . 하지만 문제는 사인 아래에 문자 "X"뿐만 아니라 복잡한 표현. 무엇을 해야 할까요?

우리는 함수를 미분 기호 아래로 가져옵니다.

차동 장치를 열면 다음 사항을 쉽게 확인할 수 있습니다.

사실 그리고 같은 내용을 녹음한 것입니다.

그러나 그럼에도 불구하고 첫 번째 단계에서 적분을 정확히 다음과 같이 작성해야 한다는 생각을 어떻게 갖게 되었는지에 대한 질문은 남아 있습니다. ? 왜 이것이고 그렇지 않은가?

공식 (및 기타 모든 테이블 수식)은 변수뿐만 아니라 함수 인수로만 복잡한 표현식에도 유효하고 적용 가능합니다.( – 이 예에서는) 그리고 미분 기호 아래의 표현은 다음과 같습니다. 똑같다 .

그러므로 문제를 풀 때 정신적 추론은 다음과 같아야 합니다. “적분을 풀어야 해요. 표를 보다가 비슷한 공식을 발견했어요 . 하지만 논쟁이 복잡해서 공식을 즉시 사용할 수 없습니다. 그러나 차등 기호 아래로 가져오면 모든 것이 잘 될 것입니다. 적어보면 그렇죠. 하지만 원래 적분에는 3인자가 없으므로 피적분 함수가 변경되지 않도록 하려면 "를 곱해야 합니다. 대략적인 정신적 추론 과정에서 다음 항목이 탄생합니다.

이제 표 형식 수식을 사용할 수 있습니다. :

준비가 된

유일한 차이점은 문자 "X"가 없고 복잡한 표현이 있다는 것입니다.

점검 해보자. 파생상품 표를 열고 답을 차별화하세요.

원래의 적분 함수를 얻었습니다. 이는 적분이 올바르게 발견되었음을 의미합니다.

검증 과정에서 우리는 복잡한 기능을 구별하기 위한 규칙을 사용했습니다. . 본질적으로, 미분 부호 아래에 함수를 포함시키고 - 이것은 서로 반대되는 두 가지 규칙입니다..

실시예 2

피적분 함수를 분석해 보겠습니다. 여기에는 분수가 있고 분모는 선형 함수입니다("x"의 1제곱). 적분표를 보고 가장 유사한 것을 찾습니다. .

우리는 함수를 미분 기호 아래로 가져옵니다.

어떤 분수를 곱해야 할지 즉시 파악하기 어려운 사람들은 초안에서 미분을 신속하게 공개할 수 있습니다. 예, 이것은 아무것도 변경하지 않으려면 적분에 를 곱해야 한다는 것을 의미합니다.
다음으로 우리는 표 형식을 사용합니다 :

시험:

원래의 적분 함수를 얻었습니다. 이는 적분이 올바르게 발견되었음을 의미합니다.

실시예 3

부정적분을 구합니다. 점검을 수행하십시오.

실시예 4

부정적분을 구합니다. 점검을 수행하십시오.

이는 다음에 대한 예입니다. 독립적인 결정. 답은 강의 마지막 부분에 있습니다.

적분을 푸는 데 약간의 경험이 있으면 이러한 예는 쉬워 보이고 미친 듯이 클릭될 것입니다.

이 섹션의 마지막 부분에서는 선형 함수에서 변수가 단위 계수와 함께 입력되는 "자유" 사례에 대해서도 설명하고 싶습니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

엄밀히 말하면 솔루션은 다음과 같아야 합니다.

보시다시피 미분 기호 아래에 함수를 포함시키는 것은 곱셈 없이 "쉽게" 이루어졌습니다. 따라서 실제로 이러한 긴 솔루션은 종종 무시되고 즉시 다음과 같이 기록됩니다. . 하지만 필요하다면 선생님에게 문제를 어떻게 해결했는지 설명할 준비를 하세요! 실제로 테이블에는 적분이 없기 때문입니다.

부정적분의 변수 변경 방법

무한 적분에서 변수를 변경하는 방법인 일반적인 경우를 고려해 보겠습니다.

실시예 5

부정적분을 구합니다.

예를 들어, 수업 초반에 살펴본 적분을 사용했습니다. 우리가 이미 말했듯이 적분을 풀기 위해 우리는 표 형식을 좋아했습니다. , 그리고 나는 모든 문제를 그녀에게 맡기고 싶습니다.

교체 방법의 기본 아이디어는 다음과 같습니다. 복잡한 표현식(또는 일부 함수)을 단일 문자로 대체.
이 경우 다음과 같이 간청합니다.
두 번째로 많이 사용되는 대체 문자는 문자입니다.
원칙적으로 다른 문자를 사용할 수 있지만 우리는 여전히 전통을 고수할 것입니다.

그래서:
하지만 교체하면 ! 아마도 많은 사람들은 새로운 변수로 전환이 이루어지면 새로운 적분에서 모든 것이 문자를 통해 표현되어야 하며 거기에는 미분을 위한 자리가 전혀 없다고 추측했을 것입니다.
논리적 결론은 필요하다는 것입니다. 에만 의존하는 표현으로 바꾸십시오..

작업은 다음과 같습니다. 교체품을 선택한 후, 이 예에서는. ..차이점을 찾아야 합니다. 차이가 있어서 다들 이미 우정을 쌓은 것 같아요.

그때부터

차동 장치를 분해한 후 최종 결과를 최대한 간략하게 다시 작성하는 것이 좋습니다.
이제 비례의 법칙에 따라 우리에게 필요한 것을 표현합니다.

결국:
따라서:

그리고 이것은 이미 가장 표 형식의 적분입니다. (물론 적분표는 변수에도 유효합니다).

마지막으로 남은 것은 역 교체를 수행하는 것입니다. 그것을 기억합시다.

준비가 된.

고려된 예제의 최종 디자인은 다음과 같아야 합니다.

“

다음을 바꾸자:

“

아이콘에는 수학적 의미가 없으며 중간 설명을 위해 솔루션을 중단했음을 의미합니다.

노트에 예제를 준비할 때는 간단한 연필로 역대체를 표시하는 것이 좋습니다.

주목!다음 예에서는 차이를 찾는 방법에 대해 자세히 설명하지 않습니다.

이제 첫 번째 해결책을 기억할 차례입니다.

차이점은 무엇입니까? 근본적인 차이는 없습니다. 실제로 같은 것입니다. 그러나 작업을 설계하는 관점에서 미분 부호에 함수를 포함시키는 방법은 훨씬 더 짧습니다..

질문이 생깁니다. 첫 번째 방법이 더 짧다면 대체 방법을 사용하는 이유는 무엇입니까? 사실은 많은 적분의 경우 함수를 미분의 부호에 "맞추는" 것이 그리 쉽지 않다는 것입니다.

실시예 6

부정적분을 구합니다.

대체품을 만들어 보겠습니다. (여기서는 다른 대체품을 생각하기 어렵습니다.)

보시다시피 교체 결과 원래 적분은 상당히 단순화되어 일반 전력 함수로 축소되었습니다. 이것이 대체의 목적입니다. 적분을 단순화하는 것입니다..

게으른 고급 사람들은 함수를 미분 부호 아래에 포함시켜 이 적분을 쉽게 풀 수 있습니다.

또 다른 점은 그러한 솔루션이 분명히 모든 학생에게 적용되는 것은 아니라는 것입니다. 또한, 이 예에서는 이미 미분 부호 아래에 함수를 포함하는 방법을 사용했습니다. 결정에 혼란을 줄 위험이 크게 증가합니다..

실시예 7

부정적분을 구합니다. 점검을 수행하십시오.

실시예 8

부정적분을 구합니다.

대사:
과연 어떻게 변할지 지켜봐야 할 것 같습니다

자, 표현은 끝났습니다. 그런데 분자에 남은 “X”는 어떻게 해야 할까요?!
때때로 적분을 풀 때 다음과 같은 트릭에 직면하게 됩니다. 동일한 대체에서 표현합니다!

실시예 9

부정적분을 구합니다.

이것은 스스로 해결하는 예입니다. 답은 강의 마지막 부분에 있습니다.

실시예 10

부정적분을 구합니다.

확실히 어떤 사람들은 내 조회 테이블에 변수 대체 규칙이 없다는 것을 알아차렸습니다. 이것은 의도적으로 수행되었습니다. 이 규칙은 위의 예에서 명시적으로 나타나지 않기 때문에 설명과 이해에 혼란을 야기할 수 있습니다.

이제 변수 대체 방법을 사용하는 기본 전제에 대해 이야기할 시간입니다. 피적분 함수에는 일부 함수와 그 파생물이 포함되어야 합니다.(제품에 기능이 없을 수도 있습니다)

이런 점에서 적분을 구할 때 미분표를 살펴봐야 하는 경우가 많습니다.

고려중인 예에서 분자의 차수가 분모의 차수보다 1 작다는 것을 알 수 있습니다. 도함수 표에서 차수를 1만큼 줄이는 공식을 찾을 수 있습니다. 그리고 이는 이를 분모로 지정하면 분자가 좋은 것으로 바뀔 가능성이 높다는 것을 의미합니다.

무한 적분에서 변수를 변경하는 방법인 일반적인 경우를 고려해 보겠습니다.

실시예 5

예를 들어, 수업 초반에 살펴본 적분을 생각해 봅시다. 우리가 이미 말했듯이 적분을 풀기 위해 우리는 표 형식을 좋아했습니다. ,

그리고 나는 모든 문제를 그녀에게 맡기고 싶습니다.

교체 방법의 기본 아이디어는 다음과 같습니다. 복잡한 표현식(또는 일부 함수)을 단일 문자로 바꿉니다.

이 경우 다음과 같이 간청합니다.

대체할 두 번째로 가장 인기 있는 문자는 문자입니다. 지. 원칙적으로 다른 문자를 사용할 수 있지만 우리는 여전히 전통을 고수할 것입니다.

하지만 교체할 때 우리는 dx! 아마도 많은 사람들이 새로운 변수로의 전환이 이루어지면 티, 그러면 새로운 적분에서는 모든 것이 문자로 표현되어야 합니다. 티및 미분 dx전혀 자리가 없습니다. 논리적인 결론은 dx필요하다 에만 의존하는 표현으로 바꾸십시오.티.

작업은 다음과 같습니다. 이 예에서는 대체품을 선택한 후 차등을 찾아야 합니다. dt.

이제 비례의 법칙에 따라 다음과 같이 표현합니다. dx:

따라서:

그리고 이것은 이미 가장 표 형식의 적분입니다.

(적분표는 물론 변수에도 유효합니다. 티).

마지막으로 남은 것은 역 교체를 수행하는 것입니다. 그것을 기억합시다.

고려된 예제의 최종 디자인은 다음과 같아야 합니다.

교체를 해보자: , 그런 다음

아이콘에는 수학적 의미가 없으며 중간 설명을 위해 솔루션을 중단했음을 의미합니다.

노트에 예제를 준비할 때는 간단한 연필로 역대체를 표시하는 것이 좋습니다.

주목!다음 예에서는 새로운 변수의 미분을 구하는 방법에 대해 자세히 설명하지 않습니다.

첫 번째 해결 방법을 기억하세요.

차이점은 무엇입니까? 근본적인 차이는 없습니다. 실제로 같은 것입니다.

그러나 작업을 설계하는 관점에서 볼 때 함수를 미분 부호에 포함시키는 방법은 훨씬 더 짧습니다.

실시예 6

부정적분을 구합니다.

다음을 바꾸자:

;

게으른 고급 사람들은 함수를 미분 부호 아래에 포함시켜 이 적분을 쉽게 풀 수 있습니다.

실시예 7

부정 적분 찾기

점검을 수행하십시오.

실시예 8

부정적분을 구합니다.

해결책:우리는 다음을 교체합니다: .

과연 어떻게 변할지 지켜봐야 할 것 같습니다 xdx? 때때로 적분을 풀 때 다음과 같은 트릭이 나타납니다. 엑스우리는 동일한 교체로 표현할 것입니다:

실시예 9

부정적분을 구합니다.

이것은 스스로 해결하는 예입니다. 답은 강의 마지막 부분에 있습니다.

실시예 10

부정적분을 구합니다.

확실히 어떤 사람들은 조회 테이블에 변수 대체 규칙이 없다는 것을 알아차렸습니다. 이것은 의도적으로 수행되었습니다. 이 규칙은 위의 예에서 명시적으로 나타나지 않기 때문에 설명과 이해에 혼란을 야기할 수 있습니다.

이제 변수 대체 방법을 사용하는 기본 전제에 대해 이야기할 시간입니다. 피적분 함수는 어떤 함수를 포함해야 합니다 그리고 그 파생물. 예를 들어, : .

에프기능이 작업에 없을 수도 있지만 다른 조합으로 있을 수도 있습니다.

이런 점에서 적분을 구할 때 미분표를 살펴봐야 하는 경우가 많습니다.

고려 중인 예제 10에서는 분자의 차수가 분모의 차수보다 1 작다는 것을 알 수 있습니다. 도함수 표에서 차수를 1만큼 줄이는 공식을 찾을 수 있습니다. 그리고 이는 다음과 같이 지정하면 의미합니다. 티분모이면 분자가 xdx뭔가 좋은 것으로 바뀔 것입니다:

대사: .

그건 그렇고, 미분 기호 아래에 함수를 포함시키는 것은 그리 어렵지 않습니다.

와 같은 분수의 경우 이 트릭은 더 이상 작동하지 않는다는 점에 유의해야 합니다(더 정확하게는 대체 기술뿐만 아니라 적용도 필요합니다).

수업 시간에 일부 분수를 통합하는 방법을 배울 수 있습니다. 복소수 통합하기. 다음은 동일한 방법을 직접 해결하기 위한 몇 가지 일반적인 예입니다.

실시예 11

부정 적분 찾기

실시예 12

부정 적분 찾기

수업이 끝나면 솔루션이 제공됩니다.

실시예 13

부정 적분 찾기

미분표를 보고 아크코사인을 찾습니다. , 우리의 적분에는 아크코사인과 그 파생물과 유사한 것이 있기 때문입니다.

일반 규칙:

뒤에 티우리는 함수 자체를 나타냅니다(그리고 그 파생물이 아닙니다).

이 경우: . 피적분함수의 나머지 부분이 무엇으로 바뀔지 알아내는 것이 남아 있습니다.

이 예에서는 다음을 찾습니다. 디 티 복잡한 함수이므로 자세히 적어 보겠습니다.

또는 짧게 말하면:

비례 법칙을 사용하여 필요한 나머지를 표현합니다. .

따라서:

실시예 14

부정적분을 구합니다.

독립적인 솔루션의 예입니다. 대답은 매우 가깝습니다.

주의 깊은 독자라면 우리가 삼각함수에 관한 몇 가지 예를 고려했다는 것을 알아차렸을 것입니다. 그리고 이것은 우연이 아닙니다. 삼각 함수의 적분 7.1.5, 7.1.6, 7.1.7에 별도의 수업이 배정되어 있습니다. 더욱이, 다음은 변수 교체에 대한 몇 가지 유용한 지침입니다. 이는 특정 적분에서 어떤 종류의 교체가 이루어져야 하는지 항상 이해하지 못하고 즉시 이해하지 못하는 인형에게 특히 중요합니다. 또한 일부 대체 유형은 기사 7.2에서 찾을 수 있습니다.

경험이 많은 학생들은 일반적인 교체 방법에 익숙해질 수 있습니다. 비합리적 함수와 적분

예 12: 해결책:

다음을 바꾸자:

예 14: 해결책:

다음을 바꾸자:

2. 변수 치환(대체 방법)

대체 방법의 본질은 새로운 변수를 도입한 결과, 주어진 어려운적분은 표 형식 또는 계산 방법이 알려진 것으로 축소됩니다.

적분을 계산해야 합니다. 두 가지 대체 규칙이 있습니다.

기능 선택을 위한 일반 규칙
존재하지 않지만 함수 선택에 대한 권장 사항이 있는 여러 유형의 피적분 함수가 있습니다.
.

결과를 얻을 때까지 변수 대체를 여러 번 적용할 수 있습니다.

예시 1. 적분을 찾으세요:

ㅏ)
; 비)
; V)
;

G)
; 디)
; 이자형)
.

해결책.

a) 테이블 적분 중에는 다양한 정도의 근수가 없으므로 우선 "제거하고 싶습니다"
그리고
. 이렇게 하려면 교체해야 합니다. 엑스두 근을 쉽게 추출할 수 있는 표현:

b) 지수 함수를 "제거"하려는 욕구가 있는 경우의 전형적인 예
. 하지만 이 경우 분수 분모의 전체 표현식을 새 변수로 사용하는 것이 더 편리합니다.

;

c) 분자에 곱이 포함되어 있음을 알아차림
는 근호 표현식의 미분의 일부이며 이 전체 표현식을 새 변수로 바꿉니다.

;

d) 여기서는 a)의 경우와 마찬가지로 근수를 제거하고 싶습니다. 그러나 a) 지점과 달리 루트는 하나만 있으므로 이를 새 변수로 대체합니다.

e) 여기서 두 가지 상황이 대체 선택에 기여합니다. 한편으로는 로그를 제거하려는 직관적인 욕구이고 다른 한편으로는 표현의 존재입니다. , 이는 함수의 미분입니다.
. 그러나 이전 예와 마찬가지로 대체에 로그와 함께 제공되는 상수를 포함하는 것이 좋습니다.

f) 이전 예에서와 같이 여기에서 피적분 함수의 번거로운 지수를 제거하려는 직관적인 욕구는 잘 알려진 사실과 일치합니다.
(표 3의 공식 8). 그러므로 우리는:

일부 함수 클래스의 변수 교체

특정 대체가 권장될 수 있는 일부 함수 클래스를 살펴보겠습니다.

표 4.유리함수

적분 유형	통합 방법
1.1.
1.2.
1.3.	완전한 정사각형 선택:
1.4.	반복 공식

초월적 기능:

1.5.
– 대체 티 = 이자형 엑스 ;

1.6.
– 대체 티=로그 ㅏ 엑스.

예시 2.유리 함수의 적분 찾기:

ㅏ)
; 비)
;

V)
; 디)
.

해결책.

a) 변수 변경을 사용하여 이 적분을 계산할 필요가 없습니다. 여기서는 미분 기호 아래에 대체를 사용하는 것이 더 쉽습니다.

b) 마찬가지로 미분 부호 아래에 포함을 사용합니다.

;

c) 표 4의 유형 1.3을 통합하기 전에 해당 권장 사항을 사용합니다.

e) 이전 예와 유사합니다.

예시 3.적분 찾기

ㅏ)
; 비)
.

해결책.

b) 피적분 함수에는 로그가 포함되어 있으므로 권장 사항 1.6을 사용합니다. 이 경우에만 기능만 교체하는 것이 아니라 교체하는 것이 더 편리합니다.
, 전체 급진적 표현은 다음과 같습니다.

표 6. 삼각함수 (아르 자형

적분 유형	통합 방법
3.1.	보편적인 대체 , , ,
3.1.1. , 만약에	치환
3.1.2. , 만약에	치환 .
3.1.3. . , 만약에 (즉, 함수의 등급은 짝수뿐입니다. )	치환
3.2.	만약에 – 홀수이면 3.1.1을 참조하십시오. 만약에 – 홀수이면 3.1.2를 참조하십시오. 만약에 - 그렇다면 3.1.3을 참조하세요. 만약에 – 심지어 그런 다음 학위를 줄이는 공식을 사용하십시오. ,
3.3. , ,	수식 사용

예시 4.적분을 찾으세요:

ㅏ)
; 비)
; V)
; 디)
.

해결책.

a) 여기서는 삼각함수를 통합합니다. 보편적인 대체를 적용해 보겠습니다(표 6, 3.1).

b) 여기서는 보편적인 대체도 적용합니다.

고려된 적분에서는 변수 변경이 두 번 적용되어야 했습니다.

c) 비슷하게 계산합니다.

e) 이 적분을 계산하는 두 가지 방법을 고려해 보겠습니다.

보시다시피, 우리는 다양한 기본 기능을 얻었습니다. 이는 사용된 기술 중 하나가 잘못된 결과를 가져온다는 의미는 아닙니다. 사실은 반각의 탄젠트와 전체각의 삼각 함수를 연결하는 잘 알려진 삼각법 항등식을 사용하여 다음과 같습니다.

따라서 발견된 역도함수는 서로 일치합니다.

실시예 5.적분을 찾으세요:

ㅏ)
; 비)
; V)
; G)
.

해결책.

a) 이 적분에서 우리는 또한 보편적 치환을 적용할 수 있습니다
, 그러나 피적분 함수에 포함된 코사인은 균등한 거듭제곱이므로 표 6의 단락 3.1.3의 권장 사항을 사용하는 것이 더 합리적입니다.

b) 먼저 피적분 함수에 포함된 모든 삼각 함수를 하나의 인수로 줄여보겠습니다.

결과 적분에서 우리는 보편적 대체를 적용할 수 있지만 사인과 코사인의 부호가 변경될 때 피적분 함수의 부호는 변경되지 않습니다.

결과적으로 함수는 표 6의 단락 3.1.3에 지정된 속성을 가지므로 가장 편리한 대체는 다음과 같습니다.
. 우리는:

c) 주어진 피적분 함수에서 코사인의 부호가 변경되면 전체 함수의 부호가 변경됩니다.

이는 피적분 함수가 단락 3.1.2에 설명된 속성을 가지고 있음을 의미합니다. 따라서 대체를 사용하는 것이 합리적입니다.
. 하지만 먼저 이전 예에서와 같이 피적분 함수를 변환합니다.

d) 주어진 피적분함수에서 사인의 부호가 변경되면 전체 함수의 부호가 변경됩니다. 이는 표 6의 단락 3.1.1에 설명된 경우가 있음을 의미하므로 새 변수를 함수로 지정해야 합니다.
. 그러나 피적분 함수에는 함수가 존재하지 않기 때문에
, 미분도 아니고 먼저 다음을 변환합니다.

실시예 6.적분을 찾으세요:

ㅏ)
; 비)
;

V)
G)
.

해결책.

a) 이 적분은 표 6의 유형 3.2의 적분을 나타냅니다. 사인은 홀수 거듭제곱이므로 권장 사항에 따라 함수를 대체하는 것이 편리합니다.
. 하지만 먼저 피적분 함수를 변환합니다.

b) 이 적분은 이전 적분과 동일한 유형이지만 여기서는 함수
그리고
학위가 짝수이므로 학위 감소 공식을 적용해야 합니다.
,
. 우리는 다음을 얻습니다:

c) 함수를 변환합니다.

d) 표 6의 권장사항 3.1.3에 따르면, 이 적분에서는 다음을 교체하는 것이 편리합니다.
. 우리는 다음을 얻습니다:

표 5.불합리한 함수 (아르 자형– 인수의 합리적 기능)

적분 유형	통합 방법
	치환 , 어디 케이 – 분수의 공통분모 …, .
	치환 , 어디 케이–분수의 공통분모 …,
2.3.	치환, , 어디 케이– 지수 분수의 공통 분모 …,
2.4.	치환 .
2.5.	치환 ,
2.6.	치환 , .
2.7.	치환 , .
2.8. (미분 이항)은 세 가지 경우에만 통합됩니다. ㅏ) 아르 자형– 정수(대체 엑스 = 티 케이, 어디 케이– 분수의 공통 분모 티그리고 피); 비) – 전체(대체 = 티 케이, 어디 케이– 분수의 분모 아르 자형); V) – 전체(대체 = 티 케이, 어디 케이– 분수의 분모 아르 자형).

실시예 7.적분을 찾으세요:

ㅏ)
; 비)
; V)
.

해결책.

a) 이 적분은 유형 2.1의 적분으로 분류될 수 있으므로 적절하게 대입해 보겠습니다. 이 경우 교체의 포인트는 비합리성을 제거하는 것임을 기억하자. 그리고 이는 근호 표현이 적분 아래의 모든 근이 추출되는 새로운 변수의 거듭제곱으로 대체되어야 함을 의미합니다. 우리의 경우에는 분명하다 :

적분 하에서 우리는 부적절한 유리 분수를 얻습니다. 이러한 부분을 통합하려면 우선 전체 부분을 분리해야 합니다. 그럼 분자를 분모로 나누어 보겠습니다.

그러면 우리는 얻는다
, 여기에서

무기한 적분에서 변수의 변화는 함수 중 하나가 다른 함수의 도함수인 적분을 찾는 데 사용됩니다. 적분 $ \int f(x) dx $가 있다고 가정하고, 대체 $ x=\phi(t) $를 만들어 보겠습니다. $ \phi(t) $ 함수는 미분 가능하므로 $ dx = \phi"(t) dt $를 찾을 수 있습니다.

이제 $ \begin(vmatrix) x = \phi(t) \\ dx = \phi"(t) dt \end(vmatrix) $를 적분에 대체하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

$$ \int f(x) dx = \int f(\phi(t)) \cdot \phi"(t) dt $$

이것은 부정 적분에서 변수를 변경하는 공식.

변수 대체 방법의 알고리즘

따라서 문제에 다음 형식의 적분이 주어지면: $$ \int f(\phi(x)) \cdot \phi"(x) dx $$ 변수를 새 변수로 바꾸는 것이 좋습니다: $$ t = \phi(x) $ $ $$ dt = \phi"(t) dt $$

그 후, 적분은 기본 적분 방법으로 쉽게 취할 수 있는 형태로 표시됩니다: $$ \int f(\phi(x)) \cdot \phi"(x) dx = \int f(t) dt $$

대체된 변수를 $x$로 다시 반환하는 것도 잊지 마세요.

솔루션의 예

실시예 1
변수 변경 방법을 사용하여 부정 적분을 구합니다. $$ \int e^(3x) dx $$
해결책
적분의 변수를 $ t = 3x, dt = 3dx $로 대체합니다. $$ \int e^(3x) dx = \int e^t \frac(dt)(3) = \frac(1)(3) \int e^t dt = $$ 지수의 적분은 적분표에 따르면 여전히 동일하지만 $ x $ 대신 $ t $로 작성됩니다. $$ = \frac(1)(3) e^t + C = \frac(1)(3) e^(3x) + C $$ 문제를 해결할 수 없다면 저희에게 보내주세요. 상세한 솔루션을 제공해드리겠습니다. 계산 진행 상황과 이득 정보를 볼 수 있습니다. 이렇게 하면 적시에 선생님으로부터 성적을 받는 데 도움이 될 것입니다!
답변
$$ \int e^(3x) dx = \frac(1)(3) e^(3x) + C $$

직접 적분으로 주어진 적분을 계산합니다.

항상 성공하는 것은 아닙니다. 가장 효과적인 기술 중 하나

통합 변수를 대체 또는 교체하는 방법입니다.

이 방법의 핵심은 새로운 적분 변수를 도입함으로써 주어진 적분을 다음과 같이 줄일 수 있다는 것입니다.

직접 통합에 의해 취해진 새로운 적분으로.

다음 방법을 고려해보세요.

연속함수라 하자

찾아야 할 것: (1)

통합 변수를 변경해 보겠습니다.

여기서 Φ(t)는 연속 도함수를 갖는 단조 함수입니다.

그리고 복소 함수 f(ψ(t))가 있습니다.

F(x) = F(ψ(t))에 복소 미분 공식을 적용하면

함수를 사용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

﴾F(Φ(t))﴿′ = F′(x) ∙ Φ′(t)

그러나 F′(x) = f(x) = f(ψ(t))이므로

﴾F(Φ(t))﴿′ = f(Φ(t)) ∙ Φ′(t) (3)

따라서 함수 F(ψ(t))는 다음 함수의 역도함수입니다.

f (ψ (t)) ∙ ψ′ (t) 따라서:

∫ f(Φ(t)) ∙ Φ′(t) dt = F(Φ(t)) + C(4)

F(ψ(t)﴿ = F(x)를 고려하면 (1)과 (4)로부터 대체 공식은 다음과 같습니다.

부정 적분의 변수:

∫ f (x)dx = ∫ f(ψ (t)) ψ′ (t)dt (5)

공식적으로, x를 Φ(t)로, dx를 Φ′(t)dt로 대체하여 식(5)을 얻습니다.

식(5)에 따라 적분한 후 얻은 결과는 다음과 같습니다.

변수 x로 돌아갑니다. 선호에 따라 항상 가능합니다.

또한, 함수 x = ψ(t)는 단조적입니다.

성공적인 대체 선택에는 일반적으로 잘 알려진 노력이 필요합니다.

네스 호. 이를 극복하려면 차별화 기술을 터득해야 한다.

인용문이 있고 테이블 적분에 대해 잘 알고 있습니다.

하지만 여전히 시리즈를 설정할 수 있습니다. 일반 규칙그리고 몇 가지 기술

완성.

대체에 의한 통합 규칙:

1. 이 적분이 어느 테이블 적분으로 감소되는지 결정합니다(필요한 경우 피적분 표현식을 변환한 후).

2. 적분 함수의 어느 부분을 대체해야 하는지 결정합니다.

새 변수를 만들고 이 대체 항목을 적어 두세요.

3. 기록의 두 부분의 차이를 찾아 그 차이를 표현합니다.

이전 변수의 다이얼(또는 이 diff를 포함하는 표현식)

지역) 새로운 변수의 미분을 통해.

4. 적분 아래에서 대체합니다.

5. 결과 적분을 구합니다.

6. 결과적으로 이전 변수로 이동합니다.

대체 방법을 사용하여 적분을 푸는 예:

1. 찾기: ∫ x²(3+2x) dx

해결책:

3+2x = t로 치환해보자

치환의 양측의 미분을 찾아봅시다:

6x dx = dt, 여기서부터

따라서:

∫ x (3+2x ) dx = ∫ t ∙ dt = ∫ t dt = ∙ + C = t + C

t를 대체의 표현식으로 바꾸면 다음을 얻습니다.

∫ x (3+2x) dx = (3+2x) + C

해결책:

= = ∫ e = e + C = e + C

해결책:

명확한 적분의 개념.

인수가 에서 로 변경될 때 역도함수 값의 차이를 a에서 b까지의 범위에서 이 함수의 정적분이라고 하며 다음과 같이 표시됩니다.

a와 b를 적분의 하한과 상한이라고 합니다.

정적분을 계산하려면 다음이 필요합니다.

1. 대응하는 부정 적분 찾기

2. 결과 표현식에 x 대신 먼저 적분의 상한을 입력한 다음 하한을 - a로 대체합니다.

3. 첫 번째 대체 결과에서 두 번째 결과를 뺍니다.

간단히 말하면, 이 규칙은 다음과 같은 수식의 형태로 작성됩니다.

이 공식을 뉴턴-라이프니츠 공식이라고 합니다.

기본 속성 정적분:

1. 여기서 K=상수

3. 그렇다면

4. 함수가 구간에서 음수가 아닌 경우 , 여기서 ,

정적분에서 기존 적분 변수를 새 변수로 교체할 때 기존 적분 한계를 새 변수로 교체해야 합니다. 이러한 새로운 제한은 선택한 대체 항목에 따라 결정됩니다.

정적분의 적용.

곡선, x축 및 두 개의 직선으로 둘러싸인 곡선 사다리꼴의 면적 그리고다음 공식으로 계산됩니다.

x축과 두 개의 직선으로 부호가 변하지 않는 곡선으로 둘러싸인 곡선형 사다리꼴의 x축을 중심으로 회전하여 형성된 물체의 부피 그리고다음 공식으로 계산됩니다.

정적분을 사용하면 여러 가지 물리적 문제를 해결할 수도 있습니다.

예를 들어:

직선으로 움직이는 물체의 속도가 시간 t의 알려진 함수인 경우 시간 t = t 1에서 시간 t = t 2까지 이 물체가 이동한 경로 S는 다음 공식에 의해 결정됩니다.

가변 힘이 경로 S의 알려진 함수인 경우(힘의 방향은 변하지 않는다고 가정), 에서 까지의 경로에서 이 힘이 수행한 일 A는 다음 공식에 의해 결정됩니다.

예:

1. 선으로 둘러싸인 그림의 면적을 계산합니다.

와이 = ; y = (x-2) 2 ; 0x.

해결책:

a) 함수 그래프를 만들어 봅시다: y = ; y = (x-2) 2

b) 면적을 계산해야 하는 수치를 결정합니다.

c) 다음 방정식을 풀어 적분의 한계를 결정합니다. = (x-2) 2 ; x = 1;

d) 주어진 그림의 면적을 계산합니다.

S = dx + 2 dx = 1 단위 2

2. 선으로 둘러싸인 그림의 면적을 계산합니다.

와이 = x 2 ; x = y 2 .

해결책:

x 2 = ; x4 = x;

x (x 3 – 1) = 0

x 1 = 0 ; x 2 = 1

S = - x 2) dx = ( x 3\2 - ) │ 0 1 = 단위 2

3. 0x 축을 중심으로 선으로 둘러싸인 도형을 회전하여 얻은 물체의 부피를 계산합니다. y = ; x = 1 .

해결책:

V = π dx = π ) 2 dx = π = π │ = π/2 단위. 삼

수학 숙제 시험
작업에 대한 옵션입니다.

옵션 1

y = (x + 1) 2 ; y = 1 - x ; 0x

옵션 2번

1. 세 가지 방법으로 연립방정식을 푼다:

2. 변수를 변경하여 적분을 계산합니다.

3. 선으로 둘러싸인 그림의 면적을 계산합니다.

와이 = 6 – x ; y = x 2 + 4

옵션 #3.

1. 세 가지 방법으로 연립방정식을 푼다:

2. 변수를 변경하여 적분을 계산합니다.

3. 선으로 둘러싸인 그림의 면적을 계산합니다.

y = - x 2 + 5 ; y = x + 3

옵션 번호 4.

1. 세 가지 방법으로 연립방정식을 푼다:

2. 변수를 변경하여 적분을 계산합니다.

3. 선으로 둘러싸인 그림의 면적을 계산합니다.

와이 = x 2 ; x = 3; 황소

옵션 #5.

1. 세 가지 방법으로 연립방정식을 푼다:

2. 변수를 변경하여 적분을 계산합니다.

3. 선으로 둘러싸인 그림의 면적을 계산합니다.

와이 = 3 + 2x – x 2 ; 황소

옵션 번호 6.

1. 세 가지 방법으로 연립방정식을 푼다:

2. 변수를 변경하여 적분을 계산합니다.

3. 선으로 둘러싸인 그림의 면적을 계산합니다.

y = x + 6 ; y = 8 + 2x – x 2

옵션 번호 7

1. 세 가지 방법으로 연립방정식을 푼다:

2. 변수를 변경하여 적분을 계산합니다.

3. 선으로 둘러싸인 도형의 황소 주위를 회전하여 형성된 몸체의 부피를 계산합니다.

y = 죄 x ; 와이 = 0; x = 0; x = π

옵션 번호 8.

1. 세 가지 방법으로 연립방정식을 푼다:

2. 변수를 변경하여 적분을 계산합니다.

서지

1. 서면 D.T. 고등 수학 파트 1, 2에 대한 강의 노트. M. IRIS PRESS, 2006.

2. Grigoriev V.P., Dubinsky Yu.A. 고등 수학의 요소. M. 아카데미, 2008

3. Vygodsky M.Ya. 고등 수학 핸드북. 석사 과학, 2001

4. Shipachev V.S. 더 높은 수학. M. 고등학교, 2005

5. Shipachev V.S. 고등수학 문제집. M. 고등학교, 2005