För närvarande är följande metoder för att organisera radiokanaler (radioteknik) kända: FDMA, TDMA, CDMA, FH-CDMA. Möjliga deras kombinationer (till exempel FDMA / TDMA). Tidsfristen för användningen av dessa tekniker sammanföll i stor utsträckning med stadierna av utvecklingen av mobila system. I utrustningen av den mobila radiotelefonkopplingen av den första generationen användes multipeldimensioneringskanaler med frekvensseparation av kanaler (FDMA). Radiotekniken hos FDMA har hittills framgångsrikt använts i den avancerade utrustningen av den första generationens cellulära kommunikation, såväl som i enklare system av mobil radiotelefonkommunikation med icke-cellulär struktur. När det gäller mobilkommunikationsstandarden för det första steget, för de första radiella systemen, användes inte begreppet standarder, och utrustningen skilde sig av namnen på systemen (Altai, Volvetot, Actionet, etc.). Cellulära kommunikationssystem började skilja sig från standarder. På FDMA-tekniken är sådana standarder för de första generationens cellulära system, som NMT-450, NMT-900, Amps, TAC. I andra generationens cellulära kommunikationssystem gjordes en övergång till digital bearbetning av överförda röstmeddelanden, för vilken radiotekniken av multipel åtkomst till tidsavskiljningen av kanaler började användas (TDMA). Som ett resultat av övergången till TDMA: Bullerimmuniteten hos radionsmärta ökar, blev det bättre att vara bättre skyddad från att lyssna, etc. TDMA gäller i system som standarder som GSM, D-Amps (Den sista i den amerikanska versionen kallas ofta TDMA). Radioteknik för flera åtkomst med koddelning av CDMA-kanaler, eller i den engelska versionen av CDMA, har aktivt blivit inbäddad på allmänna radiotelefonnät endast de senaste fem åren. Denna radioteknik har sina fördelar, för I CDMA-utrustning: - Effektiviteten av att använda radiofrekvensspektrumet 20 gånger högre än radioutrustningen i AMPS-standarden (FDMA-teknik) och 3 gånger - med GSM (TDMA-teknik); - betydligt bättre än i andra andra generationens system TDMA, kvalitet, tillförlitlighet och sekretess för kommunikation - Det är möjligt att använda småstorlekar med låg effekt med en lång period av arbete. - Med samma avstånd från basstationen är strålningskraften hos CDMA-abonnentterminalerna lägre än 5 gånger med avseende på samma indikator i nätverket av standarder baserat på annan radioteknik. - Det är möjligt att optimera nätverkets topologi vid beräkning av täckningsområdena. CDMA-tekniken genomfördes först i IS-95 cellulär cellulär utrustning. Enligt dess servicefunktioner hänvisar befintliga CDMA-system till andra generationens cellulära system. Enligt statistiska uppgifter från National Telecommunications Institute (ETRI) ökar antalet CDMA-nätverksabonnenter för 2000 personer. När det gäller tillväxten av antalet abonnenter är dessa nätverk överlägsna nätverk av andra befintliga cellulära standarder, före utvecklingen av cellulära nätverk av även en sådan populär standard som GSM. För närvarande har CDMA-nätverk minst 30 miljoner abonnenter. Världs telekommunikationsgemenskap är benäget att i framtida system för trådlös tillgång till abonnentlinjer (tredje generationens personliga kommunikationssystem) kommer CDMA att uppta en ledande position. En sådan slutsats gjordes på grund av att CDMA-tekniken för det mesta kan säkerställa uppfyllandet av kraven för utrustningen av den tredje generationen IMT-2000, särskilt för att säkerställa utbyte av information med höga överföringshastigheter. I framtida trådlösa åtkomstsystem är det dock planerat att använda de så kallade CDMA-bredbandssystemen, där frekvensbandet på kanalen kommer att vara minst 5 MHz (i moderna CDMA-system i den andra generationen är kanalstången 1,23 MHz ). Under de senaste åren började trådlösa kommunikationsmedel visas, som är baserade på den utökade frekvensspektrumtekniken med frekvenshoppar (FH-CDMA). Denna teknik kombinerar specifikationer för TDMA, där det finns en uppdelning av varje frekvens i flera tidsintervaller och CDMA, där varje sändare använder en viss sekvens av ljudliknande signaler. Denna teknik har funnit sin ansökan i system avsedda för organisation av fast kommunikation.

Var man ska leta efter sina egenskaper känner jag honom

44. Presentation av periodiska signaler i form av Fourier-serien

http://scask.ru/book_brts.php?id\u003d8.

Periodiska signaler och Fourier rader

Den matematiska modellen för processen som återkommer i tid är den periodiska signalen med följande egendom:

Här är T en signalperiod.

Uppgiften är att hitta spektral sönderdelning av en sådan signal.

Fourier rad.

Låt oss ställa in den tid som diskuteras i Ch. Jag Ortonormated Basis bildad av harmoniska funktioner med flera frekvenser;

Varje funktion från denna grund uppfyller frekvensens tillstånd (2.1). Därför, - genom att utföra ortogonal sönderdelning av signalen i denna grund, dvs beräkningskoefficienter

vi får spektral sönderdelning

rättvis alls oändlighet av tidsaxeln.

En serie arter (2.4) kallas nära Fourier av Danrgo-signalen. Vi presenterar huvudfrekvensen för sekvensen som bildar en periodisk signal. Beräkning av sönderdelningskoefficienterna (2.3), skriv en Fourier-serie för en periodisk signal

med koefficienter

(2.6)

Så i det allmänna fallet innehåller den periodiska signalen den konstanta konstanta komponenten och en oändlig uppsättning harmoniska svängningar, den så kallade harmoniska med frekvenser till flera huvudfrekvensen för sekvensen.

Varje harmonika kan beskrivas med dess amplitud och initialfas, för detta bör koefficienterna i Fourier-serien skrivas som

Underteckna dessa uttryck i (2.5) får vi en annan, - motsvarande form av Fourier-serien:

vilket är ibland bekvämare.

Spektraldiagram över en periodisk signal.

Så det är vanligt att ringa en grafisk bild av en Fourier-serie-koefficienter för en specifik signal. Amplitud- och fasspektraldiagrammen skiljer (bild 2.1).

Här, längs den horisontella axeln, skjuts frekvenserna hos övertonerna på någon skala, och deras amplituder och initiala faser presenteras längs den vertikala axeln.

Fikon. 2.1. Spektraldiagram av någon periodisk signal: a - amplitud; B - fas

Särskilt intresserad av ett amplituddiagram, vilket gör att du kan bedöma den procentuella innehållet i vissa övertoner i spektret av den periodiska signalen.

Vi studerar flera specifika exempel.

Exempel 2.1. Row Fourier periodisk sekvens av rektangulära videopulser med kända parametrar, även i förhållande till punkten t \u003d 0.

I radioteknik kallas förhållandet välbefinnandet av sekvensen. Enligt formler (2.6) finner vi

Den slutliga formeln för Fourier-serien är bekvämt skrivet i formuläret

I fig. 2.2 Amplituddiagrammen i sekvensen i två extrema fall presenteras.

Det är viktigt att notera att sekvensen av korta impulser, följande sällan har en rik spektralkomposition.

Fikon. 2,2. Amplitudspektret för den periodiska sekvensen av ryturgiska video pulser: a - med hög plikt; B - med låg plikt

Exempel 2.2. En serie av Fourier-periodisk sekvens av pulser som bildas av en harmonisk signal av arten begränsad på nivå (det antas att).

Vi introducerar en speciell parameter - avstängningsvinkeln bestämd från förhållandet från var

I korrespondensen med detta är värdet lika med varaktigheten av en impuls, uttryckt i vinkelåtgärd:

Analytisk inspelning av en puls som genererar sekvensen som behandlas har formen

Den konstanta komponenten i sekvensen

Amplitudkoefficienten för den första harmoniska

Beräknar liknande amplituder - harmoniska komponenter när

Resultaten registreras vanligtvis enligt följande:

där de så kallade Berg-funktionerna:

Grafer av vissa funktioner av Berg visas i fig. 2,3.

Fikon. 2,3. Grafer av flera första funktioner i Berg

Spektral densitet av signaler. Direkt och omvänd Fourier-transformation.

Signalen kallas periodiskOm dess form är cykliskt upprepad över tiden. Den periodiska signalen i allmänhet är skrivet enligt följande:

Här är signalperioden. Periodiska signaler kan vara både enkla och komplexa.

För den matematiska representationen av periodiska signaler med en period används den ofta av detta därefter, i vilken harmonisk (sinusformad och cosinus och cosinus) oscillationer väljs som grundläggande funktioner:

var. - Den huvudsakliga vinkelfrekvensen för funktionen av funktionen. Med harmoniska grundläggande funktioner mottar en serie Fourier från denna serie, som i det enklaste fallet kan skrivas i följande formulär:

där koefficienter är

Från ett antal Fourier kan det ses att i det allmänna fallet innehåller en periodisk signal en konstant komponent och en uppsättning harmoniska oscillationer av huvudfrekvensen och dess övertoner med frekvenser. Varje harmonisk oscillation av Fourier-serien kännetecknas av amplitud och initialfas.

Spektraldiagram och periodiskt signalspektrum.

Om någon signal presenteras i form av summan av harmoniska svängningar med olika frekvenser, betyder det att det utfördes spektral sönderdelning Signal.

Spektraldiagram Signalen kallas en grafisk bild av Fourier-seriekoefficienterna för den här signalen. Det finns amplitud och fasdiagram. För att bygga dessa diagram, i någon skala längs den horisontella axeln, läggs värdena för den harmoniska frekvensen och deras amplituder och faser tillsätts längs den vertikala axeln. Dessutom kan amplituderna av övertoner bara ta positiva värden, faser - både positiva och negativa värden i intervallet.

Spectral periodiska signalkartor:

a) - amplitud; b) - fas.

Signalspektrum - Detta är en kombination av harmoniska komponenter med specifika frekvensvärden, amplituder och initiala faser som bildar en signal i mängden. I praktiken kallas spektraldiagrammen mer kortfattat - amplitudspektrum, fasspektrum. Det största intresset visas på amplitudspektraldiagrammet. Det kan uppskattas med andelen övertoner i spektret.

Spektralegenskaper i telekommunikationstekniker spelar en stor roll. Att känna till signalens spektrum kan beräknas korrekt och montera bandbredd, filter, kablar och andra kommunikationskanalkoder. Signalspektra kunskap är nödvändig för att bygga multikanalsystem med frekvensseparation av kanaler. Utan kännedom om interferensens spektrum är det svårt att vidta åtgärder för att undertrycka det.

Av detta kan vi dra slutsatsen att spektret måste vara känt för att utföra en icke-strömsignalöverföring över kommunikationskanalen för att säkerställa separation av signaler och försvagningsinterferens.

För att övervaka spektra av signaler finns det enheter som kallas spektrumanalysatorer. De tillåter dig att observera och mäta parametrarna för de enskilda komponenterna i det periodiska signalspektrumet, såväl som mäta spektraldensiteten hos den kontinuerliga signalen.

Ofta är en matematisk beskrivning även okomplicerad av strukturen och formen av deterministiska signaler en svår uppgift. Därför används en originalmottagning, i vilken riktiga komplexa signaler ersätts (representerade av approximerade) med en uppsättning (viktad mängd, dvs i närheten) av matematiska modeller som beskrivs av elementära funktioner. Detta ger ett viktigt verktyg för att analysera passage av elektriska signaler genom elektroniska kretsar. Dessutom kan presentationen av signalen också användas som initial när IT-beskrivningar och analysera. Samtidigt är det möjligt att avsevärt förenkla den inverse uppgiften - syntes komplexa signaler från uppsättningen elementära funktioner.

Spektral representation av periodiska signaler rankas Fourier

General Fourier-serien.

Den grundläggande tanken på den spektrala representationen av signaler (funktioner) stiger till tider mer än 200 år sedan och tillhör fysik och matematik J. B. Fourier.

Tänk på systemet med elementära ortogonala funktioner, vilka var och en erhålls från en källa - prototypfunktionen. Denna prototyp fungerar som ett "konstruktionsblock" och den önskade approximationen är lämplig för kombinationen av samma block. Fourier visade att någon komplex funktion kan representeras (approximerad) i form av en ändlig eller oändlig summa av ett antal multipla harmoniska svängningar med vissa amplituder, frekvenser och initiala faser. Denna funktion kan, i synnerhet, ström eller spänning i kedjan. Solstrålen, som utvecklats av bedrägeri på färgspektret, är en fysisk analog av Fourier matematiska transformationer (fig 2,7).

Ljuset som kommer ut ur prisman är uppdelat i rymden på separata rena färger eller frekvenser. Spektret har en genomsnittlig amplitud vid varje frekvens. Således omvandlades intensitetsfunktionen från tid till amplitudfunktionen beroende på frekvensen. Ett enkelt exempel på Fourier Reasoning-illustrationer visas i fig. 2,8. Periodisk, ganska komplicerad krökt kurva (fig 2,8, men) - Detta är summan av två övertoner av olika, men flera frekvenser: singel (fig 2,8, b) och fördubblats (bild 2.8, i).

Fikon. 2,7.

Fikon. 2,8.

men - Komplex oscillation; b, 1: a och 2: a approximativa signaler

Med hjälp av spektralanalysen av Fourier verkar den komplexa funktionen vara en summa av övertoner, som var och en har sin frekvens, amplitud och startfas. Fourier-transformation bestämmer de funktioner som representerar amplituden och fasen av harmoniska komponenter som motsvarar en specifik frekvens, och fasen är sinusoidens ursprungliga punkt.

Transformationen kan erhållas med två olika matematiska metoder, varav en används när den ursprungliga funktionen är kontinuerlig och den andra - när den anges av uppsättningen separata diskreta värden.

Om den undersökta funktionen erhålls från värden med vissa diskreta intervaller kan den delas in i en sekventiell rad sinusformade funktioner med diskreta frekvenser - från den lägsta, huvud- eller huvudfrekvensen och sedan med frekvenser två gånger, tredubblats etc. Ovanför den huvudsakliga. En sådan summa av komponenterna och kallas nära Fourier.

Ortogonala signaler. Ett bekvämt sätt att spektralbeskrivningar av Fourier-signalen är dess analytiska representation med användning av systemet med ortogonala elementära tidsfunktioner. Låt det finnas ett Hilbert-signalutrymme u 0 (t) y g /, (?), ..., du n (t) Med ändlig energi definierad på ett ändligt eller oändligt tidsintervall (T v 1 2). På detta segment ställer vi in \u200b\u200bdet oändliga systemet (delmängden) av interrelaterade elementära funktioner av tid och kallar det grundläggande. "

var r \u003d. 1, 2, 3,....

Funktioner u (t) och v (t) Orthogonal på intervallet (? ,? 2), om deras skalärprodukt, förutsatt att ingen av dessa funktioner är identiska med noll.

I matematik, definiera så i Hilbert-signalutrymmet ortogonal koordinatbas. Systemet med ortogonala grundläggande funktioner.

Egenskapen hos ortogonaliteten hos funktioner (signaler) är förknippad med intervallet med deras definition (bild 2.9). Till exempel två harmoniska signaler m, (?) \u003d \u003d Synd (2NR / 7 '0) och u., (t) \u003d Synd (4 nt / t q) (dvs med frekvenser / 0 \u003d 1/7 '0 respektive 2/0) ortogonal vid något tillfälle intervall, vars varaktighet är lika med ett heltal antal halvperioder T 0. (Bild 2,9, men). Därför, under den första perioden, signalerna och ((1) och u 2 (t) Ortogonal på intervallet (0, 7 "0/2); men på intervallet (o, zg 0/4) är de oorthogonala. PA Fig. 2.9, b. Signaler är ortogonala på grund av överflöd av deras utseende.

Fikon. 2,9.

men - på intervallet b - På grund av tiden för utseendet av signalrepresentationen u (t) Elementära modeller förenklas mycket om systemet med grundläggande funktioner är valt. vFF) Har en egendom orthonormality. Från matematik är det känt om ett tillstånd är uppfyllt för något par funktioner från det ortogonala systemet (2.7)

då funktionssystemet (2,7) ortonormated.

I matematik kallas ett sådant system med grundläggande funktioner i formuläret (2,7) eller-tunnmonterad basis.

Låt på det angivna tidsintervallet | R, t 2. | Det finns en godtycklig signal u (t) Och för presentationen använder ett orthonormalt system av funktioner (2,7). Utforma en godtycklig signal u (t) på koordinatens axel kallas sönderdelning i en generaliserad Fourier-serie. Denna sönderdelning har en vy.

där C, - vissa permanenta koefficienter.

För att bestämma koefficienterna med K. Välj en av de grundläggande funktionerna (2.7) v k (t) med godtyckligt tal till. Multiplicera båda delarna av sönderdelningen (2.9) på den här funktionen och integrera resultatet i tid:

På grund av orthonormaliteten med grunden för de valda funktionerna i den högra sidan av denna jämlikhet, alla medlemmar av mängden när jag ^ till Vrid till noll. Inte bara den enda medlemmen av numret med numret kommer att förbli icke-noll jag = till, så

Framställning av arter c K v k (t), ingår i den generaliserade Fourier-serien (2.9), är spektralkomponent Signal u (t), Och kombinationen av koefficienter (utskjutningar av signalvektorerna på koordinatens axel) (från 0, s, ..., med k,..., c ") bestämmer fullständigt den analyserade signalen jAG DET) och kallade det spektrum (från lat. spektrum - bild).

Väsen spektral representation (analys) Signalen är att bestämma koefficienterna med I i enlighet med formel (2.19).

Valet av det rationella ortogonala systemet av koordinatbasen för funktioner beror på syftet med forskningen och bestäms av önskan om maximal förenkling av den matematiska apparaten för analys, transformationer och databehandling. Som grundläggande funktioner används Chebyshev, Hermita, Lagerre, Lejander och andra. Den största fördelningen fick signaler i baserna av harmoniska funktioner: komplex exponentiell exp (J 2LFT) och riktiga trigonometriska sinus-cosinusfunktioner relaterade till formeln Euler e\u003e H. \u003d Cosx + Y "Sinx. Detta beror på det faktum att den harmoniska svängningen teoretiskt bevarar sin form när den passerar genom linjära kedjor med konstanta parametrar, och endast dess amplitud och den inledande fasen ändras. Den symboliska metoden väl utvecklad i kedjeteorin används också allmänt. Funktionen av representation av deterministiska signaler i form av en uppsättning konstant komponent ( konstant komponent) och summan av harmoniska svängningar med flera frekvenser kallas kallad spektral sönderdelning. Helt vanligt användning i teorin om signaler av en generaliserad Fourier-serie är också förknippad med sin mycket viktiga egendom: med det valda ortonormala funktionssystemet v k (t) och det fasta antalet kategorier av serien (2.9) det ger den bästa representationen av den angivna signalen u (t). Denna egenskap av Fourier-serien är allmänt känd.

När spektralvyn av signalerna, ortonormala baser av trigonometriska funktioner erhölls den största applikationen. Detta beror på följande: Harmoniska svängningar genereras helt enkelt; Harmoniska signaler är invariant med avseende på transformationer som utförs av stationära linjära elektriska kretsar.

Vi uppskattar den tillfälliga och spektrala representationen av den analoga signalen (figur 2.10). I fig. 2.10, men Ett temporärt diagram av komplex i form av en kontinuerlig signal visas och i fig. 2.10, b - Hans spektrala sönderdelning.

Tänk på den spektrala representationen av periodiska signaler i form av summan eller harmoniska funktioner, eller komplexa exponentialer med frekvenser som bildar aritmetisk progression.

Periodisk Ring signalen och "(?). Upprepa med jämna mellanrum av tid (bild 2.11):

där R - en period av repetition eller efter impulser n \u003d 0,1, 2,....

Fikon. 2,11. Periodisk signal

Om en T. Det är en signalperiod u (t), Därefter kommer perioderna också att vara flera värden: 2G, 3 T. etc. Periodisk sekvens av pulser (de kallas video pulser) Beskrivet genom uttryck

Fikon. 2,10.

men - Tillfälligt diagram; b. - amplitudspektrum

Här du q (t) - En enda impulsform som kännetecknas av amplitud (höjd) h \u003d e, Varaktighet T ", en period av följande T \u003d. 1 / F (F-frekvens), positionen av pulser i tid i förhållande till klockpunkterna, till exempel t \u003d. 0.

När spektivt analyserar periodiska signaler är ett ortogonalt system (2,7) lämpligt som harmoniska funktioner med flera frekvenser:

var co, \u003d 2p / t- Frekvens av pulser.

Beräkna integralerna, med formel (2.8) är det enkelt att säkerställa ortogonaliteten hos dessa funktioner på intervallet [-g / 2, g / 2 | Varje funktion uppfyller periodicitetstillståndet (2.11), eftersom deras frekvenser är flera. Om systemet (2.12) skriver som

vi kommer att få en orthonormal grund för harmoniska funktioner.

Föreställ dig en periodisk signal som är vanligast i teorin om signaler trigonometrisk (sinus-cosinus) form Fourier-serier:

Från matematikens gång är det känt att sönderdelning (2,11) existerar, d.v.s. Ett nummer konvergerar om funktionen (i det här fallet, signalen) u (t) Vid intervallet uppfyller [-7/2, 7/2] dirichlet-förhållanden (Till skillnad från Dirichleteorem tolkas de ofta förenklade):

Det bör inte finnas några uppdelningar av den andra typen (med grenar som lämnar i oändlighet);
Funktionen är begränsad och har ett begränsat antal luckor i 1: a släktet (hopp);
Funktionen har ett ändligt antal extremiteter (dvs maxima och minima).

Följande komponenter i den analyserade signalen är tillgängliga i formel (2.13):

Permanent komponent

Amplituderna av cosinusformella komponenter

Amplitude sinusformade komponenter

Spektralkomponenten med CO-frekvensen i kommunikationsteori kallas först (huvudsaklig) munspeloch komponenter med ISO-frekvenser, (p\u003e 1) - högre harmonier Periodisk signal. Steg vid frekvensen av ASO mellan två intilliggande sinusoider från Fourier sönderdelning kallas frekvensupplösning spektrum.

Om signalen är en jämn tidsfunktion u (t) \u003d u (-t), då i den trigonometriska skivan av Fourier-serien (2.13) finns inga sinusformiga koefficienter B n, sedan i enlighet med formel (2.16) vänder de till noll. För signal u (t), Beskrivs av en udda funktion av tiden, tvärtom, enligt formel (2.15), noll är lika med cosinus koefficienter a P. (konstant komponent en 0. Också frånvarande), och intervallet innehåller komponenter B n.

Gränserna för integration (från -7/2 till 7/2) bör inte nödvändigtvis vara till exempel i formlerna (2,14) - (2,16). Integration kan utföras när som helst intervallbredd 7 - resultatet kommer inte att ändras från detta. Särskilda gränser väljs på grund av överväganden av bedömningen av beräkningar. Det kan till exempel vara lättare att fortsätta att integrera från ca 7 eller från -7 till 0, etc.

Matematik sektion Ställa in förhållandet mellan tidsfunktionen u (T.) och spektralkoefficienter och p, b n, Ring upp harmonisk analys På grund av kommunikationsfunktionen u (t) Med sinusformiga och cosinydalella medlemmar av detta belopp. Vidare är spektralanalysen huvudsakligen begränsad av ramen för harmonisk analys, vilket är exceptionell tillämpning.

Ofta är användningen av sinus-cosinusformen av Fourier-serien inte helt bekväm, för för varje värde av summeringsindexet f (dvs för varje harmonisk med MOJ-frekvensen) i formel (2.13), är två termer inkluderade - cosinus och sinus. Från en matematisk synvinkel är det bekvämare att presentera denna formel som motsvarar Fourier-ekvivalent verklig form /.

var En 0. = en 0 /2; Och n \u003d yja 2 n + B - amplitud; P-Th harmonisk signal. Ibland i förhållandet (2.17) före WEDL L-skylten "plus", registreras den första fasen av den harmoniska som CP och \u003d -ARCTG ( b n fa. n).

I teorin om signaler används den komplexa formen av Fourier-serien allmänt. Den erhålles från den verkliga formen av en rad av en cosinusrepresentation i form av en halvmelig exponentiell utställare av Euler Formel:

Genom att tillämpa denna omvandling till den verkliga formen av en Fourier-serie (2.17) får vi mängden komplexa exponentialer med positiva och negativa indikatorer:

Och nu kommer vi att tolka utställarna med formeln (2.19) vid frekvensen av CO, med "minus" -tecknet i indikatorn som medlemmar av ett nummer med negativa tal. Som en del av samma tillvägagångssätt, koefficienten En 0. Det blir medlem i ett nummer med ett nollnummer. Efter okomplicerade transformationer kommer till komplexform Rad fourier

Omfattande amplitud f-d övertoner.

Värderingar Med p. på positiva och negativa tal f är komplexa konjugat.

Observera att Fourier-serien (2.20) är ett ensemble av komplexa exponentiella exp (JN (O (t) Med frekvenser som bildar aritmetisk progression.

Vi definierar förhållandet mellan koefficienterna för trigonometriska och komplexa former av Fourier-serien. Det är uppenbart att

Du kan också visa att koefficienterna a P. \u003d 2c w coscp "; b n \u003d 2c / i Sincp, F.

Om en u (t) är en jämn funktion, Coefficients of C, Will verklig Tänk om u (t) - Funktionen är udda, vars koefficienter blir imaginär.

Den spektrala representationen av den periodiska signalen med en komplex form av en serie Fourier (2,20) innehåller både positiva och negativa frekvenser. Men negativa frekvenser i naturen existerar inte, och det här är en matematisk abstraktion (den fysiska betydelsen av den negativa frekvensen är rotationen i den motsatta riktningen mot den som tas för positiv). De verkar som ett resultat av den formella representationen av harmoniska svängningar med en omfattande form. Vid byte från en omfattande form av inspelning (2,20) till Real (2.17), försvinner den negativa frekvensen.

Visuellt om signalens spektrum bedöms av sin grafiska bild - det spektrala diagrammet (bild 2.12). Skilja på amplitudfrekvensoch fasfrekvensspektra. Aggregate amplitud harmonisk A P. (Bild 2.12, men) Ring upp amplitudspektrum, deras faser (fig 2,12, b) CP I - fasspektrum. Total Med p. = |Med p. är en komplex amplitudspektrum (Bild 2.12, i). På spektraldiagram lägger abscissaxeln ner den aktuella frekvensen, men ordinataxlarna är antingen en verklig eller komplex amplitud eller fas av motsvarande harmoniska komponenter i den analyserade signalen.

Fikon. 2,12.

men - amplitud; b - fas; i - Nöjesområde av komplexa Fourier

Spektrumet för den periodiska signalen kallas lugn eller diskretEftersom den består av separata linjer med en höjd lika med amplituden A P. Harmonisk. Av alla typer av spektra är den mest informativa amplituden, eftersom det tillåter dig att uppskatta det kvantitativa innehållet i vissa övertoner i signalkompositionen hos signalen. I teorin om signaler är det bevisat att amplitudspektret är jämn frekvensfunktionoch fas - udda.

Notera equidistance (Equifement från ursprunget) av det komplexa spektrumet av periodiska signaler: symmetriska (positiva och negativa) frekvenser på vilka spektralkoefficienterna för den trigonometriska serien av Fourier är belägna, bildar en jämn sekvens (... V. ..., -2Så p -so P 0, V. 2 o, ..., nCOV. ...) innehållande frekvensen av CO \u003d 0 och har ett steg Co T \u003d 2L / 7 '. Koefficienter kan ta några värden.

Exempel 2.1

Beräkna amplituden och fasspektra av en periodisk sekvens av rektangulära pulser med en amplitud? Varaktighet T och och en period av upprepning T. Signalen är jämn funktion (bild 2.13).

Fikon. 2,13.

Beslut

Det är känt att den perfekta rektangulära videospulsen beskrivs med följande ekvation:

de där. Den är formad som en skillnad mellan två enkla funktioner A (?) (Inklusionsfunktioner) förskjutna över tiden på t n.

Sekvensen av rektangulära pulser är en viss mängd singelpulser:

Eftersom den angivna signalen är en jämn tidsfunktion och för en period fungerar endast på intervallet [T och / 2, T och / 2], enligt formel (2.14)

var q. = T / T "

Analysera den resulterande formeln kan det noteras att perioden med följande och pulsernas varaktighet ingår i den i form av ett förhållande. Denna parameter q - Förhållandet mellan perioden för pulsernas varaktighet kallas snabbhet Den periodiska sekvensen av pulser (i utländsk litteratur istället för tjänst, använd det omvända värdet - fyllningskoefficient, från engelska, arbetscykel.lika med t och / 7); för q \u003d 2 Sekvensen av rektangulära pulser, när varaktigheten av pulser och luckor mellan dem blir lika, kallas slingra sig (från grekiska. Paiav5poq är ett mönster, geometrisk prydnad).

På grund av pariteten hos funktionen som beskriver den analyserade signalen, i ett antal Fourier, tillsammans med den konstanta komponenten, kommer endast cosinuskomponenter att vara närvarande (2,15):

På höger sida av formel (2.22) har den andra faktorn formen av en elementär funktion (SINX) / X. I matematik indikeras denna funktion som SINC (X), och endast när h. \u003d 0 Det är lika med en (LIM (Sinx / X) \u003d 1) passerar

genom noll på punkterna x \u003d ± l, ± 2l, ... och bleknar med tillväxten av argumentet X (figur 2.14). Slutligen Trigonometriska Fourier-serien (2.13), som approximerar den angivna signalen, inspelad i formuläret

Fikon. 2,14. Schema sinx / X.

Sine-funktionen har en kronblad. Med tanke på kronbladets bredd bör det betonas att för grafer av diskreta spektra av periodiska signaler finns det två alternativ för att betygsätta den horisontella axeln - i rum av harmoniska och frekvenser. Till exempel i fig. 2.14 Graduation av ordens axel motsvarar frekvenser. Bredden på kronbladet, mätt bland den harmoniska, är lika med sekvensens välbefinnande. Härifrån följer det den viktiga egenskapen hos spektret av sekvensen av rektangulära pulser - det finns inga (har noll amplituder) av övertoner med siffror, multipel diktsjukdomar). När pulserna i pulserna, lika med tre, försvinner varje tredje harmonisk. Om kosten skulle vara lika med två, skulle endast udda övertoner av huvudfrekvensen förbli i spektret.

Från formel (2.22) och fig. 2.14 Det följer att koefficienterna för ett antal högre signalharmoniker har ett negativt tecken. Detta beror på det faktum att den första fasen av dessa övertoner är lika p. Därför tas formel (2,22) för att skicka in i en modifierad form:

Med en sådan rekord av Fourier-serien är amplituderna för alla högre harmoniska komponenter på grafen av spektraldiagrammet positiva (fig 2,15, men).

Signalens amplitudspektrum beror i stor utsträckning på förhållandet mellan repetitionsperioden T. och pulsvaraktigheten t och, d.v.s. från tjänst q.Avståndet i frekvensen mellan intilliggande övertoner är lika med frekvensen av pulserna från 1 \u003d 2l / t. Bredden på spektrumbladen, mätt i frekvensenheter, är lika med 2: a / t n, dvs. Omvänt proportionell mot pulsvaraktigheten. Observera att med samma varaktighet av pulsen T och med ökande

Fikon. 2,15.

men - amplitud;b. Fas

roda av deras upprepning T. Huvudfrekvensen av CO, minskar och spektret blir tätare.

Samma bild observeras om pulsvaraktigheten är förkortad och med en konstant period. T. Amplituderna för alla övertoner reduceras. Detta är en manifestation av en allmän lag (principen om osäkerhet V. Heisenberg - Osäkerhetsprincip) ", Ju kortare varaktigheten av signalen, desto bredare sitt spektrum.

Faser av komponenter bestämmer sig från formeln Cp P \u003d Arctg (B N / A n). Som här koefficienter B " \u003d 0, sedan

var m \u003d. 0, 1, 2,....

Förhållandet (2,24) visar att vid beräkning av faserna av spektralkomponenter behandlar matematisk osäkerhet. För dess upplysningar vänder vi oss till formel (2.22), enligt vilken de harmoniska amplituderna regelbundet ändrar tecknet i enlighet med förändringen av SIN-funktionen (NCO 1 x 1i / 2). Ändring av tecknet i formel (2.22) motsvarar fasskiftet på denna funktion på p.Därför, när denna funktion är positiv, är den harmoniska fasen (P och \u003d 2 tpoch när negativ - \u003d (2t. + 1 )till (Fig. 2,15, B). Observera att även om komponenternas amplituder i spektret av rektangulära pulser och minskning med ökande frekvens (se fig 2,15, men), Denna nedgång är ganska långsam (amplitudes minskar i omvänd proportionellt frekvens). För att överföra sådana pulser utan förvrängning krävs ett oändligt band av kommunikationskanalen. För relativt låga förvrängningar bör gränsvärdet för frekvensbandet vara många gånger större än värdet, pulsens omvända varaktighet. Alla de riktiga kanalerna har emellertid en ändlig bandbredd, vilket leder till snedvridningar av formen av de överförda pulserna.

Fourier-serien av godtyckliga periodiska signaler kan innehålla oändligt ett stort antal medlemmar. Vid beräkning av spektra av sådana signaler orsakar beräkningen av den oändliga summan av Fourier-serien vissa svårigheter och det är därför inte alltid begränsat av summeringen av det slutliga antalet villkor (serien "trunks").

Noggrannheten i signal approximationen beror på antalet summerbara komponenter. Tänk på detta på exempel på approximation med summan av de åtta första harmoniska sekvensen av rektangulära pulser (fig 2.16). Signalen har utsikt över en unipolär meander med en upprepningstid. T u. amplitud E. \u003d 1 och puls varaktighet t och \u003d T./ 2 (den angivna signalen är jämn - Fig. 2.16, men; Squater q. \u003d 2). Approximation visas i fig. 2.16, B, och antalet summerbara övertoner visas på diagrammen. Vid approximation av en given periodisk signal under approximationen (se bild 2.13) trigonometrisk nära (2,13), kommer summeringen av den första och högre övertonerna endast att utföras av udda koefficienter Pu Eftersom med till och med deras värden och pulsvaraktighet t och \u003d T./ 2 \u003d \u003d TT / CO, syndens värde (MO, T H / 2) \u003d SIN (WT / 2) är försvunnen.

Den trigonometriska formen av Fourier-serien (2.23) för en given signal har formen

Fikon. 2,16.

men - specificerad signal; 6 - Mellanliggande steg i summeringen

För bekvämligheten kan Fourier-serien (2.25) skrivas förenklad:

Från formel (2.26) är det uppenbart att övertoner, approximativt meander, är udda, har alternerande tecken, och deras amplituder är omvänd proportionella mot siffrorna. Det bör noteras att sekvensen av rektangulära pulser är dåligt lämplig för presentationen nära Fourier - approximation innehåller krusningar och hopp, och summan av ett antal harmoniska komponenter med eventuella amplituder kommer alltid att vara en kontinuerlig funktion. Därför är beteendet hos en Fourier-serie i närheten av luckor av särskilt intresse. Från grafer. 2.16, det är inte svårt att märka, som med en ökning av antalet sammanställbara övertoner, blir den resulterande funktionen alltmer närmare formen av källsignalen u (t) Överallt, med undantag för sina luckor. I omgivningen av bristningspunkterna ger summeringen av Fourier-serien ett lutande sektion, och lutningen Den resulterande funktionen ökar med att öka antalet summarable harmonik. I början av bristen (vi betecknar det som t. = t 0) Fourierrad u (t 0) Den konvergerar till hälften av höger och vänster gräns:

På de intilliggande områdena av den approximerade kurvan ger summan av raden märkbara krusningar och i fig. 2.16 Det kan ses att amplituden för huvudutsläppen av dessa krusningar inte minskar med det ökande antalet summarable harmonik - det är bara komprimerat horisontellt och närmar sig brytpunkten.

För f -? Vid diskontinuitetspunkterna förblir emissionamplituden konstant,

och dess bredd kommer att vara oändligt smal. Den relativa amplituden av krusningar (med avseende på hoppets amplitud) och relativ dämpning ändras inte; Endast frekvensen av pulsationer ändras, vilket bestäms av frekvensen av de senaste summibelns övertoner. Detta beror på konvergensen i Fourier-serien. Låt oss vända oss till det klassiska exemplet: Kommer du någonsin att nå väggarna om du tar hälften av det återstående avståndet med varje steg? Det första steget leder till hälften av vägen, den andra - till märket på tre av sina kvartaler, och efter det femte steget kommer nästan 97% av banan att passera. Du nådde nästan målet, men oavsett hur många steg som kommer framåt, aldrig nå det i en strikt matematisk känsla. Det är bara möjligt att visa matematiskt att i slutändan kan du komma närmare någon given av godtyckligt avstånd. Detta bevis motsvarar demonstrationen av antalet nummer 1/2, 1,1 / 8,1 / 16, etc. Hon strävar efter en. Detta fenomen som är inneboende i alla Fourier-rader för signaler med början av 1: a släktet (till exempel hoppar, som på fronterna av rektangulära pulser), kallas effekten av Gibbs* I detta fall är värdet av den första (största) amplituden i den approximerade kurvan ca 9% av hoppnivån (se fig. 2.16, f = 4).

Gibbs-effekten leder till ett dödligt fel på approximation av periodiska pulsignaler med rupturer av 1: a släktet. Effekten sker med skarp nedsatt monotoni av funktioner. Vid hopp, effekten av maximalt, i alla andra fall, beror amplituden av pulsationer på karaktären av monotoniöverträdelsen. För ett antal praktiska tillämpningar orsakar GIBBS-effekten vissa problem. Till exempel, i ljudreproducerande system, kallas detta fenomen "ringande" eller "råtta". I det här fallet kan varje skarpt konsonant eller annat plötsligt ljud åtföljas av ett kort ljud obehagligt att höra.

Fourierrad kan appliceras inte bara för periodiska signaler, men också för sluttidssignalerna. Det anges emellertid av tiden

bullerintervall för vilket en serie Fourier byggs, och under de återstående tidpunkten anses signalen vara noll. För att beräkna koefficienterna för ett tal betyder detta tillvägagångssätt periodisk fortsättning Signal utanför det aktuella intervallet.

Observera att naturen (till exempel mänsklig hörsel) använder principen om harmonisk analys av signaler. Virtual Fourier Transformation Personen gör det möjligt att höra ljudet: Öronet utför automatiskt det, som representerar ljudet i form av ett spektrum av konsekventa volymvärden för toner av olika höjder. Den mänskliga hjärnan gör denna information till ett uppfattat ljud.

Harmonisk syntes. I teorin om signaler, tillsammans med harmonisk analys, används signalerna allmänt harmonisk syntes - erhållande av givna oscillationer av komplexform genom att summera ett antal harmoniska komponenter i deras spektrum. I huvudsak ovan utfördes syntesen av en periodisk sekvens av rektangulära pulser som mängder från ett antal övertoner. I praktiken utförs dessa operationer på en dator, såsom visas i fig. 2.16, b.

Jean Batist Joseph Fourier (J. V. J. Fourier; 1768-1830) - Fransk matematiker och fysiker.
Josayia Gibbs (J. Gibbs, 1839-1903) är en amerikansk fysiker och matematiker, en av grundarna av kemisk termodynamik och statistisk fysik.

Former av Fourier-serien. Signalen kallas periodiskom dess form är cykliskt upprepad i tidsperiodisk signal u (t)i allmänhet är det skrivet så:

u (t) \u003d u (t + mt), m \u003d 0, ± 1, ± 2, ...

Här T-perioden av signalen. Periodiska signaler kan vara både enkla och komplexa.

För matematisk representation av periodiska signaler med en period T.använd ofta nära (2,2), i vilken harmonisk (sinusformad och cosinus) oscillationer väljs som grundläggande funktioner

y 0 (t) \u003d 1; y 1 (t) \u003d sinw 1 t; y 2 (t) \u003d cosw 1 t;

y 3 (t) \u003d sin2w 1 t; y 4 (t) \u003d cos2w 1 t; ..., (2.3)

där W 1 \u003d 2p / t- den huvudsakliga vinkelfrekvensen av sekvensen

funktioner. Med harmoniska grundläggande funktioner från ett nummer (2.2) får vi ett antal Fourier (Jean Fourier - franska matematiker och Physicist of the XIX-talet).

Harmoniska funktioner i formuläret (2.3) i ett antal Fouriers har följande fördelar: 1) En enkel matematisk beskrivning; 2) Invariance till linjära transformationer, dvs om ingången till den linjära kretsen driver en harmonisk svängning, kommer då vid utloppet av det också att finnas en harmonisk svängning, som skiljer sig från den enda amplituden och den initiala fasen; 3) Som en signal är harmoniska funktioner periodiska och har oändlig varaktighet; 4) Tekniken för att generera harmoniska funktioner är ganska enkel.

Från mattehastigheten är det känt att för att sönderdela den periodiska signalen i en rad för harmoniska funktioner (2,3) är det nödvändigt att utföra villkoren för Dirichle. Men alla reella periodiska signaler är nöjda med dessa förhållanden och kan representeras som en Fourier-serie, som kan spelas in i något av följande former:

u (t) \u003d en 0/2 + (en "mn cosnw 1 t + a" mn nw 1 t), (2.4)

där koefficienter är

En mn "\u003d (2.5)

u (t) \u003d en 0/2 + (2.6)

En mn \u003d. (2.7)

eller i komplex form

u (t) \u003d (2.8)

C n \u003d (2.9)

Från (2,4) - (2,9) följer att i det allmänna fallet en periodisk signal U (t) innehåller en konstant komponent A 0/2 och en uppsättning harmoniska oscillationer av huvudfrekvensen W1 \u003d 2pf 1 och dess harmoniska med frekvenser WN \u003d NW 1, N \u003d 2, 3.4, ... var och en av de harmoniska

oscillationerna av Fourier-serien kännetecknas av amplitud av den inledande fasen Y n .nn

Spektraldiagram och spektrum av en periodisk signal. Om någon signal representeras som en summa av harmoniska svängningar med olika frekvenser, säger de det spektral sönderdelningsignal.

Spektraldiagramsignalen kallas en grafisk representation av koefficienterna för den Fourier-serien av denna signal. Det finns amplitud och fasdiagram. I fig. 2.6 Vid en viss skala skjuts den horisontella axeln värdena för den harmoniska frekvensen längs den grymma axeln - deras amplituder en MN och fas Y n. Dessutom kan harmoniska amplituder endast ta positiva värden, faser - både positiva och negativa värden i intervallet -p £ y n £ p

Signalspektrum- Detta är en kombination av harmoniska komponenter med specifika frekvensvärden, amplituder och initiala faser som bildar en signal i mängden. I tekniska tillämpningar i praktiken kallas spektraldiagrammen mer kortfattad - amplitudspektrum, fasspektrum.Oftast intresserade av ett amplitudspektraldiagram. Det kan uppskattas med andelen övertoner i spektret.

Exempel2,3. Dispatch Fourier periodisk sekvens av rektangulära video pulser frånberömda parametrar (U m, t, t z),Även "i förhållande till punkten t \u003d 0. för att konstruera ett spektraldiagram av amplituder och faser vid U m \u003d 2b, t \u003d 20ms, s \u003d t / t och \u003d 2 och 8.

Den angivna periodiska signalen på intervallet på en period kan skrivas som

Vi använder för att representera denna signalform av inspelning av Fourier-serien iform (2.4). Eftersom signalen är jämn, kommer endast cosinuskomponenter att förbli i sönderdelning.

Fikon. 2,6. Spectral periodiska signalkartor:

a - amplitud; b.Fas

Integral från den udda funktionen för period av ravey noll. Enligt formler (2.5) finner vi koefficienterna

tillåter att skriva en serie Fourier:

För att konstruera spektraldiagram med specifika numeriska data kan jag bli ombedd \u003d 0, 1, 2, 3, ... och beräkna de harmoniska koefficienterna. Resultaten av beräkningen av de första åtta komponenterna i spektret sammanfattas i tabell. 2.1. I ett nummer (2.4) En "Mn \u003d 0och enligt (2,7) en Mn \u003d | en 'Mn |, huvudfrekvensen f 1 \u003d 1 / t \u003d 1 / 20-10 -3 \u003d 50 Hz, W1 \u003d 2PF 1 \u003d 2P * 50 \u003d 314Rad / s. Amplitudspektrum i fig.

2,7 byggd för sådana n,för vilka Och mn.mer än 5% av det maximala värdet.

Från ovanstående exempel 2.3 följer det att antalet spektralkomponenter ökar med en ökning av tullen och deras amplituder minskar. Det sägs att en sådan signal har ett rikt spektrum. Det bör noteras att för många praktiskt taget använda signaler är det inte nödvändigt att beräkna amplituderna och faserna av övertoner enligt formlerna tidigare.

Tabell 2.1. Amplitudkomponenter i en serie av Fourier periodisk sekvens av rektangulära pulser

Fikon. 2,7. Spektraldiagram av den periodiska pulsekvensen: men- Styrkor av S-2; - B-vid tjänst s \u003d 8

I matematiska kataloger finns tabellnedbrytning av signaler i en rad av Fourier. En av dessa tabeller visas i bilagan (tabell. § 2).

Ofta uppstår frågan: hur mycket att ta spektrala saminställningar (övertoner) för att presentera en riktig signal bredvid Fourier? När allt kommer omkring ett nummer, strängt talande, oändligt. Ett entydigt svar kan inte ges här. Allt beror på signalformen och noggrannheten i dess presentation nära Fourier. Mer smidig signalförändring - harmonisk är mindre nödvändig. Om signalen har hopp (raster), är det nödvändigt att sammanfatta ett större antal övertoner för att uppnå samma fel. Men i många fall, till exempel, i telegraf, tror de att för överföring av rektangulära pulser med branta fronter är tillräckligt med tre övertoner.

I det senaste århundradet tillämpade Ivan Bernoulli, Leonard Euler och sedan Jean-Batist Fourier först presentationen av periodiska funktioner med trigonometriska rader. Denna presentation studeras ganska i detalj i andra kurser, så vi kommer att påminna endast de viktigaste relationerna och definitionerna.

Som noterat ovan är all periodisk funktion u (t) för vilken jämlikhet utförs u (t) \u003d u (t + t) var T \u003d 1 / f \u003d 2p / w , Du kan tänka dig nära Fourier:

Varje kategori av denna serie kan sönderdelas av cosinusformeln för skillnaden i två vinklar och skicka in i form av två termer:

var: A n \u003d c n cosφ n, b n \u003d c n sinφ n , så att , men

Faktorer ETT. och Värdshus. definieras enligt euler formler:

;
.

För n \u003d 0. :

men B 0 \u003d 0.

Faktorer ETT. och Värdshus. är genomsnittliga värden för funktionens arbete u (t) och harmonisk oscillation med frekvens nW. på hållbarhetsintervallet T. . Vi vet redan (avsnitt 2.5) att det här är funktionerna i ömsesidig korrelation som bestämmer åtgärden av deras anslutning. Följaktligen är koefficienterna ETT. och B N. Visa oss "Hur många sinusoider eller cosindeoner med en frekvens nW. innehållet i den här funktionen u (t) uppdelad i rad Fourier.

Således kan vi presentera en periodisk funktion u (t) i form av summan av harmoniska svängningar där siffror C N. är amplituder och siffror Φ N. - faser. Vanligtvis i litteraturen kallas spektrum av amplitudes, och - fasspektrum. Endast spektrumet av amplituder anses ofta, vilket är avbildat i form av linjer som är belägna vid punkter. nW. på frekvensens axel och ha en höjd som motsvarar numret C N. . Det bör dock komma ihåg att för att få en entydig korrespondens mellan tidsfunktionen u (t) Och dess spektrum behöver använda spektret av amplituder och fasspektrum. Detta ses från ett så enkelt exempel. Signaler kommer att ha samma spektrum av amplituder, men en helt annan typ av tidsfunktioner.

Det diskreta spektret kan inte bara ha en periodisk funktion. Till exempel, en signal: inte periodisk, men har ett diskret spektrum bestående av två spektrallinjer. Det kommer också att finnas en strängt periodisk signal bestående av en sekvens av radiopulser (pulser med högfrekvent fyllning), i vilken perioden av följande är konstant, men den initiala fasen av högfrekventa fyllning ändras från pulsen till pulsen enligt pulsen. till någon lag. Sådana signaler kallas nästan periodiska. Som vi kommer att se i framtiden har de också ett diskret spektrum. Studien av den fysiska naturen av spektra av sådana signaler, vi kommer att utföra samma sätt som periodisk.